2019届高考理科数学第一轮知识点专项题库58
2019届高考理科数学第一轮总复习课件1.ppt
2x 1
2x 1
2x 1
1
x
1 2
x
2
1
1， 2
2
• 因为 x 1所，以 x 1 0，
21 2
1
• 所以 x 1 2 2(1 x)? 2 2，
2 x1
2 1x
2
2
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1
x
1 2
2， x1
• 当且仅x 当1 2
2
2
• 即 y 2 时1等，号成立.
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第二章 函数 第 3讲
函数的值域 （第二课时）
1
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• 专题四：用不等式法求函数的值域
•
1. 求y 下2列x2 函 x数1的 x值域12：;
•
(1)
2x 1
•
(2)
y 1 sinx . 2 cosx
2
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20
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• (原创)关于x的不等式 2］上有解，
• 求a的取值范围.
x 1 a x 在区间［1，
21
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•
构造函数 f (x) x 1 ，x ［1，2］，
•则
x 1 (1 x)(1 x)
• 当x∈f '(［x)1，12］x2 时 ，f ′x(x2 )＜0，
•
• 因为 • 所以 • 所以
(1) y 2x2 x 1 x(2x 1) 1 x 1
2x 1 1 2x 1
2x 1
x
2019届高三数学一轮复习目录(理科)
2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。
高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)
B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。
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第5讲 圆与圆的位置关系一、填空题1．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是________．解析 圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22，所以C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，所以两圆相交． 答案 相交2．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是________．解析 若圆C 与圆O 外切，则r C ＋1＝5，所以r C ＝4.若圆C 与圆O 内切，因为点C 在圆O 外，所以r C －1＝5，所以r C ＝6. 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝363．与圆x 2＋y 2＝25外切于点P (4,3)，且半径为1的圆的方程是________．解析 设所求圆的圆心为C (m ，n )，则O ，P ，C 三点共线，且OC ＝6，所以m ＝45×6＝245，n ＝35×6＝185，所以圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1852＝1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1852＝14．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－1＝0的公共弦长的最大值为________．解析 两圆方程相减得，相交弦所在直线为x ＋y ＋a ＋b ＝0，∴弦长＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22，∴当a ＝b 时，弦长最大为2. 答案 25．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________．解析 由题设知，圆心为(a,6)，R ＝6，∴(a －0)2＋(6－3)2＝6－1，∴a 2＝16.∴a ＝±4， ∴所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36. 答案 (x ±4)2＋(y －6)2＝366．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝1a，又a＞0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a＝1.答案 17．圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为________．解析将两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0化为标准形式分别为(x－3)2＋(y＋8)2＝112，(x＋2)2＋(y－4)2＝82.因此两圆的圆心和半径分别为O1(3，－8)，r1＝11；O2(－2,4)，r2＝8.故圆心距|O1O2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13，又|r1＋r2|>|O1O2|>|r1－r2|，因此两圆相交，公切线只有2条．答案 28．已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．解析(x＋3)2＋(y－4)2＝36，由题意，得|6－m|＜5＜6＋m，解得1＜m ＜11，所以1＜m＜121.答案1＜m＜1219．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0.若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．解析外切时，r＝3；内切时，r＝7.答案3或710．圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0恰有三条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为________．解析由题意，两圆外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即(－2a)2＋b2＝3，也即4a2＋b2＝9，所以1a2＋1b2＝19(4a2＋b2)⎝⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＝19⎝⎛⎭⎪⎫5＋b2a2＋4a2b2≥19×(5＋4)＝1，当且仅当b2a2＝4a2b2，即b2＝2a2时等号成立．二、解答题11．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x 1＝－15、x 2＝－1， ∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)为端点的线段为直径的圆，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.12．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程． 解 (1)由两圆外切，∴O 1O 2＝r 1＋r 2，r 2＝O 1O 2－r 1＝2(2－1)， 故圆O 2的方程是：(x －2)2＋(y －1)2＝4(2－1)2， 两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为 x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，∵圆O 1的方程为：x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程： 4x ＋4y ＋r 22－8＝0.①作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12AB ＝2，O 1H ＝2，由圆心(0，－1)到直线①的距离得|r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0 ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程，易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.14．已知⊙C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 的长为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 法一 设存在直线方程为y ＝x ＋b . 