4.相似三角形的判定2
相似三角形的判定和判定方法
相似三角形的判定和判定方法1.边长比较法：通过比较两个三角形的各个边长，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应边长成比例关系，即每对对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的边长是另一个三角形的边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
2.角度比较法：通过比较两个三角形的各个角度，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的对应角度相等（或互为对应角的补角），那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一对内角是另一个三角形的一对内角的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
3.角边比较法：通过比较两个三角形的一个角和对边的比值，可以判断它们是否相似。
如果两个三角形的一个角相等，并且对应边长之比相等，那么这两个三角形是相似的。
比如，如果一个三角形的一个角是60度，它的对边长是另一个三角形的一个角是30度，它的对边长的两倍，那么这两个三角形就是相似的。
4.比例关系法：通过使用相似三角形的比例关系，可以判断两个三角形是否相似。
根据数学原理，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们是相似的。
这个比例关系可以表示为：AB/DE=BC/EF=AC/DF其中AB、BC、AC分别是一个三角形的三条边长，DE、EF、DF分别是另一个三角形的对应边长。
如果这个比例关系满足，那么这两个三角形就是相似的。
需要注意的是，相似三角形的判定必须满足两个条件：对应角度相等（或互为对应角的补角），以及对应边长成比例关系。
如果只满足其中一个条件，那么这两个三角形不是相似的。
此外，还可以根据相似三角形的性质解决一些图像类问题，比如计算物体在投影变换下的大小、角度等。
在计算机图形学和计算机视觉领域，相似三角形的概念被广泛应用于图像识别、图像重建等算法中。
总之，判定两个三角形是否相似有多种方法，包括比较边长、角度和使用比例关系。
通过这些方法，可以解决一些几何和图像问题，应用广泛。
相似三角形的判定两个角
相似三角形的性质
对应角相等
面积比等于相似比的平方
相似三角形的对应角相等，这是相似 三角形的基本性质。
相似三角形的面积之比等于其对应边 长之比的平方，这是相似三角形的一 个重要性质。
对应边成比例
相似三角形的对应边之间成比例，这 是判定两个三角形是否相似的关键性 质。
02
判定两个角相等的三 角形相似
03
判定两个角相等的方 法
利用全等三角形判定
01
02
03
ห้องสมุดไป่ตู้
判定定理1
两个三角形如果三边分别 相等，则这两个三角形全 等。
判定定理2
两个三角形如果两边及其 夹角分别相等，则这两个 三角形全等。
判定定理3
两个三角形如果两角及其 夹边分别相等，则这两个 三角形全等。
利用等腰三角形判定
01
等腰三角形的两个底角相等，因 此如果两个三角形都是等腰三角 形，则它们的对应角相等。
角度测量
相似三角形也可以用于测量角度 ，通过已知角度来推算其他角度 。
在建筑设计中的应用
比例协调
在建筑设计中，相似三角形可以用来 确保建筑各部分的比例协调，营造和 谐的美感。
结构设计
利用相似三角形原理，可以设计出结 构稳定、受力均匀的建筑结构。
THANKS
感谢观看
详细描述
根据角边角判定定理，如果两个三角形有两个角和一个对应的边分别相等，则 这两个三角形相似。这是因为一个角和一条边相等意味着这两个三角形有相同 的角和对应的边成比例，满足相似三角形的定义。
边角角判定定理
总结词
如果两个三角形有两个对应的边和一对对应的角相等，则这两个三角形相似。
详细描述
相似三角形的判定(2)
身进京纵强贼（5） “年夜，苏家女眷，一定会跟从前一样出去。”宝音道，“你们也先收拾着，省得措手不及。”“ ，您亲口到老太太面前 去求么？”乐韵问宝音，手抚着辫梢。辫上还扎着白绳。她的爹爹，病榻上辗转三年，终于死了。乐韵可以请假回去守孝，宝音一定会准，但 乐韵没请。“他受苦这么些年，死了倒也是解脱。”乐韵道，“他在时，我尽了孝。他走了，我也觉得解脱。要我回去守着，我一个人寂寂的， 说不定倒伤心了。我不去守。”她只是个小丫头，没人会责备她不遵制、未丁忧，宝音只道：“留在府里，便留着。戴孝，便当为四姨娘、七 戴了。”那是！明蕙死在寺中，虽是庶女，好歹是宗谱中 ，且是未嫁的，明蕙的生母刘四姨娘又是宝音庶母，宝音服大功，大老爷都要为她们 服缌麻 。所谓“大功”、“小功”，是“五服”中的等级，各各用的布料、穿的时间等不同。那些生麻布、熟麻布，缝边、不缝边，原是几代 前的祖制，穿起来烦难得很，齐衰以下那些亲属关系，要劳烦礼部的学士专门按古书度算的。再说，制度里竟没规定父母为孩子穿什么。莫非 姑舅们都一片白晃晃了，伤心的父母们好意思满身红艳艳绿莹莹黄澄澄紫幽幽的坐着么？再再说，制度里一穿就好几个月、好几年的，一家里 有多少亲属呀？都照这个服法，满朝百姓都白茫茫一片了，天子要是瞅一眼，猛古丁还当自己死了，大伙儿服国丧哪！这也太不吉利了。所以 至前朝，有贤人出来说，父母对子女，也可着丧服，只按子女对父母的本服减等而服，又道，制度里虽规定那几年、几个月，实则只需大略过 了一段时间，即可以麻换葛、衣服换布条，意思意思什么的就完了。至本朝百载而下，礼纲益驰，若非至近尊亲，市井中大部分平常人也就含 糊着穿个白色粗布、系个白条过去罢了，官府也不来管。明蕙是庶女，刘四姨娘也只是个姨娘，本也可按“大部分平常人”办理，但这一次， 老太太发了话，大家都按制着服。连老太太、大老爷，也尊前贤说的“按本服减等而服”。幸而明蕙娘儿俩辈份低，诸人为她们，穿个丧服也 罢了，依制“不杖”，就是不必扶个孝杖表示自己哀毁逾恒形销骨立，否则，一府人顿时的扶起白杖来，不知道的还当这儿闹瘟疫了……嗯哼， 总之既服着丧，更不适合大过年的出门了！一家白花花，给乡亲们洗眼睛不是？宝音却坚定道：“我们会出门的。”飘儿帘下通禀：“四 来 访！”宝音眼神微妙的一变：“请！”明秀进来，穿着小功的细缘边熟麻衣，人瘦了一圈，因不是为明蕙哀伤，而是为唐静轩，神情却仍端 庄——甚至比先前更端庄了。她对宝音道：“笙妹妹，年夜之时，我们还照往常出门罢？”一干丫头都崇拜的望着宝音：铁口直断！这也太强 了！丫头们钦
25.4 相似三角形的判定 - 第2课时课件(共17张PPT)
相似三角形的判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.用数学符号表示：∵ ,∴△ABC∽△A′B′C′.
