对称Toeplitz矩阵相乘的一种快速算法
关于Toeplitz矩阵的计算_1_5
摘要本文的研究涉及三个方面的内容：Toeplitz矩阵的逆的求法与分解式、特殊Toeplitz矩阵的逆的求法与分解式、Toeplitz线性方程组的解法。
全文共分四章三个部分，创新成果着重体现在第二章、第三章及第四章。
第一部分（第一章）介绍有关Toeplitz矩阵和特殊Toeplitz矩阵的定义以及一些的简单性质。
第二部分（第二章和第三章）主要研究Toeplitz矩阵的逆的求法与分解式，特殊Toeplitz矩阵的逆的求法。
在第二章，本文先给出了Toeplitz矩阵的逆的求法和Toeplitz矩阵的逆的分解式。
本文得到一个新的结论，Toeplitz矩阵的逆矩阵显式表示为循环矩阵与下三角Toeplitz矩阵的乘积之和，并讨论了此分解式的稳定性。
在第三章，本文先给出循环Toeplitz矩阵和三对角Toeplitz矩阵的逆的求法，并且给出了显式逆。
还对五对角Toeplitz矩阵的逆进行了研究，给出了新的结论，得到五对角Toeplitz矩阵的逆的求法，而且显式地表示了五对角Toeplitz矩阵的逆。
第三部分（第四章）主要讨论了Toeplitz线性方程组的解法，介绍了用Zohar 算法、Akaike算法、Bareiss变换法、Gohberg-Kailath-Koltracht算法以及快速傅立叶方法来求解一般Toeplitz线性方程组。
同时，本文给出了新的算法来求解五对角Toeplitz线性方程组和循环五对角Toeplitz线性方程组。
关键词：Toeplitz矩阵，三对角矩阵，循环Toeplitz矩阵，五对角矩阵，逆IABSTRACTThis thesis presents a systematic research on Toeplitz matrices such as computing the inversion of Toeplitz matrices and solving the Toeplitz linear systems. The thesis consists three parts with four chapers.In part one (chapter one), we give the definitions of the Toeplitz matrix and the special Toeplitz matrix. The simple properties of the Toeplitz matrix are presented.The algorithms and the expressions for the inversion of Toeplitz matrix and special Toeplitz matrix are given in part two (chapter two and three). In chapter two, we introduce the methods computing the inversion of Toeplitz matrix and the factorization for the inversion of Toeplitz matrix. A new conclusion is obtained: the inversion of a Toeplitz matrix can be denoted as a sum of products of circulant matrices and upper triangular Toeplitz matrices. In chapter three, we give a new fast algorithm to computing the inversion of the five-diagonal Toeplitz matrix. The inversion of the tridiagonal Toeplitz matrix is also considered.In the last part (chapter four), the algorithms for solving the Toeplitz linear systems, circulant Toeplitz linear systems and the band Toeplitz linear systems are presented. At first, we introduce some classical methods for solving the Toeplitz linear equations. Then, two algorithms for solving the five-diagonal Toeplitz matrix linear equations are given.Keywords: Toeplitz matrix, tridiagonal matrix, circulant Toeplitz matrix, five-diagonal matrix, inversionII。
第一讲Toeplitz矩阵相关
1
J =
1 ...
.
(1.2)
1
• 如果 A 是 persymmetric, 则 JA 和 AJ 都是对称的; • A 是 persymmetric 当且仅当
aij = an+1−j,n+1−i,
即 A 关于反对角线 (ant . . , n,
1.2 循环矩阵与快速 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 离散 Fourier 变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 DFT 与 FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.4 循环矩阵与 DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.5 Toeplitz 矩阵与向量的乘积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.6 BCCB 矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.7 分块循环矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.8 快速三角变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
toeplitz矩阵-向量乘法的快速傅里叶(fft)算法
toeplitz矩阵-向量乘法的快速傅里叶(fft)算法Toeplitz矩阵是一种特殊的矩阵，其每沿主对角线方向上的元素都相等。
这种矩阵在信号处理、图像处理和数值分析等领域有广泛的应用。
对于Toeplitz矩阵和向量的乘法，一种有效的算法是快速傅里叶变换（FFT）算法。
下面将详细介绍这种方法。
首先，我们需要了解一下FFT算法的基本原理。
FFT算法是一种高效的计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。
DFT是将时域信号转换到频域信号的一种方法，它对于分析信号的频率成分非常有用。
FFT算法通过将DFT的计算分解为较小的子问题，从而显著降低了计算复杂度。
在Toeplitz矩阵-向量乘法中，我们实际上是在计算信号通过Toeplitz矩阵的滤波效果。
假设我们有一个Toeplitz矩阵T和一个向量x，我们希望计算T×x。
为了使用FFT算法，我们首先需要对输入向量x进行填充，使其长度超过Toeplitz矩阵的尺寸。
填充的方法是将x在其末尾重复，直到其长度等于Toeplitz矩阵的尺寸。
然后，我们对填充后的向量x进行FFT变换，得到频域表示X。
接下来，我们对Toeplitz矩阵T进行填充，使其尺寸等于频域表示X的长度。
然后，我们计算T×X，得到的结果是原始向量x通过Toeplitz矩阵滤波后的频域表示。
最后，我们对结果进行逆FFT变换，得到时域表示的滤波后的信号。
这个信号就是我们要求的T×x的结果。
这种方法的好处是，通过利用FFT算法，我们可以将Toeplitz矩阵-向量乘法的复杂度从O(n2)降低到O(nlogn)，其中n是Toeplitz矩阵的尺寸。
这使得在处理大规模的Toeplitz矩阵和向量乘法时，我们可以大大减少计算时间和内存消耗。
总的来说，通过利用FFT算法，我们可以高效地计算Toeplitz矩阵和向量的乘法。
这种方法在处理信号和图像处理等领域的问题时具有很大的优势。
然而，需要注意的是，这种方法需要一定的数学知识和对FFT算法的理解。
toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶matlab -回复
toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶matlab -回复题目：将Toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶变换问题的解决办法——Matlab详解引言：Toeplitz矩阵与快速傅里叶变换（FFT）是数值线性代数中常见的问题与方法。
在本篇文章中，我们将深入探讨如何将Toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶变换，然后使用Matlab进行代码实现及说明。
我们将一步一步回答以下几个问题：1. Toeplitz矩阵的定义及性质是什么？2. 快速傅里叶变换（FFT）及其特点是什么？3. 如何将Toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶变换问题？4. 如何使用Matlab实现这个转化过程？5. 代码实例及效果演示。
6. 总结与展望。
一、Toeplitz矩阵的定义及性质Toeplitz矩阵是由一个向量确定的矩阵，具有以下形式：T = [c0, c-1, c-2, ..., c1-n;c1, c0, c-1, ..., c2-n;...cn-1, cn-2, ..., c0]其中，向量c的长度为n。
Toeplitz矩阵的重要性在于它具有很多数学和物理上的应用。
例如，信号处理、图像处理、线性系统的建模等领域。
Toeplitz矩阵有一系列有趣的性质：- 对任意k，T(i,j) = T(i+k, j+k)，即T具有平移不变性。
- T的每一列是前一列向上/向下平移1个单位得到的。
- 行列式的计算可以通过列的平移来进行。
二、快速傅里叶变换（FFT）及其特点快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。
FFT拥有以下几个特点：- 快速：在计算复杂度上通常为O(nlogn)。
- 高效：相对于传统的暴力计算方法，FFT计算速度更快。
- 强大：傅里叶变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域具有广泛的应用。
三、将Toeplitz矩阵乘向量转化为FFT问题假设我们有一个Toeplitz矩阵T乘以一个向量v，即计算Tv。
上三角toeplitz矩阵性质的两个结论
上三角toeplitz矩阵性质的两个结论
上三角Toeplitz矩阵是指矩阵的除了第一行外，每一行的元素比其上一行的元素少一个，而且其上一行的元素相对其当前行元素向左移一列的矩阵。
上三角Toeplitz矩阵具有诸多性质。
首先，必须指出的是，上三角Toeplitz矩阵是对称矩阵，而对称矩阵是正定矩阵。
正定矩阵的转置等于原矩阵，即A=A^T，因此，上三角Toeplitz矩阵具有转置等于原矩阵的性质。
这一结论意味着，任何上三角Toeplitz矩阵都具有正定性和转置等于原矩阵的性质。
其次，上三角Toeplitz矩阵具有对角线对称的矩阵性质，意味着矩阵的对角线具有对称性，这是由于上三角Toeplitz矩阵的行与列之间存在着特殊的关系，即每一行的元素相对于每一列的元素向左移一列，因此，矩阵的每一行与每一列相关联，这使得矩阵的对角线具有对称性，因此上三角Toeplitz矩阵具有对角线对称的矩阵性质。
总之，上三角Toeplitz矩阵具有正定性、转置等于原矩阵、对角线对称、不变的性质，是一类具有特殊结构的矩阵形式，在数学和工程中有着重要的应用。
toepliz矩阵 范德蒙分解 matlab -回复
toepliz矩阵范德蒙分解matlab -回复关于"toepliz矩阵"和"范德蒙分解"在MATLAB中的应用，以下将为您一步一步回答。
一、什么是Toeplitz矩阵？Toeplitz矩阵是一种具有特殊性质的方阵。
在Toeplitz矩阵中，每一条对角线上的元素都相同。
具体来说，设Toeplitz矩阵的第一行为[a1, a2, ..., an]，则第k条主对角线上的元素均为ak。
例如，下面是一个4阶的Toeplitz 矩阵的示例：1 2 3 45 1 2 36 5 1 27 6 5 1Toeplitz矩阵的特殊性质使其在许多数学和工程应用中很有用。
二、Toeplitz矩阵的性质与应用Toeplitz矩阵具有很多有趣的性质，在信号处理、数字图像处理、线性代数等领域中被广泛应用。
下面介绍一些常见的Toeplitz矩阵性质和应用。
1. 低秩性：Toeplitz矩阵往往具有较低的秩，即可以使用较少的元素表示整个矩阵。
这一性质在数据压缩、降维等领域中很有用。
2. 循环卷积：Toeplitz矩阵与卷积运算之间存在密切联系。
对于长度为n 的向量x和长度为m的向量h，Toeplitz矩阵可以用来计算卷积运算x*h。
因此，Toeplitz矩阵在信号处理中常用于卷积和相关运算。
3. 线性方程求解：由于Toeplitz矩阵具有特殊的结构，可以使用特殊的算法来解线性方程组。
其中最著名的方法是Levinson算法，它可以高效地解决Toeplitz矩阵的线性方程组。
三、Toeplitz矩阵的生成与操作在MATLAB中，我们可以使用toeplitz函数生成Toeplitz矩阵。
该函数的使用格式为：T = toeplitz(c, r)其中，c是一个向量，表示矩阵的第一列，r是一个向量，表示矩阵的第一行。
生成的矩阵T满足第一列为c，第一行为r的Toeplitz矩阵。
我们还可以使用MATLAB中的其他函数对Toeplitz矩阵进行操作，例如计算特征值和特征向量、计算秩、求逆等。
toeplitz矩阵逆阵的一种解法
toeplitz矩阵逆阵的一种解法Toeplitz矩阵是一种很常见的矩阵形式，在信号处理、图像处理、数学建模等领域都有广泛的应用。
Toeplitz矩阵的逆阵求解一直是一个重要的问题，因为其求解过程涉及到很多高等数学知识和算法技巧。
本文旨在介绍一种解决Toeplitz矩阵逆阵的方法，并对其进行详细的分析和实验验证。
一、Toeplitz矩阵的定义和性质Toeplitz矩阵是指在矩阵中，每一行（或每一列）上的元素都相同，且这些元素的位置随着行（或列）的变化而变化。
例如，下面的矩阵就是一个Toeplitz矩阵：$$A=begin{bmatrix}a_0 & a_1 & a_2 & a_3 a_{-1} & a_0 & a_1 & a_2 a_{-2} & a_{-1} & a_0 & a_1 a_{-3} & a_{-2} & a_{-1} & a_0end{bmatrix}$$其中，$a_i$表示矩阵中第$i$行（或第$i$列）的元素。
由于Toeplitz矩阵具有很多良好的性质，因此其在实际应用中具有很大的优势。
下面介绍一些常见的Toeplitz矩阵的性质：1. Toeplitz矩阵是一种带有周期性结构的矩阵，即它的第一行和第一列是相同的，第二行和第二列也是相同的，以此类推。
因此，Toeplitz矩阵可以用一个向量来表示，这个向量可以称为Toeplitz 向量。
2. Toeplitz矩阵是一种循环矩阵，即它可以通过循环移位得到自身的任意一行或一列。
例如，对于上面的矩阵$A$，如果将其向右循环移位一位，就可以得到下面的矩阵：$$A'=begin{bmatrix}a_3 & a_0 & a_1 & a_2 a_2 & a_{-1} & a_0 & a_1 a_1 & a_{-2} & a_{-1} & a_0 a_0 & a_{-3} & a_{-2} & a_{-1}end{bmatrix}$$可以看出，$A'$和$A$是等价的。
toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶matlab
toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶matlab 如何将Toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶变换（FFT）的形式？在信号处理和线性代数中，矩阵向量乘法是一种常见的计算操作。
Toeplitz 矩阵是一种具有特定结构的矩阵，其中每一行从左上角到右下角的对角线元素相同。
在许多应用中，我们需要将Toeplitz矩阵乘以一个向量。
然而，直接计算这个乘积的复杂度较高，因此我们希望能够利用FFT算法加速计算过程。
在本文中，我们将详细介绍如何将Toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶变换的形式，并使用MATLAB进行具体实现。
一、Toeplitz矩阵的定义和性质Toeplitz矩阵是一种具有以下形式的矩阵：T = [T₀, T₁, ⋯, TT₋₁;T₋₁, T₀, ⋯, TT₋₂;⋯, ⋯, ⋯, ⋯;T₁₋T, T₂₋T, ⋯, T₀]其中T₀, T₁, ..., TT₋₁是矩阵的第一行元素，而T₋₁, T₀, ..., TT₋₂是矩阵的第一列元素。
这些元素通常是由一个给定的序列生成的。
Toeplitz矩阵有许多特殊的性质，其中最重要的性质之一是Toeplitz-CSR （Compressed Sparse Row）表示法，它利用对称性将矩阵的存储空间从O(T²)降低到O(T)。
