13.1邻补角、对顶角PPT
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《邻补角与对顶角》课件
AC O
DB
如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边
是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为
对顶角.如图中∠1 与∠3 互为对顶角，C
∠2 与∠4 互为对顶角.
A
12
4O 3 B D
注意：对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，
一个角的对顶角只有一个.
.
新知探究 跟踪训练
2.下列选项中， ∠1 与∠2 互为对顶角的是( D )
对顶角的识别方法 两个角互为对顶角必须满足两个条件：①两个角有一 个公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两边 的反向延长线.二者缺一不可.
新知探究 知识点2: 对顶角的性质
∠1 与∠3 在数量上有什么关系呢？ C A
我猜∠1 =∠3.
12
4O 3
B
D
你能进行证明吗？
已知：直线 AB 与 CD 相交于 O 点. C
对顶角相等
有一条无公共边
两直线相交时,邻补角 有四对
邻补角互补
12
3O
B
D
互为邻补角是互为补角的特殊情况. ∠1 +∠2=180°， ∠1 +∠3 =180°.
注意： (1)邻补角是成对出现的，单独的一个角或两个以上 的角不能称为邻补角. (2)邻补角不一定都是两条直线相交形成的，一条直 线与射线(端点在直线上)相交，也可以得到一对邻 补角. (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角 不一定是邻补角.
新知探究 跟踪训练
1.下列各图中，∠1 与∠2 互为邻补角的是( D )
邻补角的识别方法 互为邻补角的两个角必须满足以下条件：①有一条公 共边；②另一条边互为反向延长线. 二者缺一不可.
13.1三角形角角的关系(2)课件ppt
三角形的内角和等于1800.
A
E
1
2
B
C
D
定理证明
A 已知：△ABC 求证：∠A＋∠B＋∠C＝1800 证明：延长BC到点F，作CE∥AB ∵CE∥AB 1 C 2 E
B ∴ ∠A =∠1 (两直线平行,内错角相等) (两直线平行,同位角相等) ∠B =∠2
∵ ∠1+ ∠2 + ∠BCA =1800 ∴ ∠A+ ∠B + ∠BCA = 1800 （等量代换）
（等量代换） (三角形的内角和定理)
D
G
1
B
E 2 H C
F
Ａ
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛 在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西 40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是 多少度？
解 ：∠CAB=∠DAB－∠DAC=80°－50°=30° 因为AD∥BE 所以∠DAB+∠ABE=180°(两直线平行，同旁内 角互补） 所以∠ABE=180°－∠BAD =180°－80 ° =100 ° ， 所以∠ABC=∠ABE－∠EBC=100 °－40 ° =60 ° 在△ABC中, ∠ACB=180 °－∠ABC－ ∠ CAB =180 °－60 °－30 ° =90 ° 答：从C岛看A.B两岛的俯角∠ACB是90°。
D
E
北
50
C
40
北 B
A
课堂总结
主要内容：
1.三角形的内角和定理 ∠A + ∠B+ ∠C=180º
直角三角形
2.三角形按角分类
斜三角形
锐角三角形 钝角三角形
3.特例─直角三角形 ∠A+∠B =90º
八年级数学上册 第13章 全等三角形13.1 命题、定理与证明 2定理与证明课件
已知、求证；
3.经过分析，找出由已知推出求证的
途径，写出证明过程.
第十一页，共二十二页。
根据下列命题，画出图形，并结合
图形写出已知、求证(不写证明过程)：
1)垂直于同一直线的两直线平行；
2)内错角相等，两直线平行；
3)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等； 4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相
∴ OE⊥OF 2 第十七页，共二十二页。
如何(rúhé)判断一个命题是假命题？
只要举出一个例子（反例），
它符合(fúhé)命题的题设，但不满足 结论就可以了.
第十八页，共二十二页。
判断下列(xiàliè)命题是真命题还是假命题.
如果是假命题，举出一个反例：
1)相等的角是对顶角； 2)同位角相等；
4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相 平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别(fēnbié)是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH
A
E
B
G CF
第十六页，共二十二页。
H D
例2.证明(zhèngmíng)：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角(bǔ ， jiǎo)
c
3a
1
2
b
第九页，共二十二页。
c
证明 ：∵a∥已b 知( (zhèngmíng)
∴∠3=∠2
3a
1
)2
b
(两直线平行(píngxíng)，同位角相) 等
∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等)(xiāngděng)
∴∠1=∠2 ( 等量代换)
3.经过分析，找出由已知推出求证的
途径，写出证明过程.
