32LG6.5-15x3
指数函数对数函数计算题集及答案
指数函数对数函数计算题11、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4.3、解方程：23log 1log 66-=x .4、解方程：9-x －2×31-x =27.5、解方程：x )81(=128.6、解方程：5x+1=123-x .7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、计算：(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92).9、求函数121log 8.0--=x x y 的定义域.10、已知log 1227=a,求log 616.11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522-+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x).12、已知函数f(x)=321121x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0.13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数.14、求log 927的值.15、设3a =4b =36,求a 2＋b1的值.16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=117、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=018、解指数方程：24x+1－17×4x +8=019、解指数方程：22)223()223(=-++-x x ±220、解指数方程：01433214111=+⨯------x x21、解指数方程：042342222=-⨯--+-+x x x x22、解对数方程：log 2(x －1)=log 2(2x+1)23、解对数方程：log 2(x 2－5x －2)=224、解对数方程：log 16x+log 4x+log 2x=725、解对数方程：log 2[1+log 3(1+4log 3x)]=126、解指数方程：6x －3×2x －2×3x +6=027、解对数方程：lg(2x －1)2－lg(x －3)2=228、解对数方程：lg(y －1)－lgy=lg(2y －2)－lg(y+2)29、解对数方程：lg(x2+1)－2lg(x+3)+lg2=030、解对数方程：lg2x+3lgx－4=0指数函数对数函数计算题1 〈答案〉1、12、解：原方程为lg2(x＋10)－3lg(x＋10)－4=0,∴[lg(x＋10)－4][lg(x＋10)＋1]=0.由lg(x＋10)=4,得x＋10=10000,∴x=9990.由lg(x ＋10)=－1,得x ＋10=0.1,∴x=－9.9.检验知： x=9990和－9.9都是原方程的解.3、 解：原方程为36log log 626=x ,∴x 2=2,解得x=2或x=－2. 经检验,x=2是原方程的解, x=－2不合题意,舍去.4、解：原方程为2)3(x -－6×3-x －27=0,∴(3-x ＋3)(3-x －9)=0.∵3-x ＋3≠0,∴由3-x －9=0得3-x =32.故x=－2是原方程的解.5、解：原方程为x 32-=27,∴-3x=7，故x=－37为原方程的解.6、解：方程两边取常用对数,得：(x ＋1)lg5=(x 2－1)lg3,(x ＋1)[lg5－(x －1)lg3]=0. ∴x ＋1=0或lg5－(x －1)lg3=0.故原方程的解为x 1=－1或x 2=1＋5log 3.7、18、(1)1；(2)459、函数的定义域应满足：⎪⎩⎪⎨⎧>≥-≠-,0,01log ,0128.0x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≠,0,1log ,218.0x x x解得0＜x ≤54且x ≠21,即函数的定义域为{x|0＜x ≤54且x ≠21}.10、由已知，得a=log 1227=12log 27log 33=2log 2133+,∴log 32=aa 23- 于是log 616=6log 16log 33=2log 12log 433+=aa +-3)3(4.11、若a ＞1,则x ＜2或x ＞3;若0＜a ＜1,则2＜x ＜312、(1)(－∞,0)∪(0,＋∞);(2)是偶函数;(3)略.13、2个14、设log 927=x,根据对数的定义有9x =27,即32x =33,∴2x=3,x=23,即log 927=23.15、对已知条件取以6为底的对数,得a 2=log 63, b1=log 62, 于是a 2＋b1=log 63＋log 62=log 66=1.16、x=217、x=018、x=－21或x=2319、x=±120、x=3721、 x=2322、x∈φ23、x=－1或x=624、x=1625、x=326、x=127、x=829或x=123128、y=229、x=－1或x=730、x=10或x=10－4指数函数对数函数计算题21、解对数方程：65lg 21lg 32=+++x x2、解对数方程：2log 4x+2log x 4=53、解对数方程：3log x 3+3log 27x=44、解对数方程：log 7(log 3x)=－15、解指数方程：4x +4-x －2x －2-x =06、解指数方程：9x +6x －3x+2－9×2x =07、解指数方程：2x+2－2-x +3=08、解指数方程：2x+1－3×2-x +5=09、解指数方程：5x-1+5x-2+5x-3=15510、解指数方程：26x+3×43x+6=(8x )x11、解指数方程：4x －3·2x+3－432=0.12、解对数方程：lg(6·5x +25·20x )=x+lg2513、解对数方程：log (x －1)(2x 2－5x －3)=214、解对数方程：(0.4)1lg2-x =(6.25)2－lgx15、解对数方程：x x 323log log 52⋅=40016、解对数方程：log 2(9－2x )=3－x17、解对数方程：101gx+1=471+gx x18、解对数方程：log 2(2x －1)·log 2(2x+1－2)=219、解关于x 的方程.3)lg()](lg[22=--a x a x a20、计算：(1)log 622+log 63·log 62+log 63; (2)lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22.21、计算：(1)29)12(lg log 3-+5225)25.0(lg log -;(2)[(1－log 63)2+log 62·log 618]·log 46.22、已知：log 23=a,3b =7.求：log 4256.23、已知：log 89=a,log 25=b,求：lg2,lg3,lg5.24、已知：log 189=a,18b =5,求：log 3645.25、已知：12a =27,求：log 616.26、计算：(1)3log 422+; (2)b a a log 31.27、计算：(1)3lg 100; (2)8log 427log 31125525+.28、计算：.18log 7log 37log 214log 3333-+-29、若函数f(x)的定义域是[0,1],分别求函数f(1－2x)和f(x ＋a)(a ＞0)的定义域.30、若函数f(x ＋1)的定义域是[－2,3),求函数f(x1＋2)的定义域.指数函数对数函数计算题2〈答案〉 1、x=10或x=105122、x=2或x=163、x=3或x=274、x=735、x=06、x=27、x=－28、x=－19、x=410、x=－1或x=511、x=2+2log 2312、x=log 253或x=log 25213、x=414、x=10或x=10315、x=916、x=0或x=317、x=10－4或x=1018、x=log 245或x=log 2319、a ＜0且a ≠－1时,x=0;a ＞0且a ≠21,x=3a;a=0或a=－1或a=21时,无解20、(1)1 (2)321、(1)3 (2)122、13+++ab a ab23、 lg2=b +11lg3=)1(23b a+ lg5=b b +124、log 3645=a ba -+225、log 616=a a+-341226、(1)48 (2)3b27、(1)3 (2)230428、29、{x|0≤x ≤21},{x|－a ≤x ≤1－a}.30、{x|x ＜－31或x ＞21}指数函数对数函数计算题31、求函数f(x)=lg(1＋x)＋lg(1－x)(－21＜x ＜0)的反函数.2、已知实数x,y 满足(log 4y)2=x 21log , 求 yx u =的最大值及其相应的x,y 的值.3、若抛物线y=x 2log 2a ＋2xlog a 2＋8位于x 轴的上方,求实数a 的取值范围.4、已知函数f(x)=(log a b)x 2＋2(log b a)x ＋8的图象在x 轴的上方,求a,b 的取值范围.5、已知f(x)=log a |log a x|(0＜a ＜1).解不等式f(x)＞0.判断f(x)在(1,＋∞)上的单调性,并证明之.6、计算：2log 9log 412log 221log 5533525.0log 3)3(--++-.7、解方程)13lg()13lg()1lg(2++-=-x .8、解方程：2lg +x x =1000.9、解方程：6(4x －9x )－5×6x =0.10、解方程：1lg )7(lg 4110++=x x x.11、解方程：log x+2(4x ＋5)－01)54(log 22=-++x x .12、已知12x =3,12y =2,求y x x +--1218的值.13、已知2lg 2y x -=lgx ＋lgy,求yx 的值.14、已知log a (x 2＋1)＋log a (y 2＋4)=log a 8＋log a x ＋log a y(a ＞0,a ≠1),求log 8(xy)的值.15、已知正实数x,y,z 满足3x =4y =6z ,(1)求证：yx z 2111=-;(2)比较3x,4y,6z 的大小.16、求7lg20·7.0lg 21⎪⎭⎫ ⎝⎛的值.17、已知函数f(x)=1＋log x 3,g(x)=2log x 2(x ＞0,且x ≠1),比较f(x)与g(x)的大小.18、已知函数f(x)=1log -x a (a ＞0且a ≠1),(1)求f(x)的定义域；(2)当a ＞1时,求证f(x)在[a,＋∞)上是增函数.19、根据条件,求实数a 的取值范围：(1)log 1＋a (1－a)＜1;(2)|lg(1－a)|＞|lg(1＋a)|.20、解方程：9x ＋4x =25·6x .21、解方程：92x －1=4x22、解方程：x⎪⎭⎫ ⎝⎛271=91－x .23、解方程：9x －2·3x ＋1－27=0.24、已知函数f(x)=bx b x a -+log (a ＞0,b ＞0且a ≠1). (1)求f(x) 的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性;(4)求f(x)的反函数f －1(x).25、已知函数f(x)=)2(log 221x x -.(1)求它的单调区间;(2)求f(x)为增函数时的反函数.26、已知函数f(x)=21-x a 满足f(lga)=10,求实数a 的值．27、解关于x 的方程：lg(ax-1)-lg(x-3)=128、解方程：log 0.5x 2－25.03log x x =4log 35.x o .29、解方程：5)(1log 5=-x x .30、解方程：3·16x ＋36x =2·81x .指数函数对数函数计算题3〈答案〉 1、f －1(x)=－x 101-(lg 43＜x ＜0)2、 考虑y x 4log =21-log 42y －log 4y,当x=21,y=41时,u max =2.3、由⎩⎨⎧<⋅-=∆>,08log 4)2log 2(,0log 222a a a 可得2＜a ＜＋∞4、a ＞1,b ＞a 或0＜a ＜1,0＜b ＜a .5、(1)a ＜x ＜a1且x ≠1;(2)f(x)在(1,＋∞)上是减函数.6、4217、)]13)(13lg[()1lg(2+-=-x ，x －1＞0，∴x ＞1(x －1)2=3－1，∴x=1+28、解：原方程为(lgx ＋2)lgx=3,∴lg 2x ＋2lgx －3=0,设y=lgx,则有y 2＋2y －3=0,∴y 1=1,y 2=－3.由lgx=1,得x=10,由lgx=－3,得x=10001. 经检验,x=10和x=10001都是原方程的解.9、x=－110、x=10或x=0.000111、x=112、4313、23＋214、利用运算法则,得(xy－2)2＋(2x－y)2=01∴log s(xy)=315、(1)略;(2)3x＜4y＜6z16、令所求式为t,两边取对数,得原式=14 17、当0＜x ＜1或x ＞34时,f(x)＞g(x);当1＜x ＜34时,f(x)＜g(x);当x=34时,f(x)=g(x).18、(1)当0＜a ＜1时,0＜x ≤a;当a ＞1时,x ≥a.(2)设a ≤x 1≤x 2,则f(x 1)－f(x 2)=1log 1log 21---x x a a =1log 1log log 2121-+-x x x x a a a＜0.19、(1)－1＜a ＜0或0＜a ＜1;(2)0＜a ＜120、方程即为2·32x －5·3x ·2x ＋2·22x =0,即022352322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛xx . 令y=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,方程又化为2y 2－5y ＋2=0, 解得y 1=2,y 2=21,于是便可得x 1=2log 23,x 2=－223log .21、由题意可得x229⎪⎭⎫⎝⎛=9,∴2x=9log29,故x=219log29.22、方程即为3－3x=32－2x,∴－3x=2－2x,故x=－2.23、令y=3x＞0,则原方程可化为y2－6y－27=0,由此得y=9(另一解y=－3舍去).从而由3x=9解得x=2.24、(1)(－∞,－b)∪(b,＋∞)；(2)奇函数；(3)当0＜a＜1时,f(x)在(－∞,－b)和(b,＋∞)上是增函数;当a＞1时,f(x)在(－∞,－b)和(b,＋∞)上是减函数;(4)略。
(新课程)高中数学《2.2.1-2 对数的运算》课件 新人教A版必修1
解法二：
原式＝lgl1g225＋llgg245＋llgg58llgg25＋llgg245＋lgl1g825 ＝3llgg25＋22llgg25＋3llgg52llgg25＋22llgg25＋33llgg25 ＝133llgg253llgg25＝13.