在本文中，我们将使用这种表示法来快速计算Toeplitz矩阵乘向量的结果。
二、Toeplitz矩阵乘向量的计算对于一个Toeplitz矩阵T和一个向量T，我们希望计算乘积T = TT。
传统方法是直接计算乘积，即T = [T₀, T₁, ⋯, TT₋₁]⋅[T₀, T₁, ⋯, TT₋₁]，但其计算复杂度为O(T²)。
为了加速计算过程，我们将使用FFT算法将Toeplitz矩阵乘向量问题转化为更高效的形式。
下面是具体的计算步骤：1. 首先，我们将Toeplitz矩阵T转换为Toeplitz-CSR格式。
二维卷积转化成toeplitz矩阵
二维卷积可以转化为Toeplitz矩阵与向量的乘积。
具体步骤如下：1. 将输入矩阵（图像）按行展开成一个列向量。
2. 将卷积核旋转90度，然后按行展开成列向量。
3. 构建一个由输入向量的元素组成的矩阵，该矩阵的行数等于卷积核的大小，列数等于输入矩阵的大小减去卷积核大小加1。
4. 使用这个矩阵和卷积核向量构建一个Toeplitz矩阵。
5. 计算Toeplitz矩阵与输入向量的乘积，得到输出向量。
6. 将输出向量重塑为与原始输入矩阵相同的形状。
以下是一个使用Python和NumPy实现的例子：pythonimport numpy as npdef convolution_to_toeplitz(input_matrix, kernel):input_vector = input_matrix.flatten('F')kernel_vector = np.flip(kernel).flatten()matrix_size = input_matrix.shape[0]kernel_size = kernel.shape[0]result_size = matrix_size - kernel_size + 1toeplitz_matrix = np.zeros((result_size, matrix_size))for i in range(result_size):toeplitz_matrix[i] = input_vector[i:i+kernel_size]output_vector = np.dot(toeplitz_matrix, kernel_vector)output_matrix = output_vector.reshape(result_size, result_size)return output_matrix# 示例input_matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])kernel = np.array([[1, 0], [0, 1]])output_matrix = convolution_to_toeplitz(input_matrix, kernel)print(output_matrix)注意：这个例子仅适用于单通道图像和卷积核。
卷积变换为矩阵乘法托普利兹矩阵
卷积变换为矩阵乘法托普利兹矩阵一、引言卷积变换为矩阵乘法，是深度学习中一个重要的概念和技术。
在深度学习领域中，卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）被广泛应用于图像识别、语音处理和自然语言处理等任务中。
卷积变换是CNN中非常重要的一个步骤，它通过对输入数据进行多个不同的卷积操作，提取出图像或信号的特征。
而将卷积变换转化为矩阵乘法的操作，则可以大大提高计算效率。
本文将深入探讨卷积变换为矩阵乘法的核心概念——托普利茨矩阵，并分析其在卷积神经网络中的应用。
二、卷积变换与矩阵乘法1. 卷积变换的基本原理在卷积神经网络中，卷积变换是通过在输入数据上应用一个滤波器（也称为卷积核）来提取特征。
卷积操作可以理解为滤波器在输入数据上的滑动窗口操作。
在每个位置上，滤波器与局部输入数据进行逐元素乘积，并对乘积结果求和。
这个过程可以通过卷积操作符（*）进行表示。
卷积变换将输入数据通过滤波器的卷积操作，转换为提取到的特征图。
2. 矩阵乘法的基本原理矩阵乘法是线性代数中的一个基本运算，通过对两个矩阵对应元素的乘积进行求和，得到一个新的矩阵。
矩阵乘法的计算规则是：对于一个m×n的矩阵A和一个n×p的矩阵B，它们的乘积C为一个m×p的矩阵，其中C的每个元素为A的对应行与B的对应列的乘积之和。
3. 卷积变换为矩阵乘法的转换将卷积变换转化为矩阵乘法，可以通过托普利茨矩阵的性质来实现。
托普利茨矩阵是指其每条对角线元素相等的矩阵。
对于一个卷积核，我们可以将其转化为一个托普利茨矩阵。
考虑一个卷积核大小为3×3，卷积核的每个权重为$a$，则对应的托普利茨矩阵为：\[\begin{bmatrix}a&0&a\\0&a&0\\a&0&a\end{bmatrix}\]通过将输入数据展开为矩阵形式，并将托普利茨矩阵与展开后的输入矩阵进行矩阵乘法，即可实现卷积变换。
对称Toeplitz矩阵相乘的一种快速算法
对称Toeplitz矩阵相乘的一种快速算法作者：张曙光来源：《科技创新导报》 2013年第26期张曙光（北京航空航天大学数学与系统科学学院北京 100191）摘?要：本文将Toeplitz矩阵分解为循环矩阵和下三角矩阵之和，以及一般卷积向循环卷积的转化，借助快速Fouier算法（FFT），给出了一种对称Toeplitz矩阵相乘的快速算法，其算法复杂性为次实乘次数，次实加次数，较之前的算法在时间复杂性上有所改善。
关键词：对称Toeplitz矩阵快速Fouier算法(FFT) 算法复杂性中图分类号：O151.21 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2013)09(b)-0219-02A fast algorithm for the multiplication of Symmetric Toeplitz matricesZHANG Shuguang(School of mathematics and system science,Bei Hang University,Beijing 100191,China)Abstract：In this paper,I am going to decompose a Toeplitz matrix into the multiplication of a cyclic matrix and a ?lower triangular matrix.Meanwhile,I will talk about the conversion from a common convolution into a cyclic convolution. Using the fast Fouier algorithm(FFT),I have a given out a fast algorithm for the multiplication of Symmetric Toeplitz matrices. Its algorithm complexity is multiplies times, plus pared with the former algorithm,this method has improved in time complexity.Key words：symmetric Toeplitz;fast Fouier algorithm(FFT);algorithm complexityToeplitz矩阵常常出现在许多应用中，如谱分析、时序分析、线性预测、最小二乘估计、信号处理等领域，是应用最广泛的特殊矩阵之一。
矩阵相乘的快速算法
矩阵相乘的快速算法算法介绍矩阵相乘在进行3D变换的时候是经常用到的。
在应用中常用矩阵相乘的定义算法对其进行计算。
这个算法用到了大量的循环和相乘运算，这使得算法效率不高。
而矩阵相乘的计算效率很大程度上的影响了整个程序的运行速度，所以对矩阵相乘算法进行一些改进是必要的。
这里要介绍的矩阵算法称为斯特拉森方法，它是由v.斯特拉森在1969年提出的一个方法。
我们先讨论二阶矩阵的计算方法。
对于二阶矩阵a11 a12 b11 b12A = a21 a22B = b21 b22先计算下面7个量(1)x1 = (a11 + a22) * (b11 + b22);x2 = (a21 + a22) * b11;x3 = a11 * (b12 - b22);x4 = a22 * (b21 - b11);x5 = (a11 + a12) * b22;x6 = (a21 - a11) * (b11 + b12);x7 = (a12 - a22) * (b21 + b22);再设C = AB。
根据矩阵相乘的规则，C的各元素为(2)c11 = a11 * b11 + a12 * b21c12 = a11 * b12 + a12 * b22c21 = a21 * b11 + a22 * b21c22 = a21 * b12 + a22 * b22比较(1)(2)，C的各元素可以表示为(3)c11 = x1 + x4 - x5 + x7c12 = x3 + x5c21 = x2 + x4c22 = x1 + x3 - x2 + x6根据以上的方法，我们就可以计算4阶矩阵了，先将4阶矩阵A和B划分成四块2阶矩阵，分别利用公式计算它们的乘积，再使用(1)(3)来计算出最后结果。
