2015-2016年四川省雅安中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2015-2016学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）若不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a+c的值为（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣73．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．4．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．35．（5分）设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B．C．D．6．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∩β=n，m∥n，则m∥α，m∥βC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β7．（5分）如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（）A．B．C．2 D．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB 相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥2或k≤B．≤k≤2 C．k≥D．k≤29．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°11．（5分）过点Q（2，4）引直线与圆x2+y2=1交于R，S两点，那么弦RS的中点P的轨迹为（）A．圆（x+1）2+（y+2）2=5 B．圆x2+y2+2x+4y=0的一段弧C．圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的一段弧D．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=512．（5分）已知点P（t，t），t∈R，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．B．C．2 D．1二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集为．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是．15．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为平行四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当CQ=1时，S的面积为．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R．（1）若m=3，求A∩B．；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．18．（12分）如图是一个正三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=1，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求AB与平面AA1C1C所成的角的正弦值．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．20．（12分）三角形ABC的三个顶点A（1，3）B（1，﹣3）C（3，3），求：（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；（Ⅱ）三角形ABC的外接圆O1的方程．（Ⅲ）已知圆O2：x2+y2﹣4y﹣6=0，求圆心在x﹣y﹣4=0，且过圆O1与圆O2交点的圆的方程．21．（12分）已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．22．（12分）若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知点Q（2，﹣2），且|PT|=|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l 上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x=6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论．2015-2016学年四川省雅安中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由于直线y=﹣x+2，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣，θ=120°，故选：C．2．（5分）若不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a+c的值为（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【解答】解：由不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|}，可得ax2+5x+c=0的根为由方程的根与系数关系可得，解可得，a=﹣6，c=﹣1∴a+c=﹣7故选：D．3．（5分）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0，对应的二次函数y=ax2+bx+c开口向下，所以a＜0二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R，所以△＜0．故选：D．4．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：画的可行域如图，画直线z=x﹣y，平移直线z=x﹣y过点B（2，0）时z有最大值2；故选：C．5．（5分）设正方体的全面积为24，那么其内切球的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：正方体的全面积为24，所以，设正方体的棱长为：a，6a2=24a=2，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为：1内切球的体积：故选：B．6．（5分）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若α∩β=n，m∥n，则m∥α，m∥βC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理判定是正确的；对于B，若α∩β=n，m∥n，则m∥α，或者m∥β或者m⊂α，m∥β或者m⊂β，m∥α；故B错误；对于C，若m∥α，m⊥n，则m可能在α；故C错误；对于D，若α⊥β，m⊥α，则m可能在β内，故D错误；故选：A．7．（5分）如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵直二面角α﹣l﹣β中，AB⊥BC，CD⊥BC，∴=0，=0，=0，∴||2=|++|2=2+2+2+2+2+2=3，∴||=．故选：B．8．（5分）已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB 相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．k≥2或k≤B．≤k≤2 C．k≥D．k≤2【解答】解：如图，∵，，∴直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选：A．9．（5分）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx+ny+2=0过圆心（﹣3，﹣1），即﹣3m﹣n+2=0，∴3m+n=2，∴+=（+）=3+≥3+=6，当且仅当时取等号，由截得，∴+的最小值为6，故选：A．10．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折叠成一个四面体ABCD，当该四面体的体积最大时，直线AB与CD所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由题意可知该四面体的体积最大时，就是折叠成直二面角，建立空间直角坐标系，如图：设正方形的对角线长为2，则，所以直线AB与CD所成的角为：θ，cosθ===所以θ=60°故选：B．11．（5分）过点Q（2，4）引直线与圆x2+y2=1交于R，S两点，那么弦RS的中点P的轨迹为（）A．圆（x+1）2+（y+2）2=5 B．圆x2+y2+2x+4y=0的一段弧C．圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的一段弧D．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=5【解答】解：因为点Q（2，4）在圆x2+y2=1的外部，如图：所以过点Q（2，4）引直线与圆x2+y2=1交于R，S两点，斜率存在，是一段区间，因为弦RS的中点P，所以OP⊥RS，即△OPQ是直角三角形，OQ是定值，OQ==，OQ的中点为（1，2），圆的半径为：．所以所求的轨迹方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2==5，即x2+y2﹣2x﹣4y=0．因为斜率存在，是一段区间，所求轨迹是圆的一部分．故选：C．12．