第十一页，共二十二页。
根据下列命题，画出图形，并结合
图形写出已知、求证(不写证明过程)：
1)垂直于同一直线的两直线平行；
2)内错角相等，两直线平行；
3)一个角的平分线上的点到这个角的两边
的距离相等； 4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相
∴ OE⊥OF 2 第十七页，共二十二页。
如何(rúhé)判断一个命题是假命题？
只要举出一个例子（反例），
它符合(fúhé)命题的题设，但不满足 结论就可以了.
第十八页，共二十二页。
判断下列(xiàliè)命题是真命题还是假命题.
如果是假命题，举出一个反例：
1)相等的角是对顶角； 2)同位角相等；
4)两条平行线的一对(yī duì)内错角的平分线互相 平行.
已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且
AB∥CD，EG、FH分别(fēnbié)是∠AEF和
∠EFD的平分线
求证：EG∥FH
A
E
B
G CF
第十六页，共二十二页。
H D
例2.证明(zhèngmíng)：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角(bǔ ， jiǎo)
c
3a
1
2
b
第九页，共二十二页。
c
证明 ：∵a∥已b 知( (zhèngmíng)
∴∠3=∠2
3a
1
)2
b
(两直线平行(píngxíng)，同位角相) 等
∵ ∠3=∠1 ( 对顶角相等)(xiāngděng)
∴∠1=∠2 ( 等量代换)
七年级数学《对顶角》优秀课件
性质，理解对顶角在图形中的位置关系。
练习题二
02
题目内容描述。本题旨在让学生运用对顶角的性质进行简单的
计算和证明，加深对知识点的理解。
练习题三
03
题目内容描述。通过此题的练习，学生可以进一步巩固对顶角
的应用，提高分析问题和解决问题的能力。
课后作业布置和要求
作业内容
布置与对顶角相关的计算题、证明题 和应用题，要求学生独立完成。
角度计算
实际问题中的应用
在建筑、工程等领域，经常需要测量 或计算角度。利用对顶角性质，可以 方便地解决这些问题。
结合图形中的其他已知条件，如平行 线、角的和差等，利用对顶角性质进 行角度计算。
利用对顶角证明线段相等或平行
证明线段相等
如果两条线段分别与第三条线段 构成对顶角，且这两个对顶角相
等，则这两条线段相等。
下一步学习计划建议
深入学习几何知识
加强练习和巩固
拓展应用领域
对顶角是几何学的基础知识之一， 为了更好地掌握几何学，我建议 继续深入学习其他相关的知识点， 如平行线、三角形、四边形等。
通过大量的练习和巩固，可以加 深对知识点的理解和记忆。因此， 我建议多做一些与对顶角相关的 练习题，并注意总结归纳解题方 法和技巧。
对顶角不仅在数学中有广泛的应 用，在其他学科和领域中也经常 涉及到。因此，我建议尝试将所 学的对顶角知识应用到其他学科 和领域中，以拓展自己的视野和 应用能力。
THANKS
感谢观看
知识掌握情况
通过本课件的学习，我深刻理解了对顶角的定义和性质，并能够在实际问题中灵活应用。我能够准确地识别对顶角，并运 用它们解决几何问题。
学习方法和策略
在学习过程中，我采用了多种方法和策略，如反复阅读课件、做笔记、与同学讨论等。这些方法和策略帮助我更好地理解 和记忆知识点，并提高了我的学习效率。
《对顶角》PPT优质课件
工程测量中
在工程测量中，对顶角的概念也被广泛应用。例如，在测量道路或桥梁的角度时，工程师可以使用对顶角的概念来确保测量的准确性和精度。
航海导航中
在航海导航中，对顶角的概念可以用来确定船只的航向和位置。例如，当船只行驶在海上时，航海员可以通过观察天体（如太阳或星星）的位置和角度来确定船只的航向和位置，这时就可以利用对顶角的概念来进行计算和验证。
当两条直线垂直相交时，形成的四个角都是直角，即90度。
在一些特定的图形中，如平行四边形等，对顶角也有特殊的关系和性质。
在解决一些复杂的几何问题时，可以利用对顶角的性质来简化问题或寻找解题思路。
特殊情况下的直线交点和对顶角
03
CHAPTER
三角形中的对顶角应用
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180度。
多边形内角和公式推导过程中涉及对顶角概念
正多边形各顶点处对顶角数量关系
正多边形定义
正多边形是指各边相等、各内角也相等的多边形。在正多边形中，每个顶点处的对顶角大小相等。
