对顶角与邻补角讲练稿
§13.1邻补角、对顶角（教案）
§13.1邻补⾓、对顶⾓（教案）§13.1 邻补⾓、对顶⾓上海市实验学校东校吴其胜【教学⽬标】1.理解对顶⾓和邻补⾓的概念，能在图形中辨认．2.掌握对顶⾓相等的性质和它的推证过程．3.进⾏说理和表达的基本训练，初步感知形式推理的规则和过程．【教学重点】在较复杂的图形中准确辨认对顶⾓和邻补⾓．【教学难点】对顶⾓性质的证明．【教学流程】⼀、引⼊1.展⽰⼀张浦东新区局部地图.请同学们找⼀找：罗⼭路和张杨路在哪？（我们分别⽤两条直线AB、CD表⽰罗⼭路和张杨路，很显然他们是相交直线）2.两直线相交，有⼏个交点？3.为什么两条直线相交，只有⼀个交点？理由（反证法）：假如两条直线相交有两个交点，那么经过这两个交点就有了两条直线，这与“经过两点只有⼀条直线”相⽭盾.所以两条直线相交，只有⼀个交点，不可能有两个交点.于是我们⽤点O表⽰它们的交点.⼆、思考1.如图，直线AB与CD相交于点O，形成了哪⼏个⼩于平⾓的⾓？（答：形成了4个⼩于平⾓的⾓：∠1 、∠2 、∠3、∠4 ）2.四个⾓两两相配能组成⼏对⾓？各对⾓存在怎样的位置关系？（答：能组成六对⾓：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4 与∠1、∠1与∠3 、∠2与∠4）下⾯我们⼀起来探索各对⾓存在怎样的位置关系？三、探索1.∠1与∠2的位置关系.⑴填空：∠1的顶点是，边是，∠2的顶点是，边是，它们有⼀个公共顶点是，⼀条公共边是，另⼀条边和互为反向延长线.我们把具有这种位置关系的两个⾓∠1、∠2叫做互为邻补⾓.⑵邻补⾓定义：①有⼀条公共边，它们的另⼀边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓叫做互为邻补⾓.②两条直线相交所得的四个⾓中，不仅有⼀个公共顶点，还有⼀条公共边的两个⾓叫做互为邻补⾓.问题1：图中还有没有其他的邻补⾓？答：有，它们是∠2与∠3 、∠3与∠4、∠4 与∠1 .注意1：邻补⾓是成对存在的，它们互为邻补⾓.⑶∠1与∠2的数量关系.问题2：∠1与∠2有什么数量关系呢？答：∠1+∠2=180° .类似的可以得到：∠2+∠3= ∠3+∠4= ∠4+∠1= 180°邻补⾓的性质：邻补⾓互补⑷互为邻补⾓与互为补⾓的区别与联系.答：互为邻补⾓包括两⾓之间的位置关系与数量关系，即：互为邻补⾓的两个⾓既“相邻”⼜“互补”；⽽互为补⾓仅指两⾓之间的数量关系，即：互为邻补⾓的两个⾓“互补”. 互为邻补⾓的两个⾓⼀定是互为补⾓，互为补⾓的两个⾓不⼀定是互为邻补⾓.2.∠1与∠3的位置关系.⑴填空：∠1的顶点是，边是，∠3的顶点是，边是，它们有⼀个公共顶点是，公共边，∠1的两边和∠3的两边都互为反向延长线.我们把具有这种位置关系的两个⾓∠1、∠3叫做互为对顶⾓.⑵对顶⾓定义：①有⼀个公共顶点，并且⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓的两边的反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓叫做互为对顶⾓.②两条直线相交所得的四个⾓中，有⼀个公共顶点，没有公共边的两个⾓叫做互为对顶⾓.问题3：图中还有没有其他的对顶⾓？答：有，它们是∠2与∠4 .注意2：对顶⾓是成对存在的，它们互为对顶⾓.⑶∠1与∠3的数量关系.（猜想：∠1=∠3）已知：如图，直线AB、CD相交于点O.说明：∠1=∠3.说理：∵∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补⾓（已知）∴∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°（邻补⾓意义）∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3（等量代换）∴∠1＝∠3 （等量减等量，差相等）类似的可以说明：∠2＝∠4对顶⾓的性质：对顶⾓相等四、应⽤例1 如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°.求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数．解：因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOD与∠AOC是对顶⾓，得：∠BOD＝∠AOC＝50°因为直线AB、CD相交于点O，所以∠AOD与∠AOC是邻补⾓，得：∠AOD＝180°－∠AOD＝180°－50°＝130°因为∠BOC与∠AOD是对顶⾓所以∠BOC＝∠AOD＝130°．例2 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．已知∠BOE=65°，求∠AOD、∠AOC的度数．解：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE＝65°得：∠BOC＝130°．因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOC与∠AOD是对顶⾓所以∠AOD＝∠BOC＝130°E65?OAD CB50?OAD CB⼜因为∠BOC与∠AOC是邻补⾓，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－130°＝50°五、反馈课本第40页，练习1、2、3六、⼩结1.今天你有何收获？2.总结邻补⾓和对顶⾓的特征、性质、相同点和不同点.七、作业1.《练习册》13.12.预习13.2.⼋、教学设计说明1．本节课的重点是对顶⾓的概念和性质，这些是重要的基础知识，在以后的学习中常常要⽤到，要求学⽣掌握．对顶⾓的概念是结合图形描述的.这样描述，便于学⽣在图形中辨认.教学中不必让学⽣背这些词句，⽽是让学⽣抓住概念的本质，教给学⽣在图形中如何辨认它们.辨认对顶⾓的要领是：⾸先要有两条直线相交构成四个⾓的前提条件，再找其中有公共顶点但没有公共边（或不相邻）的两个⾓，就是对顶⾓.2．因为本节是由相交线的模型——⽤罗⼭路与张杨路交叉来引⼊的.所以要事先准备好地图，先让学⽣观察地图，对相交线建⽴感性认识，然后再从提供的课件模型来引⼊本节课，激发学⽣的学习兴趣.3．本节课的内容适合启发式教学，教师先拿出相交线的模型，抽象出两条相交直线，再让学⽣观察四个⾓的特征，这四个⾓根据位置关系可以分⼏类，这两类⾓各有什么特征？这些问题都要由⽼师设问、启发，学⽣经过观察、分析、归纳总结出来，让学⽣⾃⼰亲历⼀次发现的过程，有利于学⽣对对顶⾓、邻补⾓的概念和性质的理解.。
