中考复习练习之——胡不归问题---教师版

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中考复习之——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他悉在家的老父病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思心切，他只考了两点之段最短的原理，所以了全是沙地的直路径 A→ B（如所示），而忽了走折然路程多但速度快的情况，当他气喘吁吁地赶到家，老人咽了气，小伙子失声痛哭。

居慰小伙子告，老人弥留之不断念叨着“胡不胡不⋯” 。

个古老的，引起了人的思索，小伙子能否提前到家倘若可以，他一条怎的路呢就是靡千百年的“胡不”。

B沙地A D C例 1. （ 2012 崇安模），如，ABC 在平面直角坐系中，AB=AC， A(0 ，2 2 ），C（1，0），D射AO上一点，一点P 从 A 出，运路径A→ D→ C，点 P 在 AD上的运速度是在CD上的 3 倍，要使整个程运最少，点 D 的坐 -------------------------------------------------（）A（.0，2）B.（，2） C.（0，2）D.（0，2）342例 2. （ 2016 徐州）如，在平面直角坐系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的像点A（ -1 ， 0）， B（ 0，- 3 ）、C（2，0），其中称与x交于点D。

（ 1）求二次函数的表达式及其点坐；（ 2）若P y 上的一个点，接PD，1 PBPD的最小。

2（ 3） M（ s，t ）抛物称上的一个点。

①若平面内存在点N，使得 A、 B、 M、N 点的四形菱形，的点②接 MA、 MB，若∠ AMB不小于 60°，求 t 的取范。

N 共有个；练习巩固：1. （ 2015 无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线 AC上有一动点P， BC=6,ABC=150° , 则 PA+PB+PD的最小值为。

2. （ 2015 内江）如图，在ACE 中，CA=CE，CAE=30°，⊙ O经过点（ 1）试说明CE是⊙ O的切线。

（ 2）若ACE 中AE边上的高为h, 试用含 h 的代数式表示⊙O的直径C，且圆的直径 AB;AB在线段AE 上。

中考能力提升专题3——“胡不归”模型

中考能力提升专题3——“胡不归”模型一、模型引出【问题提出】如图①，已知点A （6，23），点P 在x 轴的正半轴上，点Q 点从点A 出发沿A -P -O 的路线向原点运动，已知它在第一象限内的速度为每秒1个单位长度，在x 轴上的速度为每秒2个单位长度。

当P 在何处时，点Q 运动到原点所花的时间最短？【问题分析】根据题意可得，时间t ＝2OP AP +，问题转化为：在x 轴上确定一点P ，使得2OPAP +的值最小．【问题解决】如图，过原点O 做射线OB ，使得∠BOP ＝30°. （1）过点P 作PB ⊥OB ，垂足为B ，试说明：2OPAP +=AP +BP ；（2）请在图①中画t 最小时对应的点P 的位置（记为p ＇），并求t 的最小值．【模型运用】（3）如图②有一条河流，河宽AB =30米，有人在离B 点60米处的C 点发现河对岸A 点处有一小孩掉入水中，这个人马上就去营救，已知这个人在河岸上的跑步速度为6米/秒，在河水中游泳的速度为2米/秒，此人最快能在几秒内赶到？图②图①xyOABP二、模型概括n nPA PB m m +第一步：将所求线段和改写为的形式（<1）;sin ;nPB PA mαα=在的一侧，的异侧，构造一个角度，使得第二步： A 过作第二步所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长即为所求第三步：最小值；第四步：计算.三、模型应用1.(2018台州仙居县一模）如图1，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°,边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则PC BP +21的最小值是（） A.3 B.233 C. 3 D.23433+图1图2 图32.（2015无锡二模）如图2，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6, ∠ABC=150°,则求PA+PB+PD 的最小值为。

运动路径为A →D →C,点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D 的坐标应为( )4.在∆ABC 中，BC=2,∠B=300，求2AC+AB 的最小值。

中考数学专题复习之二——胡不归问题

中考数学专题复习之二——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒。

当他得知老父亲病危的消息后，便立即启程赶回家。

他只考虑了两点之间线段最短的原理，选择了直线路径A→B（XXX所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况。

当他气喘吁吁地赶到家时，老人已经去世了。

邻居告诉他，老人在弥留之际不断念叨着“胡不归？XXX不归？…”。

这个古老的传说引起了人们的思索，小伙子是否能提前到家？如果可以，他应该选择哪条路线？这就是风靡千百年的“XXX不归问题”。

例1.（2012崇安模拟）如图，平面直角坐标系中，$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$A(0,22)$，$C(1,0)$，$D$为射线$AO$上一点。

一动点$P$从$A$出发，运动路径为$A→D→C$，点$P$在$AD$上的运动速度是在$CD$上的3倍。

为使整个过程运动时间最少，则点$D$的坐标应为（。

2）（。

）（。

）$A$、$B$、$C$、$D$。

例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$A(-1,2)$，$B(0,-3)$，$C(2,4)$，其中对称轴与$x$轴交于点$D$。

1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；2）若$P$为$y$轴上的一个动点，连接$PD$，则$PB+PD$的最小值为（）。

3）$M(s,t)$为抛物线对称轴上的一个动点。

①若平面内存在点$N$，使得$A$、$B$、$M$、$N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点$N$共有（）个；②连接$MA$、$MB$，若$\angle AMB$不小于$60^\circ$，求$t$的取值范围。

练巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$上有一动点$P$，$BC=6$，$\angle ABC=150^\circ$，则$PA+PB+PD$的最小值为（）。

2.（2019长沙中考）在$\triangle ABC$中，$AB=AC=10$，$\tan A=2$，$BE\perp AC$于点$E$，$D$是线段$BE$上的一个动点，则$CD+5$的最小值为（）。

2020年中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析

2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析一．试题（共8小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD 的最小值为．4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE 上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D，与y 轴交于点E，且DE：BE＝2：3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP 以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB 的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．（1）a＝，c＝；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q 从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析参考答案与试题解析一．试题（共8小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．【解答】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD＝2﹣y，CD＝＝，∴设t＝+，等式变形为：t+y﹣＝，则t的最小值时考虑y的取值即可，∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2＝y2+1，∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1＝0，△＝（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，∴t的最小值为，∴y＝，∴点D的坐标为（0，），故选D．解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有5个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．故答案为．（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB＝＝，∴OE＝OB﹣EB＝，∵F（，t），EF2＝EB2，∴（）2+（t+）2＝（）2，解得t＝或，故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD 的最小值为6．【分析】将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，求出BD′，证明P A＝PE，PD＝ED′，根据两点之间线段最短得到答案．【解答】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，∵∠BAD＝30°，∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′，∴BD′＝＝6，∠ABP＝45°，又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠P AE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴P A＝PE，又∵△APD≌△AED′，∴PD＝ED′，根据两点之间线段最短，∴AP+BP+PD的最小值＝PB+PE+ED′＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是菱形的性质、轴对称变换和两点之间线段最短的知识，正确找出辅助线是解题的关键，注意轴对称变换的性质的正确运用．4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE 上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【分析】（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE＝90°即可；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF 是菱形，根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH＝DC，从而有CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）连接OC，如图1，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝OC，∴OC＝＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接P A，过点P作PQ⊥P A交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【分析】（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y＝x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形ABC是直角三角形，从而得到∠ACB＝90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y 轴右侧可得x＞0，则PG＝x，易得∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①当∠P AQ＝∠CAB时，△P AQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG＝3PG＝3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠P AQ＝∠CBA时，△P AQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE＝EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，从而可得∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N 是矩形，从而有ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．【解答】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．∵PQ⊥P A，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠P AQ＝∠CAB时，则△P AQ∽△CAB．∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠P AQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝．∴AG＝3PG＝3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，整理得：x2+x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．②如图2②，当∠P AQ＝∠CBA时，则△P AQ∽△CBA．同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，整理得：x2﹣x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠P AQ＝∠CAB时，则△P AQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠P AQ＝∠CBA时，则△P AQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，∴，∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，∴或，设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），①，∴||＝，∴2t1＝，2t2＝，②，∴||＝3∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴点E的坐标为（2，1）．方法二：作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），∵DM⊥AC，∴K DM×K AC＝﹣1，∴﹣1×，∴m＝，∴M（，），∵M为DD′的中点，∴D′（3，1），∵E Y＝D′Y＝1，∴E（2，1）．方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠F AE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D，与y 轴交于点E，且DE：BE＝2：3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP 以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB 的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．【分析】（1）求出A（﹣1，0），B（3，0）、E（0，），由△BOE∽△BND即可求解；（2）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P即为所求，即可求解；（3）分点A'落在BE边所在直线上、点A'落在CE边所在直线上、A'落在BC边所在直线上时，三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，∵a＞0∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将B坐标代入y＝，解得：b＝，∴，∴E（0，）△BOE∽△BND，∴，∵∴，∴BN＝5，DN＝，∴D（﹣2，），将点D代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，解得a＝，∴；（2）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P即为所求，∵直线BD的解析式为，∴∠PBA＝∠PDG＝30°，∵AB＝4，∴AP＝，∴点P的坐标为（﹣1，）；（3）当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时，AB＝4，AC＝2，BC＝2，OC＝OE＝，∴∠ACB＝90°，∠ABC＝∠EBO＝30°①点A'落在BE边所在直线上时，BC＝BC′＝2，则点C′（3﹣2，0）；②点A'落在CE边所在直线上时，过点C′作y轴的平行线分别交过点A′与y轴的垂线、x轴于点F、H，设点C′（m，n），∵△C′F A′∽△BHC′，，其中，C′F＝＝，BH＝3﹣m，C′A′＝2，BC，F A′＝﹣m，HC′＝n，＝＝，解得：m＝，n＝，点C′（，）；③点A'落在BC边所在直线上时，同理可得点C′（3+，3）；故点C′（3﹣2，0）或（，）或（3+，3）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等知识，其中（3）要考虑全面情况，避免遗漏，本题难度较大．7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．（1）a＝1，c＝﹣3；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可即可；（2）如图1中，作PH⊥BC于H．由DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′；（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．由S△EBC＝•BC•EG＝•3＝3，推出过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则＝3，＝3，求出直线M1M2的解析式，利用方程组即可解决问题，同法求出M3，M4的坐标．【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c得到，，解得．故答案为1，﹣3．（2）如图1中，作PH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，在Rt△PCH中，PH＝PC．∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，∴DH′＝BD＝2，∴DP+PC的最小值为•2＝4．（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．∵S△EBC＝•BC•EG＝•3＝3，∴过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则＝3，＝3，∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线M1M2的解析式为y＝x﹣1，由解得或，∴M1（，），M2（，），根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，易知直线M3M4的解析式为y＝x﹣5，由解得或，∴M3（1．﹣4），M4（2，﹣3），综上所述，满足条件的点M的坐标为∴M1（，），M2（，），M3（1．﹣4），M4（2，﹣3）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、垂线段最短、平行线的性质、轴对称、一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y 轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q 从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；（2）待定系数法得到直线AC的解析式为y＝x+3，根据已知条件得到①CP⊥AC，得到直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，根据已知条件得到②AP⊥AC，得到直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解方程组即可得到结论；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t＝BE+EF时，t最小即可．【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P（，﹣），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．。

2023年中考数学几何模型之胡不归模型(讲+练)(解析版)

专题14动点最值之胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？2驿道看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A 在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG ⊥AE 于点G，则，将转化为DG ＋DB ，再过点B 作BH ⊥AE 于点H 此时DG ＋DB 的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为解决思路：构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC，CH =kAC ．M M将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例题1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D是线段BE 上的一个动点，则CD的最小值是_______．ABCDE【解析】∵tan A=2，∴△ABE 三边之比为1:2，∴sin ，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH ．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE ．例2.如图，△ABC 在直角坐标系中，AB ＝AC，C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D 的坐标应为（）A．（0，）B．（0，C．（0，）D．（0）【答案】D【解析】假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间，要使t最小，就要＋CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以，所以，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要最小，就是要DH＋BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以，所以，所以点D的坐标应为例3.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan ∠EBA＝A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【答案】【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA，设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，∴AD＋DH的最小值为AQ的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx＋b，把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，∴直线BE的解析式为，解方程组得或，则E点坐标为，∴∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝（s），即蚂蚁从A到E的最短时间为．【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则2PB PD的最小值等于________．A BCDP【解析】已知∠A =60°，且sin60°=2，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得2PH PD，∴2PB PD =PB +PH ．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．【变式训练2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE上的一个动点，则的最小值是.【解析】如图，作DH ⊥AB 于H ，CM ⊥AB 于M ．∵BE ⊥AC ，∴∠AEB ＝90°，设AE ＝a ，BE ＝2a ，则有：100＝a 2＋4a 2，∴a 2＝20，，∵AB ＝AC ，BE ⊥AC ，CM ⊥AB，∵∠DBH ＝∠ABE ，∠BHD ＝∠BEA ，∴∴CD ＋DH≥CM，.【变式训练3】如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD上的一动点，则的最小值等于________．过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP＝∠DAB＝60°，∴当点B、P、Q三点共线时，有最小值，的最小值为.课后训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC ＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°，∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°，∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动，∴当点G运动到OQ上时，GH 取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为故选：C．2.如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，在Rt△OBM中，∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，故选：B．3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则＋PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【解答】（1）（2）；【解析】（1）由题意解得，∴抛物线解析式为，∵（2）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB＋PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝，∴＋PD＝PH＋PD＝DH PB＋PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴＋PD的最小值为；4.如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE 上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【答案】（1）见解析；（2）（3）AB＝【解析】（1）连接OC，如图，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝，∴OC＝，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴＋OD＝DH＋FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝．∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．5.如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A 出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【答案】（1）（2或；（3）当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1）抛物线y（x＋2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线经过点B（4，0），∴4＋b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：当x＝﹣5时，y＝，∴D（﹣5）．∵点D（﹣5）在抛物线y＝（x＋2）（x﹣4）上，∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝，∴．∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．即．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），得x＋2）（x﹣4）＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，∴P（x，＋），代入抛物线解析式y（x＋2）（x﹣4），得（x＋2）（x﹣4x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，，∴，解得，∵k＞0，∴，综上所述，或．（3）作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，点M，∵lBD：∴F X＝A X＝﹣2，∴F（﹣2）．。

中考复习之——胡不归问题

中考复习之——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

例1.（2012崇安模拟），如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，AB=AC ，A(0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为-------------------------------------------------（）A.），（20B. ），（220C. ），（320D. ），（420例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为。

（3）M （s ，t ）为抛物线对称轴上的一个动点。

① 若平面内存在点N ，使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个； ② 连接MA 、MB ，若∠AMB 不小于60°，求t 的取值范围。

