初等数学研究试题答案
初等数学研究试卷B精编版
襄樊学院10~11学年度上学期《初等数学研究》试卷参考答案与评分标准一、单项选择题（从下列各题4个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在题干后面的括号内，答案选错、不选、多选者，该题不得分。
每小题3分，共27分）1.实数域上的一切有逆的n n ⨯阶矩阵对于矩阵乘法来说作成一个（ A ）。
A 群B 环C 域D 除环2.( C )是有理数域Q 的扩张。
{}.(2)a 2a A Q Q =∈ b .(2)2a b ,a 0a B Q Q ⎧⎫=∈≠⎨⎬⎩⎭， {}.(2)b 2a b C Q a =+∈，Q{}.(2)2bi a b D Q Q =∈， 3.如果48234+-++x Bx Ax x 是D Cx x ++2的完全平方,若A>0，则A 、 B 、C 、D 分别为（ C ）。
A.-4，8，-2,2B.4,8，-2,2C.4,0,2，-2D.-4,0,2,-24.如果d cx bx ax +++23能被22h x +整除，则a ，b ，c ，d 满足（ D ）。
A.ab=cdB.Ac=bdC.ad=-bcD.ad=bc5. 二圆外切于点P. AB 是一条外公切线（A ，B 为切点）.则∠PAB=( B ).A.75°B.90°C.120°D.150°6. 平行四边形ABCD 的底边BC 固定,另一边AB 长为a ,则其对角线交E 的轨迹为一圆,圆心是BC 中点,则圆的半径为( B ).A.aB. 2aC. 3aD. 4a 7.函数),(2+∞-∞-=-在xx e e y 内的反函数具有（ A ）性质。
A 奇函数 增函数 B 奇函数 减函数C 偶函数 增函数D 偶函数 减函数8.消去方程023183234=+--+x x x x 中的二次项,则原方程变为（ A ）。
43.y 81790A y y +++= 43.y 81790B y y -++=43.y 81790C y y ++-= 43.y 81790D y y +--=9. 多面体中，发出奇数条棱的定点数必为( B ).A.奇数B.偶数C.任意点D.不存在 得分 评卷人二、填空题（每小题3分，共18分）1. 已知：设M 为平面α外一点，A 、B 为α内两点.MA=51CM ，MB=30CM ，MO ⊥平面α,垂足为O.且AO=BO=5：2，求MO=126CM 。
初等数学研究_习题集(含答案)
《初等数学研究》课程习题集一、单选题 1. 已知αβ、是方程22(2)(35)0x k x kk --+++=的两实数根，则221αβ++的最大值是（ ）..20.19.21.18A B C D2. 设()lg (101)2xxxb f x a x x a b -=+++4是偶函数，g ()=是奇函数，则的值为（ ）11..1.1..22A B C D --3. 设432()f x xa xb xc xd =++++，其中a b c d 、、、为常数，如果(1)1,f =[]1(2)2,(3)3,(4)(0)4f f f f ==+=则（ ）.5.3.7.11A B C D4. 若不等式2lo g 0m x x -<在区间（0，2）内恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1116m ≤< B.1016m <≤ C.104m <<D.116m ≥5. 已知()()(,),(7)7f x y f x y x y R f +=∈=且， 则(49)f 等于（ ）A.7B. 14C.49D. 16. 设33,(5)2003(5)1,(4)2003(4)1,x y xx y y -+-=--+-=为实数，满足则().x y +=A.1B. 9C. -1D. -97. 实数x y 、满足关系式[][]21yx x =+--和[]1y x =+，则x y +的值一定是（ ）1012.1516.910.A B C D .与之间与之间与之间一个整数8. 对每一个自然数n, 抛物线22()(21)1,n yn n x n x x A =+-++与轴交于n B 两点，||n n A B 以表示该两点的距离，则1122||||A B A B ++ 20022002||A B +等于（ ）2001200220032004.....2002200320042003A B C D9. 已知多项式2(),4(1)1,1(2)5,(3)f x a x c f f f =--≤≤--≤≤则满足（）3825.4(3)15.1(3)20.(3)33f B f C f D f ≤≤-≤≤-≤≤-≤≤A .7(3)2610. 若2222,260,2x y x x yx yx -+=++实数满足则的最大值为( ）A.15B. 14C. 17D. 1611.设2250,320,a x x b x x +=-+=是一元二次方程的较大的一根是的较小的一根那么a b +的值是（ ）A.-4B. -3C. 1D. 312. 2320x x -+=方程的最小一个根的负倒数是（）A.1B. 12C. 2D. 413. 在,A B C G ∠022直角中，A =90为重心，且G A =2, 则G B +G C =( )A ． 25 B. 10 C. 20 D. 1514. 圆锥的侧面展开图的圆心角等于0120，该圆锥的侧面积与表面积之比值为（ ）A.23B.45C.12D.3415. ∠∠0A B -A C 在A B C 中,C =90,A 的平分线A D 交B C 于D ,则C D等于（ ）.tan .sin .co s .co t .A AB AC AD A16. 在A B C 中，A B A C =，,,D B C B E A C E ⊥为中点且于交A D P 于，已知3B P =， 1P E =，则P A =（ ）A B C D ....17.已知梯形A中，//,,A B CA B C DA DBC BD A B C B D D C S S∠⊥=梯形平分且则，3A B C D .：1. 2.5：1.2：1. 1.5：118. 已知A D是直角三角形A B C斜边上的高，43A B A C ==，,:()A B CA C DS S=则，5A B C D .：3.25：9.4：3.16：919. 已知直角三角形的周长为2+斜边上的中线为1,则这个三角形的面积为（ ）14A B C D 1..1..220. 若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则他们的边长之比为（ ）11113A B C D ....二、填空题1 21. 集合2{1,2,31},{1,3},{3}A mm B AB =--=-=，实数m 的值是 _______22. 若函数2()1f x x a x =-+能取得负值，则实数a 的取值范围为23. 设x y z 、、为实数,1()2x y z =++，则23x y z=24. 函数sin ()yA x b =ω+ϕ+在同一周期内有最高点（,312π），最底点（7,512π-），则它的解析式为25. 若函数[]2(2)1,()2x f xf -+∞的定义域为，则的定义域为26. 