则圆心(1，－2)到x －y ＋b ＝0的距离d ＝|3＋b |2. 则在以AB 为直径的圆中，由垂径定理得r 2＝9－d 2＝9－(3＋b )22.由⎩⎨⎧y ＋2＝－(x －1)，y ＝x ＋b ，得圆心坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋12，b －12.则以AB 为直径的圆为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b －122＝9－(3＋b )22. 又过原点，将(0,0)代入，得b ＝1或b ＝－4.则存在这样的直线，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. 法二 设存在直线方程为y ＝x ＋b . 则由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消y 得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－(b ＋1)， x 1·x 2＝b 2＋4b －42，则y 1·y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1·x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2. 又以AB 为直径的圆过原点，所以OA →·OB →＝0，即x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，得b 2＋3b －4＝0. 解得b ＝1或b ＝－4.则存在这样的直线，方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0. 法三 设以AB 为直径的圆为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因过原点，得F ＝0，则圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2. 又直线l 是两圆的公共弦，两圆相减得l 为 (D ＋2)x ＋(E －4)y ＋4＝0.①由斜率为1，得D ＋2＝4－E .②又⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线l 上，得(D ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋(E －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0. ③由②③得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝0或⎩⎨⎧D ＝－3，E ＝5，代入①得 x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.法四 设存在直线方程为x －y ＋b ＝0. 则以AB 为直径的圆为(x 2＋y 2－2x ＋4y －4)＋λ(x －y ＋b )＝0， 化简得x 2＋y 2＋(λ－2)x ＋(4－λ)y ＋bλ－4＝0. 因过原点，代入得b ＝4λ，又圆心⎝⎛⎭⎪⎫－λ－22，－4－λ2在x －y ＋4λ＝0上， 得⎩⎨⎧ λ＝4，b ＝1或⎩⎨⎧λ＝－1，b ＝－4.即x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.。
2019届高考理科数学第一轮知识点专项题库36
第4讲 不等式的综合应用一、填空题1．现要挖一个面积为432 m 2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m,4 m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________，宽为________． 解析 设鱼池的长、宽分别为x ，432x ，所以S ＝(x ＋6)·⎝ ⎛⎭⎪⎫432x ＋8＝432＋48＋2 592x ＋8x ≥480＋288＝768，仅当8x ＝2 592x ，即x ＝18，432x ＝24时等号成立．答案 24 m 18 m2．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是________．解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2≥x 2＋14x 2＋y 2＋14y 2＋2≥2x 2·14x 2＋2y 2·14y 2＋2＝4.当且仅当x ＝y ＝22时取等号． 答案 43．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，若f (x )恒为正值，则k 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＞0，即32x －(k ＋1)·3x ＋2＞0，∴k ＋1＜32x ＋23x ＝3x ＋23x .∵x ∈R ，∴3x＞0，∴32x＋23x ＝3x ＋23x ≥22，当且仅当3x＝23x 时取等号．从而k ＜－1＋2 2. 答案 (－∞，－1＋22)4．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，又a 5≠0，q ＞0，所以q 2＝q ＋2，解为q ＝2.于是由a m a n ＝4a 1，得m ＋n ＝6，所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16(5＋4)＝32，当且仅当n ＝2m ，即m ＝2，n ＝4时等号成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n min ＝32. 答案 325．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当ax ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值为________，取最小值时x 的值为________．解析 由题意得f (x )＝42x ＋91－2x ≥(2＋3)22x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，得x ＝15∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故f (x )的最小值为25，此时x ＝15.答案 25156．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析 令f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1≥3(x ∈N *)，则(3－a )x ≤x 2＋8，即3－a ≤x ＋8x .∵x＋8x ≥28＝42，当且仅当x ＝22时取等号，但由于x ∈N *，∴当x ＝3时，x ＋8x 取最小值3＋83，于是3－a ≤3＋83，即a ≥－83. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞7．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析 由a x ＝b y ＝3得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a ＞1，b ＞1知x ＞0，y ＞0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立，则1x ＋1y 的最大值为1. 答案 18．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为________．解析 由题可得a ＞0，c ＞0，且Δ＝22－4ac ＝0即ac ＝1.所以a ＋c ≥2ac ＝2，当且仅当a ＝c ＝1时取等号．所以a ＋1c ＋c ＋1a ＝ac ×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1c ＋c ＋1a ＝a 2＋c 2＋a ＋c ＝(a ＋c )2＋(a ＋c )－2，当且仅当a ＝c ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1c ＋c ＋1a min ＝22＋2－2＝4. 答案 49．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋ax ≥1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析 当a ＝18时，2x ＋a x ＝2x ＋18x ≥1，当且仅当x ＝14时取“＝”，故充分性成立，当2x ＋a x ≥1对x ∈R ＋恒成立时，a ≥(x －2x 2)max 得a ≥18，故必要性不成立．