B
B
3.如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点，AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为 时,△ADP和△ABC相似.
4或9
4.如图,D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且 ,求DE的长.
解：∵AE=1.5,AC=2,∴ .∴ , ∴ .又∵∠EAD=∠CAB,∴△ADE∽△ABC,∴ .∵BC=3,∴DE= BC= ×3= .
证明:∵O是垂心,∴AO⊥CD,即∠CDO=90︒ ,同理∠AEO=90︒,∴∠AEO=∠CDO,∵∠O=∠O,△AEO∽△CDO∴ , ∴ .△ODE∽△OCA.
归纳小结
三角形相似判别定理2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.本节课还用到了类比的思想，类比三角形全等.
想一想：已知，如图△ABC和△A′B′C′中， .求证：△ABC∽△A′B′C′ .
D
E
证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E，则∠ADE=∠B, ∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC ,∵ ,∴ .
第二十五章 图形的相似
25.4 相似三角形的判定
第2课时
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.掌握相似三角形的判定定理2.2.理解相似三角形判定定理2的推导过程，并能运用定理解决简单的有关问题.
运用相似三角形的判定定理2解决简单的有关问题.
相似三角形的判定2(两边及夹角)
AB AC , 对于△ABC和△A’B’C’,如果 A' B' A' C '
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看?
A
A’
B
C B’
D
C’
这两个三角形不一定相似
在△ABC中,D﹑E分别在AB﹑AC上,请你加一 个条件使△ADE∽△ABC,这个条件可以是＿＿ DE∥BC ＿＿＿＿＿＿＿＿＿
A
B
D
E
CC
1如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2， 求证：△ABC∽△AED．
A 1 D B 2 E C
练习题
练习题
2.已知：如图，P为△ABC中线AD上 2 的一点，且 BD = PD AD 求证：△ADC∽△CDP．
A P B D C
练习题
3如图在正方形网格上有 、如图在正方形网格上有△Ａ Ｃ A1 B1C1和A C 1Ｂ 1和 2 B21 2， △Ａ 它们相似吗？如果相似 ，求出相似比；如果 2Ｂ2Ｃ2,它们相似吗？如果相似，求 出相似比；如果不相似，请说明理由。 不相似，请说明理由。
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等 并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两 A’ 三角形相似。 A
B
C B’ C’
在△ABC和△A’B’C’中,
AB AC k , ∠A=∠A’, A' B ' A' C '
∴△ABC∽△A’B’C’
答案是2:1
AD AE AC AB
D B A D E C B E C A
例1 根据下列条件,判断△ABC和△A’B’C’ 是否相似,并说明理由: ∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A’=120°,A’B’=3cm,A’C’=6cm,
第4课时：相似三角形的判定(二)
第一讲：相似三角形的判定及有关性质第4课时：相似三角形的判定(二)编写：李子仁【学习目标】1.理解直角三角形相似的判定定理。
2. 灵活掌握并会应用直角三角形相似判定定理。
【知识线索】1.直角三角形相似的判定定理1：①如果两个直角三角形_____________________，那么它们相似．②如果两个直角三角形_____________________，那么它们相似．定理2：①如果一个直角三角形的________________与另一个直角三角形的斜边和一条直角边__________，那么这两个直角三角形相似．【知识建构】1.类比一般三角形的相似可得直角三角形相似的判定。
2.由于直角三角形中有一个角为直角，相应判定定理更加简单。
【典例透析】例1.如图所示，已知AD 、BE 分别是△ABC 中BC 边和AC 边上的高，H 是AD 、BE 的交点，求证：(1)AD ·BC ＝BE ·AC ；(2)AH ·HD ＝BH ·HE .课时目标呈现课中师生互动 课前自主预习高二数学选修4-1例2．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，底边BC上的高AD＝10 cm，腰AC上的高BE＝12 cm . (1)求证：ABBD＝53；(2)求△ABC的周长.【随堂检测】1．(2012·广州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，上底AD＝3，下底BC＝33，与两底垂直的腰AB＝6，在AB上选取一点P，使△PAD和△PBC相似，这样的点P有________个．2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF:FC等于________．【课堂小结】1．直角三角形相似的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系．2．注意辅助线的添加，多数作平行线．A1．如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______B2．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC •BC=BE •CD ；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长．C3．如图，△ABC 是钝角三角形，AD 、BE 、CF 分别是△ABC 的三条高。
4.4两个三角形相似的判定(2)精品教案