在等差数列{}n a 中，已知前20项的和n S =170，则691116a a a a +++ =27. 已知：1ta n 11ta n +α=-α，则sin 2α的值=28. 设11(0),()f x f x x x ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭则29. 2,120nn S n =数列的前项和那么这个数列的前项中所有奇数项的和是30. 2006!的末尾的“0”的个数是 31. 已知：12()()3f x f x x x+-=+，则()___________f x =32. 不等式20a x a b x b ++>的解集是{23}M x =<<，则_____,______a b ==33. 以三角形的三条中线长为边作三角形，则它的面积与原三角形面积之比为34. P 是正方形ABCD 内一点，PA=2, PB=1, PD=3, 则A P B ∠的度数为 35. 1E F GA EB F A BC A E B F G S=，是的中线，与交于，若，则A B CS=36. 在A B C 中，5B C M I A B C =，与分别是的重心与内心，若//M I B C则A B A C +的值为37. 在A B C 中，90C ∠=，I IE A B E ⊥为内心，于，若2B C =，A C =3， 则A E E B ⋅=38. 设直角三角形的斜边为C, 其内切圆的半径为r, 则内切圆的面积与三角形面积之比是39. 若等腰梯形的两条对角线互相垂直, 高为8cm ，则上、下底之和为40. 凸n 边形的n 个内角与某一个外角的和为1350°，则n 等于三、计算题41. 121212{}1,2,,n n n n n n n a a a a a a a a a ++++===++已知数列中，且121,n n a a ++≠求20031.n n a =∑42. 求函数332s in 3s inc o s 3c o s s in 2c o s 2x x x xy x x+=+的最小值。
初等数学研究答案(1)
3.已知：在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=.2-1800α求证：∠BA C =∠CAD=∠DAE.思路：证五边形ABCDE 内接于圆，则由等弦⇒等弧⇒等圆周角即得所证。
沿此思路，有多种证法，这里介绍两种教简的方法。
证法1.发挥等腰三角形的性质。
连接BD ，如图1.14，则得△CBD 是等腰的且底角()[]()如分析所述即得所证。
共圆、、、同理，共圆、、、E D C A E D B A BDE CDB ∴-=--=∠∴=--=∠ααααα322211801801801800图1.14EDBCA证法2：巧证等腰梯形。
连接BE ，如图1.15 ∠C=∠D,BC=DE,..3.2在圆上而所对圆周角皆为等弧共圆且底角、、、等腰梯形A A E D D C C B DEB CBE E D C B CDEB ∴=∠==∴=∠=∠⇒⇒ααα图1.15EDACB4.设H 为锐角△ABC 之垂心，若AH 等于外接圆半径，求证：∠BAC=600分析：因条件中的等量关系含有外接圆半径，故宜画出外接圆，以便发现隐含的联系，现介绍三种较简的证法。
证法1：借助平行四边形。
连接CO 并延长交外接圆于D ，如图1.17，则有直径所对圆周角为直角易证BD//AH(同⊥BC)， AD//BH(同⊥AC)，⇒AHBD 是平行四边形；图1.17DOHCBA60600,21=∠∴=∠∴===A BDC CD R AH BD ，证法2.利用欧拉线的预备定理60600212121217.118.1,=∠=∠=∠∴=∠∴===⊥MOC BOC A MOC OC R AH OM M BC OM 知则由例如图于作图1.18KMDO ABC证法3.利用正弦定理60sin 2sin 2219.1,,=∠∴=∠=∠=⊥⊥A AB C R AHF AH AF AC BF BC AE ，则有如图设图1.19FEABC6.在△ABC 中，先作角A 、B 的平分线，再从点C 作上二角的平分线之平行线，并且连D 、E,若DE//BA ，求证：△ABC 等腰。
初等数学研究答案1
初等数学研究答案1习题一1答：原那么：〔1〕A ⊂B〔2〕A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且关于A 的元历来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全分歧。
〔3〕在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能实施。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原那么的最小扩展,而且由A 独一确定。
方式：〔1〕添加元素法；〔2〕结构法2证明:(1)设命题能成立的一切c 组成集合M 。
a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假定bc ac M c =∈，即，那么M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归结公理知M=N ，所以命题对恣意自然数c 成立。
〔2〕假定a <b ，那么bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 那么ac<bc 。
〔3〕假定a>b ，那么ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得那么ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：假定b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
那么a=b 。
〔2〕用反证法：假定b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
那么a <b 。
〔3〕用反证法：假定b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
那么a>b 。
初等数学专题研究答案
习题解答第一讲自然数的基数理论与序数理论1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律证明：对于 A B 二｛(a,b)|a A,b B｝与 B B 二｛(b,a) |b B,a A｝，定义Ax B 到 B x A 的映射为：(a,b) —厶(b,a),(a, b) A決B,(b,a)^ B汉A显然这个映射是A B到B A的 ------ 映射，所以A B = B A，于是按定义有：A B A，即乘法满足交换律。
2、利用最小数原理证明定理14.定理14的内容是：设p(n)是一个与自然数有关的命题，如果：(1)命题p(n)对无穷多个自然数成立；(2)假如命题对n = k (k_n0)成立时，能够推出命题对n二k -1也成立，那么对一切自然数不小于n o的自然数n，命题p(n)必然成立。
证明：如果命题不真，设使命题不成立的自然数构成集合M，那么M非空，因此, M中必有一个最小数r0(ro - %)。
