1袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求下列事
概率与数理统计习题及详解答案
概率与统计题目精选及答案1. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话.解：设A 1={第i 次拨号接通电话}，i =1，2，3. （1）第3次才接通电话可表示为321A A A 于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=A A A P（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1+32121A A A A A +于是所求概率为 P （A 1+32121A A A A A +）=P(A 1)+P(21A A )+P(321A A A )=.103819810991109101=⨯⨯+⨯+2. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=.27431)311)(311(=⨯--（2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD3. （理科）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12所以，157)6(31038===C C P ξ 157)9(3101228===C C C P ξ 151)12(3102218===C C C P ξ……9分 E ξ=6×539151121579157=⨯+⨯+（元）答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是539元 ……………………12分 4. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C ，则P （A ）=0.9 P （B ）=0.8，P （C ）=0.85 …………………………2分 （Ⅰ）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅=[1－P （A ）]·[1－P （B ）]·[1－P （C ）] =（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003………………6分 （Ⅱ）P （C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅） = P （)()()C B A p C B A P C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=[1－P （A ）]·P （B ）·P （C ）+P （A ）·[1－P （B ）]·P （C ）+P （A ）·P （B ）·[1－P （C ）]=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）=0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分5. 如图，A 、B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当x ≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P Θ)6(431012034141)6()4(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421分分=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P ΘΘΘ（II ）)8(203)5(,5221311,101)4(,4211分===++=++===++x P x P ΘΘ ∴线路通过信息量的数学期望 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （11分） 答：（I ）线路信息畅通的概率是43. （II ）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）6. 三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路.（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.解：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P （Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分）∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3 ∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴图2不发生故障事件为（A 1+A 3）·A 2，同理不发生故障概率为P 3=P 2>P 1（12分） 说明：漏掉图1或图2中之一扣1分7. 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们 的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率. 解：设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P （A ）=0.05, P(B)=0.1, （1）至少有一件废品的概率)7(145.090.095.01)()(1)2)((1)(分分=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P（2）至多有一件废品的概率)12(995.09.095.01.095.09.005.0)(分=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P P8. （理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2.（2分） 则P （A ）=P 1=0.6,P(B)=P 2:48.08.06.0)()()2(44.08.04.02.06.0)()()()()1(08.02.04.0)()()0()2()7(8.032.04.092.06.06.092.0)1)(1(1)(1)(2222212121的概率分布为分即则ξξξξ=⨯=⋅===⨯+⨯=+===⨯=⋅=====-+∴=-+=---=⋅-=+B P A P P B P A P B P A P P B P A P P P P P P P P P P P P B A P B A P)12(4.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222分或利用=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξE E D D E9. (理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ 表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：6分因此，公司每年收益的期望值为E ξ ＝x (1－p )＋(x －a )·p ＝x －ap ．8分为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需E ξ ＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ， 故可得x ＝(0.1＋p )a ．10分 即顾客交的保险金为 (0.1＋p )a 时，可使公司期望获益10%a ．12分10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2． （1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P ＝1－0.85－15C ×0.84×0.2≈0.263． 4分(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：P 1＝14C ×0.2×0.83×0.88分五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P 2＝14C ×0.2×0.83×0.210分由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P ＝P 1＋P 2＝14C ×0.2×0.83＝0.4096．12分11. 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛.比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.21（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？ 解：（I ）参加单打的队员有23A 种方法.参加双打的队员有12C 种方法.……………………………………………………2分所以，高三（1）班出场阵容共有121223=⋅C A （种）………………………5分（II ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，………………………………………………………………………7分 所以，连胜两盘的概率为.832121212121=⨯⨯+⨯………………………………10分 12. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ，则73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=76即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则P （C ）=1414845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件其概率为14131411=-………………12分 13. 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是31.（I ）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；（II ）求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差.解：（I ）27431)311)(311(=--=P …………………………………………4分 （II ）依题意ξ~),31,6(B ……………………………………………………7分2316=⋅=∴ξE ……………………………………………………………9分34)311(316=-⋅⋅=ξD ……………………………………………………12分14. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=.27431)311)(311(=⨯--（2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD1、 写出下列随机试验的样本空间。
高考数学一轮复习必备：第87课时：第十章排列组合和概率互斥事件有一个发生的概率
高考数学一轮复习必备：第87课时：第十章排列组合和概率互斥事件有一个发生的概率一．课题：互斥事件有一个发生的概率二．教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式运算一些事件的概率． 三．教学重点：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式． 四．教学过程： 〔一〕要紧知识：1．互斥事件的概念： ； 2．对立事件的概念： ； 3．假设,A B 为两个事件，那么A B +事件指 ．假设,A B 是互斥事件，那么()P A B += ． 〔二〕要紧方法：1．弄清互斥事件与对立事件的区不与联系； 2．把握对立事件与互斥事件的概率公式；〔三〕基础训练：1．某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级为次品，假设产品中显现乙级品的概率为0.03，显现丙级品的概率为0.01，那么在成品中任意抽取一件抽得正品的概率为〔 〕()A 0.04 ()B 0.96 ()C 0.97 ()D 0.992．以下讲法中正确的选项是 〔 〕()A 事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大 ()B 事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小 ()C 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件()D 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件3．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为 〔 〕()A 152 ()B 158 ()C 52 ()D 1574．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以107为概率的事件是〔 〕()A 都不是一等品()B 恰有一件一等品()C 至少有一件一等品()D 至多一件一等品5．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，显现二级品的概率为 〔 〕()A 35350C C ()B 123555350C C C C ++ ()C 1－345350C C ()D 1221545545350C C C C C + 〔四〕例题分析：例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求以下事件发生的概率：(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，那么(1)摸出2个或3个白球的概率：223153531121224488C C C C 336()()()C C 777P P A A P A P A =+=+=+=+= (2)至少摸出1个白球的概率P 2＝1－Ｐ〔B 4〕＝1－0＝1(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ〔A 4〕＝1－1413C C 4845=答：(1)摸出2个或3个白球的概率是67；(2)至少摸出1个白球的概率是1； (3)至少摸出1个黑球的概率是1314. 例2． 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求以下事件的概率：(1)取到的2只差不多上次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只； (3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只差不多上次品情形为22＝4种.因而所求概率为91364=.(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为 P =9436423624=⨯+⨯(3)由于〝取到的两只中至少有一只正品〞是事件〝取到的两只差不多上次品〞的对立事件.因而所求概率为P =1-9891=答：(1)取到的2只差不多上次品的概率为19；(2)取到的2只中正品、次品各一只的概率为49；(3)取到的2只中至少有一只正品的概率为89.例3．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.假如选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名?解：设男生有x 名，那么女生有36-x 名.选得2名委员差不多上男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员差不多上女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得 213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x ，解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名. 