数理统计与随机过程(涂然)-第1课
概率论与随机过程----第一讲
k
（可列并运算封闭）；
1. 定是集代数； ，有 Ak （可列交运算封闭） 2. 若 Ak k
k 1
2017/2/27 北京邮电大学电子工程学院 9
第一节 集合代数和σ -代数
设Ω是一非空集合， 是由Ω的一切子集组
成的集合类，则 是一个σ-代数。
定义1.1.2 设Ω是任一非空集合， 是由Ω的一些子集组成的非空 集合类，若Æ 满足：
1. ；
2. 若A ，有 A （余运算封闭）； 3. 若 Ak k ，有 则称是Ω上的一个σ-代数。 定理1.1.2 设是σ-代数，则：
Hale Waihona Puke Ak 12017/2/27 北京邮电大学电子工程学院
12
第一节 集合代数和σ -代数
定义1.1.3 称定理1.1.3中的0是包含的最小σ -代数，或 者是由生成的σ -代数，记为σ ()。 例1.1.2 设 A ，且 A , A ，则包含{A}的最小 σ -代数为 A, A, , 三、Borel域
P Ak P Ak k 1 k 1
（可列可加性）
称 P A 为事件A的概率
2017/2/27 北京邮电大学电子工程学院 5
第一章 概率空间
在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间Ω的子 集，即 A ，但事实上是不是任何一个样本点构成的集合都 是一个随机事件？（举例说明） 若把 A P A 看作集合A的函数，那么象高等数学里的普 通函数一样，我们必须考虑A在什么范围内， P A 才有定义？这 是初等概率论的遗留问题。为此，我们考虑以事件A为元素的 集合，称为集合类或事件体，记作 。
数理统计与随机过程
数理统计与随机过程1. 介绍2. 数理统计概述2.1 统计学的定义统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
它利用数理统计方法和技巧来从已有数据中获取有关现象和问题的信息。
2.2 数理统计的重要性•数理统计可以帮助我们理解和解释现象和问题，从数据中提取有用信息。
•数理统计可以帮助我们做出合理的决策，并评估决策的风险和效果。
•数理统计是其他学科研究的重要工具，如经济学、社会学、医学等。
3. 数理统计的基本概念3.1 总体与样本•总体：研究对象的全体。
•样本：从总体中抽取出的一部分数据。
3.2 参数与统计量•参数：用于描述总体特征的数值。
•统计量：用于描述样本特征的数值。
3.3 随机变量与概率分布•随机变量：取值不确定的变量。
•概率分布：描述随机变量取值的概率情况。
4. 数理统计的基本方法4.1 描述统计描述统计是通过对数据进行整理、分类、计算和统计来描述和总结数据的基本特征。
•频数分布表：将数据按照不同取值分组统计出现次数。
•频数分布直方图：用柱状图表示不同频数的分布情况。
•平均数：描述数据的集中趋势。
•方差：描述数据的离散程度。
4.2 推断统计推断统计是通过样本对总体进行推断和估计。
•置信区间：估计总体参数的区间范围。
•假设检验：对总体参数的假设进行检验。
5. 随机过程概述5.1 随机过程的定义随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个或多个参数，并且随着参数变化而改变。
5.2 随机过程的分类•马尔可夫过程：未来状态只与当前状态有关。
•广义马尔可夫过程：未来状态与当前状态及历史状态有关。
•马尔可夫链：具有马尔可夫性质的离散时间的随机过程。
6. 数理统计与随机过程的应用6.1 金融领域在金融领域，数理统计和随机过程被广泛应用于风险评估、资产定价和投资组合管理等。
6.2 生物医学领域在生物医学领域，数理统计和随机过程被用于疾病诊断、药物研发和生物信息学等。
6.3 工程领域在工程领域，数理统计和随机过程被应用于质量控制、可靠性分析和网络通信等。
数理统计与随机过程
数理统计与随机过程一、数理统计的基本概念和方法1.1 数理统计的定义数理统计是应用数学和统计学的原理与方法，对各种现象进行观察、收集、整理、分析和解释，从而得出有关这些现象的规律性和特征性的科学。
1.2 数理统计的基本方法数理统计的基本方法包括：数据收集、数据整理、数据分析和结论推断等。
1.3 数据收集数据收集是指通过各种手段获取有关某一现象或问题的信息。
常见的数据收集方式包括问卷调查、实验观测、抽样调查等。
1.4 数据整理数据整理是指对收集到的原始数据进行加工处理，使其变成可分析和可比较的形式。
常见的数据整理方式包括分类汇总、编码标记等。
1.5 数据分析数据分析是指通过各种统计方法对已经整理好的数据进行描述性分析和推断性分析。
常见的数据分析方法包括频率分布、中心位置测度、离散程度测度等。
1.6 结论推断结论推断是指根据已经得出的结果，对所研究问题作出科学合理判断。
