2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题(解答)
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。
【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。
（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。
由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
随机过程习题答案
随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yte t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t ，Yte t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F tY ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {txF t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t 均值函数 ⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和； （2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ； （3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X X t σσ。
数理统计与随机过程(涂然)-第1课
大量时间写板书 内容少、思考时间多 容易接收
随机现象与随机事件
例2
生产产品，直到有 生产产品 直到有10件合格品为止，则生产产 件合格品为止 则生产产 品总件数的样本空间是？ 解 设产 完第10件正品前共 解：设产生完第 件正品前共生产了 产了k件不合 格产品，则 10 k | k 0,1,2,... 10 1112 或 10,11,12,...
课堂要求
请各位尽量遵守 看准上课时间 手机请静音（拍照勿用闪光） 课后作业用作业本提交
概率论
概率论
概率论自身框架
概率论有一个自生的框架，所有问题都是在这 概率论有 个自生的框架 所有问题都是在这 个框架之内进行讨论，是一门严谨的学科 这个框架在我们这门课里称为概率空间
(, F , P )
随机事件
概率
概率发展简史
起源于17世纪 公认是1654年Pascal与Fermat就赌博中的数 学问题所展开的讨论
概率
概率发展简史
随后众多数学大家的积淀（17-18 17 18世纪）
Poisson
Laplace
Huygens
Bernouli
概率
相机简史
1822年才有了第一张照片（诞生于法国） 年才有了第 张照片（诞生于法国）
事件关系
文氏图
BA
BA
AB相容
AB不相容
AB对立
事件关系
文氏图
与打靶的相似 环是 事件 打靶就是作实验
ห้องสมุดไป่ตู้件关系
文氏图
文式图介绍 由John Venn（英国数学家） 在1881年发明，又翻译为 维恩图或韦恩图，最早是用来 表示集合及其关系的图形
事件关系
随机过程习题及答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t et t t X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Utt Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
4030(30)((1)40)!kk P N ek -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
东南大学概率论与数理统计07-08(2)试卷
南
大
学
考
试
卷 （ A 卷）
得 分 120 分钟
课 程 名 称 概率统计与随机过程 考 试 学 期 07—08（二） 适用专业 全校 考试形式 闭
考试时间长度
题号 得分
一
二
三
四
五
六
七
八
备用数据： (1.645) 0.05 ； (0.5792) 0.7188 ；
(1) 0.8413 (2) 0.9772
2
已知参数， X 度为： (A) 9 得分
1 5 1 5 X ，则 Xi X i 2 [ 5 i 1 i 1
(B) 8
2
X i ] 服从 2 分布，其自由
2 i 6
10
(C) 7
(D) 10
二、填充题（每题 3 分，共 15 分） 1、设随机变量 X、Y 独立分别服从正态分布 N (1,1) ， N (2, 2) ，则：
姓名
2 P( 24 12.401) 0.975； 2 22.465) 0.95； P( 35
封
2 23.269) 0.95； P( 36 2 117.4069) 0.1 ； P ( 99
Tn ~ t (n):
P(T15 1.3406) 0.10； P(T16 1.3368) 0.10； P(T24 2.0639) 0.025； P(T25 2.0595) 0.025； P(T35 2.0301) 0.025； P(T99 2.0281) 0.02；
4 、 设 X 1 , X 2 , , X n , 是 独 立 同 在 区 间 [-1,1] 上 均 匀 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 则
数理统计与随机过程例题精选
例1：设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、 方差均为1的随机变量，令ζ（t）=ζ+ηt， 求ζ（t）的均值、方差和相关函数。
解：
1 (t ) E[ (t )] E ( ) tE() 0;
(t ) D[ (t )] D( t ) D( ) t D( ) 1 t ;
0 0 3 4 P 1 1 4 2 0 1
1 4 1 2 3 4
2 0 1 4 1 4
1 2 3
P X 0 0, X 2 1, X 4 1 P X 2 1, X 4 1| X 0 0 P X 1 0, X 2 0, X 3 0, X 4 0 | X 0 0
(4) E[N(5)]=5 , D N 5 5 , Cov[ N (5), N (12)] D N 5 5.
例3：证明:正弦波X (t ) Acos( t ) t , 2 x, 0 x 1 其中是常数, A与相互独立, A~f ( x) , 0, 其它 在(0, 2 )上均匀分布,是平稳过程; 并判断其是否为各态历经过程.