答：男女生相差6名.例4．在某地区有2000个家庭，每个家庭有4个小孩，假定男孩出生率是21.(1)求在一个家庭中至少有一个男孩的概率；(2)求在一个家庭中至少有一个男孩且至少有一个女孩的概率；解： (1)P(至少一个男孩)＝1-P(没有男孩)＝1-(21)4＝1615；(2)P(至少1个男孩且至少1个女孩)＝1-P(没有男孩)-P(没有女孩)＝1-161-161＝87；五．课后作业：1．假如事件A 、B 互斥，那么 〔 B 〕()A A +B 是必定事件 ()B A +B 是必定事件()C A 与B 一定互斥()D A 与B 一定不互斥2．甲袋装有m 个白球，n 个黑球,乙袋装有n 个白球,m 个黑球,(m n ≠),现从两袋中各摸一个球,A ：〝两球同色〞,B ：〝两球异色〞，那么()P A 与()P B 的大小关系为( )()A ()()P A P B < ()B ()()P A P B = ()C ()()P A P B > ()D 视,m n 的大小而定3．甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，那么甲袋中的白球没有减少的概率为 ( )()A 1437 ()B 4435 ()C 4425 ()D 4494．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为 ( )()A 152 ()B 158 ()C 52 ()D 1575．一批产品共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，那么所取5件中至多有1件次品的概率为〔 〕()A 114 ()B 97 ()C 21()D 92 6．从装有10个大小相同的小球〔4个红球、3个白球、3个黑球〕口袋中任取两个，那么取出两个同色球的概率是 〔 〕()A 415 ()B 51 ()C 31()D 527．在房间里有4个人，至少有两个人的生日在同一个月的概率是 〔 〕()A 41 ()B 21()C 4196 ()D 55968.战士甲射击一次，咨询： (1)假设事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?(2)假设事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?9.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分不求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.10.某单位36人的血型类不是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.11.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.12.在房间里有4个人，咨询至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?答案：9641。
2.1.3超几何分布(李景丽改)
2.1.3超几何分布（原编者：昌邑一中柳疃校区 孙新波修改者：昌邑一中 李景丽）课前准备：教学目标：了解超几何分布；并能进行超几何分布的简单应用．教学重点：了解超几何分布；并能进行超几何分布的简单应用． 教学过程一、知识链接：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形.3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ5.二点分布：如果随机变量X 的分布列为：二、问题导引：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 你能算一算吗？学习探究一、自主探究：从六名男生四名女生中随机抽取三名学生。
（1）共有几种不同的选法？（2）恰有一名女生的基本事件有几种？（3）这个试验是否为古典概型？ 二、知识点梳理：在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m则()m M m n N nMNC C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布. 三.思考讨论：1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n 四.典例探讨：例1.某校组织一次认识大自然夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生，4名女生。
概率论习题试题集
第一章随机事件与概率一、填空题1.已知随机事件 A 的概率P( A)0.5 ，事件 B 的概率P( B)0.6 ，条件概率P(B A)0.8 ，则P(A B)__________ ____ 。
2. 设 A，B为随机事件，已知P( A)，，B)，则P(AB)____________。
0.3 P(B)0.4 P( A3.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6 和，现目标被击中，则它是甲命中的概率为 ___________ 。
4.某射手在 3 次射击中起码命中一次的概率为0.875 ，则该射手在一次射击中命中的概率为___________ 。
5.设随机事件 A在每次试验中出现的概率为1,则在 3次独立试验中 A 起码发生一次的概率为3___________ .6.袋中有黑白两种球 , 已知从袋中任取一个球是黑球的概率为1, 现从袋中不放回地挨次取球, 则第 k 4次获得白球的概率为___________ 。
7.三台机器互相独立运行，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率挨次为，，，则这三台机器中起码有一台发生故障的概率是___________ 。
8.电路由元件 A 与两个并联的元件 B， C 串连而成，若 A， B，C 破坏与否互相独立，且它们破坏的概率挨次为，，0.1 ，则电路断路的概率是___________ 。
9. 甲乙两个投篮，命中率分别为，，每人投 3 次，则甲比乙进球数多的概率是___________ 。
10. 3 人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别是1115，，，则此密码被译出的概率是34________。
二、选择题1. 关于任意两个事件 A， B，有P( A B) 为（）（A）P( A)P( B)（B）P(A)P(B)P(AB)（C）P( A)P(AB)（D）P(A)P(B)P(AB)2. 设 A， B 为两个互斥事件，且P( A)0, P(B)0 ，则以下正确的选项是（）（A）P(A B)P(A)（B）P(B A)0（C ） P( AB) P( A)P( B) （D ） P(B A) 03. 其人独立地投了 3 次篮球， 每次投中的概率为 0.3 ，则其最可能失败 （没投中） 的次数为 （）（A ） 2 （B ）2 或 3 （C ） 3（D ）14. 袋中有 5 个球（ 3 个新， 2 个旧），每次取一个，无放回地抽取两次，则第二次取到新球的概率是（ ）（A ）3（B ）354（C ）2（D ）34105. n 张奖券中含有 m 张有奖的， k 个人购置，每人一张，此中起码有一个人中奖的概率是（ ）（A ）m（B ）1C n k m C n mC n kC m 1C n k m 1k C m r（C ）（ D ）1C n kC n kr 三、计算题( 随机事件、随机事件的关系与运祘 )1.指出下边式子中事件之间的关系：⑴AB A ；⑵ABC A ； ⑶A B A 。
概率与数理统计习题及详解答案
概率与统计题目精选及答案1. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话. 解：设A 1={第i 次拨号接通电话}，i =1，2，3.（1）第3次才接通电话可表示为321A A A 于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=A A A P （2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A 1+32121A A A A A +于是所求概率为P （A 1+32121A A A A A +）=P(A 1)+P(21A A )+P(321A A A )=.103819810991109101=⨯⨯+⨯+2. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P=.27431)311)(311(=⨯-- （2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD 3. （理科）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12 所以，157)6(31038===C C P ξ 157)9(3101228===C C C P ξ 151)12(3102218===C C C P ξ……9分 E ξ=6×539151121579157=⨯+⨯+（元）答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是539元 ……………………12分 4. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C ，则P （A ）=0.9 P （B ）=0.8，P （C ）=0.85 …………………………2分（Ⅰ）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅=[1－P （A ）]·[1－P （B ）]·[1－P （C ）]=（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003………………6分（Ⅱ）P （C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅）= P （)()()C B A p C B A P C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ =)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=[1－P （A ）]·P （B ）·P （C ）+P （A ）·[1－P （B ）]·P （C ）+P （A ）·P （B ）·[1－P （C ）]=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）=0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分5. 如图，A 、B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当x ≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P )6(431012034141)6()4(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421分分=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P （II ）)8(203)5(,5221311,101)4(,4211分===++=++===++x P x P ∴线路通过信息量的数学期望 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （11分） 答：（I ）线路信息畅通的概率是43. （II ）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）6. 三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路. （Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？ （Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由. 解：记“三个元件T 1、T 2、T 3正常工作”分别为事件A 1、A 2、A 3，则.43)(,43)(,21)(321===A P A P A P （Ⅰ）不发生故障的事件为（A 2+A 3）A 1.（2分）∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)4)(()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 分（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下：图1中发生故障事件为（A 1+A 2）·A 3∴不发生故障概率为 3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P )11(12分P P >∴ 图2不发生故障事件为（A 1+A 3）·A 2，同理不发生故障概率为P 3=P 2>P 1（12分）说明：漏掉图1或图2中之一扣1分7. 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们 的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率.解：设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P （A ）=0.05, P(B)=0.1,（1）至少有一件废品的概率)7(145.090.095.01)()(1)2)((1)(分分=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P（2）至多有一件废品的概率 )12(995.09.095.01.095.09.005.0)(分=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P P8. （理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差 解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B.设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2.（2分）则P （A ）=P 1=0.6,P(B)=P 2:48.08.06.0)()()2(44.08.04.02.06.0)()()()()1(08.02.04.0)()()0()2()7(8.032.04.092.06.06.092.0)1)(1(1)(1)(2222212121的概率分布为分即则ξξξξ=⨯=⋅===⨯+⨯=+===⨯=⋅=====-+∴=-+=---=⋅-=+B P A P P B P A P B P A P P B P A P P P P P P P P P P P P B A P B A P)12(4.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222分或利用=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξE E D D E 9. (理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ 表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：6分因此，公司每年收益的期望值为E ξ ＝x (1－p )＋(x －a )·p ＝x －ap ． 8分为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需E ξ ＝0.1a ，即x －ap ＝0.1a ， 故可得x ＝(0.1＋p )a ．10分 即顾客交的保险金为 (0.1＋p )a 时，可使公司期望获益10%a ．12分 10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2．（1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P ＝1－0.85－15C ×0.84×0.2≈0.263． 