辛卜生公式的证明
变步长辛卜生积分法
探索与其他算法的结合
01
与机器学习算法结 合
将变步长辛卜生积分法与机器学 习算法结合，实现数据驱动的系 统建模和预测。
02
与优化算法结合
将变步长辛卜生积分法与优化算 法结合，实现系统参数优化和控 制系统设计。
03
与人工智能算法结 合
将变步长辛卜生积分法与人工智 能算法结合，实现智能决策和控 制系统。
算法加速技术
采用算法加速技术，如矩阵运算优化、数值稳定 化等，提高算法的运算效率。
拓展应用领域
复杂系统建模
将变步长辛卜生积分法应用于更 复杂的系统建模，如多体动力学、 流体动力学等。
工程领域应用
将变步长辛卜生积分法应用于工 程领域，如机械振动、控制系统 等，解决实际问题。
生物医学建模
将变步长辛卜生积分法应用于生 物医学建模，如生物分子动力学、 药物设计等。
此外，变步长辛卜生积分法还可以用于信号的 滤波、去噪和压缩等处理，从而提高信号处理 的效果和质量。
05
变步长辛卜生积分法的未来发展
改进算法的效率
优化算法参数
通过调整算法中的参数，如步长、积分区间等， 提高算法的效率和精度。
引入并行计算
利用多核处理器或分布式计算资源，实现算法的 并行化，加快计算速度。
02
变步长策略
变步长策略的定义
定义
变步长策略是一种在数值计算中调整 步长的方法，以适应不同阶段的需求 和精度要求。
目的
通过动态调整步长，提高数值计算的 效率和精度，减少计算量，避免不必 要的误差累积。
变步长策略的原理
原理
根据计算过程中误差的变化情况，适 时地增大或减小步长，以保持计算的 精度和稳定性。
该方法基于辛卜生公式，通过将积分区间划分为若干个子区 间，并在每个子区间上应用辛卜生公式进行数值积分，最终 得到整个积分区间的近似值。
辛卜生公式的证明
辛卜生公式的证明辛卜生公式夹在两平行平面之间的几何体，如果被平行于这两平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的(不超过三次的)多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于上底面积、下底面积与四倍中截面积的和乘以高的六分之一．如图2-21，一个几何体夹在两平行平面之间，用平行于底，且与下底的距离为x的平面来截这一几何体，截面面积为A，而A是x的(不超过三次的)多项式函数，即A=a0x3+a1x2+a2x+a3(式中a、a1、a2、a3可以是任何实数．换句话说，A可以是常数，也可以是x的一次、二次或三次多项式函数)，现在我们来证明这个几何体的体积这里h是几何体的高，S′和S分别是上底和下底的面积，S为中截面的面积．任取一个正整数n，将几何体的高h分为n等分，通过这些分点且平行于上、下底的平面，将几何体分成n个薄片，每一薄片可以近似地看作直柱体，这n个直柱体体积之和，就近似地等于这个几何体的体积，如果分割得越细，也就是n越大，那么这n个直柱体之和，也就越逼近于这个几何体．因为第k(k=1、2、…、n)个薄片的底面积为的体积近似地等于整个几何体的体积近似地等于当n→∞时，V′的极限是几何体的体积V，即又因为上底面面积S′，可以看成截面高为x=h时的截面面积，下底面面积是S，可以看成截面高为x=0时的截面面积，而中截面面积S柱、锥、台、球、球缺等夹在两平行平面之间，它们被平行于这两个平面的任何平面所截得的截面面积是截面高的二次多项式函数，所以它们都能应用辛卜生公式求体积．以球为例，将球夹在两平行平面之间，那么把球看成上底面S1都为零的几何体．如果用底面相距为x的平面来截球，那么所得的和下底面S2截面为圆(图2-22)，它的面积由图2-22容易看出，为A=πr2=π[R2-(x-R)2]=π[2Rx-x2]．因此截面面积A是截面高x的二次的多项式函数，所以球也可以应用辛卜生公式求积．。
辛卜松证明法
辛卜松证明法
辛卜松证明法是一种用于数学与逻辑推理的证明方法，被广泛应用于数学和计算机科学领域。
它由德国数学家恩斯特·辛卜松（Ernst Zermelo）在20世纪初提出，用于证明集合论和逻辑的一些基本命题。
辛卜松证明法的核心思想是通过构造能够满足特定性质的对象，来证明所要证明的命题的存在性。
辛卜松提出了一种称为选择公理（Axiom of Choice）的公理，这个公理在集合论中起到了至关重要的作用，它可以用来构造具有特定性质的集合。
辛卜松证明法的步骤可以简要概括如下：
1.确定要证明的命题或性质，描述清楚所要证明的对象的特
点。
2.使用选择公理或其他适当的公理，构造出具有所要求性质
的对象。
这个步骤可能需要进行较复杂的构造或推理过程。
3.证明所构造的对象确实满足所要求的性质，可以通过对其
属性的验证或逻辑推理进行证明。
4.给出完整的证明过程，包括详细说明所构造的对象以及其
满足性质的证明过程。
需要指出的是，辛卜松证明法并不适用于所有的数学命题和逻辑推理。
有时候，由于证明的困难或无法找到满足特定性质的对象，辛卜松证明法可能无法使用。
此外，在使用选择公理时，也需要注意其合理性和推理的正确性。
辛卜松证明法在数学和逻辑领域中具有重要意义，它为解决一些复杂的问题提供了一种有力的工具和思维方法，并在集合论、拓扑学、理论计算机科学等领域中产生了广泛的应用。
数学实验题目2 Romberg积分法