（2）ξt的均值函数;(3) ξt的相关函数。
解：（1）P{在[0，t]内发生偶数次“随机点”}
( t ) 2 ( t ) 4 p0 (t ) p2 (t ) e t {1 } 3 t cosht 2! 4!
（2）显然
E (t ) 1 e t cosht (1) e t sinh t e t (cosht sinh t ) e t e t e 2 t
3/4 1/4 0 3/4 1/4 0 0
北京工业大学2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？解：按题意，要检验的假设是54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界值2622290250.)(.=t ，由样本值算得382514654.,.==t x因为26222.<t ，故接受假设0H ，即在05.0=α时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异。
二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α） 解 ：检验假设)()(:x F x F H 00= )()(:x F x F H 01≠其中)(x F 0为等概率分布, 其分布律为.,,,,/}{9210101 ===k k X P由观测数据得.,,,,,921080800 ===i np n i 计算得1255804101145701312680122222222922.)()(==++++++++=-=∑=i ii i np np f χ查表得9191605029.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.根据计算结果可得：（1） 回归方程：X Y 1845023566..+=∧（2）检验回归方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯-⨯=-=====⨯⨯-==⨯-=235661845011871426571184508574549068390683426511871711868574541187124442...ˆˆ...ˆ....x by a S S b S S xxxy xy xx 于是得检验假设 0H ：b=0， 1H ： b ≠0 当 0H 为真时， 计算得：0791018450..=t 857454.=49.74查表得5706250250.)(.=t ，由于570627449..||>=t 。
2007年《随机过程》课程试卷答案及评分标准
北方工业大学2007-2008学年第一学期研究生随机过程试题参考答案一、（15分）设随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，求（1）X 的特征函数()g t ；（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。
解：（1）特征函数 ()()()i t X i t x g t E e e d F x +∞-∞==⎰ 1()ibt iatb itx a e e e dx b a i b a t-==--⎰ 8分 （2）由()(0)()k k k g i E X =得011()(0)lim ()2t a b E X g g t i i →+''=== 22222011()(0)lim ()3t a ab b E X g g t i i →++''''=== 从而 222()()()()12b a D X E X EX -=-= 7分 二、（20分）试求随机相位余弦波()cos()X t a t ω=+Θ的均值函数，方差函数和自相关函数。
其中,a ω为常数，Θ服从(0,2)π上的均匀分布。
9分自相关函数为12(,)X R t t6分5分三、（20分）设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计数器，()N t 表示在[0,)t 内到达计数器的粒子个数，试求（1） 在第3分钟到第5分钟之间到达计数器的粒子个数的概率分布；（2） 在2分钟内至少有2个粒子到达计数器的概率。
解：（1）到达计数器的粒子个数的概率分布为88{(5)(3)}(0,1,)!k e P N N k k k --=== 10分 （2）所求概率为8108{(2)(0)2}1!k k e P N N k -=-≥=-∑ 819e -=- 10分四、（15分）设马氏链的转移矩阵为00.60.40000.30.710001000P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1） 求两步转移矩阵；（2） 求出各类的周期，并讨论其常返性。
随机过程练习题(二)参考解答
随机过程练习题（二）参考解答P1081. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证：（1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程；（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2202011sin sin 2211cos cos 2122ut du ut d ut tutt ttππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E U t U t ττττ=+=+⎡⎤⎣⎦=⋅+⎡⎤⎣⎦，()()()20201sin sin 211cos 2cos 22ut u t duut u u du ππτπττπ=⋅+⋅⎛⎫=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰()()202201cos 2cos 4111sin 2sin 42u t u duu t u t πππττπττπττ=-+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=-+-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关， 二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞ 其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。
北京航空航天大学2007-2008年概率统计与随机过程历年试卷汇编