教学目标：1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认.
教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．教学反思教学过程一、创设情境，引入课题先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题．我（1（21的对∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），∴∠1＝∠3（等量代换）．学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。
解：∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）．∠2＝180°－40°＝140°（邻补角定义）．∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）．三、范例学习学生活动：让学生把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题．变式1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40°变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍变式3：把∠1＝40°变为∠1：∠2＝2：9四、课堂小结学生表格中的结论均由学生自己口答2.线”,重点1.印象2.3.师生共同给出垂直定义.师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。
4.垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.5.简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.二、画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流,使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.(2)2.(1)过点(2)过点(3)过点,,并会度1.教师展示课本图5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?学生看图、思考.2.教师以问题串形式,启发学生思考.(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?学生说出:两点间线段最短.(2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢?把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题.问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中,哪一条最短? 3.教师演示教具,给学生直观的感受.教具如图:在硬纸板上固定木条L,L 外一点P,转动的木条a 一端固定在点P.使木条L 与a 相交,左右摆动木条a,L 与a 的交点A 随之变化,线段PA 长度也随之变化.PA 最短时,a 与L 的位置关系如何?用三角尺检验.4.学生画图操作,得出结论.(1)画出直线L,L 外一点P;(2)过P 点出PO⊥L,垂足为O;(3)点A 1,A 2,A 3……在L 上,连接PA 、PA 2、PA 3……;(4)用叠合法或度量法比较PO 、PA 1、PA 2、PA 3……长短.5.师生交流,得出垂线的另一条性质.教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.(1)(2)1.他线段在图的距离.2.我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。
【初中数学】相交线(1)邻补角与对顶角讲练课件 2023—2024学年人教版数学七年级下册
4. 如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1＋∠2＝140°， 则∠1＝_7_0__°，∠4＝_1_1_0__°.
利用邻补角与对顶角的性质求角度 5. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD＝40°，
OA平分∠COE，求∠DOE的度数． 解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵OA平分∠COE， ∴∠COE＝2∠AOC＝80°，
同学们，再见！
பைடு நூலகம்
∴∠DOE＝180°－∠COE＝100°.
6. (2023·湛江霞山区一模)如图，直线AB，CD相交于点 O，OE是∠AOD的平分线，∠AOC＝26°，求∠AOE 的度数．
解：∵∠AOC＝26°， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝154°. 又∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOE＝ 12∠AOD＝77°.
