矩阵相乘的快速算法

矩阵相乘的快速算法

算法介绍

矩阵相乘在进行3D变换的时候是经常用到的。在应用中常用矩阵相乘的定义算法对其进行计算。这个算法用到了大量的循环和相乘运算，这使得算法效率不高。而矩阵相乘的计算效率很大程度上的影响了整个程序的运行速度，所以对矩阵相乘算法进行一些改进是必要的。

这里要介绍的矩阵算法称为斯特拉森方法，它是由v.斯特拉森在1969年提出的一个方法。

我们先讨论二阶矩阵的计算方法。

对于二阶矩阵

A= a11a12 B= b11b12

a21a22b21 b22

先计算下面7个量(1)

x1 = (a11 + a22) * (b11 + b22);

x2 = (a21 + a22) * b11;

x3 = a11 * (b12 - b22);

x4 = a22 * (b21 - b11);

x5 = (a11 + a12) * b22;

x6 = (a21 - a11) * (b11 + b12);

x7 = (a12 - a22) * (b21 + b22);

再设C = AB。根据矩阵相乘的规则，C的各元素为(2)

c11 = a11 * b11 + a12 * b21

c12 = a11 * b12 + a12 * b22

c21 = a21 * b11 + a22 * b21

c22 = a21 * b12 + a22 * b22

比较(1)(2)，C的各元素可以表示为(3)

c11 = x1 + x4 - x5 + x7

c12 = x3 + x5

c21 = x2 + x4

c22 = x1 + x3 - x2 + x6

根据以上的方法，我们就可以计算4阶矩阵了，先将4阶矩阵A和B划分成四块

2阶矩阵，分别利用公式计算它们的乘积，再使用(1)(3)来计算出最后结果。

A4 =ma11ma12B4 =mb11mb12

ma21ma22mb21mb22

其中

ma11 =a11a12ma12 =a13a14mb11 =b11b12mb12 =b13b14 a21a22a23a24b21b22b23b24

ma21 =a31a32ma22 =a33a34mb21 =b31b32mb22 =b33b34 a41a42a43a44b41b42b43b44