北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2007－2008 学年第二学期期末考试统一用答题册班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________A2008年6月 26 日一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1、 设事件A 、B 为任意事件,则下列各式中成立的是( )。
(A) )()()(B P A P B A P +=+； (B) )()()(B P A P B A P -=-； (C) )()()()(A P AB P B P B A P -+=-； (D) )()()(B P A P B A P =- 。
2、 有)3(≥n n 个人随机围坐在一个圆桌的一圈, 甲、乙两人相邻的概率是（ ）。
(A)n 2； (B) 12-n ； (C) )1(2-n n ； (D) )!1(1-n . 3、 已知随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=其它,020,)(x bx a x f , 且41}1{=≥X P ,则有( ) 。
(A) 21,1-==b a ； (B) 1,21=-=b a ；(C) 21,1==b a ； (D) 1,21==b a 。
4、 设随机变量X 在]2,2[ππ-上服从均匀分布,则X Y cos =的概率密度为（ ）。
（A ）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,022,1)(πππy y f Y ； （B ）⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=其它,011,111)(2y y y f Y π； （C ）2111)(y y f Y +=π, +∞<<∞-y ； （D ）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它,010,112)(2y yy f Y π 。
5、设随机变量4321,,,X X X X 相互独立,且服从同一分布,数学期望0=i EX ,方差02≠=σi DX ,4,3,2,1=i ；令321X X X X ++=,432X X X Y ++=, 则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ ）. （A ）32 ； （B ）49σ； （C ）292σ； （D ）22σ 。
随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。
如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。
如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。
[理学]2009-第一学期数理统计与随机过程研试题-精品文档
![[理学]2009-第一学期数理统计与随机过程研试题-精品文档](https://img.taocdn.com/s3/m/9016f4d6f705cc17552709f5.png)
北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。
（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；（2）求}1|3{2==+n n X X P ；（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
随机过程习题及部分解答(共享).docx
随机过程习题及部分解答习题一1.若随机过程X(/)为X(0 = A?,-oo<r<+oo,式中4为(0, 1)上均匀分布的随机变量，求X(/)的一维概率密度Px(x；t)。
2.设随机过程X(/) = 4cos(初+ 其中振幅A及角频率①均为常数,相位&是在[-兀,刃上服从均匀分布的随机变量，求X(/)的一维分布。
习题二1.若随机过程X(/)为X(t)=At -00 < r < +00 ,式中4为(0,1)上均匀分布的随机变量，求E[xa)],7?xa』2)2.给定一随机过程X(/)和常数Q,试以X(/)的相关函数表示随机过程y(0 = X(/ + a) —X(/)的自相关函数。
3.已知随机过程X(/)的均值阪⑴和协方差函数Cx (爪© , 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)是普通函数，试求随机过程丫⑴=X(/) + 0(/)的均值和协方差函数。
4.设X(t) = A cos at + B sin at,其中A, B是相互独立且服从同一高斯(正态)分布N(0Q2)的随机变量，a为常数，试求X(/)的值与相关函数。
习题三1.试证3.1节均方收敛的性质。
2.证明:若X(t),twT;Y(t),twT均方可微，a0为任意常数,则aX(t) + bY(t) 也是均方可微，且有[aX (?) + b Y(/)]' = aX'(/) + b Y'(/)3.证明：若X⑴,twT均方可微，/X/)是普通的可微函数，则f(Z)X(Z)均方可微且[f(ox(or-/w(o+/(ox,(o4.证明:设X⑴在[a,b]上均方可微，且X0)在[a,切上均方连续，则有X'⑴ dt = X(b) — X(a)J a5•证明，设X(t\t eT =[a,b];Y{t\t eT = [a,b]为两个随机过程，且在T上均方可积，a和0为常数，则有(*b (*b (*bf [aX(/) + 0Y(/)M = a [ Xit)dt + /3\ Y⑴ dtJ a J a J aeb rc rbaX (t)dt = X (t)dt + XQ) dt,aWcWbJ a J a Jc6.求随机微分方程X'(/) + aX ⑴二丫⑴ze[0,+oo]'X(0) = 0的X(t)数学期望E [X(0]。
(完整版)概率论与数理统计试题及答案
2008－2009学年 第1学期 概率论与数理统计(46学时) A一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