ma11 ma12 mb11 mb12A4 = ma21 ma22 B4 = mb21 mb22其中a11 a12 a13 a14 b11 b12 b13 b14ma11 = a21 a22 ma12 = a23 a24 mb11 = b21 b22 mb12 = b23 b24a31 a32 a33 a34 b31 b32 b33 b34ma21 = a41 a42 ma22 = a43 a44 mb21 = b41 b42 mb22 = b43 b44实现// 计算2X2矩阵void Multiply2X2(float& fOut_11, float& fOut_12, float& fOut_21, float& fOut_22,float f1_11, float f1_12, float f1_21, float f1_22,float f2_11, float f2_12, float f2_21, float f2_22){const float x1((f1_11 + f1_22) * (f2_11 + f2_22));const float x2((f1_21 + f1_22) * f2_11);const float x3(f1_11 * (f2_12 - f2_22));const float x4(f1_22 * (f2_21 - f2_11));const float x5((f1_11 + f1_12) * f2_22);const float x6((f1_21 - f1_11) * (f2_11 + f2_12)); const float x7((f1_12 - f1_22) * (f2_21 + f2_22)); fOut_11 = x1 + x4 - x5 + x7;fOut_12 = x3 + x5;fOut_21 = x2 + x4;fOut_22 = x1 - x2 + x3 + x6;}//计算4X4矩阵void Multiply(CLAYMATRIX& mOut, const CLAYMATRIX& m1, const CLAYMATRIX& m2) {float fTmp[7][4];// (ma11 + ma22) * (mb11 + mb22)Multiply2X2(fTmp[0][0], fTmp[0][1], fTmp[0][2], fTmp[0][3],m1._11 + m1._33, m1._12 + m1._34, m1._21 + m1._43, m1._22 + m1._44,m2._11 + m2._33, m2._12 + m2._34, m2._21 + m2._43, m2._22 + m2._44);// (ma21 + ma22) * mb11Multiply2X2(fTmp[1][0], fTmp[1][1], fTmp[1][2], fTmp[1][3],m1._31 + m1._33, m1._32 + m1._34, m1._41 + m1._43, m1._42 + m1._44,m2._11, m2._12, m2._21, m2._22);// ma11 * (mb12 - mb22)Multiply2X2(fTmp[2][0], fTmp[2][1], fTmp[2][2], fTmp[2][3],m1._11, m1._12, m1._21, m1._22,m2._13 - m2._33, m2._14 - m2._34, m2._23 - m2._43, m2._24 - m2._44);// ma22 * (mb21 - mb11)Multiply2X2(fTmp[3][0], fTmp[3][1], fTmp[3][2], fTmp[3][3],m1._33, m1._34, m1._43, m1._44,m2._31 - m2._11, m2._32 - m2._12, m2._41 - m2._21, m2._42 - m2._22);// (ma11 + ma12) * mb22Multiply2X2(fTmp[4][0], fTmp[4][1], fTmp[4][2], fTmp[4][3],m1._11 + m1._13, m1._12 + m1._14, m1._21 + m1._23, m1._22 + m1._24,m2._33, m2._34, m2._43, m2._44);// (ma21 - ma11) * (mb11 + mb12)Multiply2X2(fTmp[5][0], fTmp[5][1], fTmp[5][2], fTmp[5][3],m1._31 - m1._11, m1._32 - m1._12, m1._41 - m1._21, m1._42 - m1._22,m2._11 + m2._13, m2._12 + m2._14, m2._21 + m2._23, m2._22 + m2._24);// (ma12 - ma22) * (mb21 + mb22)Multiply2X2(fTmp[6][0], fTmp[6][1], fTmp[6][2], fTmp[6][3],m1._13 - m1._33, m1._14 - m1._34, m1._23 - m1._43, m1._24 - m1._44,m2._31 + m2._33, m2._32 + m2._34, m2._41 + m2._43, m2._42 + m2._44);// 第一块mOut._11 = fTmp[0][0] + fTmp[3][0] - fTmp[4][0] + fTmp[6][0];mOut._12 = fTmp[0][1] + fTmp[3][1] - fTmp[4][1] + fTmp[6][1];mOut._21 = fTmp[0][2] + fTmp[3][2] - fTmp[4][2] + fTmp[6][2];mOut._22 = fTmp[0][3] + fTmp[3][3] - fTmp[4][3] + fTmp[6][3];// 第二块mOut._13 = fTmp[2][0] + fTmp[4][0];mOut._14 = fTmp[2][1] + fTmp[4][1];mOut._23 = fTmp[2][2] + fTmp[4][2];mOut._24 = fTmp[2][3] + fTmp[4][3];// 第三块mOut._31 = fTmp[1][0] + fTmp[3][0];mOut._32 = fTmp[1][1] + fTmp[3][1];mOut._41 = fTmp[1][2] + fTmp[3][2];mOut._42 = fTmp[1][3] + fTmp[3][3];// 第四块mOut._33 = fTmp[0][0] - fTmp[1][0] + fTmp[2][0] + fTmp[5][0];mOut._34 = fTmp[0][1] - fTmp[1][1] + fTmp[2][1] + fTmp[5][1];mOut._43 = fTmp[0][2] - fTmp[1][2] + fTmp[2][2] + fTmp[5][2];mOut._44 = fTmp[0][3] - fTmp[1][3] + fTmp[2][3] + fTmp[5][3];}比较在标准的定义算法中我们需要进行n * n * n次乘法运算，新算法中我们需要进行7log2n次乘法，对于最常用的4阶矩阵：原算法新算法加法次数 48 72(48次加法，24次减法)乘法次数 64 49需要额外空间 16 * sizeof(float) 28 * sizeof(float)新算法要比原算法多了24次减法运算，少了15次乘法。
对称Toeplitz_plus_Hankel矩阵特征值的快速算法