对顶角数量关系
在正n边形中，每个顶点处的对顶角大小为(n-2)×180°/n。由于正多边形的各内角大小相等，因此每个顶点处的对顶角也相等。
底边两端点所对顶角的性质
等腰三角形中底边两端点所对顶角性质
直角三角形有一个90度的直角，其余两个角之和为90度。
直角三角形的性质
在直角三角形中，斜边两端点所对的两个顶角互余，即它们的度数之和等于90度。同时，这两个顶角还分别与直角三角形的两个锐角相等。
斜边两端点所对顶角的性质
直角三角形中斜边两端点所对顶角性质
思路分析
根据对顶角的性质，我们知道如果两个角是对顶角，那么它们的度数相等。因此，如果∠EPG = ∠FPH，那么我们可以得出EF∥GH的结论。
对顶角ppt课件
图形表示
在几何图形中，对顶角通常用一 个公共的顶点和两条相交的直线 来表示，两个角分别位于这两条 直线的两侧。
对顶角性质
对顶角相等
根据对顶角的定义，对顶角一定是相等的。这一性质是几何学中一个非常重要的 基础性质。
应用场景
在解决几何问题时，经常需要利用对顶角相等的性质来推导其他角度或边长等关 系。
相邻角与补角关系
利用对顶角性质
当两个对顶角分别相等时，它们所对 的两条边（即两条线段）也相等。
构造辅助线
应用三角形全等或相似
在某些情况下，可以通过证明包含对 顶角的两个三角形全等或相似来证明 两条线段相等。
通过构造与已知线段相关的辅助线， 利用对顶角性质证明两条线段相等。
证明角度关系
利用对顶角性质
01
对顶角相等是基本的几何性质，可以直接用于证明角度关系。
利用对顶角性质解题
在证明或计算过程中，根据对顶角相等的性质，将问题转化为已知 条件进行求解。
邻补角的应用
在解决与角度有关的问题时，注意邻补角的概念和性质，有时可以 通过邻补角找到解题的突破口。
拓展延伸问题探讨
对顶角与邻补角的关系
探讨对顶角和邻补角在几何图形中的联系与区别，理解它们在不 同情境下的应用。
在拼图、积木等玩具设计中， 对顶角使得玩具能够紧密拼接
在一起，不易松散。
工具设计
在钳子、剪刀等工具的设计中 ，对顶角使得工具在使用时能 够更加稳定，提高使用效率。
05
绘制和识别图形中对顶角 技巧
绘制标准图形方法
使用绘图工具
选择合适的绘图工具，如直尺、量角器等，确保 图形绘制准确。
确定顶点位置
根据题目要求，确定图形的顶点位置，并标出。
在几何图形中，对顶角通常用一 个公共的顶点和两条相交的直线 来表示，两个角分别位于这两条 直线的两侧。
对顶角性质
对顶角相等
根据对顶角的定义，对顶角一定是相等的。这一性质是几何学中一个非常重要的 基础性质。
应用场景
在解决几何问题时，经常需要利用对顶角相等的性质来推导其他角度或边长等关 系。
相邻角与补角关系
利用对顶角性质
当两个对顶角分别相等时，它们所对 的两条边（即两条线段）也相等。
构造辅助线
应用三角形全等或相似
在某些情况下，可以通过证明包含对 顶角的两个三角形全等或相似来证明 两条线段相等。
通过构造与已知线段相关的辅助线， 利用对顶角性质证明两条线段相等。
证明角度关系
利用对顶角性质
01
对顶角相等是基本的几何性质，可以直接用于证明角度关系。
利用对顶角性质解题
在证明或计算过程中，根据对顶角相等的性质，将问题转化为已知 条件进行求解。
邻补角的应用
在解决与角度有关的问题时，注意邻补角的概念和性质，有时可以 通过邻补角找到解题的突破口。
拓展延伸问题探讨
对顶角与邻补角的关系
探讨对顶角和邻补角在几何图形中的联系与区别，理解它们在不 同情境下的应用。
在拼图、积木等玩具设计中， 对顶角使得玩具能够紧密拼接
在一起，不易松散。
工具设计
在钳子、剪刀等工具的设计中 ，对顶角使得工具在使用时能 够更加稳定，提高使用效率。
05
绘制和识别图形中对顶角 技巧
绘制标准图形方法
使用绘图工具
选择合适的绘图工具，如直尺、量角器等，确保 图形绘制准确。
确定顶点位置
根据题目要求，确定图形的顶点位置，并标出。
数学七年级上册《对顶角》课件
平行四边形的内角和等于 360度。
外角和性质
平行四边形的外角和也等 于360度。
05
多边形中对顶角应用
多边形内角和定理引入
通过观察和比较不同多边形的内角和，引导 学生发现多边形内角和与边数之间的关系。
引入多边形内角和定理：n边形的内角和等于 （n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
举例验证多边形内角和定理的正确性，如三 角形、四边形等。
