2019-2020学年高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章推理与证明 14 Word版含解析

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苏教版数学高二- 选修2-2第二章《推理与证明》综合检测

综合检测(二)第2章推理与证明(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确的答案填在题中横线上)1．下面几种推理是合情推理的序号的是________．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.【解析】①是类比推理；②是归纳推理；③不属于合情推理；④是归纳推理．【答案】①②④2．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理错在________(填“大前提”，“小前提”或“推理过程”)．【解析】a＝0时，a2＝0，因此大前提错误．【答案】大前提3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n（2n2＋1）3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________．【解析】由等式的特征，左边应添加(k＋1)2＋k2.【答案】(k＋1)2＋k24．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．图1【解析】由图形可知，着色三角形的个数依次为：1，3，9，27，…，故a n＝3n－1.【答案】3n－15．已知a＞0，b＞0，m＝lg a＋b2，n＝lga＋b2，则m与n的大小关系为________．【解析】∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab＞a＋b＞0，∴a＋b＞a＋b＞0，则a＋b2＞a＋b2.∴lg a＋b2＞lga＋b2，则m＞n.【答案】m＞n6．已知圆x2＋y2＝r2(r＞0)的面积为S＝πr2，由此类比椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的面积最有可能是________．【解析】将圆看作椭圆的极端情况，即a＝b情形．∴类比S圆＝πr2，得椭圆面积S＝πab.【答案】πab7．已知结论“若a1，a2∈{正实数}，且a1＋a2＝1，则1a1＋1a2≥4”，请猜想若a1，a2，…，a n∈{正实数}，且a1＋a2＋…＋a n＝1，则1a1＋1a2＋…＋1a n≥________．【解析】左边是2项，右边为22，猜想：左边是n项，右边为n2.【答案】n2图28．现有一个关于平面图形的命题：如图2，在一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某个顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个正方体的某个顶点在另一个正方体的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．【解析】正方形类比到正方体，重叠面积类比到重叠体积，则S＝a24，类比得V＝(a2)3＝a38.【答案】a3 89．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 6789101112131415根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第三个数是________．【解析】前n－1行共有正整数1＋2＋3＋…＋(n－1)＝n2－n2个，∴第n行第3个数是n2－n2＋3＝n2－n＋62.【答案】n2－n＋6210．(2013·南京高二检测)已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且公比q＞1，若a1＝b1，a2 013＝b2 013，则a1 007与b1 007的大小关系是________．【解析】由2a 1 007＝a 1＋a 2 013，得a 1 007＝a 1＋a 2 0132.又b 21 007＝b 1·b 2 013，得b 1 007＝b 1·b 2 013，∵a 1＝b 1＞0，a 2 013＝b 2 013＞0，且a 1≠a 2 013， ∴a 1 007＞b 1 007. 【答案】 a 1 007＞b 1 00711．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其“三段论”的形式为：大前提：一切奇数都不能被2整除．小前提：________．结论：所以2100＋1不能被2整除．【答案】 2100＋1是奇数12．求证：1＋5＜23的证明如下：因为1＋5和23都是正数，所以为了证明1＋5＜23，只需证明(1＋5)2＜(23)2，展开得6＋25＜12，即5＜3，只需证明5＜9.因为5＜9成立．所以不等式1＋5＜23成立．上述证明过程应用的方法是________．【答案】分析法13．用反证法证明命题“a ，b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是________．【解析】 “a 、b 中至少有一个能被5整除”的否定为“a ，b 都不能被5整除”．【答案】 a ，b 都不能被5整除14．(2013·徐州高二检测)在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图3所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．图3【解析】 CE 平分角ACB ，而面CDE 平分二面角A —CD —B. ∴AC BC 可类比成S △ACD S △BCD ，故结论为AE EB ＝S △ACDS △BCD .【答案】 AE EB ＝S △ACDS △BCD二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)观察：(1)sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； (2)sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．【解】观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想： sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos 2α2＋1＋cos （60°＋2α）2＋sin α(32cos α－12sin α) ＝1－cos 2α2＋12[1＋(12cos 2α－32sin 2α)]＋34sin 2α－12sin 2α ＝1－14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－12×1－cos 2α2＝3 4.16．(本小题满分14分)已知0<a<1，求证：1a＋41－a≥9.【证明】∵0<a<1，∴1－a>0.欲证1a ＋41－a≥9成立，只需证明1－a＋4a≥9a(1－a)．整理移项9a2－6a＋1≥0.即证明(3a－1)2≥0.∵a∈(0，1)，∴(3a－1)2≥0显然成立．故1 a ＋41－a≥9成立．17．(本小题满分14分)(2013·无锡高二检测)已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c，是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．【解】f(a)＋f(c)＞2f(b)，证明如下：∵a，b，c是不相等的正数，∴a＋c＞2ac，∵b2＝ac，∴ac＋2(a＋c)＞b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2，∵f(x)＝log2x是增函数，∴log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2，即log2(a＋2)＋log2(c＋2)＞2log2(b＋2)故f(a)＋f(c)＞2f(b)．18．(本小题满分16分)如图4甲，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图乙，三棱锥A—BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题？图4【解】命题是：三棱锥A—BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD 所在平面内的射影为M，则有S2△ABC＝S△BCM·S△BCD，是一个真命题．证明如下：在图乙中，连结DM，并延长交BC于E，连结AE，则有DE⊥BC，AE⊥BC.因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.因为AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是S2△ABC＝(12BC·AE)2＝(12BC·EM)·(12BC·ED)＝S△BCM·S△BCD.19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a＜b)．(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.【解】(1)当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)．∴f′(x)＝(x－1)(3x－5)，则f′(2)＝1.又f(2)＝(2－1)2(2－2)＝0.∴f(x)在点(2，0)处的切线方程为y ＝x －2. (2)因为f′(x)＝3(x －a)(x －a ＋2b3)，由于a ＜b ，故a ＜a ＋2b 3，所以f(x)的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3. 不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b3，因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f(x)的零点．故x 3＝b.又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b3)，故可令x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3，此时，a ，2a ＋b 3，a ＋2b3，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b3.20．(本小题满分16分)已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g(n)＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．【解】 (1)当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n ＝2时，f(2)＝98，g(2)＝118，所以f(2)＜g(2)；当n ＝3时，f(3)＝251216，g(3)＝312216，所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明： ①当n ＝1，2，3时，不等式显然成立． ②假设当n ＝k(k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时， f(k ＋1)＝f(k)＋1（k ＋1）3＜32－12k 2＋1（k ＋1）3，因为12（k ＋1）2＋1（k ＋1）3－12k 2＝k ＋32（k ＋1）3－12k 2＝－3k －12（k ＋1）3k 2＜0， ∴－12k 2＋1（k ＋1）3＜－12（k ＋1）2，因此32－12k 2＋1（k ＋1）3＜32－12（k ＋1）2， ∴f(k ＋1)＜32－12（k ＋1）2， ∴当n ＝k ＋1时成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f(n)≤g(n)成立．。