答案 充分不必要10．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站________km 处．解析 依题意，设y 1＝k 1d ，y 2＝k 2×d ，则有2＝k 110，8＝k 2×10，即有k 1＝20，k 2＝45，从而这两项费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20d ＋45d ≥2 20d ×45d ＝8万元，当且仅当 ⎩⎨⎧20d ＝45d ，d ＞0，即d ＝5 km 时，有这两项费用之和最小．答案 5 二、解答题11．已知f (x )是定义在(－∞，4]上的减函数，是否存在实数m ，使得f (m －sin x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m －74＋cos 2x 对定义域内的一切实数x 均成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．思维启迪 不等式和函数的结合，往往要利用函数的单调性和函数的值域． 解 假设实数m 存在，依题意， 可得⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，m －sin x ≥1＋2m －74＋cos 2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤sin x ，m －1＋2m ＋12≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122.因为sin x 的最小值为－1，且－(sin x －12)2的最大值为0，要满足题意，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m －4≤－1，m －1＋2m ＋12≥0，解得m ＝－12或32≤m ≤3.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12.探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域，m ≤f (x )恒成立，只需m ≤f (x )min .12．某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x (x >0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x %，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50(a >0)万元．(1)在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，要使100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a 的最大值． 解 (1)由题意得3(100－x )(1＋2x %)≥3×100， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50， 又因为x >0，所以0<x ≤50.(2)从事蔬菜加工的农民的年总收入为3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50x 万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为3(100－x )(1＋2x %)万元，根据题意，得3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 50x ≤3(100－x )(1＋2x %)恒成立，即ax ≤100＋x ＋x 225恒成立．又x >0，所以a ≤100x ＋x 25＋1恒成立，而100x ＋x25＋1≥5(当且仅当x ＝50时取得等号)． 所以a 的最大值为5.13. 扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x (米)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (米)． (1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？ (3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．解 (1)93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ， 所以93＝12·(2BC ＋x )·32x ，得BC ＝18x －x2. 由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)． (2)由y ＝18x ＋3x2≤10.5，得3≤x ≤4.因为[3,4][2,6)．所以腰长x 的范围是[3,4]． (3)y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x 2＝63，当且仅当18x ＝3x2，即x ＝23∈[2,6)时等号成立． 故外周长的最小值为63米，此时腰长为23米．14．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km)的关系为：p ＝k 3x ＋5(0≤x ≤8)，若距离为1 km 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f (x )为建造宿舍与修路费用之和． (1)求f (x )的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小，并求最小值． 解 (1)根据题意，得100＝k3×1＋5，∴k ＝800，∴f (x )＝8003x ＋5＋5＋6x,0≤x ≤8. (2)∵f (x )＝8003x ＋5＋2(3x ＋5)－5≥80－5，当且仅当8003x＋5＝2(3x＋5)，即x＝5时f(x)min＝75.故宿舍应建在离工厂5 km处可使总费用f(x)最小，且最小值为75万元.。
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第3讲 二项式定理
一、填空题
1．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1x 7
展开式的第4项等于5，则x 等于________．
解析 由
T 4＝C 37x 4⎝
⎛⎭⎪
⎫－1x 3
＝5得x ＝－1
7.
答案 －1
7
2．在⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫x 2－13x n
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________． 答案 7
3．在⎝
⎛⎭⎪⎫
x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为________．
解析 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为
T r ＋1＝C r 6⎝
⎛
⎭⎪⎫x 26－r ⎝
⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r
(－2)r ， 当r ＝1时为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125
(－2)＝－38. 答案 －38
4．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项
系数的和是________．
解析 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38. 答案 1或38
5．设⎝ ⎛
⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N
＝240，则展开式中x 的系数为________． 解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，
T r ＋1＝C r 4
(5x )4－r ⎝
⎛⎭
⎪⎫－1x r
＝(－1)r 54－r C r 4x 4－
3r 2， 令4－3r
2＝1，得r ＝2，T 3＝150x . 答案 150
6． ⎝
⎛
⎭⎪⎫ax －1x 8的展开式中x 2的系数为70，则a ＝________．
答案 ±1
7．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝________． 答案 5
8． (1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )6的展开式中，含x 2项的系数为_______．
解析 含x 2项的系数为C 22＋C 23＋…＋C 26＝C 34＋C 24＋…＋C 26＝C 3
7＝35.