4分 (2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：P 1＝14C ×0.2×0.83×0.8 8分五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：P 2＝14C ×0.2×0.83×0.2 10分由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：P ＝P 1＋P 2＝14C ×0.2×0.83＝0.4096． 12分11. 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛.已知每盘比赛双方胜出的概率均为.21（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ （Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？解：（I ）参加单打的队员有23A 种方法. 参加双打的队员有12C 种方法.……………………………………………………2分所以，高三（1）班出场阵容共有121223=⋅C A （种）………………………5分（II ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜，………………………………………………………………………7分所以，连胜两盘的概率为.832121212121=⨯⨯+⨯………………………………10分 12. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ，则 73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=76 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76…………6分 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则P （C ）=1414845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件 其概率为14131411=-………………12分 13. 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是31. （I ）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；（II ）求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差.解：（I ）27431)311)(311(=--=P …………………………………………4分 （II ）依题意ξ~),31,6(B ……………………………………………………7分 2316=⋅=∴ξE ……………………………………………………………9分 34)311(316=-⋅⋅=ξD ……………………………………………………12分 14. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P=.27431)311)(311(=⨯-- （2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD1、 写出下列随机试验的样本空间。
自考04183概率论与数理统计(经管类) 自考核心考点笔记 自考重点资料
《概率论与数理统计（经管类）》柳金甫、王义东主编，武汉大学出版社新版第一章随机事件与概率第二章随机变量及其概率分布第三章多维随机变量及其概率分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理第六章统计量及其抽样分布第七章参数估计第八章假设检验第九章回归分析前言本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。
第一章随机事件与概率本章概述.内容简介本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。
本章内容§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
互斥事件概率教案
教学过程一、复习预习1.事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()P A．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4.概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形P A5.基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本6.等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n7.等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n=8.二、知识讲解 1.事件的和的意义对于事件A 和事件B 表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 数字1、2、3、4、5、6的正方体玩具，如果掷出奇数点，记作事件A ；如果掷出的点数不大于3，记作事件B ，那么事件A+B 就是表示掷出的点数为1、2、3、5当中的一个.事件“12n A A A +++”表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,n A A A 中至少有一个发生即表示它发生. 互斥事件的概念不可能同时发生的个事件叫做互斥事件.在一个盒子内放有１０个大小相同的小球，其中有７个红球、２个绿球、１Ｂ，得到黄球叫事件Ｃ.若摸出的球是红的，就说事件Ａ发生了；若摸出的球是绿的，就说事件Ｂ发生了，若摸出的球是黄的，就说事件Ｃ发生了.在摸球的时候，若Ａ发生，则Ｂ一定不发生；若Ｂ发生，则Ａ也一定不发生.即Ａ、Ｂ不可能同时发生.是互斥事件，Ａ和Ｃ也是互斥事件；Ｂ和Ｃ也是互斥事件.一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.3．对立事件的概念事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件.从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作A 由于事件Ａ和事件A 么是红球，要么不是红球，即事件Ａ和事件A 个发生的互斥事件叫做对立事件. 4．互斥事件的概率的求法若 “从盒中任意摸出一个球，摸出的球是红的或是绿的”是一个事件，当摸出的球是红球或绿球时，表示这个事件发生，我们把这个事件记作Ａ＋Ｂ，现在问：事件Ａ＋Ｂ的概率是多少？因为从盒中任摸１个球有１０种可能，而得到红球或绿球的方法有２＋７种，所以得到红球或绿球的概率：P(A+B) =1027+ 另一方面：P(A)=107，P(B)=102所以P(A+B)=P(A)+P(B) 一般地：如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生（即Ａ，Ｂ中有一个发生）的概率，等于事件Ａ，Ｂ分别发生的概率的和.如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生（即12,,,n A A A 中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和，即12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++由对立事件的意义：Ａ＋A 是一个必然事件，它的概率等于１，又由于Ａ与A 互斥，我们得到：P(A)+P(A )＝P(A ＋A )＝１对立事件的概率的和等于１. 同样 P(A )＝１－P(A). 考点1：对立事件概率求法某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：（１）求年降水量在[)200,100（ｍｍ）范围内的概率； （２）求年降水量在[)300,150解：（１）P(A+B)＝P(A)+P(B)＝0.12+0.25=0.37（２）P(B+C+D)＝P(B)+P(C)+P(D)＝0.25+0.16+0.14=0.55 考点2：在20件产品中,有15件一级品，５件二级品，从中任取３件，其中至少有１件为二级品的概率是多少？解法１ 123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++ ＝228137320353201152532021515=++CCCC C CC C解法２: P(A )＝１－P(A)＝１－22813722891=. 三、例题精析 【例题1】【题干】若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么? 【解析】A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件. 【例题2】 【题干】一个射手进行一次射击，试判断下面四个事件A 、B 、C 、D 中有哪些是互斥事件? 事件A ：命中的环数大于8；事件B ：命中的环数大于5；事件C ：命中的环数小于4；事件D ：命中的环数小于6.【解析】事件A 与C 、事件A 与D 、事件B 与C 分别为互斥事件 【例题3】 【题干】某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41.试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率. 【答案】 2819 【解析】 略 四、课堂运用 【基础】1. 如果事件A 、B 互斥，那么（ ） A.A +B 是必然事件 B. A +B 是必然事件C. A 与B 一定互斥D. A 与B 一定不互斥答案：B2. 下列说法中正确的是（ ）A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 答案：D 【巩固】1. 袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，则(1)摸出2个或3个白球的概率P 1＝Ｐ（A 2＋A 3）＝Ｐ（A 2）＋Ｐ（A 3）223153534488C C C C 336C C 777=+=+=(2)至少摸出1个白球的概率P 2＝1－Ｐ（B 4）＝1－0＝1(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ（A 4）＝1－1413C C 4845=答：(1)摸出2个或3个白球的概率是67；(2)至少摸出1个白球的概率是1； (3)至少摸出1个黑球的概率是1314. 2. 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法. (1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为91364=.(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为 P =9436423624=⨯+⨯ (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P =1-9891=答：(1)取到的2只都是次品的概率为19；(2)取到的2只中正品、次品各一只的概率为49；(3)取到的2只中至少有一只正品的概率为89.【拔高】1. 从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x 以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x ，解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名.答：男女生相差6名. 2. 回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么?(2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50.那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.2５＋0.５0＝0.7５，为什么?(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为221.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1-221=43.这样做对吗?说明道理.解: (1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥. (2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1. 课后作业 【基础】1. 战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?(2)若事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?2. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率.【巩固】1.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.2.某单位36人的血型类别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.【拔高】1. 在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.2. 在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少?。
[例1]袋中有5个白球,3个黑球,从中任意摸出4个,求下列 …
![[例1]袋中有5个白球,3个黑球,从中任意摸出4个,求下列 …](https://img.taocdn.com/s3/m/bd8899116bd97f192279e989.png)
A.A+B是必然事件
B. +是必然事件
C. 与一定互斥
D. 与一定不互斥
5.下列说法中正确的是（ D ）
A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
(1)取到的2只都是次品；
(2)取到的2只中正品、次品各一只；
(3)取到的2只中至少有一只正品.
解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.
(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为.
(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为
P=
(3)由于"取到的两只中至少有一只正品"是事件"取到的两只都是次品"的对立事件.因而所求概率为
P=1-
［例3］从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名?
解：设男生有x名，则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为
选得2名委员都是女性的概率为
以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于，得
解得x=15或x=21
即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名.
总之，男女生相差6名.
??
??
??
?? Βιβλιοθήκη 互斥事件有一个发生的概率的习题课
(1)摸出2个或3个白球的概率
P1＝Ｐ（A2＋A3）＝Ｐ（A2）＋Ｐ（A3）
11.2互斥事件有一个发生的概率.许兴华
件
[新课内容]
6.两个对立事件的概率关系
根据对立事件的定义，与A为互斥事件 A 是一个必然事件， AA
P(A) P(A) P(A A) 1
即对立事件的概率的和等于１.
P(A) 1 - P(A)
N S E 许E V 课
兴T华
Firstpage首页 upward return next last 铃
件
[新课内容]
1.互斥事件的定义 不可能同时发生的两个事件叫做互 斥事件. 一般地,如果A1,A2,…,An中的任何 两个都是互斥事件,那么就说 A1,A2,…,An彼此互斥.
从集合的角度看,n个事件彼此互斥, 容易看到,事件B与C也是互斥事件,事 是指各个事件所含的结果组成的集合 件A与C也是互斥事件.可以说A、B、 彼此不相交. C彼此互斥.