4.4两个三角形相似的判定（2）教学内容本节课继上一节学习了两个角对应相等的两个三角形相似之后学习判定相似三角形另一个方法：有两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．教学目标1．知识与技能．理解相似三角形的判定方法．2．过程与方法．以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法．3．情感、态度与价值观培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值．重难点、关键1．重点：会应用相似三角形的两个判定方法．2．难点：怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似．3．关键：抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，•把握图形的结构特点．教学准备1．教师准备：投影仪、课件．2．学生准备：复习上一节学过的相似三角形判定，预习本节课内容．教学过程一、创设情境，导入新知教师活动：演示课件，银幕上出现高山峡谷，青山绿水，山峦起伏，最后画面定位在一个大峡谷．教师提问：同学们，要求得大峡谷宽，能否用相似三角形中的知识来解决问题？怎样建构两个相似的三角形？点评：创设大自然数的情境，让学生感受到自己所学习的知识是很有价值的，同时激起同学们的兴趣，提出问题后，可以让学生充分讨论，让学生设计方法，教师引导时可将银幕定位在大峡谷，而后用虚线表现峡谷宽OA和不易得到的距离，实现表示能够直接得到的距离．（制作课件时已准备这个程序内容．如图•所示）OC BAD问题牵引：如果△ABC与△A′B′C′三边对应成比例，那么它们一定相似吗？教师活动：操作课件，引导，判定：三边对应成比例的两个三角形相似．学生活动：观察、动手实验，寻求规律，得到结果．阅读课本例题前的内容．师生共识，形成概念．相似三角形判定定理．二、操作感知，拓展延伸教师活动：如果△ABC 与△A ′B ′C ′有一个角对应相等，且有两边对应成比例，那么它们一定相似吗？（投影显示）如果这个角是这条边的夹角，那么它们一定相似吗？思路点拨：教师组织学生动手画图，让学生画△ABC 与△A ′B ′C ′，使得∠A=∠A ′，````AB ACA B A C ==k （k 由学生任意取值），设法比较∠B 与∠B ′的大小（或∠C 与∠C ′的大小），判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，然后再改变k 值的大小，再试一试． 教师活动：组织讨论，探索规律．学生活动：分四人小组进行实验，寻找规律的特征，提出自己的看法．教学方法：师生共同研究、探计．三、辨别是非，加深理解想一想：在上面练习中，如果这个角是这两边中其中一条边的对角呢？评析：这个问题是引导学生正确应用相似三角形的判定方法，用画图的方法可以让学生自己发现问题，明辨是非，加深学生对概念的理解．例：证明图中△AEB 和△FEC 相似．证明：∵54451.5,3630AE BE FE CE ====1.5， ∴AE BEFE CE=． ∵∠AEB=∠FEC ．∴△AEB ∽△FEC ．（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）四、课堂练习，应用新知 1．阅读课本例2．2．课本课内练习P135第1、2题．3．探研时空：如图，已知Q 是正方形ABCD 中CD 边的中点，P 是BC 边上一点，且BP=3PC ，•请问∠DAQ 是否与∠PQC 相等？说明理由．30365445FEBA思路点拨：通过AD ：QC=DQ ：PC ，∠D=∠C=90°，可以推得△ADQ ∽△QCP ，•从而得到∠DAQ=∠PQC ，也可以用其他方法．教师活动：巡视、引导学生．学生活动：先独立思考，后小组讨论，上台演示．五、课堂总结，提高认识 1．教师提问：（1）相似三角形的判定有几种方法？如何选择这些方法？ （2）相似三角形具有哪些性质？通常可以用来证明哪些问题？ （3）你通过这两节课内容的学习，在推理方面是否有提高？ 2．归纳：判定三角形相似的主要思路：（1）有两对边成比例的，一般有两个途径：一是夹角相等；•二是找第三边成比例． （2）有一对等角的，一般有两个途径：一是找另一对等角；•二是找到夹边成比例． （3）利用已知三角形相似的传递关系：若△1∽△2，△2∽△3，则有△1∽△2．换一个角度看判定三角形的思路：从基本图形的构成上，分为两个基本类型：第一，平行型．①相似三角形是由平行线所截构成的．②对顶形状的平行线型相似三角形；第二，相交型，由相交线构成的相似三角形的基本图形主要有两种：①是有公共角的；②具有对顶角的，它们最大特点是：有一同角或等角，只要把其中一个图形翻折过来，对应角、对应边关系一目了然．判定时可用寻求另一等角或夹这个角两边是否成比例． 六、布置作业，专题突破1．课本P136作业题第1~4题． 2．选用课时作业设计．七、课后反思（略）QD CB A。
相似三角形的判定
相似三角形的判定在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但可能不同尺寸的三角形。
判定两个三角形是否相似是几何学中的基本问题之一。
本文将介绍相似三角形的定义以及常用的判定方法。
一、相似三角形的定义两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等且对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以得出相似三角形的三个基本判定定理。
1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
3. SAS相似定理：如果两个三角形中有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的判定方法1. 角角判定法：使用AA相似定理，当我们知道两个三角形的两个角分别相等时，就可以判定它们相似。
具体判定方法是测量三角形的两个角，并将其与另一个三角形对应的两个角进行比较。
如果它们相等，则两个三角形相似。
2. 边边判定法：使用SSS相似定理，当我们知道两个三角形的三条边的比例相等时，可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的三条边，并将其比较。
如果它们的比例相等，则两个三角形相似。
3. 边角边判定法：使用SAS相似定理，当我们知道两个三角形有两个对应边的比例相等，并且这两个对应边夹角相等时，可以判定它们相似。
具体判定方法是测量两个三角形的两个对应边的比例，并测量它们对应的夹角，将其与另一个三角形对应的两个对应边的比例和夹角进行比较。
如果它们相等，则两个三角形相似。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用。
一些常见的应用包括：1. 测量高度：通过测量阴影的长度和实物的长度，我们可以利用相似三角形的性质计算出物体的高度。
2. 估算距离：在实际测量中，通过相似三角形的比例关系，我们可以利用已知的距离来估算其他无法直接测量的距离。
3. 图像变换：相似三角形的性质在图像变换中也有应用。
例如，图像的缩放、旋转和翻转等操作都可以通过相似三角形来实现。
相似三角形的判定定理2
相似三角形的判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
几何符号语言：
∴△ABC∽△A’B’C’ （两边对应成比例且夹角相 等的两个三角形相似。）
方法归纳：应用相似三角形判定定理2解题 时，角必须是两边成比例的夹角相等，切记 不可以是某一边的对角相等。
∴△ACD∽△CBD ∴∠ACD=∠B ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°
证明：∵∠AED=∠B 又∠DAE=∠CAB
