高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数40算法初步试题理
高考数学 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算
总的费用 y＝80x0＋x8≥2
80x0·8x＝20，
当且仅当800＝ x 时取等号，得 x8
x＝80(件)，故选
B.
11．设 a>b>c>0，则 2a2＋a1b＋aa1－b－10ac＋25c2 的
最小值是(
)
A．2
B．4
C．2 5
D．5
解析 2a2＋a1b＋aa1－b－10ac＋25c2 ＝2a2＋aab－ab－ ＋bb－10ac＋25c2
其全程的平均时速为 v，则(
)
A．a<v< ab a＋b
C. ab<v< 2
B．v＝ ab D．v＝a＋ 2 b
解析 设甲乙两地相距为 s，
则
v＝s＋ 2s s ab
＝1＋2 1 ab
.
由于 a<b，∴1a＋1b<2a，∴v>a.
又1a＋1b>2
1， ab
∴v< ab.故 a<v< ab，故选 A.
B．(1，－2)
C．(1,1)
D．(0,2)
解析 y＝x＋x＋ 121＋1＝(x＋1)＋x＋1 1≥2，当 x＝0 时取
最小值．
5．设 0<a<b，则下列不等式中正确的是(
)
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
M＝1a－11b－11c
－1，且
a＋b＋c＝1，a，b，c
∈(0，＋∞)，则 M 的取值范围是_[_8_， __＋__∞ __)_．
2021届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试40算法初步
考点测试40 算法初步高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.了解算法的含义，了解算法的思想2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环3．了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义一、基础小题1．图中所示的程序的作用是( )INPUT A，BX＝AA＝BB＝XPRINT A，BENDA．输出两个变量A和B的值B．把变量A的值赋给变量B，并输出A和B的值C．把变量B的值赋给变量A，并输出A和B的值D．交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值答案 D解析模拟程序的运行，可得该程序的作用是交换两个变量A和B的值，并输出交换后的值．故选D.2．为了计算S＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析 由模拟程序的运行过程知，该程序运行后输出的是S ＝N －T ＝1＋13＋ (12019)12－14－…－12020＝1－12＋13－14＋…＋12019－12020；累加步长是2，则在空白框中应填入i ＝i ＋2.故选B.3．执行如图所示的程序框图，则输出的S ＝( )A ．25B ．9C ．17D ．20答案 C解析 初始条件为S ＝1，T ＝0，n ＝0，按照程序框图依次执行，可得S ＝9，n ＝2，T ＝0＋4＝4；S ＝17，n ＝4，T ＝4＋16＝20>S ，退出循环，输出S ＝17.故选C.4．执行下边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 值为( )A ．0B ．eC ．0或eD ．0或1答案 C解析 程序对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，2－ln x ，x >0.若x ≤0，由y ＝1，得e x＝1，得x ＝0，满足条件；若x ＞0，由y ＝2－ln x ＝1，得ln x ＝1，即x ＝e ，满足条件．综上，输入的x 值为0或e ，故选C.5．下面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的( )A ．c >x?B ．x >c?C ．c >b?D ．b >c?答案 A解析 由流程图可知a ，b ，c 中的最大数用变量x 表示并输出，先将a 的值赋给变量x . 第一个判断框是判断x 与b 的大小关系，若b >x ，则将b 的值赋给变量x ，得到x 的值是a ，b 中的较大者．∴第二个判断框一定是判断a ，b 中的较大者x 与c 的大小关系，并将最大数赋给变量x ，故第二个判断框内应填入c ＞x ？.6．执行如图所示的程序框图，则输出的x等于( )A．16 B．8C．4 D．2答案 B解析执行一次循环体y＝－2，x＝2；执行两次循环体y＝3，x＝4；执行三次循环体y ＝1，x＝8，此时输出x＝8.故选B.7．根据如图算法语句，当输入x的值为60时，输出y的值为( )A．25 B．30C．31 D．61答案 C解析当x＝60时，y＝25＋0.6×10＝31.故选C.8．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为3，则输出的x的值是( )A．6 B．21C．156 D．231答案 D解析执行一次循环体x＝6＜100，执行二次循环体x＝21＜100，执行三次循环体x＝231＞100，此时输出231，故选D.9．阅读如图所示的程序框图，该算法的功能是( )A．计算(1＋20)＋(2＋21)＋(3＋22)＋…＋(n＋1＋2n)的值B．计算(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)的值C．计算(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋(20＋21＋22＋…＋2n)的值答案 C解析初始值k＝1，S＝0，第1次进入循环体时，S＝1＋20，k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3；第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22，k＝4；…；给定正整数n，当k＝n时，最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1，终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(20＋21＋22＋…＋2n－1)．10．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的n是( )A ．168B ．169C ．337D ．338答案 C解析 初始值n ＝0，k ＝1，开始循环，sin π6＝12，n ＝1，k ＝2；sin 2π6＝32，n ＝1，k＝3；sin 3π6＝1，n ＝1，k ＝4；sin 4π6＝32，n ＝1，k ＝5；sin 5π6＝12，n ＝2，k ＝6；sin6π6＝0，n ＝2，k ＝7；sin 7π6＝－12，n ＝2，k ＝8；sin 8π6＝－32，n ＝2，k ＝9；sin 9π6＝－1，n ＝2，k ＝10；sin10π6＝－32，n ＝2，k ＝11；sin 11π6＝－12，n ＝2，k ＝12；sin 12π6＝0，n ＝2，k ＝13；…；由此可知sink π6的值是以12为周期出现的，又2019＝12×168＋3，所以输出的n 的值为168×2＋1＝337，故选C.11.计算机在处理数据时使用的是二进制，例如十进制数1,2,3,4的二进制数分别表示为1,10,11,100，二进制数…dcba 化为十进制数的公式为…dcba ＝a ·20＋b ·21＋c ·22＋d ·23＋…，例如二进制数11等于十进制数1·20＋1·21＝3，又如二进制数101等于十进制数1·2＋0·21＋1·22＝5，如图是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤5?B ．i >5?C ．i ≤4?D ．i >4?答案 D解析 11111(2)＝1×24＋1×23＋1×22＋1×2＋1＝16＋8＋4＋2＋1＝31(10)．初始条件S ＝1，i ＝1，执行循环体，可得S ＝3，i ＝2，判断否；S ＝7，i ＝3，判断否；S ＝15，i ＝4，判断否；S ＝31，i ＝5，判断是，输出S ＝31，故填i >4？，故选D.12．《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称3.14为徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序，则输出的n为(3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)()A．6 B．12C．24 D．48答案 C解析模拟执行程序，可得n＝3，S＝12×3×sin120°＝334，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝6，S＝12×6×sin60°＝332，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝12，S＝12×12×sin30°＝3，不满足条件S＞3；执行循环体，n＝24，S＝12×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056，满足条件S＞3，退出循环．输出n的值为24.故选C.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A．A＝12＋AB．A＝2＋1AC．A＝11＋2AD．A＝1＋12A答案 A解析对于选项A，第一次循环，A＝12＋12；第二次循环，A＝12＋12＋12，此时k＝3，不满足k≤2，输出A＝12＋12＋12的值．故A正确；经验证选项B，C，D均不符合题意．故选A.14．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s的值等于( )A．2－124B．2－125C．2－126D．2－127答案 C解析＝0.01，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝12，x<不成立；s＝1＋12，x＝14，x<不成立；s ＝1＋12＋14，x ＝18，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18，x ＝116，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116，x ＝132，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x ＝164，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x ＝1128，x <成立， 此时输出s ＝2－126.故选C.15．(2019·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29答案 B解析 i ＝1，S ＝0，i 不是偶数；第一次循环：S ＝1，i ＝2<4；第二次循环：i 是偶数，j ＝1，S ＝5，i ＝3<4；第三次循环：i 不是偶数，S ＝8，i ＝4，满足i ≥4，输出S ，结果为8.故选B.16．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 k ＝1，s ＝1；第一次循环：s ＝2，判断k <3，k ＝2；第二次循环：s ＝2，判断k <3，k ＝3；第三次循环：s ＝2，判断k ＝3，故输出2.故选B.17．(2019·江苏高考)如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．答案 5解析 第一次循环，S ＝12，x ＝2；第二次循环，S ＝12＋22＝32，x ＝3；第三次循环，S ＝32＋32＝3，x ＝4；第四次循环，S ＝3＋42＝5，满足x ≥4，结束循环．故输出的S 的值是5. 三、模拟小题18．(2019·咸阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 执行程序框图，可得a ＝32，b ＝1，i ＝1不满足条件i ≥3，i ＝2；a ＝52，b ＝32，i＝2不满足条件i ≥3，i ＝3；a ＝4，b ＝52，i ＝3满足条件i ≥3，退出循环，输出a 的值为4.故选D.19．(2019·贵阳模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．0B ．12 C ．1 D ．－1答案 A解析 第一次循环，k ＝1，S ＝cos0＝1，k ＝1＋1＝2，k ＞4不成立； 第二次循环，k ＝2，S ＝1＋cos π3＝1＋12＝32，k ＝2＋1＝3，k ＞4不成立；第三次循环，k ＝3，S ＝32＋cos 2π3＝32－12＝1，k ＝3＋1＝4，k ＞4不成立；第四次循环，k＝4，S＝1＋cosπ＝1－1＝0，k＝4＋1＝5，k＞4成立．此时退出循环，输出S＝0，故选A.20．(2019·南昌一模)执行如图所示的算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为( )A．3 B．4C．5 D．6答案 C解析执行程序框图，i＝0，输入的x为1时，y＝1＋1＝2，i＝1，y＝2<20，则x＝2；y＝4，i＝2，y＝4<20，则x＝4；y＝8，i＝3，y＝8<20，则x＝8；y＝16，i＝4，y＝16<20，则x＝16；y＝32，i＝5，y＝32>20，退出循环．故输出的结果为5，选C.21．(2019·开封一模)已知数列{a n}中，a1＝12，a n＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A．n≤2012 B．n≤2015C．n≤2017 D．n≤2018答案 C解析通过分析，本程序框图为“当型”循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A ＝12，n ＝1；第1次循环，A ＝1－2＝－1，n ＝1＋1＝2；第2次循环，A ＝1＋1＝2，n ＝2＋1＝3；第3次循环，A ＝1－12＝12，n ＝3＋1＝4；…所以，程序运行时计算A 的值是以3为周期的函数，当程序运行后输出A ＝2时，n 能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，可知应选C.本考点在近三年高考中未涉及此题型．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高考数学一轮复习 第一部分 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试32 不