高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章推理与证明 2.2.1 Word版含解析

直接证明明目标、知重点.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．．综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．．分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知，>，求证：(＋)＋(＋)≥.证明因为＋≥，>，所以(＋)≥.又因为＋≥，>，所以(＋)≥.因此(＋)＋(＋)≥.小结从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．思考综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，其推理过程为条件→结论(条件)→结论(条件)→结论(条件)→结论．因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，求证：△为等边三角形．证明由于，，成等差数列，有＝＋，①由于，，为△的三个内角，所以＋＋＝π.②由①②，得＝，③由，，成等比数列，有＝，④由余弦定理及③，可得＝＋－＝＋－，再由④，得＋－＝，即(－)＝，从而＝，所以＝.⑤由②③⑤，得＝＝＝，所以△为等边三角形．。

高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章推理与证明 Word版含解析

合情推理的妙用
合情推理包括归纳推理和类比推理，在近几年的高考试题中，关于合情推理的试题多与其他知识联系，以创新题的形式出现在考生面前．下面介绍一些推理的命题特点，揭示求解规律，以期对同学们求解此类问题有所帮助．
一、归纳推理的考查
．数字规律周期性归纳
例观察下列各式：＝＝＝，…，则的末四位数字为．
解析∵＝＝＝，
末四位数字为末四位数字为末四位数字为末四位数字为末四位数字为，…，
由上可得末四位数字周期为，呈规律性交替出现，
∴＝×＋末四位数字为.
答案
点评对于具有周期规律性的数或代数式需要多探索几个才能发现规律，当已给出事实与所求相差甚“远”时，可考虑到看是否具有周期性．
．代数式形式归纳
例设函数()＝(>)，观察：
()＝()＝，
()＝(())＝，
()＝(())＝，
()＝(())＝，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当∈*且≥时，()＝(－())＝.
解析依题意，先求函数结果的分母中项系数所组成数列的通项公式，由，…，可推知该数列的通项公式为＝－.又函数结果的分母中常数项依次为，…，故其通项公式为＝.
所以当≥时，()＝(－())＝.
答案
点评对于与数列有关的规律归纳，一定要观察全面，并且要有取特殊值最后检验的习惯．
．图表信息归纳
例古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：
图()
图()
他们研究过图()中的，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图()中的，…这样的数为正方形数．
下列数中既是三角形数又是正方形数的是．
①②③④
分析将三角形数和正方形数分别视作数列，则既是三角形数又是正方形数的数字是上述两数。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_14

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2-1-19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.【导学号：01580042】图2-1-19【解析】由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】 62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧3，5， 33＝⎩⎨⎧7，9，11，43＝⎩⎨⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 【解析】根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1. ∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.【答案】 453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________．【解析】当n ≥2时，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n 2，而右端的分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故可归纳式子为：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)．【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2) 5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3，a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是_______________________________________________．(要注明成立的条件)【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋) 6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________．【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125， 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125. 【答案】 8 1257．(2016·湖北调研)如图2-1-20①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2-1-20(1)f (5)＝________；(2)f (2 015)的个位数字为________．【解析】观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18．(2016·江西稳派调研)将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.【解析】由于2 015＝4504行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝22[1－(24)504]1－24＝22 018－415.【答案】22 018－415 二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝4＝4a1，∴对任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a.证明：设M是正四面体P-ABC内任意一点，M到面ABC，面P AB，面P AC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC＝V M-ABC＋V M-P AB＋V M-P AC＋V M-PBC＝13·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC ＝34a2，VP-ABC＝212a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝63a(定值)．能力提升]1．(2016·盐城高二期终)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正实数)，则a＋b＝______.【解析】类比已知的3个等式，知a＝6，b＝62－1＝35.所以a＋b＝41.【答案】412．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________．【解析】如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝63，此时点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.【答案】 33．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式： ①sin 2θ＝cos θ·2sin θ； ②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin 3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin 3θ＋32sin 5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin 3θ＋192sin 5θ－128sin 7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin 3θ＋m sin 5θ－1 024sin 7θ＋n sin 9θ)．则可以推测(1)n ＝________，(2)m ＝________.【解析】由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n ，n 的值与sin θ的次数相同，所以式子⑤中n ＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m －1 024＋512＝10，∴m ＝672.【答案】 512 672【答案】 145．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示． (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．【解】 (1)由题意可得f (2)＝a 2＋a －22，f (3)＝a 3＋a －32，g (2)＝a 2－a －22，g (3)＝a 3－a －32. 则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g(5)＝a5－a－52，因此，g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．(2)g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)，即g(3＋2)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．于是猜测g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)．证明：∵f(x)＝a x＋a－x2，g(x)＝a x－a－x2，∴g(x＋y)＝a(x＋y)－a－(x＋y)2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，所以f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a(x＋y)－a－(x＋y)2＝g(x＋y)．故g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y).。