文章编号:1008-1402(2009)02-0278-02对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵特征值的快速算法①曾祝明(福建工程学院数理系,福建福州350108)摘 要: 利用了n 阶对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵的结构特点和对称性,给出了计算该类矩阵所有特征值的一个快速算法.该算法的计算复杂度为o (n 2log n ),比文献[1-2]所给的算法来得少.关键词: T oeplitz -plus -Hankel 矩阵;Lanczos 算法;特征值中图分类号: O241.6 文献标识码: A0 引 言对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵的特征值问题在科学与工程计算、图像和信号处理领域中有着重要的应用,已引起不少学者的关注,见文献[1-4].然而对于计算对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵的部分或全部特征值的研究,相应的数值算法涉及不多,可参见文献[1-5].本文介绍一种求解对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵特征值问题的快速算法.1 预备知识定义1[1] n 阶T oeplitz 矩阵定义为T =(t l ,k ),t l ,k =t l -k ,l ,k =0,1,…,n - 1.定义2[1] n 阶Hankel 矩阵定义为H =(h l ,k ),h l ,k =h l +k ,l ,k =0,1,…,n -1.定义3[1] n 阶对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵定义为A =(a l ,k ),a l ,k =t |l -k |+h l +k ,l ,k =0,1,…,n -1.2 算法推导假设n 阶对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵A 为非亏损矩阵,则矩阵A 的特征值分解为A =PDP-1(1)其中,D 为对角矩阵,P 为非奇异矩阵.取矩阵P 为正交矩阵,因而有A =PDP T.首先对矩阵A 实施Lanczos 三对角化,则A =QK Q T(2)其中,Q 为正交矩阵,K 为对称三角矩阵.再对矩阵K 实施对角化,得K =WDWT (3)其中,W 为正交矩阵,D 为对角矩阵.因而根据(2)和(3)式,可得矩阵的特征值分解(1)式,其中P =QW .我们知道Lanczos 算法主要运算量是计算矩阵与向量的乘积.一般来说,n 阶矩阵与任一n 维向量的乘积的计算复杂度为O (n 2).这里利用计算n 阶T oeplitz 矩阵与任一n 维向量的乘积的一种快速算法,它的计算复杂度仅为O (n log n ).因而基于Lanczos 算法原理,对n 阶对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵实施Lanczos 三对角化,所需的计算量为O (n 2log n ).上述得到的三对角矩阵仍具有对称性,为了保持它的对称性和三对角结构,我们在QR 迭代的对角化过程中采用正交变换.3 对称T oeplitz -plus -Hankel 矩阵与向量的乘积的算法 考虑n 阶实T oeplitz 矩阵T ,我们将它嵌入一个(2n -1)×(2n -1)阶的循环矩阵C ,即①收稿日期:2009-01-29基金项目:福建工程学院青年科研基金项目(GY-Z 08119).作者简介:曾祝明(1982-),男,福建泉州人,硕士,福建工程学院数理系助教,研究方向:数值代数. 第27卷第2期 佳木斯大学学报(自然科学版) V ol.27N o.2 2009 年03月 Journal of Jiamusi University (Natural Science Edition ) Mar. 2009C=t0t1…t n-1t1-n t2-n…t-1 t-1t0…t n-2t n-1t1-n…t-2……ω………ω…t1-n t2-n…t0t1t2…t n-1 t n-1t1-n…t-1t0t1…t n-2 t n-2t n-1…t-2t-1t0…t n-3……ω………ω…t1t2…t1-n t2-n t3-n…t0容易看出,C的n阶顺序主子阵为T oeplitz矩阵T.给定一个n维的向量x=(x1,x2,…,x n)T,计算矩阵与向量的乘积y=Tx.令x^为一(2n-1)维的向量,x^=(x1,x2,…,x n,0,0,…,0)T容易看出,y为向量z的前n个分量,其中z≡Cx^.由于循环矩阵与向量的积可用FFT来计算,即Cx^=ifft(fft(d)・3fft(x^))其中d为矩阵T的第一列.由于fft(u)的计算复杂度为O(n log n).这样可得下面的引理.引理1[2] 任一n阶T oeplitz矩阵与任一n维向量的乘积的计算复杂度为O(n log n).由引理1可以得到如下算法:算法1 该算法利用FFT计算n维向量x与n 阶T oeplitz矩阵的乘积y,即y=Tx;(1)定义一个(2n-1)一维的向量x^,其中x^= (x1,x2,…,x n,0,0,…,0)T;(2)由公式Cx^=ifft(fft(d)・3fft(x^)),计算向量z,其中d为循环矩阵C的第一列;(3)令z=(z1,z2,…,z2n-2,z2n-1)T,则y=(z1,z2,…,z n)T.现描述一n阶对称T oeplitz-plus-Hankel矩阵A与任一n维向量v的乘积的一种快速算法,即计算Av,其中A=T+H.因而n阶对称T oeplitz-plus-Hankel矩阵A与任一n维向量的乘积Av=(T+H)v=Tv+Hv(4)就转化为n阶T oeplitz矩阵和n阶Hankel矩阵分别与一个n维向量的乘积计算.记J为n阶次单位矩阵,因而有J2=I.由T oeplitz矩阵与Hankel矩阵的结构特点,可得H J=T H其中TH为T oeplitz矩阵.因而(4)式可转化为Av=(T+H)v=Tv+Hv=Tv+(H J)(Jv)=Tv+T H(Jv)其中TH为T oeplitz矩阵,(Jv)为一n维向量,因而T H(Jv)仍可运用算法1来进行快速计算.4 算法与数值实验根据前面所述,我们可以得到一个计算n阶对称T oeplitz-plus-Hankel矩阵所有特征值的算法,它的计算复杂度仅为O(n2log n).算法2(对称T oeplitz-plus-Hankel矩阵特征值快速算法)给定一n阶对称T oeplitz-plus-Hankel矩阵A,(1)利用Lanczos算法把对称T oeplitz-plus-Hankel矩阵A约化成三对角矩阵(过程运用算法1),(2)利用带Wilkinson位移的隐式QR算法把对称三对角矩阵约化成一对角矩阵.例 随机生成20个50×50阶的对称T oeplitz -Plus-Hankel矩阵,每一个矩阵的元素都落在区间[-1,1]中.假设MAT LAB的工具函数eig()计算的特征值是精确的.记λ^i,λi分别为采用本文的算法2、MAT LAB的工具函数eig()计算得到的特征值.图1表示这20个矩阵分别用这两种算法计算出的特征值的误差.其中error=∑50i=1|λ^i-λi|2|λi|212图1 两种算法计算出特征值的误差由图1可以看出,算法2可以准确地计算出对称T oeplitz-plus-Hankel矩阵的所有特征值.参考文献:[1] T rench W.Numerical S olution of the E igenvalue Problem for E ffi2ciently S tructured Herm itian M atrices[J].Lin.Alg.Appl.,1991, 154-156:154-156.[2] Ng M.Preconditioned Lancz os M ethods for the M inimum E igenvalueof a Symmetric P ositive Definite T oeplitz M atrix[J].SIAM J.Sci.C om put.,2000,21(6):1973-1986.[3] T rench W.Numerical S olution of the E igenvalue Problem for Herm i2tian T oeplitz M atrices[J].SIAM J.M atrix Anal.Appl.,1989,10(2):135-146.[4] Fasino D.S pectral Properties of T oeplitz-plus-Hankel M atrices[J].Calcolo,1996,33:87-98.[5] M ackens W,V oss H.The M inimum E igenvalue of a Symmetric P osi2tive Definite T oeplitz M atrix and Rational Herm itian Interpolation [J].SIAM J.M atrix Anal.Appl.,1997,18:521-534.(下转284页)972第2期曾祝明:对称T oeplitz-plus-Hankel矩阵特征值的快速算法算子的一个充分条件,并给出了具体的无界算子具有非游荡性的例子(微分算子),从而使非游荡算子理论得到了进一步的完善,同时也丰富了国际上流行的混沌算子,超循环算子的研究.参考文献:[1] Lixin T ian,Jiangbo Zhou,Xun Liu,and G uangsheng Zhong N onwan2dering op-Erators in Banach S pace[J].Internatio-nal Journal O f M athematics and M ath-ematical Sciences,2005.24(2005)3895-3908.[2] T ian Lixin,Lu Dianchen.The property of nonwandering operator,Ap2pl.M-ath.M ech.