第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试32 不等关系与不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2．了解不等式(组)的实际背景 3．掌握不等式的性质及应用一、基础小题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B D ．A >B答案 B解析 由题意，得B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B .故选B. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，∴A ，B ，C 均正确，∵b <a <0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，D 错误，故选D.3．设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.c a >cbB ．ca －b >c aC ．|a |c >－bcD ．－ac>－bc答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ，又因为c >0，所以c a －b <c a，所以B 中式子不成立．4．已知a ，b ∈R ，若a >b ，1a <1b同时成立，则()A ．ab >0B ．ab <0C ．a ＋b >0D ．a ＋b <0答案 A解析 因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab<0，又a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.5．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是() A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n D ．m <－n <n <－m答案 D解析 解法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确． 解法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．故选D. 6．已知a <b <|a |，则以下不等式中恒成立的是( ) A ．|b |<－a B ．ab >0 C ．ab <0 D ．|a |<|b |答案 A解析 解法一：由a <b <|a |，可知a <0，但b 不能确定，当b ＝0时，|b |＝0<－a 成立；当b >0时，|b |＝b <|a |＝－a ，|b |<－a 成立；当b <0时，－b <－a ，则|b |<－a 成立．综上，|b |<－a .解法二：因为a <b <|a |，令a ＝－2，b ＝0，代入各选项验证，可排除B ，C ，D ，故选A. 7．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cb答案 D解析 因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不确定，对于a <b ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．故选D.8．已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a答案 A解析 因为a ，b ，c ∈R ＋，由ca ＋b <ab ＋c，得cb ＋c 2<a 2＋ab ，整理得(c －a )(a ＋b ＋c )<0，因为a ＋b ＋c >0，所以c －a <0，所以c <a ，同理，由ab ＋c <ba ＋c，得a <b ，所以c <a <b .9．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值X 围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)答案 D解析 ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a .∵6<a <10，∴9<c <30.故选D.10．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A解析 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.故选A.11．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 因为x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz .因为az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx .故最低费用为az ＋by ＋cx .故选B.12．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值X 围是________，3x ＋2y 的取值X 围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0 B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 解法一：不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确． 解法二：由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立，则ln (a －b )>0 不一定成立，故A 不一定成立．因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立．因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立．因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，所以D 不一定成立．故选C.14．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1，又a >0，b <0，∴ab <0，∴ab <a ＋b <0.故选B.15．(2018·高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A答案 D解析 若(2,1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32.结合四个选项，只有D 说法正确．故选D.16．(2017·某某高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 (特殊值法)令a ＝2，b ＝12，可排除A ，C ，D.故选B.17．(2016·高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，∴当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；令x ＝1,0<y <1，则x >y >0，而ln x ＋ln y ＝ln y <0，故D 错误．18．(2016·某某高考)已知实数a ，b ，c .( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析 利用特殊值法验证．令a ＝3，b ＝3，c ＝－11.5，排除A ；令a ＝4，b ＝－15.5，c ＝0，排除B ；令a ＝11，b ＝－10.5，c ＝0，排除C.由1≥|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≥|a 2＋a＋b 2＋b |得－1≤a 2＋a ＋b 2＋b ≤1，即－12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122≤32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122≤32，－2<－12－62≤a ≤－12＋62<1.同理－2<b <1.再由1≥|a ＋b 2－c |≥|c |－|a |－|b 2|>|c |－2－4，得|c |<7.所以a 2＋b 2＋c 2<4＋4＋49＝57<100.故选D.19．(2015·某某高考)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 若n ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤t <2，2≤t 2<3，3≤t 3<4，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤t 6<64，8≤t 6<27，9≤t 6<16，得9≤t 6<16，即当33≤t <34时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，∴n ＝3符合题意．若n ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ 33≤t <34，4≤t 4<5，即⎩⎪⎨⎪⎧34≤t 12<44，43≤t 12<53，得34≤t 12<53，即当33≤t <45时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，[t 4]＝4，故n ＝4符合题意．若n ＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧33≤t <45，5≤t 5<6，即⎩⎨⎧33≤t <45，55≤t <56，①∵63<35，∴56<33，故①式无解，即n ＝5不符合题意，则正整数n 的最大值为4. 三、模拟小题20．(2019·某某省某某市高三上学期期末)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a <1bB ．1a －b >1bC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．a 3>b 3答案 C解析 若a <b <0，则1a >1b，A 错误；因为a －b <0，则a －b 与b 大小关系不确定，B 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 成立，C 正确；a 3<b 3，D 错误．故选C. 21．(2019·某某百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由(a －b )a 2≥0，解得a ≥b 或a ＝0，b ∈R .因为a 2≥0，a ≥b ，所以(a －b )a 2≥0，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要不充分条件．故选B.22．(2019·某某某某一中模拟)若a <b <0，给出下列不等式：①a 2＋1>b 2；②|1－a |>|b－1|；③1a ＋b >1a >1b.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 由于a <b <0，所以|a |>|b |>0，a 2>b 2，故a 2＋1>b 2，①正确；－a >－b >0，－a ＋1>－b ＋1>1，故|1－a |>|b －1|，②正确；因为a ＋b <a <b <0，所以1a ＋b >1a >1b，③正确．故选D. 23．(2019·某某模拟)已知a ＝2，b ＝55，c ＝77，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a答案 A解析 a ＝2，b ＝55，c ＝77，则a 70＝235＝(25)7＝327＝(27)5＝1285，b 70＝514＝(52)7＝257，c 70＝710＝(72)5＝495，∴a >b >c ，故选A.24．(2019·某某期末)已知a ，b ，c >0，则b a ，c b ，ac的值( ) A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于1答案 D解析 令a ＝b ＝c ，则b a ＝c b ＝a c ＝1，排除A ，B ；令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则b a ＝c b ＝2，a c＝14，排除C ；对于D ，假设b a <1，c b <1，ac <1，则b <a ，c <b ，a <c ，相加得a ＋b ＋c <a ＋b ＋c ，矛盾，故选D.25．(2019·某某第一中学月考)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值X 围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3) 答案 B解析 由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×ca <4，∴c a的取值X 围为(0,2)．26．(2019·某某某某模拟)已知m ＝a －a －2，n ＝a －1－a －3，其中a ≥3，则m ，n 的大小关系为( )A ．m >nB ．m ＝nC ．m <nD ．