邻补角与对顶角的关系
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角互补 ，即和为180°。
拓展延伸：复杂图形中对顶角应用
在复杂图形中，可以通过识别对 顶角来简化问题，找出相等的角
或者互补的角。
在证明题中，可以利用对顶角的 性质来证明两个角相等或者互补
。
在实际问题中，可以通过观察和 分析对顶角来解决一些与角度有
关的问题。
思考题：如何在实际问题中应用对顶角知识
1
在建筑设计中，可以利用对顶角的性质 来确保建筑物的稳定性和美观性。例如 ，在设计屋顶时，可以利用对顶角来确 保屋顶的角度和形状符合设计要求。
2
在地理测量中，可以利用对顶角来测量 山峰的高度或者河流的宽度。例如，在 测量山峰高度时，可以在山峰两侧分别 设立观测点，然后利用对顶角的性质来 计算出山峰的高度。
通过测量、计算或推理验 证三角形内角和定理。
应用场景
在解决三角形相关问题时 ，经常需要用到三角形内 角和定理。
利用对顶角求三角形内角和
对顶角定义
两个角如果它们的两边分别互为反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
利用对顶角求三角形内角和的方法
在三角形中，如果已知两个角的度数，可以利用对顶角相等的性质求出第三个角的度数， 进而求出三角形的内角和。
外角和性质
平行四边形的外角和也等 于360度。
05
多边形中对顶角应用
多边形内角和定理引入
通过观察和比较不同多边形的内角和，引导 学生发现多边形内角和与边数之间的关系。
引入多边形内角和定理：n边形的内角和等于 （n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
举例验证多边形内角和定理的正确性，如三 角形、四边形等。
邻补角与对顶角的关系
两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角互补 ，即和为180°。
拓展延伸：复杂图形中对顶角应用
在复杂图形中，可以通过识别对 顶角来简化问题，找出相等的角
或者互补的角。
在证明题中，可以利用对顶角的 性质来证明两个角相等或者互补
。
在实际问题中，可以通过观察和 分析对顶角来解决一些与角度有
关的问题。
思考题：如何在实际问题中应用对顶角知识
1
在建筑设计中，可以利用对顶角的性质 来确保建筑物的稳定性和美观性。例如 ，在设计屋顶时，可以利用对顶角来确 保屋顶的角度和形状符合设计要求。
2
在地理测量中，可以利用对顶角来测量 山峰的高度或者河流的宽度。例如，在 测量山峰高度时，可以在山峰两侧分别 设立观测点，然后利用对顶角的性质来 计算出山峰的高度。
通过测量、计算或推理验 证三角形内角和定理。
应用场景
在解决三角形相关问题时 ，经常需要用到三角形内 角和定理。
利用对顶角求三角形内角和
对顶角定义
两个角如果它们的两边分别互为反向延长线，那么这两个角叫做对顶角。
利用对顶角求三角形内角和的方法
在三角形中，如果已知两个角的度数，可以利用对顶角相等的性质求出第三个角的度数， 进而求出三角形的内角和。
〔人教版〕邻补角、对顶角教学PPT课件
EOC
350
2或4
3
1 2 3180 0
D 28
400 1400
解：因为OA平分∠EOC,∠AOE=400 所以∠AOC=∠AOE=400
又所因以为∠B∠OBDO=D∠是A∠OACO=C40的0（对对顶顶角角相等） 所以∠BOD=∠AOC=400
64 0
解：因为∠640 ∠1是∠2的对顶角 所以∠1=∠2=640（对顶角相等）
38、傲不可长，欲不可纵，乐不可极 ，志不 可满。 —— 魏 徵 39、不傲才以骄人，不以宠而作威。 —— 诸葛亮
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
又所所因以以为∠∠∠341===∠2∠123∠=313=240（00对顶角相等）
解：设∠1=x，则∠3=8x，∠2=x x+8x+x=1800 x=180
∠1=180 ∠2=180 ∠3=1440 ∠4=∠1+∠2=180+180=360
40o
150o 140
140o
30o 40o
60o
20o
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
42、自我控制是最强者的本能。 —— 萧伯纳
对顶角ppt
THANK YOU.