高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章推理与证明 2.3 Word版含解析

明目标、知重点.了解数学归纳法的原理.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．．数学归纳法()如果当取第一个值(例如＝等)时结论正确；()假设当＝(∈*，且≥)时结论正确，证明当＝＋时结论也正确．那么，命题对于从开始的所有正整数都成立．．应用数学归纳法时应注意几点()用数学归纳法证明的对象是与正整数有关的数学命题．()在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．() 步骤②的证明必须以“假设当＝(≥，∈*)时结论成立”为条件．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答()第一张牌被推倒；()任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件()给出了一个递推关系，条件()给出了骨牌倒下的基础．思考对于数列{}，已知＝，＋＝，试写出，，，，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？答＝，＝，＝，＝，猜想＝(∈*)．以下为证明过程：()当＝时，＝＝，所以结论成立．()假设当＝(∈*)时，结论成立，即＝，则当＝＋时＋＝(已知)＝(代入假设)＝(变形)＝(目标)，即当＝＋时，结论也成立．由()()可得，对任意的正整数都有＝成立．思考你能否总结出上述证明方法的一般模式？答一般地，证明一个与正整数有关的命题()，可按下列步骤进行：()(归纳奠基)证明当取第一个值(∈*)时命题成立；()(归纳递推)假设当＝(≥，∈*)时命题成立，证明当＝＋时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．。

苏教版选修2-2高中数学第2章《推理与证明》word章末测试

章末质量评估(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上) 1．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn (n ∈N *)也为等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)．则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．解析通常正数的算术平均数，类比其几何平均数．答案n c 1c 2…c n2．用反证法证明方程F (x )＝0至少有两个实根，其反证假设为____________________．解析方程F (x )＝0至少有两个实根，意指方程F (x )＝0有两个或两个以上实根，其反面是方程F (x )＝0至多只有一个实根．答案方程F (x )＝0至多只有一个实根 3．观察下列数表规律则从数2 007到2 008的箭头方向是________．解析因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列．若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)×4⇒n ∈N *，故2 007在上行，又因为上行奇数的箭头为→a n ↓.答案 ↓4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．答案 ③①②5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)时，从“k ”到“k ＋1”左边需增乘的代数式是________．解析若n ＝k 时等式成立，此时有(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ×1×3×…×(2k －1)若n ＝k ＋1时，左边变为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)．与上式相比增的代数式应为(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案 2(k ＋1)6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．解析只有①②对，其余错误．答案 27．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是________(请填写相应的序号)． ①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致； ④“两个整数”概念不一致．解析三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．答案 ①8．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________.解析由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳， ∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝7×(1＋7)2＝28，∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57. ∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71 ＝8×(57＋71)2＝512.答案 5129．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为______________，猜想S n ＝________.解析由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，因为S 1＝a 1＝1，所以2S n＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32，同理，分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32、74、158 2n－12n －1(n ∈N *)10．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21211．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________”．解析由类比推理可得．答案若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s12．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m,1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确的个数为________．解析 f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9； f (5,1)＝2f (4,1)＝4f (3,1)＝8f (2,1)＝16f (1,1)＝16；f (5,6)＝f (5,5)＋2＝f (5,4)＋4＝f (5,3)＋6＝f (5,2)＋8＝f (5,1)＋10＝26. 所以这3个结论都正确．答案 313．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，若函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．解析根据凸函数的性质定理，可得sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝332，即sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.答案33214．(2011·陕西高考)观察下列各式：1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．解析由前4个等式可知，第n 个等式的左边第一个数为n ，且连续2n －1个整数相加，右边为(2n －1)2，故第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c ≤ 3.证明 ∵a ·13≤a ＋132， b ·13≤b ＋132， c ·13≤c ＋132，三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1.∴a ＋b ＋c ≤ 3.16．(本小题满分14分)设a ，b ，c 均为奇数，求证：方程ax 2＋bx ＋c ＝0无整数根．证明假设方程有整数根x ＝x 0，∴ax 20＋bx 0＋c ＝0，∴c ＝－(ax 20＋bx 0)．若x 0是偶数，则ax 20，bx 0是偶数， ax 20＋bx 0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾；若x 0是奇数，则ax 20，bx 0是奇数， ax 20＋bx 0是偶数，从而c 是偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有整数根．17．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．解 (1)∵n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n ＋2，∴S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)，S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45.(2)猜想S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝－23＝－1＋11＋2，猜想正确．②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想正确，即S k ＝－k ＋1k ＋2，那么S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2，这表明当n ＝k ＋1时猜想也正确．根据①，②可知对任意n ∈N *，S n ＝－n ＋1n ＋2.18．(本小题满分16分)由下列各个不等式：1＞12，1＋12＋13＞1,1＋12＋13＋14＋…＋17＞32，1＋12＋13＋14＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解根据给出的几个不等式可以猜测第n 个不等式，即一般不等式为1＋12＋13＋14＋…＋12n －1＞n2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下： (1)当n ＝1时，1＞12，猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，猜想成立，即1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＞k2，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1＞k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k 1－1＞k 2＋12k 1＋12k 1＋…＋12k 1＝k 2＋2k 2k 1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也正确．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立．19．(本小题满分16分)在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1A C 2，那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图①所示，由射影定理知 AD 2＝BD ·DC ， AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，图①∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体A -BCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.如图②，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，图② ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9. 所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －1－12b n －1，化简得b n ＝13b n －1，所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·13n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2) 因为S n ＝1＋(2n －1)2×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5.猜想：n ≥4时，1b n ＞S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k >S k ＋1，即3k2＞(k ＋1)2，那么，1b k＋1＝3k＋12＝3·3k2>3(k＋1)2＝3k2＋6k＋3＝(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝S(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，1b n>S n＋1也成立．由①②可知，对任何n∈N*，n≥4，1b n>S n＋1都成立．综上所述，当n＝1,2,3时，1b n<S n＋1，当n≥4时，1b n>S n＋1.。

高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章推理与证明 2.2.2 Word版含解析

间接证明明目标、知重点.了解反证法是间接证明的一种基本方法.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明．．反证法从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．．反证法步骤反证法的过程包括下面个步骤：反设，归谬，存真．．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．[情境导学]王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法思考通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答()假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，()以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，()判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？答()与原题中的条件矛盾；()与定义、公理、定理、公式等矛盾；()与假设矛盾．思考反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．例已知直线，和平面α，如果⊄α，⊂α，且∥，求证：∥α.证明因为∥，所以经过直线，确定一个平面β.因为⊄α，而⊂β，所以α与β是两个不同的平面．因为⊂α，且⊂β，所以α∩β＝.下面用反证法证明直线与平面α没有公共点．假设直线与平面α有公共点，如图所示，则∈α∩β＝，即点是直线与的公共点，这与∥矛盾．所以∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接。