∴△AED∽△ABC（两角对应相等的应成比例且夹角相等 的两三角形相似）
D
4、如图在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°， AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm 求证：△ABC∽△DEF
证明：∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm
∵∠C=∠F=70° ∴△ABC∽△DEF
证明：∵CD是边AB上的高 ∴∠ADC=∠CDB=90°
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定条件
一、三角形的相似性
相似三角形，是指任意两个三角形具有相似的外观特征，通常指它们的相似比关系s＝AB/AC＝BC/AB＝CA/BC。
二、相似三角形的判定条件
1. 相似三角形具有相同的角度：两个三角形中拥有相同的外角，例如A=α，B=β，
C=γ。
2. 相似三角形具有相似的边长：两个三角形中，同一边比值相等，即AB/AC＝
BC/AB＝CA/BC。
3. 相似三角形保留相似比例：两个相似三角形具有相同的相似比，即每两边的比例相同，AA'/BB'=CC'/DD'。
4. 相似三角形的对应边：对比两个三角形的边，若满足一一对应，则认为这两个三角形相似。
即A=A'，B=B'，C=C'，以及A':A/B=B':B/C=C':C/A。
五、相似三角形的性质
1. 相似三角形保持四边形内比：如果两个三角形相似，则四边形的内比也保持不变。
即一个四边形的边之间的长度比例与另一个对应的四边形的边之间的长度比例也相等。
2. 相似三角形的面积性质：如果两个三角形相似，其面积的比例也相等，即
AB/AC=AA'/BB'。
3. 相似三角形的勾股定理：如果两个三角形相似，则勾股定理也相同，即勾股定理仍适用于这两个三角形，AA'^2+BB'^2=CC'^2。
相似三角形的判定定理2(201911)
由三角形全等的判定定理(SAS)
猜想得出相似的判定定理2
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比
相等，并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似
已知在△ABC 和△DEF中,
AB AC DE DF
∠A=∠D 求证:△ABC∽△DEF
B
A
D
E
F
C
例1.如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2 cm， AB=4cm，AC=8cm，
练一练
１.如下图所示,在△ABC中,D﹑E分别在AC﹑AB上, 且AD：AB=AE：AC=1：2，BC=5，则DE=________
２.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. （1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.
例２. 如图,在正方形ABCD中,已知P是BC上的点,
且BP=3PC,Q是CD的中点,试判断△ADQ∽△QCP吗?
说明理由.
A
D
Q
B
PC
这是探索结论的题型，要先观察，猜测
例３.如图，D为Δ ABC内一点，E为Δ ABC外一点， 且∠1=∠2，AB=6，BC=4，BD=3，BE=2.
(1)Δ ABD与Δ CBE相似吗？请说明理由. (2)Δ ABC与Δ DBE相似吗？请说明理由.
知识回顾
我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你
用符号语言叙述。
A
A
D
A D
D
E
E
F
B
CE
F
（B2）∵DE∥BC
CB （3）∵
C
AB
AC
数学：24.2《相似三角形的判定(二)》教案(沪科版九年级上)
24.2 相似三角形的判定学习目标要求1、掌握相似三角形的概念。
2、掌握两个三角形相似的条件。
3、能用两个三角形相似的条件解决问题。
教材内容点拨知识点1相似三角形：1、两个三角形，如果各边对应成比例，各角对应相等，则这两个三角形相似。
2、各边对应成比例，各角对应相等是指三组对应角分别相等，三组对应边分别成比例。
3、△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，书写时同三角形全等一样，要注意对应字母放在对应位置，例如，△ABC与△DEF中，A点与E点对应，B点与D点对应，C点与F点对应，则应记作△ABC∽△EDF。
4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性，即如果两个三角形相似，则各边对应成比例，各角对应相等，∴相似三角形的定义即是性质，又是判定。
5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。
知识点2相似三角形判定方法：相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”，只是这里对边要求是对应成比例，对角的要求是对应角相等。
1、“AA”：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似。
可简单的说成：两角对应相等的两个三角形相似。
2、“SAS”：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单的说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、“SSS”：如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可以简单的说成：三边对应成比例的两个三角形相似。
4、“HL”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三外形相似。
典型例题点拨例1、已知:如图，ΔABC中,AD＝DB，∠1＝∠2，求证:ΔABC∽ΔEAD。
从而可得两个角之间的关系，联系到要求证的结论，可联想到用“AA ”来证。
相似三角形判定-(2)
AB BC CA △ABC∽△A'B'C' A' B' B' C' C' A'
B
C
直角三角形相似的判定: 直角边和斜边对应成比例， 两直角三角形相似。 ∠C=∠C' =90
AB AC = A' B ' A'C'
o
A'
C'
B'
A
Rt△ABC∽Rt△A'B'C'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
⑵ ∵∠A=∠A，
∴当AC:AP＝AB:AC时， P 1 △ ACP∽△ABC.
A
2
B 答：当∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或 AC:AP＝AB:AC,△ ACP∽△ABC.
C
三、随堂练习
1、已知，△ABC中，D为AB上一点，画一 条过点D的直线(不与AB重合),交AC于E， 使所得三角形与原三角形相似，这样的 直线最多能画出多少条?