1、A B 、为两个随机事件，若()0P AB =，则（A ）A B 、一定是互不相容的； （B ）AB 一定是不可能事件； （C ）AB 不一定是不可能事件； （D ）()0P A =或()0P B =.2、二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为(,)F x y 为(,)X Y 的联合分布函数，则(1.5,1.5)F 等于（A ）1/6； （B ）1/2； （C ）1/3； （D ）1/4.3、X Y 、是两个随机变量，下列结果正确的是 （A ）若()E XY EXEY =,则X Y 、独立； （B ）若X Y 、不独立,则X Y 、一定相关；（C ）若X Y 、相关,则X Y 、一定不独立； （D ）若()D X Y DX DY -=+,则X Y 、独立.YX 0 1 2 1 1/61/3 0 21/41/61/124、总体2212~(,),,,,,n X N X X X μσμσ均未知，为来自X 的一个简单样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。
若μ的置信度为0.98的置信区间为(X c X c -+，则常数c 为（A ）0.01(1)t n -； （B ）0.01()t n ；（C ）0.02(1)t n -； （D ）0.02()t n .5、随机变量12,,,n X X X 独立且都服从(2,4)N 分布，则__11ni i X X n ==∑服从（A ）(0,1)N ； （B ）(2,4)N n ；（C ）(2,4)N n n ； （D ）4(2,)N n .二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。
6、已知A B 、为两个随机事件，若()0.6,()0.1,P A P AB ==则(|)P A AB =1.7、已知随机变量X 服从区间(0,2)上的均匀分布，则(2)E X =（ ）.8、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它，则概率(||12)P X <=（ ）.9、随机变量12(3,),(3,)33Xb Yb ,且,X Y 独立，则()D X Y -=（ ）.10、已知随机变量,1,2,3i X i =相互独立，且都服从(0,9)N 分布，若随机变量2222123()(3)Y a X X X χ=++，则常数a =（ ）.三、解答题（本大题共6小题，每小题10分，共60分）。
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
2005年《随机过程》课程试卷答案及评分标准
2005-2006年第一学期研究生随机过程试题答案及评分标准一、（10分）设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，求（1）X 的特征函数)(t ϕ；（2）利用特征函数计算X 的数学期望及方差。
解：（1） ∑∞====0}{)()(k itk itX k X P e eE t ϕ…………………………..3分 ∑∑∞=-∞=-==00!)(!k k it k k itk k e e k e eλλλλ……………………..5分 )1(it e e -=λ ……………………………………………….6分（2） 由)()0()(k k k X E i =ϕ得λλϕλ=-='-==-0)1(|)0()(t it e e ie i i X E it …………………….8分 22)0()(λλϕ+=''-=X E所以 λ=-=22)]([)()(X E X E X D ……………………………10分二、（15分）设随机过程∑=+-=101)()(k V t i k k e Ut X ，其中k U 服从参数为2的指数分布，k V 服从（0,2）上的均匀分布，且k U ,k V （k=1,2,……10）以及它们之间都是相互独立的。
求)(t X 的均值函数和协方差函数。
解：)(t X 的均值函数为][)()(101)(∑=+-==k V t i k X k e U E t EX t m ……………………….4分∑=+-=101)(][)(k V t i kk e E U E ……………………………..6分 )2cos 2(sin 252121020)(i i e dx e it x t i -+==-+-⎰ …….8分)(t X 的协方差函数为)()(])()([),(t m s m t X s X E t s B X X X -= …………………..11分而 ∑∑≤≠≤---=--+=10101))(101)(2)()()(j k iV iV t s i j k k t s i k j k e e e U U e U t X s X4sin 2455)]12(cos 2[sin 161905)()()()(210])()([2)()(22)()(10101))()(t s i t s i t s i t s i j k iV iV j k t s i t s i e e e e e E e E U E U E e e t X s X E j k --------≤≠≤-----+=-+⨯+=+=∑..14分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=--------4sin 21154sin 254sin 2455),(2)(2)(2)()(t s i t s i t s i t s i X e e e e t s B ……15分 三、（15分）设某服务台在],0(t 内接待的顾客数)(t X 是具有强度（每分钟）为1=λ的泊松过程，求（1） 三分钟内接待3个顾客的概率；（2） 第三分钟内接待第三个顾客的概率。
随机过程试卷及答案
随机过程 试 卷学期： 2010 至 2011 学年度 第 1 学期 课程： 随机过程 班级： YS201021/22/23/25/31/32 姓名（10分）设有正弦波随机过程()()()t B t A t X ωωsin 2cos 2+=，其中∞<≤t 0，ω为常数，A 和B 都是均匀分布于[]2,0之间的随机变量，并且它们之间相互统计独立。
确定随机变量⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ4X 的概率密度并画出概率密度函数波形。
解：B A B A X 224sin 24cos 24+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛ππωπ，而B A 2,2是均匀分布于[]2,0之间的随机变量，它们的概率密度都为()21=x f ，⎪⎭⎫⎝⎛ωπ4X 的概率密度为()21=x f 与()21=y f 的卷积。