A D BC沙砾地带练习巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则PA+PB+PD 的最小值为。

专题最值模型之胡不归模型(老师版)

专题27最值模型之胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。

本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V +的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）1）121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值.2）构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CHk AC=，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3）过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．（若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。

∠和点2【答案】23【分析】过点P 作PQ AB ⊥于点30BAF ∠=︒，然后利用含30︒的直角三角的性质得出共线，且与AB 垂直时，12CP AP +由题意知：AF 平分BAC ∠，∵∠∴1302BAF BAC ∠=∠=︒，∴PQ ∴当C 、P 、Q 三点共线，且与AB ∵90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，AC交于点（1）OBC ∠=【答案】30【分析】（1）由矩形的性质得到在Rt BPE △中，由（在矩形ABCD 中，AC 在Rt CMF △中，MCF ∠平分线，【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为的外接圆，其半径为的最小值为【答案】6【分析】过点P 作PD ⊥质得到4OA OB ==，CF 然后利用12CP BP CP +=∵ABC 是等边三角形，∵O 是等边三角形ABC ∴30OBA OAB ∠=∠=︒∵BE AC ⊥∴12OE OA =【答案】32【分析】过P 作PH BC ⊥PQ PH +的最小值为QH '【详解】解：连接BC ，过令0y =，即2340x x +-=4OB OC ==，BOC ∠=22PQ PC PQ PH ∴+=+，根据垂线段最短可知，426BQ OB OQ =+=+=，【答案】62【分析】过点C 作CD AB ⊥在以【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含的关键是添加辅助线，将最值转化为例8．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线上一动点，点H 是直线y 小值时，35BH DH +的最小值是【答案】392【分析】作出点()32C -，，作CD 角形求得110F ⎛⎫⎪，，利用待定系数法求得直线)则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan ∠∴PF OB PC OA =，即226PF =，∴23，则1103F ⎛⎫⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为则32110k b k b +=-⎧⎪⎨+=，解得311k b =⎧⎨=-311y x =-，解得xD，MG课后专项训练1．（2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为，P为OB上一动点，则AP的最小值为()A ．4B ．5C ．5D ．35解：如图，过点A 作AH OC ⊥于点H ，过点P 作PF OC ⊥于点F ，连接AC 交OB 于点J ．四边形OABC 是菱形，AC OB ∴⊥，25OJ JB ∴==，22225(25)5CJ OC OJ =--，25AC CJ ∴==，AH OC ⊥，12OC AH OB AC ∴⋅=⋅⋅，155425AH ∴=⨯=，5sin 5PF CJ POF OP OC ∴∠===，55PF ∴=，55AP AP PF ∴+=+，AP PF AH + ，54AP ∴+，5AP ∴+的最小值为4，故选：A ．2．（2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,2)，点C 的坐标是(0,2)-，点(,0)B x 是x轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持ABP 是等边三角形（点P 不在第二象限），连接PC ，求得12AP PC +的最小值为（）A ．43B ．4C ．23D ．2【答案】C作AD当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为y kx b=+，∴312k bb⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，∴32kb⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴直线PD的解析式为32y x=-；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD 交点为H，∴点H的坐标为2303⎛⎫⎪⎝⎭，，∴3tan3OHOCHOC∠==，∴∠OCH=30°，∴12PF PC=，由轴对称的性质可知∴12AP PC GP PF+=+，有最小值，∵点A 的坐标为（0，2），点D 的坐标为()31，，∴AG =2AD =2OA =4，∵AC =4，∠CAG =60°，∴△ACG 是等边三角形，∵OC =OA ，∴OG ⊥AC ，即点G 在x 轴上，∴由勾股定理得224223OG =-=224223OG =-=，∴当点P 运动到H 点时，GP PF +有最小值，即12AP PC +有最小值，最小值即为OG 的长，∴12AP PC +的最小值为23，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P 的运动轨迹是解题的关键．3．（2023.重庆九年级期中）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，60B ∠=︒，2AB =，若D 是BC 边上一动点，则12AD DC +的最小值为()A ．36+B ．6C 33+D ．3解：过点C 作射线CE ，使30BCE ∠=︒，再过动点D 作DF CE ⊥，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt DFC ∆中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，12AD DC AD DF +=+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF CE ⊥时，AD DF +的值最小，最小值等于垂线段AF 的长，此时，60B ADB ∠=∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，2AD BD AB ∴===，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，60B ∠=︒，2AB =，4BC ∴=，2DC ∴=，112DF DC ∴==，213AF AD DF ∴=+=+=，12AD DC ∴+的最小值为3，故选：D ．4．（2022·河北·九年级期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝15°，AB ＝2，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，则AP +PB 的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：如图，在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝．∴AP+PB的最小值是．故选：B．5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+12FB的最小值是（）A．31-B．31+C．3312-D．3312+【答案】C【分析】由12FB联想到给FB构造含30°角的直角三角形，故把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，故GF+12FB＝GF+FH，易得当G、F、H成一直线时，GF+12FB最短．又由于点G为动点，易证点G在以AC为直径的圆上，求点G到PB的最短距离即当点G在点O到BP的垂线段上时，GQ的长度．【详解】延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作【答案】229【分析】作Rt CEF ADC ∽，连接282,CF AC EF DC ===，因此Rt Rt CEF ADC ∽，且CE 282,CF AC EF DC ∴===，∴BE EF BF +≥，∴当B 、E 、90FCA ∠=︒，90ACG ∴∠=︒4BG AC ∴==，2GC AB ==，222410BF BG FG ∴=+=+【答案】2333m +【分析】过点E 作EF 利用SAS 证明BAD ≌EF =33CE ，AE +，再运用解直角三角形即可求得答案．于30BAC EAD∠=∠=B ACB BAC∠+∠+∠30ACE ACB∴∠+∠+在Rt CEF中，CF=∴33AE CE AE+=+【答案】33【分析】过点F 作FG CD ⊥sin 6043AD BD =⋅︒=，进而得出∵四边形ABCD 为矩形，∴∴60ABO ∠=︒，AO BO ==∵FG CD ⊥，∴sin FG DF =⋅当点E 、F 、G 在同一条直线上时，∵点E 是AO 的中点，∴AE ∵FG CD ⊥，∴EG AD ∥，∴综上：32EF DF +的最小值为5【答案】125/2.4【分析】作A H AB '⊥于H ，作ML ⊥长，再利用AA H ACB '∠=∠，得ML A M '进而解决问题．10．（2023·新疆·九年级期中）如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，半径为5的⊙O 经过点C ，CE 是圆O的切线，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），则OD 12+CD 的最小值为_____．【答案】53 2【分析】作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=12DC，从而有12CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即12CD+OD）最小，后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．【详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，则∠AOF=∠COF=12∠AOC=12（180°-60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，则DH=12DC，∴12CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得，当F、D、H三点共线时，DH+FD（即12CD+OD）最小，∵OF=OA=5，∴1522OH OF==，∴22532FH OF OH=-=即12CD+OD的最小值为532．故答案为：532．【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把12CD+OD转化为DH+FD是解题的关键．11．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x2＋PB的最小值为___．【答案】4【详解】思路引领：过P 作PD ⊥AB 于D ，依据△AOB 是等腰直角三角形，可得∠BAO ＝∠ABO ＝45°＝∠BPD ，进而得到△BDP 是等腰直角三角形，故PD 22=PB ，当C ，P ，D 在同一直线上时，CD ⊥AB ，PC +PD 的最小值等于垂线段CD 的长，求得CD 的长，即可得出结论．答案详解：如图所示，过P 作PD ⊥AB 于D ，∵直线y ＝x ﹣3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，令x ＝0，则y ＝﹣3；令y ＝0，则x ＝3，∴A （0，﹣3），B （3，0），∴AO ＝BO ＝3，又∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO ＝∠ABO ＝45°＝∠BPD ，∴△BDP 是等腰直角三角形，∴PD 22=PB ，∴2PC +PB 2=（PC 22+PB ）2=（PC +PD ），当C ，P ，D 在同一直线上，即CD ⊥AB 时，PC +PD 的值最小，最小值等于垂线段CD 的长，此时，△ACD 是等腰直角三角形，又∵点C （0，1）在y 轴上，∴AC ＝1+3＝4，∴CD 22=AC ＝22，即PC +PD 的最小值为22，∴2PC +PB 的最小值为222⨯=4，故答案为：4．12．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点M 是对角线AC 上的动点，连接DM ，则12DM AM +的最小值为______．【答案】32AM'【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键．13．（2023·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如图，已知菱形++∠ABC=120°，则(PA PB【答案】33【分析】过点P作PQ⊥AD【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.15．（2023·成都市·九年级课时练习）点对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为MN．思考探索(1)如图2，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B′落在MN上，折痕为EC．①点B'在以点E为圆心，的长为半径的圆上；②B'M=______；拓展延伸(2)当AB=3AE时，正方形ABCD沿过点E的直线l（不过点B）折叠后，点B的对应点B'落在正方形ABCD 内部或边上，连接AB'．①△ABB'面积的最大值为______；②点P为AE的中点，点Q在AB'上，连接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．的长为半径的圆上，(1)求反比例函数解析式；的面积；轴上，已知点（2）解：∵(63,4A ()23,0，∴30ABD ∠=∵将直线AB 顺时针旋转60︒得到直线AD ，∴60120BAD ∠︒-︒=︒，3,0=当BN 为对角线时，如图，63230340n =+-=+，解得m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩综上，N 点坐标为()0,5-，或()0,6-．【点睛】本题考查平行线分线段定理、用待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质、旋转的性质及平移的性质、中点坐标公式，熟练掌握相关的性质是解题的关键．17．（2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线22y x mx n =++与直线32y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan BAC ∠的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？解：（Ⅰ）把(0,3)A ，(3,0)C 代入212y x mx n =++，得31902n mx n =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得：523m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为215322y x x =-+联立213215322y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为(4,1)．如图1．(3,0)C ，(4,1)B ，(0,3)A ，220AB ∴=，22BC =，218AC =，222BC AC AB ∴+=，ABC ∴∆是直角三角形，90ACB ∴∠=︒，21tan 332BC BAC AC ∴∠===；（Ⅱ）方法一：（1）存在点P ，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似．过点P 作PG y ⊥轴于G ，则90PGA ∠=︒．设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得0x >，则PG x =．PQ PA ⊥，90ACB ∠=︒，90APQ ACB ∴∠=∠=︒．若点G 在点A 的下方，①如图2①，当PAQ CAB ∠=∠时，则PAQ CAB ∆∆∽．90PGA ACB ∠=∠=︒，PAQ CAB ∠=∠，PGA BCA ∴∆∆∽，∴13PG BC AG AC ==．33AG PG x ∴==．则(,33)P x x -．把(,33)P x x -代入215322y x x =-+，得21533322x x x -+=-，整理得：20x x +=解得：10x =（舍去），21x =-（舍去）．②如图2②，当PAQ CBA ∠=∠时，则PAQ CBA ∆∆∽．同理可得：1133AG PG x ==，则1(,3)3P x x -，把1(,3)3P x x -代入215322y x x =-+，得215133223x x x -+=-，整理得：21303x x -=解得：10x =（舍去），2133x =，13(3P ∴，149；若点G 在点A 的上方，①当PAQ CAB ∠=∠时，则PAQ CAB ∆∆∽，同理可得：点P 的坐标为(11,36)．②当PAQ CBA ∠=∠时，则PAQ CBA ∆∆∽．同理可得：点P 的坐标为17(3P ，44)9．综上所述：满足条件的点P 的坐标为(11,36)、13(3，149、17(3，44)9；方法二：作APQ ∆的“外接矩形”AQGH ，易证AHP QGP ∆∆∽，∴AP HP PQ QG =，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似，∴13AP HP BC PQ QG AC ===或3AP HP AC PQ QG BC===，设2(2,253)P t t t -+，(0,3)A ，(2,3)H t ，①13HP QG =，232531||23t t t --+∴=，11323t ∴=，21723t =，②3HP QG=，23253||32t t t --+∴=1211t ∴=，221t =-，（舍)，∴满足题意的点P 的坐标为(11,36)、13(3，149、17(3，44)9；（2）方法一：过点E 作EN y ⊥轴于N ，如图3．在Rt ANE ∆中，sin 452EN AE AE =⋅︒=，即AE =，∴点M 在整个运动中所用的时间为1DE DE EN =+．作点D 关于AC 的对称点D '，连接D E '，则有D E DE '=，D C DC '=，45D CA DCA ∠'=∠=︒，90D CD ∴∠'=︒，DE EN D E EN +='+．根据两点之间线段最短可得：当D '、E 、N 三点共线时，DE EN D E EN +='+最小．此时，90D CD D NO NOC ∠'=∠'=∠=︒，∴四边形OCD N '是矩形，3ND OC ∴'==，ON D C DC ='=．对于215322y x x =-+，当0y =时，有2153022x x -+=，解得：12x =，23x =．(2,0)D ∴，2OD =，321ON DC OC OD ∴==-=-=，312NE AN AO ON ∴==-=-=，∴点E 的坐标为(2,1)．方法二：作点D 关于AC 的对称点D '，DD '交AC 于点M ，显然DE D E ='，作D N y '⊥轴，垂足为N ，交直线AC 于点E ，如图4，在Rt ANE ∆中，2sin 452EN AE AE =⋅︒=，即2AE EN =，∴当D '、E 、N 三点共线时，DE EN D E EN +='+最小，(0,3)A ，(3,0)C ，:3AC l y x ∴=-+，(,3)M m m ∴-+，(2,0)D ，DM AC ⊥，1DM AC K K ∴⨯=-，3112m m -+∴-⨯=--，52m ∴=，5(2M ∴，1)2，M 为DD '的中点，(3,1)D ∴'，1Y Y E D ='=，(2,1)E ∴．方法三：如图，5，过A 作射线//AF x 轴，过D 作射线//DF y 轴，DF 与AC 交于点E ．(0,3)A ，(3,0)C ，:3AC l y x ∴=-+．OA OC =，90AOC ∠=︒，45ACO ∴∠=︒，//AF OC ，45FAE ∴∠=︒．sin 452EF AE ∴=⋅︒=．∴当且仅当AF DF ⊥时，DE EF +取得最小值，点M 在整个运动中用时最少为：12DE t DE EF =+=+，抛物线的解析式为215322y x x =-+，且(3,0)C ，∴可求得D 点坐标为(2,0)则E 点横坐标为2，将2x =代入:3AC l y x =-+，得1y =．所以(2,1)E ．18．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =120°，AB =6，连接BD ．(1)求BD 的长；(2)点E 为线段BD 上一动点（不与点B ，D 重合），点F 在边AD 上，且BE =3DF ，①当CE 丄AB 时，求四边形ABEF 的面积；②当四边形ABEF 的面积取得最小值时，CE +3CF 的值是否也最小？=19．（2020·四川乐山市·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(50)B ，两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连结BC ，且4tan 3CBD ∠=，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF PE ⊥交抛物线于点F ，连结FB 、FC ，求BCF ∆的面积的最大值；②连结PB ，求35PC PB +的最小值．【答案】（1）241620999y x x =-++；（2）①32；②245．【分析】（1）先函数图象与x 轴交点求出D 点坐标，再由4tan 3CBD ∠=求出C 点坐标，用待定系数法设交点式，将C 点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC 的解析式42033=-+y x ，设E 坐标为420,33t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则F 点坐标为241620999,t t t ⎛⎫⎪⎝-+⎭+，进而用t 表示出BCF ∆的面积，由二次函数性质即可求出最大值；②过点P 作PG AC ⊥于G ，由3sin 5PG PC ACD PC =⋅∠=可得35PC PB PG PB +=+，由此可知当BPH 三点共线时35PC PB +的值最小，即过点B 作BH AC ⊥于点H ，线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，根据面积法求高即可．【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：(1)(5)y a x x =+-，∵CD 是抛物线的对称轴，∴(20)D ，，又∵4tan 3CBD ∠=，∴tan 4CD BD CBD =⋅∠=，即(24)C ，，代入抛物线的解析式，得4(21)(25)a =+-，解得49a =-，∴二次函数的解析式为4(1)(5)9y x x =-+-或241620999y x x =-++；（2）①设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴0542.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得4320.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线BC 的解析式为42033=-+y x ，设E 坐标为420,33t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则F 点坐标为241620999,t t t ⎛⎫ ⎪⎝-+⎭+，∴22420341620428409999993EF t t t t t =-++-=-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭，∴BCF ∆的面积21142840322999S EF BD t t ⎛⎫=⨯⨯=-+- ⎪⎝⎭∴2273()322S t =--+，∴当72t =时，BCF ∆的面积最大，且最大值为32；②如图，连接AC ，根据图形的对称性可知ACD BCD ∠=∠，5AC BC ==，∴3sin 5AD ACD AC ∠==，过点P 作PG AC ⊥于G ，则在Rt PCG ∆中，3sin 5PG PC ACD PC =⋅∠=，∴35PC PB PG PB +=+，再过点B 作BH AC ⊥于点H ，则PG PH BH +≥，∴线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∵11641222ABC S AB CD ∆=⨯⨯=⨯⨯=，又∵1522ABC S AC BH BH ∆=⨯⨯=，∴5122BH =，即245BH =，∴35PC PB +的最小值为245．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C 点坐标，解（2）关键是由点E 、F 坐标表示线段EF 长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将35PC PB +的最小值转化为点B 到AC 的距离．。