一、知识回顾
相似三角形的判定定理： 定理1：两角对应相等，两三角形相似。 A'
∠A= ∠A' ∠B= ∠B'
BC AB A' B ' B ' C '
△ABC∽△A'B'C'
B'
C'
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C' A
相似三角形的判定(二)
第5讲 相似三角形的判定（二）知识框架本讲主要讲解相似三角形判定定理3和直角三角形相似的判定定理，并进行了相似三角形判定的相关综合练习．重点是灵活运用相似三角形的各个判定定理，难点是相似三角形与分类讨论及函数思想的互相结合．5.1 相似三角形判定定理3相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，在ABC △与111A B C △中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC △∽111A B C △．例1. 根据下列条件判定ABC △与DEF △是否相似，如果是，那么用符号表示出来．（1）2cm AB =，3cm BC =，4cm CA =，10cm DE =，15cmEF=，20cm FD =． （2）1cm AB =，2cm BC =， 1.5cm CA =，6cm DE =，4cm EF =，8cm FD =．例2. 如图，在边长为1个单位的方格纸上，有ABC △与DEF △．求证：ABC △∽FDE △．例3. ABC △的边长分别为a 、b 、c ，111A B C △ABC △与111A B C △（选填“一定”、“不一定”或“一定不”）相似．例4. 如图，点D 为ABC ∆内一点，点E 为ABC ∆外一点，且满足AB BC ACAD DE AE==．求证：ABD △∽ACE △．例5. 如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，2AC =，CD =，4AD =． 求证：ABC △∽ACD △．例6. 已知：如图，在t R ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2AC =，4BC =，点D 在BC 边上，且CAD B ∠=∠． （1）求AD 的长；（2）取AD 、AB 的中点E 、F ，联结CE 、CF 、EF ．求证：CEF ∆∽ADB ∆．例7. 如图，在梯形ABCD 中，AB // CD ，90A ∠=︒，2AB =，3BC =，1CD =，点E 是AD 的中点．（1）求证：CDE △∽EAB △；（2）CDE △与CEB △有可能相似吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．5.2 直角三角形相似的判定定理直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．如图，在Rt ABC△和111Rt A B C△中，如果190C C∠=∠=︒，1111AB BCA B B C=，那么ABC△∽111A B C△．例1.在Rt ABC△和Rt DEF△中，90C F∠=∠=︒．依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似，并说明理由．（1）55A∠=︒，35D∠=︒；（2）9AC=，12BC=，6DF=，8EF=；（3）3AC=，4BC=，6DF=，8DE=；（4）10AB=，8AC=，15DE=，9EF=．例2.如图，在ABC△和111A B C△中，AD BC⊥，1111A DB C⊥，垂足为D和1D，且111111AC AB ADAC A B A D==．求证：ABC△∽111A B C△．例题分析例3.如图，四边形ABCD中，90=，BC b=，AC=．∠=∠=︒，AD aBAC ADC求证：DC BC⊥．例4.如图，在ABC⊥于F，DG BC⊥于G．⊥于D，DF AC△中，CD AB求证：CF CA CG CB⋅=⋅．例5.已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是．例6.如图，直角梯形ABCD中，90=，E为梯形内一点，且BCD∠=︒，AD // BC，BC CD∆绕点C旋转90°使BC与DC重合，得到DCF∆，连接EF BEC∠=︒．将BEC90交CD于点M．已知5DM MC的值．BC=，3CF=，求:例7.如图，在ABC⊥于F，求证：CEF⊥于E，DF BC△∽△中，CD AB⊥于D，DE AC△．CBA例8.在Rt ABC∠=︒，CD AB⊥于点D，E是AC边上的一个动点（不与A、ACB△中，90C重合），CF BE⊥于点F，连接DF．（1）求证：2=g；CB BF BE（2）求证：BF AE FD BA⋅=⋅．例9.求证：如果一个三角形的两边和第三边的中线与另一个三角形的对应线段成比例，那么这两个三角形相似．例10.如图，在Rt BDC⊥于F，DG BE⊥于G．∆中，点E在CD上，DF BC求证：FG BC CE BG⋅=⋅．例11.如图，90CAB⊥，ACE∆、ABF∠=︒，AD CB⊥．∆是正三角形．求证：DE DF5.3 相似三角形的判定综合1. 相似三角形判定定理1：两角对应相等，两个三角形相似．2. 相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．3. 相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两个三角形相似．4. 直角三角形相似的判定定理：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似．例1. 根据下列条件，能判定ABC △和DEF △相似的个数是（ ）（1）35ABC ∠=︒，75ACB ∠=︒，80EDF ∠=︒，35DEF ∠=︒； （2）3AB =，2BC =，30ABC ∠=︒，6DE =，4EF =，30EDF ∠=︒； （3）2AB =，3BC =，4AC =，12DE =，13EF =，14DF =；（4）AB =CB =2AC =，DE ，1EF =，DF ． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．例2. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列 条件中，不能推出ABP ∆与ECP ∆相似的是（ ） （A ）APB EPC ∠=∠； （B ）90APE ∠=︒ （C ）P 是BC 的中点；（D ）:2:3BP BC =．例2题图 例3题图例3. 如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值为______． 例4. 在ABC △中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD =，在AC 上取一点E ，得到ADE △，若ADE △与ABC △相似，则AE =．例5. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、 CD上滑动，AED △与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，CM 的值为__________．例6. 如图，AB AC =，2AC AD AE =g ，求证：BC 平分DBE ∠．例7. 如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上 求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长．例8. 如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =g g ．例9. 如图，在ABC ∆和DEF ∆中，90A D ∠=∠=︒，3AB DE ==，24AC DF ==．（1）判断这两个三角形是否相似，并说明为什么；（2）能否分别过点A 、D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC ∆分割成的两个三角形与DEF ∆分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．例10. 如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由．例11.如图，ABC∆是等边三角形，D是AC上的一点，BD的垂直平分线交AB于E，交BC于F．（1）当点D在边AC上移动时，DEF∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数；（2）当点D在边AC上移动时，ADE∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程．又问：当点D移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？（3）若等边三角形ABC的边长为6，2BE BF的值．AD=，试求:5.4 课堂检测1. 如图，网格里面有许多三角形．