2015届高考数学二轮复习 专题检测7 基本初等函数问题

7 基本初等函数问题
1．若函数y ＝a x
＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有________． 答案 0<a <1且b <0
解析 (1)当0<a <1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a >1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．
∵y ＝a x ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，
∴只可能0<a <1.
(2)如图，这个图可理解为y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移大于1个单位长度．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b －1<0，|b －1|>1，解得b <0. 由(1)、(2)可知0<a <1且b <0.
2．(2013·课标全国Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小顺序为________．
答案 a >b >c
解析 因为a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25
，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27
，显然a >b >c . 3．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________.
答案 24
解析 ∵0<a <1，
∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为减函数，
∴f (x )max ＝log a a ＝1，
f (x )min ＝lo
g a 2a ＝1＋log a 2，
∴1＝3(1＋log a 2)，
即log a 2＝－23，∴a ＝24
.
4．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．
答案 (0，6]
解析 要使函数f (x )＝1－2log 6x 有意义，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，1－2log 6x ≥0.解得0<x ≤ 6. 5．“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y 2
＝xz 成立”的________条件．
答案 充分不必要
解析 由lg x ，lg y ，lg z 成等差数列，可以得出2lg y ＝lg x ＋lg z ，根据对数函数的基本运算可得，y 2＝xz ，但反之，若y 2＝xz ，并不能保证x ，y ，z 均为正数，所以不能得出lg x ，lg y ，lg z 成等差数列．
6．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.
答案 2
解析 ∵f (x )＝lg x ，∴f (a 2)＋f (b 2)＝2lg a ＋2lg b ＝2lg ab .
又f (ab )＝1，∴lg ab ＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝2.
7．已知0<a <1，则函数f (x )＝a x －|log a x |的零点个数为________．
答案 2
解析 分别画出函数y ＝a x
(0<a <1)与y ＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，图象有两个交点． 8．若函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1,0)
解析 由题意得，
函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＋m ，x ≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ，x >1.
首先作出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，x ≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x >1的图象，如图所示．
由图象可知要使函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＋m ，x ≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ，x >1的图象与x 轴有公共点，则m ∈[－1,0)．
9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)与0的大小关系为________．
答案 f (x 1)>0
解析 当x >0时，f (x )＝(15
)x －log 3x 是减函数， 又x 0是方程f (x )＝0的根，即f (x 0)＝0.
∴当0<x 1<x 0时，f (x 1)>f (x 0)＝0.
10．(2014·南京模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x *y ＝ln(e x ＋e y
)，x ，y ∈R .当x *x ＝y 时，x ＝*
y .对任意实数a ，b ，c ，给出如下命题：
①a *b ＝b *a ；
②(a *b )＋c ＝(a ＋c )*(b ＋c )；
③(a *b )－c ＝(a －c )*(b －c )；
④(a *b )*c ＝a *(b *c )； ⑤*a *b ≥a ＋b 2
. 其中正确的命题有________．(写出所有正确的命题序号)
答案 ①②③④⑤
解析 因为a *b ＝ln(e a ＋e b )，b *a ＝ln(e b ＋e a )，
所以a *b ＝b *a ，即①对；
因为(a *b )＋c ＝ln(e a ＋e b )＋c ＝ln[(e a ＋e b )e c ]
＝ln(e a ＋c ＋e b ＋c )＝(a ＋c )*(b ＋c )，所以②对；
只需令②中的c 为－c ，即有结论(a *b )－c ＝(a －c )*(b －c )，所以③对；
因为(a *b )*c ＝[ln(e a ＋e b )]*c ＝ln[ln()a b e e e
+＋e c
] ＝ln(e a ＋e b ＋e c )， a *(b *c )＝a *[ln(e b ＋e c )]＝ln[e a ＋ln()b c e e e
+]
＝ln(e a ＋e b ＋e c )，
所以(a *b )*c ＝a *(b *c )，即④对； 设*a *b ＝x ，则x *x ＝a *b ，
所以ln(e x ＋e x )＝ln(e a ＋e b )，
所以2×e x ＝e a ＋e b ，
所以x ＝ln e a ＋e b 2，即*a *b ＝ln e a ＋e b 2≥ln 2e a ·e b
2＝a ＋b 2
，故⑤对． 故正确的命题是①②③④⑤.
11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)．
(1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；
(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．
解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，
令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.
所以，函数f (x )的零点为3和－1.
(2)依题意，方程ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根．
所以，b 2－4a (b －1)>0恒成立，
即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，
所以有(－4a )2－4(4a )<0⇒a 2－a <0，所以0<a <1.
因此实数a 的取值范围是(0,1)．
12．(2014·盐城模拟)设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x >0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数f (x )的最大值．
解 (1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，
可得1＋b ＝1，即b ＝0.
因为f ′(x )＝anx n －1－a (n ＋1)x n
，所以f ′(1)＝－a . 又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，
所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0.
(2)由(1)知，f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，
f ′(x )＝(n ＋1)x n －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫n n ＋1－x .
令f ′(x )＝0，解得x ＝n
n ＋1，
在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，n
n ＋1上，f ′(x )>0， 故f (x )单调递增；
而在⎝ ⎛⎭⎪⎫n
n ＋1，＋∞上，f ′(x )<0， 故f (x )单调递减．
故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n
n ＋1n
·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n
n ＋1＝n
n (n ＋1)n ＋1.。