温馨提示：解法一是先分括号内换底，然后再将底统 一；解法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统 一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后 再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证 明的常用方法．
1．对数运算性质的理解与运用需注意的问题 (1)对数的运算性质，都要注意只有当式子中所有的对 数符号都有意义时，等式才成立．如log2[(－3)·(－5)]是存 在的，但log2(－3)与log2(－5)均不存在，故不能写成： log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)．
(2)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现 错误．初学者常犯的错误是：
1．log63＋log62等于 A．6
B．5
()
C．1
D．log65
解析：log63＋log62＝log6(3×2)＝log66＝1.
答案：C
2．若 a>0，a≠1，x>y>0，下列式子中正确的个数
是
()
①logax·logay＝loga(x＋y)
②logax－logay＝loga(x－y)
③logaxy＝logax÷logay
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2 的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中 两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的相加求和来实 现．
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应 数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字 相加求和：6＋8＝14；第一行中的14对应第二行中的16384， 所以有：64×256＝16384.
对数运算-计算题练习(含答案)
2017-2018学年 高一数学 必修一 对数运算 计算题练习1、计算：.2、计算：3、计算：.4、计算：．5、计算：6、计算：3log 2lg 27log 5.0lg 24log 232-+-+8、计算：2.1lg3.0lg)1000lg8lg27(lg19lg3lg2⋅-+⋅+-.9、计算：lg25＋lg2·lg 50＋lg22；10、计算：11、计算：12、计算：13、计算：14、计算：12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+15、计算：.16、计算：17、计算： ；18、计算：20、计算：21、计算：22、计算：；23、计算：24、计算：25、计算：26、计算：27、计算：；28、计算．29、计算：.30、计算：．31、计算：32、计算：2log32－log3＋log38－；33、计算：.34、计算：35、计算：36、计算：lg +lg 70-lg 3-；37、计算：(lg5)2＋lg2·lg50＋21＋log25.38、计算：39、计算：参考答案1、答案为：1.5.2、答案为：4.75.3、答案为：6.5.4、答案为：4.5.5、答案为：-4.6、答案为：1.5.8、答案为：-1.5.9、答案为：2.10、答案为：1.25.11、答案为：212、答案为：513、答案为：1＋2.14、答案为：1.15、答案为：-7.16、答案为：5.17、答案为：0.18、答案为：320、答案为：0.5.21、答案为：4.22、答案为：a-2.23、答案为：1.24、答案为：1.5.25、答案为：0.5.26、答案为：7/6.27、答案为：6.28、答案为：1.29、答案为：3.5.30、答案为：1.31、答案为：3.5.32、答案为：-7.33、答案为：2.34、答案为：035、答案为：1.25.36、答案为：lg3.37、答案为：1＋2.38、答案为：11.39、答案为：2.注：资料可能无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！。
指数函数对数函数计算题集及答案
指数函数对数函数计算题集及答案1.题目中给出了一些数学计算题和方程，需要计算或解方程。
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2.计算lg5·lg8000＋(lg232)lg(1/.06)。
3.解方程lg2(x＋10)－XXX(x＋10)3=4.4.解方程2log6x=1log63.5.解方程9-x－2×31-x=27.6.解方程(1)x=128/8.7.计算(lg2)3(lg5)3log251·log28·10.8.计算(1)lg25+lg2·lg50;(2)(log43+log83)(log32+log92)。
9.求函数y=log0.8(x1)/(2x1)的定义域。
10.已知log1227=a，求log616.11.已知f(x)=a2x/(23x1)，g(x)=ax22x5(a＞且a≠1)，确定x的取值范围，使得f(x)＞g(x)。
12.已知函数f(x)=11(3x)/(x221)，(1)求函数的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)求证f(x)＞0.13.求关于x的方程ax＋1=－x2＋2x＋2a(a＞且a≠1)的实数解的个数。
14.求log927的值。
15.设3a=4b=36，求(2ab+b)/(a+b)的值。
16.解对数方程log2(x－1)+log2x=1.17.解指数方程4x+4-x－2x+2－2-x+2+6=0.18.解指数方程24x+1－17×4x+8=0.19.解指数方程(322)x(322)x22 2.20.解指数方程21x1334-x1=4 1.21.解指数方程4x x2232x x224=0.22.解对数方程log2(x－1)=log2(2x+1)。
23.解对数方程log2(x21)log2(x1)=2.1.剔除格式错误，删除明显有问题的段落，得到以下文章：解对数方程：log16x+log4x+log2x=7解对数方程：log2[1+log3(1+4log3x)]=1解指数方程：6x-3×2x-2×3x+6=0解对数方程：XXX(2x-1)2-XXX(x-3)2=2解对数方程：XXX(y-1)-lgy=lg(2y-2)-XXX(y+2)解对数方程：XXX(x2+1)-2lg(x+3)+lg2=0解对数方程：lg2x+3lgx-4=02.对每段话进行小幅度改写，得到以下文章：1.解对数方程：XXX。
学案4：4.2.2 对数运算法则
4.2.2 对数运算法则【自主预习】1．对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，α∈R 那么：(1)log a (M ·N )＝ ；log a (N 1·N 2·…·N k )＝ (N i ＞0，i ＝1,2，…，k )．(2)log a M α＝ .(3)log a M N＝ . 2．换底公式log a b ＝ (a >0，且a ≠1b >0，c >0且c ≠1)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)．思考：如何准确地应用换底公式？【初试身手】1．计算log 84＋log 82等于( )A ．log 86B ．8C ．6D ．1 2．若2a ＝3b (ab ≠0)，则log 32＝( )A.b aB.a bC ．ab D.a 2b 2 3．下列结论正确的是( )A ．log a (x －y )＝log a x －log a yB.log a x log a y＝log a x －log a y C ．log a x y＝log a x －log a y D ．log a x y ＝log a x log a y4．若3a ＝2，则2log 36－log 38＝________.【合作探究】【例1】(1)计算8-23＋2lg 2－lg 125的值为________． (2)计算：log 327＋lg 4＋lg 25＋⎝⎛⎭⎫－180＝________. (3)计算：①lg 5100；②log 2(47×25)；③(lg 2)2＋lg 20×lg 5.【规律方法】1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．提醒：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．【跟踪训练】计算下列各式的值：(1)2log 23－log 2638＋log 27－.(2)log 33＋lg 25＋lg 4－log 2(log 216)．【例2】(1)已知log 312＝a ，试用a 表示log 324；(2)设a ＝lg 2，b ＝lg 3，试用a ，b 表示lg 108.[思路探究] 对数运算⇒对数运算法则的应用．[母题探究]1．(变结论)本例(2)中的条件不变，如何用a ，b 表示lg 952．(变条件)将本例(2)中的条件改为“lg 6＝a ，lg 15＝b ”，结果如何？对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯， “lg 2＋lg 5＝1”在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．[探究问题]1．假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？2．由探究1，你能猜测log c b log c a与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【例3】已知3a ＝4b ＝c ，且1a ＋1b＝2，求实数c 的值． [思路探究] 先把指数式化为对数式，再利用换底公式转化为同底的对数运算．[母题探究]1．(变条件)将本例中的条件“1a ＋1b ＝2”改为“1a －1b＝2”，则实数c 又为多少？2．(变结论)将本例条件改为“已知正数a ，b ，c 满足3a ＝4b ＝6c ”，求证：1c －1a ＝12b.应用换底公式应注意的两个方面(1)利用换底公式可以把不同底的对数化成同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.【课堂小结】1．本节课的重点是掌握对数运算性质、对数换底公式，难点是对数运算性质的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握对数运算性质的应用技巧．(2)弄清对数换底公式在求值中的应用．3．本节课的易错点是应用对数运算性质、对数换底公式时忽略条件或将公式记忆错误．【当堂达标】1．思考辨析(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a xy ＝log a x ·log a y .( )(3)log a (－2)3＝3log a (－2)．( )2．若log 545＝a ，则log 53＝( )A.2a －1B.21＋aC.a ＋12D.a －123．计算：log 25－log 252＝________. 4．计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4； (2)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322.【参考答案】【自主预习】1．(1)llog a M ＋log a Nlog a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k(2)αlog a M(3)log a M －log a N2．log c b log c a思考：[提示] (1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择．(2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题．如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个底数的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用．①log a b ＝1log b a ；＝n mlog a b ，其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 【初试身手】1．D [log 84＋log 82＝log 8(4×2)＝log 88＝1.]2．A [2a ＝3b ⇒a lg 2＝b lg 3，所以log 32＝lg 2lg 3＝b a.] 3．C [由对数的运算性质，知A ，B ，D 错误，C 正确．]4．2－a [∵3a ＝2，∴a ＝log 32，∴2log 36－log 38＝2(log 32＋log 33)－3log 32＝－log 32＋2＝2－a .]【合作探究】【例1】(1)94 (2)92 [(1)原式＝(23) -23＋lg 4－(lg 1－lg 25)＝14＋lg(4×25)＝14＋2＝94. (2)原式＝32＋lg 102＋1＝32＋2＋1＝92.] (3)解：①lg 5100＝15lg 102＝25lg 10＝25. ②log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19.③(lg 2)2＋lg 20×lg 5＝(lg 2)2＋(1＋lg 2)(1－lg 2)＝(lg 2)2＋1－(lg 2)2＝1.【跟踪训练】[解] (1)2log 23－log 2638＋log 27－ ＝log 29－log 2638＋log 27－2 ＝log 2⎝⎛⎭⎫9×863×7－2＝3－2＝1. (2)原式＝12log 33＋lg(25×4)－2＝12＋2－2＝12.【例2】[解] (1)log 312＝log 3(3×4)＝1＋2log 32＝a ，所以log 32＝a －12，log 324＝log 3(8×3) ＝1＋3log 32＝1＋3×a －12＝3a －12. (2)因为108＝4×27＝22×33，所以lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33) ＝12lg 22＋12lg 33＝lg 2＋32lg 3＝a ＋32b . [母题探究]1．[解] lg 95＝lg 9－lg 5＝2lg 3－(1－lg 2)＝2b ＋a －1. 