大小不确定答案 C解析 ∵a ≥3，m ＝a －a －2＝2a ＋a －2，n ＝a －1－a －3＝2a －1＋a －3，又0<a －1＋a －3<a ＋a －2，∴2a ＋a －2<2a －1＋a －3，∴m <n .27．(2019·某某二模)设a ≥b ≥c ，且1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个实根，则ca的取值X 围为( ) A ．[－2,0] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 答案 C解析 ∵1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个实根，∴a ＋b ＋c ＝0，得b ＝－a －c ，∵a ≥b ≥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－a －c ，－a －c ≥c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－c ，－a ≥2c .若a >0，则不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧ 2≥－ca，－1≥2ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c a ≥－2，c a ≤－12，得－2≤c a ≤－12；若a <0，则不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧2≤－c a，－1≤2ca，即⎩⎪⎨⎪⎧c a ≤－2，c a ≥－12，此时不等式无解．综上，c a 的取值X 围为－2≤c a ≤－12，故选C.28．(2019·某某二中检测)若a >b >0，给出以下几个不等式： ①b a <b ＋5a ＋5；②lg a ＋b 2<lg a ＋lg b 2；③a ＋1b >b ＋1a；④a －b >a －b . 其中正确的是________(请填写所有正确的序号)． 答案 ①③ 解析 对于①，b a －b ＋5a ＋5＝b a ＋5－a b ＋5a a ＋5＝5b －a a a ＋5<0，所以b a <b ＋5a ＋5，①正确；对于②，因为a ＋b2>ab ，所以lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，故②错误；对于③，因为a >b >0，所以0<1a <1b ，所以a ＋1a <a ＋1b ，b ＋1a <a ＋1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，故③正确；对于④，取a ＝4，b ＝1，而a －b ＝1，a －b ＝3，所以a －b >a －b 不成立，故④错误．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2020·某某一中高三月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.记f (x )>－1的解集为M .(1)求集合M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a＝a －1a 2＋1a，当0<a <1时，a －1a 2＋1a<0，所以a 2－a ＋1<1a；当a ＝1时，a －1a 2＋1a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a；当1<a <2时，a －1a 2＋1a>0，所以a 2－a ＋1>1a.综上所述，当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a；当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a ；当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a.2．(2020·某某中学月考)(1)已知－3<a <b <1，－2<c <－1，求证：－16<(a －b )c 2<0； (2)已知a ≠b ，试比较a 4－b 4与4a 3(a －b )的大小．解 (1)证明：因为－3<a <b <1，所以－1<－b <3，－3<a <1，所以－4<a －b <4， 又a <b ，所以a －b <0，所以－4<a －b <0， 所以0<b －a <4，又－2<c <－1，所以1<c 2<4，所以0<(b －a )c 2<16，所以－16<(a －b )c 2<0. (2)a 4－b 4－4a 3(a －b )＝(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3·(a －b ) ＝(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3－4a 3)＝(a －b )[(a 2b －a 3)＋(ab 2－a 3)＋(b 3－a 3)] ＝－(a －b )2(3a 2＋2ab ＋b 2) ＝－(a －b )2[2a 2＋(a ＋b )2]，因为2a 2＋(a ＋b )2≥0(当且仅当a ＝b ＝0时取等号)，且a ≠b ， 所以(a －b )2>0,2a 2＋(a ＋b )2>0， 所以－(a －b )2[2a 2＋(a ＋b )2]<0， 故a 4－b 4<4a 3(a －b )．。
届高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试复数含解析新人教B版
考点测试41 复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度 考纲研读1.理解复数的根本概念 2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义 4．会进行复数代数形式的四那么运算 5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、根底小题1．(－1＋i)(2i ＋1)＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3－i D ．－3＋i答案 C解析 由题意，得(－1＋i)(2i ＋1)＝－2i －1－2＋i ＝－3－i ，应选C.2．m 为实数，i 为虚数单位，假设m ＋(m 2－4)i>0，那么m ＋2i 2－2i＝( )A ．iB ． 1C ．－iD ．－ 1答案 A解析 因为m ＋(m 2－4)i>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4＝0，可得m ＝2，故m ＋2i 2－2i ＝21＋i21－i＝i.应选A.3．复数z ＝1－i3＋4i (其中i 为虚数单位)，那么|z |的值为( )A.225B ．225 C ．25 D ．25答案 D解析 解法一：因为z ＝1－i3＋4i＝1－i 3－4i 3＋4i 3－4i＝－1－7i25，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－7252＝25.应选D. 解法二：因为z ＝1－i 3＋4i ，所以|z |＝|1－i 3＋4i |＝|1－i||3＋4i|＝25.应选D.4．复数z ＝(1＋a i)(1－2i)(a ∈R )为纯虚数，那么实数a ＝( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12答案 D解析 z ＝(1＋2a )＋(a －2)i ，由得1＋2a ＝0且a －2≠0，解得a ＝－12，应选D.5．以下各式的运算结果为实数的是( ) A ．－i(1＋i) B ．i(1－i) C ．(1＋i)－(1－i) D ．(1＋i)(1－i)答案 D解析 对于A ，－i(1＋i)＝1－i ；对于B ，i(1－i)＝1＋i ；对于C ，(1＋i)－(1－i)＝2i ；对于D ，(1＋i)(1－i)＝2.应选D.6．复数z ＝31－2i (i 是虚数单位)，那么z 的实部为( )A ．－35B ．35 C ．－15D ．15 答案 B解析 ∵z ＝31－2i＝31＋2i 1－2i 1＋2i ＝35＋65i ，∴z 的实部为35.应选B.7．假设复数z ＝i 1＋i (i 为虚数单位)，那么z ·z －＝( )A.12i B ．－14C ．14D ．12答案 D解析 解法一：∵z ＝i 1＋i＝i1－i 2＝1＋i 2＝12＋12i ，∴z －＝12－12i ，∴z ·z －＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12i ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12i ＝12，应选D. 解法二：∵z ＝i 1＋i ，∴|z |＝1|1＋i|＝22，∴z ·z －＝|z |2＝12，应选D.8．复数z ＝21＋i (i 为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,1)D ．(－1，－1)。
高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 33 Word版含答案
考点测试33 一元二次不等式及其解法一、基础小题1．不等式(x －1)(3－x )<0的解集是( ) A ．(1,3)B ．C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．{x |x ≠1且x ≠3}答案 C解析 根据题意，(x －1)(3－x )<0⇔(x －1)(x －3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}答案 B解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0.综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}．4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪∪ C ．∪(0，＋∞)D ．∪(0，＋∞)．6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)，故选A.7．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为(－2，0)，(2，0)，则ax 2＋bx ＋c >0的解的情况是( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x >2或x <－2}C ．{x |x ≠±2}D ．不确定，与a 的符号有关答案 D解析 当a >0时，解集为{x |x >2或x <－2}；当a <0时，解集为{x |－2<x <2}，故选D.8．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．上是减函数，∴－a －2×3≥1，解得a ≤－2.故选C.9．设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0的解集有下列四个命题：①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a <－12，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，2；④若a >0，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0.当a ＝0时，不等式化为x －2>0，得x >2.当a ≠0时，方程(ax ＋1)(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a <－12，解不等式得－1a<x <2；若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12<a <0，解不等式得2<x <－1a ；若a >0，解不等式得x <－1a或x >2.故①为假命题，②③④为真命题．10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪ 答案 D解析 由题意知，对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则Δ＝a 2－4×1×1＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，故选D.11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(7，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案 A解析 由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，知Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6.又g (x )＝ax －2a 的图象恒过(2,0)，故当a >6时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示．由函数的图象知，当a >6时，g (x 0)<0⇔x 0<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >6，f，∴a >7.当a <－2时，g (x 0)<0⇔x 0>2，此时函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a2<0，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上为增函数，又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立．综上，实数a 的取值范围为a >7，故选A.12．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和等于________．