此时，由于不大于r0的自然数只有有限个，按照条件(1)，至少有一个自然数r(r>r°)，命题在r处成立；于是由条件(2)，命题对r-1也成立，连锁应用条件(2),那么命题在r,r-1,r- 2,…，r-k,…处都成立，而这个序列是递减的，因此r o必然出现在这个序列中，这与r o的假定不符，这个矛盾说明定理14成立。
3、用序数理论证明3+4=7证明：3 1 =3：=4,3 2 =3 1 =(3 T)：= 4：=5,3 3=32 =(3 2) =5 = 6,3 4 =3 3 =(3 3)= 6=74、设平面内两两相交的n个圆中，任何三个不共点，试问这n个圆将所在的平面分割成多少个互不相通的区域？，证明你的结论。
解：设这n个圆将所在平面分割成f(n)个部分，显然f(1) = 2,f(2) = 4 ；如果满足条件的n个圆把平面分割成f(n)个部分，那么对于满足条件的n+1个圆来说，其中的n个圆一定已经把平面分割成f(n)个部分，而最后一个圆由于与前面的每个圆都相交，并且由于任何三个圆不共点，所以这最后的圆与前面的n个圆必然产生2n个交点，这2n个交点必然把这最后一个圆分割成2n段圆弧，这些圆弧每一段都把自己所在的一个区域一分为二，从而f(n 1) - f (n^ 2n，于是得：f( 2)- f(1)= 2, f( 3) —f( 2 )= 4,, f (n) — f (n —1) = 2(n 一1)将这n-1 个等式相加得：f(n) — f(1) = 2・4，—2(n—1) = n(n 一1)即 f ( n( n 1 ) 2 =2n - n25、设平面上的n条直线最多可以把平面分割成 f (n )个互不相通的区域，证明：f(nr 1 MLY2证明：显然f(1)= 2=「(「° 1成立；假将设平面上的k条直线最多可以把平面分割成 f (k ) = 1 • k(k 1)个互不相通2的区域，那么对于平面上的k+1条直线来说，其中的任意k条直线最多把平面分割成二1「也D个互不相通的区域，对于最后的直线来说，它如果与前面的每2条直线都相交，那么在这条直线上最多可以产生k个交点，这k个交点可以把最后的这条直线分割成k+1段，每一段都将自己所在的区域一分为二，从而f (k 1) - f (k) =k 1所以：f(k 1) - f (k) k 1=1 9 k 12k(k 1) 2(k 1)才(k 1)(k 2)2 2所以公式f (n) =1 n(； °在n = k 1时也成立，于是公式对一切自然数n都成立。
初等代数研究练习题
初等代数研究练习题答案 一、填空题
1 3 4 x2 3x 3 1 a ab 3、 4、1 2 ab
1、 f ( x )
2、
( x 1) 2( x 1)
3
2
3( x 1) 4
5、 （1）90； （2）15 8、最大值
min S 2 x1 3x 2 x3 x1 x 2 2 x3 8 2 x1 x 2 3x3 20 x1 x 2 2 x3 2
x1 0, x2 0, x3 无非负限制
2、如果某线性规划问题的约束方程组为
x1 - x2 + x3 =4
x1 - x2 +3 x3 =8
x3 =2
于是得基本解 X
( 2)
0 2 2
因为-2 0，所以它不是基本可行解
7
1、设
tan 2, 求 sin
2 cos 得值 sin cos
3
2、计算 cos[ 3、解方程
1 3 arc cot( )] 的值。 2 4
x
2
3x 4 2 x 1 1
4、设正方形 ABCD 的边长为 1，P、Q 分别为边 AB、AD 上的一点，如图，若△APQ 的周长为 2，求∠ PCQ。 5、设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的边长为 a，试求 B 到平面 AB1C 的距离。 maxS=80 x1 +45 x2 20 x1 +5 x2 400 15 x1 +10 x2 450
初等代数研究练习题 一、填空题 1、已知三次多项式 f(x)在 x=-1,0,1,2 时函数值分别为 1,2,3,2,则 f(x)= 2、多项式 3、已知 4、 。 。 。 。
初等数学研究试题答案
习题一1、数系扩展的原则是什么有哪两种扩展方式（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc b b Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。
初等数学研究参考答案
1、 已知21-=i z ，则150100++z z 的值等于（ ）A 、1B 、1-C 、iD 、i -2、 已知53sin =θ，02sin <θ，则2tan θ的值等于（） A 、21B 、21-C 、31D 、3 3、 函数136-+-=x x y 的值域是（）A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-317,B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-1277,C 、(]5,∞-D 、[)+∞,5 4、 若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（）A 、2B 、1C 、3D 、25、 曲线()x x x f -=4在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点坐标为（）A 、()3,1B 、()3,1-C 、()0,1D 、()0,1-6、 设集合{}1>=x x M ，{}12>=x x P ，则下列关系中正确的是（） A 、P M =B 、P P M = C 、M P M = D 、P P M =7、 设α是锐角，2234tan +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则αcos 的值等于（） A 、22B 、23C 、33D 、36 8、 设()x f 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知()1,0∈x 时，()()x x f -=1log 21，则函数()x f 在()2,1上（）A 、是增函数，且()0<x f ；B 、是增函数，且()0>x fC 、是减函数，且()0<x f ；D 、是减函数，且()0>x f9、 已知锐角βα,满足()21sin ,1tan =-=αβα，则βcos 等于（） A 、426+B 、426-C 、462-D 、426-- 10、分解因式：y x y x 62922-+-(x-3y)(x+3y+2)分解因式：3542322+++++y x y xy x=(x+y)(x+2y)+3(x+y)+(x+2y)+3 =(x+y)(x+2y+3)+(x+2y+3) =(x+y+1)(x+2y+3) 已知200420052004112004--+-=x x y ，则()2004y x +的值是； x=1/2004,y= -2005/2004,代入得1 已知实数m 满足m m m =-+-20082007，则=-22007m 2008 计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x x x x x x xx 1111＝1/2x-1 自然数集的两种主要理论是 基数理论 、 序数理论 。