胡不归问题专练及解析

2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析“胡不归问题”有关的的中考数学压轴题笔者浏览了近三年部分省市的中考数学压轴题。

发现有不少题目都是源于一个古老的数学问题————“胡不归”问题。

然而遗憾的是，知道这一古老问题的人却不是多数。

作为教师，大多是就题讲题。

因而也就谈不上归纳这类问题的解答方法。

不掌握这类问题的解答思路，真正遇到这类问题时，解答难度还是非常大的。

然而，只要掌握这类问题的解题“模式”。

解答起来也是非常轻松的。

那么，首先我们来了解什么是“胡不归”问题？有一则历史故事：说的是一个身在他乡的年轻人，得知其父病危的消息后，由于归乡心切，他选择了直线路程。

便日夜兼程赶路回家。

然而，当他气喘吁吁回到父亲面前时，老人刚刚咽气。

周围的人告诉他，在弥留之际，老人在不断的叨念：“胡不归？胡不归？.......”（意为：为什么还不回来？）。

这个古老的传说引起人们的思索，年轻人是否有可能提前归家，假若有，应该选择一条怎样的路线回家？这就是风靡上千年的“胡不归”问题。

早期的科学家曾为这一传说中的小伙子设想了一条路线：如下图：从A地到B地，年轻人选择了线段AB，路程较近。

行驶速度为v1,AM是一条驿道，行驶速度为v2，靠目的地的一侧全是沙土地。

v1＜v2.年轻人只考虑路程的远近，而忽略了，虽然路程近，但速度慢，如果选择先走一段驿道，再走沙土地，路程虽然远一些。

但在驿道上的行驶速度快。

如果路线选择恰当，是可以提前到达的。

接下来的关键是从驿道上的哪一点进入沙土地，用时最少？不妨假设从C处进入沙土地。

设总共用时为t,则t=BC/v1+AC/v2.=1/v1(BC+v1/v2AC).因为v1,v2是确定的，所以只要BC+v1/v2AC 最小，用时就最少。

要求BC+v1/v2AC的最小值。

我们应该作出一条以C为端点的线段，使其等于v1/v2AC。

并且与线段CB位于AM的两侧，然后，由两点之间线段最短。

不难找到最小值点。

2023年中考数学备考专题练习-胡不归模型

2023年九年级中考数学胡不归模型专题练习一．选择题（共19小题）1．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（）A．5B．10C．5D．102．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A．B．C．D．83．如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B 为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（）A．B．5C．3D．54．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上一动点，则AD+DC 的最小值为（）5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值（）A．2+6B．6C．+3D．46．△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（）A．4B．+3C．6D．2+37．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（）A．4B．5C．2D．38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP的最小值为（）9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+PC 的最小值是（）A．6B．2+C．2+3D．310．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（）A．B．C．10D．11．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，AE＝2，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．B．C．10D．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD+PC 的最小值是（）A．4B．2+2C．2D．13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC 的最小值是（）A．2+6B．6C．+3D．414．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则的最小值是（）A．3B．C．6D．15．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD 的最小值等于（）A．B．3C．3D．2+216．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．1017．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A．B．C．D．218．如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝，P为边AD上任意一点，连接PB，则PB+PD 的最小值为（）A．+B．2C．D．19．已知：A（﹣1，0），C（0，）在y轴上选一点P，使AP+PC最短，则P点坐标为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二．填空题（共39小题）20．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠A＝30°，点D为AC边上一动点，则AD+DB 的最小值．21．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD 的最小值等于．22．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是．23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．24．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为．25．如图，已知菱形ABCD的周长为9，面积为，点E为对角线AC上动点，则AE+BE 的最小值为．26．如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当最小时BE＝．27．如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线y＝x在第一象限内的一个动点．（1）∠MOP＝．（2）当MP+OP的值最小时，点P的坐标是．28．如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A 出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为．29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C 点的坐标是，的最小值是．30．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点A（﹣3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为．31．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合．连接DE，请你探究：＝；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为．32．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，点P为BD上动点，连接AP，则AP+BP的最小值为．33．如图，等边△ABC中，AB＝10，点E为AC中点，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD 的最小值是．34．如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，P是AD上一动点，连接BP，则BP+AP的最小值是．35．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是对角线AC上的一个动点，若以点A为原点建立直角坐标系，AB所在直线为x轴，点B（2，0），当BP+取最小值时，在下列结论中：①CP＝2AP；②△APD是等腰三角形；③点P的坐标是（1，）；④直线BP的解析式是y＝﹣x+．其中正确的是（填写所有正确结论的序号）．36．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D 是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为．37．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则BP+PC 最小值是．38．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，E为BC边的中点，M为对角线BD 上的一个动点，则线段AM+BM的最小值为．39．如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则AP+PD的最小值为．40．如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AC＝3，D为AB的中点，E为线段AC上任意一点（不与端点重合），当E点在线段AC上运动时，则DE+CE的最小41．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，点P是对角线AC上的一个动点．则PB+P A的最小值等于．42．在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，P是AB边上一动点，则PC+AP的最小值为．43．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则的最小值是．44．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．45．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为．46．如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为．47．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4）．点C的坐标为（﹣1，0），若P为线段OA上一动点．则CP+AP最小值是．48．如图，△ABC中，AB＝BC＝10，tan C＝3，BD⊥AC，E是线段BD上一动点，则AE+BE 的最小值为．49．如图，在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝50，tan A＝3，BD为高．M，N分别是BD，CD上的动点，若DN﹣AD＝2DM，E是AB的中点，连接EM，MN，则EM+MN的最小值为．50．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．51．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：（1）AE＝；（2）CD+BD的最小值是．52．如图，四边形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝45°，E是BD上一点，若∠ABD＝15°，则AE+BE的最小值为．53．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为．54．如图，矩形ABCD中，BC＝，CD＝1，点E是AC上一动点，则BE+CE的最小值为．55．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B为（0，1），若C为线段OA上一动点，则BC+AC的最小值是．56．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，P为AC上一动点，AB＝10，则2BP+AP 的最小值为．57．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于．58．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC＝，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE+CE 的最小值为．三．解答题（共2小题）59．直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是．60．∠AOB＝30°，OM＝2，D OB上动点，求MD+OD的最小值．2023年九年级中考数学胡不归模型练习参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（）A．5B．10C．5D．10【分析】BP+AP＝（BP+AP），求BP+AP的最小值属“胡不归”问题，以A为顶点，AC为一边在下方作45°角即可得答案．【解答】解：以A为顶点，AC为一边在下方作∠CAM＝45°，过P作PF⊥AM于F，过B 作BD⊥AM于D，交AC于E，如图：BP+AP＝（BP+AP），要使BP+AP最小，只需BP+AP最小，∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，∴△AFP是等腰直角三角形，∴FP＝AP，∴BP+AP最小即是BP+FP最小，此时P与E重合，F与D重合，即BP+AP最小值是线段BD的长度，∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∴sin∠BEC＝sin45°＝，tan∠BEC＝，又BC＝4，∴BE＝4，CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝2，而sin∠CAM＝sin45°＝，∴DE＝，∴BD＝BE+DE＝5，∴BP+AP的最小值是BD＝10，故选：B．【点评】本题考查线段和的最小值，解题的关键是做45°角，将求BP+AP的最小值转化为求垂线段的长．2．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A．B．C．D．8【分析】以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP，过B作BE⊥AD于E，由sin∠PAD＝＝得AP+PB＝DP+PB≥BE，再由∠BAC＝15°求出BE即可．【解答】解：如图，以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP，过B作BE⊥AD于E，∴sin∠PAD＝＝，∴DP＝AP，∴AP+PB＝DP+PB≥BE，∵∠BAC＝15°，∴∠BAD＝60°，∴BE＝ABsin60°＝5，∴AP+PB的最小值为5．故选：B．【点评】本题主要考查了胡不归问题，以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP将AP+PB 转化成DP+PB是本题的关键．3．如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B 为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（）A．B．5C．3D．5【分析】在x轴上取点D（﹣3，0），连接AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，由tan∠DAO＝得EB＝AB，从而AB+BC＝EB+BC≥CF，求出CF即可．【解答】解：如图，在x轴上取点D（﹣3，0），连接AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，∵tan∠DAO＝＝＝，∴∠DAO＝30°，∠ADO＝60°，∴EB＝AB，∴AB+BC＝EB+BC≥CF，∵CD＝OD+OC＝3＝5，∴CF＝CDsin60°＝，∴AB+BC的最小值为．故选：A．【点评】本题主要考查了胡不归问题，通过取D（﹣3，0）将AB+BC转化为EB+BC是本题的关键．4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上一动点，则AD+DC 的最小值为（）A．2+6B．6C．+3D．3【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF＝DC，AD+DC＝AD+DF，当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF＝DC，∵AD+DC＝AD+DF，∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DF＝DC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴AD+DC的最小值为3，故选：D．【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线，5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值（）A．2+6B．6C．+3D．4【分析】2BC+AC＝2（BC+AC），先得到∠BAO＝30°，作B点的对称点E，作CD⊥AE，所以CD＝，可得BC+AC＝BC+CD，可得当B、C、D共线时，BC+AC最小，进而可求得．【解答】解：如图，∵B（0，），A（3，0），∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝2，在BO的延长线上取OE＝OB＝，∴∠OAE＝∠BAO＝30°，作CD⊥AE于D，∴CD＝AC，∴BC+AC＝BC+CD，∴当B、C、D在同一条直线上时，BC+AC最小，过B点作BH⊥AE于H，在Rt△ABH中，∠BAH＝2∠BAO＝60°，∴BH＝AB•sin60°＝2×＝3，∴BC+AC最小值是3，∴2BC+AC＝2（BC+AC）最小值是6，故选：B．【点评】本题考查了“胡不归”问题，即PA+k•PB形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出“k”或．6．△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（）A．4B．+3C．6D．2+3【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF＝DC，2AD+DC＝2（AD+DC）＝2（AD+DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF＝DC，∵2AD+DC＝2（AD+DC）＝2（AD+DF），∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DF＝DC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴2（AD+DF）＝2AF＝6，∴2AD+DC的最小值为6，故选：C．【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．7．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则AP+OP的最小值为（）A．4B．5C．2D．3【分析】如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．利用面积法求出AH，再证明PF＝OP，利用垂线段最短，可得结论．【解答】解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ＝JB＝2，CJ＝＝＝，∴AC＝2CJ＝2，∵AH⊥OC，∴OC•AH＝•OB•AC，∴AH＝×＝4，∴sin∠POF＝＝＝，∴PF＝OP，∴AP+OP＝AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴AP+OP≥4，∴AP+OP的最小值为4，故选：A．【点评】本题考查胡不归问题，菱形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+CP的最小值为（）A．1B．C．D．