Firstpage首页 upward return next last 铃
N S E 许E V 课
兴T华
件
(课本P146习题之5)
C C C 5. (way1)P 2 6 C9
1 4 1 5 2 5
C 5. (way2)P 1 C 6
N S E 许E V 课
2 4 2 9
兴T华
Firstpage首页 upward return next last 铃
色代表用 突出的三个角代表经过 刻苦 四周的紫红色围绕着绿 能成功 ! 钻研可以出类拔萃出人 头地 高度的热情钻研数学才
含义 : 中文许兴华, 英文Steven 代表双语教学
图中有三角形圆形五边 形扇 本图标由许兴华 形代表数学中数形结合 思想 于20101125设计 兴T华 图中共有5种颜色代表数学世界 N S 许E V 课 五彩缤纷丰富多姿具有 无穷无尽的魅力铃 件 upward return next last Firstpage
随机事件的概率计算
gllllfe 知识内容版块一：事件及样本空间1.必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现彖；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现彖.2.试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果.一次试验是指事件的条件实现一次.在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件.通常用大写英文字母A, C,…来表示随机事件，简称为事件.3.基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件・它包含所有可能发生的基本结果.所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用G表示.版块二：随机事件的概率计算1.如果事件同时发生，我们记作AC1B,简记为初；2.一般地，对于两个事件A, B,如果有P（AB） = P{A）P（B）,就称事件A与B相互独立，简称A 与B独立.当事件A与B独立时，事件刁与B, A与鸟，刁与万都是相互独立的.3.概率的统计定义一般地，在“次重复进行的试验中，事件A发生的频率冬，当"很人时，总是在某个常数附n近摆动，随着"的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记为P（A）・从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率P（A）满足：OWP（A）WI.当A是必然事件时，P（A） = 1,当A是不可能事件时，P（A） = O.4.互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件.由事件4和事件B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或都发生）所构成的事件C,称为事件A与B的并（或和），记作C = AUB.若C = AUB，则若C发生，则A、B中至少有一个发生，事件AUB是由事件A或B所包含的基本事件组成的集合.5.互斥事件的概率加法公式：若A、B是互斥事件，有P（AUB） = P（A） + P（B）若事件人，4，…，人两两互斥（彼此互斥），有p（人u比u…u A）=P（ A）+戸（比）+…+ P（九）.事件％U4 U…发生是指审件人，人人中至少有一个发生・全国名校高中数学优质课时训练汇编(优品质)6. 互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件.事件A 的对立事件记作A . 有 P(A) = 1-P(A).＜教师备案〉1. 概率中的“事件”是指咂机试验的结果=与通常所说的事件不同.基本事件空间是指一 次试验中所有可能发生的基本结果.有时我们提到爭件或随机爭件，也包含不可能事件和必 然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断.2. 概率可以通过频率来“测量=或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统 计定义.在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率.随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某 个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件 的概率•概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的 大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.3. 基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形.相乘事件.等可能事件：P(A)=- n 第三步，运用公式|互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B)独立事件:P(A B) = P(A)・P(B)〃次独立重复试验:P n (k) = C" (1-p )>J 'k第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复・ 解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率(尤其是其中的(4).(5)两种概率): (1)随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵互斥事件有一个发生的概率； ⑶相互独立事件同时发生的概率；⑷川次独立重复试验中恰好发生R 次的概率；⑸川次独立重复试验中在第R 次才首次发生的概率； ⑹对立事件的概率.另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生〃，"至多有一个发生S 〃恰好有一个发生", “都发生”，“不都发生S “都不发生〃，"第R 次才发生〃等.gm 医 典例分析题型一概率与频率求概率的步骤是：■等可能事件 第一步，确定事件性质＜互斥事件，即所给的问题归结为四类事件中的某一种.独『事件n 次独立重复试验 主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”: 第二步，判断事件的运算 ,即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或和事件枳事件求解【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做“次随机试验，事件A发生的频率仪就是事件的概率；n③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的…次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确的是（）A.①④©B.②④⑤C.①③④D.①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下:根据上表所提供的数据，估计合格品的概率约为多少？若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下:（1）在表中直接填写进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做〃次随机试验，事件A发生加次，则事件A发生的概率为仝；n③频率是不能脱离…次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.其中正确命题的序号为___________ ・【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球.从中任取一只球.试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴A = 〃取岀的球是白球〃；⑵B = 〃取岀的球是蓝球〃；〃取岀的球是黄球〃；⑷£） = 〃取出的球是白球或黄球〃•题型二独立与互斥【例6】（2010辽宁高考）两个实习生每人加工•个零件•加工为•等品的概率分别为-^11 --两个零件是否 3 4加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A.丄B. —C. -D.-2 12 4 6【例7】掷两枚均匀的骰子，记人=“点数不同笃3 = “至少有一个是6点笃判断A与B是否为独立事件.【例8】设M和N是两个随机事件，表示事件M和事件N都不发生的是（）A. M + NB.莎帀C. M-N + M-ND.【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件（1）甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，”从甲组中选岀1名男生〃与"从乙组中选岀1名女生〃•⑵容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，〃从8个球中任意取岀1个，取出的是白球〃与〃从剩下的7个球中任意取出1个，取岀的还是白球〃.【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报冷事件B为“至少订一种报"，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件.①A与C;②B与E;③B与D;④B与C;⑤C与【例11】抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数=事件B为嚅地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A. A 与B B・B 与C C. A 与£> D. C 与D【例12】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的.某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是丄，我每题都选择第一个选择支，4则一定有3题选择结果正确”.对该人的话进行判断，其结论是（）A.正确的B.错误的C.模棱两可的D.有歧义的题型三随机事件的概率计算【例13】（2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为1,向该圆内随机投一点P,点P恰好落在正三角形外的概率是__________ ・【例14】（2010崇文一模）从52张扑克牌（没仃人小王）屮随机的抽•张牌，这张牌是八戈0或K的概率为【例15】（2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行・若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不人于10.则就有可能撞到玻 璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10,则飞行 是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置町能性相同，那么蜜蜂飞 j •是安全的概率是（ ，.丄B.丄8 16【例16】（2010东城二模）在直角坐标系xOy lb 设集合C = {（x,刃|0WxWl,0WyWl},在区域G 内任取… 点P （x,y ）,则满足x+ y W1的概率等于 ___________________ ・【例17】（2010朝阳一模）在区间［-兀,兀|内随机取两个数分别记为a,b ，则使得函数f （x ） = x 2+2ax-b 2+ n （i 零点的概率为（）【例18】（2010东城一模）某人向 个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各 点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ） A. -L B ・丄 C ・丄 D ・丄 13942【例19】（2010西城一模）在边长为1的」F 方形ABCD 内任取•点、P 为) C.