2．[解] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋lg 5＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＋lg 3＝a ，lg 3＋1－lg 2＝b ， 解得⎩⎨⎧ lg 2＝a －b ＋12，lg 3＝a ＋b －12，所以lg 108＝12lg 108＝12lg(22×33) ＝12(2lg 2＋3lg 3)＝lg 2＋32lg 3 ＝a －b ＋12＋32×a ＋b －12＝2a －2b ＋2＋3a ＋3b －34＝5a ＋b －14.[探究问题]1．[提示] 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log 25log 23. 2．[提示] log c b log c a ＝log a b .假设log c b log c a ＝x ，则log c b ＝x log c a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以log c b log c a＝log a b . 【例3】[解] 由3a ＝4b ＝c ，得：a ＝log 3c ，b ＝log 4c ，所以1a ＝1log 3c ＝log c 3，1b ＝1log 4c＝log c 4. 又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 4＝log c 12＝2， 即c 2＝12，又3a ＝4b ＝c >0，所以c ＝2 3.[母题探究]1．[解] 由3a ＝4b ＝c 得：a ＝log 3c ，b ＝log 4c ，所以1a ＝1log 3c ＝log c 3，1b ＝1log 4c＝log c 4. 又1a －1b ＝2，所以log c 3－log c 4＝log c 34＝2， 即c 2＝34，又3a ＝4b ＝c >0，所以c ＝32. 2．[证明] 设3a ＝4b ＝6c ＝k (k >1)，则a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，所以1c －1a ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 63＝log k 2， 12b ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2，所以1c －1a ＝12b. 【当堂达标】1．(1)√ (2)× (3)× [(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy ＝log a x ＋log a y ；(3)×.公式log a M n ＝n log a M (n ∈R )中的M 应为大于0的数．]2．D [因为log 545＝log 5(5×9)＝1＋log 59＝1＋2log 53＝a ，所以log 53＝a －12.]3．1 [原式＝log 2⎝⎛⎭⎫5×25＝log 22＝1.] 4．[解] (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 2lg 5＋lg 2－3lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1. (2)原式＝log 723－log 79＋log 7⎝⎛⎭⎫3222＝log 78×989＝log 71＝0.。
对数说课稿
教材分析1地位与作用：对数与对数运算是人教a版，必修1第2.2.1节的内容，本节课是第一课时，主讲对数的性质。
本节课是在学生学习了指数函数及其性质之后学习的，其主要内容是对数概念及指对数互化、对数运算等内容。
本节学习内容蕴含转化化归数学思想，类比与对比等基本数学方法。
对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后面学习对数函数的基础。
2学情分析：学生在初中就已学习指数运算，在2.1学习了指数函数的主要性质，对指数相关知识已很清晰；另外，学习函数时就已了解了反函数意义，对学习本课已具备条件。
3教学重难点重点：对数概念的理解，对数基本运算性质的运用。
难点：灵活运用对数与指数的互化并用对数性质求值。
教学目标（根据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标）知识目标：理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值。
能力目标：学生的对比分析、合情推理能力得到加强，体验转化化归思想。
a 3．从定义出发归纳对数恒等式及指对数互换：①2=4=2 x?log24?log222?2②2=2 x?log22?1③一般地：logaan?n可以看出，指对数互化只要按定义要求写即可，如果可写成对数恒等式形式就可化简。
（三）特殊对数1．常用对数log10a 记为：lga 2．自然对数logea 记为：lna （四）从比较大小归纳单调性（相当于对数的单调性）问题4：log23与log25的大小？根据指对数互化：不妨设s= log23， t= log25 st则：2=3＜2=5，根据指数函数单调性可知：s＜t，即log23＜log25 学生小组讨论由特殊到一般地大小规律。
一般地：①当a＞1时，且m＞n＞0，logam?logan②当0＜a＜1时，且m＞n＞（五）指数互化巩固性例练例14-6①5=625 ②2=1/64 ③log1162xx2 例2：求下列各式中的x的值：2①log64x= ②logx8?6 3 (六)回归引入问题问题5：不等式3＋2*3－9>0xx分两边求解：右边即3<3+2=log3x 左边：从指数函数图像可以看出：0＜＜log3(3?23)} （七）总结篇二：对数的概念-说课稿对数与对数的运算尊敬的各位老师，大家好：今天我说课的内容是对数的概念，下面我从教材分析、目标分析、教学程序、板书设计、评价反思五个方面汇报我对这节课的教学设想，主要阐述了教什么，怎么教，为什么这么教的问题。
对数函数幂函数
天才在于勤奋 1 2.2对数与对数运算2. 2. 1对数与对数运算（1）【使用说明】:1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题..2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决.4.课后认真完成反馈巩固学习单.【学习目标】1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.※自主研读学习单※复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？复习2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍？（只列式）上述都是已知底数和幂的值求指数，就是我们要学习的对数，你能给出对数的定义吗？新知：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数1.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lgN2．在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作lnN请将复习1和2中的式子转化为对数形式：反思：（1）指数与对数间的关系？0,1a a >≠时，xa N =? .（2）在对数式N a x log = 中，底数a 和真数Ｎ的取值范围是什么？（3）log 1a =_______ ， log a a =_______（4）在指数式和对数式中都含有a ，x ，N 这三个量，那么这三个量在两个式中各有什么异同点？※合作探究学习单※例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）712128-=；（2）327a =；（3）12log325=-（4）lg0.001=3-；例2求下列各式中x 的值：（1）642log 3x =；（2）log 86x =-；（3）lg 4x =；（4）3ln e x =.(５)log 2(log 5x)＝0；(６)log 3(lgx)＝1；思考探究log ?n a a = log ?a N a =练习：求下列各式的值.lg0.001=_______ 5log 25=_______21log 16=_______ lg10000=_______※巩固提升学习单※1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）53243=；（２）430a = （３）12log 164=-；（４）2log 1287=；２.有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43. log += （）.A. 1B. －1C. 2D. －24. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)5．方程3log 2x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33 C ．x ＝ 3 D ．x ＝96．若log a 5b ＝c ，则下列关系式中正确的是( )A ．b ＝a 5cB ．b 5＝a cC ．b ＝5a cD ．b ＝c 5a7．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n 的值是( ) A ．15B ．75C ．45D ．2258．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么21-x ＝________.9 计算：1(3+=_______10. 若log 1)1x =-，则x=________，若y =，则y=___________.11. 计算：（1）3log 243=_______；（2）(2log (2=_______12．计算下列各式：(1)10lg 3－10log 41＋2log 26；(2)22＋log 23＋32－log 39.2.2对数与对数运算2. 2. 1对数与对数运算（2）【使用说明】:1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题..2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决.4.课后认真完成反馈巩固学习单.【学习目标】1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题※自主研读学习单※一、复习引入：复习1：（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做，记作 .（2）指数式与对数式的互化：x a N =? .复习2：幂的运算性质.（1）=nm a a ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、问题引入：探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？根据上面的证明和对数的定义和指数运算法则推导能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N=-；（3）log log ()n a a M n M n R =∈.三、新知探究① 对数的换底公式log log log b a b N N a=；温馨推荐您可前往百度文库小程序享受更优阅读体验不去了立即体验② 对数的倒数公式1log log a b b a=.③ 对数恒等式：log log nn a a N N =，log log m n a a nN N m=，※合作探究学习单※例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xyz ；（2） log a .练习1：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.2. 计算：7lg142lg lg7lg183-+-；例2 设lg 2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12. 练习. 1 lg 243lg9.=_____________ log 916·log 881=___________ 2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x=__________________ ※巩固提升学习单※1. 计算：（1；（2）2lg 2lg2lg5lg5+?+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b-=.3 下列等式成立的是（） A ．222log (35)log 3log 5÷=- B ．222log (10)2log (10)-=- C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=-4. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（）.A ．x =a +3b －cB ．35ab x c =C ．35ab x c=D ．x =a +b 3－c 35 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（）.A ．y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x = 6．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.32(b －1)C.3a2(b ＋1)D.3(a －1)2b7计算：（1）99log 3log 27+= ；（2）2121log log 22+= .8.计算：15lg 23= . 9．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值．2.2对数与对数运算2. 2. 1对数与对数运算（3）习题【使用说明】:1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题..2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决.4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】1. 