常见的结论推断方式包括假设检验、置信区间估计等。
二、随机变量及其分布2.1 随机变量的定义随机变量是指在一次试验中可能取到不同值的变量，其取值不仅受试验本身的性质决定，还受到随机因素的影响。
2.2 随机变量的分类随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量只能取有限个或可数个值，而连续型随机变量可以取任意实数值。
2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数是指对于任何实数x，求出X≤x的概率。
对于离散型随机变量，其分布函数为累积分布函数；对于连续型随机变量，其分布函数为概率密度函数。
2.4 常见离散型随机分布常见离散型随机分布包括：伯努利分布、二项式分布、泊松分布等。
2.5 常见连续型随机分布常见连续型随机分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、参数估计和假设检验3.1 参数估计的基本概念参数估计是指通过样本数据对总体分布的某些未知参数进行估计。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
3.2 点估计点估计是指用样本数据直接求出总体分布的某个未知参数的值。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第1章 随机事件与概率【圣
③对立事件一定是互不相容的事件，即 A∩B＝∅．但互不相容的事件不一定是对立事件．
＿
④A－B 可以记为 AB．
7．事件的运算性质
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（1）交换律
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A∪B＝B∪A，AB＝BA
（2）结合律
（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）
n r 1
次所得的组合，此种重复组合总数为
r
，这里的 r 也允许大于 n．
上述四种排列组合及其总数计算公式在使用中要注意识别有序与无序、重复与不重复．
3．确定概率的频率方法 （1）确定概率的频率方法 在大量重复试验中，用频率的稳定值去获得概率的一种方法，其基本思想是： ①与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行．
4．随机变量 定义：表示随机现象结果的变量，常用大写字母 X，Y，Z 表示． 注意：很多事件都用随机变量表示时，应写明随机变量的含义．在同一个随机现象中， 不同的设置可获得不同的随机变量，如何设置可按需要进行．
5．事件间的关系 假设在同一个样本空间 Ω（即同一个随机现象）中进行．事件间的关系与集合间关系
2．排列与组合公式 排列与组合都是计算“从 n 个元素中任取 r 个元素”的取法总数公式． 区别：组合公式是不讲究取出元素间的次序，否则用排列公式．而所谓讲究元素间的次 序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次 序的，因为“甲右乙左”与“乙右甲左”是两件事．
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＿
1-1-5），或用概率论的语言说“A 不发生”，即A＝Ω－A．
＿
图 1-1-5 A 的对立事件A
注意：
＿
＿
①对立事件是相互的，即 A 的对立事件是A，而A的对立事件是 A．必然事件 Ω 与不可
数理统计与随机过程
数理统计与随机过程
数理统计是一门研究如何从数据中提取信息的学科，它是现代统计学的基础。
数理统计的主要任务是通过对数据的分析和处理，得出数据的规律性和特征，从而对数据进行预测和决策。
数理统计的应用范围非常广泛，包括经济、金融、医学、环境、社会等各个领域。
随机过程是一种随机变量的序列，它描述了随机事件在时间上的演化过程。
随机过程是概率论和统计学中的重要概念，它在信号处理、通信、控制、金融等领域中有着广泛的应用。
数理统计和随机过程有着密切的联系。
在数理统计中，我们通常需要对数据进行建模，而随机过程提供了一种自然的建模方式。
例如，我们可以将时间序列数据看作是一个随机过程，然后通过对随机过程的分析和处理，得出数据的规律性和特征。
另外，在随机过程中，我们通常需要对随机变量的分布进行估计，而数理统计提供了一种有效的估计方法。
在实际应用中，数理统计和随机过程经常被用来解决各种问题。
例如，在金融领域中，我们可以使用随机过程来建立股票价格的模型，然后使用数理统计的方法对模型进行分析和预测。
在医学领域中，我们可以使用数理统计的方法对疾病的发病率进行分析，然后使用随机过程来建立疾病传播的模型。