2【分析】过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的性质得出PF＝CP，再由AP+CP＝AP+PF≥AE，结合勾股定理求出AE即可．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴△BCD为正三角形，∴∠DCE＝30°，∴PF＝CP，∴AP+CP＝AP+PF≥AE，∵∠CAB＝30°，AC＝2，∴CE＝AC＝1，∴AE＝＝，∴AP+CP的最小值为．故选：C．【点评】本题主要考查了含3030°所对的直角边等于斜边一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决此题的关键是作出垂线CE和PF，将CP转化为PF．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+PC 的最小值是（）A．6B．2+C．2+3D．3【分析】过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC．再由PH＝PC得PQ+PC＝PQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，求出QH'即可．【解答】解：连接BC，过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC，令y＝0，即x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或1，∴A（1，0），C（﹣4，0），∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，∴PH＝PCsin45°＝PC．∴PQ+PC＝PQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，∵BQ＝OB+OQ＝4+2＝6，∠QBH′＝45°，∴QH′＝sin45°•BQ＝3，∴PQ+PC的最小值为3．故选：D．【点评】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求PQ+PC的最小值转化为求PQ+PH的最小值．属于中考选择题中的压轴题．10．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（）A．B．C．10D．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE＝．继而证明当C、P、E三点共线且CE AB，BP+PC＝PE+PC的值最小为CE．由等腰三角形腰上的高相等，解出BD 的长，即为CE的长．【解答】解：∵∠A＝45°，BD⊥AC，∴∠ABD＝45°．过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE＝．∴．当C、P、E三点共线，且CE AB时，BP+PC＝PE+PC的值最小为CE．∵△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，由等腰三角形腰上的高相等，∴BD＝CE，在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝CE．故BP+PC＝PE+PC＝CE＝．故选：B．【点评】本题考查垂线段最短（此题也是胡不归模型），涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，属于常考内容，掌握BP+PC转化为PE+PC是解题关键．11．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，AE＝2，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．B．C．10D．【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，利用勾股定理构建方程求出BE，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴BE＝＝＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠BHD＝∠BEA＝90°，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD+PC 的最小值是（）A．4B．2+2C．2D．【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．【解答】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），C（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD•sin45°＝2，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJ＝PC，∴PD+PC＝（PD+PC）＝（DP+PJ），∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥2，∴DP+PJ的最小值为2，∴PD+PC的最小值为4．故选：A．【点评】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．属于中考选择题中的压轴题．13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC 的最小值是（）A．2+6B．6C．+3D．4【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF＝DC，2AD+DC＝2（AD+DC）＝2（AD+DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DF＝DC，∵2AD+DC＝2（AD+DC）＝2（AD+DF），∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DF＝DC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴2（AD+DF）＝2AF＝6，∴2AD+DC的最小值为6，故选：B．【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．14．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则的最小值是（）A．3B．C．6D．【分析】如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，先解直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH＝，进而可得CD+＝CD+DH，从而可得CD+的最小值．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3，∴CF＝AFtan60°＝，∵点E是AC的中点，∴∠DBH＝60°÷2＝30°，在Rt△BDH中，DH＝，∴CD+＝CD+DH≥，∴CD+的最小值为：．故答案为：B．将CD+转化成CD+DH．15．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD 的最小值等于（）A．B．3C．3D．2+2【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，有锐角三角函数可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝＝，∴EP＝PD∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝，∴BE＝3，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．16．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CD+BD＝CM＝4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．17．如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A．B．C．D．2【分析】可以在△ABC内作∠MBA＝30°，过点A作AD⊥BM于点E，交AC于点P，可得EP＝AP，当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长．【解答】解：如图，在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交于点P，∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cos30°＝．∴AP+PB的最小值是．故选：B．【点评】本题考查了胡不归问题，解决本题的关键是准确找到动点P．18．如图：在矩形ABCD中，AB＝1．BC＝，P为边AD上任意一点，连接PB，则PB+PD 的最小值为（）A．+B．2C．D．【分析】连接BD，根据矩形ABCD中，AB＝DC＝1．BC＝，可得tan∠DBC＝＝得∠DBC＝30°，作∠DBN＝∠DBC＝30°，过点D作DM⊥BN于点M，BN交AD于点P，此时BP+PD＝BP+PM最小，最小值为BM的长．【解答】解：如图，连接BD，在矩形ABCD中，AB＝DC＝1．BC＝，∴tan∠DBC＝＝∴∠DBC＝30°作∠DBN＝∠DBC＝30°，过点D作DM⊥BN于点M，BN交AD于点P．∴∠MDB＝60°∵AD∥BC∴∠PDB＝∠DBC＝30°∴∠MDP＝30°∴PM＝PD此时BP+PD＝BP+PM最小，最小值为BM的长，∵∠MBD＝∠CBD∠BMD＝∠C＝90°BD＝BD∴△BMD≌△BCD（AAS）∴BM＝BC＝答：PB+PD的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确找到点P．19．已知：A（﹣1，0），C（0，）在y轴上选一点P，使AP+PC最短，则P点坐标为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】如图，取一点D（1，0），连接CD，作AN⊥⊥CD于点N，PM⊥CD于点M，根据勾股定理可得CD＝2，再证明△CPM∽△CDO可得PM＝PC，当AP⊥CD垂足设为点P′（P′与P重合），AP+CP＝AP′+PM的值最小，最小值为AN的长，进而可求点P的坐标．【解答】解：如图，取一点D（1，0），连接CD，作AN⊥⊥CD于点N，PM⊥CD于点M，在Rt△COD中，∵OC＝，OD＝1∴CD＝＝2∵∠PCM＝∠DCO，∠CMP＝∠COD＝90°∴△CPM∽△CDO∴＝，即＝∴PM＝PC∴AP+PC＝AP+PM∴当AP⊥CD垂足设为点P′（P′与P重合），AP+CP＝AP′+PM的值最小，最小值为AN 的长．∵△APO∽△CDO，∴＝，即＝，∴OP＝所以使AP+PC最短时P点坐标为（0，）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是准确找到点P．二．填空题（共39小题）20．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠A＝30°，点D为AC边上一动点，则AD+DB 的最小值．【分析】作∠DAE＝30°，利用特殊角的三边关系，将AD的关系转换到DE，当DE与BD 共线时，有最小值．【解答】解：作∠DAE＝30°，DE⊥AE在Rt△AED中，ED＝∴＝ED+BD则由图可知，当BF⊥AE时，BF长即为的最小值在Rt△ABF中，∠FAB＝60°AF＝2BF＝故答案为【点评】本题考查了线段和差极值问题，需要构造特殊角，利用比例关系将线段进行转换是本题的关键．21．如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD 的最小值等于．【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EP＝PD，即PB+PD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．【解答】解：如图，过点P作PE，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD∴∠EDP＝∠DAB＝60°，∴sin∠EDP＝∴EP＝PD∴PB+PD＝PB+PE∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，∵sin∠A＝＝∴BE＝3故答案为：3【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，22．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是．【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故答案为4．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．23．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC 的最小值为．【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，依据A与A'关于BC对称，可得AD＝A'D，进而得出AD+DE＝A'D+DE，当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE 的最小值等于A'E的长，依据AD+DE的最小值为3，即可得到2AD+CD的最小值为6．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，AA'＝2，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝CD，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'＝×2＝3，∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．24．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为．【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．证明MH＝BM，求出AT，利用垂线段最短解决问题即可．【解答】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝BM，∴AM+BM＝AM+MH，∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝4，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥4，∴AM+BM≥4，∴AM+BM的最小值为4，故答案为4．【点评】本题考查菱形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型. 25．如图，已知菱形ABCD的周长为9，面积为，点E为对角线AC上动点，则AE+BE 的最小值为．【分析】连接BD交AC于点O，过点E作EF⊥AD于点F，过点D作DH⊥AB于点H，先根据菱形周长和面积得出AD、DH、AH、BH、BD、OD，从而得出在Rt△AOD中，sin∠DAO＝；再在Rt△EAF中，得到，所以；过点B作BF'⊥AD于点F'，再利用“垂线段最短”可得BF'为BE+EF的最小值，最后利用等面积法即可得出的最小值．【解答】解：连接BD交AC于点O，过点E作EF⊥AD于点F，过点D作DH⊥AB于点H，∵菱形ABCD的周长为，∴AD＝AB＝，∵菱形ABCD的面积为，即，∴DH＝2，∴在Rt△ADH中，AH＝＝，∴BH＝，∴在Rt△BDH中，BD＝，∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝，BD⊥AC，∴在Rt△AOD中，sin∠DAO＝，∴在Rt△EAF中，即，∴，∴当BE+EF最小时，最小，过点B作BF'⊥AD于点F'，BF'为BE+EF的最小值，∵，即，∴BF'＝2，∴的最小值为2．【点评】本题是菱形综合题，涉及到胡不归模型，将转化成EF是解题的关键．26．如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（1）∠ABC＝．（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当最小时BE＝．【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得∠ABC；（2）作A关于OB的对称点A'，过A作AG⊥A'B于G，过点E作EF⊥A'B于F，将BE转化为EF，再根据AE+BE＝AE+FE≥AG，设AG与OB交于E'，BE'即为当最小时的BE，求出BE'即可．【解答】解：（1）∵AC垂直平分线段BD，∴AB＝AC，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝120°，∴∠ABD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∵OB＝OC，OB⊥OC，∴∠OBC＝45°，∴∠ABC＝30°+45°＝75°，故答案为：75°；（2）作A关于OB的对称点A'，过A作AG⊥A'B于G，过点E作EF⊥A'B于F，∵∠ABO＝30°，∴∠A'BO＝30°，∴FE＝BE，∴AE+BE＝AE+FE≥AG，设AG与OB交于E'，BE'即为当最小时的BE，∵BC＝6，∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝BCcos45°＝，∵cos∠A'BO＝＝＝，∴BA'＝，∵∠A'BA＝60°，AB＝A'B，∴△ABA'为等边三角形，∴BG＝BA'＝，∵cos∠A'BO＝＝＝，∴BE'＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题的关键是作出垂线EF和AG，将BE转化为EF．27．如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线y＝x在第一象限内的一个动点．（1）∠MOP＝．（2）当MP+OP的值最小时，点P的坐标是．【分析】（1）设P（t，t），过点P作PH⊥x轴交于H，由tan∠POH＝，则∠POH＝60°，即可求∠MOP＝30°；（2）作M点关于直线y＝x的对称点M'，过M'作M'N⊥y轴交于N，连接MM'，则有MP+OP＝M'P+NP＝M'N，此时MP+OP的值最小．【解答】解：（1）设P（t，t），过点P作PH⊥x轴交于H，∴OH＝t，PH＝t，∴tan∠POH＝＝，∴∠POH＝60°，∴∠MOP＝30°，故答案为：30°；（2）作M点关于直线y＝x的对称点M'，过M'作M'N⊥y轴交于N，连接MM'，∴MP＝M'P，∵∠MOP＝30°，∴NP＝OP，∴MP+OP＝M'P+NP＝M'N，此时MP+OP的值最小，∵MM'⊥OP，∠MOP＝30°∴MG＝OM，∵M（0，2），∴MG＝1，∴MM'＝2，∵∠OMG＝60°，∴MN＝1，∴ON＝1，∴P（，1），故答案为：P（，1）．【点评】本题考查胡不归问题，熟练掌握胡不归问题的解题方法，轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键．28．如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A 出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为．【分析】过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，t＝（+CD），只需+CD最小即可，再证明△ADH∽△ACO，可得DH＝，则当B、D、H点三点共线时，此时t有最小值，再由△BDO∽△ADH，求出OD即可求坐标．【解答】解：过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，∵AB＝AC，∴BD＝CD，。

中考复习之——胡不归问题-胡不归原理

中考复习之——胡不归问题-胡不归原理胡不归问题是中考复习中常见的一个难点，许多考生在面对这个问题时感到困惑。

本文将探讨胡不归问题的本质及其解决方法，帮助考生更好地应对中考复习中的挑战。

一、胡不归问题的本质胡不归问题，又称作胡教育问题，是指在课堂学习中，学生对所学知识的了解不够深入，无法准确地掌握归纳总结的规律，从而无法运用知识解决问题或应对考试。