答案 35
9．设二项式
⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．
解析 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
－a x 12r ＝C r 6(－a )r x 6－32r ， B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2
.∵B ＝4A ，a ＞0，∴a ＝2.
答案 2
10． ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________．
解析 令x ＝1，由已知条件1＋a ＝2，则a ＝1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝C 05(2x )5＋C 15
(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＋C 25(2x )3⎝
⎛⎭
⎪⎫－1x 2＋C 35(2x )2·
⎝
⎛⎭
⎪⎫－1x 3＋C 4
5(2x )⎝
⎛⎭
⎪⎫－1x 4＋⎝
⎛⎭
⎪⎫－1x 5 ＝32x 5－80x 3＋80x －401x ＋101x 3－1
x 5，则常数项为40. 答案 40 二、解答题
11．已知⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＋2x n ，
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5
n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展
开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.
∴T 4的系数为C 37
⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324
＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727
＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2
n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.
∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1212(1＋4x )12， ∴⎩⎨⎧
C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.
∴9.4≤k ≤10.4， ∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11， T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·210·x 10
＝16 896x 10. 12．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．
(1)试用组合数表示这个一般规律；
(2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论． 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
解 (1)C r n ＋1＝C r n ＋C r －1
n .
(2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.
(3)设C r －1n ∶C r n ∶C r ＋1n ＝3∶4∶5，
由C r －1n
C r n
＝34，得r n －r ＋1＝34，
即3n －7r ＋3＝0， ①
由C r n
C r ＋1n ＝45，得r ＋1n －r ＝45， 即4n －9r －5＝0
②
解①②联立方程组得，n ＝62，r ＝27，
即C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.
13．把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i 行共有2i －1个正整数，设a ij (i ，j ∈N *)表示位于这个数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数． (1)求a 69的值； (2)用i ，j 表示a ij ；
(3)记A n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a nn (n ∈N *)，求证：当n ≥4时，A n >n 2＋C 3n .
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
… … … … …
(1)解 a 69＝25＋(9－1)＝40.
(2)解 ∵数表中前(i －1)行共有1＋2＋22＋…＋2i －2＝(2i －1－1)个数，则第i 行的第一个数是2i －1， ∴a ij ＝2i －1＋j －1.
(3)证明 ∵a ij ＝2i －1＋j －1，则a nn ＝2n －1＋n －1(n ∈N *)， ∴A n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]
＝2n －1＋n (n －1)
2，
当n ≥4时，A n ＝(1＋1)n
－1＋n (n －1)2>C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋C 3
n －1＋n (n －1)2＝n 2＋C 3n .
14．从函数角度看，组合数C r n 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{r |r ∈N ，r ≤n }． (1)证明：f (r )＝
n －r ＋1
r
f (r －1)； (2)利用(1)的结论，证明：当n 为偶数时，(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大． 证明 (1)∵f (r )＝C r n ＝
n ！
r ！(n －r )！
，
又∵f (r －1)＝C r －1n ＝
n ！
(r －1)！(n －r ＋1)！
，
∴n －r ＋1r f (r －1)＝n －r ＋1r n ！
(r －1)！(n －r ＋1)！ ＝
n ！
r ！(n －r )！
.
则f (r )＝
n －r ＋1
r
f (r －1)成立． (2)设n ＝2k ， ∵f (r )＝n －r ＋1
r
f (r －1)，f (r －1)>0， ∴
f (r )f (r －1)
＝2k －r ＋1r .
令f (r )≥f (r －1)，∴
2k －r ＋1
r
≥1. 则r ≤k ＋1
2(等号不成立)．
∴r ＝1,2，…，k 时，f (r )>f (r －1)成立．
反之，当r ＝k ＋1，k ＋2，…，2k 时，f (r )<f (r －1)成立． ∴f (k )＝C k 2k 最大．
即(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大.。