数理统计和随机过程是现代统计学和概率论的重要组成部分，它们
在各个领域中都有着广泛的应用。
通过对数据的分析和建模，我们可以更好地理解数据的规律性和特征，从而为决策和预测提供更加准确的依据。
概率论与数理统计图文课件最新版-第1章-随机事件与概率
AB
注 ▲ 它是由事件 A与 B 的所有
公共样本点构成的集合。
n
▲ 称 I Ak 为 n 个事件 A1 , A2 ,L An 的积事件 k 1
I
k 1
Ak
为可列个事件
A1
,
A2
,L
L
的积事件
概率统计
5．事件的差： 若事件 A 发生而事件 B 不发生，则称 这样的事件为事件 A 与事件 B 的差。
A B 记作： A B x x A且x B
2
0.4
18 0.36
4
0.8
27 0.54
247 0.494
251 0.502 26波2 动0最.52小4
258 0.516
概率统计
从上述数据可得:
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
解： S1 ｛正面，反面｝
S2 0,1, 2, 3,
概率统计
S3 1, 2, 3, S4 0,1, 2, 3, ,10
S5 1, 2, 3,4,5,6
注
E3 ：射手射击一个目标， 直到射中为止，观 察 其射击的次数
E4：从一批产品中抽取十 件，观察其次品数。
E5：抛一颗骰子，观察其 出现的点数。
义上提供了一个理
H
想试验的模型：
(H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
T
在每次试验中必
有一个样本点出
H
现且仅有一个样
本点出现 .
T
概率统计
例4．若试验 E是测试某灯泡的寿命. 试写出该试验 E 的样本空间. 解：因为该试验的样本点是一非负数，
随机过程第1章概论课件
随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书：1．随机信号分析基础。
王永德王军编著，电子工业出版社。
2．随机信号分析。
朱华等编著，北京理工大学出版社。
3．随机过程及其应用。
陆大絟编著，清华大学出版社。
第一章 随机信号概论1.1 确定性信号与随机信号工程中的数字信号主要指被量化的各种物理量，按特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等类型。
按可预测性和可再现性原则，信号可分为确定性信号与随机信号两类。
按确定性规律变化的信号称为确定性信号。
确定性信号可以用数学解析式表达，或用确定性曲线准确地描述。
在相同的条件下，确定性信号可以重复、再现，确定性信号可用函数()s t 或(,)s t θ来表达，其中θ是待定参数或参数向量，t 是时间或空间自变量。
例1 正弦信号0()sin(2)s t A t πωφ=+A 、0ω、φ分别是信号的振幅、频率、相位，可以是确定的数值，也可以是待定参数。
不遵循任何确定性规律变化的信号称为随机信号。
随机信号具有不重复、不可预测的特点，在完全相同的条件下，不能保证信号能完全重现，对信号的未来值不能完全准确地预测。
随机信号产生的原因是信号在产生、发射、传输、接收、测量、采样、计算等处理过程中受到各种噪声的干扰。
随机信号常用随机函数()X t 表示，它与确定性信号(,)s t θ往往有如下关系：()(,)()X t s t t θε=+()(,)()X t s t t θε=∙()t ε是噪声干扰。
信号的确定性是相对的。
在理想的环境、理想的条件下，信号是确定的；或者在精度要求不高的情况下，在某些噪声和干扰忽略不计的前提下，信号是确定的。
由于噪声和干扰无处不在、无时不在，工程应用中的信号往往都具有随机性。
处理随机信号的主要方法是信号统计处理方法，其中信号估计与信号检测是信号统计处理方法的核心内容。
理论上，随机信号()X t 是时间连续的，即时间t 的取值是连续的。
数理统计与随机过程
数理统计与随机过程标题：深入理解数理统计与随机过程摘要：本文将深入探讨数理统计与随机过程的多个方面，从简单概念和基本原理出发，逐步深入到更复杂的应用和高级理论。
通过结构化的介绍和回顾性总结，将帮助读者对这一主题有更全面、深刻和灵活的理解。