答案 4解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，再令x 取x ＋1可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和为12×2×4＝4.二、高考小题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝f －，f －＝f －，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.14．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0,4] B ．答案 B解析 由题意可得M ＝{x |－1<x <4}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <4}．15．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．52 B ．72 C ．154D ．152答案 A解析 解法一：∵由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)， 得(x －4a )(x ＋2a )<0，即－2a <x <4a ， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15， ∴a ＝52.故选A.解法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， 故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.16．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)．答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.17．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1<0，fm ＋＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为x <2是x 2－3x ＋2<0成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，再根据已知条件易知选A. 20．关于x 的不等式x －a x －bx －c≥0的解为－1≤x <2或x ≥3，则点P (a ＋b ，c )位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 由不等式的解集可知－1,3是方程(x －a )(x －b )＝0的两个根，且c ＝2，不妨设a ＝－1，b ＝3，∴a ＋b ＝2，即点P (a ＋b ，c )的坐标为(2,2)，位于第一象限．21．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2,2)D ．(－2,2]答案 D解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0，恒成立；当a －2≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2＋a －，解得－2<a <2，∴－2<a ≤2.故选D.22．“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，即关于x的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.参考上述解法：若关于x 的不等式bx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －bx －c>0的解集为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 B 解析 由bx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，即b x －a －x －b x －c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.故选B.23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞) 答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x .解得－3<x <1，∴－3<x ≤－ 3.(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立． (3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴直线x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1.(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)． 24．已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.2．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒m ＝0或－4<m <0⇒－4<m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]． (2)∵f (x )<－m ＋5⇒m (x 2－x ＋1)<6， ∵x 2－x ＋1>0， ∴m <6x 2－x ＋1对于x ∈恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈，记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈上为增函数．则g (x )在上为减函数， ∴min ＝g (3)＝67，∴m <67.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.3．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}． 4．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f (x )>1(a ∈R )．解 (1)当a ≥0时不合题意，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2－1＋4a 24a ，当a <0时，f (x )有最大值，且－1＋4a 24a ＝178，解得a ＝－2或－18.(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， ①当a ＝0时，{x |x >1}；②当a >0时，(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a >0，即⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >1或x <－1－1a ；③当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；④当－12<a <0时，(x －1)·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a <0， 即⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <－1－1a ；⑤当a <－12时，(x －1)·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a <0， 即⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1－1a<x <1.。
高考数学 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 37 合情推理与演绎推理试题 理-
考点测试37 合情推理与演绎推理一、基础小题1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴；……，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.666－16－1只B．66只C．63只D．62只答案 B解析根据题意可知，第一天共有蜜蜂1＋5＝6只；第二天共有蜜蜂6＋6×5＝62只；第三天共有蜜蜂62＋62×5＝63只；……；故第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂65＋65×5＝66只，选B.2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n＝( )A.2n＋12B.2n n＋1C.22n－1D.22n－1答案 B解析 由a 1＝1，可得a 1＋a 2＝4a 2，即a 2＝13，同理可得a 3＝16，a 4＝110，所以选B.3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 记a n＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式答案 C解析 A 、D 是归纳推理；B 是类比推理；C 运用了“三段论”是演绎推理．5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．6．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a－b >0⇒a >b ”；④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”．其中类比结论正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①在复数C 中，若两个复数满足a －b ＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a 、b 相等，故①正确；②在有理数Q 中，若a ＋b 2＝c ＋d 2，则|a －c |＋2(b －d )＝0，解得a ＝c ，故②正确；③若a ，b ∈C ，当a ＝1＋i ，b ＝i 时，a －b ＝1>0，但a 、b 是两个虚数，不能比较大小，故③错误；④若Z ∈C ，当Z ＝12i 时，|Z |<1，但是Z 是虚数，不能比较大小，故④错误，故只有两个结论正确，选B.7．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 a ＋7t＝a7t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t －a ＝( )A ．31B ．41C ．55D ．71答案 B解析 观察所给的等式，等号左边是2＋23， 3＋38， 4＋415，…，等号的右边是223，338，…，则第n 个式子的左边是 n ＋1＋n ＋1n ＋12－1，右边是(n ＋1)·n ＋1n ＋12－1，故a ＝7，t ＝72－1＝48.t －a ＝41，故选B.8．已知结论：“在正△ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是△ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63，r ＝612，故AO ＝AM －MO＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为________． 答案 6n ＋2解析 由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n －1)，即6n ＋2.10．在△ABC 中，角C 的内角平分线CE 分△ABC 的面积所成的比例为S △AEC S △BEC ＝ACBC.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于点E ，则类比的结论为________．答案V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC解析 此类问题由平面类比到空间，则可由面积类比体积，由长度类比面积，由S △AEC S △BEC ＝ACBC，类比得V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC. 11.如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．答案 211解析 观察题图可知， 第一个拐弯处2＝1＋1， 第二个拐弯处4＝1＋1＋2， 第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3， 第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4， 第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.12．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体A －BCD 内一点，则有________．答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 解析 由线段到平面，线段的长类比为面积， 由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为：O 是四面体A －BCD 内一点，则有V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0. 二、高考小题13．[2016·高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 B解析 解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误．