—271 - 4D.1 - 2C3 -4 B.7 - 8A.P A 订的全国名校高中数学优质课时训练汇编(优品质)【例20】(2010丰台二模)已知Q = {(x , y)|x+y W6 , xMO , y MO} , A = {(x,y)|x W 4 , y M 0 , x-2y M 0}.若向区域C I：随机投•点P 则点P落入区域A的概率是 _______________ ・【例21】(2010朝阳一模)袋子中装有编号为a上的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个坪.⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个照球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个照球的概率.【例22】(2010崇文二模)在平面直角坐标系xOy中，平面区域W屮的点的坐标(x,y)满足疋+ b W5 ,从区域W中随机取点M(x,y).(1)若xwZ, yeZ,求点M位「•第四象限的概率：⑵已知直线/:y = _x+b(b>0)与圆O:x2 + r =5相交所截得的弦长为JTT,求y^-x+b的概率.全国名校高中数学优质课时训练汇编（优品质）【例23】（2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4 .现从盒子中随机抽取卡片.⑴若一次抽取3张卡片,求3张卡片上数字之和大于7的概率;⑵若第一次抽1张k片•放回后再抓収1张卡片，求两次抽取屮至少一次抽到数字3 的概率.【例24】（2010海淀一模）某商场为吸引顾客消费推If, -JW优忠活动.活动规则如下:消费每满WO兀町以转动如图所示的圆盘一次，其屮O为閲心，且标有20元、10兀、0兀的一部分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费了218兀・第一次转动获得了20元，第二次获得了10兀，则其共获得了30元.优惠券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.⑴若顾客甲消费了128兀，求他获得优惠券面额人于0元的概率？⑵若顾客乙消费了280元•求他总■获得优惠券金额不低F2（H的概率?【例25】（2010石景山一模〉为援助汶川灾厉反建，対某项I卫M行竟标，共仃6家企业参号竞标.”中4企业來口辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F［家企业來自河南省.此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同.⑴企业E卩标的概率是多少？⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？【例26】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硕币和一枚均匀骰子各一次，记"硬币正面向上"为爭件A “骰于向上的点数是3”为Mff B,则M件A , B中至少有•件发生的概率是A. 2B. -C. —D.-12 2 12 4【例27】盒子中有大小相同的3只小球,1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是___________________【例28】（2010江西高考）一位国王的铸币人臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑人臣作弊, 他用两种方法来检测.方法一：在100箱中各任意检查一枚：方法二：在5箱中各—'「吗枚•国「13；.「、旌发现至◊刁币的槪.「别为刃，必.则（）A. I" =B・p x < p2C・> p2D・以上二种情况都右川•能【例29】（2010陕西卷高考）铁矿石A和B的含f a‘ ；• '如每丿j吨铁矿右的CO2的排放量b及每万吨恢矿石的价格C如卜表：某冶炼厂至少要T产1・9 （万吨）铁，若要求C。
1袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求下列事
1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率. （Ⅰ）摸出2个或3个白球；（Ⅱ）至少摸出一个黑球.（Ⅰ）P （A+B ）= P （A ）+P （B ）＝481325482325C C C C C C ⋅+⋅=76; （Ⅱ） P=1-4845C C =14131411=- 2．已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝0222)6.0()4.0(C 2022)6.0()4.0(C=.0576.036.016.0=⨯（Ⅱ）P （两人至少投进三个球）＝3072.01728.00768.00576.0=++3. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为4. 甲乙两人参加某电视台举办的抽奖游戏，参与游戏者可以从一个不透明的盒子中抽取标有1000元、800元、600元、0元的四个相同的小球中的任意一个，所取到的小球上标有的数字就是其获得的奖金，取后放回同时该人摸奖结束.规定若取到0元，则可再抽取一次，但所得的奖金将减半，若再次抽取到0元，则没有第三次抽取机会. （1）求甲乙两人均抽中1000元奖金的概率； （2）试求甲摸得的奖金数的期望值。
小学二年级排列组合练习题
小学二年级排列组合练习题用2、3、4能摆成个两位数，它们分别是。
用0、3、5能摆成个两位数，它们分别是。
二、每两人进行一场比赛，四个人一共要比赛几场?三、下面有4种球，每班可以借其中的两种，有多少种不同的搭配方法?① ②③④四、东东的口袋里装了一枚1元、一枚5角和一枚1角的硬币，随便从口袋拿出两枚硬币，拿出来的硬币有几种可能?二年级上册排列组合专题讲解题型一：衣裙搭配美羊羊为了参加比赛，她准备了2件上衣和2条裙子，你们猜一猜会有几种不同的穿法？题型二：排数问题：用0、1、2可以组成几个不同的两位数？用2、3、4中的两个数组成两位数有多少种?为什么用2、3、4中的两个数组成两位数有6种，用0、1、2中的两个数组成两位数却只有4种？题型三：比赛场数比赛快开始了，沸羊羊、懒羊羊、喜羊羊三位运动员进场了，村长遇到了个难题，“每两只羊进行一场比赛，一共要比几场呢？排数时用了3个数字，比赛时也是3个选手，为什么得到的结果不一样呢？小结：两个人比赛，只能算一次，和顺序无关。
排数，交换数字的位置，就变成另一个数了，这和顺序有关。
题型四：握手次数、打电话问题比赛即将结束了，喜羊羊获得了冠军，沸羊羊获得了亚军，懒羊羊获得了季军，在颁奖典礼上沸羊羊、懒羊羊、喜羊羊三只小羊要相互握手祝贺对方。
那么这三只小羊，每两只小羊握一次手，一共需要握几次？如果他们三个打算合影照相，排队站成一排，请问一共有多少种不同的站法？一、摆一摆、写一写。
用2、3、4能摆成个两位数，它们分别是。
用0、3、5能摆成个两位数，它们分别是。
二、每两人进行一场比赛，四个人一共要比赛几场?三、下面有4种球，每班可以借其中的两种，有多少种不同的搭配方法?①②③④四、东东的口袋里装了一枚1元、一枚5角和一枚1角的硬币，随便从口袋拿出两枚硬币，拿出来的硬币有几种可能?排队问题二、做一做：从前往后数，小红排在第7位，从后往前数，小红排在第5位，请问这一排一共有多少位小朋友？2、从前往后数，小红排在第5位，从后往前数，小红排在第8位，请问这一排一共有多少位小朋友？3、从前往后数，小红排在第8位，从后往前数，小红排在第3位，请问这一排一共有多少位小朋友？4、从前往后数，小红排在第6位，从后往前数，小红排在第2位，请问这一排一共有多少位小朋友？涂色问题1.要给地图A,B,C,D四个区域分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻的区域必须涂不同的颜色，不同的涂法有多少种？2.将四种不同颜色涂入五个区域，相邻两个区域两个区域颜色都不相同，有多少种不同的涂法？3.用四种不同的颜色将正方形1，2，3，4四个小方格涂色，要求每一个方格只涂一种颜色，且相邻的方格不涂相同的颜色，求不同的涂色方法？4.如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，先有4种不同的花选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种相同的花，则不同的种法总数是5.用5种不同颜色给四棱锥顶点涂色，要求同棱不同色，有多少种不同涂法？练习：1、①有10个车站，共需要准备多少种车票？2有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少种选派方法？以上问题中，属于排列问题的是2、从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？、5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：男女相间；女生按指定顺序排列4、一天的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？、由数字0，1，2，3，4，可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？、位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起7、某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有A．720种 B．480种 C．24种D．20种、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法有种。
排列组合概率与算法
例、某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题， 能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘 汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮
4
3
2
的问题的概率分别为 5
、 5
、 5 ，且各轮问
题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求 随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果 可用分数表示）
例2、袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从 中任意摸出4个球，一次摸1个，摸出后不再放回， 求下列事件发生的概率：
1）摸出4个白球 2）摸出2个或3个白球 3）至
少摸出1个黑球
.
例3、袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从 中任意摸出4个球，一次摸1个，摸出后记下结果 后再放回，求下列事件发生的概率：
例5、1求证：32n2 8n 9能被64整除
2
求C127
C2 27
C27 27
除以9的余数
3求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
(4)9933的个位和十位数分别是______
例6、若1
10
2 ab
2,则a ___,b ____.
.
概率与分布列
1、复习古典概率、条件概率、几何概 型的有关概念与计算方法
3
n
n 1!
n
n
1
1 !
n
1
1!
1 n!
n
1
1!