新人教版初中七年级数学下学期
第五章 相交线与平行线
第1课 相交线(1) 邻补角与对顶角
邻补角与对顶角的定义及性质
定义
图例 性质 几何语言
邻 有一条公共边，另一 补 边互为反向延长线的 角 两个角
∵∠1与∠2 邻补角 是邻补角， 互__补___ ∴∠__1_＋__∠__2__
＝__1_8_0_°______
对 有公共顶点，一角的 顶 两边与另一角的两边 角 互为反向延长线
对顶角 _相__等__
∵∠1与∠2 是对顶角， ∴∠__1_＝__∠__2__
1. 下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是
( D)
2. (2023·东莞月考)下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角
的是
( B)
3. 如图，直线a，b相交于点O. (1)∠1的对顶角是_∠__3_，∠1的邻补角是_∠__2_，__∠__4___； (2)(2023·东莞月考)∠2＝140°，则∠1＝___4_0_°_，∠3 ＝__4_0_°__．
知识点246 对顶角、邻补角(解答题)
246 对顶角、邻补角（解答题）1、如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．2、如图，有两堵墙，要测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外．如何测量（运用本章知识）？3、如图，直线AB与CD相交于点O，那么∠1=∠2吗？请说明你的理由．4、如图，当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射，在图中，∠1=43°，∠2=27°，试问光的传播方向改变了多少度？5、如图，∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．6、如图，AB，CD交于O点．（1）如果∠AOD=3∠BOD，那么∠BOD= _________ 度，∠COB= _________ 度；（2）如果∠AOC=2x°，∠BOC=（x+90）°，∠BOD=（y+4）°，求x，y的值．7、如图，直线AB、CD相交于点O，已知：∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．8、如图（1）两条直线相交于一点，有_________ 对对顶角；如图（2）三条直线相交于一点，请写出所有对顶角；如图（3）n条直线相交于一点，有_________ 对对顶角．9、如图，直线AB、CD、EF相交于一点O，∠AOD=3∠AOF，∠AOC=120°，求∠BOE．10、如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1=20°，∠BOC=80°，求∠2的度数．11、如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的角平分线．（1）图中∠AOD的补角是_________ （把符合条件的角都填出来）；（2）若∠AOD=140°，求∠AOE的度数．12、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？13、如图，直线a，b，c两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．14、如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量请你写出两种不同的测量方法，并说明几何道理．15、如图，直线AB、CD相交于点0，OE平分∠AOC，∠AOD比∠AOE大75°，求∠AOD的度数．16、如图，要测量两堆围墙所形成的∠AOB的度数，但人既不能进入围墙内，又不能站在围墙上，只能站在墙外，如何测量？（要求用两种方法）17、附加题：在答题卡上相应题目的答题区域内作答．（1）计算：（﹣2）×（﹣3）= _________ ．（2）已知直线AB与直线CD相交于O点，∠1=70°，则∠2= _________ 度．18、如图，把∠AOE绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得∠COD，且使射线OC平分∠AOE的邻补角，已知∠DOE=30°，问∠AOE按顺时针方向旋转了多少度．19、如图，直线a，b，c相交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20、如图所示，（1）是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计如何测量出古塔外墙底部的∠ABC大小的方案，并说明理由．注：（2），（3）图备用．21、如图，三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，若∠AOE=2∠AOC，∠COF=60°，求∠BOD的度数．22、如图∠AOD=90°，OD为∠BOC的平分线，OE为BO的延长线，若∠AOB=40°，求∠COE的度数．23、如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD，∠COE=28°．求∠AOC和∠DOF的度数．24、如图，直线AB，CD，EF交于点O，∠BOC=46°．射线OE平分∠BOC，求：（1）∠2和∠3的度数；（2）射线OF平分∠AOD吗？请说明理由．25、已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠DOE=4：1．求∠AOF 的度数．26、如图，一条光线AO射到墙上的镜子CD后沿OB方向反射出去，已知OM⊥CD，∠1=∠2．求证：∠2+∠3=90°．27、已知：直线AB与直线CD相交于点O，∠BOC=45°，（1）如图1，若EO⊥AB，求∠DOE的度数；（2）如图2，若EO平分∠AOC，求∠DOE的度数．28、已知直线AB、CD、EF相交于点O，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE的度数．29、如图，已知直线AB、CD交于点O，且∠1：∠2=2：3，∠AOC=60°，求∠2的度数．30、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=80°，求∠BOD的度数．31、如图：AB、CD、EF相交于点O，∠1=50°，∠2=50°．求∠3的度数．32、如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF为OE的反向延长线．（1）求∠2和∠3的度数；（2）OF平分∠AOD吗？为什么？33、如图，AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，∠AOC=37°，求∠BOC，∠BOE的度数．34、小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义．答案与评分标准1、如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义。
沪教版(上海)数学七年级第二教学设计：13.1邻补角、对顶角
-设想情境：利用学校操场或教室内的布局，设计实际问题，如测量角度、计算距离等。