刘九员初等数学研究试卷答案
《初等数学研究》学校班级座号姓名得分一、选择题（3×8=24分）1、既是轴对称图形又是中心对称图形的是（D）.(A)梯形(B)平行四边形(C)弓形(D)矩形2、在△ABC中，∠A=58°，AB﹥BC，则∠B 的取值范围是（ A ）.(A)0°＜∠B＜64°(B)58°＜∠B＜64°(C)58°＜∠B＜122°(D)64°＜∠B＜172°3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC组成的图形是（ D ）.(A)一条线段(B)一个锐角△(C)一个钝角△(D)△4、如图，在△ABC 中，∠A ﹕∠B ﹕∠C=3﹕5﹕10，又△A ′B ′C ≌△ABC ，则∠BCA ′﹕∠BCB ′等于（ B ）.(A)1﹕2 (B)1﹕4(C)1﹕3 (D)2﹕35、一个凸多边形，除了一个内角外，其余n －1个内角的和是2005°，则n 的值是（ C ）(A)12 (B)13 (C)14 (D)以上都不对6、设△ABC 三边的中点分别为D,E,F,则△ABC 与△DEF 之间是( C ).(A)相似变换 (B)位似变换(C)既是相似变换又是位似变换 (D)既非相似变换又非位似变换7、设X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB （或其延长线）上的点，则1..-=ZB ZAYA YC XC XB是（C ）. (A) AX 、BY 、CZ 三线共点的充要条件；(B) AX 、BY 、CZ 互相平行的充要条件；(C) AX 、BY 、CZ 三线共点或互相平行的充要条件；(D) X 、Y 、Z 三点共线的充要条件.8、在直角三角形中，斜边上的高为6，并且斜边上的高把斜边分成3:2两段，则斜边上的中线长是（ A ）. (A)625 (B)64 (C)65 (D)325 二、填空题（3×10=30分）1、 将命题“对顶角相等”写成假言命题的形式是_如果两角是对顶角,那么这两角相等2、 几何命题的证明方法，从不同的角度考虑，有不同的证法。
《初等数学研究习题解答》
《初等数学研究》习题解答第一章 数系1.1 集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C = 证明：()x AB C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆反过来：()()x AB AC x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以及前后关系有“x A ∈或x BC ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x AB C A B C A B A C ∈⇒⊇所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C有2个元素，那么()BA C -有几个元素？解：集合()BA C -如图1所示：由于452(),(),()r C r B r B C ===，所以32(),()r B C r C B -=-=， 从而1028(())r B A C -=-=， 即()BA C -有8个元素4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。
图1CBA5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。
证明：设,,A B C 是三个有限集合，并且B C φ=，记(),(),()a r A b r B c r C ===首先：由于BC φ=，所以A B A C φ⨯⨯=，所以其次：对于(,)(){(,)|,}a x A B C a x a A x B C ∀∈⨯=∈∈，由于x B C ∈，那么若x B ∈，于是(,)a x A B ∈⨯； 若x C ∈，于是(,)a x A C ∈⨯，所以总有(,){(,)|,}{(,)|,}a x a x a A x B a x a A x C A B A C ∀∈∈∈∈∈=⨯⨯即()(())()A BC A B A C r A B C r A BA C ⨯⊆⨯⨯⇒⨯≤⨯⨯反过来：(,)a x A B A C ∀∈⨯⨯，那么(,)a x A B ∈⨯或者(,)a x A C ∈⨯于是有,a A ∈x B ∈或者x C ∈，即,a A ∈x B C ∈，所以(,)()a x A B C ∈⨯即()(())()A BC A B A C r A B C r A BA C ⨯⊇⨯⨯⇒⨯≥⨯⨯所以()a b c ab ac +=+6．在基数理论定义的乘法下，证明1a a ⨯=。
初等数学研究习题解答
《初等数学研究》习题解答第一章 数系1.1 集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C =证明：()x A B C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆反过来：()()x A B A C x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以与前后关系有“x A ∈或x B C ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x A B C A B C A B A C ∈⇒⊇ 所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C 有2个元素，那么()B A C -有几个元素？解：集合()B A C -如图1所示：由于452(),(),()r C r B r B C ===，所以32(),()r B C r C B -=-=，图1CBA从而1028(())r B A C -=-=， 即()B A C -有8个元素4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。
{,}{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。
初中数学教研题库及答案(3篇)
第1篇一、选择题1. 下列各数中，正数是（）A. -3B. 0C. 2D. -5答案：C解析：正数是指大于零的数，选项中只有2是大于零的，所以答案是C。
2. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -3/4D. 无理数答案：C解析：有理数包括整数和分数，-3/4是一个分数，所以答案是C。
3. 下列各数中，平方根是正数的是（）A. 16B. 9C. 4D. 0答案：B解析：平方根是指一个数的平方等于另一个数，9的平方根是3，而3是正数，所以答案是B。
4. 已知x²=25，则x的值是（）A. ±5B. ±2C. ±1D. 0答案：A解析：平方根是指一个数的平方等于另一个数，25的平方根是5，由于题目要求求所有可能的值，所以答案是±5。