高中数学选修2-2分层测评第二章推理与证明 2.2.1 含答案

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4 θ＝cos 2θ”的过程：“cos 4 θ－sin 4 θ＝(cos 2 θ＋sin 2 θ)(cos 2 θ－sin 2 θ)＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法【解析】此证明符合综合法的证明思路．故选B. 【答案】 B2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 2＋b 22≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0，只需证(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 【答案】 D3．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么，d⊗(a⊕c)等于()A．a B．bC．c D．d【解析】由⊕运算可知，a⊕c＝c，∴d⊗(a⊕c)＝d⊗c.由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A.【答案】 A4．欲证2－3<6－7成立，只需证()A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2【解析】∵2－3<0，6－7<0，故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2.故选C. 【答案】 C5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()A．sin(α＋β)>sin α＋sin βB．sin(α＋β)>cos α＋cos βC．cos(α＋β)>sin α＋sin βD．cos(α＋β)<cos α＋cos β【解析】因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，若π2≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，因为cos α>0，cos β>0.所以cos α＋cos β>cos (α＋β)．若0<α＋β<π2，则α＋β>α且α＋β>β，因为cos(α＋β)<cos α，cos(α＋β)<cos β，所以cos(α＋β)<cos α＋cos β，总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cos α＋cos β.【答案】 D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．【解析】该证明方法是“由因导果”法．【答案】综合法7．如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是__________．【解析】要使a a>b b，只需使a>0，b>0，(a a)2>(b b)2，即a>b>0.【答案】a>b>08．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是__________.【导学号：05410046】【解析】若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，只需求y＝xx2＋3x＋1的最大值，且令a 不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞三、解答题9．已知倾斜角为60°的直线L 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点．(1)求弦AB 的长； (2)求三角形ABO 的面积．【解】 (1)由题意得，直线L 的方程为y ＝3(x －1)，代入y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103.由抛物线的定义，得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163. (2)点O 到直线AB 的距离d ＝|－3|3＋1＝32，所以三角形OAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝433.10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . 【证明】要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥2 3 ab sin C ，即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8 B．4C．1 D.1 4【解析】3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以ab≤a＋b2＝12⇒ab≤14，所以1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥114＝4.【答案】 B2．(2016·石家庄高二检测)已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是()A．(－1,2)B．(－2,1)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，解得－2<k<1.【答案】 B3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是__________.【导学号：05410047】【解析】a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a －b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．【答案】 a ≥0，b ≥0且a ≠b4．(2016·天津高二检测)已知α，β≠k π＋π2，(k ∈Z )且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2 α1＋tan 2 α＝1－tan 2 β2(1＋tan 2 β).【证明】要证1－tan 2 α1＋tan 2 α＝1－tan 2 β2(1＋tan 2 β)成立，即证1－sin 2 αcos 2 α1＋sin 2 αcos 2 α＝1－sin 2 βcos 2 β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2 βcos 2 β. 即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1，因为sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θcos θ＝sin 2β，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2 α，即4sin 2α－2sin 2β＝1. 故原结论正确.。

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析

高中数学苏教版高二选修2-2学业分层测评：第二章_推理与证明_17 含解析学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________.【解析】f(n＋1)－f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.【答案】13n＋13n＋1＋13n＋22.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋13n＋1＞2512”，当n＝1时，不等式左边的项为：________.【解析】不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为12＋13＋14.【答案】12＋13＋143.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________.【导学号：01580053】【解析】∵当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立.∴n0＝5.【答案】 54.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，n∈N*，则f(k＋1)－f(k)＝______________.【解析】f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，则f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 (2k ＋1)2＋(2k ＋2)25.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝________.【解析】 a 1＝1＝21×2，a 2＝22×3，a 3＝23×4，a 4＝24×5，猜想a n ＝2n (n ＋1). 【答案】 2n (n ＋1)6.用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________.【解析】要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b 27.以下是用数学归纳法证明“n ∈N *时，2n ＞n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k ＞k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N *不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k ＞k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论.如k ＝2时，k 2＜2k ＋1.【答案】 (2)8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是_____.【解析】当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.【答案】 (k ＋1)2＋k 2二、解答题9.用数学归纳法证明：当n ∈N *时，1＋22＋33＋…＋n n ＜(n ＋1)n .【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k ＜(k ＋1)k ，那么，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1＜(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋2)＜(k ＋2)k ＋1＝(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边＜右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N *都成立.10.已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0.试猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】由a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0，得 a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34， a 5＝12－34＝45，….归纳上述结果，可得猜想a n ＝n －1n (n ＝1,2,3，…).下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n ＝1时，猜想显然成立.(2)假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝k －1k ，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k＝12－k －1k＝k k ＋1＝(k ＋1)－1k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想a n ＝n －1n 对所有正整数都成立，即为数列{a n }的通项公式.能力提升]1.用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________.【解析】由于n 为正偶数，第一步应检验n ＝2时，命题成立.第二步，应假设n ＝2k (k ∈N *)时命题成立，即n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除.【答案】 2 假设n ＝2k (k ∈N *)时x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除2.用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)时，f (k ＋1)与f (k )的关系是_______________________________________________.【解析】假设n＝k(k≥4，k∈N*)时成立，则f(k)＝12k(k－3)，当n＝k＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k＋1－2＝k－1条，所以f(k＋1)＝f(k)＋k－1.【答案】f(k＋1)＝f(k)＋k－13.用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n＞1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________.【解析】当n＝k＋1时，左边是1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1增加的是12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共有2k＋1－1－2k＋1＝2k项，故左边应增加的项的项数是2k.【答案】2k4.用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.【导学号：01580054】【解析】当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k ＋2.【答案】25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋25.设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0⇒f(0)＝0.(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明.当n＝1时，f(1)＝1满足条件.假设当n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.。