5.教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探索，鼓励学生提出问题和解决问题，培养学生的创新思维。
-设想策略：采用提问、讨论、展示等多种方式，激发学生的思考，教师适时给予指导和反馈。
4.教育学生学会尊重他人，善于倾听他人的意见，培养学生的合作精神和社会责任感。
在教学过程中，教师应充分关注学生的学习需求，结合学生的实际情况，灵活运用多种教学方法和策略，以确保教学目标的达成。同时，注重培养学生的几何思维能力和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
二、学情分析
七年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何概念和性质，具备了一定的几何直观和逻辑推理能力。在此基础上，学生对邻补角和对顶角的学习将更加深入地理解几何图形之间的关系。然而，由于邻补角和对顶角的概念较为抽象，学生可能在学习过程中遇到理解上的困难，需要教师在教学过程中给予关注和引导。
4.能够运用邻补角和对顶角的知识，解决一些基本的几何问题，如角度的计算、线段长度的求解等。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、讨论等教学活动，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力。
2.引导学生运用直观感知和逻辑推理相结合的方法，探索邻补角和对顶角的性质，提高学生的几何直观和逻辑思维能力。
3.设计丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高学生的解题技巧和策略。
2.学生分组讨论，分享自己的观察和发现。在此过程中，教师巡回指导，引导学生用几何语言进行准确表述，培养学生的表达能力和逻辑思维。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。通过讨论，使学生加深对邻补角和对顶角性质的理解，为解决实际问题奠定基础。
第2课时 对顶角邻补角之学案
第2课时 对顶角邻补角一、知识回顾1、如果两角之和为_________，则称这两个角互为余角；如果两角之和为_________，则称这两个角互为补角。
2、如图（1）所示，直线AB 和CD 相交形成了______个角（不包含平角），它们分别是_______________________ 3、思考一下：上题中的几个角有什么关系？二、学习过程（一）、邻补角概念引入1、如右图示，∠1+∠2=_________，∠3+∠_____=180°，它们有什么关系____________________。
类似的，你还能找到哪些角有这样的关系？请写出来：__________________________像这样，两条直线相交形成的角中，一组边公共，另一组边与为反向延长线的两个角，称为邻补角 练习：1、判断：（1）邻补角一定是补角（ ）（2）补角一定是邻补角（ ）2、 如图，∠1的邻补角是__________，∠2的的邻补角是_________，∠3的邻补角是__________，∠4的邻补角是__________.3、一个角的邻补角最多有_______个，一个角的补角可以有_______个。
4、作图题：请画出∠ABC 的邻补角（二）、对顶角概念引入1、因为∠1+∠2=_________，∠2+∠3=________，所以∠1___∠3（填<、>、=）你还能找出有类似关系的角吗？_________________ 像这样，两条直线相交形成的角中，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这样两个角互为对顶角。
由上题可知，对顶角的性质：_______________________________ 练习：判断下列各图中是否存在对顶角.(1)OD C B A 4321O D C BA214321O D C B AB作图题：请画出∠ABC 的对顶角（三）、对顶角性质的证明 1、“对顶角相等”是命题吗？写成“如果……，那么……”的形式是：____________________________________ 2、请证明：对顶角相等 已知： 求证： 证明：（四）、邻补角对顶角应用于计算例 如图直线a 、b 相交，∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数． 解:（五）、根据邻补角、对顶角的概念性质做以下习题1、图中∠1与∠2是对顶角的图是( )．2121B2、如上面右图，∠1的邻补角是( )．(A)∠BOC (B)∠BOC和∠AOF(C)∠AOF (D)∠BOE和∠AOF3、如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．(1)∠1和∠2互为______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为_______角；∠1和∠3互为______角；∠2和∠4互为______角．(2)若∠1＝20°，那么∠2＝______；∠3＝∠BOE－∠______＝______°－______°＝______°；∠4＝∠______－∠1＝______°－______°＝______°．判断正误1．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．( ) 2．如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角． ( ) 3．有一条公共边的两个角是邻补角．( ) 4．如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．( ) 5．对顶角的角平分线在同一直线上．( ) 6．有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．( )邻补角对顶角之归纳法回答下列问题：(1)、二条直线AB，CD相交，所得图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(2)、三条直线AB，CD，EF两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(3)、四条直线AB，CD，EF，GH两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?(4)、m条直线a1，a2，a3，…，a m－1，a m相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角?邻补角对顶角之实际应用如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?邻补角与对顶角之分类思想已知点O是直线AB上一点，OC，OD是两条射线，且∠AOC=∠BOD，则∠AOC与∠BOD是对顶角吗？为什么？。
对顶角、邻补角概念性质考察