这种问题常见于记忆型的知识学科，如语文、数学、历史等。

主要表现为对于复杂题目的理解不透彻，解题思路混乱，答案无法准确推导等。

胡不归问题的本质源于学习方法的问题。

许多学生在学习过程中注重记忆和机械式的应用，而忽视了对知识的理解和归纳总结。

当遇到稍微复杂一点的问题时，由于缺乏深入理解，学生往往无法抓住关键点，从而产生迷惑和困惑。

二、胡不归原理及应对方法为了解决胡不归问题，我们需要明确胡不归原理。

胡不归原理主要包括以下几个方面：1. 学习方法的优化：解决胡不归问题的首要任务是改善学习方法。

学生应该注重理解知识的内涵和外延，强调归纳和总结的能力。

在学习过程中，可以采用思维导图、提问法等有效的学习方法，帮助加深对知识的理解和掌握。

2. 多练习、多思考：胡不归问题的产生往往和练习不足、思考不深有关。

学生应该加强对知识的练习，通过大量的例题和习题的解答，逐渐熟悉知识点的应用和运用规律。

同时，要注重思考，通过分析解题方法和思路，总结解题的一般规律，提高解题的能力。

3. 请教和交流：在面对胡不归问题时，学生可以主动请教老师或同学，寻求帮助和解答。

与他人的交流可以促进思维的碰撞和触发，帮助学生开阔思路，减少对问题的迷惑。

4. 坚持和耐心：解决胡不归问题需要时间和耐心。

学生应保持良好的学习习惯，坚持每天定时复习，逐步提高自己的学习效率和能力。

同时，要有耐心，不要因一时困难而放弃，相信坚持下去一定能够取得好的成绩。

三、结语胡不归问题在中考复习中是一个常见的难点，但通过合理的学习方法和坚持不懈的努力，我们完全可以克服这个问题。

2020年中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析

2020年中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析(总28页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析一．试题（共8小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B （0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD 的最小值为．4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE 上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D，与y轴交于点E，且DE：BE＝2：3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP 以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B （0，﹣3）．（1）a＝，c＝；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q 从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析参考答案与试题解析一．试题（共8小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出t的取值范围，进而求出D的坐标．【解答】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD＝2﹣y，CD＝＝，∴设t＝+，等式变形为：t+y﹣＝，则t的最小值时考虑y的取值即可，∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2＝y2+1，∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1＝0，△＝（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，∴t的最小值为，∴y＝，∴点D的坐标为（0，），故选D．解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD 最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．【点评】本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B （0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有5 个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．（3）①先在对称轴上寻找满足△ABM是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，求出F、G的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．故答案为．（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB＝＝，∴OE＝OB﹣EB＝，∵F（，t），EF2＝EB2，∴（）2+（t+）2＝（）2，解得t＝或，故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题．3．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP+BP+PD 的最小值为6．【分析】将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，求出BD′，证明PA＝PE，PD＝ED′，根据两点之间线段最短得到答案．【解答】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，∵∠BAD＝30°，∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′，∴BD′＝＝6，∠ABP＝45°，又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE，又∵△APD≌△AED′，∴PD＝ED′，根据两点之间线段最短，∴AP+BP+PD的最小值＝PB+PE+ED′＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是菱形的性质、轴对称变换和两点之间线段最短的知识，正确找出辅助线是解题的关键，注意轴对称变换的性质的正确运用．4．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE 上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【分析】（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE＝90°即可；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH＝DC，从而有CD+OD ＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）连接OC，如图1，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC?sin∠COH，∴h＝OC?sin60°＝OC，∴OC＝＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC?sin∠DCH＝DC?sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH＝OF?sin∠FOH＝OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．【点评】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、垂线段最短等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解决第（3）小题的关键．5．如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【分析】（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y＝x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形ABC是直角三角形，从而得到∠ACB＝90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y 轴右侧可得x＞0，则PG＝x，易得∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ＝∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG＝3PG＝3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ＝∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE＝EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA ＝∠DCA＝45°，从而可得∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE 的值，即可得到点E的坐标．【解答】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得，解得：．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝．∴AG＝3PG＝3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，整理得：x2+x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．②如图2②，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，整理得：x2﹣x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，∴，∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，∴或，设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），①，∴||＝，∴2t1＝，2t2＝，②，∴||＝3∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN＝AE?sin45°＝AE，即AE＝EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴点E的坐标为（2，1）．方法二：作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，在Rt△ANE中，EN＝AE?sin45°＝AE，即AE＝EN，∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），∵DM⊥AC，∴K DM×K AC＝﹣1，∴﹣1×，∴m＝，∴M（，），∵M为DD′的中点，∴D′（3，1），∵E Y＝D′Y＝1，∴E（2，1）．方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠FAE＝45°．∴EF＝AE?sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．6．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D，与y轴交于点E，且DE：BE＝2：3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为线段BD上一点（不含端点），连接AP，一动点M从点A出发，沿线段AP 以每秒1个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点P的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？（3）将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°），当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时，求此时点C的对应点C'的坐标．【分析】（1）求出A（﹣1，0），B（3，0）、E（0，），由△BOE∽△BND即可求解；（2）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P 即为所求，即可求解；（3）分点A'落在BE边所在直线上、点A'落在CE边所在直线上、A'落在BC边所在直线上时，三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，令y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，∵a＞0∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），将B坐标代入y＝，解得：b＝，∴，∴E（0，）△BOE∽△BND，∴，∵∴，∴BN＝5，DN＝，∴D（﹣2，），将点D代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，解得a＝，∴；（2）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点P，则点P 即为所求，∵直线BD的解析式为，∴∠PBA＝∠PDG＝30°，∵AB＝4，∴AP＝，∴点P的坐标为（﹣1，）；（3）当点A的对应点A'落在△ECB的边所在直线上时，AB＝4，AC＝2，BC＝2，OC＝OE＝，∴∠ACB＝90°，∠ABC＝∠EBO＝30°①点A'落在BE边所在直线上时，BC＝BC′＝2，则点C′（3﹣2，0）；②点A'落在CE边所在直线上时，过点C′作y轴的平行线分别交过点A′与y轴的垂线、x轴于点F、H，设点C′（m，n），∵△C′FA′∽△BHC′，，其中，C′F＝＝，BH＝3﹣m，C′A′＝2，BC，FA′＝﹣m，HC′＝n，＝＝，解得：m＝，n＝，点C′（，）；③点A'落在BC边所在直线上时，同理可得点C′（3+，3）；故点C′（3﹣2，0）或（，）或（3+，3）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等知识，其中（3）要考虑全面情况，避免遗漏，本题难度较大．7．二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B （0，﹣3）．（1）a＝ 1 ，c＝﹣3 ；（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；（3）如图2，点M在抛物线上，若S△MBC＝3，求点M的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可即可；（2）如图1中，作PH⊥BC于H．由DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′；（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．由S△EBC＝?BC?EG ＝?3＝3，推出过点E作BC的平行线交抛物线于M 1，M2，则＝3，＝3，求出直线M1M2的解析式，利用方程组即可解决问题，同法求出M3，M4的坐标．【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c得到，，解得．故答案为1，﹣3．（2）如图1中，作PH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，在Rt△PCH中，PH＝PC．∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，∴DH′＝BD＝2，∴DP+PC的最小值为?2＝4．（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．∵S△EBC＝?BC?EG＝?3＝3，∴过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则＝3，＝3，∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴直线M1M2的解析式为y＝x﹣1，由解得或，∴M1（，），M2（，），根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，易知直线M3M4的解析式为y＝x﹣5，由解得或，∴M3（1．﹣4），M4（2，﹣3），综上所述，满足条件的点M的坐标为∴M1（，），M2（，），M3（1．﹣4），M4（2，﹣3）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、垂线段最短、平行线的性质、轴对称、一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．8．已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q 从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【分析】（1）根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标，进而求出直线AD的解析式，接着求出点D的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值；（2）待定系数法得到直线AC的解析式为y＝x+3，根据已知条件得到①CP⊥AC，得到直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，根据已知条件得到②AP⊥AC，得到直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解方程组即可得到结论；（3）作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，根据正切的定义求出Q的运动时间t＝BE+EF时，t最小即可．【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P（，﹣），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、二次函数的交点式、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题．。

中考复习之――胡不归问题(优选.)

中考复习之——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。

邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。

这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB+21的最小值为。

（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。

①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。

A DBC沙砾地带练习巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则PA+PB+PD 的最小值为。

2.（2015内江）如图，在ACE ∆中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。

胡不归问题的练习题

胡不归问题的练习题胡不归问题的练习题胡不归问题是一个经典的逻辑谜题，它涉及到一位叫胡不归的人。

这个问题的解答需要一定的逻辑思维和分析能力。

在这篇文章中，我们将探讨一些关于胡不归问题的练习题，帮助读者更好地理解和解决这个谜题。

1. 胡不归问题的基本情景是什么？请描述一下。

胡不归问题的基本情景是这样的：有三个人，他们的名字分别是胡、不、归。

胡、不、归这三个人中，只有一个人说的是真话，而另外两个人说的都是假话。

这三个人中，胡说：“我不是胡。

”不说：“归是胡。

”归说：“胡是不。

”读者需要根据这些信息来判断胡、不、归的真实身份。

2. 根据胡、不、归的话，我们可以得出什么结论？根据胡、不、归的话，我们可以得出如下结论：如果胡说的是真话，那么胡不是胡；如果不说的是真话，那么归是胡；如果归说的是真话，那么胡是不。

由于只有一个人说的是真话，那么我们可以根据这些结论来判断胡、不、归的真实身份。

3. 请根据以上结论，判断出胡、不、归的真实身份。

根据以上结论，我们可以得出胡、不、归的真实身份。

假设胡说的是真话，那么胡不是胡，这与事实相矛盾，所以我们可以排除这种情况。

假设不说的是真话，那么归是胡，这与事实相矛盾，所以我们可以排除这种情况。

最后，假设归说的是真话，那么胡是不，这与事实相符合。

所以，根据以上推理，我们可以得出结论：胡是不，不是胡，归是胡。

4. 胡不归问题还有其他的解法吗？除了以上的解法，胡不归问题还可以通过逻辑推理的方式来解答。

我们可以用符号来表示胡、不、归的真实身份，假设胡的真实身份为A，不的真实身份为B，归的真实身份为C。

根据胡、不、归的话，我们可以列出如下等式：A ≠ AB = AC = B根据这些等式，我们可以推导出A ≠ B ≠ C ≠ A，即胡、不、归的真实身份不可能相同。

由于只有一个人说的是真话，那么我们可以排除A = B = C的情况。

剩下的情况是A ≠ B ≠ C，根据等式B = A和C = B，我们可以得出A ≠ C。

2021届中考数学专题复习训练——二次函数专题15二次函数之胡不归问题

二次函数与胡不归问题题型特点：①PA+k•PB 型线段和最小值(k =21、2、22、31或其它)②动点在直线上以不同的速度运动、解题方法：利用锐角三角函数或三角形相似转化线段长【经典例题1——k =21】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx +c 的图象经过点A(−1，0)，B(4，0)、C(0，3)，其中对称轴与x 轴交于点E. (1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，若P 为y 轴上的一个动点，连接PE ，求21PC+PE 的最小值；【解析】(1)将A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得 a −b +c =0；16a +4b +c =0；c =3，解得a =−43；b =433；c =3，此二次函数的表达式y=−43x 2+433x +3， (2)如图1中，连接AB ，作DH⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时21PC+PE 最小。

理由：⊥OA=1，OC=3，⊥tan⊥ACO=OA/OC=33，⊥⊥ACO=30°， ⊥PH=21PC ，⊥21PC+PE=PH+EP=EH ， ⊥此时21PC+PE 最短(垂线段最短).A. B 关于E 点对称，得E 点坐标为(23，0)在RT⊥ADH 中，⊥⊥AHE=90°，AE=23−(−1)=25，⊥HAE=60°，⊥sin60°=HE/AE ， ⊥HE=AE⊥sin60°=25×23=435⊥21PC+PE 的最小值为435.【经典例题变式】在平面直角坐标系中，抛物线y=−x 2+bx +c 经过点A ，B ，C ，已知A(−1，0)，C(0，3). (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，抛物线的顶点为E ，EF⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M(m ，0)是x 轴一个动点，请直接写出CN+MN+21MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由。