第一部分：数理统计的基础概念与原理1.1 概率与统计的基本概念- 随机事件与概率空间- 概率分布函数与密度函数- 随机变量与随机过程1.2 统计学的基本方法- 描述统计：均值、方差、中位数等指标- 推断统计：参数估计与假设检验- 抽样方法与样本容量选择第二部分：数理统计的应用领域2.1 生物统计学- 实验设计与样本调查分析- 遗传学与流行病学研究- 医学统计与临床试验分析2.2 金融统计学- 风险管理与投资组合优化- 金融工程与衍生品定价- 高频数据分析与交易策略2.3 工程统计学- 质量控制与流程改进- 可靠性分析与寿命预测- 多元数据分析与建模第三部分：随机过程的基本理论与应用3.1 马尔可夫过程- 离散时间马尔可夫链与连续时间马尔可夫过程 - 马尔可夫链的平稳性与收敛性- 马尔可夫决策过程与最优控制3.2 随机过程的分类与性质- 马尔可夫性与时齐性- 随机过程的独立增量与平稳增量- 马尔可夫过程的各种变形与扩展3.3 随机过程的应用领域- 信号处理与通信系统建模- 排队论与网络性能分析- 金融衍生品定价与投资组合优化第四部分：数理统计与随机过程的未来发展方向4.1 大数据与机器学习的融合- 基于统计学的机器学习方法- 高维数据分析与特征选择- 强化学习与无监督学习的应用潜力4.2 贝叶斯统计与深度学习- 贝叶斯推断与参数估计- 深度学习的贝叶斯框架与不确定性建模- 基于深度学习的贝叶斯优化与决策分析结论：数理统计与随机过程作为现代科学和工程领域中不可或缺的工具和理论基础，其应用广泛而深远。
随着技术和方法的不断创新，数理统计与随机过程将在更多领域发挥重要作用，进一步推动科学和技术的进步。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第1章
例
AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，
求 B 的对立事件的概率。
解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B) 得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2， 所以 P( B ) = 10.2 = 0.8.
可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则
P
Ai
P( Ai )
i1 i1
注记：
概率是从事件域F 到[0,1]的函数。 （Ω,F ,P）三元组称作概率空间。
柯氏公理体系并未告诉人们如何去确定概 率。历史上确定概率的方法有频率法，古 典法，几何法以及主观概率。
A与B互不相容 A与B至少有一发生
A与B同时发生 A发生且B不发生
A不发生、对立事件
集合论
空间 空集
元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集
A的余集
运算性质（交换律、结 合律和分配率） 及德莫根律
A B A B; A B A B
n
n
Ai Ai ;
i 1
1.1.6 事件的运算
并： A B 交： A B = AB 差： A B
对立： A
A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
事件运算的图示
AB
AB
AB
记号
Ω φ
AB
AB=φ
AB AB
AB
A
概率论
样本空间, 必然事件 不可能事件
样本点 A发生必然导致B发生
例1.3.5
P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率.
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。
数理统计与随机过程1——概率论
•12
(一)频率 n f ( A) A ； 定义：记 n n 其中 nA —A发生的次数(频数)； n—总试验次数。 称 fn ( A) 为A在这n次试验中发生的频率。 例：
某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记 A={听课迟到}，则 fn ( A) 15 17 88% # 频率 fn ( A) 反映了事件A发生的频繁程度。
则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
B1
S
B2
Bn
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是 必然的，两两同时发生又是不可能的。
•19
定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的 一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称： P( A) n P( B ) P( A | B ) 为全概率公式
*
中心问题：将试验结果数量化
*
*
定义：随试验结果而变的量X为随机变量
常见的两类随机变量
离散型的
连续型的
•30
定义：取值可数的随机变量为离散量 离散量的概率分布(分布律)
X P
x1 p1 x2 p2
… …
xi pi
… …
pi 0, pi 1
i 1
样本空间S＝{ X=x1，X=x2，…，X=xn，… } 由于样本点两两不相容
4. 条件概率：P B | A
当B1 , B2 , , Bn为S的一划分时， P( A) P( B j ) P( A | B j ), P ( Bi | A)