即有()()()[]()()[]()()()()()()()()()()()4441222141224122141221221--+---=-*-+-*-*=--*--=x u x x u x x xu x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x f X二、（10分）设两状态时间离散马尔可夫链() ,2,1,0,=n n ξ，()n ξ可取 0 或 1，它的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2211q pp q P 其中 1 ,12211=+=+q p q p , 且 (){}(){}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+==2122110010p p p P p p p P ξξ 已知 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--------++=n n nnnp p p p p p p p p p p p p p p p p p P 21212122211121122111111 试证明该过程为严平稳过程。
（5分）()()., 1 })({})({}1)({}0)({})(/)({})(/)({})({ })(/)({ )(/)({})({ })(,,)(,)({})(/)({})(/)({})({ })(,,)(,)({,)(1})(,,)(,)({})(,,)(,)({ )(1111111122111111221122111111221122112211221121即是严平稳过程始时刻无关阶联合概率与发生的起所以任意式成立，以所以上面二式相等，所无关，所以与发生时刻或因为刻无关所以它的转移概率与时是一齐次马尔可夫链由于，即要证明个时刻设任意是一严平稳随机过程，要说明k i m n P i n P n n P n P i n i n P i n i n P i m n P i m n i m n P i m n i m n P i m n P i m n i m n i m n P i n i n P i n i n P i n P i n i n i n P n i m n i m n i m n P i n i n i n P n n n k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =+========⋅=+==+=+=+=+⋅=+==+=+=+====⋅======+=+=+====<<<------ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ（5分）利用抛掷硬币的试验定义一个随机过程()()⎩⎨⎧=出现反面出现正面tt t X 2cos π 设出现正反面的概率是相同的。
知到答案大全数理统计与随机过程课后作业答案.docx
知到答案大全数理统计与随机过程课后作业答案问：（）大力宣扬詹姆斯的实用主义。
答：普特南问：()大学被称为“数学的麦加”。
答：第一空：哥廷根问：（）大学教授钱理群曾评论道：“我们的一些大学，正在培养一些'精致'的利己主义者”答：北京问：（）代表公权力，为了公共利益而制定、解释和实施法律。
答：国家问：()代表了欧洲大陆哲学的传统。
答：海德格尔问：中国当前工资、薪金所得，缴纳个人所得税适用超额累进税率的上限是多少？（）答：45%问：美国的选举权范围从建国至今是不变的。
（）答：错误问：工作是为了给周围的人、给整个社会贡献财富和智慧，这说的是（）。
答：为信仰而工作问：海南经济特区建立于（）年。
答：1988问：除了提供善恶的评价，让人可以正确地认识和评价，完善自身之外，道德还承担着将人实现为，成为真正的“人”的功能和作用。
（）答：正确问：下列哪些昆虫或其产品可入药（）答：斑蝥素蝉蜕地鳖冬虫夏草问：1960年，文化部明确表示，要提出三种戏曲的并举发展，其中不包括下列哪个剧种？答：旧编历史剧问：3.3 龙泉窑的鼎盛时期是在答：宋朝问：昆虫触角的类型和功能在实践上的意义（）答：鉴别昆虫的种类鉴别昆虫的雌雄诱集或驱避昆虫问：按昆虫取食的食物性质把昆虫分为（）几类答：植食性昆虫肉食性昆虫腐食性昆虫杂食性昆虫问：领导者的核心角色是学习者。
答：错问：不规则显性是指答：杂合体的显性基因未能形成相应的表型问：一般担保公司担保的责任担保分为一般责任和( )。
答：第一空：连带责任问：著名世界遗产阿波美王宫是在哪一年被列入世界濒危遗产名录的?()答：1985年问：《文化财保护法》是日本第一部有关文化遗产保护的综合性法典。
答：正确问：欧盟理事会秘书长负责欧盟的共同外交与安全政策责任，在国际上代表欧盟。
答：×问：民事主体民事权利的保护法包括（）答：A.确认之诉 D形成之诉问：商人来自内地，而周人来自海边。
（）答：×问：下列关于程序设计语言的叙述中,错误的是_______________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京工业大学2007-2008学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试题
标准答案（仅供参考） 一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布
),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：
54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？
解：按题意，要检验的假设是
54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界
值2622290250.)(.=t ，由样本值算得
382514654.,.==t x
因为26222.<t ，故接受假设0H ，即在05.0=α时，即可以认为该日生产的零件的平均重量与正常生产时无显著差异。
二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下
检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）
解 ：检验假设
)()(:x F x F H 00= )()(:x F x F H 01≠
其中)(x F 0为等概率分布, 其分布律为.,,,,/}{9210101 ===k k X P
由观测数据得.,,,,,921080800 ===i np n i 计算得
1255804101145701312680122222222
9
2
2
.)()(==++++++++=
-=∑
=i i i i np np f χ
查表得919160502
9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从
等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）
求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.