故选B.解法二：设袋中共有2n 个球，最终放入甲盒中k 个红球，放入乙盒中s 个红球．依题意知，甲盒中有(n －k )个黑球，乙盒中共有k 个球，其中红球有s 个，黑球有(k －s )个，丙盒中共有(n －k )个球，其中红球有(n －k －s )个，黑球有(n －k )－(n －k －s )＝s 个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.14．[2014·高考]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A．2人B．3人C．4人D．5人答案 B解析用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格．显然，语文成绩得A的学生最多只有一人，语文成绩得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人．15．[2015·某某高考]观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；…照此规律，当n∈N*时，＝________.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1答案4n－1＝4n－1.解析由题知C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－116．[2014·某某高考]观察分析下表中的数据：答案F＋V－E＝2解析因为5＋6－9＝2,6＋6－10＝2,6＋8－12＝2，故可猜想F＋V－E＝2.17．[2014·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．答案 A解析 根据甲、乙、丙说的可列表得18．[2015·某某高考]x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析 因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k ＝5.三、模拟小题19．[2016·某某调研]①已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则①②两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理答案 A解析 ①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.20．[2017·某某某某质检]某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( ) A．今天是周六B．今天是周四C．A车周三限行D．C车周五限行答案 B解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.21．[2016·某某模拟]如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011等于( )A．1003 B．1005C．1006 D．2011答案 B解析观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.又2009＝4×503－3,2011＝4×503－1，∴a2009＝503，a2011＝－503，a2010＝1005.∴a 2009＋a 2010＋a 2011＝1005.22．[2016·某某一检]设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－2016)＋f (－2015)＋f (－2014)＋…＋f (2015)＋f (2016)＝( )A ．0B ．2016C ．4032D ．4033答案 D解析 函数y ＝x 3与y ＝sin x 均是奇函数，因此y ＝x 3＋sin x 是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象关于点(0,1)对称，于是有f (－x )＋f (x )＝2，因此f (－2016)＋f (2016)＝2，f (－2015)＋f (2015)＝2，…，f (0)＝1，所求的和等于1＋2016×2＝4033，选D.23．[2016·某某诊断]已知cos π3＝12；cos π5cos 2π5＝14；cos π7cos 2π7cos 3π7＝18；…根据以上等式，可猜想出的一般结论是________． 答案 cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *解析 观察所给等式，左侧项数依次递增，角的分母是奇数列，右侧分母是2n，故可猜想出一般结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *.24．[2016·某某日照一模]36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．答案 465解析 类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．[2016·某某质检]阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β①， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β②，由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β③. 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2；(2)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos2A －cos2B ＝1－cos2C ，试判断△ABC 的形状． (提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解 (1)证明：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.(2)由二倍角公式，cos2A －cos2B ＝1－cos2C 可化为 1－2sin 2A －1＋2sin 2B ＝1－1＋2sin 2C ， 所以sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B .设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理可得a 2＋c 2＝b 2.根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．2．[2017·某某质检]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 3．[2016·海淀期末]设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”．(1)数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可)；表1(2)数表A 如表2与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的所有可能值；表2解(1)解法一：改变第4列――→改变第2行――→解法二：改变第2行――→改变第4列――→解法三：改变第1列――→――→改变第4列(2)1,1. ①如果首先操作第三列，则则第一行之和为2a －1这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以a ≤12或a ≥52.当a ≤12时，则接下来只能操作第一行，则此时每列之和分别为2必有2－2a 2≥0，解得a ＝0，－1. 当a ≥52时，则接下来操作第二行，则此时第4②如果首先操作第一行，则则每一列之和分别为2当a ＝1时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉； 当a ≠1时，2－2a,2a －2至少有一个为负数，所以此时必须有2－2a 2≥0，即－1≤a ≤1，所以a ＝0或a ＝－1， 经检验，a ＝0或a ＝－1符合要求． 综上a ＝0，－1.。
高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试基本不等式含解析苏教版
考点测试35 根本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读1.了解根本不等式的证明过程2．会用根本不等式解决简单的最大(小)值问题一、根底小题1．以下说法正确的选项是( ) A ．假设a ，b ∈R ，那么b a ＋a b≥2 B ．假设x <0，那么x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 C ．假设ab ≠0，那么b 2a ＋a 2b≥a ＋bD ．假设x <0，那么2x＋2－x>2 答案 D解析 对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，假设x <0，那么x ＋4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋4－x ≤－2－x ·4－x＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 项不成立；对于C ，取a ＝－1，b ＝－2，b 2a ＋a 2b ＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 项不成立；对于D ，假设x <0，那么2x ＋2－x>2成立．应选D.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，那么实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析 根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，那么x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2,1)．3．m >0，n >0,2m ＋n ＝1，那么14m ＋2n 的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．92D ．16答案 C解析 由于m >0，n >0,2m ＋n ＝1，那么14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．应选C. 4．设x ＞0，那么函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32答案 A解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.应选A. 5．x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16答案 B解析 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.6．假设3x ＋2y ＝2，那么8x ＋4y的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 ∵3x ＋2y ＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x ＋2y＝4，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立，∴8x ＋4y 的最小值为4.应选A.7．向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.假设a ⊥b ，那么xy 的最大值为( ) A.14 B ．12 C ．1D ．2。
高考考点完全题数学(理)考点通关练课件 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 40ppt版本
(
)
A．3
B．6
C．2
D．m
解析 当 a＝3，b＝6，c＝2 时，依据算法设计，执行 后，m＝a＝3<b＝6，c＝2<a＝3＝m，∴c＝2＝m，即输出 m 的值为 2，故选 C.
4．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是(
)
A．50
B．49
C．100
D．99
解析 从程序框图反映的算法是 S＝2＋4＋6＋8＋…，i
一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3,2，则输出 v 的值为(
)
A．9 C．20
B．18 D．35
解析 执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v ＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2 ＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出 v＝18.故选 B.
C.34
D.45
解析 分别计算 i 与相应的 m，n 取值依次为 i＝2，m＝
1，n＝12；i＝3，m＝2，n＝23；i＝4, m＝3，n＝34，此时由判 断框可知程序结束，故输出 n＝34，故选 C.
11．为了求满足 1＋2＋3＋…＋n<2013 的最大的自然数
n，程序框图如图所示，则输出框中应填输出(
24．[2017·河南三市联考]执行如图所示的程序框图，如
果输入 m＝30，n＝18，则输出的 m 的值为(
)
A．0
B．6
C．12
D．18
解析 如果输入 m＝30，n＝18，第一次执行循环体后，
r＝12，m＝18，n＝12，不满足输出条件；第二次执行循环
体后，r＝6，m＝12，n＝6，不满足输出条件；第三次执行
所以应该输出 62，即 i－2.故选 A.