【推荐】高中数学选修22第2章《推理与证明》单元测试题

选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分） 1. 集合P ={1, 4, 9, 16…}，若a ∈P , b ∈P 则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是（） A ．加法 B ．减法 C ．除法 D ．乘法2. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是（） A ．直角梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形3.给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b b a b a R =⇒=-∈0,则”类比推出“若a,b b a b a C =⇒=-∈0,则”； ②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d ,Q ∈ 则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；③“若a,b b a b a R >⇒>-∈0,则” 类比推出“若a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”；其中类比结论正确的个数是（） (A)0 (B)1 (C)2(D)34.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到(3)n n ≥维向量，n 维向量可用 123(,,,,)n x x x x 表示.设123(,,,,)n a a a a a =,123(,,,,)n b b b b b =,规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====n i ni i i ni ii b a ba 11221))((cos θ.当(1,1,1,1)a =,(1,1,1,1)b =--时，cos θ=（）A ．n n 1- B ．nn 3- C ．n n 2- D ．n n 4- 5. 下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（）A ．sin2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- 6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 y =x 2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D.无数7.对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若 ,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为（） A ．92 B ．92- C ．41D ．4- 8.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。

高中数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章推理与证明 16含解析

学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.(2016·西安高二检测)△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB>∠APC，求证：∠BAP<∠CAP.用反证法证明时的假设为________.【答案】∠BAP≥∠CAP2.(2016·无锡高二期末)用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，________个锐角.”【解析】“至少有两个”的否定是“至多有一个”.【答案】至多有一个3.(2014·山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax ＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________.【解析】因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.【答案】方程x3＋ax＋b＝0没有实根4.命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________.【01580049】【解析】“a＝b＝1”是“a＝1且b＝1”，又因“p且q”的否定为“綈p或綈q”，所以“a＝b＝1”的否定为“a≠1或b≠1”.【答案】a≠1或b≠15.若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________.【解析】若两个方程均无实根，则⎩⎨⎧ Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝4a 2＋8a<0，解得⎩⎨⎧ a>13或a<－1，－2<a<0.∴－2<a<－1. 因此两方程至少有一个有实根时，应有a ≤－2或a ≥－1.【答案】 {a|a ≤－2或a ≥－1}6.用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为____________.【解析】 “a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”，即a ，b 不全为0.【答案】 a ，b 不全为07.若a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2≠0；②a>b 与a<b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立.其中正确的是________(填序号).【解析】因为a ，b ，c 不全相等，所以①正确；②显然正确，③中的a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可以同时成立，所以③错.【答案】 ①②8.完成反证法证题的全过程.题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数.证明：假设p 为奇数，则__________均为奇数.①因7个奇数之和为奇数，故有(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)为__________.②而(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③②与③矛盾，故p 为偶数.【解析】由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾.【答案】 ①a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 ②奇数 ③0二、解答题9.已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x这三个数中至少有一个不小于4.【证明】假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x都小于4，即x ＋4y <4，y ＋4z <4，z ＋4x<4，于是得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12，而⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4z ≥2 x ·4x ＋2 y ·4y ＋2 z ·4z＝12，这与⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12矛盾，因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x中至少有一个不小于4. 10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【解】 (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n(n ＋2).(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.。

苏教版数学高二数学苏教版选修2-2单元测试第2章推理与证明

第2章过关检测(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分)1．如果f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)等于__________．2．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比为：S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2，则类似的结论为：__________.3．根据图中的5个图形及相应的点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有__________个点．4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中的“小前提”是__________．5．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则S (n )共有__________项，S (2)＝__________.6．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误是__________．7．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中真命题是__________．8．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出一般的式子是__________．9．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c (1a ＋b )2，则p 、q的大小关系是__________．10．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上斜率为1的弦的中点在直线__________上．11．在等差数列{a n }中，当a r ＝a s (r ≠s )时，数列{a n }必定是常数列．然而在等比数列{a n }中，对某些正整数r ，s (r ≠s )，当a r ＝a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是__________．12．将正奇数排列如下表，其中第i 行第j 个数表示a ij (i ∈N *，j ∈N *)，例如a 32＝9，a ij＝2 009，则i ＋j ＝__________.13．在平面上的n 个圆中，每两个圆都相交，每三个圆不交于一点，则它们把平面分成__________部分．14．{a n }是由非负整数组成的数列，满足a 1＝0，a 2＝3，a n ＋1a n ＝(a n －1＋2)(a n －2＋2)，n ＝3,4,5，…，则a 3＝__________.二、解答题(本大题共4小题，满分44分)15．(10分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．16.(10分)已知数列{a n}满足a1＝1，且4a n＋1－a n a n＋1＋2a n＝9(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4；(2)由(1)猜想{a n}的通项公式a n，并用数学归纳法证明你的猜想．17．(12分)下列命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则b2－aca＜ 3.18．(12分)已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，是否存在自然数m ，使对任意n ∈N *，都有m 整除f (n )？若存在，求出最大值的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．参考答案1．2 009 解析：令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝f (n )，所以f (n ＋1)f (n )＝1，所以f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 010)f (2 009)＝1＋1＋…＋1＝2 009. 2.VO —P 1Q 1R 1VO —P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 23．n 2－n ＋1 解析：如设第n 个图中的点数为a n ，则有a 1＝1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝32－2，a 4＝13＝42－3，a 5＝21＝52－4.故a n ＝n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.4．② 解析：①的意思是：如果船不准时起航，那么它就不能准时到达目的港，它的逆否命题是：如果船准时到达目的港，那么它是准时起航．由此可知，①是大前提，②是小前题．5．n 2－n ＋1 1312解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．S (2)＝12＋13＋14＝1312. 6．在证明n ＝k ＋1时，没有用假设n ＝k 时的结论7．③⑤ 解析：“F (k )真⇒F (k ＋1)真”等价于“F (k ＋1)假⇒F (k )假”．8．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2(n ∈N *) 解析：1－4＝－(1＋2)＝(－1)2－1·2(2＋1)2，1－4＋9＝1＋2＋3＝(－1)3－13(3＋1)2，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)＝(－1)4－14(4＋1)2，由此可归纳出结论． 9．p ＞q 解析：∵a 2＋b 22≥ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c (1a ＋b )2＝log c 1a ＋b ＋2ab＞log c 14ab ＝log c 14＞0，∴q ＞p . 10.x a 2－yb2＝0 11．1，－1,1，－1，…(不唯一)12．60 解析：2 009是正奇数1,3,5，…中的第1 005个，则1 005＝1＋2＋3＋…＋(i －1)＋j ＝(i －1)i2＋j .估算：当i ＝45时，(i －1)i2＝990，j ＝15，所以i ＋j ＝60.13．n 2－n ＋2 解析：n ＝1时，a 1＝2； n ＝2时，a 2＝4＝a 1＋2＝a 1＋2×1； n ＝3时，a 3＝8＝a 2＋4＝a 2＋2×2； n ＝4时，a 4＝14＝a 3＋6＝a 3＋2×3； …a n ＋1＝a n ＋2n .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a n ＋1＝a n＋2n⇒a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2×1＋2＝n 2－n ＋2.14．2 解析：由已知a 4a 3＝(a 2＋2)(a 1＋2)＝5×2＝10×1， ∴a 3可能取值1,2,5,10. 若a 3＝1，a 4＝10，从而a 5＝(a 3＋2)(a 2＋2)a 4＝1510＝32，显然a 5不是非负整数，与题设矛盾．若a 3＝10，则a 4＝1，从而a 5＝60. 但再计算a 6＝35，也与题设矛盾．∴a 3＝2，a 4＝5(或a 3＝5，a 4＝2⇒a 5∉N *，舍去)． 15．证明：假设b 、c 不是异面直线，即b 与c 共面，设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c ， ∵a ∥c ，∴α∥γ.又a ⊂α，且α∩γ＝b ， ∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 16．解：(1)由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9得 a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2)猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N ＋)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6(k ＋1)－52(k ＋1)－1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．③综合①②，猜想对任何n ∈N ＋都成立． 17．解：此命题是真命题．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0. 要证b 2－ac a ＜3成立，只要证b 2－ac ＜3a ，即证b 2－ac ＜3a 2，也就是证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，即证(a－c)(2a＋c)＞0，∵a－c＞0,2a＋c＝(a＋c)＋a＝a－b＞0，∴(a－c)(2a＋c)＞0成立．故原不等式成立．18．解：由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，f(4)＝1 224，猜想f(n)被36整除．证明：①当n＝1时，猜想显然成立．②设n＝k时，f(k)能被36整除．则n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，根据假设3[2(k＋7)·3k＋9]被36整除，而3k－1－1是偶数，∴18(3k－1－1)能被36整除，从而f(k＋1)能被36整除．综上所述，n∈N*时，f(n)能被36整除，由于f(1)＝36，故36是整除f(n)的自然数中的最大数．。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 第二章推理与证明章末检测