邻补角、对顶角概念性质考察邻补角、对顶角的概念 【典型例题】1、下面各图中，∠1与∠2是邻补角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】 对顶角、邻补角 【解析】根据对顶角的定义进行解答即可．难度：2【解答】解：A ．不是两条直线相交组成的角，故A 错误； B ．是对顶角而不是邻补角；C ．不是两条直线相交组成的角，故C 错误；D ．符合题意，故D 正确． 故选：D ．2、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A.B. C.D.【答案】 B 【考点】 对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A 、∠1与∠2不是对顶角，故A 选项错误； B 、∠1与∠2是对顶角，故B 选项正确； C 、∠1与∠2不是对顶角，故C 选项错误； D 、∠1与∠2不是对顶角，故D 选项错误． 故选：B ．【巩固练习】1. 下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（）A.B.C.D.【答案】D【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断．【解答】解：A、B选项，∠1与∠2没有公共顶点且不相邻，不是邻补角；C选项∠1与∠2不互补，不是邻补角；D选项互补且相邻，是邻补角．故选D ．2、下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】 对顶角、邻补角难度：3【解析】根据邻补角的定义作出判断即可． 【解答】根据邻补角的定义可知：只有D 图中的是邻补角，其它都不是．3、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义作出判断即可．【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有丙图中的是对顶角，其它都不是．故选：C．4、如图，∠1和∠2是对顶角的图形个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】 A 【考点】 对顶角、邻补角难度：3【解析】一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．据此作答即可． 【解答】解：只有丙图中的两个角是对顶角， 故选：A ．5、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】 对顶角、邻补角【解析】根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．【解答】解：图形中从左向右A，B，D个图形中的∠1和∠2的两边都不互为反向延长线，故不是对顶角，只有C个图中的∠1和∠2的两边互为反向延长线，是对顶角．故选：C．6、下列图形中∠1和∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】D对顶角、邻补角难度：2【解析】一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线，这两个角是对顶角．依据定义即可判断．【解答】解：互为对顶角的两个角：一个角的两边分别是另一个角的反向延伸线．满足条件的只有D．故选D．7、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2根据对顶角的定义进行判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．【解答】解：根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．故选C8、下列说法中正确的有（）个．①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角的定义和性质判断．【解答】解：②对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角；④例如30∘与30∘的角不一定是对顶角，但这两个角一定相等，故②④错误；正确的有①③两个．故选：B．【课后作业】1、如图，∠1与∠2是对顶角的是（）A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案．【解答】解：A 、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边不在同一条直线上，不是对顶角，故A 选项错误；B 、∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角，故B 选项错误；C 、∠1与∠2的两边互为反向延长线，是对顶角，故C 选项正确；D 、∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边不在同一条直线上，不是对顶角，故D 选项错误．故选：C ．2、在下图中，∠1，∠2是对顶角的图形是（ ）A.B.C.D.【答案】C【考点】对顶角、邻补角难度：2【解析】此题在于考查对顶角的定义，作为对顶角，首先是由两条直线相交形成的，其次才是对顶角相等．【解答】解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，A、B、D都不是由两条直线相交构成的图形，错误；C是由两条直线相交构成的图形，正确．故选C．3、如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（）个．A.1B.2C.3D.4【答案】A【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角的两边互为反向延长线进行判断．【解答】解：图形中从左向右第1，2，4个图形中的∠1和∠2的两边都不互为反向延长线，故不是对顶角，只有第3个图中的∠1和∠2的两边互为反向延长线，是对顶角．故选：A．邻补角、对顶角的性质【典型例题】1、如图，直线a、b相交于点O，若∠1等于40∘，则∠2等于（）A.50∘B.60∘C.140∘D.160∘【答案】C【考点】对顶角、邻补角【解析】因∠1和∠2是邻补角，且∠1=40∘，由邻补角的定义可得∠2= 180∘−∠1=180∘−40∘=140∘．难度：1【解答】解：∵∠1+∠2=180∘又∠1=40∘∴∠2=140∘．故选C．2、如图，直线a和直线b相交于点O，∠1=50∘，则∠2=________．【答案】50∘【考点】对顶角、邻补角难度：1【解析】根据对顶角相等即可求解．【解答】解：∵∠2与∠1是对顶角，∴∠2=∠1=50∘．故答案为50∘．3、如图，∠1=∠2是对顶角，∠1=180∘−α，∠2=35∘，则α的度数是（）A. 155∘B. 35∘C. 135∘D. 145∘[答案]D[知识点]对顶角、邻补角难度：2[解答]解：∵∠1与∠2是对顶角，∠2=35∘，∴∠1=∠2=35∘，∵∠1=180∘−α，∴35∘=180∘−α，∴α=145∘．故选D．4、如图，已知AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC=28∘，则∠AOD=________度．[答案]62[知识点]角的计算对顶角、邻补角[解答]难度：3解：∵OE⊥AB，∠EOC=28∘，∴∠COB=90∘−∠EOC=62∘，∴∠AOD=62∘（对顶角相等）．故答案为：62．【巩固练习】1、如图，图中∠α的度数等于（）A.135∘B.125∘C.115∘D.105∘【答案】A【考点】对顶角、邻补角【解析】根据邻补角互补解答即可．难度：2【解答】解：∠α的度数=180∘−45∘=135∘．故选A．2、如图，直线AB和OC相交于点O，∠AOC=100∘，则∠1=________度．【答案】80【考点】对顶角、邻补角难度：1【解析】根据邻补角互补，可得答案．