4
1
C
m n
C nm n
2
Cm n 1
C
m n
C m 1 n
特例：
C
n n
Cn n 1
Cn n2
概率练习题-答案
概率练习题-答案一、选择题1. 某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30,0.10，则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )．A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90解析 一次射击不够8环的概率为：1－0.2－0.3－0.1＝0.4. 答案 A2. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )．A.15B.310C.25D.12解析 基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为410＝25. 答案 C3. 在区间[－3,3]上，随机地取两个数x ，y ，则x －y ＞2的概率是A.29B.49 C.59D.79解析 取出的数对(x ，y )组成平面区域{(x ，y )|－3≤x ≤3，－3≤y ≤3}，其中x －y ＞2表示的区域是图中的阴影部分(如图)，故所求的概率为12×4×46×6＝29.答案 A4. 用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，若乙有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ( )．A.25B.710 C.45D.12解析 显然甲的平均成绩是90分，乙的平均成绩要低于90分，则乙的未记录的成绩不超过97分，90～97共有8个成绩，故满足要求的概率为810＝45.答案 C5. )在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥62”发生的概率为( )．A.14B.13 C.12D.23解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ≥62，0≤x ≤π，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥320≤x ≤π，，即π12≤x ≤5π12.根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P ＝5π12－π12π＝13.答案 B6. 如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．解析 ∵S 扇形＝2×12×12×π4＋14×π×12＝π2，∴S M ＝12×2×2－S 扇形＝2－π2，∴所求概率为P ＝2－π22＝1－π4.答案 1－π47. 从1,2,,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是 （ ）A ．95B ．94C ．2111D ．2110【答案】B 解:基本事件总数为39C ,设抽取3个数,和为偶数为事件A,则A 事件数包括两类:抽取3个数全为偶数,或抽取3数中2个奇数1个偶数,前者34C ,后者1245C C . ∴A 中基本事件数为34C +1245C C ∴符合要求的概率为(34C +1245C C ) 39C =2111.选B 8. 从全体3位数的正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为 A.2251 B.3001 C.4501D.以上全不对9. .A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为( )A. 12B. 2331410. 如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ ）A ．34B ．38C ．14D ．18A11. 若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L与线段BC 相交的概率为（ ）A ．12 B ．13C ． 16D ．112二、填空题1,。
高中数学概率复习
XXXX 教育学科教师辅导讲义基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)=nn A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数n A 与试验总次数n 的比值nn A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．（1）填写表中击中靶心的频率；（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？解：（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
古典概型解答题
古典概型解答题1. 一个袋子中有8个小球，其中有4个白球和4个黑球，现从中每次任意取出一个球， 8次取完，求恰好有3次连续取出白球的概率。
2. 我国已经正式加入WTO ，包括汽车在内的进口商品将最多在五年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率。
3. 甲、乙两名蓝球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8.（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率.4. 用数字1，2，3，5，8任意组成没有重复数字的五位数，计算：（I ）它是奇数的概率；（II ）它小于23000的概率。
5. 在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，（1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？6. 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：(1)前三局比赛甲队领先的概率；(2)本场比赛乙队以3:2取胜的概率．(精确到0.001)7. 假设每一架飞机的引擎在飞行中发生故障的概率为p ，且各个引擎是否产生故障相互独立，每架飞机至少有50%的引擎正常工作，则飞机就能正常飞行，要使4个引擎的飞机比2个引擎的飞机更安全，p 的值应是多少．8. 某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.(1)求3个景区都有部门选择的概率；(2)求恰有2个景区有部门选择的概率.9. 甲、乙两支足球队90分钟踢成平局，加时赛30分钟后仍成平局。
现决定每队各派5名队员，每人射一个点球来决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5。
高中数学必修3第三章：概率3.2古典概型
验，如果这2个元素没有顺序，那么这次试验共有
nn－1 2
个
基本事件；如果这2个元素有顺序，那么这次试验有n(n－1)
个基本事件．可以作为结论记住(不要求证明)，在选择题或
填空题中可以直接应用．
计算基本事件个数的常用法
1.列举法 列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件 个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举即可得出随 机事件所含的基本事件数．但列举时必须按一定顺序，做到 不重不漏．
球，d，e为黑球．
列表如下：
a
b
c
d
e
a
(a，b) (a，c) (a，d) (a，e)
b (b，a)
(b，c) (b，d) (b，e)
c (c，a) (c，b)
(c，d) (c，e)
d (d，a) (d，b) (d，c)
(d，e)
e (e，a) (e，b) (e，c) (e，d)
由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a) 与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．
新课引入 “三门问题”是美国一个经典的电视游戏节目，内容如 下：现有三扇门，其中一扇后面有一辆汽车，另外两扇门后 各有一只羊，参赛者选中车门就得车，选中羊门就得羊，首 先参赛者选一扇门，然．后主持人故意打开剩下两门中的一 扇羊门(主持人知道车在何处)，接着主持人给参赛者选择机 会，是坚持原门还是换另一扇门？
[解析] 第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10] 内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限 性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个， 而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能 性；
第3个概率模型不是古典概型，而是以后将学的几何概 型；
高中数学必修三同步练习题库：随机事件的概率(填空题：一般30,较难35)
随机事件的概率（填空题：一般30，较难35）1、袋中有大小相同的个红球，个白球，从中不放回地依次摸取球，在已知第一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是2、在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于6的点数”，则事件发生的概率为________．3、在某超市收银台排队付款的人数及其频率如下表：视频率为概率，则至少有2人排队付款的概率为__________．（用数字作答）4、甲、乙、丙三名大学生同时到一个用人单位应聘,他们能被选聘中的概率分别为且各自能否被选聘中是无关的,则恰好有两人被选聘中的概率为______5、甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为____________.6、如图， A, B, C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9 , 0.8 , 0.7 , 如果系统中至少有1个开关能正常工作,则该系统就能正常工作，那么该系统正常工作的概率是____________7、口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___．8、一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为,目标未受损的概率为,则目标受损但未完全击毁的概率为__________．9、从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是______．(填序号)①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；③“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；④“至少有一个黑球”与“都是红球”．10、生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是，则_______．11、如图：三个元件正常工作的概率分别为，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是____________．12、为了解高中生上学使用手机情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）你上学时是否经常带手机？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的800人（学号从1至800）中有260人回答了“是”.由此可以估计这800人中经常带手机上学的人数是_________．13、口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，那么摸出黑球的概率是__________14、如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量多的是________．15、下列事件：①在空间内取三个点，可以确定一个平面；②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份；③某电影院某天的上座率会超过50%；④函数y＝log a x(0＜a＜1)在定义域内为增函数；⑤从一个装有100只红球和1只白球的袋中摸球，摸到白球．其中，________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件．(填写序号)16、一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．17、经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下表：(1)t＝________；(2)至少3人排队等候的概率是________．18、从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为，重量在内的概率为，那么重量超过300克的概率为______________.19、某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 .20、一批10件产品，其中3件次品，不放回抽取3次，已知第一次抽到是次品，则第三次抽到次品的概率 .21、下列说法：①随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；③任意事件发生的概率总满足；其中正确的是；（写出所有正确说法的序号）22、一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________．23、抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，则两颗骰子的点数之和大于8的概率为________．24、[2013·课标全国卷Ⅱ]从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．25、有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是________．26、一袋中装有4个白球，2个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现3次停止，则___________.27、一只不透明的袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个球，则两次摸出的球颜色相同的概率是；28、(理)袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求摸出2个或3个白球的概率29、(文)袋中有大小相同的5个白球和3个黑球,从中任意摸出4个,求至少摸出1个黑球的概率 .30、一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，那么，连过前二关的概率是________.31、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．32、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．33、将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落.小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为__________．34、设随机变量，且DX=2，则事件“X=1”的概率为（用数学作答）.35、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）。