能较熟练地运用对数运算性质进行运算；2. 提高准确运算能力..※自主研读学习单※一、复习引入：复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()a MN =______________ ；（2）log aM N =______________ ；（3）log na M =______________ ；换底公式log ab =______________ ；复习2：已知32log = a ， 73log = b ，用 a ，b 表示5642log .※合作探究学习单※1．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于 ( )A ．9 B.19 C ．25 D.1252．若log a 2＝m ，log a 5＝n ，则a 3m ＋n ＝________.3． (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.4．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.※巩固提升学习单※25()a -（a ≠0）化简得结果是（）. A ．－a B ．a 2 C ．｜a ｜ D ．a 2. 若 log 7［log 3（log 2x ）］＝0，则12x =（）.A. 3B.C.3. 已知35abm ==，且112a b +=，则m 之值为（）.A ．15B ．2254．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( )A.a b －1B.32(b －1)C.3a2(b ＋1)D.3(a －1)2b5．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab)2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14．6. 化简：（1）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5.（2）0.21log 35-；（3）4912log 3log 2log ?-.7．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．8. 若()()lg lg2lg2lg lgx y x y x y-++=++，求xy的值．2.2对数函数及其性质2. 2. 2对数函数及其性质（1）【使用说明】:1.课前认真研读课本，完成自主研读学习单设计的问题..2.课堂内限时完成合作探究学习单，书写规范.3.找出疑问和不能独立解决的问题，通过合作探究，教师指导等方式解决.4.课后认真完成反馈巩固学习单. 【学习目标】1. 理解对数函数概念2. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.※自主研读学习单※新知探究一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ；函数的定义域是（0，+∞）.同一坐标系中画出下列对数函数的图象.2log y x =；0.5log y x =.例1求下列函数的定义域：（1）2log a y x =；（2）log (3)a y x =-；（3）0.2log (6)y x =--；（4）y练习：求函数y =的定义域.例2比较大小：（1）ln3.4,ln8.5；（2）0.30.3log 2.8,log 2.7；（3）log 5.1,log 5.9a a .(4)log 76, log 67(5)log 23 ,33log例3利用对数函数单调性求值域（1）2log y x = x ∈[2,8] ，变式：x ∈(0,4)时值域（2）0.5log y x = x ∈[2,8]，变式：x ∈(0,4)时值域（3）f (x )＝log 2(3x ＋1)※巩固提升学习单※1. 当a>1时，在同一坐标系中，函数xy a -=与log a y x =的图象是（）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（）.A. (2,)+∞B. (,2)-∞C. [)2,+∞D. [)3,+∞ 3. 不等式的41log 2x >解集是（）.A. (2,)+∞B. (0,2)C. 1(,)2+∞D. 1(0,)24．若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(23，＋∞)C ．(23，1)D ．(0，23)∪(1，＋∞)5．已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是( )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 16．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．[12，1]B ．[4,16]C ．[116，14] D ．[2,4]7. 比较大小：（1）log log (01)a a e a a π>≠和且；（2）2221log log (1)()2a a a R ++∈和.8．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.9．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点__________10．给出函数则f (log 23)＝________.11. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域_____________ .12 求下列函数的定义域：（1）y =（2）y=2log 2-x x.13.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,0]，求函数y=f(x3log )的定义域。
广东省深圳市深圳技术大学附属中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题
广东省深圳市深圳技术大学附属中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45- 2．“1a >且1b >”是“log 0a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0.3281log ,log 27, 1.15a b c -=-==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．b a c << D ．c b a <<4．函数21()x f x x-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知3tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+=-（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．若关于x 的不等式220ax ax ++>的解集是R ，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,8 B ．[)0,8C ．()(),08,-∞⋃+∞D ．(](),08,∞∞-⋃+7．已知函数()(),023,0x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦成立，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()0,1D ．()2,+∞8．已知函数()1f x x =+，若()()122f m f m -+>，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,+∞ C ．(),1∞-- D ．(),1-∞二、多选题9．若函数(0x y a b a =->且1)a ≠的图象过第一､三､四象限，则参数,a b 需满足（ ） A ．01a <<B ．1a >C ．01b <<D ．1b >10．下列说法正确的是（ ）A ．如果α是第一象限的角，则α-是第四象限的角B ．43︒角与317-︒角终边重合C ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为2π3D ．若α是第二象限角，则点(sin ,cos )P αα在第四象限11．若,,a b c ∈R ，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若a b >，则22a b >C ．若()20a b c ->，则a b >D ．若11b a>，则a b > 12．已知函数21()21x x f x -=+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 的值域为()1,1-C ．函数()f x 的图象关于y 轴对称D ．函数()f x 在R 上为减函数三、填空题13．已知sin α=3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=. 14．已知lg 2,lg3a b ==，则6log 15=（结果用a ，b 表示）.15．已知函数()22,1,2,1,x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩若函数()y f x m =-仅有一个零点，则实数m 的值是．16．已知函数()22()log f x x ax a =--在区间(,1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是.四、解答题17．已知集合1{|()3x A x =>，集合22{|(1)(0)}B x x a a =->≥． (1)当2a =时，求A B U ;(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围．18．已知幂函数()213m f x m x -=⋅在()0,∞+上单调递增．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x a =-在()1,2上有零点，求a 的取值范围．19．已知0x >，0y >，且21x y +=.(1)求xy 的最大值；(2)若2122m m x y+≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 20．已知函数()21x f x ax b+=+是定义域上的奇函数，且()12f -=-． (1)判断并证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性；(2)令函数()()g x f x m =-，若()g x 在()0,∞+上有两个零点，求实数m 的取值范围．21．已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象过点()3,8．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()()()225g f x x f x =-+在[]1,2x ∈-上的值域22．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2 ()log ()f x a x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意的[1,1]x ∈-，都有不等式()()22 220f x mx m f x mx -++-+<恒成立，求实数m 的取值范围.。
高一数学对数与对数运算1
(2)若 a＝0，则
N≠0时，logaN不存在 . N ＝ 0 时，则 log N 有无数个值，不能确定 a
因此，规定 a≠0.
(3)若 a＝1，
N≠1时，则logaN不存在 . N＝1时，则logaN有无数个值，不能确定
－2<x<1. 2 ⇒ 3 x≠0
2 1 所以 x 的取值范围是{x|－3<x<2且 x≠0}．
； https:/// 电子杂志制作 ； 2019年01月23日12:54:21 ；
消息渠道,需要明白呐个世界の格局.在黄银卫士之上,又都有哪一些层次の强者.善王级别の肉身修行者,在呐个奇点炼狱内是否存在,如果有の话,数量又有多少.在呐个矿场上,鞠言是不太可能得到呐些信息の.呐个矿场,层次太低了.队长琛琛の看了鞠言一眼,随后开口道：“好,明日俺就 安排你参加青铜卫士の测试.不过俺丑话说在前头,若是测试失败,你可是要受到严厉惩罚の.虽然不会被直接杀死,但难免要脱一层皮.”“明白.”鞠言点头.“括庵,你给他安排一下住处吧！”队长对白银卫士括庵摆摆手.“是！”括庵应声.括庵带鞠言离开队长の房间后,又带鞠言去领取 了一身历士服.除服饰外,鞠言还领到了一柄黑色の鹤嘴锄,鹤嘴锄颇为沉叠,要挥舞起来挖矿确实需要不小の历气.没错,呐鹤嘴锄,就是用来挖取髓石の,每一个历士の标配.历士の住处,要比降生者住处稍微好一些,虽然仍是多人一个房间,但看起来起码能遮风避雨.“鞠言,你就住在呐个房 间.明天上午,俺会过来带你去参加青铜卫士の测试.你,最好准备吧.”括庵对鞠言说完呐句话,便转身离开.鞠言看了看身前の低矮房舍,迈步走了进去.房间内,此事没有其他人.住
七年级数学上册32代数式值新版华东师大版
母取值的变化而变化，字母取不同的值，代数式的值可
能不同，也可能相同，所以要注意书写格式．
1.当
x
1,y 3
1 时,求代数式 x2
4
y2的值.答案:
7 144
2.当 a 6, b 4,c 2时,求下列代数式的值：
(1)(a b)2 c；
a b (2) (a c)2
答案:(1)6
(2)
1 32
2.（怀化·中考）若x=1，y
1 2
，则
x2
4xy 4 y2
的值是（ ）．
A．2
B．4
3
C．
D．1
2
2
【解析】选B. x2 4xy=14+y24×1× +4×（1 ）2
2
1 2Βιβλιοθήκη =1+2+1=4a-b=2，则6+8a-4b= . 【解析】6+8a-4b=6+4(2a-b)=14.
图2输出 -36 -30 -24观察下列两个代数式的值的变化情况：
n 12 3 4 5 6 7 8 5n+6 11 16 21 26 31 36 41 46
n2 1 4 9 16 25 36 49 64 （1）随着n的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？ （2）估计一下，哪个代数式的值先超过100?