5. 下列函数中，一次函数是（）A. y=2x+3B. y=x²-1C. y=3/xD. y=√x答案：A解析：一次函数是指函数的最高次项为1的函数，选项A中y=2x+3的最高次项为1，所以答案是A。
二、填空题1. 若a²=4，则a的值为_________。
答案：±2解析：平方根是指一个数的平方等于另一个数，4的平方根是2，由于题目要求求所有可能的值，所以答案是±2。
2. 若x²=9，则x的值为_________。
答案：±3解析：平方根是指一个数的平方等于另一个数，9的平方根是3，由于题目要求求所有可能的值，所以答案是±3。
3. 已知函数y=2x-1，当x=3时，y的值为_________。
答案：5解析：将x=3代入函数y=2x-1中，得到y=23-1=5。
4. 若a+b=7，a-b=3，则a的值为_________。
答案：5解析：将两个方程相加，得到2a=10，解得a=5。
5. 已知等腰三角形的底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积为_________。
初等数学研究答案
A 卷一1.在三线段a,b,c 中，欲证a=b+c ，可做线段p=b+c ，然后证 a=p2.反射轴相同的两个反射之积是 恒等变换3.轨迹的基本属性是指 纯粹性和完备性4.三大尺规作图的不可能问题是 化圆为方、倍立方、三等分角5.在ABC 与'''A B C 中，若'A A ∠=∠ ()'180A A ∠+∠=则'''''''ABC A B C S AB AC S A B A C = 二1. 三角形的三条中位线形成的三角形与原三角形关系是 相似2. 设E 、F 、G 、H 分别是ABCD 的AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，则四边形EFGH 是 平行四边形3. 下列变换中不是合同变换的是 位似比不等于±1的位似变换4.5三1. 设ABC 由一点M 与顶点A 、B 、C 的连线分别交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，求AM BM CM AD BE CF++2. 在ABC 的三边上分别取111,,222AE EC CD DB BF FA ===,求:DEF ABC S S1.在ABC中，M是BC的中点，求证：AB+AC>2AM2.证三角形三高线交于一点（西瓦准则）3.求作三角形，已知它的三条中线一1. 梅涅劳斯定理是证明 共线点 的有力工具2. 反射相同的两个反射的积是 恒等变换3. 在ABC 与'''A B C 中，若'A A ∠=∠ ()'180A A ∠+∠=则'''''''ABC A B C S AB AC S A B A C =4.轨迹的纯粹性是指 属于轨迹上的每一点都符合给定的条件 5.三大尺规作图的不可能问题是 化圆为方、倍立方、三等分角 二1.三角形的三条中位线形成的三角形与原三角形的面积之比是 1:4 2.在三角形的三高线、三中垂线和三中位线中，不共点的三线是 三中位线 3.正方形的一边与对角线之间 无公度 4.欧拉线上的三点是指 外心、垂心、重心 5.位似比为-1的位似变换是 中心对称 三1. 已知ABC 中，AB=8cm ，BC=6cm ，AC=10cm.求：（1）ABC S（2）AB 边上的高BD 的长2. 在ABC S 的三边上分别取111,,333AD AB BE BC CF CA ===,已知ABC S =3, 求：DEF S。
初等数学研究习题解答
《初等数学研究》习题解答第一章 数系1.1 集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}x x >与实数集对等。
证明：取对应关系为ln y x =，这个函数构成0(,)+∞与(,)-∞+∞的一一对应，所以集合0{|}x x >与实数集对等。
2．证明()()()A B C A B A C = 证明：()x AB C x A ∀∈⇒∈或x B C ∈，x A ⇒∈或（x B ∈且x C ∈），那么有x A ∈或x B ∈同时还有x A ∈或x C ∈，即x A B ∈同时还有x A C ∈，所以()()()()()x A B A C A B C A B A C ∈⇒⊆反过来：()()x AB AC x A B ∀∈⇒∈且x A C ∈，对于前者有x A ∈或者x B ∈；对于后者有x A ∈或者x C ∈，综合起来考虑，x B ∈与x C ∈前后都有，所以应是“x B ∈且x C ∈”即“x B C ∈”，再结合x A ∈的地位“或者x A ∈”以及前后关系有“x A ∈或x BC ∈”即()x A B C ∈，所以()()()()x AB C A B C A B A C ∈⇒⊇所以()()()A B C A B A C =。
3．已知集合A 有10个元素，,B C 都是A 的子集，B 有5个元素，C 有4个元素，B C有2个元素，那么()BA C -有几个元素？解：集合()BA C -如图1所示：由于452(),(),()r C r B r B C ===，所以32(),()r B C r C B -=-=， 从而1028(())r B A C -=-=， 即()BA C -有8个元素4．写出集合{,,,}a b c d 的全部非空真子集。
图1CBA{,}{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c d a b a c a d b c b d c d a b c a b d a c d b c d5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。
初等数学研究第二章答案 李长明 周焕山编 习题二21至31题
21.证明：设t czbyax===333，则,,,313131⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c t z b t y a t x111131313131313131=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛===∴t c b a t c t b t a z y x 31313131c b a t ++=∴333313131313132313132313131313232323222.cb ac b a t t t t c b a c t c b t b a t a czbyax++=++==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=++∴22. 解：18274714917193232332121222221212121=+∴=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=+∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴=+----x x x x xx x x xx x x xx52502034721832222323==++=++++∴--xx xx23. 证明：,log,m x m aax=∴= 又.log,n y n aay=∴=在zxyanm2=⋅两边取以a 为底的对数有：()()122222loglog2log log loglog2=∴=∴=⋅+⋅∴=⋅+⋅∴=+=+∴=⋅xyz xyz y x x y z zy x x y zn x m y znm a nmaaxayaza xya24. 证明：()1,log,log,log ≠x x x x cba成等差数列。