学案1：5.3.3 古典概型
5.3.3 古典概型【自主预习】知识点1 古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为 )，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为 )，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型． [微体验]1．下列试验中，是古典概型的有( ) A ．某人射击中靶或不中靶B ．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C ．四位同学用抽签法选一人参加会议D ．运动员投篮，观察是否投中 2．下列试验中是古典概型的是( )A ．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽B ．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C ．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的D ．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 知识点2 古典概型的概率公式假设样本空间含有n 个样本点，事件C 包含有m 个样本点，则P (C )＝ . [微体验]1．若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本外文书的概率为( ) A ．15B ．310C ．25D ．122．从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字中含有3为事件A，则P(A)＝________.【课堂探究】探究一古典概型的判断【例1】下列概率模型是否为古典概型．(1)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球，有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个样本点，是否为古典概型？(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上，将豆子所落的位置看作一个样本点，是否是古典概型？(3)一名射击运动员射击，把击中的环数看成样本点，是否是古典概型？[方法总结]1．有限性：判断试验的样本空间包含的样本点是否是有限个，若样本点无限个，即不可数，则不是古典概型．2．等可能性：考查基本事件的发生是不是等可能的，若基本事件发生的可能性不一样，则不是古典概型．只有同时具备了上述两个特征，才是古典概型.[跟踪训练1]下列概率模型中，是古典概型的个数为()(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；(2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；(4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1B．2C．3D．4探究二古典概型的概率公式【例2】先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5且小于10的概率．[方法总结]应用公式计算概率的步骤 (1)判断试验是否是古典概型；(2)求出试验的样本空间包含的样本点总数n ； (3)求出事件A 所包含的样本点个数m ； (4)代入公式：P (A )＝mn. ,[跟踪训练2] 某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X 、Y 、Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) (1)用表中字母列举出试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；(2)设M ＝“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．探究三 较复杂的古典概型概率的计算问题【例3】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球．(1)若从中一次性任意摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率；(2)若采用不放回简单随机抽样从中任取两个球，一个球给小朋友甲，一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有一个黑球的概率；(3)若采用有放回简单随机抽样从中任取两个球，一个球给小朋友甲，一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球至少有一个黑球的概率．[方法总结]求解古典概型问题的一般思路1．明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)；2．根据实际问题情境判断样本点的等可能性；3．计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.[跟踪训练3]从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中任意抽取2件．(1)分别写出不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样的样本空间；(2)在两种抽样方式下，分别计算抽到的两件产品中恰有1件次品的概率．探究四古典概型与其他知识结合【例4】为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C 三个区中抽取7个工厂进行调查．已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．[方法总结]本题考查分层抽样以及古典概型概率求解的综合运用，在求解古典概型问题时，要认真分析条件，确保隐含条件挖掘到位．[跟踪训练4] 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．【课堂小结】1．判断一个试验是否是古典概型的步骤 (1)判断随机试验的样本点个数是否是有限的； (2)判断每一个样本点出现的可能性是否都相等． 只有这两条都满足了，这个随机试验才是古典概型． 2．用古典概型的概率公式求解概率的两个关键点 (1)试验的样本空间包含的样本点总数n ； (2)随机事件A 所包含的样本点个数m .解决好这两个关键点后，直接代入公式P (A )＝mn ，化简即可．3．注意“有放回取样”与“不放回抽样”对样本点的影响．【参考答案】【自主预习】知识点1 古典概型 有限性 等可能性[微体验]1．C [A 中，某人射击中靶与不中靶的概率不相等，所以A 不是古典概型；B 中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B 不是古典概型；C 中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C 是古典概型；D 中，运动员投篮投中与没有投中的概率不等，所以D 不是古典概型．]2．B [根据古典概型的特点，A 项中，种子发芽与否的概率不相等；B 项中，摸到每个球的概率相等，且只有4个球；C 项中，点落在圆内的样本点个数是无限的；D 项中，射击命中环数的概率也不一定相等．] 知识点2 古典概型的概率公式 m n [微体验]1．D [抽到的外文书，可能是英文书或日文书，所以P ＝310＋210＝12.]2．23 [从1,2,3中任取两个数字有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个基本事件；事件A 包含(1,3)，(2,3)，共2个基本事件，则P (A )＝23.]【课堂探究】探究一 古典概型的判断 【例1】解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸到的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于豆子落在桌面上的位置有无数个，即有无数个样本点，所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型．(3)由于运动员击中每一环的可能性不同，故以击中的环数为样本点的概率模型不是古典概型．[跟踪训练1]A [第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”；第2个概率模型是古典概型，因为试验的样本空间有10个样本点，而且每个样本点被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型，因为在一个正方形ABCD 内画一点P ，有无数个点，所以不满足“有限性”；第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．] 探究二 古典概型的概率公式 【例2】解 从图中容易看出，样本点与所描点一一对应，共36个．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，从图中可以看出，事件A 包含的样本点共有9个，A ＝{(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)}，所以P (A )＝14.(2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的样本点共有20个(已用虚线圈出)，所以P (B )＝2036＝59.[跟踪训练2]解 (1)从6名同学中选出2人，对应的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，X )，(A ，Y )，(A ，Z )，(B ，C )，(B ，X )，(B ，Y )，(B ，Z )，(C ，X )，(C ，Y )，(C ，Z )，(X ，Y )，(X ，Z )，(Y ，Z )}，共有15个样本点．由于每人被选到的可能性相同，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．(2)因为M ＝{(A ，Y )，(A ，Z )，(B ，X )，(B ，Z )，(C ，X )，(C ，Y )}，所以n (M )＝6， 从而P (M )＝615＝25.探究三 较复杂的古典概型概率的计算问题 【例3】解 (1)从中一次性任意摸出2个球，样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )}，共有10个样本点，设A ＝“恰有一个黑球和一个红球”，则A ＝{(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )}，共6个样本点，∴P (A )＝610＝35.(2)采用不放回简单随机抽样从中任取两个球，一个给甲，一个给乙，用(x ，y )表示样本点，x 表示给甲的小球编号，y 表示给乙的小球编号．则样本空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，a )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，a )，(c ，b )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，a )，(d ，b )，(d ，c )，(d ，e )，(e ，a )，(e ，b )，(e ，c )，(e ，d )}，共有20个样本点，设B ＝“甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有一个黑球”，则B ＝{(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，a )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，a )，(c ，b )，(d ，a )，(d ，b )，(e ，a )，(e ，b )}，共14个样本点，∴P (B )＝1420＝710.(3)采用有放回简单随机抽样从中任取两个球，用(x ，y )表示样本点，x 表示给甲的小球编号，y 表示给乙的小球编号．则样本空间Ω＝{(a ，a )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，a )，(b ，b )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，a )，(c ，b )，(c ，c )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，a )，(d ，b )，(d ，c )，(d ，d )，(d ，e )，(e ，a )，(e ，b )，(e ，c )，(e ，d )，(e ，e )}，共有25个样本点，B ＝{(a ，a )，(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，a )，(b ，b )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，a )，(c ，b )，(d ，a )，(d ，b )，(e ，a )，(e ，b )}，共有16个样本点，∴P (B )＝1625.[跟踪训练3]解 (1)根据相应的抽样方法可知，不放回简单随机抽样的样本空间Ω1＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．有放回简单随机抽样的样本空间Ω2＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}．(2)设事件A ＝“两件产品中恰有一件次品”，则对于不放回简单随机抽样，A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，共4个样本点．∴P (A )＝46＝23.对于有放回简单随机抽样，A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，共4个样本点． ∴P (A )＝49.探究四 古典概型与其他知识结合 【例4】解 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数的比为763＝19，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂．在这7个工厂中随机抽取2个，所有可能的结果有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共21种．随机抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，共11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P (X )＝1121.[跟踪训练4]解 (1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15个．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个， 所以P (B )＝315＝15.。