(完整word版)胡不归问题专题

金牌教育一对一个性化指导授课方案学生学校文汇中学年级九年级学科数学教师王老师日期20180时段次数1课题胡不归问题专题一．选择题（共 2 小题）1．如图，抛物线 y=x2﹣ 2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE 上的点D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s．2．如图，△ ABC在直角坐标系中， AB=AC， A（ 0， 2 ），C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→ D→C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（ 0，）二．填空题（共 1 小题）3．如图，一条笔挺的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点 B，A、B 的直线距离是 10 千米．一天，居民点 B 着火，消防员授命欲前去救火．若消防车在公路上的最迅速度是 80 千米 / 小时，而在草地上的最迅速度是 40 千米 / 小时，则消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点B．（友谊提示：消防车可从公路的随意地点进入草地行驶．）三．解答题（共 5 小题）4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣ 1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（ 1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（ 2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，则PB+PD 的最小值为；（ 3） M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A，B，M，N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；②连结 MA， MB，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．5．如图，在△ ACE中， CA=CE，∠ CAE=30°，⊙ O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段AE 上．（1）试说明 CE是⊙ O 的切线；（2）若△ ACE中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上随意一点（不含端点），连结 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时，求⊙ O 的直径 AB 的长．6．如图，已知抛物线y= （ x+2）（x﹣4）（k 为常数，且 k＞ 0）与 x 轴从左至右挨次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为 D．（1）若点 D 的横坐标为﹣ 5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A， B， P 为极点的三角形与△ABC相像，求 k 的值；（ 3）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连结 AF，一动点M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程顶用时最少？7．（1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（ 2）如图 2，已知正方形 ABCD的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（ 3）如图 3，已知菱形 ABCD的边长为 4，∠ B=60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．8．如图 1，抛物线 y=ax2+（a+3） x+3（a≠ 0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m， 0）（0＜m＜ 4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥ AB 于点M．（ 1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（ 2）设△ PMN 的周长为 C1，△ AEN的周长为 C2，若=，求m的值；（3）如图 2，在（ 2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转获得 OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连结 E′A、E′B，求 E′A+ E′B的最小值．2018 年 05 月 25 日 187****4779 的初中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共 2 小题）1．如图，抛物线 y=x2﹣ 2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s．【解析】过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线订交于点 H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义获得 tan∠HED=tan∠EBA= = ，设DH=4m， EH=3m，则 DE=5m，则可判断蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从D 爬到 H 点所用的时间相等，于是获得蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从A 以 1 单位 /s 的速度爬到 D 点，再从 D 点以 1 单位 /s 速度爬到 H 点的时间，利用两点之间线段最短获得 AD+DH 的最小值为 AQ 的长，接着求出 A 点和 B 点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，此后解由直线解析式和抛物线解析式所构成的方程组确立 E 点坐标，从而获得 AQ 的长，此后计算爬行的时间．【解答】解：过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线订交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴ tan∠ HED=tan∠ EBA= = ，设DH=4m，EH=3m，则 DE=5m，∴蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间 ==4（s）若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位 /s，则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间 = =4 （ s），∴蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，∴蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位 /s 的速度爬到 D 点，再从D 点以 1 单位 /s 速度爬到 H 点的时间，作 AG⊥EH于 G，则 AD+DH≥AH≥AG，∴ AD+DH 的最小值为 AQ 的长，当y=0 时， x2﹣2x﹣ 3=0，解得 x1=﹣1，x2=3，则 A（﹣ 1，0），B（3，0），直线 BE交 y 轴于 C 点，如图，在 Rt△OBC中，∵ tan∠CBO= = ，∴OC=4，则 C（0，4），设直线 BE的解析式为 y=kx+b，把 B（3，0）， C（ 0， 4）代入得，解得，∴直线 BE的解析式为 y=﹣x+4，解方程组得或，则E点坐标为（﹣，），∴AQ= ，∴蚂蚁从 A 爬到 G 点的时间 ==（s），即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为s．故答案为．【谈论】此题察看了二次函数与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a， b，c 是常数， a≠0）与 x 轴的交点坐标化为解对于x 的一元二次方程．解决此题的重点是确立蚂蚁在DH 和 DE上爬行的时间相等．2．如图，△ ABC在直角坐标系中， AB=AC， A（ 0， 2 ），C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→ D→C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（ 0，）【解析】假定 P 在 AD 的速度为 3，在 CD的速度为 1，第一表示出总的时间，再依据根的鉴别式求出 t 的取值范围，从而求出 D 的坐标．【解答】解：假定 P 在 AD 的速度为 3，在 CD的速度为 1，设 D 坐标为（ 0，y），则 AD=2﹣y，CD==，∴设 t=+，等式变形为： t+y﹣=，则 t 的最小值时考虑 y 的取值即可，∴ t2+（ y﹣）t+（ y﹣）2=y2 +1，∴ y2+（﹣t）y﹣t 2+t+1=0，△ =（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥ 0，∴ t 的最小值为，∴y= ，∴点 D 的坐标为（ 0，），应选 D．解法二：假定 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD的速度为 1V，总时间 t= + =（+CD），要使 t 最小，就要+CD最小，由于 AB=AC=3，过点 B 作 BH⊥AC 交 AC 于点 H，交 OA 于 D，易证△ ADH∽△ ACO，所以= =3，所以=DH，由于△ ABC 是等腰三角形，所以BD=CD，所以要+CD最小，就是要 DH+BD 最小，就要 B、 D、H 三点共线就行了．由于△AOC ∽△ BOD，所以=，即=，所以OD=，所以点 D 的坐标应为（ 0，）．【谈论】此题察看了勾股定理的运用、一元二次方程根的鉴别式（△=b2﹣ 4ac）判断方程的根的状况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．二．填空题（共 1 小题）3．如图，一条笔挺的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点 B，A、B 的直线距离是 10 千米．一天，居民点 B 着火，消防员授命欲前去救火．若消防车在公路上的最迅速度是 80 千米 / 小时，而在草地上的最迅速度是40 千米 / 小时，则消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点 B．（友谊提示：消防车可从公路的随意地点进入草地行驶．）【解析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，能够设在公路上行驶x千米，依据题意，找出能够运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．【解答】解：以以以下图，公路上行驶的路线是 AD，草地上行驶的路线是 DB，设AD 的行程为 x 千米，由已知条件 AB=10千米，BC=5千米，BC⊥AC，知AC==15 千米．则CD=AC﹣AD=（15﹣x）千米，BD==km，设走的行驶时间为y，则y= +．整理为对于 x 的一元二次方程得3x2 +（160y﹣120）x﹣6400y2+1200=0．由于 x 必然存在，所以△≥ 0．即（160y﹣120）2﹣ 4× 3×（ 1200﹣ 6400y2）≥0．化简得 102400y2﹣38400y≥0．解得 y≥，即消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点B．故答案为：．【谈论】此题察看的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形建立直角三角形是重点，依据一元二次不等式的求解，能够计算出解的最小值，以便求出最短行程．三．解答题（共 5 小题）4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣ 1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（ 1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（ 2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，则PB+PD 的最小值为；（ 3） M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A，B，M，N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有5个；②连结 MA， MB，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．【解析】（1）利用待定系数法转变为解方程组解决问题．（ 2）如图 1 中，连结 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，此时 PB+PD 最小．最小值就是线段 DH，求出 DH 即可．（3）①先在对称轴上找寻知足△ABM 是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连结 EA，则∠ AEB=120°，以 E 为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G．则∠ AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点知足题意，求出 F、G 的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y= x2﹣x﹣，∵ y= x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴极点坐标（，﹣）．（ 2）如图 1 中，连结 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，此时PB+PD 最小．原因：∵ OA=1， OB=，∴tan∠ ABO= = ，∴∠ ABO=30°，∴PH= PB，∴PB+PD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD 最短（垂线段最短）．在Rt△ADH 中，∵∠ AHD=90°，AD= ，∠ HAD=60°，∴sin60 °= ，∴DH=，∴PB+PD 的最小值为．故答案为．（3）①以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段 AB 的垂直均分线与对称轴有一个交点，所以知足条件的点 M 有 5 个，即知足条件的点 N 也有 5 个，故答案为 5．②如图， Rt△AOB 中，∵ tan∠ ABO= =，∴∠ ABO=30°，作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连结 EA，则∠ AEB=120°，以E 为圆心， EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G．则∠ AFB=∠AGB=60°，从而线段 FG上的点知足题意，∵ EB==，∴ OE=OB﹣ EB=，2 2∵F（，t ），EF =EB，∴（）2+（t+）2=（）2，解得 t=或，故 F（，），G（，），∴ t 的取值范围≤ t≤【谈论】此题察看二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的重点是掌握待定系数法确立函数解析式，学会利用垂线段最短解决实指责题中的最短问题，学会增添协助线，结构圆解决角度问题，属于中考压轴题．5．如图，在△ ACE中， CA=CE，∠ CAE=30°，⊙ O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段AE 上．（1）试说明 CE是⊙ O 的切线；（2）若△ ACE中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上随意一点（不含端点），连结 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时，求⊙ O 的直径 AB 的长．【解析】（1）连结 OC，如图 1，要证 CE是⊙ O 的切线，只要证到∠ OCE=90°即可；（2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连结 OC，如图 2，在 Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作 OF 均分∠ AOC，交⊙ O 于 F，连结 AF、CF、DF，如图 3，易证四边形 AOCF 是菱形，依据对称性可得DF=DO．过点 D 作 DH⊥ OC于 H，易得 DH= DC，从而有CD+OD=DH+FD．依据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时， DH+FD （即CD+OD）最小，此后在 Rt△ OHF中运用三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）连结 OC，如图 1，∵CA=CE，∠ CAE=30°，∴∠ E=∠CAE=30°，∠ COE=2∠ A=60°，∴∠ OCE=90°，∴ CE是⊙ O 的切线；（ 2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连结 OC，如图 2，由题可得 CH=h．在Rt△OHC中， CH=OC?sin∠COH，∴ h=OC?sin60°= OC，∴ OC= =h，∴ AB=2OC= h；（ 3）作 OF 均分∠ AOC，交⊙ O 于 F，连结 AF、 CF、DF，如图 3，则∠ AOF=∠COF= ∠AOC= （ 180°﹣60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△ AOF、△ COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形 AOCF是菱形，∴依据对称性可得 DF=DO．过点 D 作 DH⊥OC于 H，∵ OA=OC，∴∠ OCA=∠ OAC=30°，∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．依据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时， DH+FD（即CD+OD）最小，此时 FH=OF?sin∠FOH=OF=6，则OF=4 ， AB=2OF=8 ．∴当CD+OD 的最小值为 6 时，⊙ O 的直径 AB 的长为 8．【谈论】此题主要察看了圆周角定理、切线的判断、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特别角的三角函数值、等边三角形的判断与性质、菱形的判断与性质、两点之间线段最短等知识，把 CD+OD 转变为 DH+FD 是解决第（ 3）小题的重点．6．如图，已知抛物线y= （ x+2）（x﹣4）（k 为常数，且 k＞ 0）与 x 轴从左至右挨次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为 D．（1）若点 D 的横坐标为﹣ 5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A， B， P 为极点的三角形与△ABC相像，求 k 的值；（ 3）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连结 AF，一动点M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程顶用时最少？【解析】（1）第一求出点 A、B 坐标，此后求出直线 BD 的解析式，求得点 D 坐标，代入抛物线解析式，求得 k 的值；（ 2）由于点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．所以若两个三角形相像，只可能是△ ABC∽△ APB或△ ABC∽△ PAB．如答图 2，依据以上两种状况进行分类谈论，分别计算；（ 3）由题意，动点 M 运动的路径为折线AF+DF，运动时间： t=AF+DF．如答图3，作协助线，将 AF+ DF 转变为 AF+FG；再由垂线段最短，获得垂线段 AH 与直线 BD 的交点，即为所求的 F 点．【解答】解：（1）抛物线 y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得 x=﹣ 2 或 x=4，∴ A（﹣ 2，0）， B（ 4， 0）．∵直线 y=﹣ x+b 经过点 B（ 4，0），∴﹣×4+b=0，解得 b=，∴直线 BD解析式为： y=﹣x+．当 x=﹣5 时， y=3，∴ D（﹣ 5，3 ）．∵点 D（﹣ 5， 3）在抛物线 y= （x+2）（x﹣4）上，∴（﹣ 5+2）（﹣ 5﹣ 4） =3，∴ k=．∴抛物线的函数表达式为： y=（x+2）（x﹣4）．即 y=x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令 x=0，得 y=﹣k，∴ C（ 0，﹣ k），OC=k．由于点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ ABP为钝角．所以若两个三角形相像，只可能是△ ABC∽△ APB 或△ ABC∽△ PAB．①若△ ABC∽△ APB，则有∠ BAC=∠PAB，如答图 2﹣1 所示．设 P（x， y），过点 P 作 PN⊥ x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y= x+k．∴P（ x， x+k），代入抛物线解析式 y= （ x+2）（ x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得： x2﹣6x﹣ 16=0，解得： x=8 或 x=﹣ 2（与点 A 重合，舍去），∴P（ 8，5k）．∵△ABC∽△ APB，∴，即，解得： k=．②若△ ABC∽△ PAB，则有∠ ABC=∠PAB，如答图 2﹣2 所示．设P（x， y），过点 P 作 PN⊥ x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y．tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，∴y= x+ ．∴P（ x， x+ ），代入抛物线解析式 y= （x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+，整理得：x2﹣4x﹣12=0，解得： x=6 或 x=﹣ 2（与点 A 重合，舍去），∴P（ 6，2k）．∵△ ABC∽△19=，∴=，解得 k=±，∵ k＞ 0，∴ k=，综上所述， k=或k=．（ 3）方法一：如答图 3，由（ 1）知： D（﹣ 5，3），如答图 2﹣ 2，过点 D 作 DN⊥x 轴于点 N，则 DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA= == ，∴∠ DBA=30°．过点 D 作 DK∥x 轴，则∠ KDF=∠DBA=30°．过点 F 作 FG⊥ DK于点 G，则 FG= DF．由题意，动点 M 运动的路径为折线AF+DF，运动时间： t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线 AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线 AF+FG的长度的最小值为 DK与 x 轴之间的垂线段．过点 A 作 AH⊥DK 于点 H，则 t 最小 =AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点．∵ A 点横坐标为﹣ 2，直线 BD 解析式为： y=﹣x+，∴ y=﹣×（﹣2）+=2，∴ F（﹣ 2， 2）．综上所述，当点 F 坐标为（﹣ 2，2）时，点M在整个运动过程顶用时最少．方法二：作DK∥ AB， AH⊥DK，AH 交直线 BD 于点 F，∵∠ DBA=30°，∴∠ BDH=30°，∴ FH=DF×sin30 °= ，∴当且仅当 AH⊥DK 时， AF+FH 最小，点 M 在整个运动顶用时为： t=，∵ l BD：y=﹣x+，∴F X=A X=﹣ 2，∴F（﹣ 2，）．【谈论】此题是二次函数压轴题，难度很大．第（ 2）问中需要分类谈论，防范漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数 k，增添了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转变思想使得试题难度大大降低，需要仔细意会．7．（1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（ 2）如图 2，已知正方形 ABCD的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（ 3）如图 3，已知菱形 ABCD的边长为 4，∠ B=60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【解析】（1）如图 1 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=1．由△ PBG∽△ CBP，推出= = ，推出 PG= PC，推出 PD+ PC=DP+PG，由 DP+PG≥DG，当 D、G、P 共线时， PD+ PC 的值最小，最小值为DG==5．由 PD﹣PC=PD﹣PG≤ DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣PC的值最大（如图 2 中），最大值为DG=5；（2）如图 3 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4．解法近似（ 1）；（3）如图 4 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4，作 DF⊥BC于 F．解法近似（ 1）；【解答】解：（1）如图 1 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=1．∵= =2， = =2，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为 DG==5．∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣P C的值最大（如图 2 中），最大值为 DG=5．（ 2）如图 3 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4．∵= = ， = = ，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为DG==．∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣PC的值最大，最大值为DG=．故答案为，（ 3）如图 4 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4，作 DF⊥ BC于 F．∵= =2， = =2，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠ DCF=60°， CD=4，∴ DF=CD?sin60°=2 ，CF=2，在 Rt△GDF中， DG==∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时，PD﹣PC的值最大（如图 2 中），最大值为 DG=．故答案为，．【谈论】此题察看圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相像三角形的判断和性质、两点之间线段最短等知识，解题的重点是学会建立相像三角形解决问题，学会用转变的思想思虑问题，把问题转变为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图 1，抛物线 y=ax2+（a+3） x+3（a≠ 0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m， 0）（0＜m＜ 4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥ AB 于点M．（ 1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（ 2）设△ PMN 的周长为 C1，△ AEN的周长为 C2，若=，求m的值；（3）如图 2，在（ 2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转获得 OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连结 E′A、E′B，求 E′A+ E′B的最小值．【解析】（1）令 y=0，求出抛物线与 x 轴交点，列出方程即可求出 a，依据待定系数法能够确立直线 AB 解析式．（2）由△ PNM∽△ ANE，推出 = ，列出方程即可解决问题．（3）在 y 轴上取一点 M 使得 OM′=，结构相像三角形，能够证明 AM′就是E′A+ E′B的最小值．【解答】解：（1）令 y=0，则 ax2+（a+3）x+3=0，∴ x=﹣1 或﹣，∵抛物线 y=ax2+（ a+3）x+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（4，0），∴﹣=4，∴a=﹣．∵ A（ 4， 0），B（0，3），设直线 AB 解析式为 y=kx+b，则，解得，∴直线 AB 解析式为 y=﹣x+3．（ 2）如图 1 中，∵PM⊥ AB， PE⊥OA，∴∠ PMN=∠ AEN，∵∠ PNM=∠ANE，∴△ PNM∽△ ANE，∴= ，∵NE∥OB，∴ = ，∴ AN= （4﹣m），∵抛物线解析式为y=﹣x2 + x+3，∴PN=﹣ m2 + m+3﹣（﹣ m+3）=﹣ m2 +3m，∴=，解得 m=2．（ 3）如图 2 中，在 y 轴上取一点 M′使得 OM′=，连结 AM′，在 AM′上取一点E′使得 OE′ =OE．∵OE′=2，OM′?OB= × 3=4，2′，∴ OE′=OM ?OB∴=，∵∠ BOE′=∠ M′OE，′∴△ M′OE′∽△ E′OB，∴== ，∴M′E′=BE′，∴AE′+ BE′=AE+E′′M′=AM，′此时 AE′+ BE′最小（两点间线段最短， A、 M′、E′共线时），最小值 =AM′==．【谈论】此题察看相像三角形的判断和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的重点是结构相像三角形，找到线段 AM′就是 E′A+ E′B的最小值，属于中考压轴题．。

2022年中考数学二次函数压轴突破专题11 胡不归模型(教师版含解析)