cac bcc b cb cx x b xx x x x x x aaaaaaaaa aa aa a c ab c a bloglog loglog2log1log log 2log11log 2loglog log log log log log log log loglog 222+=∴+=∴+=∴+=∴+=∴+=∴即，()()()bbaaaa aaaaaaac cac c acb c cac blog2log2loglog logloglog2log loglog2=∴=∴⋅=∴=26.解：()()()()0166164224121lg 21lg lg lg 21lg 22222222222=+-⎪⎭⎫⎝⎛∴⋅=+⎪⎭⎫⎝⎛∴=+∴=+-=+-∴=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∴⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∴+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a b a b a b a abba abbab a abbab aabb a ba b a ba b a令x ba =，则有：0162=+-x x解得223±=x223±=∴ba ，因为a>0,b>0 。
初等数学研究答案习题五5至18 李长明 周焕山编
习题五5、证明下列不等式。
（1）2210(,);x y xy x y x y R +---+≥∈ 证明：221x y xy x y +---+ 222212x y x y x y +=+---+2211122x y x y =+--+221(1)(1)02x y =-+-≥（2）32110990()10x x x x R +-++>∈证明：321109910x x x -++299110()101010x x x =-++22999110[()()]20201010x x =--++29297110()204010x x x =-++0>6、设n ∈N ，求证：135211(2)(2)(2)(2)!n nnn nn -----≥证明：①当n=1时，112,11!-≥即n=1时不等式成立。
②假设n=k 时不等式成立，即135211(2)(2)(2)(2)!k kkkkk -----≥则当n=k+1时，有1352121(2)(2)(2)(2)(2)11111k k k k k k k -+-----+++++ 1352121(2)(2)(2)(2)(2)k k kkkkk-+>-----1211(2)!1(1)!k k k k +≥-=++即当n=k+1时，不等式也成立。
由①、②知，对任意自然数n 不等式成立。
7、设,,,,a b c d R +∈求证： （1）≥+证明：假设0≥+>成立，则有22≥+即：()().a c b d ab cd ++≥++也即：2.ab ad cb cd ab cd +++≥++0ad cb ∴+≥>22()ad cb ∴+≥22()2()()()4ad ad cb cb ab cd ∴++≥⋅ 22()2()()()0ad ad cb cb ∴-+≥ 2()0ad cb ∴-≥但2()0ad cb -≥是成立的，并且上面每一步都可逆，因而不等式得证。
初等数学研究答案
习题一1答：原则：（1）A ⊂B（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。
(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。
方式：（1）添加元素法；（2）构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。
a=b ，M 11b 1a ∈∴⋅=⋅∴， 假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。
（2）若a <b ，则bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac<bc 。
（3）若a>b ，则ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈∃即，，由，使得 则ac>bc 。
3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a <b 时，由乘法单调性知ac<bc.这与ac=bc 矛盾。
则a=b 。
（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。
当a >b 时，由乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac<bc 矛盾。
则a <b 。
（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。
当a<b 时，由乘法单调性知ac<bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac>bc 矛盾。
则a>b 。
4. 解：（1）4313='=+ 541323='='+=+ 652333='='+=+763343='='+=+ 874353='='+=+（2）313=⋅ 631323=+⋅=⋅ 93232333=+⋅='⋅=⋅123333343=+⋅='⋅=⋅ 153434353=+⋅='⋅=⋅5证明：当n=1时，的倍数。
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后的习题集答案.doc
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'⊃；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'⊃，所以)(C A ⋃)(D B ⋃⊃所以集合C A ⋃的基数c a +大于集合D B ⋃的基数d b +，所以d b c a +>+.5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 1555555155155)25(2535''=++=++⋅=+⋅=+⋅=⋅=⋅ （2）解：按照自然数序数理论乘法定义87)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：︒1当2=n 时，命题成立.（反证法）()()()()()()()01121,1111111,111101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(212122121212121212122221212122111112111212222121≥++-+⇒≥++-++≥+-+-≥++++∴≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=︒+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a ka a ka a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n ka a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。