数学实验题目2 Romberg 积分法摘要考虑积分()()b aI f f x dx =⎰欲求其近似值，可以采用如下公式：（复化）梯形公式 110[()()]2n i i i hT f x f x -+==+∑ 2()12b a E h f η-''=- [,]a b η∈ （复化）辛卜生公式 11102[()4()()]6n i i i i hS f x f x f x -++==++∑4(4)()1802b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ [,]a b η∈ （复化）柯特斯公式 111042[7()32()12()90n i i i i hC f x f x f x -++==+++∑31432()7()]i i f xf x +++6(6)2()()9454b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭[,]a b η∈ 这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系121021()22n n n i i h T T f x -+==+∑因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。
但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。
所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。
为此，记0,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化梯形积分结果，1,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化辛卜生积分结果，2,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化柯特斯积分结果。
根据李查逊（Richardson ）外推加速方法，可得到1,11,,0,1,2,40,1,2,41m m k m km k m k T T T m -+-=-⎛⎫=⎪=-⎝⎭可以证明，如果()f x 充分光滑，则有,lim ()m k k T I f →∞= （m 固定）,0lim ()m m T I f →∞=这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。
辛卜生公式万能曲线计算程式5800P
辛卜生公式万能曲线计算程式[Fx5800]一、程式：12→NLbl 1：“L1=”?S：“X1=”？A：“Y1=”?B：“A1=”?C：C→Ｏ：“R1=”?I:I→D：“L2=”?K：“R2=”? T:T→F：If I=０:Then If T=０：Then １→J:IfEnd：IfEnd“L－1(R+1)”?ＪIf D≠0:Then D^(-1)→D:IfEndIf F≠0:Then F^(-1)→F:IfEnd ‘将半径转换为曲率Lbl 2 ·0→Z:0→Q:0→U:0→V:N+1→P:“LC=”?L:If L＜S:Then Goto1:IfEnd ‘当正算时，若计算点在线元里程范围外，则转至Lbl 1重新输入线元要素If L＞K:Then Goto1:IfEnd(L－S)÷N→H:If D≠0:Then Goto 3 :IfEndIf F= 0:Then Goto 6:IfEnd 判断线元是否为直线，是则转至直线计算程式6Lbl 3Dsz P:Goto 4：Goto 5Lbl 4 ‘计算各点曲率及方位角P÷2→E:D+（F－D）÷（K－S）×H×P→G:C+（G+D）×H×P×90÷π×J→MIf P=N:Then M→0:IfEndIf E≠Int (E):Then Z+Cos(M)→Z:Q+Sin(M)→Q：Else U+Cos（M）→U:V +Sin(M)→V:IfEndGoto 3 ‘此时O为计算点（当计算点在线路外侧时，则为相应中心点）的坐标方位角Lbl5“X=”:A+Abs(H)÷3×（Cos(C)+4×Z+2×U－Cos(O)）→X▲“Y=”:B+Abs(H)÷3×（Sin(C)+4×Q+2×V－Sin(O)）→Y▲If O＞360:Then O-360→Ｏ:Else If O＜0:Then O+360→O:IfEnd:IfEnd“A=”?O▲Prog “LRZB”Goto 2Lbl 6 ‘直线上坐标计算程式(L—S)→H“X=”A+H×Cos(O)→X▲“Y=”B+H×Sin(O)→Y▲“A=”?O▲Prog “LRZB”Goto 2二、变量说明：N----曲线元N值 S---曲线元起点里程 A----起点X坐标 B----起点Y坐标 C----起点切线方位角I、D----起点半径 K---曲线元终点里程 T、F----终点半径 J----线元左右偏判别（1右-1左）L----计算点里程子程式“LRZB”‘计算线路中线左右两侧点坐标Lbl 1:-1→W:“ANG=”?W:If W=-1:Then Goto 2:IfEnd“D=”?R:O+W→Ｏ↓“[X]=”:X+R×Cos (O)→X▲“[Y]=”:Y+R×Sin (O)→Y▲If O＞360:Then O-360→Ｏ:Else If O＜0:Then O+360→O:IfEnd: IfEndGoto 1Lbl 2说明：说明：本子程式计算曲线两侧任意夹角点坐标,可以无限计算连续点坐标,前提是当提示”ANG”时,输入转向角度就是了.如果输入”-1”则回到计算中线坐标上来.重新计算下一点坐标W----夹角（相当于曲线里面的转向角，为前一直线（或切线）的延长线至计算点的夹角R----前一点至计算点的直线长度。