j 1 n
P( B ) P( A | B )
j 1 j j
n
5. 事件独立性
数理统计与随机过程讲义
=q(t) r e ，为非平凡(非零)有界解，这里•为状态转移概率 那么我们有分布函数F (t) = P(x 乞 t) = 1 _ P(x t) = 1 _ q(t) = 1 _ e —'t因此得到指数分布 Ye 」t_00 other两个指数分布之和的分布？f(t) dF(t) dt 《数理统计与随机过程讲义》段法兵复杂性科学研究所第一章概率论回顾F 面是数理统计部分需要的掌握的，许多推导的基础知识§1.1几种分布的由来指数分布：服务台电话呼叫时间，公交车到达一个车站时间，这些时间分布的符合指数分布。
设q(t)为区间t 上没有事件发生的概率，x 为第一次事件发生等待 的时间，那么q(t)二P(x .t)，假设不同时间区间t i ，t 2相互不重叠且独立，那么 P(x tJP(x t 2) = P(x t 1 t 2)=q(t i )q(t 2)=q(t i t ?)在x-y的空间内，满足x • y乞z的区域如上，那么z的累计分布f z (z)二 f x (x) * f y (y)= F(z) = P& + y wz}= (dy(」f xy (x,y)dx那么f z (zH-d FjZ Z^ " 0f x (x )f y (^x)dx 例如x 与y 为相互独立的指数分布，f x (x)二(厂和f y (y)二，e_y 分别为其概率分 布函数，那么z = x+y 的分布为，2e —'X e-'(z 」)dx = z ・2e 」z ， 0Gamma 分布：N 个指数分布的随机变量之和的分布为 Gamma 分布。
例如x 与y 为相互独立的指数分布，f x (x)二’e"和f y (y)二分别为其概率分 布函数，那么z 二x+y 的分布为z n - n f z (z) = f x (x) * f y (y)=［扎eF/Jdx = zfb如此卷积下去，N 个相互独立的指数分布相加的概率分布为 Gamma 分布，其概 率密度函数这里参数〉，■：':0。
信号分与处理-第1课(涂然)
概述
基本内容
信号处理 指通过对信号的加工和变换，把一个信号变换 成另 个信号的过程； 成另一个信号的过程； 也可以更直观的理解为——为了特定的目的， 通过一定手段改造信号
概述
基本内容
强调 这门课不是数学课 虽然有大 的公式推导，但是最终目的是应用 虽然有大量的公式推导，但是最终目的是应用 它们解决工程实际问题 ——这是官方的说法 在我看来，如果这都不算是数学，那数学还能 是什么？
课程安排
课程定位
目标 了解信号分析、处理的基本概念 掌握信号在各种变换域下的分析方法及特性 掌握信号的数字分析基础方法 适当了解现代信号分析、处理的基本内容 提升解决相关问题的能力
课程安排
课程定位
难易程度 以基础知识为主，绝对不讲得太难太偏
fi /
人数 爱提意见
还得努力的
学习好的
课程安排
课程定位
信号分析与处理
涂 然
Mar. 2015, Xiamen
College of Mechanical Engineering and Automation Huaqiao University E-mail: Turan@
自我介绍
自我介绍
涂然 男 1985年生于重庆 涂然，男， 受教育经历
各种分类
信号分类
辨析 通常，仅在有限时间区间内不为0的信号是能 信号 如脉冲信号等 量信号——如脉冲信号等
现实中大多数信号都是这种持续时间有限信号
各种分类
信号分类
辨析 而一般幅度有限的周期信号、随机信号则属于 功率信号
电压噪声
各种分类
信号分类
辨析 重要的一点：对于一个信号 可以既不是能 信号， 不是功率信号 可以既不是能量信号，也不是功率信号 但不能既是能量信号， 又是功率信号
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事件关系
重要定义
相容和不相容关系 A——出现偶数点，B——出现奇数点 C——出现小于4的点 相容： 两个事件有可能同时发生 不相容 两个事件不可能同时发生 不相容：两个事件不可能同时发生
事件关系
理解
不相容 直观的小例子
事件关系
重要定义
对立关系 A——出现偶数点，B——出现奇数点 同时 A B
数理统计与随机过程
涂 然
Sep. 2014, Xiamen
College of Mechanical Engineering and Automation Huaqiao University E-mail: turan@
课程纲要
自我介绍
涂然 男 1985年生于重庆 涂然，男， 受教育经历
Lesson 1
课程大纲
随机现象与随机事件 事件关系 事件运算法则
随机现象与随机事件
随机现象与随机事件
确定现象
7:00pm
随机现象
? ??pm ?:??