(完整版)初等数学研究答案
2.对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则（1）若a＝b，则ac＝bc（2）若a＜b，则ac＜bc（3）若a＞b，则ac＞bc证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= (bc) ′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1 重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1)∴c∈M由归纳公理知M = N.所以命题对任意自然数c成立(2)若a < b,则有k∈N,使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤＝﹥ac < bc(3)依据(2)由对逆性可得。
7.设α=(3+13) / 2 , β=( 3-13) / 2 , An= (αn-βn)/ 13(n=1,2,…..).(1) 以α,β为根作一元二次方程;(2) 证明A n+2=3A n+1+A n;(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数；解：(1) α+ β=3, α β=-1,∴由韦达定理得以α,β为根作一元二次方程为：X2-3X-1=0(2) 证：3A n+1+A n=3(αn+1-βn+1)/13+(αn-βn)/13=( α+ β) (αn+1-βn+1) /13+(αn-βn)/13= (αn+2 -βn+2 - α βn+1 + β αn+1 + αn- βn)/13= (αn+2 -βn+2)/13=A n+2(3) 证：①当n=1时，有A3 =10，则10| A3。
②假设当n=k时，有10| A3k则当n=k+1时，A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 , 10| 3A3。
∴ 10|10 A 3k+3由①②得，对∀n∈N*,有10| A3n。
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习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：（1）B A ⊂（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。
而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。
（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。
（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。
数系扩展的方式有两种：（1）添加元素法。
（2）构造法。
2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则（1）,;a b ac bc ==若则（2）,;a b ac bc <<若则（3）,a b ac bc >>若则；证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。
a b,a a 1,b b 1,P13(1),(1)a 111,a ac a c ac a bc b c bc bb Mc M c bc==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）假设即ac ,ac a c .bc a ba bcbc bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。
（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9）由（1）有()bc a k c =+a c kc =+ac bc ∴< （P17.定义9）或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=.ac bc ∴=（3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有a ().cb kc bc kc =+<+ac bc ∴>3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则（1）,;ac bc a b ==若则（2）ac bc a b <<若，则；（3）ac bc a b >>若，则。
证明（1）（用反证法）,a .a b a b b ≠><假设则有或,a b ac bc ac bc >>=若有和矛盾。
,,a b ac bc ac bc <<<若有也和矛盾。
a .b a b ≠=故假设不真，所以（2）方法同上。
（3）方法同上。
4、依据序数理论推求：135+（），235⋅（） 解： 1313134++=='（）先求，，（P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求，3333323256++=+=+=='''再求，（），35343478.+=+=+=='''如此等等，直至（）（2）31313⋅⋅=先求，，3232313136⋅⋅=⋅=⋅+='再求，，333332323639⋅⋅=⋅=⋅+=+='再求，，353434312315.⋅=⋅=⋅+=+='如此等等，直至5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。
证明：1n 141511189,1n =+⨯-==①当时，是的倍数故时命题成立。
k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。
即是的倍数。
则当n=k+1时：k 1k 415k 114415k 1315k 18441519(52)k k k +++-=+--⨯+=+---（）（）（）。
944151-952k k k ∴+--是的倍数（）（）19415(1)1k k +∴++-是的倍数1n k ∴=-当时，命题成立。
由①，②知，对于任一自然数n 成立。