在下列所列出的各三角形之中，不能够与ABC △相似的是（ ） （A ）BCD ∆； （B ）BDE ∆；（C ）BFG ∆；（D ）FGH ∆．2. 下列命题中，说法正确的个数是（ ）（1）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；（3）两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； （4）两边对应成比例的两个三角形相似． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．3. 如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =， 则AC = ．4. 在ABC ∆中，点G 为重心，若BC 边上的高为6，求点G 到BC 的距离．5. 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥于F ，联结DF ．求证：BD DFBE AE=．6.已知梯形ABCD中，AB // CD，90CD=，12AB=，6BC=，点E在BC∠=︒，3B边上自B点向C点移动，求使得ABE∆相似的BE的值．∆与ECD7.如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O，过点B作BE//CD交CA的延长线于点E，求证：2=g．OC OA OE8.如图，在ABCBC cmAC cm=，点P从B出发，沿BC方向=，6∆中，90C∠=︒，8以2cm/s的速度移动到C点，点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动到A点．若点P、Q分别同时从B、C出发，经过多少时间CPQ∆相似？∆与CBA9.如图，ABCAC BC∠=︒，2==，O是AB的中点，将45°角的顶点置于C∆中，90点O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC、BC于点D、E，连接点D、E．（1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请找出，并证明；（2）设AD x=，BE y=，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当x为何值时，ODE∆是等腰三角形？10.在ABC∠=︒，CQ是斜边AB上的中线，6AB=，点P是BCAC=，10ACB∆中，90边上的一个动点（与B、C不重合），经过点P、Q的直线与直线AC交于点N，若∆相似，求BP的值．PNC∆与ABC5.5 课后作业1. 如图，ABC ∆与DEF ∆在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形的顶点位置，试判定ABC ∆与DEF ∆是否相似，为什么？2. 下列每组中的两个三角形，相似的是（ ）（A ）ABC △中，35A ∠=︒，50B ∠=︒；'''A B C ∆中，'35A ∠=︒，'105B ∠=︒； （B ）ABC △中， 1.5AB =， 1.25BC =，38B ∠=︒；'''A B C ∆中，''2A B =，'' 1.5B C =，'38B ∠=︒；（C ）ABC △中，12AB =，15BC =，26CA =；'''A B C ∆中，''20A B =，''25B C =，''40C A =；（D ）Rt ABC △中，斜边5AB =，直角边3BC =；'''Rt A B C ∆中，斜边''15A B =，直角边''12A C =．3. 如图，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，交AD 于点F ，则图中相似三角形 的对数是（ ） （A ）3对；（B ）4对；（C ）5对；（D ）6对．4. 如图，在ABC ∆中，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF AC ⊥于F ，DG BE ⊥ 于G ．求证：AF AC BG BE ⋅=⋅．5.如图，D是AC上的点，BE平行于AC，BE AD=，AE分别交BD、BC于点F、G，CAE CBD∠=∠．求证：BF是FG和EF的比例中项．6.已知，E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且13 EB AFAB AD==．求证：AEF FBD∠=∠．7.如图，正方形ABCD中，2AB=，P是BC边上与B、C不重合的任意点，DQ AP⊥于Q．（1）求证：DQA∆∽ABP∆；（2）当点P在BC上变化时，线段DQ也随之变化．设PA x=，DQ y=，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．8. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥ 于F ．求证：33AE AC BF BC=．9. 如图，A 是等边PQR ∆的边RQ 的延长线上的点，B 是QR 延长线上的点．（1）若60APQ BPR ∠+∠=︒，求证：2QR AQ BR =⋅；（2）若12AQ QR =，当RB 与QR 满足什么条件时，BRP ∆∽PQA ∆？（3）BPQ ∆有可能与PQA ∆相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．。
相似三角形的判定二
相似三角形判定二【知识要点】1．三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
已知：求证：证明：AC1 12．三角形相似的判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
已知：求证：证明：C1 1【典型例题】例1-1 如图,A 、D 、B 、E 、C 、F 分别在射线OA 、OB 、OC 上且,OFOCOE OB OD OA ==试判断 △ABC 与△DEF 是否相似。
例1-2 如图，四边形ABCD 中，AB EF //，交BC 于F ，交AC 于E ，AD EG //，交CD 于G ，连结FG ，求证：CFG ∆∽CBD ∆.例2-1 已知：如图，,EDCABE BC BD AB == （1）求证：∠ABD=∠CBE ；（2）求证：∠BAD=∠BCE 。
BCEO例2-2 如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，试问：（1） △ABD 与△CBE 能相似吗？请说明理由。
（2）△ABC 与△DBE 能相似吗？请说出你的看法。
例3-1 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 。
求证：△BDE ∽△BAC 。
C例3-2 如图，△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 的高，求证：DE=21BC 。
例4-1 已知：如图所示，四边形ABDC ，CDFE ，EFHG 都是正方形，求证：（1）△ADF ∽△HAD ；（2）∠AFB ＋∠AHB=∠ADB 。
例4-2 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 为AB 边上两点，且AD=AE=EF=FB ，DF 交AC 于G 。
求证：EG ⊥FD 。
例5 如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点。
（1）求证：△ADQ ∽△QCP ； （2）求证：AQ ⊥PQ ； （3）求证：△ADQ ∽△AQP 。
例6 已知，如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F 。
相似三角形的判定(2)
AB 8 1 A ' B ' 16 2
AC 15 1 A ' C ' 30 2
AB AC A' B ' A'C '
（ 2）
AB 10 5 0.625 A ' B ' 16 8
AC 16 0.625 A'C ' 25.6
BC 8 0.625 B ' C ' 12.8
A`
C`
AB AC BC ∵ A`B` A`C ` B`C `
∴△ABC∽△A`B`C`
反馈练习 1、试判定△ABC与A′B′C′是否相似，并说明理由． 在△ABC和△A′B′C′中，已知： (1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm， A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm．
A ' B ' A 'C ' AB AC
A'
A
AD AE AB AC
∴ DE//BC ∴ △ADE ∽ △ABC
B'
C' B
D
E C
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
AB AC 对于△ABC和△A'B'C'，如果 A' B ' A' C '
∠B＝∠B'，这
两个三角形一定相似吗？试着画画看．
相似，因为对应边的比相等.