第二章《推理与证明》章末检测一、填空题 1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是________推理．2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为________________________．3．用反证法证明命题 “三角形的内角至多有一个钝角”时，反设为________．4．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________．5．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为________． 6．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4页，则这个数列的一个通项公式为________．7．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为________．8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个． ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．9．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013＝________. 10．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为____________________________________．11．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有____________．12．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n＋1与a n (n ∈N *)之间的关系是______．13．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．二、解答题14．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．15．1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．16．设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．17．设a ，b ，c 为一个三角形的三边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .18．数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n . (1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．19．设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．答案1．归纳2．三角形的中位线平行于第三边3．假设至少有两个钝角4.2(k ＋1)(k ＋2)5．f (x )＝2x ＋16．a n ＝3n －1(n ∈N *，n ≥1)7．18．29．－110．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)211．f (2n )>2＋n 2(n ≥2) 12．a n ＋1＝2a n ＋113.AE EB ＝S △ACD S △BCD14．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．15．解假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数，∴m ≠(3＋1)n .∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项．16．证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立． 17．证明要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2b ，即证b <s . 因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c . 由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．18．解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×(2＋1)2a 2，即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112. 令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120. 令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130. (2)猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k 2(k ＋2)， S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1. ∴k 2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴a k ＋1＝k 2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝k k (k ＋3)(k ＋2) ＝1(k ＋2)(k ＋3). 当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2). 19．解当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]，得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1(1＋12)－1＝2，当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]，得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋(1＋12)(1＋12＋13)－1＝3，猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立，那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1k ＋1]－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．。

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2019-2020学年高中数学阶段质量检测（二）推理与证明苏教版选修2-2③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P OP OA OB m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P OP OA OB m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.12．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a 的值为________．13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．14．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.19.(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．(2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．答案1．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．形对角线互相垂直且平分5．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心 8．解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2，即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．答案：③10．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a ＋y 2b＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，OP＝OA OB ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n a ，y ＝m ＋n b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n＋1，故a ＝n n.答案：n n13．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00015．证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n，所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17.解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋1＋cos 60°＋2α2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1，则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1，即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1，显然与①矛盾，所以原结论成立．19．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74. S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12k ＋－1，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立，即a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．20．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1，∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k－1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立，综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。

苏教版高中数学选修第二章推理与证明综合测试(1)