【解答】解：由邻补角互补，得∠1=180∘−∠AOC=180∘−100∘=80∘，故答案为：80．3、已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3=________度．【答案】180【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角、邻补角的性质，可得∠1=∠2，∠1+∠3=180∘，则∠2+∠3=∠1+∠3=180∘．【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，又∵∠1与∠3是邻补角，∴∠1+∠3=180∘，等角代换得∠2+∠3=180∘．4、若∠1的对顶角是∠2，∠2的邻补角是∠3，∠3=45∘，则∠1的度数为________．【答案】135∘【考点】对顶角、邻补角难度：3【解析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解．【解答】解：∵∠2的邻补角是∠3，∠3=45∘，∴∠2=180∘−∠3=135∘．∵∠1的对顶角是∠2，∴∠1=∠2=135∘．5、如图，直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若α=44∘，则β=( )A.56∘B.46∘C.45∘D.44∘【答案】B【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】由题意可得α+β=90∘，把α=44∘代入求解即可．【解答】解：∵OM⊥l1，∴β+90∘+α=180∘，把α=44∘代入，得β=46∘．故选：B．6、如图，∠1=15∘，∠AOC=90∘，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（）A.75∘B.15∘C.105∘D.165∘【答案】C【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】由图示可得，∠1与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2．【解答】解：∵∠1=15∘，∠AOC=90∘，∴∠BOC=75∘，∵∠2+∠BOC=180∘，∴∠2=105∘．故选：C．7、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70∘，则∠BOD的度数等于（）A.40∘B.35∘C.30∘D.20∘【答案】B【考点】对顶角、邻补角角平分线的定义难度：3【解析】根据角平分线的定义求出∠AOC，再根据对顶角相等解答即可．【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70∘，∴∠AOC=12∠EOC=12×70∘=35∘，∴∠BOD=∠AOC=35∘．故选B．8、如图，CD⊥AB，垂足为C，∠1=130∘，则∠2=________度．【答案】40【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】利用相交线寻找已知角∠1的对顶角，可以建立已知角∠1与所求角∠2之间的等量关系，可求∠2．【解答】解：由图知，∠1和∠ACE是对顶角，∴∠1=∠ACE=130∘，即∠ACD+∠2=130∘，∵CD⊥AB，∴∠ACD=90∘，∴130∘=90∘+∠2，解得∠2=40∘．9、如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20∘，则∠COE等于________度．【答案】70【考点】垂线对顶角、邻补角难度：2【解析】根据对顶角相等求出∠AOC，根据垂直求出∠AOE，相减即可求出答案．【解答】解：∵∠BOD=20∘，∴∠AOC=∠BOD=20∘，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90∘，∴∠COE=90∘−20∘=70∘，故答案为：70．【课后作业】1、. 若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=130°，则∠1=________，∠2=________.考点：对顶角难度：2分析：题目已知∠1+∠2=130°，要求∠1和∠2的度数，首先需要确定∠1与∠2之间的大小关系；通过回想对顶角的定义，根据∠1与∠2是对顶角可得∠1=∠2，想想看接下来该怎么做？接下来根据∠1+∠2=130°以及∠1=∠2，即可求出∠1和∠2的大小.解答：答案：65°，65°.因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2.又因为∠1+∠2=130°，所以∠1=∠2=65°.故答案为65°，65°.2、如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE的对顶角是，∠COF的邻补角是，若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°，则∠BOC= 。
(完整word版)邻补角、对顶角(1)
O 4321D CB AO 4321D C B A 邻补角、对顶角 姓名：一、探究新知，讲授新课1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角。
图中，∠AOC 有两个邻补角：∠AOD 和∠COB 。
（注：补角只注重数量关系两角之和是180°，即无论是否有公共边均可，但邻补角还要注重位置上的关系)。
2、邻补角的性质：一个角与它的邻补角的和等于180°。
3、对顶角的概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
如图，两条直线相交，构成两对对顶角。
∠1与∠3为一对对顶角，∠2与∠4为一对对顶 注意：1。
对顶角一定相等，但是相等的角不一定是对顶角。
2．.对顶角必须有共同顶点。
3．对顶角是成对出现的。
4、对顶角的性质：对顶角相等。
∵直线AB,CD 相交于点O ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4(对顶角相等)。
4、证明对顶角性质：对顶角相等。
因为∠1＋∠_____＝180°（ ）∠2＋∠_____＝180°（ ） 所以∠1＝∠3 （ ） 二、基础练习：1、判断下列图中是否存在对顶角.2、作图题：请画出∠ABC 的对顶角3、一个角的邻补角最多有_______个，一个角的补角可以有_______个。