在△ABC和△A′B′C′中，已知： (2) AB=12cm， BC=15cm， AC＝24cm A′B′＝16cm，B′C′＝20cm，A′C′＝30cm
相似三角形的判定(二)
判定定理2
：如果一个三角形 的两条边与另一个三角形的两 条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。可简单地说成： 两边对应成比例且夹角相等， 两三角形相似。
与△A′B′C′中 ∠A ＝120°，A B ＝7cm ，A C ＝ 14cm ∠A’ ＝120°，A′B′ ＝3cm ， A ‘C ‘ ＝ 6cm,这两个三角形相似吗? 为什么？
相似三角形的判 定（二）
复习提问： 1、我们已经学习了几种判定三角形相似的 方法？ 2、叙述预备定理，画图说明有哪两种情况？ 3如图 AF//CD,∠1= ∠2， ∠B= ∠D， 你能找出图中几对相似三角形？ 并逐一说明相似的理由
B F E 1 A 2 C
D
上节课我们学习了三角形相似的判定定理1， 类似于三角形全等的“SAS” 、“AAS”判定 方法，三角形相似还有两个判定方法，即判 定定理2和判定定理3。 命题：如果一个三角形的两条边和另一个三 角形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似
A
A’
B
B’ C
C’
判定定理3
：如果一个三角形的 三条边与另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三 角形相似。可简单地说成：三 边对应成比例，两三角形相似。
例3 已知△ABC 中 ∠C＝90°，D、E分别是AB、AC上的点 且AD· AB= AE· AC
求证：ED⊥AB
B
D
A
例1：已知：△ABC
例2 已知：△ABC 求作△A′B′C′，使它与△ABC 相似，并使 △ABC 与△A′B′C′的相似比为 5：3
C
A
B
求证：命题：如果一个三角形的三条边和另 一个三角形的三条边对应成比例，那么这两 个三角形相似 AB BC AC 已知：如图， AB B C AC 求证：△A B C∽△A′B′C′
相似三角形的判定定理二
(2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+2
(3)(x+3)(x-4)=6(x+1)2-2(x-1)
（4）X(x＋10)=900
识记解法及实质；
观察结构，选择合适的解法。
讲一讲：
一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法。其中,公式法是一般方法,适用于解所有的一元二次方程,因式分解法是特殊方法,在解符合方程左边易因式分解,右边为0的特点的一元二次方程时,非常简便
练一练
把下列方程的最简洁解法选填在括号内。
(A)直接开平方法(B)配方法(C)公式法(D)因式分解法
(1)7x-3=2x2 ( )
(2)4(9x-1)2=25 ( )
(3)(x+2)(x-1)=20 ( )
(4) 4x2+7x=2 ( )
(5) x2+2x-4=0 ( )
记一记：
一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法,若没有特殊说明一般不采用配方法。
使学生学会观察结构、选择合适的解法。
作业设计：
板书设计：
教与学的反思
2）因式分解法：a ＋bx＋c＝0转化成
（a1x＋m）(a2x＋n)=0
3）配方法实质：将a ＋bx＋c＝0化成
X2=k的形式；步骤化形—化1—移项—配方—直接开方。
4）公式法实质是“利用配方法”得出求根公式
步骤：先计算 －4ac的值，再判定一元二次方程根的情况，后代（否）公式求解。
试一试
将下列方程化成一般形式,再选择恰当的方法求解。
教学难点
通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想
4.3.相似三角形的判定二教案
24.3.2相似三角形的判定第二课时 相似三角形的判定(二)教学目标：知识与技能目标：1．知道判定两个三角形相似的又一种方法：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；2．能使用“有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”判断两个三角形相似。
过程与方法目标：1、经历探索“有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”的过程，通过观察、实践体验结论的准确性培养学生合情推理的意识。
2、经历应用结论判定三角形相似的过程，通过观察、思考、讨论等方式体验结论的应用，培养学的应用意识和演绎推理的水平。
情感价值与态度观：1、培养学生大胆猜想、勇于尝试、积极探索、细心求证、归纳总结、学以致用的数学探究意识和数学意志品质 。
2、培养学生合作精神和团队意识.教学重点：相似三角形的判定方法二的使用教学难点：灵活使用判定方法解决相关问题教学时数：一课时教学准备：多媒体课件教学过程一、情景引入：1、现在要判定两个三角形相似有哪几种方法?(1)根据定义；（2）平行线截三角形所得三角形与原三角形相似(3)有两个角对应相等的两个三角形相似；点评上述方法的使用.2、都有一个110度角的两个等腰三角形相似吗？各有一个50度角的两个等腰三角形相似吗？两个三角形有一个角对应相等,这两个三角形一定相似吗?如果知道一个角对应相等,要你去判定相似,你会去找什么条件?3、判定三角形相似还有其他的方法吗？类比三角形全等的判定方法SAS ，你有什么想法？二、探究新知：1、（课件演示）：观察图24．3．6， 如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图24.3.6提出问题：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？2、动手实践：画两个三角形使它们有两边对应成比例，且夹角相等。
然后测量相关数据判断他们是否相似？教师巡视指导，抽代表回答解决问题的办法和结论，然后多媒体展示验证。
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C'
∴
A' DE ABC
∴
ABC ∽ A' B ' C '
(SAS)判定定理：如果两个三角形的两组
对应边的比相等，并且相应的夹角相
等，那么这两个三角形相似。
A
A'
B
C
B'
C'
A' B' A' C' , A A' AB AC
