初等数学研究试题答案

习题一

1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则；

证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+

ac bc ∴< （P17.定义9）

或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则

（2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求：

解： 1313134++=='（）先求，，

（P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求，

（2）31313⋅⋅=先求，，

5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。

证明：1n 141511189,1n =+⨯-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时：

k 1k 415k 11

4415k 1315k 18441519(52)

k k k +++-=+--⨯+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。

由①，②知，对于任一自然数n 成立。

6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明：

①4

12111--3-3.11-21

n +⨯======⨯当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即：

1.

n k

∴=+

当时，命题也成立。

由①、②知，对任意自然数n命题成立。

7

、n

3(1,2...)

22

n n

A n

αβ

====

设

（1）3n10

A

用数学归纳法证明是的倍数。

解：（1

）3-1αβαβ

+==⋅==

，

（2）2

2

313 1.

αβααββ

=+=+以，代入以上方程，得：，

（3）

22

321

13310.

n A A A

==+==

当时，

12n21

1,3,3n

n

A A A A A

++

=∈N=∈N=+

又故经递推式所得的各个数皆为自然数，

因此，3k1.

A

+

∈N

3k

()10

A n

∴∈N是的倍数。

证明：

9.证明整数集具有离散性.

证明：

（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a和a+1之间存在b,1

a b a

∈Z<<+

使。

依据加法单调性，(1)(1)1(1)

a a

b a a a

+-<+-<++-，

即11()2

b a

<+-<

1b a

⎡⎤

⎣⎦

+-∈N

（）.这就和自然数集具有离散性相矛盾。

10、证明：有理数乘法满足结合律。

证明：,,,()

a b c Q ab c a bc

∈=

设要证：（）（1）

当a,b,c 中至少有一个为零。（1）显然成立。设a,b,c 都不为零。

因为算术数乘法满足结合律，故

a ()

b

c a b c ⋅⋅=⋅⋅（）。故（1）两边的绝对值相等。如果a,b,c 中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c 中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。因此（1）成立。

11、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：

{}10（）； {}21（）； 3N （）； {}

40N

（）； 5Q +（）；

6（）奇数集合；7（）偶数集合；

{}8036,3n ±±⋅⋅⋅±（），，，。 答：

（1）加，乘，成环 （2）乘，除 （3）加，乘 （4）加，乘 （5）加，乘，除 （6）乘

（7）加，乘，成环 （8）加，乘，成环 12、设有n 个正分数

312123

.n n a a a a a b b b <<<⋅⋅⋅< （分母为正分数）

求证：112112

a n n

n n a a a a b b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+.

证明： 设1212

m ,a a b b =

M = m

即2

222

m ,a b a b =

222m b a b ∴<

n n n mb a b <

112112a n n n n

a a a a

b b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+即

. 14.已知近似数2315.4的相对误差界是000.02，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。 故近似数精确到个位 所以有效数字有4个

19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里？

（1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。

（2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：这两个复数是共轭复数。 （3）共轭虚数的正整数次幂仍是共轭虚数。

（4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。 答：都有错误。

（1） 所有向量改为：所有以原点为起点的向量。 （2） 是充分条件而非必要条件。