高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 38 Word版含答案
考点测试38 直接证明与间接证明一、基础小题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案 B解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．2．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”，应假设( )A．三个内角至多有一个大于60°B．三个内角都不大于60°C．三个内角都大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案 C解析“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形内角都大于60°”．故选C.3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法答案 B解析由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P、Q的大小关系是( )A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析令a＝0，则P＝7≈2.6，Q＝3＋4≈3.7，∴P<Q.据此猜想a≥0时P<Q.证明如下：要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2a a＋<2a＋7＋2a＋a＋，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．故选C.6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )C ．75,76D ．84,85答案 D解析 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 符合条件．7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③ 解析 ①⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β，又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直α时， 则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时，l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．8．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________．答案 S <1解析 ∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…，1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.二、高考小题9．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．三、模拟小题10．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案 B解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B. 11．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．12．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案 D解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6.因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b＋2c ·1c＝6与a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a<6矛盾．故假设不成立，所以a ＋1a ，b ＋1b ，c ＋1a至少有一个不小于2，故选D.13．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 答案 n >m解析 解法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，则m <n .解法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．一、高考大题1．设数列A ：a 1，a 2，…，a N (N ≥2)．如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k <a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．(1)对数列A ：－2,2，－1,1,3，写出G (A )的所有元素； (2)证明：若数列A 中存在a n 使得a n >a 1，则G (A )≠∅；(3)证明：若数列A 满足a n －a n －1≤1(n ＝2,3，…，N )，则G (A )的元素个数不小于a N －a 1.解 (1)G (A )的元素为2和5. (2)证明：因为存在a n 使得a n >a 1， 所以{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i >a 1}≠∅. 记m ＝min{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i >a 1}，则m ≥2，且对任意正整数k <m ，a k ≤a 1<a m . 因此m ∈G (A )．从而G (A )≠∅. (3)证明：当a N ≤a 1时，结论成立． 以下设a N >a 1. 由(2)知G (A )≠∅.设G (A )＝{n 1，n 2，…，n p }，n 1<n 2<…<n p .记n 0＝1，则a n 0<a n 1<a n 2<…<a n p . 对i ＝0,1，…，p ，记G i ＝{k ∈N *|n i <k ≤N ，a k >a n i }． 如果G i ≠∅，取m i ＝min G i ，则对任意1≤k <m i ，a k ≤a n i <a m i . 从而m i ∈G (A )且m i ＝n i ＋1.又因为n p 是G (A )中的最大元素，所以G p ＝∅. 从而对任意n p ≤k ≤N ，a k ≤a n p ，特别地，a N ≤a n p . 对i ＝0,1，…，p －1，a n i ＋1－1≤a n i .因此a n i ＋1＝a n i ＋1－1＋(a n i ＋1－a n i ＋1－1)≤a n i ＋1.所以a N －a 1≤a n p －a 1＝∑pi ＝1 (a n i －a n i －1)≤p .因此G (A )的元素个数p 不小于a N －a 1. 2．设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故 |a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n－1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1<1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1<12n －1，故|a n |<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.从而对于任意m >n ，均有|a n |<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n. ①由m 的任意性得|a n |≤2.否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|>2，取正整数m 0>log 34|a n 0|－22n且m 0>n 0，则2 n0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34m 0<2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 34 |a n 0|－22n0 ＝|a n 0|－2，与①式矛盾，综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2. 二、模拟大题3．已知函数f (x )＝3x －2x ，求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f x 1＋f x 22≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明 要证明f x 1＋f x 22≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明x1－2x 1＋x 2－2x 22≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3 x1＋3 x22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3 x1＋3 x22≥3x 1＋x 22 ，因此只要证明3 x1＋3 x22≥3 x 1·3 x2，由于x 1，x 2∈R 时，3 x1>0,3 x2>0，由基本不等式知3 x1＋3 x 22≥3 x 1·3 x2显然成立，故原结论成立．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解 (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明(反证法)：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．。
[精品]2018年高考数学理科考点过关习题第五章不等式推理与证明算法初步与复数40和答案
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考点测试40 算法初步一、基础小题1．给出如下图程序框图，其功能是( )A．求a－b的值B．求b－a的值C ．求|a －b |的值D ．以上都不对答案 C解析 求|a －b |的值．2．执行如图所示的程序框图．若输出y ＝－3，则输入角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3 D ．－π3答案 D解析 由输出y ＝－3<0，排除A ，C ，又当θ＝－π3时，输出y ＝－3，故选D.3．已知一个算法： ①m ＝a ；②如果b <m ，则m ＝b ，输出m ，结束算法；否则执行第3步； ③如果c <m ，则m ＝c ，输出m .如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是( )A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，执行后，m＝a ＝3<b＝6，c＝2<a＝3＝m，∴c＝2＝m，即输出m的值为2，故选C.4．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是( )A．50 B．49C．100 D．99答案 B解析从程序框图反映的算法是S＝2＋4＋6＋8＋…，i的初始值为2，由i＝i＋2知，执行了49次时，i＝100，满足i≥100，退出循环．5．程序：若输入a ＝10，则输出的结果是( ) A ．20 B ．10 C ．100 D ．200答案 C解析 程序所表示的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2aa ，a 2a，∴当a ＝10时，y ＝102＝100.6．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1答案 C解析对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的数小于60，故选C.7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( )A．29 B．254C．602 D．2004答案 B解析2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254，故选B.8．当x＝0.2时，用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( ) A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A解析由f(x)＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋…＋a1)x＋a0，所以共需要6次加法和6次乘法，故选A.9．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为( )A．0.5 B．1C．2 D．4答案 C解析当x＝－4时，|－4|>3，所以x＝|－4－3|＝7.又|7|>3，所以x＝|7－3|＝4.又|4|>3，所以x＝|4－3|＝1.又|1|<3，所以输出y＝21＝2.故选C.10．如图，程序框图中的算法输出的结果为( )A.12B.23C.34D.45答案 C解析 分别计算i 与相应的m ，n 取值依次为i ＝2，m ＝1，n ＝12；i ＝3，m ＝2，n ＝23；i ＝4, m ＝3，n ＝34，此时由判断框可知程序结束，故输出n ＝34，故选C.11．为了求满足1＋2＋3＋…＋n <2013的最大的自然数n ，程序框图如图所示，则输出框中应填输出( )A．i－2 B．i－1C．i D．i＋1答案 A解析依次执行程序框图：S＝0＋1，i＝2；S＝0＋1＋2，i＝3；S＝0＋1＋2＋3，i＝4；……由此可得S＝1＋2＋3＋…＋n时，i＝n＋1；经检验知当S＝1＋2＋3＋…＋62＝1953时，i＝63，满足条件进入循环；S＝1＋2＋3＋…＋62＋63＝2016时，i＝64，不满足条件，退出循环．所以应该输出62，即i－2.故选A.12．下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A ．P ＝N 1000B ．P ＝4N1000C ．P ＝M1000D ．