辛卜生公式的证明

辛卜生公式的证明

辛卜生公式夹在两平行平面之间的几何体，如果被平行于这两平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的(不超过三次的)多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于上底面积、下底面积与四倍中截面积的和乘以高的六分之一．

如图2-21，一个几何体夹在两平行平面之间，用平行于底，且与下底的距离为x的平面来截这一几何体，截面面积为A，而A是x的(不超过三次的)多项式函数，即

A=a

0x3+a

1

x2+a

2

x+a

3

(式中a

、a

1

、a

2

、a

3

可以是任何实数．换句话说，A可以

是常数，也可以是x的一次、二次或三次多项式函数)，现在我们来证明这个几何体的体积

这里h是几何体的高，S′和S分别是上底和下底的面积，S

为中截面的面积．

任取一个正整数n，将几何体的高h分为n等分，通过这些分点且平行于上、下底的平面，将几何体分成n个薄片，每一薄片可以近似地看作直柱体，这n

个直柱体体积之和，就近似地等于这个几何体的体积，如果分割得越细，也就是n越大，那么这n个直柱体之和，也就越逼近于这个几何体．

因为第k(k=1、2、…、n)个薄片的底面积为

的体积近似地等于

整个几何体的体积近似地等于

当n→∞时，V′的极限是几何体的体积V，即

又因为上底面面积S′，可以看成截面高为x=h时的截面面积，下底面面积

是

S，可以看成截面高为x=0时的截面面积，而中截面面积S

柱、锥、台、球、球缺等夹在两平行平面之间，它们被平行于这两个平面的任何平面所截得的截面面积是截面高的二次多项式函数，所以它们都能应用辛卜

生公式求体积．以球为例，将球夹在两平行平面之间，那么把球看成上底面S

1都为零的几何体．如果用底面相距为x的平面来截球，那么所得的和下底面S

2

截面为圆(图2-22)，它的面积由图2-22容易看出，为

A=πr2

=π[R2-(x-R)2]

=π[2Rx-x2]．

因此截面面积A是截面高x的二次的多项式函数，所以球也可以应用辛卜生公式求积．