复化辛普森公式应用
在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式来计算曲线上各点的坐标。
但当在不同的曲线上计算时就需用不同的计算公式，这为计算也带来不便。
在设有缓和曲线的圆曲线半径较小或是卵形曲线上的坐标计算时，如公式选用不当就会出现较大计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。
而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型或直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。
用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果完全能保证坐标计算的精度要求。
因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线坐标的万能公式。
下面本人就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析。
一、复化辛卜生公式式中：H=（Z i－Z A）/n(公式2)(公式3)Zi —待求点桩号Z A—曲线元起点桩号Z B—曲线元终点桩号ρA—曲线元起点曲率ρB—曲线元终点曲率a i曲线上任意一点处切线方位角的计算方法有以下三种方法：1．利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2．利用曲线元上已知起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3．利用切线角公式计算二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（卵形曲线相关参数见图一，其计算略。
），相关设计数据见下表。
现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标。
图一已知相关设计数据见下表：（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐标，n取2等分用公式(3)、公式（2）计算+247.798处曲线及方位角:ρ+247.798=1÷75+(1÷50-1÷75)(247.798-271.881) ÷(223.715-271.881)=0.01666666666666667a+247.798=71°24’18.5” +(0.016666667+1÷75)(247.798-271.881)×180÷π÷2=50°42’26.37”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:切线方位角图示1将计算出的数据代入公式（1）求得+223.715中桩坐标如下：X=9880.438+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos71°24’18.5”+4(cos61°37’52.22”+cos38°38’0.96”)+2cos50°42’26.37”+ cos25°24’35.99”)=9910.5975 (设计值：9910.603)Y=10100.904+(223.715-271.881)÷2÷6×(sin71°24’18.5”+4(sin61°37’52.22”+sin38°38’0.96”) +2sin50°42’26.37”+ sin25°24’35.99”)=10136.7945 (设计值：10136.791)（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐标，n取2等分用公式(3)计算+247.798处曲线及方位角:ρ+247.798=1÷50+(1÷75-1÷50)(247.798-223.715)÷(271.881-223.715)=.01666666666666667a+247.798=205°24’33.6”+ (0.016666667+1÷50)(247.798-223.715)×180÷π÷2=230°42’23.98”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)÷2÷6×(cos205°24’33.6”+4(cos218°37’58.87”+cos241°37’49.83”)+2cos230°42’23.98”+ cos251°24’16.11”)=9880.4431 (设计值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)÷2÷6×(sin205°24’33.6”+4(sin218°37’58.87”+sin241°37’49.83”)+2sin230°42’23.98”+ sin251°24’16.11”)=10100.9008 (设计值：10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。
代数精度插值求积及复化公式