4、作图题：请画出∠ABC 的邻补角212121CA BCA B三、例题讲解例一：如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数. 解：例二：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC.已知 ∠BOE=65°,求∠AOD 、∠AOC 的度数. 解：四、巩固练习1、图中是对顶角的是( )．2如图，∠1的邻补角是( )． 2题图 (A)∠BOC(B)∠BOC 和∠AOF (C)∠AOF(D)∠BOE 和∠AOF3.下列说法中，正确的个数为 （ ）⑴有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；⑵相等的两个角是对顶角； ⑶如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；⑷如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角互为对顶角； ⑸如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角； A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4.下列四个说法中，正确的说法有 （ ）⑴相等且互补的两个角都是直角； ⑷一个角的两个邻补角是对顶角； ⑵两个角互补，则它们的角平分线的夹角为直角； ⑶两个角互为邻补角，则它们角平分线的夹角为直角； A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个50︒OADCBE65︒O ADCBF 134A BCDOE5265、平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.A 、7B 、6C 、5D 、46、已知∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，那么∠1与∠3的关系是（ ）.A 、对顶角B 、相等但不是对顶角C 、邻补角D 、互补但不是邻补角 7、如图，直线AB 、CD 相交于O 点，∠AOE ＝90°．∠1和∠2互为______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为_______角； 8、邻补角的平分线构成 ° 角，对顶角的平分线构成 °角。
对顶角邻补角考点训练含答案解析
5. （2013?贺州）下面各图中 7 1和7 2是对顶角的是（ )4. （2012?梧州）如图，直线 AB 和CD 相交于点 O ,若 7 AOC=125 ° 贝9 7 AOD=(A50 ° B . 55 C . 60 ° D . 65 °【考点训练】对顶角、邻补角 一1、选择题（共6小题）1.（ 2012?北京）如图，直线 AB , CD 交于点 O ,射线 OM 平分/ AOC ，若/ BOD=76 °,贝U / BOM 等于（A38 ° D . 144 °2 .如图，AB 是一条直线，OC 是/ AOD EOB=A36 ° B . 72° 108 °3. （ 2011?台湾）如图中有四条互相不平行的直线 L 1、L 2、L 3、L 4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系, 何者正确（ ）D . 7 2+ 7 3+7 5=360 （第1（第2则/ 的平分线，0E 在/ BOD 内, （第4C.6. （2012?卯州）如图，直线a与直线c相交于点O, / 1的度数是（A60 ° B . 50 C. 40 D . 30 °、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）7.（2012?泉州）如图，在厶ABC中，/ A=60。
，/ B=40。
，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则/仁___________________ &（2013?湘西州）如图，直线a和直线b相交于点O, /仁50 °,则/ 2 ______________________ .9. （2013?曲靖）如图，直线AB、CD相交于点O,若/ BOD =40 ° OA平分/ COE，则/ AOE= ____________________三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）10. （2011?泉州）如图，直线a、b相交于点O,若/仁30 °则/ 2= _____________________（第10（第1111. （2012?泉州）（2）如图，点A、O、B在同一直线上，已知/ BOC=50 ° 贝U / AOC= _ _参考答案与试题解析、选择题（共6小题）1. （2012?北京）如图，直线AB, CD交于点O,射线OM平分/ AOC，若/ BOD=76 °贝U / BOM等于（占DA. 38°B. 104C. 142 D . 144考点：对顶角、邻补角；角平分线的定义.专题：常规题型.分析：根据对顶角相等求出Z AOC的度数，再根据角平分线的定义求出Z AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解.解答：解：•/ Z BOD=76°,••• / AOC= / BOD=76 °•/射线OM平分/ AOC ,•/ AOM=u/ AOC」X76 °38 °I I•/ BOM=180 ° Z AOM=180 - 38 =142 :故选C.点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键.2 .如图，AB是一条直线, OC是Z AOD的平分线, OE 在Z BOD 内,Z BOD , Z COE=72 ° 贝U Z EOB=A. 36°B. 72 D . 120°考点：角平分线的定义；对顶角、邻补角.专题：计算题.分析：设/DOE=x,根据题意得到 / B0E=2x, / AOC= / COD=72°- X,再根据平角为180度，得到2X( 72°-x) +3x=180 °，解得x=36 °，即可得到/ BOE的度数.解答：解：如图，设/ DOE=x,/ DOE)/ BOD ,3••• / BOE=2x,又••• OC 是/ AOD 的平分线，/ COE=72°,•/ AOC= / COD=72 °- x;• 2 X( 72 °- x) +3x=180 °解得x=36°,•/ BOE=2x=2 X6 =72 °故选B.点评：本题考查了角的有关计算以及角平分线的性质和平角的定义，是基础知识比较简单.3. ( 2011?台湾)如图中有四条互相不平行的直线L i、L2、L3、L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列何者正确( )C. / 1 + / 4+ / 6=180° D . / 2+ / 3+ / 5=360°考点：三角形内角和定理；对顶角、邻补角；三角形的外角性质.分析：根据对顶角的性质得出 /仁/ AOB，再用三角形内角和定理得出/ AOB+ / 4+ / 6=180°,即可得出答案.解：•••四条互相不平行的直线L1、L2、L3、L4所截出的七个角，解答：•/ / 1 = / AOB,•/ / AOB+ / 4+ / 6=180 ,°• / 1 + / 4+Z 6=180 °故选C.点评：此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理, 正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键.4. （2012?梧州）如图，直线贝U / AOD=(A. 50° D . 65考点：对顶角、邻补角.分析：根据邻补角的和等于180°列式进行计算即可得解.解答：解：•/ Z AOC=125°,••• Z AOD=180 ° 125 =55 °故选B.点评：本题考查了邻补角的两个角的和等于180°的性质，是基础题5. （2013?贺州）下面各图中/1和/2是对顶角的是（考点：对顶角、邻补角.分析：根据对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.解答：解：A、/ 1和/ 2不是对顶角，故本选项错误；B、 /1和/2是对顶角，故本选项正确；C、 /1和/2不是对顶角，故本选项错误；D、 / 1和/2不是对顶角，是邻补角，故本选项错误.故选B.点评：本题考查了对顶角、邻补角，熟记概念并准确识图是解题的关键.6. （2012?卯州）如图，直线 a 与直线c 相交于点O ,/ 1的度数是（考点：对顶角、邻补角.分析：根据邻补角的和等于 180。