高中苏教选修（1-2）第2章推理与证明综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列0，1，1，2，4，7，13，x …中的x 等于（）Ａ．22 Ｂ．23 Ｃ．24 Ｄ．25 答案：Ｃ2．已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则33a =（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．6 Ｄ．6-答案：Ａ3．欲证2367-<-，只需证（）Ａ．22(23)(67)-<-Ｂ．22(26)(37)-<-Ｃ．22(27)(36)+<+Ｄ．22(236)(7)--<-答案：Ｃ4．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为（）Ａ．13n n a -=Ｂ．3nn a =Ｃ．33nn a n =-Ｄ．1323n n a n -=+-答案：Ａ5．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）Ａ．有一个解Ｂ．有两个解Ｃ．至少有三个解Ｄ．至少有两个解答案：Ｃ 6．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理（）Ａ．小前提错Ｂ．结论错Ｃ．正确Ｄ．大前提错答案：Ｃ7．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >gg ，类比上述性质，在等比数列{}n b 中若0n b >，1q >，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（）Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ａ8．若ABC △能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不能确定答案：Ｂ9．下列推理正确的是（）Ａ．如果不买彩票，那么就不能中奖；因为你买了彩票，所以你一定中奖Ｂ．因为a b a c >>，，所以a b a c ->- Ｃ．若a b +∈R ，，则lg lg 2lg lg a b a b +g ≥ Ｄ．若a +∈R ，0ab <，则22a b a b a b b a b a b a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+---=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤ 答案：Ｄ10．正整数按右表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．2005+2006 Ｄ．2005×2006 答案：Ｄ11．已知()()()f x y f x f y +=+且(1)2f =，则(1)(2)()f f f n +++…不能等于（）Ａ．(1)2(1)(1)f f nf +++…Ｂ．(1)2n n f +⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．(1)n n + Ｄ．(1)(1)n n f +答案：Ｄ12．已知1c >，a =b = ）Ａ．a b > Ｂ．a b < Ｃ．a b = Ｄ．a ，b 大小不定答案：Ｂ二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是．答案：对定义域内的每一个x ，满足()()f x f x -=-的函数是奇函数大前提3()sin ()f x x x f x -=--=- 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数结论14．写出命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定．答案：三角形中至少有两个内角是直角15．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表，观察答案：140，85 16．观察2sin105sin100sin10sin 20sin 30sin 200sin10++++=o oooooo…；2sin102sin 96sin12sin 24sin 36sin192sin12++++=o oooooo…，写出与以上两个等式规律相同的通式为．答案：12sinsin 22sin sin 2sin 3sin sin n nx x x x x nx x+++++=… 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题14分)在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为nb （每次注入的溶液浓度都是p%），计算123b b b ，，，并归纳出n b 的计算公式．解：11411004100100554r a p a b r p a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+g g， 2122141441001005554a pab b r p p a a +⎡⎤⎛⎫==++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+g ，32232314144410010055554a pa b b r o p p a a +⎡⎤⎛⎫==+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+g g，所以归纳得12141441005555nn n nb r p p p -⎡⎤⎛⎫=++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…． 18．(本小题14分)已知a 与b数．(用反证法证)a b -=-．由00a b >>，0>．=因为a b ，=+，即一定为无理数．19．(本小题15分)用分析法证明：若0a >12a a+-．12a a +-12a a++≥ 因为0a >，所以上式两边均大于零．因此只需证221a a ⎛+- ⎝≥，即222211144a a a a a ⎫+++++++⎪⎭．12a a ⎫+⎪⎝⎭，只需证222211122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，即证2212a a+≥，它显然是成立的，所以原不等式成立． 20．(本小题15分)已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}n b 也是等比数列，其中N )n b n *=∈”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n b 也是等差数列，其中12()nn a a a b n n*+++=∈N …．证明如下：设等差数列{}n a 的公差为d ，则1121(1)2(1)2na n n na da a a db a n nn -++++===+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列．21．(本小题16分)自然状态下的鱼类是一种可再生的资源．为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用n x 表示某鱼群在第()n n *∈N 年年初的总量，且10x >．不考虑其他因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与n x 成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．（1）求1n x +与n x 的关系式；（2）猜想：当且仅当1x ，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）解：（1）从第n 年初到第1n +年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为n bx ，死亡量为2n cx ，因此21n n n n n x x ax bx cx +-=--，n *∈N ，让学生学会学习即1(1)n n n x x c b cx +=-+-，n *∈N ；（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则a x 恒等于1x ，n *∈N ．10a b cx ∴--=，即1a bx c-=． 10x >Q ，a b ∴>．猜想：当且仅当a b >且1a bx c-=时，每年年初鱼群的总量保持不变．。