随机现象与随机事件
确定现象
向上抛起的硬币一定会掉下来 向上抛起的硬币 定会掉下来 水加热到100摄氏度就会沸腾
随机现象（不确定现象）
硬币掉下来后是正面还是反面朝上？ 在抛（试验）之前不可能知道结果
事件关系
事件的文氏图对应关系
子事件 A B 事件A发生蕴涵事件B一定发生，则事件A称为 事件B的子事件，记为 A B
随机现象与随机事件
随机现象
看似不确定、无规律 看似不确定 无规律 如果硬币抛上100、1000次？ 抛（试验）的次数足够多时，正、反面出现次 数相近 数相近——统计性规律 统计性规律
我们课程的主要任务之一就是 研究随机现象中的统计性规律
随机现象与随机事件
重要定义
随机试验 可重复进行；试验结果不止一个且无法事先断 定；但所有可能结果是可知的 每 种结果称为 个随机事件 每一种结果称为一个随机事件 例如：扔骰子 结果为1点为一个随机事件； 点为一个随机事件 结果为3点、为偶数点、奇数点； 结果为小于5的点 等等
大量时间写板书 内容少、思考时间多 容易接收
随机现象与随机事件
例2
生产产品，直到有 生产产品 直到有10件合格品为止，则生产产 件合格品为止 则生产产 品总件数的样本空间是？ 解 设产 完第10件正品前共 解：设产生完第 件正品前共生产了 产了k件不合 格产品，则 10 k | k 0,1,2,... 10 1112 或 10,11,12,...
课堂要求
请各位尽量遵守 看准上课时间 手机请静音（拍照勿用闪光） 课后作业用作业本提交
概率论
概率论
概率论自身框架
概率论有一个自生的框架，所有问题都是在这 概率论有 个自生的框架 所有问题都是在这 个框架之内进行讨论，是一门严谨的学科 这个框架在我们这门课里称为概率空间
(, F , P )
随机事件
学习逻辑
概率论是课程的基础 在此基础上进一步探讨数理统计与随机过程 （虽然可能本科阶段学过概率）
概率论
概率
概率论
“不 不一样 样”的数学分支学科 的数学分支学科 从常见的数学是确定的，概率是模糊的 建立 种对待问题的新的逻辑思维方法 建立一种对待问题的新的逻辑思维方法 一些东西别人觉得神奇，你看起来觉得正常就 达到目的了
概率
概率发展简史
18世纪后期至19世纪
Hilbert
Poincaré
Kolmogorov
概率
概率发展简史
18世纪后期至19世纪 正式提出了概率论的公理体系， 正式提出了概率论的公理体系 概率论从此得以迅速发展， 在此基础上，数理统计也取得 长足进步 Kolmogorov
概率
概率发展简史
18世纪后期至19世纪 概率论的公理化 使其成为了 概率论的公理化，使其成为了 一门严格的演绎科学 并取得了与其他数学分支同 等的地位 Kolmogorov
定位
目标
培养学生的概率思维和随机思维 培养随机性思维下的逻辑推理能力 注重概率与统计的联系，培养灵活运用随机性 思维的能力 提高解决问题的能力
定位
授课形式
课堂授课 课堂作业 课 作 + 学 学期大作业 作 期末考试
期末考试（60） 课堂点名（10） 课堂作业（15） 大作业（15）
定位
期末大作业
例4
一千张彩票中任意抽取 千张彩票中任意抽取1张，有多少个基本事 张 有多少个基本事 件？任意抽取2张有多少个基本事件？ 解：1000中选1，基本事件1000（ C1000 ） 解 1000中选2，可能的组合数有
C
2 1000
1
1000 999 499500 2
随机现象与随机事件
例5
一个硬币先后抛起 个硬币先后抛起3次，观察其出现正面或反 次 观察其出现正面或反 面的情况，问共有多少基本事件数，并写出样本空 间？ 解：（正正正）（正正反）（正反正） （正反反）（反正正）（反正反） （反反正）（反反反） 共8个
00,100
而4次检查的样本则包括了
0000 1000 0100 1100 0000,1000,0100,1100 0010,1010,0110,1110 0001,1001,0101,1101, 00111011 01111111 0011,1011,0111,1111
随机现象与随机事件
随机现象与随机事件
定义小结