知识导航在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kPB ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆．本文简单介绍“胡不归”模型．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？2驿道【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．2M【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．M将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．M【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【2019长沙中考】如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +的最小值是_______． ABCDE【分析】本题关键在于处理”，考虑tan A =2，△ABE三边之比为1:2sin ∠DH ⊥AB 交AB 于H点，则DH =． HEDCB AABCDEH问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：EDCB则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．αsin α=55HEDC BAEDCB专项训练1．直线43y x =与抛物线2(3)43y x m =--+交于A ，B 两点(其中点A 在点B 的左侧)，与抛物线的对称轴交于点C ，抛物线的顶点为D (点D 在点C 的下方)，设点B 的横坐标为t (1)求点C 的坐标及线段CD 的长(用含m 的式子表示)；(2)直接用含t 的式子表示m 与t 之间的关系式(不需写出t 的取值范围)； (3)若CD CB =． ①求点B 的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F ，使35BF CF +的值最小，则满足条件的点F 的坐标是 23(3,)4 ．【分析】(1)由抛物线的解析式可得出抛物线对称轴为3x =，将3x =代入直线AB 的解析式中即可求出点C 的坐标；由抛物线的解析式表示出顶点坐标，结合两点间的距离公式即可得出CD 的长度；(2)将直线解析式代入抛物线解析式中，得出关于x 的二元一次方程，由求根公式找出x 值中较大的数，令其为t ，变换等式即可得出结论；(3)①借用(2)的结论，利用CD CB =得出关于m 的一元二次方程，解方程得出m 的值代入原方程进行验证即可确定m 的结果，在将m 代入t 关于m 的解析式中即可得出B 点的横坐标，由点B 在直线43y x =上即可得出B 点坐标；②作B 点关于对称轴的对称点B '，过点F 作FM BC ⊥于点M ，连接B M '、BB 交抛物线对称轴于点N ，通过三角形内两边之和大于第三边找出点F 的位置，再通过解直角三角形求出NF 的长，进而即可找出点F 的坐标．【解答】解：(1)抛物线2(3)43y x m =--+的对称轴为3x =，令3x =，则有4343y =⨯=，即点C 的坐标为(3,4)．抛物线2(3)43y x m =--+的顶点D 的坐标为(3,43)m -+，点D 在点C 的下方， 4(43)41CD m m ∴=--+=+．(2)点B 在直线43y x =上，且其横坐标为t ，则点B 的坐标为4(,)3t t ，将点B 的坐标代入抛物线2(3)43y x m =--+中，得：24(3)433t t m =--+，整理，得：2111346m t t =-+．(3)①依照题意画出图形，如图1所示．过点C 作//CE x 轴，过点B 作//BE y 轴交CE 于点E ．直线BC 的解析式为43y x =， 43BE CE ∴=，由勾股定理得：53BC CE ．CD CB =，∴有551141(3)(3)333m t +=-=，化简，得：24310m m --=，解得：14m =-，或1m =．当14m =-时，13144()3949+⨯-=<，不合适，1m ∴=，此时11134639t =++=， 4683y =⨯=．故此时点B 的坐标为(6,8)．②作B 点关于对称轴的对称点B '，过点F 作FM BC ⊥于点M ，连接B M '、BB 交抛物线对称轴于点N ，如图2所示．直线BC 的解析式为43y x =，FM BC ⊥， 13tan 443FCM ∴∠==， 3sin 5FM FCM FC ∴∠==． B 、B '关于对称轴对称， BF B F ∴='，35BF CF B F FM ∴+='+．当点B '、F 、M 三点共线时B F FM '+最小．B 点坐标为(6,8)，抛物线对称轴为3x =， B ∴'点的坐标为(0,8)．又B M BC '⊥， 3tan 4NB F ∴∠'=， 9tan 4NF B N NB F ∴='∠'=， ∴点F 的坐标为23(3,)4．故答案为：23(3,)4．【点评】本题考查了二次函数的性质、一元二次方程的求根公式、解直角三角形以及解无理方程，解题的关键是：(1)根据二次函数的解析式找出其对称轴及顶点坐标；(2)由求根公式得出t ；(3)①得出关于m 的无理方程；②寻到点F 的位置．本题属于中档题，(1)(2)难度不大，(3)难度不小，①中涉及到了解无理方程，产生了增根需要去验证；②寻找F 点的位置是关键，此处在直角三角形中利用了角的三角函数值寻找到点F 的位置．2．如图，抛物线212y x mx n =++与直线132y x =-+交于A ，B 两点，交x 轴于D ，C 两点，连接AC ，BC ，已知(0,3)A ，(3,0)C ．(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan BAC ∠的值； (Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)设E 为线段AC 上一点(不含端点)，连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动中用时最少？【分析】(Ⅰ)只需把A 、C 两点的坐标代入212y x mx n =++，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B 的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形ABC 是直角三角形，从而得到90ACB ∠=︒，然后根据三角函数的定义就可求出tan BAC ∠的值；(Ⅱ)(1)过点P 作PG y ⊥轴于G ，则90PGA ∠=︒．设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得0x >，则PG x =，易得90APQ ACB ∠=∠=︒．若点G 在点A 的下方，①当PAQ CAB ∠=∠时，PAQ CAB ∆∆∽．此时可证得PGA BCA ∆∆∽，根据相似三角形的性质可得33AG PG x ==．则有(,33)P x x -，然后把(,33)P x x -代入抛物线的解析式，就可求出点P 的坐标②当PAQ CBA ∠=∠时，PAQ CBA ∆∆∽，同理，可求出点P 的坐标；若点G 在点A 的上方，同理，可求出点P 的坐标；(2)过点E 作EN y ⊥轴于N ，如图3．易得AE =，则点M在整个运动中所用的时间可表示为1DE DE EN =+．作点D 关于AC 的对称点D '，连接D E '，则有D E DE '=，D C DC '=，45D CA DCA ∠'=∠=︒，从而可得90D CD ∠'=︒，DE EN D E EN +='+．根据两点之间线段最短可得：当D '、E 、N 三点共线时，DE EN D E EN +='+最小．此时可证到四边形OCD N '是矩形，从而有3ND OC '==，ON D C DC ='=．然后求出点D 的坐标，从而得到OD 、ON 、NE 的值，即可得到点E 的坐标．【解答】解：(Ⅰ)把(0,3)A ，(3,0)C 代入212y x mx n =++，得 31902n mx n =⎧⎪⎨⨯++=⎪⎩，解得：523m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线的解析式为215322y x x =-+ 联立213215322y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩，∴点B 的坐标为(4,1)．如图1．(3,0)C ，(4,1)B ，(0,3)A ，220AB ∴=，22BC =，218AC =， 222BC AC AB ∴+=， ABC ∴∆是直角三角形， 90ACB ∴∠=︒，1tan 3BC BAC AC ∴∠===；(Ⅱ)方法一：(1)存在点P ，使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似．过点P 作PG y ⊥轴于G ，则90PGA ∠=︒．设点P 的横坐标为x ，由P 在y 轴右侧可得0x >，则PG x =． PQ PA ⊥，90ACB ∠=︒， 90APQ ACB ∴∠=∠=︒．若点G 在点A 的下方，①如图2①，当PAQ CAB ∠=∠时，则PAQ CAB ∆∆∽． 90PGA ACB ∠=∠=︒，PAQ CAB ∠=∠， PGA BCA ∴∆∆∽，∴13PG BC AG AC ==． 33AG PG x ∴==．则(,33)P x x -．把(,33)P x x -代入215322y x x =-+，得 21533322x x x -+=-，整理得：20x x +=解得：10x =(舍去)，21x =-(舍去)．②如图2②，当PAQ CBA ∠=∠时，则PAQ CBA ∆∆∽．同理可得：1133AG PG x ==，则1(,3)3P x x -，把1(,3)3P x x -代入215322y x x =-+，得215133223x x x -+=-，整理得：21303x x -= 解得：10x =(舍去)，2133x =， 13(3P ∴，14)9；若点G 在点A 的上方，①当PAQ CAB ∠=∠时，则PAQ CAB ∆∆∽，同理可得：点P 的坐标为(11,36)． ②当PAQ CBA ∠=∠时，则PAQ CBA ∆∆∽．同理可得：点P 的坐标为17(3P ，44)9．综上所述：满足条件的点P 的坐标为(11,36)、13(3，14)9、17(3，44)9；方法二：作APQ ∆的“外接矩形” AQGH ，易证AHP QGP ∆∆∽，∴AP HPPQ QG=，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ACB ∆相似，∴13AP HP BC PQ QG AC ===或3AP HP ACPQ QG BC===，设2(2,253)P t t t -+，(0,3)A ，(2,3)H t ，①13HP QG =，232531||23t t t --+∴=， 11323t ∴=，21723t =， ②3HPQG =，23253||32t t t--+∴=1211t ∴=，221t =-，(舍)，∴满足题意的点P 的坐标为(11,36)、13(3，14)9、17(3，44)9；(2)方法一：过点E 作EN y ⊥轴于N ，如图3．在Rt ANE ∆中，sin 45EN AE =︒=，即AE ， ∴点M 在整个运动中所用的时间为1DE DE EN =+．作点D 关于AC 的对称点D '，连接D E '，则有D E DE '=，D C DC '=，45D CA DCA ∠'=∠=︒， 90D CD ∴∠'=︒，DE EN D E EN +='+．根据两点之间线段最短可得：当D '、E 、N 三点共线时，DE EN D E EN +='+最小．此时，90D CD D NO NOC ∠'=∠'=∠=︒，∴四边形OCD N '是矩形，3ND OC ∴'==，ON D C DC ='=．对于215322y x x =-+，当0y =时，有2153022x x -+=，解得：12x =，23x =． (2,0)D ∴，2OD =，321ON DC OC OD ∴==-=-=， 312NE AN AO ON ∴==-=-=，∴点E 的坐标为(2,1)．方法二：作点D 关于AC 的对称点D '，DD '交AC 于点M ，显然DE D E ='，作D N y '⊥轴，垂足为N ，交直线AC 于点E ，如图4，在Rt ANE ∆中，sin 45EN AE =︒=，即AE ， ∴当D '、E 、N 三点共线时，DE EN D E EN +='+最小，(0,3)A ，(3,0)C ， :3AC l y x ∴=-+，(,3)M m m ∴-+，(2,0)D ， DM AC ⊥，1DM AC K K ∴⨯=-， 3112m m -+∴-⨯=--， 52m ∴=，5(2M ∴，1)2， M 为DD '的中点，(3,1)D ∴'， 1Y Y E D ='=，(2,1)E ∴．方法三：如图，5，过A 作射线//AF x 轴，过D 作射线//DF y 轴，DF 与AC 交于点E ． (0,3)A ，(3,0)C ， :3AC l y x ∴=-+．OA OC =，90AOC ∠=︒， 45ACO ∴∠=︒， //AF OC ， 45FAE ∴∠=︒．sin 45AE EF AE ∴=︒=．∴当且仅当AF DF ⊥时，DE EF +取得最小值，点M 在整个运动中用时最少为：1DE t DE EF ==+，抛物线的解析式为215322y x x =-+，且(3,0)C ， ∴可求得D 点坐标为(2,0)则E 点横坐标为2，将2x =代入:3AC l y x =-+，得1y =．所以(2,1)E ．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第(Ⅱ)(1)小题的关键，把点M 运动的总时间12DE DE EN +是解决第(Ⅱ)(2)小题的关键． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数2(0)y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标； (3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，经过点(1,0)A -，可求得a 的值，由ABD ∆的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A 、D 的坐标可求出一次函数解析式；(2)作//EM y 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由ACE AME CME S S S ∆∆∆=-构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；(3)作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH AE ⊥于点H ，交x 轴于点P ，则BAE HAP HFE ∠=∠=∠，利用锐角三角函数的定义可得出35EP AP FP HP +=+，此时FH 最小，求出最小值即可．【解答】解：(1)将二次函数2(0)y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为2(1)2y a x =--， 1OA =，∴点A 的坐标为(1,0)-，代入抛物线的解析式得，420a -=，12a ∴=， ∴抛物线的解析式为21(1)22y x =--，即21322y x x =--．令0y =，解得11x =-，23x =， (3,0)B ∴，4AB OA OB ∴=+=，ABD ∆的面积为5，152ABD D S AB y ∆∴==， 52D y ∴=，代入抛物线解析式得，2513222x x =--，解得12x =-，24x =，5(4,)2D ∴，设直线AD 的解析式为y kx b =+， ∴5420k b k b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AD 的解析式为1122y x =+． (2)过点E 作//EM y 轴交AD 于M ，如图，设213(,)22E m m m --，则11(,)22M m m +，221113132222222EM m m m m m ∴=+-++=-++，22111311(2)1(34)22224ACE AME CME S S S EM m m m m ∆∆∆∴=-=⨯=-++⨯=---，21325()4216m =--+．∴当32m =时，ACE ∆的面积有最大值，最大值是2516，此时E 点坐标为315(,)28-． (3)作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH AE ⊥于点H ，交x 轴于点P ，315(,)28E -，1OA =，35122AG ∴=+=，158EG =， ∴5421538AG EG ==， 90AGE AHP ∠=∠=︒3sin 5PH EG EAG AP AE ∴∠===， 35PH AP ∴=， E 、F 关于x 轴对称， PE PF ∴=，35PE AP FP HP FH ∴+=+=，此时FH 最小，1515284EF =⨯=，AEG HEF ∠=∠， 4sin sin 5AG FH AEG HEF AE EF ∴∠=∠===， 415354FH ∴=⨯=．35PE PA ∴+的最小值是3．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 4．抛物线2y x =+x 轴交于点A ，B (点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．(1)如图1，连接CD ，求线段CD 的长；(2)如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；(3)如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．【分析】(1)分别表示C 和D 的坐标，利用勾股定理可得CD 的长；(2)令0y =，可求得(32A -，0)，(2B 0)，利用待定系数法可计算直线AC 的解析式为：36y =+设3(6)E x x ，2623(,6)P x ，表示PE 的长，利用勾股定理计算AC 的长，发现30CAO ∠=︒，得23226AE EF x ==+12PE EC +，利用配方法可得当12PE EC +的值最大时，22x =-(22P -6)，确定要使四边形11PO B C 周长的最小，即11PO B C +的值最小，将点P 向2个单位长度得点1(2P -6)，连接11P B ，则111PO PB =，再作点1P 关于x 轴的对称点2(2P -6)，可得结论；(3)先确定对折后2O C 落在AC 上，AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形存在四种情况： ①如图4，AN MN =，证明△1C EC ≅△22B O M ，可计算2O M 的长； ②如图5，AM MN =，此时M 与C 重合，226O M O C == ③如图6，AM MN =，N 和H 、1C 重合，可得结论；④如图7，AN MN =，过1C 作1C E AC ⊥于E 证明四边形122C EO B 是矩形，根据22O M EO EM =+可得结论．【解答】解：(1)如图1，过点D 作DK y ⊥轴于K ，当0x =时，6y = 6)C ∴，2262364662)y x x ==，(D ∴，DK ∴=CK ==，CD ∴===(4分)(2)在2y x =0y =，则20-+，解得：1x =-，2x =(A ∴-0)，B 0)， (0,6)C ，易得直线AC 的解析式为：y =设(E x ，2(,P x x ，2PF x x ∴=EF =Rt ACO ∆中，AO =OC =AC ∴=30CAO ∴∠=︒，2AE EF ∴=+211(()22PE EC AC AE ∴+=+-++-，212=++，2x =，2x =++，(5分)∴当12PE EC +的值最大时，x =-(P -，(6分)PC ∴=，11O B OB =，∴要使四边形11PO B C 周长的最小，即11PO B C +的值最小，如图2，将点P1(P ，连接11P B ，则111PO PB =，再作点1P 关于x 轴的对称点2(P ，则1121PB P B =， 11211PO B C P B B C ∴+=+，∴连接2P C 与x 轴的交点即为使11PO B C +的值最小时的点1B ，1(B ∴，0)，将1B 1O ，此时112PO B C PC +=，对应的点1O 的坐标为(，0)，(7分)∴四边形11PO B C (8分)(3)2O M 或-(12分) 理由是：如图3，H 是AB 的中点，OH ∴= 6OC =CH BC ∴==30HCO BCO ∴∠=∠=︒， 60ACO ∠=︒，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即2O 在AC 上，230B CA CAB ∴∠=∠=︒， 2//B C AB ∴，2(B ∴-，①如图4，AN MN =，22330MAN AMN O B O ∴∠=∠=︒=∠，由旋转得：2122330CB C O B O ∠=∠=︒，221B C B C =，212175B CC B C C ∴∠=∠=︒，过1C 作12C E B C ⊥于E ，221B C B C ==∴122C E B O =，2B E =22232175O MB B MO B CC ∠=∠=︒=∠，22190B O M C EC ∠=∠=︒，∴△1C EC ≅△22B O M ，222O M CE B C B E ∴==-=②如图5，AM MN =，此时M 与C 重合，22O M O C ==③如图6，AM MN =，2212B C B C B H ==，即N 和H 、1C 重合，230CAO AHM MHO ∴∠=∠=∠=︒，2213O M AO ∴== ④如图7，AN MN =，过1C 作1C E AC ⊥于E ，30NMA NAM ∴∠=∠=︒，312330O C B O MA ∠=︒=∠，12//C B AC ∴，1222290C B O AO B ∴∠=∠=︒，190C EC ∠=︒，∴四边形122C EO B 是矩形，212EO C B ∴==122C E B O ==EM ∴22O M EO EM ∴=+=，综上所述，2O M 的长是63或6或226+或226-．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称变换、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建轴对称解决最值问题，对于第3问等腰三角形的判定要注意利用数形结合的思想，属于中考压轴题．5．如图，已知抛物线(2)(4)(8k y x x k =+-为常数，且0)k >与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ． (1)若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；(3)在(1)的条件下，设F 为线段BD 上一点(不含端点)，连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【分析】(1)首先求出点A 、B 坐标，然后求出直线BD 的解析式，求得点D 坐标，代入抛物线解析式，求得k 的值；(2)因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC APB ∆∆∽或ABC PAB ∆∆∽．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；(3)由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：12t AF DF =+．如答图3，作辅助线，将12AF DF +转化为AF FG +；再由垂线段最短，得到垂线段AH 与直线BD 的交点，即为所求的F 点．【解答】解：(1)抛物线(2)(4)8k y x x =+-，令0y =，解得2x =-或4x =，(2,0)A ∴-，(4,0)B ．直线y x b =+经过点(4,0)B ，40b +=，解得b∴直线BD 解析式为：y x =当5x =-时，y =(5D ∴-，．点(5D -，在抛物线(2)(4)8k y x x =+-上，∴(52)(54)8k -+--=k ∴=∴抛物线的函数表达式为：2)(4)y x x =+-．即2y (2)由抛物线解析式，令0x =，得y k =-，(0,)C k ∴-，OC k =．因为点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC APB ∆∆∽或ABC PAB ∆∆∽．①若ABC APB ∆∆∽，则有BAC PAB ∠=∠，如答图21-所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则ON x =，PN y =．tan tan BAC PAB ∠=∠，即：22k y x =+， 2k y x k ∴=+．(,)2k P x x k ∴+，代入抛物线解析式(2)(4)8ky x x =+-，得(2)(4)82kkx x x k +-=+，整理得：26160x x --=，解得：8x =或2x =-(与点A 重合，舍去)，(8,5)P k ∴．ABC APB ∆∆∽，∴AC AB AB AP =，即2246625100k k +=+，解得：455k =．②若ABC PAB ∆∆∽，则有ABC PAB ∠=∠，如答图22-所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则ON x =，PN y =．tan tan ABC PAB ∠=∠，即：42k y x =+，42kky x ∴=+．(,)42kkP x x ∴+，代入抛物线解析式(2)(4)8ky x x =+-，得(2)(4)842kkkx x x +-=+，整理得：24120x x --=，解得：6x =或2x =-(与点A 重合，舍去)，(6,2)P k ∴．ABC PAB ∆∆∽， AB CB AP AB =， ∴226166644k k +=+，解得2k =±，0k >，2k ∴=，综上所述，455k =或2k =．(3)方法一：如答图3，由(1)知：(5D -，33)，如答图22-，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，则33DN =，5ON =，459BN =+=，333tan DN DBA BN ∴∠=== 30DBA ∴∠=︒．过点D 作//DK x 轴，则30KDF DBA ∠=∠=︒．过点F 作FG DK ⊥于点G ，则12FG DF =．由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：12t AF DF =+， t AF FG ∴=+，即运动的时间值等于折线AF FG +的长度值．由垂线段最短可知，折线AF FG +的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH DK ⊥于点H ，则t AH =最小，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．A 点横坐标为2-，直线BD 解析式为：y =+，(2)y ∴=-=(2F ∴-，．综上所述，当点F 坐标为(2-，时，点M 在整个运动过程中用时最少．方法二：作//DK AB ，AH DK ⊥，AH 交直线BD 于点F ，30DBA ∠=︒，30BDH ∴∠=︒，sin302FD FH DF ∴=⨯︒=， ∴当且仅当AH DK ⊥时，AF FH +最小，点M 在整个运动中用时为：12AF FD t AF FH =+=+，:BD l y = 2X X F A ∴==-，(F ∴-．【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第(2)问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k ，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第(3)问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．。