最新高中数学(苏教版选修2-2)配套习题：第二章推理与证明 2.1.3 Word版含解析

2.1.3推理案例赏析明目标、知重点 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．1．数学活动与探索数学活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．2．合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．[情境导学]合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差别？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发展活动的？下面通过几个案例进一步来熟悉．探究点一运用归纳推理探求结论思考1在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？答(1)实验、观察：列举几个特别的例子，并推演出相应的结论．(2)概括、推广：分析上述实验的共性，如位置关系、数量关系及变化规律，找出通性．(3)猜测一般性结论：由上述概括出的通性，推广出一般情形下的结论，此结论就涵盖所有特例的结论．思考2 归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向．例1 已知数列的前4项为32，1，710，917，试写出这个数列的一个通项公式．解把已知4项改写为32，55，710，917，记此数列的第n 项为a n ，则有a 1＝2×1＋112＋1；a 2＝2×2＋122＋1；a 3＝2×3＋132＋1，a 4＝2×4＋142＋1，….据此猜测a n ＝2n ＋1n 2＋1.反思与感悟运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．跟踪训练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n 个图形中小等边三角形的个数为________．答案n2解析前4个图中小三角形个数分别为1,4,9,16.猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.探究点二运用类比推理探求结论思考1在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？答(1)观察、比较：对比两类对象，挖掘它们之间的相似(同)点和不同点．(2)联想、类推：提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质．(3)猜测新的结论：把猜测的某种结论用相关语言确切地表述出来．思考2类比推理的结论是否一定正确？答从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证．例2Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA.(如图甲)类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P—ABC(如图乙)中，可得到什么结论？解如图在三棱锥P —ABC 中，作PO ⊥平面ABC ，连结OB 、OC 猜想下列结论：S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC . 证明：连结AO ，并延长交BC 于D ，连结PD .P A ⊥PB ，P A ⊥PC ⇒P A ⊥平面PBC .∵PD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴P A ⊥PD ，P A ⊥BC .∵PO ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥AD ，PO ⊥BC .∴BC ⊥平面P AD .∴BC ⊥AD ，BC ⊥PD .S 2△PBC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·PD 2＝14BC 2·PD 2 S △OBC ·S △ABC ＝12BC ·OD ·12BC ·AD＝14BC 2·OD ·AD . ∵PD 2＝OD ·AD ，∴S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC . 反思与感悟在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．跟踪训练2 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，B 1C 1＝l ，半径为R ，△ABC 的面积可通过下列公式计算：(1)S ＝12ah ；(2)S ＝12bc sin ∠BAC .运用类比的方法，猜想扇形A 1B 1C 1的面积公式，并指出其真假．(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________．答案 (1)S ＝12lR 真命题(2)S ＝12R 2sin A 1 假命题探究点三运用演绎推理证明结论的正确性思考1 合情推理与演绎推理有何异同之处？答合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．思考2 应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？答在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．前一个三段论的结论往往作为下一个三段论的前提．例3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)求证数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)求证不等式S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)． (1)证明由a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4 (n ∈N *)．∴数列{a n －n }是以a 1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列．(2)解由(1)可知a n －n ＝4n －1，∴a n ＝n ＋4n －1.∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n ＋4n －1)＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋…＋4n －1)＝n (n ＋1)2＋13·4n －13.(3)证明由(2)知，S n ＋1－4S n＝(n ＋1)(n ＋2)2＋13·4n ＋1－13－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2＋13·4n －13＝(n ＋1)(n ＋2)2－2n (n ＋1)＋1＝－(n －1)(3n ＋4)2≤0，∴S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．反思与感悟演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．跟踪训练3 已知函数f (x )对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．求证：f (x )是奇函数．证明 ∵对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．∴当x ＝y ＝0时，f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.又令y ＝－x ，则f (－x )＋f (x )＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．1．一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________．答案3解析 ∵a 2＝9＝6×2－3，a 3＝15＝6×3－3，a 4＝21＝6×4－3，∴猜想a 1＝6×1－3＝ 3.2．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________. 答案球内接平行六面体一定是长方体3．设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论______________________．答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…x n4．已知a 、b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 013)f (2 012)＝________.答案 4 024解析令b ＝1，则f (a ＋1)＝f (a )f (1)，∴f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2. ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 013)f (2 012)＝2＋2＋…＋2 ＝2×2 012＝4 024.[呈重点、现规律]1．数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.一、基础过关1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．答案 31解析有底纹的正六边形的个数组成等差数列a 1＝6，d ＝5，∴a 6＝6＋(6－1)×5＝31.2．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，… 由此猜测第n 个等式为______________________(n ∈N *)．答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋1.则此数列的前4项分别为a 1＝________，a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.据此猜测，数列{a n }的通项公式为a n ＝_______.答案 2 3 5 7 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥24．正方形ABCD 中，对角线AC ⊥BD .运用类比的方法，猜想正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，相关结论：________________________. 答案对角面AA 1C 1C ⊥BB 1D 1D5．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝1x 是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎推理错误的原因是______________．答案大前提错误6．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边是a ，b ，c ，则有a ＝c cos B ＋b cos C ；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P —ABC 中，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别是S ，S 1，S 2，S 3，二面角P —AB —C ，P —BC —A ，P —AC —B 的度数分别是α，β，γ，则S ＝____________________________________. 答案 S 1cos α＋S 2cos β＋S 3cos γ7．已知等式：(tan 5°＋1)(tan 40°＋1)＝2；(tan 15°＋1)(tan 30°＋1)＝2；(tan 25°＋1)(tan 20°＋1)＝2；据此可猜想出一个一般性命题：______________________________.答案(tan α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝2二、能力提升8．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．答案14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3)2，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.9．设M是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意s>0，t>0，都有f(s)＋f(t)<f(s＋t)．给出函数f1(x)＝log2x，f2(x)＝2x－1.下列判断正确的是________．①f1(x)∈M；②f1(x)∉M；③f2(x)∈M；④f2(x)∉M.答案②③解析对于f1(x)＝log2x；log22＋log24>log2(2＋4)，所以f1(x)∉M.对于f 2(x )＝2x －1：2s －1＋2t －1－(2s ＋t －1)＝－(2s －1)(2t －1)<0，f 2(x )∈M .10．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e. 将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________.答案平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1 (m ，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率为e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e11．已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝n a 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n也是等差数列．证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d 2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d 2为公差的等差数列． 12．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．解猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．证明如下：设P为正三棱锥A—BCD底面上任一点，点P到平面ABC、ACD、ABD的距离分别为h1、h2、h3，以侧面ABC为底时对应的高为h，则：V P—ABC＋V P—ACD＋V P—ABD＝V D—ABC.即：13S△ABC ·h1＋13S△ACD·h2＋13S△ABD·h3＝13S△ABC·h.∵S△ABC＝S△ACD＝S△ABD∴h1＋h2＋h3＝h，此即要证的结论．三、探究与拓展13．记S n为数列{a n}的前n项和，给出两个数列：(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…(1)对于数列(Ⅰ)，计算S1，S2，S4，S5；对于数列(Ⅱ)，计算S 1，S 3，S 5，S 7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．解 (1)对于数列(Ⅰ)，S 1＝S 5＝5，S 2＝S 4＝8；对于数列(Ⅱ)，S 1＝S 7＝－14，S 3＝S 5＝－30.(2)对于等差数列{a n }，当a k ＋a k ＋1＝0时，猜想S n ＝S 2k －n (n ≤2k ，n ，k ∈N *)．下面给出证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a k ＋a k ＋1＝0，∴a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝0，∴2a 1＝(1－2k )d .又S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋(2k －n )(2k －n －1)2d －na 1－n (n －1)2d ＝[(k －n )(1－2k )＋(2k －n )(2k －n －1)2－n (n －1)2]d ＝0. ∴S 2k －n ＝S n ，猜想正确．。

高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》复习与小结课件

25＋55＞23·52＋22·53，将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推
广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以
是
.
（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为
1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的
体积比为
．
1 （3）若数列{an}是等差数列，对于bn＝ n (a1＋a2 ＋…＋an)，则数列{bn}也
高中数学选修2-2
一、知识回顾
本章知识结构：
推理推理与证明
证明
合情推理演绎推理直接证明
间接证明
归纳推理类比推理
综合法分析法数学归纳法
反证法
基础知识过关
（1）合情推理包括（2）
它是一种由
推理、
推理．
称为归纳推理；
到
，由
到
的推理．
（3）它是一种由
称为类比推理；
到
的推理．
（4）归纳推理的一般步骤是：①
二、数学运用
例3 已知A，B，C∈(0，1)，求证：(1－a)b， (1－b)c， (1－c)a不能同时大于
1
．
4
用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；（2）导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；（3）导出一个恒假命题．
当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法．
二、数学运用
例4 已知数列{an}，an ≥0， a1 ＝0，an＋12＋an＋1 －1＝ an 2(n∈N*)
记Sn ＝ a1 ＋a2＋…＋an

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