a b n (k i ) 所以： Ak li ( xk ) Ai (k i) k 0
( i 0,1, ,n )所以，求积公式 7 1 是插值型的。
(必要性) 设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n 的多项式f (x)，按（7-6）其求积余项Rn = 0，即这时插值型求积公 式是精确成立的。由定义1,n+1个节点的插值型求积公式至少具有 n次代数精度。（证毕） 注：n+1个节点的求积公式不一定具有n次代数精度.其原因是 此求积公式不一定是插值型的。 例： 例3 考察求积公式：
1
xdx 0 右边
§2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式 本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯特 斯（Newton-Cotes）公式。 2.1 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式 设将积分区间[a, b] 划分为n等分,步长h=(b-a)/n,求积节点取为 xk = a+kh(k=0,1,…,n),由此构造插值型求积公式,则其求积系数为:
b bBiblioteka n x x j Ak lk ( x )dx dx (k 0,1, , n) 引入变换x a th a a j 0 xk x j jk n n n n t j b a ( 1)n k 则有 : Ak h dt ( t j )dt ( k 0,1, , n) 0 0 n k !( n k )! j 0 k j j 0
2h A A A 1 0 1 h 4h 0 h ( A A ) A A , A 1 1 1 1 0 3 3 3 2h h 2 ( A1 A1 ) 3
变步长辛卜生积分法
}
过
} void main()
{
CIntegral T;
程
T.Simpson(1,10,1E-7);
cout<<“积分值
实 ="<<T.Simpson(1,10,1E-
7)<<endl;
现}
过
程
实
现 积分值= -2.7
结
果
〈〈科学与工程数值算 参 法（Visual C++版）〉〉
考
〈〈 大 学 物 理 习 题 计 算 机算法〉〉
算法原理
简 实现过程
实现结果
介 参考文献
心得体会
实
变 步 长 辛 补 b 生
（Simpson）求积分 f (x)dx
a
现 是计算定积分的经典方法，
其计算步骤
原 如下：
理
T （1）用梯形公式计算 hf a f b/ 2
实 ，其中n=1，h=b-a，且令n Sn=Tn
（2）用变步长梯形法则计算
程 In=Tn;
while(!done)
{
实
double temp(0.0);
for(int k=0;k<=n-1;k++)
{
现
double x=a+(k+0.5)*h; temp+=Func(x);
}
过
T2n=(Tn+h*temp)/2.0; I2n=(4.0*T2n-Tn)/3.0;
if(fabs(I2n-In)<eps)
done=1;
程 else
{
Tn=T2n;
实 n*=2;
h/=2;
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辛卜生公式的证明
辛卜生公式夹在两平行平面之间的几何体，如果被平行于这两平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的(不超过三次的)多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于上底面积、下底面积与四倍中截面积的和乘以高的六分之一．
如图2-21，一个几何体夹在两平行平面之间，用平行于底，且与下底的距离为x的平面来截这一几何体，截面面积为A，而A是x的(不超过三次的)多项式函数，即
A=a
0x3+a
1
x2+a
2
x+a
3
(式中a
、a
1
、a
2
、a
3
可以是任何实数．换句话说，A可以
是常数，也可以是x的一次、二次或三次多项式函数)，现在我们来证明这个几何体的体积
这里h是几何体的高，S′和S分别是上底和下底的面积，S
为中截面的面积．
任取一个正整数n，将几何体的高h分为n等分，通过这些分点且平行于上、下底的平面，将几何体分成n个薄片，每一薄片可以近似地看作直柱体，这n
个直柱体体积之和，就近似地等于这个几何体的体积，如果分割得越细，也就是n越大，那么这n个直柱体之和，也就越逼近于这个几何体．
因为第k(k=1、2、…、n)个薄片的底面积为
的体积近似地等于
整个几何体的体积近似地等于
当n→∞时，V′的极限是几何体的体积V，即
又因为上底面面积S′，可以看成截面高为x=h时的截面面积，下底面面积
是
S，可以看成截面高为x=0时的截面面积，而中截面面积S
柱、锥、台、球、球缺等夹在两平行平面之间，它们被平行于这两个平面的任何平面所截得的截面面积是截面高的二次多项式函数，所以它们都能应用辛卜
生公式求体积．以球为例，将球夹在两平行平面之间，那么把球看成上底面S
1都为零的几何体．如果用底面相距为x的平面来截球，那么所得的和下底面S
2
截面为圆(图2-22)，它的面积由图2-22容易看出，为
A=πr2
=π[R2-(x-R)2]
=π[2Rx-x2]．
因此截面面积A是截面高x的二次的多项式函数，所以球也可以应用辛卜生公式求积．。