（5分）已知点P（t，t），t∈R，点M是圆上的动点，点N是圆上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．B．C．2 D．1【解答】解：如图：圆的圆心E（0，1），圆的圆心F（2，0），这两个圆的半径都是．要使|PN||﹣|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，由图可得，|PN|最大值为|PF|+，PM|的最小值为|PE|﹣，故|PN||﹣|PM|最大值是（|PF|+）﹣（|PE|﹣）=|PF|﹣|PE|+1，点P（t，t）在直线y=x上，E（0，1）关于y=x的对称点E′（1，0），直线FE′与y=x的交点为原点O，则|PF|﹣|PE|=|PF|﹣|PE′|≤|E′F|=1，故|PF|﹣|PE|+1的最大值为1+1=2，故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）不等式﹣x2﹣2x+3＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【解答】解：﹣x2﹣2x+3＜0，∴x2+2x﹣3＞0因式分解得：（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．14．（5分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积是30．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体平放的三棱柱，且三棱柱的底面是边长为4，对应边上的高为3；又三棱柱的高为5，所以该三棱柱的体积是V=×4×3×5=30．故答案为：30．15．（5分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的最大值是．【解答】解：由题意可得动直线x+my=0过定点A（0，0），直线mx﹣y﹣m+3=0可化为（x﹣1）m+3﹣y=0，令可解得，即B（1，3），又1×m+m×（﹣1）=0，故两直线垂直，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2=（|PA|+|PB|）2﹣2|PA||PB|≥（|PA|+|PB|）2﹣2（）2=（|PA|+|PB|）2，∴（|PA|+|PB|）2≤20，解得|PA|+|PB|≤2当且仅当|PA|=|PB|=时取等号．故答案为：2．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是②④（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为平行四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当CQ=1时，S的面积为．【解答】解：对于①，当0＜CQ＜时，如图所示，PQ∥AM，PQ≠AM，因此截面S为梯形，不是平行四边形，故①不正确；对于②，当CQ=时，如图所示，由①可知：截面APQD1是梯形，利用平行线的性质可得：AP=QD1，因此可得：S为等腰梯形，故②正确；对于③，当CQ=时，如图所示，AP∩DC=O，∵点P是BC的中点，可得CO=CD=AB，∴，∴S与C1D1的交点R满足C1R=，故③不正确；对于④，当CQ=1时，如图所示，截面S即APC1E是菱形，对角线长度分别为，，S的面积==，故④正确．故答案为：②④．三．解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}，m∈R．（1）若m=3，求A∩B．；（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0}={x|m﹣3≤x≤m+3}（1）由于B={x|m﹣3≤x≤m+3}故当m=3时，B={x|0≤x≤6}∴A∩B=[0，3]（2）由于集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣3≤x≤m+3}∵18．（12分）如图是一个正三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=1，AA1=4，BB1=2，CC1=3．（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（2）求AB与平面AA1C1C所成的角的正弦值．【解答】解：（1）证明：如图，作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D．则OD∥BB1∥CC1，∵O是AB的中点，∴，∴ODC1C是平行四边形，∴OC∥C1D，又∵C1D⊂平面C1B1A1，且OC⊄平面C1B1A1；∴OC∥面A1B1C1．（2）解：如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2，作BH⊥A2C2于H，∵平面A 2BC2⊥平面AA1C1C，∴BH⊥面AA1C1C．连结AH，则∠BAH就是AB与面AA1C1C所成的角．∵，，∴．19．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；（3）求点C到平面PBD的距离．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）由（1）得．设平面PCD的法向量为，则，即，∴，故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量．设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得．（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故可取为．∵，∴C到面PBD的距离为20．（12分）三角形ABC的三个顶点A（1，3）B（1，﹣3）C（3，3），求：（Ⅰ）BC边上中线AD所在直线的方程；（Ⅱ）三角形ABC的外接圆O1的方程．（Ⅲ）已知圆O2：x2+y2﹣4y﹣6=0，求圆心在x﹣y﹣4=0，且过圆O1与圆O2交点的圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设BC的中点为D，由中点坐标公式得：D（2，0），所以AD所在直线的斜率为k=﹣3所以AD所在直线的方程为y﹣3=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣6=0（Ⅱ）由题知直线AB的斜率不存在，直线BC的斜率为0，故三角形ABC是角A为直角BC为斜边的直角三角形；由（Ⅰ）知，线段BC上的中点D（2，0），所以圆O1的圆心坐标（2，0）半径；三角形ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6=0或（x﹣2）2+y2=10．（Ⅲ）圆O1与圆O2，两方程相减，可得公共弦的方程为y=x，与x2+y2﹣4y﹣6=0联立，可得两圆的交点分别为A（﹣1，﹣1），B（3，3），线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1）与x﹣y﹣4=0，可得所求圆的圆心为（3，﹣1），半径为4所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2=16．21．（12分）已知⊙M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．【解答】解：（1）设直线MQ交AB于点P，则|AP|=，又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|==，∵|MQ|=，∴|MQ|=3．设Q（x，0），而点M（0，2），由=3，得x=±，则Q点的坐标为（，0）或（﹣，0）．从而直线MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．（2）证明：设点Q（q，0），由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x（x﹣q）+y（y﹣2）=0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx﹣2y+3=0，∴直线AB恒过定点（0，）．22．（12分）若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知点Q（2，﹣2），且|PT|=|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l 上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x=6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：设圆心C（m，n）由题易得m=3﹣﹣﹣﹣（1分）半径，﹣﹣﹣﹣（2分）得n=﹣4，r=5﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y+4）2=25﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解：由题可得PT⊥CT﹣﹣﹣﹣（5分）所以﹣﹣﹣﹣﹣（6分）﹣﹣﹣﹣（7分）所以=整理得a﹣2b+4=0所以点P总在直线x﹣2y+4=0上﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）证明：F（﹣4，0）﹣﹣﹣﹣（9分）由题可设点M（6，y1），N（6，y2），则圆心，半径﹣﹣﹣﹣（10分）从而圆E的方程为﹣﹣﹣﹣（11分）整理得x2+y2﹣12x﹣（y1+y2）y+36+y1y2=0又点F在圆E上，故=0得y1y2=﹣100﹣﹣﹣﹣（12分）所以x2+y2﹣12x﹣（y1+y2）y﹣64=0令y=0得x2﹣12x﹣64=0，﹣﹣﹣﹣（13分）所以x=16或x=﹣4所以圆E过定点（16，0）和（﹣4，0）﹣﹣﹣﹣（14分）。