中考高分胡不归问题 1

中考高分胡不归问题1
胡不归原理：
1()如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，求的最小值是
2()如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，求
的最小值等于
3()如图，已知抛物线y=a（x+2）（x-4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经
过点B的直线y=-x+b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为-5．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB，求△PBD面积的最大值；
（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？。

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中考复习之——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”.这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”.例1.（2012崇安模拟），如图，ABC在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，22），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为-------------------------------------------------（）A.），（20 B. ），（220 C. ），（320 D. ），（42【解答】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD＝2﹣y，CD＝＝，∴设t＝+，等式变形为：t+y﹣＝，则t的最小值时考虑y的取值即可，A DBC沙砾地带∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2＝y2+1，∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1＝0，△＝（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0，∴t的最小值为，∴y＝，∴点D的坐标为（0，），故选D．解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD 最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD ＝，所以点D的坐标应为（0，）．例2.（2016•徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD的最小值为；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）．（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．故答案为．（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．②如图，Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB＝120°，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB＝∠AGB＝60°，从而线段FG上的点满足题意，∵EB＝＝，∴OE＝OB﹣EB＝，∵F（，t），EF2＝EB2，∴（）2+（t+）2＝（）2，解得t＝或，故F（，），G（，），∴t的取值范围≤t≤练习巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6, ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为 .【解答】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，∵∠BAD＝30°，∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′，∴BD′＝＝6，∠ABP＝45°，又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠P AE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴P A＝PE，又∵△APD≌△AED′，∴PD＝ED′，根据两点之间线段最短，∴AP+BP+PD的最小值＝PB+PE+ED′＝6，故答案为：6．2.（2015内江）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当12CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．【解答】解：（1）连接OC，如图1，∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝OC，∴OC＝＝h，∴AB＝2OC＝h；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC，∴CD+OD＝DH+FD．根据垂线段最短可得：当F 、D 、H 三点共线时，DH +FD （即CD +OD ）最小，此时FH ＝OF •sin ∠FOH ＝OF ＝6，则OF ＝4，AB ＝2OF ＝8．∴当CD +OD 的最小值为6时，⊙O 的直径AB 的长为8．3.（2015日照）如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+-=x y 交于A 、B 两点，交x 轴于D 、C 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （3，0）.（1）抛物线的函数关系式为，tan ∠BAC= .（2）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出所有符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由. （3）设E 为线段AC 上一点（不含端点），连接DE ，一动点M 从点D 出发，沿线段DE 以每秒一个单位的速度运动到E 点，再沿线段EA 以每秒2个单位的速度运动到点A 后停止，当点E 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（Ⅰ）把A （0，3），C （3，0）代入y ＝x 2+mx +n ，得，解得：．∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x +3联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）．如图1．∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴tan∠BAC＝＝＝；（Ⅱ）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．∵PQ⊥P A，∠ACB＝90°，∴∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①如图2①，当∠P AQ＝∠CAB时，则△P AQ∽△CAB．∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠P AQ＝∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴＝＝．∴AG＝3PG＝3x．则P（x，3﹣3x）．把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣3x，整理得：x2+x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．②如图2②，当∠P AQ＝∠CBA时，则△P AQ∽△CBA．同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得x2﹣x+3＝3﹣x，整理得：x2﹣x＝0解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴P（，）；若点G在点A的上方，①当∠P AQ＝∠CAB时，则△P AQ∽△CAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）．②当∠P AQ＝∠CBA时，则△P AQ∽△CBA．同理可得：点P的坐标为P（，）．综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，∴，∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，∴或，设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），①，∴||＝，∴2t1＝，2t2＝，②，∴||＝3∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作EN⊥y轴于N，如图3．在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，∴四边形OCD′N是矩形，∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∴D（2，0），OD＝2，∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，∴点E的坐标为（2，1）．方法二：作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3，∴M（m，﹣m+3），D（2，0），∵DM⊥AC，∴K DM×K AC＝﹣1，∴﹣1×，∴m＝，∴M（，），∵M为DD′的中点，∴D′（3，1），∵E Y＝D′Y＝1，∴E（2，1）．方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．∵A（0，3），C（3，0），∴l AC：y＝﹣x+3．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°，∵AF∥OC，∴∠F AE＝45°．∴EF＝AE•sin45°＝．∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），∴可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x＝2代入l AC：y＝﹣x+3．，得y＝1．所以E（2，1）．4.（2014成都）如图，已知抛物线）＞为常数，0)(4)(2(8k k x x k y -+=与x 轴从左至右依次交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线3y x b =-+与抛物线的另一个交点为D. （1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式.（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标为多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？（3）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值.【解答】解：（1）抛物线y ＝（x +2）（x ﹣4），令y ＝0，解得x ＝﹣2或x ＝4，∴A （﹣2，0），B （4，0）．∵直线y ＝﹣x +b 经过点B （4，0）， ∴﹣×4+b ＝0，解得b ＝，∴直线BD 解析式为：y ＝﹣x +．当x ＝﹣5时，y ＝3， ∴D （﹣5，3）． ∵点D （﹣5，3）在抛物线y ＝（x +2）（x ﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3， ∴k ＝．∴抛物线的函数表达式为：y ＝（x +2）（x ﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△P AB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠P AB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠P AB，即：，∴y＝x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．②若△ABC∽△P AB，则有∠ABC＝∠P AB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠P AB，即：＝，∴y＝x+．∴P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△P AB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，综上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．由题意，动点M 运动的路径为折线AF +DF ，运动时间：t ＝AF +DF ，∴t ＝AF +FG ，即运动的时间值等于折线AF +FG 的长度值．由垂线段最短可知，折线AF +FG 的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH ⊥DK 于点H ，则t 最小＝AH ，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．∵A 点横坐标为﹣2，直线BD 解析式为：y ＝﹣x +， ∴y ＝﹣×（﹣2）+＝2， ∴F （﹣2，2）．综上所述，当点F 坐标为（﹣2，2）时，点M 在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK ∥AB ，AH ⊥DK ，AH 交直线BD 于点F ，∵∠DBA ＝30°，∴∠BDH ＝30°，∴FH ＝DF ×sin30°＝，∴当且仅当AH ⊥DK 时，AF +FH 最小，点M 在整个运动中用时为：t ＝，∵l BD ：y ＝﹣x +， ∴F X ＝A X ＝﹣2，∴F （﹣2，）．5.（2017徐州二模）二次函数c x ax y +-=22图象与x 轴交于A 、C 两点，点C （3，0），与y 轴交于点B （0，-3）.（1）=a ，=c ；（2）如图①，P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD 2PD PC +的最小值.（3）如图②，点M 在抛物线上，若3=MBC S △，求点M 的坐标.【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c得到，，解得．故答案为1，﹣3．（2）如图1中，作PH⊥BC于H．∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，在Rt△PCH中，PH＝PC．∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，∴DH′＝BD＝2，∴DP+PC的最小值为•2＝4．（3）如图2中，取点E （1，0），作EG ⊥BC 于G ，易知EG ＝．∵S △EBC ＝•BC •EG ＝•3＝3，∴过点E 作BC 的平行线交抛物线于M 1，M 2，则＝3，＝3， ∵直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，∴直线M 1M 2的解析式为y ＝x ﹣1，由解得或，∴M 1（，），M 2（，），根据对称性可知，直线M 1M 2关于直线BC 的对称的直线与抛物线的交点M 3、M 4也满足条件，易知直线M 3M 4的解析式为y ＝x ﹣5，由解得或，∴M 3（1．﹣4），M 4（2，﹣3），综上所述，满足条件的点M 的坐标为∴M 1（，），M 2（，），M 3（1．﹣4），M 4（2，﹣3）．6.（2016随州）已知抛物线）0)(1)(3(≠-+=a x x a y ，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，经过点A 的直线b x y +-=3与抛物线的另一个交点为D.（1）若点D 的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为 .（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标.（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上一点（不含端点），连接BE ，一动点Q 从点B 出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒332个单位运动到点D停止，问当点E的坐标为多少时，点Q运动的时间最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1中，作PH⊥x轴于H，设点P坐标（m，n），当△BP A∽△ABC时，∠BAC＝∠PBA，∴tan∠BAC＝tan∠PBA，即＝，∴＝，即n＝﹣a（m﹣1），∴解得m＝﹣4或1（舍弃），当m＝﹣4时，n＝5a，∵△BP A∽△ABC，∴＝，∴AB2＝AC•PB，∴42＝，解得a＝﹣或（舍弃），则n＝5a＝﹣，∴点P坐标（﹣4，﹣）．当△PBA∽△ABC时，∠CBA＝∠PBA，∴tan∠CBA＝tan∠PBA，即＝，∴＝，∴n＝﹣3a（m﹣1），∴，解得m＝﹣6或1（舍弃），当m＝﹣6时，n＝21a，∵△PBA∽△ABC，∴＝，即AB2＝BC•PB，∴42＝•，解得a＝﹣或（不合题意舍弃），则点P坐标（﹣6，﹣3），综上所述，符合条件的点P的坐标（﹣4，﹣）和（﹣6，﹣3）．（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+EF，∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．。

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