6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 24444121-1-1-1-.19251221n n n +⋅⋅⋅=--（）（）（）（）（） 证明：412111--3-3.11-21n +⨯======⨯当时，左边，右边左边右边。
1n =故当时，等式成立。
n k =假设当时，等式成立，即：24444121-1-1-1-).19251221k k k +⋅⋅⋅=--（）（）（）（（）1n k =+则当时，有：22444411-1-1-1-)(1)1925(2k 1)(21)k ⋅⋅⋅--+（）（）（）（ 2(21)(23)12(1)121(1)12(12)(21)12(1)(21)k k k k k k k k k -++++=⋅-==⋅--+-++ 1.n k ∴=+当时，命题也成立。
由、知，对任意自然数n 命题成立。
41599k k +-是的倍数 9(52)9k -，是的倍数7、n(1,2...)n nA nαβ====设（1）αβ以、为根作一元二次方程；（2）213;nn nA A A++=+证明（3）3n10A用数学归纳法证明是的倍数。
解：（1）3-1αβαβ+==⋅==，2310.x xαβ∴--=以，为根的一元二次方程为：（2）22313 1.αβααββ=+=+以，代入以上方程，得：，2222n2n nn n n nA+++∴===n113n n n++=n13.nA A+=+（3）2232113310.n A A A==+==当时，1n=故命题对成立：3k10.n k A=假设当时，命题成立，即是的倍数32(31)3k113k kn kA A A+++=+=+（）则当时，有：3k133133k kA A A++=++（）3k13103kA A+=+12n211,3,3nnA A A A A++=∈N=∈N=+又故经递推式所得的各个数皆为自然数，因此，3k 1.A +∈N3(k+1)10A ∴也是的倍数。
3k ()10A n ∴∈N 是的倍数。
8、,,,,a ()b c a b c a b b c κρκρ+,设都是整数。
如果则对于任何整数都有证明： 112212121212a b a?()c ()b .c .b m .m .a ()ab cm m z m a m z m a m a c m a m am a m b c κκρρκρκρκρκρκρ∴=∈=∈∴==∴+=+=++∈Z ∴+， （）又（）9.证明整数集具有离散性.证明：（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a 和a+1之间存在b ,1a b a ∈Z <<+使。
依据加法单调性，(1)(1)1(1)a a b a a a +-<+-<++- ，即11()2b a <+-<1b a ⎡⎤⎣⎦+-∈N （）.这就和自然数集具有离散性相矛盾。
10、证明：有理数乘法满足结合律。
证明：,,,()a b c Q ab c a bc ∈=设要证：（） （1）当a,b,c 中至少有一个为零。
（1）显然成立。
设a,b,c 都不为零。
因为算术数乘法满足结合律，故a ()bc a b c ⋅⋅=⋅⋅（）。
故（1）两边的绝对值相等。
如果a,b,c 中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c 中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。
因此（1）成立。
11、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：{}10（）； {}21（）； 3N （）； {}40N （）； 5Q +（）；6（）奇数集合；7（）偶数集合；{}8036,3n ±±⋅⋅⋅±（），，，。
答：（1）加，乘，成环（2）乘，除（3）加，乘（4）加，乘（5）加，乘，除（6）乘（7）加，乘，成环（8）加，乘，成环12、设有n 个正分数 312123.n n a a a a a b b b <<<⋅⋅⋅< （分母为正分数） 求证：112112a n n n n a a a ab b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+. 证明： 设1212m ,a a b b =M = 12121212a a ab b a b b <⇒< 32232323a a ab b a b b <⇒< 34343434a a ab b a b b <⇒<m <M 11111mb b mb a b ∴<M ⇒=<M (1) 22m b b ∴<M 122122111m a b b b a a b b =⋅<⋅=又 即2222m ,a b a b =<M 而222m b a b ∴<<M (2)223mb a b <<M 同理： (3)n n n mb a b <<M (n)12n ++⋅⋅⋅+（）（）（）121212m()()n n n b b b a a a b b b ++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+<M ++⋅⋅⋅+1212m n na a ab b b ++⋅⋅⋅+∴<<M ++⋅⋅⋅+ 112112a n n n na a a ab b b b b ++⋅⋅⋅+<<++⋅⋅⋅+即. 13.近似计算：()4311.210+1.53105003.6⨯⨯+()243.260.3824-()332.264 2.13⨯()()34 2.6310 2.43564⨯÷3344333333(1) 1.2 1.53105003.6=1210 1.5310 5.003610 =(12+1.53+5.0036)10 (12 1.5 5.0)10 =18.5101910 =1.910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯≈++⨯⨯≈⨯⨯解：解法一：104334444441.210 1.53105003.6=1.2100.153100.5003610(1.20.1530.50036)10(1.20.150.50)10=1.85101.910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++⨯≈++⨯⨯≈⨯解法二：(2)43.260.382443.260.38242.87842.88-≈-=≈(3)32.264 2.1332.26 2.1368.713868.7⨯≈⨯=≈ 3333(4)(2.6310) 2.43564(2.6310) 2.4361.079101.0810⨯÷≈⨯÷≈⨯≈⨯ 14.已知近似数2315.4的相对误差界是000.02，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。
00=2315.40.02=0.463080.5∆⨯≈解： 故近似数精确到个位 所以有效数字有4个15.22 3.1416 1.7321=4.5511 4.551ππ≈⨯-≈计算0.001.解：2*16.,,,,S=.a b c d Q x ax b ad bc cx d∈+=+设是无理数。