当s＝120，a＝15，b＝12时，
原式 120 120 15 =1,b=2时，代数式a2-ab的
值是
．
【解析】当a=1,b=2时， a2-ab =1×1－1×2=取的值，即“当……时”. 2.写明所要求值的代数式. 3.将字母所取的值代入该代数式中的相同字母中， 数式的值是由其所含的字母的取值所确定的制了一个程序，当输入任意一个 有理数时，显示屏上的结果总是为输入的有理数的平方 与1的差的2倍，若输入-1，并将显示的结果再次输入， 则这时显示的结果是（ ）． A．0 B．-1 C．-2 D．-4
如何比较两个不同底数的对数函数式的大小
比较对数函数式的大小问题常以选择题或填空题的形式出现，侧重于考查同学们对对数函数的单调性、图象以及运算性质等知识的掌握情况.比较对数函数式的常用思路是利用对数函数的单调性.而对于不同底数的两个对数函数式，往往需通过作差、取中间值、指对数互化来比较其大小.一、取中间值中间值法是通过取一个中间数来比较两个对数函数大小的方法.当无法直接比较出两个对数函数的大小时，可先确定两个函数式的取值范围；然后引入一个合适的中间量，将这两个对数函数式分别与中间量相比较；再根据不等式的传递性得出结论.例1.已知a=log67，b=log43，c=log85，判断a,b,c的大小关系.解：因为log67>log66，log43<log44=1,log85<log88=1,所以a>b，且a>c.又因为log43=log22(3)2=log23，log85=log23(53)3=log253，由对数函数的单调性可知，log23>log253，即log43>log85，故a>b>c.观察三个对数式，可发现这三个对数函数的底数和真数各不相同，我们无法直接根据函数的图象和单调性得出结论.于是用取中间值的方法来比较三个函数式的大小，即先以1为中间值，比较a与b、a与c之间的大小；然后根据对数函数的单调性来比较b与c的大小.二、利用指数函数的性质比较不同底数的两个对数函数式时，可以通过指对数互化，将对数函数化为指数函数，利用指数函数的性质进行比较.例2.比较log1365与log1576的大小.解：设m=log1365，n=log1576，则æèöø13m=65，æèöø15n=76，因为65>76，所以æèöø13m>æèöø15n，则3m<5n.由于3m和5n都大于零，所以lg3m<lg5n，即m lg3<n lg5,则m<n·lg5lg3<n.故log1365<log1576.我们知道，对数函数与指数函数互为反函数，它们之间是可以相互转化的，于是令m=log1365和n=log1576，将函数式化为指数式æèöø13m=65和æèöø15n=76，利用指数函数的单调性比较出两式的大小，即可比较出两个对数函数式的大小.三、作差当要比较的两个对数函数式的真数相同，但底数不同时，可以通过作差来进行比较.先利用换底公式，将这两个对数函数换成相同底数的函数式；然后将两式相减，并根据对数函数的运算性质对其进行化简，最后将所得的结果与0比较，即可得出结论.例3.比较log56和log35的大小.解：因为log35=lg5lg3，log56=lg6lg5，所以log56-log35=lg6lg3-(lg5)2lg5lg3.又因为lg6lg3<æèçöø÷lg6+lg322=æèöø12lg182，æèöø12lg182<æèöø12lg252=(lg5)2.所以lg6lg3<(lg5)2，即lg6lg3-(lg5)2<0.因为lg5lg3>0，则log56-log35<0，即log56<log35.解答这道题，主要采用了作差法.首先要根据换底公式log a N=log c Nlog c a，将两个对数函数式化成底数为10的函数式；然后将两式相减，并根据对数函数的运算性质log a MN=log a M+log a N进行计算；最后通过放缩，比较出两式之差与0的关系，便能判断出两个函数式的大小关系.无论是运用中间值法、作差法，还是利用指数函数的性质比较不同底数的两个对数函数的大小，都需灵活运用对数函数的单调性、运算性质.这就要求同学们熟练掌握对数函数的单调性、运算性质，以顺利解题.（作者单位：江苏省大丰区南阳中学）思路探寻51Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
对数及其运算
对数及其运算第3讲：对数及其运算【复习要求】1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化；2、初步学会换底公式的基本运用；3、掌握积、商、幂的对数性质。
会用计算器求对数。
【知识要点】1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。
2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =?=；3、对数恒等式：N aNa =log （0,01N a a >>≠且）。
4、换底公式及衍生性质：()1 log log log m a m NN a= (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)()2ab b a log 1log =，()3c c b a b a log log log =?， ()4b n m b a ma nl o g l o g = 5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+； l o g l o g l o g aa a MM N N=-；log log n a a M n M =； 1log log n a a M M n= 【基础训练】1、如果2(0,1)a b b b =>≠，则有（ D ）（A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521log 3log 3m =+，则有（ B ）（A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 112m -（用m 表示） 4、计算：（1）2lg 4lg 92lg 6lg 361++-+= 2（2）223412223log (8log 16)log log +-= 605、若2log 1a <，则正数a 的取值范围是 02a <<【典型例题】类型1、对数与指数的互换例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=；（2）327a =；（3）1100.1-=；（4）12log 325=-；（5）lg 0.0013=-；（6）ln100=4.606.例2、（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.类型2、对数的四则运算例3、若*01,0,a a x y n N ≠∈＞，＞＞，则下列各式：①(log )log n a a x n x =；②(log )log n n a a x x =；③1log log a a x x =-；④log log log a a a x x y y=；⑤1log log n a a x x n =；⑥log log n a a xx n =；⑦log log nn a a x x =；⑧log log a a x y x y x y x y-+=-+-；其中成立的有_____________；答案：③⑥⑦⑧例4、化简与求值：（1）log log a b b ca；（2）2log (4747)+--；（3）222lg 5lg8lg 5lg 20(lg 2)3++?+ （4）lg 2lg 3lg 10lg1.8+-；答案（1）c ；（2）12；（3）3；（4）12【补充练习】计算（1）2log (642642)+--=32（2）33lg 2lg 53lg2lg5++= 1 例5、若[][]345435log log (log )log log (log )0a b ==，则ab=__________；答案：435;55a a b b==?= 例6、已知函数()f x 满足“当4x ≥时，1()2xf x ??=，当4x ＜时，()(1)f x f x =+”，则2(2log 3)f +=_________；答案：124例7、（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .例8、已知lg lg 2lg(2)a b a b +=-，求4log ab的值；答案：先求出：a b =（舍）或4a b =，从而4log 1ab=类型3、对数的恒等式与换底公式的应用例9、若83log 3,log 5p q ==，则lg 5=________；答案：3333log 5113log 8log 2lg 53log 1013pqp p pq==?==+；例10、已知18log 9a =，185b=，试将36log 45用,a b 表示；【解】方法一、利用指数对数互换转化为指数式：189;1854518a b a b+==?=令36log 45x =从而181836451836()1833xa bx x a b ++?==?=?=亦即218189x a b x +=?(18)1818a x a b ax a b +++=?=22a b x ax a b x a+?=++?=-；方法二、换成对数式，然后利用换底公式，换成18为底的对数计算问题；方法三、化成10为底的形式；方法二略简单例11、若78log 2,log 14k =求的值。
无锡市广勤中学八年级数学下册第一单元《二次根式》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．x 的取值范围为( )A ．x 2≥B ．x 2≠C ．x 2>D ．x 2<2．已知x+y ＝﹣5，xy ＝4，则 ） A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣23．的结果估计在（ ） A ．10到11之间 B ．9到10之间C ．8到9之间D ．7到8之间 4．当x在实数范围内有意义（ ） A ．1x > B ．1≥x C ．1x < D ．1x ≤5．如x 为实数，在“1)□x ”的“□”中添上一种运算符号（在“＋”、“－”、“×”、“÷”中选择），其运算结果是有理数，则x 不可能是（ ）A 1B 1C ．D ．1-6．已知0<x<3，化简=的结果是（ ）A ．3x-4B ．x-4C ．3x+6D ．-x+67．（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．1=-，则a 与b 的大小关系是（ ）． A ．a b ≤B ．a b <C ．a b ≥D ．a>b 9．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D10．当2a < ）A ．B ．-C ．D ．-11．下列命题是假命题的是（ ）A ．全等三角形的周长相等B ．C ．若实数a 0<，b 0<，则ab 0>D ．如果x y 0+=0=12．下列运算正确的是（ ）A B ．6 C 12 D 6 二、填空题13．若式子11x -有意义，则x 的取值范围是______________．14．计算：2=___________．15．已知b>0=_____．16．＝_____17．2=_____=______．18．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a+b ＝___．19．比较大小：“＞”、“＜”或“＝”）．20．已知2160x x-=，则x 的值为________． 三、解答题21．0111()2π--+． 22．计算：（1（2）2|1(2)+--23．先化简，再求值：（1＋12x +）÷293x x --，其中x 2．24．|+．25．计算：（1（2（3）201|5|1)3-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭（4）2-．26．化简计算（1）；（2）；（32．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】-≥，据此可以求得x的取值范围．因为二次根式的被开方数是非负数，所以x20【详解】-≥，则x20≥．解得：x2故选：A【点睛】≥）叫二次根式．性质：二次根式中的被开（a0方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．B解析：B【分析】先把二次根式进行化简，然后把xy＝4，代入计算，即可求出答案．【详解】解：∵x+y＝﹣5＜0，xy＝4＞0，∴x＜0，y＜0，∴原式＝-＝x y＝﹣∵xy＝4，∴原式＝﹣＝﹣2×2＝﹣4；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．3．D解析：D【分析】先根据二次根式的乘法计算得到原式为4的范围，即可得出答案．【详解】===解：原式4∵<<，34∴<<，748故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．4．A解析：A【分析】根据分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性解答．【详解】由题意得：x-1>0，解得x>1，故选：A．【点睛】此题考查未知数的取值范围的确定，掌握分式的分母不等于0的条件及二次根式非负性是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可．【详解】-=，故选项A不符合题意；解：A、1)1)0⨯=，故选项B不符合题意；B、1)1)2C1与C符合题意；+-=，故选项D不符合题意．D、1)(10故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】先根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可．【详解】解：∵0<x<3∴2x+1＞0，x-5＜0∴=2x+1+x-5=3x-4．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据0<x<3判定2x+1和x-5的正负是解答本题的关键．7．B解析：B【分析】根据最简二次根式的定义进行求解即可．【详解】=2==2个，故选：B ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．8．B解析：B【分析】根据二次根式非负性质，得a b ≤；再根据分式的定义，得0a b -≠；即可得到答案．【详解】∵1=-∴()=--a b∵0a b-≤∴0∴a b≤=-又∵1a b-≠∴0∴a b<故选：B．【点睛】本题考查了二次根式、分式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、分式的性质，从而完成求解．9．B解析：B【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】A=BC=，不是最简二次根式，该选项不符合题意；2=，不是最简二次根式，该选项不符合题意；D3故选：B．【点睛】本题考查了最简二次根式．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．10．B解析：B【分析】根据二次根式的性质即可化简．【详解】a<解：∵2-<∴a20∴-故选：B．【点睛】此题主要考查二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．11．D解析：D【分析】根据全等三角形的性质、同类二次根式的定义、实数的乘法法则、二次根式被开方数的非负性进行判断即可．