(English Ed)[J].1996,17(2):155-161. [3] 周江波,卢殿臣,田立新.Fréchet空间上的非游荡算子的遗传超循环分解[J].江苏理工大学学报(自然科学版),2001,22(6):88-91.[4] 周江波,卢殿臣,田立新.Banach序列空间上的非游荡算子的存在性[J].江苏大学学报(自然科学版),2004,25(2):141 -144.[5] H.Emam irad,G.S.Heshmati.Chaotic W eighted Shifts in Barg2mann space,J.M ath.Anal.Appl.308(2005)36-46.[6] J.Bés,K.C.Chan,S.M.Seubert,Chaotic Unbounded Differenti2ation Operators.Inte-gral Equations Operator Theory40(2001)257 -267.[7] 钟光胜,田立新,刘恂.非游荡性及K ato意义下的逼近[J].江苏大学学报(自然科学版),2004,25(5):409-412.[8] Lixin T ian,Lihong Ren N-multiple N on-wandering Unilateral2W eighted Backward Shift Operators and the Property of Direct Sum Operators in Banach S pace.International Journal of N onlinear Sci2 ence.2(2),104-110(2006).[9] Lixin T ian,M inggang W ang.Pseudo Orbit T racing Property of N on2wandering Operator.International Journal of N onlinear Science.1(3),3-7(2007).An Important Property of Differentiation OperatorWANG Ming-gang1, XU Hua1, TIAN Li-xin2(1.M athem atics Dep artment of T aizhou College,N anjing N orm al U niversity,T aizhou225300,China;2.R esearch Center of N onlinear Sci2 ence,Jiangsu U niversity,Zhenjiang212013,China)Abstract: a su fficient condition for an unbounded operator to be non-wandering operator was given,and then the condition was applied to the differentiation operator on the Bargmann space F and the Hardy space H2.Finally,a su fficient condition for the operator g(D)defined by means of a functional calculus to be non-wandering operator was given.K ey w ords: differentiation operator;non-wandering operator;unbound operator;Bargmann space;Hardy space(上接279页)A F ast Eigenvalue Algorithm for Symmetric Toeplitz-plus-H ankel MatricesZENG Zhu-ming(Dep artment of M athem atics and Physics,Fujian U niversity of T echnology,Fujian350108,China) Abstract: T aking advantage of symmetric T oeplitz-plus-Hankel structrure and symmetry,the author presents a fast alg orithm that can find all the eigenvalues of a symmetric T oeplitz-plus-Hankel matrix in o(n2log n)opera2 tions,which is faster than the alg orithms given in papers[1-2].K ey w ords: T oeplitz-plus-Hankel matrix;Lanczos alg orithm;eigenvalue482佳木斯大学学报(自然科学版)2009年。
Hermitian Toeplitz矩阵向量积的计算
Hermitian Toeplitz矩阵向量积的计算本文主要讨论hermitian Toeplitz矩阵与向量的乘积.利用hermitian Toeplitz矩阵的结构和性质,我们首先将它变换成一个实对称Toeplitz矩阵与一个Hankel矩阵的和；然后,利用FFT方法,我们设计了基于嵌入、多水平方法和分裂方法的快速算法.最后用一个实例来说明这三种方法的计算量以及跟传统算法计算量的比较。
本文共分为六章,结构如下：第一章为引言.主要介绍了本论文的研究背景和选题依据,以及研究内容和创新.第二章主要介绍了一些在本文中要用到的基本概念和符号表示.第三章将Toeplitz矩阵嵌入到一个循环矩阵,得出了用FFT方法计算hermitian Toeplitz矩阵与向量的乘积的快速算法.第四章利用实对称Toeplitz矩阵的对称性,得出了用多水平方法计算hermitian Toeplitz矩阵与向量的乘积的快速算法.第五章将实对称Toeplitz矩阵分裂成一个循环矩阵和一个反循环矩阵的和,从而得出了基于该分裂来计算hermitian Toeplitz矩阵与向量的乘积的快速算法.。
toeplitz矩阵乘向量转化为快速傅里叶
Toeplitz矩阵乘向量的计算可以通过转化为循环矩阵并进行快速傅里叶变换来进行优化。
这种方法能够显著降低计算的复杂性和存储需求。
首先，Toeplitz矩阵可以被构造为循环矩阵，即将矩阵的元素沿主对角线向右移动一位。
然后，我们可以利用快速傅里叶变换（FFT）将该循环矩阵对角化，从而将Toeplitz矩阵乘向量的计算转化为一系列简单的向量和矩阵运算。
具体步骤如下：
1. 构造循环矩阵：令原Toeplitz矩阵的第一列元素构成一列向量$t$，并构造一个新的$2n\times 2n$阶矩阵$B_n$，其第一列等于$t$，其余元素均为0。
2. 对角化循环矩阵：通过FFT将$B_n$对角化，得到一个对角矩阵$C_{2n}$，其中对角线上的元素即为$t$的离散傅里叶变换（DFT）的系数。
3. 计算向量和矩阵运算：设有一$n\times 1$阶列向量$\bf u$，我们可以将其DFT变换后的向量记为$\bf u_f$。
然后，通过矩阵与向量的乘法运算$\bf u_f \times C_{2n}$，得到一个新的向量$\bf v$。
最后，对$\bf v$进行逆DFT变换（IDFT），得到最终的结果。
这种方法的好处在于，通过利用FFT将Toeplitz矩阵对角化，我们可以在$O(n\log n)$的时间复杂度和$O(n)$的空间复杂度内完成Toeplitz矩阵乘向量的计算。
相比直接计算Toeplitz矩阵乘向量的$O(n^2)$时间复杂度和$O(n^2)$空间复杂度，这种方法大大提高了计算的效率。
矩阵乘法的一个新快速算法
矩阵乘法的一个新快速算法矩阵乘法对于两个矩阵的相乘，只有在第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同的时候，其乘积才有意义。
最早出现的就是一般的矩阵乘法，并且在很长的一段时间内人们都认为该算法无法继续改进，直到1969年，Strassen发明了一个算法，首次降低了矩阵乘法的时间复杂度，并且该算法也以他的名字命名——Strassen算法。
在后续的几十年里，人们在Strassen算法的基础上不断改进算法，并且在逐步降低矩阵乘法的时间复杂度。
比较有里程碑意义的是在1990年，Coppersmith和Winograd两个人对算法进行的改进，其算法也被称为算法。
一般矩阵乘法一般矩阵乘法，将第一个矩阵一行中的元素与第二个矩阵中一列对应位置上元素的乘积之和，作为第三个矩阵这一行一列对应位置的结果。