在三角形中，对顶角定理可以用来证明两个角是否相等， 也可以用来判断三条边是否相等。
对顶角和平行线的综合应用
对顶角和平行线的综合应用可以用来解决很多几何问题，比如证明两个角相等、 判断四边形形状等等。
在解决实际问题时，也可以用到对顶角和平行线的综合应用，比如在建筑学中用 来判断两条直线是否垂直相交。
对顶角的基本性质
对顶角相等
对顶角的大小是相等的，这是对顶角的基本性质。
对顶角与邻补角互补
对顶角和它的邻补角之间的夹角是直角。
对顶角的对数与边数的关系
在n边形中，对顶角的对数为n-2。
对顶角在几何中的应用
1
在几何证明中，可以利用对顶角的相等性质进 行证明。
2
在几何计算中，可以利用对顶角和邻补角的关 系进行计算。
3
在几何作图中，可以利用对顶角的思想进行角 度的等分和倍分。
02
对顶角的定理和推论
对顶角定理
文字描述
如果有两个角是对顶角，那么这两个角相等。
符号表示
$\angle A = \angle B$
对顶角推论
文字描述
如果两个角是对顶角，其中一个角是另一个角的补角或余角，那么这两个角相等。
符号表示
$\angle A = \angle B \Rightarrow \angle A = 90^{\circ} - \angle B$ 或 $\angle A = \angle B \Rightarrow \angle A + \angle B = 90^{\circ}$
04
对顶角问题的解题技巧
借助辅助线解题
确定已知角度的位置
通过作辅助线，将已知角度放在方便求解的位置，以利于后 续计算。
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课后练习：
1.说出下列各图中的对顶角：
2.图（1）中的邻补角共有___ 对，图（2）中的邻补角共有___对。
3.如图，已知直线AB与CD相交于O，∠BOE=90°. (1)∠1和∠2互为------Fra bibliotek------ 角.
(2)∠2和∠4互为------------- 角.
(3)∠2和∠3互为------------- 角. (4)∠1=40°那么∠2=------------- ° ∠3=------------- °∠4=------------- °.
课前练习：
在同一平面内两条不重 合的直线有哪几种不同的 位置关系?
课堂探究一：
用一枚钉子将两根木条钉在一起给我们以两条直 线相交的形象。
直线AB、CD相交于点O.
思考： 两条直线相交有几个交点？
假如两条直线相交有两个交点，那么经过这 两个交点就有了两条直线，这与“经过两点 只有一条直线”相矛盾。所以两条直线相交 有两个交点是不可能的。
课堂探究二：
如图，两条直线相交，形成了哪几个角？
四个角两两相配共能组成 几对角？各对角存在怎样 的位置关系？请根据位置 关系将他们分类。
猜想 各对角在数量上有什么关系？ 操作 请用量角器量一下，从而验证自己的猜想。 讨论 ∠1和∠2在位置上有什么关系？在数量上有什 么关系？
我们把这样的两个角叫做互为邻补角.
请说一说怎样的两个 角叫做互为邻补角.
有一条公共边，它们的另一边互 为反向延长线（两角互补），具 有这样关系的两个角叫做互为邻 补角。
讨论 ∠1和∠3在位置上有什么关系？在数量上有什么 关系？
你能说明∠1和∠3为什么相等吗？
∵∠1和∠2互补，∠3和∠2互补，
∴∠1=∠3（同角的补角相等）.
同理∠2=∠4
我们把这样的两个角叫做对顶角.
对顶角
有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个 角的两边的反向延长线，具有这样位置关系的两个 角，互为对顶角。
对顶角相等.
典例分析：
例1.如图，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、 ∠3、∠4的度数。
例2.如图、已知直线AD和BE相交于点O， ∠DOE与∠COE互余，∠COE=62°， 求∠AOB、∠BOD的度数