随机现象 自然界中的客观现象，当人们观测它时，所得 结果不能预先确定，而仅仅是多种可能结果之一 随机试验 随机现象的实现和对它某个特征的观测 （要求结果至少有2个，在试验和观测前不可 个 在试验和观测前不可 预知，此外在相同条件下可以重复）
随机现象与随机事件
重要定义
事件等价 结果为偶数点 等价于 为2点、或4点、或6点 即，有的事件可以分解；而有的事件是无法 分解的 不能分解的称为基本事件 基本事件的集合就称为基本事件空间 或叫 基本事件的集合就称为基本事件空间，或叫 做样本空间，通用表示符号
2003.9-07.7 中国科学技术大学（安全技术及工程/本科） 2007.9-12.7 2007.9 12.7 中国科学技术大学（安全科学与工程/硕博）
工作经历
2012.9-14.7 中国科学技术大学（博士后） 2014.9至今 华侨大学（讲师）
引言
课程纲要
课程内容
三大板块 概率论 + 数理统计 + 随机过程
随机现象与随机事件
样本空间
Omega 希腊字母表的最后一个字母，意为无穷大； 同时也有终结的意思
随机现象与随机事件
再扯一句
另一个无穷大 另 个无穷大 阿基米德用10的100次方来描述世界上沙子的 总数量，这个数后来被科普作家卡斯纳的9岁小外 甥命名为Googol g （古戈尔，超过所有粒子总数） 古戈尔，超过所有粒子总数 后来古戈尔被两个青年借鉴为公司名
事件关系
文氏图
BA
BA
AB相容
AB不相容
AB对立
事件关系
文氏图
与打靶的相似 环是 事件 打靶就是作实验
事件关系
文氏图
文式图介绍 由John Venn（英国数学家） 在1881年发明，又翻译为 维恩图或韦恩图，最早是用来 表示集合及其关系的图形
事件关系
文氏图
文式图介绍 为缅怀John Venn 剑桥大学冈维尔与凯斯学院 的彩色玻璃窗就采用了一个 3环相交的文氏图图案
随机现象与随机事件
约定俗成
随机事件的数学表达 随机事件常用大写英文字母A,B,C,D等表示， 如果用语言表达，则要用花括号括起来
随机现象与随机事件
例1
掷1个骰子，观察出现的点数 个骰子 观察出现的点数 解： 1,2,3,4,5,6
随机现象与随机事件
板书到电子幻灯片
各有利弊
效率高、生动 效率高 生动 课程内容量大 接收有难度
课程定位
定位
内容定位
本课程以阐述概率论、数理统计及随机过程的 本课程以阐述概率论 数理统计及随机过程的 基本原理和各类普遍规律为核心，侧重于基本概念、 基本原理、基本方法及其运用，以及对典型问题的 科学分析 力求以应用为目的，使同学们初步掌握处理随 机现象的基本思想和方法 培养学生运用概率统计 机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计 方法分析和解决实际问题的能力
自选题材（可结合研究方向），选取近年来统 自选题材（可结合研究方向） 选取近年来统 计及随机方法在实际生活中的应用，并由此解决的 实际问题；基于这些调研，发挥想象，提出你的 进 步改进方案或措施 进一步改进方案或措施
定位
期末大作业
要求：原创、独立完成，具有明确的某一项观 要求 原创 独立完成 具有明确的某 项观 点与思路，ppt演讲（约5分钟） 评分标准： 评分标准 新颖性；趣味性；科幻性；前瞻性 于学期末最后两堂课进行
随机现象与随机事件
重要定义
肯定会出现的事件（必然事件） 结果为不大于6的点 肯定不会出现的事件（不可能事件） 结果为大于6的点
随机现象与随机事件
定义小结
基本事件 随机试验中的每一个单一结果，犹如分子中的 原子，在反应中不可再分，所以称“基本” 随机事件 简称事件，在随机试验中可能出现的各种结果， 由 个或若干个基本事件组成 由一个或若干个基本事件组成
随机现象与随机事件
例3
对某工厂的产品进行抽检，合格的记上 对某工厂的产品进行抽检 合格的记上“正 正 品”，不合格记“次品”，如连续抽查2件次品就 停止检查，同时抽检产品数不超过4次，则检查结 果的样本空间为 果的样本空间为？（抄个题） 抄个题
随机现象与随机事件
解：易知，如3次内就停止检查，只能有
事件的关系
事件关系