初等数学研究试题答案

习题一
1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。

而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。

（3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。

数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。

（2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则；
证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。

由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。

（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+
ac bc ∴< （P17.定义9）
或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则
（2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。

证明（1）（用反证法） （2）方法同上。

（3）方法同上。

4、依据序数理论推求：
解： 1313134++=='（）先求，，
（P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求，
（2）31313⋅⋅=先求，，
5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。

证明：1n 141511189,1n =+⨯-==①当时，是的倍数故时命题成立。

k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。

即是的倍数。

则当n=k+1时：
k 1k 415k 11
4415k 1315k 18441519(52)
k k k +++-=+--⨯+=+---（）（）（）。

1n k ∴=-当时，命题成立。

由①，②知，对于任一自然数n 成立。

6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明：
①4
12111--3-3.11-21
n +⨯======⨯当时，左边，右边左边右边。

②n k =假设当时，等式成立，即：
1.
n k
∴=+
当时，命题也成立。

由①、②知，对任意自然数n命题成立。

7
、n
3(1,2...)
22
n n
A n
αβ
====
设
（1）3n10
A
用数学归纳法证明是的倍数。

解：（1
）3-1αβαβ
+==⋅==
，
（2）2
2
313 1.
αβααββ
=+=+以，代入以上方程，得：，
（3）
22
321
13310.
n A A A
==+==
当时，
12n21
1,3,3n
n
A A A A A
++
=∈N=∈N=+
又故经递推式所得的各个数皆为自然数，
因此，3k1.
A
+
∈N
3k
()10
A n
∴∈N是的倍数。

证明：
9.证明整数集具有离散性.
证明：
（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a和a+1之间存在b,1
a b a
∈Z<<+
使。

依据加法单调性，(1)(1)1(1)
a a
b a a a
+-<+-<++-，
即11()2
b a
<+-<
1b a
⎡⎤
⎣⎦
+-∈N
（）.这就和自然数集具有离散性相矛盾。

10、证明：有理数乘法满足结合律。

证明：,,,()
a b c Q ab c a bc
∈=
设要证：（）（1）
当a,b,c 中至少有一个为零。

（1）显然成立。

设a,b,c 都不为零。

因为算术数乘法满足结合律，故
a ()
b
c a b c ⋅⋅=⋅⋅（）。

故（1）两边的绝对值相等。

如果a,b,c 中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c 中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。

因此（1）成立。

11、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：
{}10（）； {}21（）； 3N （）； {}
40N
（）； 5Q +（）；
6（）奇数集合；7（）偶数集合；
{}8036,3n ±±⋅⋅⋅±（），，，。

答：
（1）加，乘，成环 （2）乘，除 （3）加，乘 （4）加，乘 （5）加，乘，除 （6）乘
（7）加，乘，成环 （8）加，乘，成环 12、设有n 个正分数
312123
.n n a a a a a b b b <<<⋅⋅⋅< （分母为正分数）
求证：112112
a n n
n n a a a a b b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+.
证明： 设1212
m ,a a b b =
M = m <M 11111mb b mb a b ∴<M ⇒=<M (1)
即2
222
m ,a b a b =<M 而
222m b a b ∴<<M (2) 223mb a b <<M 同理： (3)
n n n mb a b <<M (n)
112112a n n n n
a a a a
b b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+即
. 14.已知近似数2315.4的相对误差界是000.02，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。

故近似数精确到个位 所以有效数字有4个
19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里？
（1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。

（2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：这两个复数是共轭复数。

（3）共轭虚数的正整数次幂仍是共轭虚数。

（4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。

答：都有错误。

（1） 所有向量改为：所有以原点为起点的向量。

（2） 是充分条件而非必要条件。

（3） 共轭虚数应改为：共轭复数。

（4） 是充分条件而非必要条件。

20.证明：当n 为3的倍数时，
而当n 是其它正整数时，上式左边等于-1。

22、2x =x =1u 1z Z -+设,y 是实数，z +yi,且，求=z 的最大值和最小值。

22121
213
213
03
.=z 1=z(1)1(1)
1z(1)1(1)11x x x u u u z z z z z z z z z z z z -≤+≤+=≤-≤∴≤≤-+-+≤-⋅--+-+≥--=⋅--又
0 即的最大值为3，最小值为0 = = 1111
z u z ∴--≤≤-+ 251,z arg i z ≤、设求和
习题二。