高中概率练习题
高中概率练习题 The following text is amended on 12 November 2020.1．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为，乙投篮的命中率为，两人是否投中相互之间没有影响，求：（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．2．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为，，，且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内：（1）三台机床都能正常工作的概率；（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率．3．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为与．（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率．4．沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过（绿灯亮通过）的概率分别为31，21，32，对于在该大街上行驶的汽车，求：（1）在三个地方都不停车的概率；（2）在三个地方都停车的概率；（3）只在一个地方停车的概率．5．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动．已知开关第一次闭合后，出现红灯和出现绿灯的概率都是21，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是31，出现绿灯的概率是32，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是53，出现绿灯的概率是52．问：（1）第二次闭合后，出现红灯的概率是多少（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少6．袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n 的球重32n －5n+15克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）．（1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率 7．口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球，若是同色的概率为12，求：(1) 袋中红色、白色球各是多少(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少8．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为 910876、、、987，且各道工序互不影响 （1）求该种零件的合格率（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率（用最简分数表示结果）9．同时抛掷15枚均匀的硬币一次(1)试求至多有1枚正面向上的概率；(2)试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等请说明理由.10．如图，用D C B A ,,,件D C ,至少有一个正常工作时，系统M 正常工作.元件D C B A ,,,，，，求元件连接成的系统M 正常工作的概率)(M P .11．有一批种子，每粒发芽的概率为32，播下5粒种子，计算：（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率； （Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率； （Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率. （以上各问结果均用最简分数作答） 12．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸 出4个，求下列事件发生的概率.（1）摸出2个或3个白球； （2）至少摸出一个黑球.13．2005年江苏省普通类高校招生进行了改革，在各个批次的志愿填报中实行平行志愿， 按照“分数优先，遵循志愿”的原则进行投档录取．例如：在对第一批本科投档时， 计算机投档系统按照考生的5门高考总分从高到低逐个检索、投档．当检索到某个考 生时，再依次．．按考生填报的A 、B 、C 三个院校志愿进行检索，只要被检索到3所院校 中一经出现．．．．符合投档条件的院校，即向该院校投档，假设一进档即被该院校录取．张 林今年的高考成绩为600分（超过本一线40分），他希望能上甲、乙、丙三所院校中 的一所．经咨询知道，张林被甲校录取的概率为，被乙校录取的概率为，被丙校录取的概率为．如果张林把甲、乙、丙三所院校依次填入A 、B 、C 三个志愿，求： (Ⅰ) 张林被B 志愿录取的概率；(Ⅱ) 张林被A 、B 、C 三个志愿中的一个录取的概率．14．平面直角坐标系中有两个动点A 、B ，它们的起始坐标分别是(0,0)，(2,2)，动点A 、B 从同一时刻开始每隔1秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位， 已知动点A 向左、右移动的概率都是41，向上、下移动的概率分别是31和p ，动点B向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动1个单位的概率都是q ．（Ⅰ）求p 和q 的值；（Ⅱ）试判断最少需要几秒钟，动点A 、B 能同时到达点D （1，2），并求在最短时间内同时到达点D 的概率 ．15．某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使 ，记（1）求时的概率；（2）若前两次均为正面，求时的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率. （Ⅰ）摸出2个或3个白球；（Ⅱ）至少摸出一个黑球.（Ⅰ）P （A+B ）= P （A ）+P （B ）＝481325482325C C C C C C ⋅+⋅=76; （Ⅱ） P=1-4845C C =14131411=- 2．已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0.6．现让每人各投两次，试分别求下列事件的概率：（Ⅰ）两人都投进两球；（Ⅱ）两人至少投进三个球.（Ⅰ）Ｐ（两人都投进两球）＝0222)6.0()4.0(C 2022)6.0()4.0(C=.0576.036.016.0=⨯（Ⅱ）P （两人至少投进三个球）＝3072.01728.00768.00576.0=++3. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===．1180202100C C 160(1)C 495P ξ===．2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为4. 甲乙两人参加某电视台举办的抽奖游戏，参与游戏者可以从一个不透明的盒子中抽取标有1000元、800元、600元、0元的四个相同的小球中的任意一个，所取到的小球上标有的数字就是其获得的奖金，取后放回同时该人摸奖结束.规定若取到0元，则可再抽取一次，但所得的奖金将减半，若再次抽取到0元，则没有第三次抽取机会. （1）求甲乙两人均抽中1000元奖金的概率； （2）试求甲摸得的奖金数的期望值。
解：（1）甲从四个小球中任取一个，有4种等可能的结果，所以能取到1000元奖金的概率是14；同理，乙从四个小球中任取一个，也有4种等可能的结果，所以能取到1000元奖金的概率也是14，由于甲抽到1000元与乙抽到1000元之间是相互独立的，因此甲乙两人均抽中1000元奖金的概率是1114416p =⋅=.(2)设甲摸得的奖金数为随机变量ξ，则ξ可能的取值有：1000,800,600,500,400,300,0共7种，依题意有：1(1000)(800)(600)4P P P ξξξ======. 500ξ=表示第一次抽到0元，第二次抽到1000元，故减半得到500元，所以111(500)(400)(300)(0)4416P P P P ξξξξ========⋅=. 因此，ξ的分布列如下：故甲摸得的奖金数的期望值是11111111000800600500400300075044416161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）5. 袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球,从A 中摸出一个红球的概率是31,从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止．①求恰好摸5次停止的概率；②记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ． (Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2,将A 、B 中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是25,求p 的值． 解：(Ⅰ) ①22241218()()33381C ⨯⨯⨯=.②随机变量ξ的取值为0、1、2、3.由n 次独立重复试验概率公式P n (k )=(1)kkn kn C p p -=-,得P (ξ=0)=055132(1)3243C ⨯-=, P ((ξ=1)=1451180(1)33243C ⨯⨯-=, P ((ξ=2)=22351180()(1)33243C ⨯⨯-=, P ((ξ=3)=3280217124381+⨯-=. 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是E ξ=243×0+243×1+243×2+81×3=81(Ⅱ)设袋子A 中有m 个球,则袋子B 中有2m 个球,由122335m mp m +=,得p =1330.6. 在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为4.0，5.0，8.0，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响. （Ⅰ）求甲、乙、丙三人均达标的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；（Ⅲ）设ξ表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求ξ的概率分布及数学期望E ξ．解：（Ⅰ）分别记“甲达标”，“乙达标”，“丙达标”为事件321,,A A A ．由已知321,,A A A 相互独立，4.0)(1=A P ，,5.0)(2=A P 8.0)(3=A P .3个人均达标的概率为)(321A A A P ⋅⋅)()()(321A P A P A P ⋅⋅=16.08.05.04.0=⨯⨯=． （Ⅱ）至少一人达标的概率为)(1321A A A P ⋅⋅-)()()(1321A P A P A P ⋅⋅-=94.0)8.01)(5.01)(4.01(1=----=．（Ⅲ）测试结束后达标人数的可能取值为0，1，2，3,相应地，没达标人数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.)()()3(321321A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅==ξ)()()()()()(321321A A A P A A A P ⋅⋅+⋅⋅=)8.01)(5.01)(4.01(8.05.04.0---+⨯⨯=22.0= ．)()()()()1(321132231321A A A P A A A P A A A P A A A P P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==ξ)()(213312A A A P A A A P ⋅⋅+⋅⋅+)4.01(8.05.0)5.01(8.04.0)8.01(5.04.0-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯= )8.01()4.01(5.0)8.01()5.01(4.0-⨯-⨯+-⨯-⨯+ )5.01()4.01(8.0-⨯-⨯+=78.0 ．ξ的概率分布如下表：10.7830.22 1.44E ξ=⨯+⨯= ．7. 某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率. 解：ξ的取值分别为1,2,3,4. 1=ξ,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P （1=ξ）=0.6.2=ξ,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故.28.07.0)6.01()2(=⨯-==ξP3ξ=,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故.096.08.0)7.01()6.01()3(=⨯-⨯-==ξP4ξ=,表明李明第一、二、三次考试都未通过,故.024.0)8.01()7.01()6.01()4(=-⨯-⨯-==ξP∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为∴ξ的期望E ξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.8. 如图，四棱锥S ABCD -的所有棱长均为1米，一只小虫从S 点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰回到S 点的概率为n P . (1)求23,P P 的值；(2)求证：131(2,)n n P P n n N ++=∈…； (3)求证：2365.(2,)24n n P P P n n N -+++>∈…解：(1)2P 表示从S 点到A (或B C D 、、)，然后再回到S 点的概率 所以211111111111443434343433P =⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯=； A CDS因为从S 点沿一棱，不妨设为SA 棱再经过B 或D ，然后再回到S 点的概率为1111()243318⨯⨯⨯=，所以3124189P =⨯=. (2)设小虫爬行n 米后恰回到S 点的概率为n P ，那么1n P -表示爬行n 米后恰好没回到S 点的概率，则此时小虫必在A （或B C D 、、）点，所以11(1)3n n P P +⨯-=，即131n n P P ++=(2,n n N ∈…).(3)由131n n P P ++=得1111()()434n n P P +-=--，从而2111()4123n n P -=+-， 所以111323131()11111[1()]41214163n n n n n P P P --⎡⎤----+++=+=+--⎢⎥+⎣⎦111211165[()]4163163324n n n ---=+⨯+-->.。