P ＝4M 1000答案 D解析 利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S ≈M1000，又由面积公式得S ＝14π×12≈M 1000，解得π≈4M 1000，所以选D.二、高考小题13．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.14．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 k ＝0，b ＝1.a ＝－12，k ＝1；a ＝－11－12＝－2，k ＝2；a ＝－11－2＝1，满足a ＝b ，故输出k ＝2，故选B.15．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析S＝4，n＝1；S＝8，n＝2；S＝2，n＝3；S＝4，n＝4，结束循环，输出S＝4，故选B.16．执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析第一次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.结束循环，输出n的值为4，故选B.17．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2＋0＝18，i ＝－1<0，结束循环，输出v＝18.故选B.18．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析k＝0，s＝0，输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入a ＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，输出s＝17.故选C.19．执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x答案 C解析x＝0，y＝1，n＝1；x＝0，y＝1，n＝2；x＝12，y＝2，n＝3；x＝32，y＝6，此时x2＋y2>36，输出x＝32，y＝6，满足y＝4x.故选C.20．设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495解析设组成数a的三个数字是m、n、p，其中1≤m<n<p≤9，∴b＝D(a)－I(a)＝100p＋10n＋m－100m－10n－p＝99(p－m)＝100(p－m)－(p－m)＝100(p－m－1)＋90＋(10－p＋m)，即数b的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a的十位数字就是9，设a 的另两个数字是x、y，其中1≤y<x≤8，此时，D(a)＝900＋10x＋y，I(a)＝100y＋10x＋9，b＝891－99y，若891－99y＝100x＋90＋y，则801＝100(x＋y)，无解．若891－99y＝100y＋90＋x，则801＝199y ＋x，解得x＝5，y＝4.所以b＝495.三、模拟小题21．如图，若f(x)＝log3x，g(x)＝log2x，输入x＝0.25，则输出的h(x)＝( )A．0.25 B．2log32C．－12log23 D．－2答案 D解析当x＝0.25时，f(x)＝log314∈(－2，－1)，g(x)＝log214＝－2，∴f(x)>g(x)，故选D.22．如图所示程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123答案 D解析 第一步：a ＝12＋2＝3<12；第二步：a ＝32＋2＝11<12；第三步：a ＝112＋2＝123>12，跳出循环，输出a ＝123.故选D.23．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( )A ．2016B ．2015C ．1008D ．1007答案 C解析 根据题意，该程序运行的是当k <2016时，计算S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)k －1·k .∴该程序运行后输出的是S ＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)2014·2015＝12×(2015＋1)＝1008.故选C.24．执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为( )A．0 B．6C．12 D．18答案 B解析如果输入m＝30，n＝18，第一次执行循环体后，r＝12，m＝18，n＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r＝6，m＝12，n＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r＝0，m＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m值为6.故选B.25．如图是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中在判断框内可填入的条件是( )A．i<10 B．i>10C．i<20 D．i>20答案 B解析要实现所求算法，框图中最后一次执行循环体时i的值应为10，结合不满足条件时执行循环体知当i＝11>10时就会终止循环，所以判断框内的条件可为i>10.故选B.26．如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生某次数学模拟考试的成绩，算法框图(图乙)中输入的a i为茎叶图中学生的成绩，则输出的m，n，k分别是( )图甲图乙A．m＝18，n＝31，k＝11 B．m＝18，n＝33，k＝9C．m＝20，n＝30，k＝9 D．m＝20，n＝29，k＝11答案 B解析根据程序框图，可知m表示数学成绩a i<90的学生人数，则m＝18；n表示数学成绩90≤a i≤120的学生人数，则n＝33；k表示数学成绩a i>120的学生人数，则k＝9.故选B.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。
高考数学一轮复习 第一部分 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试33 一
考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥32答案 A解析 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x x －1≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2或x ≤13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <2 D ．{x |x <2}答案 C解析 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[2，－∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值X 围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值X 围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B ．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D ．{k |k ＞1}答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，36k 2－4k k ＋8≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)．故选 A.7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．－1答案 C解析 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1－m －3m <0，f1＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx－3m ≥0，则m ≤12，所以m 的最大值为12.故选C.8．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎝⎛⎭⎪⎫2，115D ．[－1,3]答案 A解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________． 答案 {x |0<x <2}解析 不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．10．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值X 围为________．答案 m ≤9解析 由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以实数m ≤9.11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值X 围是________． 答案 [45,80)解析 因为关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤a5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值X 围是[45,80)．12．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．二、高考小题13．(2019·某某高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值X 围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，23解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·某某高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)． 答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典某某高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝2m 2－1<0，f m ＋1＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 16．(经典某某高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2019·某某二模)若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .18．(2019·某某二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值X 围为(－2,1)．故选B.19．(2019·某某实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}答案 B解析 原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)·(|x |＋1)>0.因为|x |＋1>0，所以|x |－2>0，即|x |>2，解得x <－2或x >2.故选B.20．(2019·鄂尔多斯第一中学模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.154B ．72C ．52D ．152答案 C解析 因为x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，所以(x ＋2a )·(x －4a )<0(a >0)，得－2a <x <4a .又x 2－x 1＝15，所以6a ＝15，解得a ＝52.故选C.21．(2019·某某高三一模)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( ) A.63B ．233C ．433D ．－433答案 D解析 ∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .∵a <0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥2－4a ·－13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433.故选D.22．(2019·苏北四市、苏中三市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ≤0，则不等式f (x )>f (－x )的解集为________．答案 (－2,0)∪(2，＋∞)解析 若x ≥0，则f (x )＝x 2－2x ，f (－x )＝－x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得x 2－2x >－x 2＋2x ⇒x >2，故x >2.若x <0，则f (x )＝－x 2－2x ，f (－x )＝x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得，－x 2－2x >x 2＋2x ⇒－2<x <0，故－2<x <0.综上，不等式f (x )>f (－x )的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·某某模拟)对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值X 围．解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 2．(2019·某某质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，某某数a 的取值X 围．解 因为函数f (x )是偶函数，故函数f (x )的图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立， 化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝0≤0，ha ＋1＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 3．