346.9,857.16==y x
根据计算结果可得： （1）
回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
=⨯⨯-⨯=-=====⨯⨯-==⨯-=244.61845.01187142.6571ˆˆ1845.0857.454906.83ˆ906.8342.65118717.1186857.4541187
124442x b y a S S b S S xx xy xy xx
于是得
（2） 检验回归方程：
检验假设 0H ：b=0， 1H ： b ≠0
当 0H 为真时， 计算得：0791
01845
0..=
t 857454.=32.378
查表得5706250250.)(.=t ，由于5706.2378.32||>=t 。
所以拒绝0H ，认为回归方程效果显著。
四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：
在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.
.1212.0ˆ,0147.050737
.02ˆ0737
.0ˆ,1845.0ˆ,906.83512
.1542.6571
909.626)(12221
212===-==-====⨯-=-=∑∑==σσσ
的无偏估计这就是得
n Q S b S Q b S y n y S e xy yy e xy
n
i n i i i
yy )
()(~ˆˆ52t n t S b
t xx =-=
σ
五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程， 求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ； （2）})(|)({4365==N N P ；
（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。
15
62623214582626232352132016543211----=⋅⋅==-=-=-====e e e e N N N N N N P N N N P !
!!})()(,)()(,)()({}
)(,)(,)({)(解：
（2）66
218262354365--===-===e e N N P N N P !
})()({})(|)({ （3）强度λ的泊松过程的协方差函数),min(
),(t s t s C X λ= ),min(),(t s st t s R X λλ+=2
证明如下：
)
,m in(),m in()]([)]([),(),(t s t s t s st t N E s N E t s R t s C N X λλλλλ=-+=-=2
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步
转移概率矩阵为 121414230133520P ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ； （2）求}|{122==+n n X X P ；
),min()()()()]([)]([)]()([)]()([)]([)]([))]()())(()([(]))([())]()()(([))]()()()(([)()]()([),(t s st t s s s s t s s N E s N D s N t N E N s N E s N E s N D s N t N N s N E s N E s N t N s N E s N s N t N s N E t s t N s N E t s R N λλλλλλλλ+=+=++-=++--=++--=+-=+-=<=222
221 0
0不妨假设
（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。
解： （1） 由马尔科夫与齐次性，可得
⋅=⋅⋅⋅⋅=
=======250
35241533152)1()1()1()1()1(}2|0,2,0,2,1{2002201221054321P P P P P X X X X X X P
（2） 因为所求为二步转移概率，先求二步转移概率矩阵
17/309/40
5/2
(2)8/153/101/617/303/2017/90P
P P ⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭
， 故 212{2|1}(2)1/6n n P X X P +====。
中无零元，所以遍历
23P )(。
⎩⎨
⎧=++=1
321321321πππππππππP
),,(),,(.的解，具体求解略平稳分布为以下方程组
七、（15分）设有随机过程
)sin()cos()(t B t A t X ππ+=，其中A 与B 相
互独立且都是均值为零，方差为2σ的正态随机变量，
（1）分别求)(1X 和)(4
1
X 的一维概率密度；
（2）问)(t X 是否是平稳随机过程？
解：
.
,
)()/(),(),(~)/(),(~)();,(~,);()/();
,(~)()
,(~;)()(R x e x f X X N X N B A N B A B A X N X N A A X x ∈=
∴++∴
+=∴-=-2
222222221
4110412
1
21022022
4101011π
σσσσσσ的密度函数均为：所以
（2）0
=+==)()sin()()cos()]([)(B E t A E t t X E t X
ππμ
)
cos()()cos sin sin (cos )(sin sin )(cos cos )]
()([),(s t AB E s t s t B sE t A sE t s x t x E s t R X -=++
+==222σππππππππ
所以，)(t X 是平稳随机过程。