在这里插入图片描述在这里插入图片描述对于n*n的矩阵乘法其时间复杂度为O(n3)/** Generate Algorithm* matA a M*K matrix* matB a K*N matrix* matC a M*N matrix* matC = matA * matBstatic void mm_generate(float* matA, float* matB, float* matC, const int M, const int N, const int K){for (int i = 0; i < M;i++){for (int j = 0; j < N;j++){float sum = 0.0f;for (int k = 0; k < K;k++){sum += matA[i*K + k] * matB[k*N + j];}matC[i*N + j] = sum;}}}123456789101112131416171819202122分块算法将矩阵分割成四块来计算在这里插入图片描述在这里插入图片描述这里需要8个乘法和4个加法其时间复杂度依然是O(n3)Strassen 算法Strassen在分块的基础上进行改进在这里插入图片描述在这里插入图片描述这里用了7个乘法和18个加/减法对于每一个n * n 矩阵，可以看成有 2 * 2 的小矩阵拼接而来，因此会有n/2 * n/2 个小矩阵T(n) = 7 * T(n/2) + O(n2)T(n) = O(nlg7) + O(n2.81)其算法的时间复杂度为O(n2.81)Github：Straseen算法的代码实现相较与一般算法来说，只有在n很大的时候才会体现出性能上的优势，并且在实现是采用递归调用，每次调用会产生中间7个矩阵，所占用的空间要比一般的算法多。
Hermitian Toeplitz矩阵向量乘积的快速算法
Hermitian Toeplitz矩阵向量乘积的快速算法
刘仲云; 陈思恒; 徐伟进; 张育林
【期刊名称】《《数学理论与应用》》
【年(卷),期】2017(037)003
【摘要】众所周知,大规模Hermitian Toeplitz矩阵向量乘积Ax可由快速Fourier变换(FFT)进行计算.事实上,Hermitian Toeplitz矩阵在酉相似变换下可约化为一个实的Toeplitz矩阵与Hankel矩阵之和.基于此,本文利用DCT和DST,构造了一个更有效的方法,只需O(n)的复运算.
【总页数】5页(P38-42)
【作者】刘仲云; 陈思恒; 徐伟进; 张育林
【作者单位】长沙理工大学数学与统计学院湖南长沙 410114; Minho大学数学中心葡萄牙 4710-057
【正文语种】中文
【相关文献】
1.对称Toeplitz矩阵特征值的快速算法 [J], 曾祝明
2.实对称Toeplitz矩阵与向量的乘积的快速算法探究 [J], 尹屹
3.求块-Toeplitz矩阵QR分解中R的一种快速算法 [J], 刘俊;胡艳军
4.拟五对角Toeplitz矩阵行列式的一种快速算法 [J], 康丽;陈跃辉;万继青
5.对称Toeplitz矩阵相乘的一种快速算法 [J], 张曙光
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关于Toeplitz矩阵的计算_6_10
目录第一章 绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 Toeplitz矩阵简介 (2)1.3 本文的主要工作 (4)第二章 TOEPLITZ矩阵的逆矩阵的研究 (5)2.1 引言 (5)2.2 求逆矩阵的直接方法 (7)2.3 逆矩阵的表现形式 (8)2.4 逆矩阵的新分解式 (11)第三章 特殊TOEPLITZ矩阵的逆矩阵的研究 (16)3.1 循环Toeplitz矩阵的逆矩阵 (16)3.2 三对角Toeplitz矩阵的逆矩阵 (18)3.3 五对角Toeplitz矩阵的逆矩阵 (20)第四章 TOEPLITZ线性方程组的研究 (26)4.1 Toeplitz线性方程组的解法 (26)4.2 带状Toeplitz线性方程组的解法 (28)4.3 本章小结 (34)致 谢 (35)参考文献 (36)攻硕期间取得的研究成果 (39)III第一章绪论1.1 引言矩阵是数学上的一个重要概念，用矩阵的理论和方法来处理错综复杂的问题时，具有表达简洁，对问题实质刻画深刻等优点，已经成为科技领域内不可缺少的数学工具。
如今，随着现代科学技术的迅猛发展和计算机的普遍运用，数学的独特魅力，在借助于计算机这一强大的工具作用下，在解决科技生产中的重大实际问题的过程中得以充分的体现。
现今矩阵已是数学上的一个重要概念，由于它描述问题表达简洁，刻画实质深刻等优点，因此近几十年来已成为解决科技生产中的重大实际问题所常用的方法之一。
就这样，许多著名的数学工作者的参与，又为矩阵分析和计算的发展提供了有力的智力支持，而广大工程技术人员和科技人员的加入，又为矩阵分析和计算的应用开辟了广阔的应用前景。
矩阵计算的理论和方法与方程组的求解是数值代数的核心方向之一，已经成为经济学、生物学、现代物理学等领域处理数学问题的不可缺少的强大工具，成为“大规模科学工程计算理论”的一个重要组成部分。
特别地，特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中都占有十分重要的地位，在数学、经济学、生物学、现代物理学等领域都有广泛的应用，对特殊矩阵研究的任何实质性进展都对矩阵理论及相关领域的发展起着重要的推动作用。
反对称矩阵乘法
反对称矩阵乘法反对称矩阵乘法是指两个反对称矩阵相乘的运算。
在矩阵乘法中，两个矩阵相乘的结果是一个新的矩阵，其中每个元素的计算是通过将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列进行乘法运算并求和得到的。
而对于反对称矩阵的乘法，则有一些特殊的性质和规律。
我们来回顾一下反对称矩阵的定义和性质。
一个矩阵A是反对称矩阵，当且仅当它的转置矩阵−AT 等于它的相反数，即−A。
换句话说，反对称矩阵的每个元素a_ij 满足a_ij = −a_ji。
现在，我们考虑两个反对称矩阵A和B相乘的情况。
根据矩阵乘法的定义，我们需要计算新矩阵C的每个元素c_ij。
根据乘法的规则，c_ij 是通过将A的第i行与B的第j列进行乘法运算并求和得到的。
具体计算过程如下：c_ij = Σ(a_ik * b_kj) (k取值范围为1到n)其中，n表示矩阵的阶数。
由于A和B都是反对称矩阵，根据反对称矩阵的性质可知，a_ik = -a_ki，b_kj = -b_jk。
因此，上式可以进一步化简为：c_ij = Σ(-a_ik * -b_jk) = Σ(a_ik * b_jk) (k取值范围为1到n)观察上式，我们可以发现，两个反对称矩阵相乘的结果仍然是一个反对称矩阵。
换句话说，反对称矩阵经过乘法运算后，仍然保持了反对称的性质。
这一点可以通过对新矩阵C进行转置运算得到证实：(−C)T = (−AB)T = (−B)T(−A)T = BTAT = B(−A) = −BA = −C由此可见，反对称矩阵乘法满足反对称的性质。
这一性质在某些数学和物理问题中具有重要的应用。
例如，在刚体动力学中，反对称矩阵代表了刚体的角动量，而反对称矩阵乘法则描述了刚体之间的力矩耦合关系。
除了上述性质，反对称矩阵乘法还具有一些其他的特点。
首先，由于反对称矩阵的对角线上的元素都为零，所以反对称矩阵与任何矩阵的乘积都会得到一个对角线元素为零的矩阵。
其次，反对称矩阵的乘法不满足交换律，即AB一般不等于BA。
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对称Toeplitz矩阵相乘的一种快速算法
摘要：本文将Toeplitz矩阵分解为循环矩阵和下三角矩阵之和，以及一般卷积向循环卷积的转化，借助快速Fouier算法（FFT），给出了一种对称Toeplitz矩阵相乘的快速算法，其算法复杂性为次实乘次数，次实加次数，较之前的算法在时间复杂性上有所改善。
关键词：对称Toeplitz矩阵快速Fouier算法(FFT) 算法复杂性
A fast algorithm for the multiplication of Symmetric Toeplitz matrices
Abstract：In this paper,I am going to decompose a Toeplitz matrix into the multiplication of a cyclic matrix and a ?lower triangular matrix.Meanwhile,I will talk about the conversion from a common convolution into a cyclic convolution. Using the fast Fouier algorithm(FFT),I have a given out a fast algorithm for the multiplication of Symmetric Toeplitz matrices. Its algorithm complexity is multiplies times, plus pared with the former algorithm,this method has improved in time complexity.