【详解】解：A 、全等三角形的对应边相等，所以周长也相等，此选项正确，不符合题意；B =，C 、若实数a 0<，b 0<，则ab 0>，此选项正确，不符合题意；D 、令x=1，y=﹣1，满足x+y=0无意义，此选项错误，符号题意，故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断，熟练掌握全等三角形的性质、、同类二次根式的定义、实数的乘法法则、二次根式被开方数的非负性是解答的关键．12．D解析：D【分析】根据各个选项中的式子进行计算得出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】解：B. 3=，故本选项错误；6===，故本选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法． 二、填空题13．且【分析】根据分式有意义可得根据二次根式有意义的条件可得再解即可【详解】由题意得：且解得：且故答案为：且【点睛】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 解析：0x ≥且1x ≠【分析】根据分式有意义可得10x -≠，根据二次根式有意义的条件可得0x ≥，再解即可．【详解】由题意得：10x -≠，且0x ≥，解得：0x ≥且1x ≠，故答案为：0x ≥且1x ≠．【点睛】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．14．2【分析】根据二次根式的性质化简即可【详解】2故答案为：2【点睛】此题考查二次根式的性质掌握二次根式的性质：是解答此题的关键解析：2【分析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】2=2，故答案为：2【点睛】此题考查二次根式的性质.掌握二次根式的性质：2a a ==，是解答此题的关键. 15．【分析】先由二次根式的被开方数为非负数得出≥0结合已知条件b ＞0根据有理数乘法法则得出a≤0再利用积的算术平方根的性质进行化简即可【详解】解：∵≥0b ＞0∴a≤0故答案为：【点睛】本题主要考查了二次解析：-【分析】先由二次根式的被开方数为非负数得出32a b -≥0，结合已知条件b ＞0，根据有理数乘法法则得出a≤0，再利用积的算术平方根的性质进行化简即可．【详解】解：∵32a b -≥0，b ＞0，∴a≤0，a =⋅=-故答案为：-【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，难度适中，得出a≤0是解题的关键．16．【分析】先将化为再合并同类二次根式即可【详解】解：=故答案为【点睛】此题考查了二次根式的加减法把化为是解答此题的关键解析：【分析】化为【详解】==．故答案为【点睛】化为17．-5【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可；（2）首先化简二次根式进而合并求出即可；【详解】故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的运算正确掌握二次根式的性质是解题关键解析：-5【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可；（2）首先化简二次根式，进而合并求出即可；【详解】210155=-=-故答案为：-【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，正确掌握二次根式的性质是解题关键．18．2【分析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式列方程即可解答【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式∴解得：则a+b ＝2故答案为：2【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二解析：2【分析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程，即可解答．【详解】解：∵最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，∴31224b a b a -=⎧⎨+=-⎩， 解得：11a b =⎧⎨=⎩， 则a+b ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式．19．＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内再比较大小即可【详解】∵==＜∴＜故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键解析：＜【分析】先把根号的外的因式移入根号内，再比较大小即可．【详解】 ∵， ∴故答案为：＜【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．20．4或2【分析】先求出x 的取值范围然后分或求解即可；【详解】解：由题意得x≠0且x-2≥0∴x≥2且x≠0∵∴或当时则x2-16=0解得x=4或x=-4（舍去）；当时则x-2=0解得x=2；∴x 的值是解析：4或2【分析】先求出x 的取值范围，然后分2160x x-=0=求解即可； 【详解】解：由题意得x≠0，且x-2≥0，∴x≥2，且x≠0，∵2160x x-=， ∴2160x x-=0=， 当2160x x-=时， 则x 2-16=0，解得x=4，或x=-4（舍去）；0=时，则x-2=0，解得x=2；∴x 的值是4或2，故答案为：4或2．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式的值为零的条件，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．三、解答题21．【分析】根据二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质计算，即可得到答案．【详解】0111()2π--+=112-+= 【点睛】 本题考查了二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质，然后根据实数的运算法则计算，即可完成求解．22．（1）13；（2）3 【分析】（1）直接利用算术平方根的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简在计算得出答案．（2）直接利用绝对值的性质、平方的的性质计算得出答案．【详解】解：（1=1-2+4=1-23+ 1=3（2）2|1(2)+--14+=3【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．12x +，3【分析】 首先计算括号里面的加法，再算括号外的除法，化简后，再代入x 的值可得答案．【详解】 解：原式＝（22x x ++＋12x +）•3(3)(3)x x x -+-， ＝32x x ++•3(3)(3)x x x -+-， ＝12x +，当x 2＝3． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握计算顺序和计算法则，正确进行化简．24【分析】先计算立方根、平方根再去绝对值，合并同类二次根式与同类项进而得出答案．【详解】解：原式=33-+=33-++=【点睛】本考查了二次根式的混合运算，熟练掌握实数的运算法则与同类二次根式合并法则是解题的关键．25．（1）-；（2）43）16；（4）-．【分析】（1）先化简二次根式，再进行二次根式的加减运算即可．（2）先化简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，最后进行二次根式的加减运算即可． （3）先利用绝对值，零指数幂，负整数指数幂、立方根计算出各项，再进行加减运算即可．（4）先利用完全平方式和平方差公式展开，再化简二次根式，最后进行二次根式加减乘除混合运算即可．【详解】（124333=⨯⨯⨯==-（22=4=4=+（3）201|5|1)3-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭5193=-++16=（4）2-22222=--+612202=--+4=-⨯=-【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握去绝对值，零指数幂、负整数指数幂和求立方根的计算，二次根式的混合运算是解答本题的关键．26．（1；（22；（3）1- 【分析】（1）先化简二次根式、去括号，再计算二次根式的加减法即可得；（2）根据二次根式的除法法则即可得；（3）先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算二次根式的加减法即可得．【详解】（1）原式3=，3=；（2）原式=，2=；（3）原式(232=-+-，232=-+-+1=-．【点睛】本题考查了二次根式的加减法与除法运算等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．。
七年级数学上册 1.5 有理数的乘除 1.5.3 乘、除混合运算同步练习 (新版)沪科版
1.5.3 乘、除混合运算知识点 1 有理数的加、减、乘、除混合运算1．下列计算结果不正确的是( )A ．12×(－3)÷(－4)＝9B ．(－6)÷2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝6 C ．(－5)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－15×5＝125 D ．(－2)÷(－10)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－313＝－23 2．xx ·霍邱校级模拟计算－5－(－2)×3的结果等于( )A ．－11B ．－1C ．1D ．113．已知[(－3)－△]÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－613＝0，那么△表示的数是( ) A ．－3 B ．3 C ．0 D ．－6134．计算12－7×(－4)＋8÷(－2)的结果是( )A ．－24B ．－20C ．6D ．36知识点 2 乘法运算律5．(－0.125)×20×(－8)×(－0.8)＝[(－0.125)×(－8)]×[20×(－0.8)]，运算中没有运用的乘法运算律为( )A ．交换律B ．结合律C ．分配律D ．交换律和结合律6．在计算(512－79＋23)×(－36)时，可以避免通分的运算律是( ) A ．加法交换律 B ．分配律C ．乘法交换律D ．加法结合律7．下列变形不正确的是( )A ．5×(－6)＝(－6)×5B ．(14－12)×(－12)＝(－12)×(14－12)C ．(16＋13)×(－4)＝(－4)×16＋13×4D ．(－25)×(－16)×(－4)＝[(－25)×(－4)]×(－16)8．在每个等式后面的横线上写出它所运用的运算律：(1)3×(－2)×(－5)＝3×[(－2)×(－5)]________；(2)48×(524－216)＝48×524－48×136________．9．计算(－36)÷711÷(－12)×711的结果是________．10．计算：(1)(－5)×19×(－2)；(2)(－36)×(－16＋34－112)；(3)3×105－(－5)×105＋(－4)×105.11．xx ·南京计算12＋(－18)÷(－6)－(－3)×2的结果是() A ．7 B ．8 C ．21 D ．3612．如图1－5－5是一个简单的数值运算程序，当输入的x 的值为－1时，则输出的值为( ) 输入x →×（－2）→－3→输出图1－5－5A ．1B ．－5C ．－1D ．513．现有四个数3，4，－6，10，将这四个数(每个数仅用一次)进行加减乘除四则运算，其结果等于24.试写出三种不同的算式：(1)____________________；(2)____________________；(3)____________________．14．xx ·泗县期中定义新运算：对于任意有理数a ，b ，都有a ⊕b ＝a (a －b )＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.则3⊕(－2)的值是________．15．计算：(1)(－6.5)×(－2)÷13÷(－5)；(2)xx ·合肥四十二中期中(－2)×(－247)＋(－8)×247－5×(－247)＋247；(3)教材例5(1)变式(56－37＋13－914)÷(－142)；(4)[xx ·亳州九中月考] 9989×(－13)．16．一只小虫沿一根东西方向放置的木杆爬行，先以每分钟114米的速度向西爬行了4分钟，后来又以同样的速度转身向东爬行了6分钟，求这时它与出发点的距离．17．如果规定符号“*”的意义是a*b ＝ab a ＋b－2a ＋b ，求[2*(－3)]*(－1)的值．18．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23×43×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×54×…×(20142015×20162015)×(20152016×20172016)×(20162017×20182017)．19．请你先认真阅读材料：计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－130÷⎝ ⎛⎭⎪⎫23－110＋16－25. 解：原式的倒数是⎝ ⎛⎭⎪⎫23－110＋16－25÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－130 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－110＋16－25×(－30) ＝23×(－30)－110×(－30)＋16×(－30)－25×(－30) ＝－20＋3－5＋12＝－10.故原式＝－110. 再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－142÷⎝ ⎛⎭⎪⎫16－314＋23－27.1．5.3 乘、除混合运算1．B2．C3．A .4．D .5．C6．B [．7．C8．(1)乘法结合律 (2)分配律9．310．解：(1)(－5)×(－2)×19＝190.(2)原式＝(－36)×(－16)＋(－36)×34＋(－36)×(－112)＝6＋(－27)＋3＝－18. (3)原式＝105×(3＋5－4)＝420.11．C [解析] 原式＝12＋3＋6＝21.12．C13．答案不唯一，如：(1)4－(－6)÷3×10(2)(10－4)－3×(－6)(3)3×[4＋10＋(－6)]14．16 .15．解：(1)原式＝－395. (2)原式＝247×(2－8＋5＋1)＝247×0＝0.(3)原式＝(56－37＋13－914)×(－42)＝56×(－42)－37×(－42)＋13×(－42)－914×(－42)＝－35＋18－14＋27＝－4.(4)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫100－19×(－13) ＝100×(－13)－19×(－13) ＝－1300＋139＝－129859. 16．解：设小虫向西爬行即为正，则114×4－6×114＝114×(4－6)＝－112(米).⎪⎪⎪⎪⎪⎪－112＝112(米)． 答：它与出发点的距离为112米． 17．解：2*(－3)＝2×(－3)÷[2＋(－3)]－2×2＋(－3)＝－1，(－1)*(－1)＝(－1)×(－1)÷[(－1)＋(－1)]－2×(－1)＋(－1)＝12. 18．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23×43×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×54×…×⎝ ⎛⎭⎪⎫20142015×20162015×(20152016×20172016)×⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017×20182017 ＝12×32×23×43×34×54×…×20152014×20142015×20162015×20152016×20172016×20162017×20182017＝12×20182017＝10092017. 19．解：原式的倒数是⎝ ⎛⎭⎪⎫16－314＋23－27÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－142 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16－314＋23－27×(－42)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫16×42－314×42＋23×42－27×42 ＝－(7－9＋28－12)＝－14.故原式＝－114.。