ABC ∽ A' B ' C '
• 猜想： 对于△ABC和△A`B`C`,如果 A`B`:AB= A`C`:AC. ∠B= ∠B`,这 两个三角形一定会相似吗？
A F
D
E
C B
D
E
C
3. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 个三角形框架的三边长分别为4，6，8。另 一个三角形框架的一边长为2，它的别外两 条边长应当是多少？你有几种答案？
提示：三种选法，分别使另一个三角形的长
为2的边与长为4，6，8的边对应。
2:4=x:6=y:8 x:4=2:6=y:8 x:4=y:6=2:8
A' B' 4, A' C '中两个三角形是否相似？
B 6 A C 5 10 3 E
相似
2 3
不相似
6 14 9
4
E
1、如图,在 ABCD中，E是边BC 上的一点，且BE:EC=3:2，连接 AE 、 BD 交 于 点 F ， 则 3:5A BE:AD=_____，BF:FD=_____。 3:5 2、如图，在△ABC中， ∠C的平分线交AB于D， B 过点D作DE∥BC交AC于 E ， 若 AD:DB=3:2 ， 则 EC:BC=______。 3:5
变 式
例3. 右图中 的两个三角 形相似吗？ 理由是什么？
练习：
1.
根据下列条件，判断 ABC和A' B' C ' 是 否相似，并说明理由。 (1) AB 6, BC 8, AC 10, A' B' 3, B' C ' 4, A' C ' 5. (2) AB 20, AC 10, A 40
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为 B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是 否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有， 有几个？并求出此时BP的长，若没有， 请说明理由。
8
6 14
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为 B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是 否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有， 有几个？并求出此时BP的长，若没有， 请说明理由。
∴
ABC ∽ A' B ' C '
若：AB 3, BC 5, AC 6, A' B' 6, B' C ' 10, A' C ' 14. 这两个三角形还是相似 的吗？
猜想？
类似于判定三角形全等的 SAS方法，我们能不能通过两边 及其夹角来判定两个三角形相似呢？
探究3
利用刻度尺和量角器画 ABC和 AB AC A' B' C ' , 使A A' , 和 都 A' B' A' C ' 等于给定的k值，量出它们第三组对
A型
X型
二、 三角形全等有哪几种简单的判
定方法呢？
SSS、SAS 、ASA(AAS)、HL
猜想？
有没有其他简单的办法判断 两个三角形相似呢？
A
三组对应 边的比相等
A’
B’
B
C
C’
A' B' B' C' A' C' AB BC AC
是否有△ABC ∽△ A' B ' C '？
（SSS）判定定理：如果两个三角形的三组对 应边的比相等,那么这两个三角形相似.
8
6 14
小结： 相似三角形的判定方法有几种？
1、定义判定法
2、平行判定法 比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3、边边边判定法（SSS）
4、边角边判定法（SAS）
上）截取A' D AB，过点D再做
C D DE ∥B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B A' DE ∽ A' B ' C ' A' D A' E ∴ B' A' B ' A' C ' A' E AC AB AC 又 , A' D AB ∴ A' C ' A' C ' A' B' A' C ' ∴ A' E AC 又A A'. E
应边BC和B' C '的长，它们的比值等 于k吗？另外两组角是否会 相等呢？
改变k和∠A的值的大小,是否有同样的结论？
事实上我们经过探究发现有两边
及其夹角判定两个三角形相似的结论
如果两个三角形的两组对应 边的比相等，并且相应的夹角相 等，那么这两个三角形相似。 (SAS)
AB AC 已知：在ABC和A' B' C '中，B' A' C ' , A A' A' 求证: △ ABC ∽△ A' B ' C ' A A' 证明：在线段 ' B' A （或它的延长线
相似三角形的判定 （第2课时）
一、如何判断两三角形是否相似?
1.定义法:两三角形对应角相等，对应边的比相等的
两个三角形相似
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两
边的延长线）相交，所构成的三角形与原 三角形相似。
A D E C D E
A
∵ DE∥BC ∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
B
B
简单地说:三组对应边比相等的两三角形相似.
A
A'
B
C
B'
C'
A' B' B' C' A' C' k AB BC AC
ABC ∽ A' B ' C '
例1： 根据下列条件，判断 ABC和A' B' C ' 是
否相似，并说明理由。 AB 3, BC 5, AC 6, A' B' 6, B' C ' 10, A' C ' 12. AB 3 1 BC 5 1 解：∵ , , A' B ' 6 2 B ' C ' 10 2 AC 6 1 A' C ' 12 2 AB BC AC ∴ A' B ' B ' C ' A' C '
不会，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等
A'
A
B
C
B'
B' '
C'
例2：根据下列条件，判断△ABC和△A’B’C’ 是否相似，并说明理由。
AB=7， AC=14， ∠A＝60° A’B’＝3，A’C’＝6， ∠A’＝ 60° 解 ∵ AB/A’B’=7/3 AC/A’C’=14/6=7/3 ∴ AB/A’B’= AC/A’C’ 又 ∠A＝ ∠A’＝60° ∴ △ABC∽△A`B`C` AB=7， AC=14， ∠A＝60° A’B’＝6，A’C’＝3， ∠A’＝ 60°