(2019·某某八校联考)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＞0.(1)若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，某某数a 的值；(2)若a ∈R ，解这个关于x 的不等式． 解 (1)∵不等式(ax －1)(x ＋1)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，∴方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根是－1，－12；∴－12a －1＝0，∴a ＝－2.(2)∵(ax －1)(x ＋1)＞0，∴当a ＜0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0.若a ＜－1，则1a ＞－1，解得－1＜x ＜1a；若a ＝－1，则1a＝－1，不等式的解集为∅； 若－1＜a ＜0，则1a ＜－1，解得1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式为－(x ＋1)＞0，解得x ＜－1.当a ＞0时，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，∵1a ＞－1，∴解不等式得x ＜－1或x ＞1a.综上，当a ＜－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜1a ；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a .4．(2019·某某正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]， ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值X 围为(1－2，＋∞)． (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0， 即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0， 因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－a ＋1a ； 当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a ＋1a <x <1. 5．(2019·某某河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )． 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0,1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
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考点测试40 算法初步一、基础小题1．给出如下图程序框图，其功能是( )A．求a－b的值B．求b－a的值C．求|a－b|的值D．以上都不对答案 C解析求|a－b|的值．2．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－3，则输入角θ＝( )A.π6 B ．－π6C.π3 D ．－π3答案 D解析 由输出y ＝－3<0，排除A ，C ，又当θ＝－π3时，输出y ＝－3，故选D.3．已知一个算法： ①m ＝a ；②如果b <m ，则m ＝b ，输出m ，结束算法；否则执行第3步； ③如果c <m ，则m ＝c ，输出m .如果a ＝3，b ＝6，c ＝2，那么执行这个算法的结果是( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．m 答案 C解析 当a ＝3，b ＝6，c ＝2时，依据算法设计，执行后，m ＝a ＝3<b ＝6，c ＝2<a ＝3＝m ，∴c ＝2＝m ，即输出m 的值为2，故选C.4．如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是( )A ．50B ．49C ．100D ．99答案 B解析 从程序框图反映的算法是S ＝2＋4＋6＋8＋…，i 的初始值为2，由i ＝i ＋2知，执行了49次时，i ＝100，满足i ≥100，退出循环．5．程序：若输入a ＝10，则输出的结果是( ) A ．20 B ．10 C ．100 D ．200答案 C解析 程序所表示的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2aa ，a 2a，∴当a＝10时，y＝102＝100.6．如图所示程序框图的功能是：给出以下十个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是( )A．x>60？，i＝i－1 B．x<60？，i＝i＋1C．x>60？，i＝i＋1 D．x<60？，i＝i－1答案 C解析对于A，D，由于i＝i－1，则会进入死循环，而对于B，选出的数小于60，故选C.7．在十进制中，2004＝4×100＋0×101＋0×102＋2×103，那么在5进制中数码2004折合成十进制为( )A．29 B．254C．602 D．2004答案 B解析2004＝4×50＋0×51＋0×52＋2×53＝254，故选B.8．当x＝0.2时，用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1的值时，需要做乘法和加法的次数分别是( )A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5答案 A解析由f(x)＝(((a6x＋a5)x＋a4)x＋…＋a1)x＋a0，所以共需要6次加法和6次乘法，故选A.9．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为( )A．0.5 B．1 C．2 D．4答案 C解析当x＝－4时，|－4|>3，所以x＝|－4－3|＝7.又|7|>3，所以x＝|7－3|＝4.又|4|>3，所以x＝|4－3|＝1.又|1|<3，所以输出y＝21＝2.故选C.10．如图，程序框图中的算法输出的结果为( )A.12B.23 C.34 D.45答案 C解析 分别计算i 与相应的m ，n 取值依次为i ＝2，m ＝1，n ＝12；i ＝3，m ＝2，n ＝23；i＝4, m ＝3，n ＝34，此时由判断框可知程序结束，故输出n ＝34，故选C.11．为了求满足1＋2＋3＋…＋n <2013的最大的自然数n ，程序框图如图所示，则输出框中应填输出( )A．i－2 B．i－1C．i D．i＋1答案 A解析依次执行程序框图：S＝0＋1，i＝2；S＝0＋1＋2，i＝3；S＝0＋1＋2＋3，i＝4；……由此可得S＝1＋2＋3＋…＋n时，i＝n＋1；经检验知当S＝1＋2＋3＋…＋62＝1953时，i＝63，满足条件进入循环；S＝1＋2＋3＋…＋62＋63＝2016时，i＝64，不满足条件，退出循环．所以应该输出62，即i－2.故选A.12．下图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A．P＝N1000B．P＝4N1000C．P＝M1000D．P＝4M1000答案 D解析利用几何概型，构造一个边长为1的正方形及其内一个半径为1、圆心角为90°的扇形，易知扇形的面积S≈M1000，又由面积公式得S＝14π×12≈M1000，解得π≈4M1000，所以选D.二、高考小题13．[2015·全国卷Ⅱ]下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝( )A．0 B．2C．4 D．14答案 B解析开始：a＝14，b＝18，第一次循环：a＝14，b＝4；第二次循环：a＝10，b＝4；第三次循环：a＝6，b＝4；第四次循环：a＝2，b＝4；第五次循环：a＝2，b＝2.此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.14．[2016·北京高考]执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 k ＝0，b ＝1.a ＝－12，k ＝1；a ＝－11－12＝－2，k ＝2；a ＝－11－2＝1，满足a ＝b ，故输出k ＝2，故选B.15．[2016·天津高考]阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析S＝4，n＝1；S＝8，n＝2；S＝2，n＝3；S＝4，n＝4，结束循环，输出S＝4，故选B.16．[2016·全国卷Ⅲ]执行下面的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )A．3 B．4C．5 D．6答案 B解析第一次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；第二次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；第三次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；第四次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.结束循环，输出n的值为4，故选B.17．[2016·四川高考]秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为( )A．9 B．18C．20 D．35答案 B解析执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出v＝18.故选B.18．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( )A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析k＝0，s＝0，输入a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；输入a＝2，s＝2×2＋2＝6，k ＝2；输入a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，输出s＝17.故选C.19．[2016·全国卷Ⅰ]执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x答案 C解析 x ＝0，y ＝1，n ＝1；x ＝0，y ＝1，n ＝2； x ＝12，y ＝2，n ＝3；x ＝32，y ＝6，此时x 2＋y 2>36，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x .故选C.20．[2014·湖北高考]设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.答案495解析设组成数a的三个数字是m、n、p，其中1≤m<n<p≤9，∴b＝D(a)－I(a)＝100p ＋10n＋m－100m－10n－p＝99(p－m)＝100(p－m)－(p－m)＝100(p－m－1)＋90＋(10－p＋m)，即数b的十位数字一定是9.由题意可知，程序循环到最后一次，a的十位数字就是9，设a的另两个数字是x、y，其中1≤y<x≤8，此时，D(a)＝900＋10x＋y，I(a)＝100y＋10x＋9，b＝891－99y，若891－99y＝100x＋90＋y，则801＝100(x＋y)，无解．若891－99y＝100y＋90＋x，则801＝199y ＋x，解得x＝5，y＝4.所以b＝495.三、模拟小题21．[2016·辽宁五校联考]如图，若f(x)＝log3x，g(x)＝log2x，输入x＝0.25，则输出的h(x)＝( )A ．0.25B ．2log 32C ．－12log 23D ．－2答案 D解析 当x ＝0.25时，f (x )＝log 3 14∈(－2，－1)，g (x )＝log 2 14＝－2，∴f (x )>g (x )，故选D.22．[2017·安徽示范高中联考]如图所示程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123答案 D解析 第一步：a ＝12＋2＝3<12；第二步：a ＝32＋2＝11<12；第三步：a ＝112＋2＝123>12，跳出循环，输出a ＝123.故选D.23．[2016·安徽合肥模拟]运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( )A．2016 B．2015C．1008 D．1007答案 C解析根据题意，该程序运行的是当k<2016时，计算S＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)k－1·k.∴该程序运行后输出的是S＝0＋1－2＋3－4＋…＋(－1)2014·2015＝12×(2015＋1)＝1008.故选C.24．[2017·河南三市联考]执行如图所示的程序框图，如果输入m＝30，n＝18，则输出的m的值为( )A ．0B ．6C ．12D ．18答案 B解析 如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.故选B.25．[2016·广东肇庆三模]如图是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中在判断框内可填入的条件是( )A ．i <10B ．i >10C ．i <20D ．i >20答案 B解析 要实现所求算法，框图中最后一次执行循环体时i 的值应为10，结合不满足条件时执行循环体知当i ＝11>10时就会终止循环，所以判断框内的条件可为i >10.故选B.26．[2017·广西南宁质检]如图甲所示的茎叶图为高三某班60名学生某次数学模拟考试的成绩，算法框图(图乙)中输入的a i 为茎叶图中学生的成绩，则输出的m ，n ，k 分别是( )图甲图乙A．m＝18，n＝31，k＝11 B．m＝18，n＝33，k＝9C．m＝20，n＝30，k＝9 D．m＝20，n＝29，k＝11答案 B解析根据程序框图，可知m表示数学成绩a i<90的学生人数，则m＝18；n表示数学成绩90≤a i≤120的学生人数，则n＝33；k表示数学成绩a i>120的学生人数，则k＝9.故选B.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。