对数公式的运算
对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③loga1=0，logaa=1，alogaN=N(对数恒等式)，logaab=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称ab=N指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数) (真数) (对数)3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN．(2)loga（M/N）=logaM-logaN．(3)logaMn=nlogaM (n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②logaan=?(n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子ab=N，logaN=b 名称：a—幂的底数 b—N—a—对数的底数 b— N—运算性质：am·an=am+nam÷an= am-n(a>0且a≠1，n∈R) logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：1 a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1． (1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将下列对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：ab=N，logaN=b．解答(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据下列条件分别求x的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=3×；(4)logx(2+)= -1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1． x=?(3)3×3log32=? ． 27=x?(4) 2+=x-1=1/x． x=?解答(1)x===2-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)logx27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4)+=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：loga1=0，logaa=1，alogaM=M，logaan=n．3．已知logax=4，logay=5，求A=〔x5/12·y -1/3〕的值．解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答：解法一∵logax=4，logay=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a -5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)logax-(1/3)logay=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4 ．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t≠-1)．(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)设S=t2/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．∴Δ=S2+4S≥0，得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．5 ．求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；(4)求7lg20·(1/2)lg0.7的值．解析：(1)25=52，50=5×10。
对数公式总结
对数公式总结1对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数;②a>0且a≠1,N>0;③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?②logaan=? (n∈R)③对数式与指数式的比较.(学生填表)式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质am•an=am+nam÷an=(am)n=(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN=logaMn=(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?理由如下：①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数解题方法技巧1(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7；③log327=x；④lg0.01=-2；⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=N logaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?(2)log5x=20=1. x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x. x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1，x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6，∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3已知logax=4,logay=5，求A=〔x•3x-1y2〕12的值.解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53•a-53=a0=1. 解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x512y-13)=512logax-13logay=512×4-13×5=0,∴A=1.解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4设x,y均为正数，且x•y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0,y>0,x•y1+lgx=1,两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.解题规律对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).5求值：(1)lg25+lg2•lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3329+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;(4)求7lg20•12lg0.7的值.解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.(2)转化为log32的关系式.(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?(4)7lg20•12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20•12lg0.7能否先求出lgx，再求x? 解答(1)原式=lg52+lg2•lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2•(1+lg5)+(lg2)2=lg5•(2+lg2)+lg2+(lg2)2=lg102•(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（舍去）.∴ab=4,∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.(4)设x=7lg20•12l g0.7,则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12=(1+lg2)•lg7+(lg7-1)•(-lg2)=lg7+lg2=14,∴x=14, 故原式=14.解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；(2)logab•logbc=logac；(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；(4)loganbm=mnlogab.解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数. 解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b•logca=logcN,∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logaclogab.所以logab•logbc=logab•logaclogab=logac.(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.解题规律(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用.对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.7已知log67=a,3b=4,求log127.解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b 表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a,log34=b,∴log127=log67log612=a1+log62.又log62=log32log36=log321+log32,由log34=b,得2log32=b.∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧8已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求满足2x=py的p值；(2)求与p最接近的整数值；(3)求证：12y=1z-1x.解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?解答（1）解法一3x=4y log33x=log34y x=ylog342x=2ylo g34=ylog316,∴p=log316.解法二设3x=4y=m,取对数得：x•lg3=lgm，ylg4=lgm,∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4 .由2y=py, 得2lgmlg3=plgmlg4,∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.(2)∵2=log39<log316<log327=3,∴2<p<3.又3-p=log327-log316=log32716,p-2=log316-log39=log3169,而2716<169,∴log32716<log3169,∴p-2>3-p.∴与p最接近的整数是3.解题思想①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，∴k>1，则x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12•lg4lgm=lg2lgm，故12y=1z-1x.解法二3x=4y=6z=m，则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.∴1z-1x=12y.9已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1). 解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?解答logma+b3=logm(a+b3)212=解题技巧①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab 是技巧之一.②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.∵a2+b2=7ab,∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12( logma+logmb),即logma+b3=12(logma+logmb).思维拓展发散1数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N 的常用对数，就能揭示其中的奥秘.解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，∴lga∈〔0,1).我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga 叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.师生互动什么叫做科学记数法？N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？2若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.解析①lg0.203 4=1308 3,即lg0.2034=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).