Key words：symmetric Toeplitz;fast Fouier algorithm(FFT);algorithm complexity
Toeplitz矩阵常常出现在许多应用中，如谱分析、时序分析、线性预测、最小二乘估计、信号处理等领域，是应用最广泛的特殊矩阵之一。
对于如下形式的Toeplitz矩阵，
(1)
它除了具有一般Toeplitz矩阵的特点（主对角线上的各元素彼此相等，平行于主对角线上的元素也彼此相等，矩阵中的元素关于次对角线对称）外，还是一个对称矩阵，称为对称Toeplitz矩阵，形如（1），易知它可由矩阵第一行的元素唯一确定。
有关Toeplitz矩阵快速算法的研究一直是人们普遍关注的课题[1-2]。
近年来关于对称Toeplitz矩阵的快速算法，也引起了不少学者的注意，并且已有不少研究成果，如求逆的Trench算法，解线性方程组的Levinson算法等[3-5]。
本文在前人的基础上改进和研究了两个n阶对称Toeplitz型矩阵相乘的快速算法。
主要是将Toeplitz矩阵分解为上三角和下三角Toeplitz矩阵之和的形式，然后再结合对称Toeplitz矩阵本身的特点研究出新的快速相乘算法。
1 快速相乘算法
设两个对称Toeplitz矩阵A，B，则有，即
由上面的矩阵相乘运算可以看出下面的关系式成立：
（2）
我们可以很容易地证明（2）式成立，因为与都是对相同的项求和，只是求和的次序相反，其值当然相等。
（2）式表明，计算，只要算出矩阵C的上三角部分元素即可。
对角线以下第i行元素刚好是对角线以上第n+1－i行元素按相反次序的排列。
同样，对角线以下第j列的元素也刚好是对角线以上第n+1－j列元素按相反次序的排列，对角线上后半部的元素刚好是前半部元素按相反次序的排列。
下面将对阵Toeplitz矩阵分解为循环矩阵和下三角矩阵之和。
如对矩阵A作如下的分解：
其中，
同理对矩阵B也作这样的分解，，则有：
下面分别考虑各部分的计算：
（1）
为两个循环矩阵的乘积，由于循环矩阵对于矩阵乘法是封闭的，所以两个循环矩阵相乘以后得到的还是循环矩阵，并且由其首行元素所确定。
而的首行元素恰为序列与的循环卷积，即
(2)
由于两个下三角矩阵相乘得到的还是下三角矩阵，所以L是下三角矩阵，由于我们只需要算出矩阵C的上三角部分元素就可以得到结果，所以这一项对我们的结果没有任何影响，可以不用计算。
（3）
根据矩阵的乘法我们可以看出矩阵F的最后一列元素都为0，而且我们只需要求出矩阵F的上三角部分元素即可。
作辅助矩阵：
即
于是我们可以得到F的上三角部分的元素：
(4)
这部分的计算与第三部分类似，都是通过构造辅助矩阵Q，然后得到递推公式，从而计算出矩阵G的上三角部分元素值，具体的步骤类比于第三部分即可知道，这里就不再详细展开了。
综上所述可得计算两个对称Toeplitz矩阵乘积的快速算法，其计算步骤如下：
步1.计算序列与的循环卷积，从而得到。
步2.首先计算辅助矩阵P，然后计算矩阵F的倒数第2列，然后再运用递推公式求出。
步3.首先计算辅助矩阵Q，然后计算矩阵F的倒数第2列，然后再运用递推公式求出。
步4.求和，即得AB的上三角部分元素值，由于对角线上后半部的元素刚好是前半部元素按相反次序的排列，即可得到AB的值。
2 算法复杂性分析
在第一步中，计算两个循环矩阵的乘积需要一次两n点序列的循环卷积，而计算一次两n点序列的循环卷积，可以借助快速Fouier 变换（FFT），需要计算量级为。
在第二步中，计算辅助矩阵P时需要乘法次，然后计算矩阵F 的倒数第二列需要n次乘法，再利用递推公式计算矩阵F的过程中，需要次加法，又因为只需要计算上半部分的值，所以算法的次数减半，第三步的计算过程与第二步类似，计算次数当然一样。
所以第二步和第三步一共需要次乘法，次加法。
在第四步中，由于矩阵F和矩阵G的最后一列元素都为0，所以只需要次加法，而由于的最后一列元素还是都为0，所以也需要次加法，所以最后一步中一共需要次加法。
综合得到，提出的算法所需的实乘次数为，实加次数为，较之前的算法在时间复杂性上有所改善。
参考文献
[1]徐仲,张凯院,陆全.Toeplitz矩阵类的快速算法[M].西安:西北工业大学出版社,1999.
[2]W.F.Trench,An algorithm for the inversion of finite toeplitz matrices,J.SIAM.12(1964),515-522.
[3]徐士良.计算机常有算法[M].清华大学出版,1994.
[4]沈广星.对称Toeplitz矩阵相乘的快速算法[J].数值计算与计算机应用, 1997,18(1):15-19.。