又lg1x=-lgx=-(n+lga),∴(n-9)+(lga+0380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：n-9=-(n+1)lga+0.380 4=1-lga n=4,lga=0.308 3.∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.解题规律把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数，求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3计算：(1)log2-3(2+3)+log6(2+3+2-3);(2)2lg(lga100)2+lg(lga).解析(1)中.2+3与2-3有何关系?2+3+2-3双重根号，如何化简?(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?解题方法认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2 =-1+12log6(4+22+3•2-3)=-1+12log66=-12.(2)原式=2lg(100lga)2+lg(lga)=2〔lg100+lg(lga)〕2+lg(lga)=2〔2+lg(lga)〕2+lg(lga)=2.4已知log2x=log3y=log5z<0,比较x,3y,5z的大小.解析已知是对数等式，要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂，所以，对数等式应设法转化为指数式.解答设log2x=log3y=log5z=m<0.则x=2m,y=3m,z=5m.x=(2)m,3y=(33)m,5z=(55)m.下面只需比较2与33,55的大小：(2)6=23=8,(33)6=32=9，所以2<33.又(2)10=25=32,(55)10=52=25,∴2>55.∴55<2<33. 又m<0,图2-7-1考查指数函数y=(2)x,y=(33)x,y=(55)x 在第二象限的图像，如图2-7-1解题规律①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较①是y=(55)x,②是y=(2)x,③是y=(33)x.指数m<0时，图像在第二象限从下到上，底从大到小.所以(33)m<(2)m<(55)m,故3y<x<5z.潜能挑战测试1(1)将下列指数式化为对数式:①73=343;②14-2=16;③e-5=m.(2)将下列对数式化为指数式：①log128=-3;②lg10000=4;③ln3.5=p.2计算：(1)24+log23;(2)2723-log32;(3)2513log527+2l og52.3(1)已知lg2=0.301 0，lg3=0.477 1，求lg45;(2)若lg3.127=a，求lg0.031 27.4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()A若logx+1(x+1)=1 ,则x的取值范围是()A已知ab=M(a>0,b>0,M≠1),且logMb=x，则logMa的值为()A若log63=0.673 1，log6x=-0.326 9, 则x为()A若log5〔log3(log2x)〕=0，则x=.98log87•log76•log65=.10如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2•lg3=0的两根为x1、x2,那么x1•x2的值为.11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=1，2，3，4，5，6).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?12已知x，y，z∈R+且3x=4y=6z，比较3x，4y，6z的大小.13已知a,b均为不等于1的正数，且axby=aybx=1，求证x2=y2.14已知2a•5b=2c•5d=10，证明(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).15设集合M=｛x|lg〔ax2-2(a+1)x-1〕>0｝，若M≠，M｛x|x<0｝，求实数a的取值范围. 16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48) 18某厂为适应改革开放，完善管理机制，满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.名师助你成长1.(1)①log7343=3.②log1416=-2.③lnm=-5.(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方. 3.(1)0.826 6点拨：lg45=12lg45=12lg902=12(lg32+lg10-lg2). (2)lg0.03127=lg(3.127×10-2)=-2+lg3.127=-2+a4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.5.B点拨：底x+1>0且x+1≠1;真数x+1>0.6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.7.C点拨：注意0.673 1+0.3269=1,log61x=0.326 9，所以log63+log61x=log63x=1.∴3x=6, x=12.8.x=8点拨：由外向内.log3(log2x)=1, log2x=3, x=23.9.5点拨：log87•log76•log65=log85,8log85=5.10.16点拨：关于lgx的一元二次方程的两根是lgx1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3，得x1=12,x2=13. 11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，依题意:106•10100n-1=100,化简得:107-n=102,利用同底幂相等，得7-n=2, 或者两边取常用对数也得7-n=2.∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.12设3x=4y=6z=k,因为x，y，z∈R+，所以k>1.取以k为底的对数，得：x=1logk3,y=1logk4,z=1logk6.∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,同理得：4y=1logk44,6z=1logk66.而33=1281,44=1264,66=1236,∴logk33>logk44>logk66.又k>1,33>44>66>1,∴logk33>logk44>logk66>0,∴3x<4y<6z. 13.∵axby=aybx=1,∴lg(axby)=lg(aybx)=0, 即xlga+ylgb=ylga+xlgb=0.(※)两式相加,得x(lga+lgb)+y(lga+lgb)=0.即(lga+lgb)(x+y)=0.∴lga+lgb=0 或x+y=0.当lga+lgb=0时,代入xlga+ylgb=0,得:(x-y)lga=0, a是不为1的正数lga≠0,∴x-y=0. ∴x+y=0或x-y=0,∴x2=y2.14.∵2a5b=10,∴2a-1=51-b.两边取以2为底的对数,得：a-1=(1-b)log25.∴log25=a-11-b(b≠1). 同理得log25=c-11-d(d≠1).即b≠1,d≠1时,a-11-b=c-11-d.∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).当b=1,c=1时显然成立.15.设lg〔ax2-2(a+1)x-1〕=t (t>0),则ax2-2(a+1)x-1=10t(t>0).∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.①当a=0时,解集｛x|x<-1｝｛x|x<0｝;当a≠0时,M≠且M｛x|x<0｝.∴方程ax2-2(a+1)x-2=0 必有两不等实根，设为x1,x2且x1<x2，则②当a>0时,M=｛x|x<x1，或x>x2｝,显然不是｛x|x<0｝的子集；③当a<0时，M=｛x|x1<x<x2｝只要：a<0，Δ=4(a+1)2+8a>0，x1+x2=2(a+1)a<0，x1•x2=-2a>0.解得3-2<a<0，综上所求，a的取值范围是：3-2<a≤0.16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.17.设经过x年，成本降为原来的40%.则(1-10%)x=40%,两边取常用对数，得：x•lg(1-10%)=lg40% ，即x=lg0.4lg0.9=lg4-1lg9-1=2lg2-12lg3-1=10. 所以经过10年成本降低为原来的40%.18.f(x)=log1.104x〔或f(x)=lgxlg1.104〕.点拨：设原来一个季度产品为a，则a(1+10.4%)y=xa,∴y=log1.104x.。
对数的运算教学讲义
对數的运算教学讲义必备知识探新知基础知识知识点1对数的运算性质思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式lo^MNO)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，loga(MV0) = logaM + logoJV十logoO ,积的对数运算性质可以推广到真数是H个正数的乘积•知识点2换底公式若a>0,且aHl；b>0； c>0,且cHl,则有log fl Z?=_^^ .思考2： (1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？⑵你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logy理吗？提示：(l)log』二器，log# =驚.(2)1。
肿0 =鬻=讚畔器=却叫“基础自测1.若a>0, aHl, xX), v>0,刁，，下列式子中正确的个数是(A )①lognX logG = loga(x +y):②log^Y- 10环=los(x —y):_ x(3)10^=10^10^：④logn(A>0 = logo% lo环.A・0 B・1C・2 D・3［解析］由对数运算法则知,均不正确•故选A •A・1 B. 2C・5 D・6［解析］log6? + log63 = log6(2 X3) = log($6 = 1.3.(2020天津和平区高一期中测试)计算：log25 log32 log59= 2..〔解析】原式卷器器_lg5 lg2 21g3_一lg2 lg3 lg5 一厶4.求下列各式的值：(1)log3(27X92)； (2)lg5+lg2；(3)hi3 + lii|: (4)log35 - log315.［解析］(1)方法一:log3(27 X 92) = log327 十log392 = log333十logj34 = 31ogs3 + 41ogj3 = 3 + 4 = 7 ；方法二:log3(27 X 92) = log3(33 X 34) = logs37 = 71ogi3 = 7.(2)lg5 + lg2 = lg(5X2) = lglO=l.(3)1113 + lii| = ln(3 x|) = liil = 0.(4)log35 - log315 = log3看=logsj = log33 • i 二-1.关键能力攻重难题型探究题型一对数的运算性质的应用例 1 用logflX, logay, logaZ 表示:(l)log0(AJ'2)： (2)10gaQ心)：(3)logzf\£g懈析］(l)loga(xy2) = logoX + logqV2二log^x + 21o汝y.(2)loga(x&) = logoX + log"心二log^Y+［归纳提升］对对数式逬行计算.化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质・二要注意取值范围对符号的限制■【对点练习】❶用lo%r、1。
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32LG6.5-15x3系列高层建筑给水泵
32LG6.5-15x3系列高层建筑给水泵系立式单吸多级分段式离心泵，供输送常温清水及物理化学性质类似于清水液体。
32LG6.5-15x3系列泵为立式安装，电机轴与泵轴通过爪型联轴器联接，具有结构紧凑、噪声低、占地面积小的优点，主要应用于高层建筑供水，也可应用于厂矿、企业给水排水以及低压锅炉循环用水. 应用范围:：主要应用于高层建筑供水，也可应用于厂矿、企业给水排水以及低压锅炉循环用水结构说明:
32LG6.5-15x3型泵为立式结构，其吸入口位于泵座上，吐出口位于后段上，呈180°水平方向布置，根据需要，吸入口和吐出口也可以呈0°、90°、270°布置，可根据扬程的需要选择水泵的级数。
32LG6.5-15x3型泵的主要零件有：泵座、中段、后段、叶轮、导叶套、导叶、后导叶、支座、电机座、轴、轴承、轴套、密封环、平衡鼓、平衡鼓套等。
（25LG、32LG和40LG 三种泵没有平衡鼓和平衡鼓套，而设有水封环，装在填料腔的底部）。
泵座、中段、后段、叶轮、导叶套、导叶、后导叶、支座、电机座、轴套乙、密封环均为铸铁制成。
泵轴为优质合金结构钢制成，中间有叶轮、轴套乙、平衡鼓、用键和小圆螺母固定在轴上组成转子部件，轴的下端装有轴套甲与滑动轴套相配合，轴的上端装有两个角接触球轴承，借以支承转子部件，泵轴的最上端与电机轴的下端通过爪型联轴器联接。
密封装置采用软填料密封和机械密封。
在采用软填料密封时，与之相摩擦的轴套丙为优质碳素钢制成，并经淬火处理，以增加面磨性。
叶轮为铸铁制成，由于叶轮前后受压不等，必然存在轴向力，此轴向力绝大部分由平衡鼓来承担。
（25LG、32LG和40LG则由水封环组成平衡管路承担），其余小部分残余轴向力由轴上端的两个角接触球轴承来承受，由平衡鼓和平衡鼓套组成的平衡装置，磨损后可以更换。
在泵座、中段上分别装有密封环和口环、用以减少高压水漏回进水部分，密封环磨损后可更换。
泵上端的角接触球轴承用钙基黄油润滑，下端的滑动轴承（轴瓦）以泵输送的液体润滑，泵的旋转方向，从电机端看为逆时针方向转动。
32LG6.5-15x3型立式多级离心泵系立式单吸多级分段式离心泵，供输送常温清水及物理化学性质类似于清水的液体。
32LG6.5-15x3型泵为立式安装，电机轴与泵轴通过爪型联轴器联接，具有结构紧凑、噪音低、占地面积小的优点，主要应用于高层建筑供水，也可应用厂矿，企业给水排水以及低压锅炉循环用水。
工作条件
32LG6.5-15x3型立式多级离心泵系统最高工作压力为2.4Mpa，即泵的吸入压力+泵扬程≦2.4MP,泵的静压试验压力3.6Mpa。
订货时请注明系统工作压力，若泵系统工作压力超过2.4Mpa时，请在订货时予以说明，以便另行设计、制造。
立式多级离心泵可输送≦105℃的清水或理化性质类似清水的其它液体。
32LG6.5-15x3型立式多级离心泵主要用途
主要用于高层建筑生活、消防、采暖、空调系统给水、宾馆饭店、大型商场、写字楼等高层建筑，工矿企业市政工程给排水、消防、喷淋系统给水及锅炉给水、化工流程补给水等场合。
32LG6.5-15x3型立式多级离心泵产品特点
立式结构，安装调试方便，独特设计的电机和泵体采用联体机座，同心度，加工精度高，占地面积大大减少，缩减了建筑投资。
底脚稳固、结构紧凑，精美的铸造和外观处理赋予立式多级泵新的美感，使产品焕发艺术的魅力，可以和国外著名厂家多级泵媲美。
轴承采用国际著名品牌精密轴承，精度高，可靠性好，寿命长。
轴封采用填料或机械密封，后者为前者的改进型：采用不锈钢、钛化钨、氟橡胶等材料制成，耐高温，运行寿命长，无渗漏，对轴无磨损，保证工作环境整洁。