邻补角,对顶角,垂线
邻补角，对顶角,垂线★知识精要1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。
2.对顶角：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角。
3.对顶角的性质：对顶角相等。
4.等角（同角）的补角（余角）相等。
5.两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角.如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交；如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
6.垂线的基本性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（1）过直线上一点作已知直线的垂线（2）过直线外一点作已知直线的垂线（3）作已知线段的中垂线（过线段中点且垂直于这条线段的直线）7.联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.8.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零.【热身练习】1.若点O是直线AB上的一点，AB⊥OD,OC⊥OE,则图中互余的角有（）A.3对B.4对C.5对D.6对2.下列说法中错误的个数是 ( )（1）一个角的邻补角只有一个（2）一个角的邻补角一定大于这个角（3）如果两个角互为邻补角，则两个角必定一个是锐角，一个是钝角（4）钝角的邻补角一定为锐角A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法中正确的是（）A.因为对顶角相等，所以相等的角是对顶角B.互为对顶角的两个角度数之和不会超过1800C.有着公共顶点的两个角不一定是对顶角D.有一条公共边的两个角是邻补角4.画一条线段的垂线，垂足在（）A.线段上B.线段的端点C.线段的延长线上D.以上都有可能5.点到直线的距离是指这点到这条直线的（）A.垂线段B.垂线的长C.长度D.垂线段的长6.下列语句正确的是（）A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离B.直线外一点与直线上的各点连接的所有线段中，垂线最短C.平分线段的直线只有一条D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线7.下列作图语句正确的是（）A.作直线MN的中垂线B.过点P作线段AB的垂直平分线C.过点O 作OC⊥直线AB,点C为垂足D.过点P作直线PQ,使它平分线段AB8.若点A在直线l外，点B在直线l上，AB两点之间的距离记作a, 点A到直线l的距离记作b，则a和b之间大小关系是（）A. a＜bB. a＞bC. a≤bD. a≥b9.若点P到直线l的距离为3，则直线l上到点P 距离为4的点的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个10.若点A,B分别位于直线l的两侧，点A到直线l的距离为5cm，点B到直线l的距离为8cm，则AB两点间的距离（）A.等于13cmB.大于13cmC.不小于13cmD.小于13cm11.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）A.有两个角相等B.有两对角相等C.有三个角相等D.有四对角相等12.两个角的角平分线互相垂直，则（）A.这两角互补B.这两角互为对顶角C.这两角都是直角D.这两角为邻补角13.点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P 到直线m的距离为（）A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm14.如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A.2条B.3条C.4条D.5条15.两条直线相交，有对对顶角，对邻补角；三条直线相交，有对对顶角，对邻补角；四条直线相交，有对对顶角，对邻补角；由此可见，n条直线相交，有对对顶角，对邻补角.16.如图，∠ACB=900，CD⊥AB,垂足为D,那么点A到线段BC的距离是线段的长度，线段CD的长度是点到的距离.17.自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这两个角分成两个角，它们的度数比是1：2，则这个钝角的度数是18.如图，直线MN,PQ交于点O,OE⊥PQ于点O,OQ平分∠MOF,若∠MOE=450，则∠NOE= , ∠NOF= , ∠PON=【精解名题】一、简答题：1.如图，已知直线AB,CD,EF相交于点0，∠1=950，∠2=320，则∠BOE的度数2.如图，已知：∠AOC=900，∠BOD=900, ∠BOC比∠AOB少100，求∠COD的补角的度数3.如图，已知：∠AOC=900，∠BOD=900, ∠AOD=3∠BOC,求∠BOC的度数4.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,且∠DOE=3∠COE,求∠AOD的度数5.如图所示，直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF, ∠AOE=700,求∠DOG的度数二、作图题：，画出BC边上的高和AB边上的中垂线1.（1）如图，已知ABC（2）如图，分别过点M,N画出OA,OB的垂线2.如图，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M,N 分别是位于公路AB 两侧的村庄 （1）设汽车行驶到公路AB 上点P 的位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中的AB 上分别画出点P,Q 的位置 （2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段上距离M,N 两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远？三、简答计算：1.如图所示，射线OA,OB,OC,OD 有公共端点O,且OA ⊥OB,OC ⊥OD, ∠AOD=45∠BOC,求∠BOC 的度数.2.如图，已知直线AB，CD交于点O,OE平分∠BOD, ∠3：∠2=8:1，求∠AOC的度数3.如图，直线AB,CD,EF和GH相交于点P,且∠APC=250，∠EPG=250 ，∠BPF=650 ，问哪些直线互相垂直？4.如图，两直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,如果∠AOC: ∠AOD=7:11. (1)求∠COE (2)若OF⊥OE, ∠AOC=700，求∠COF5.如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，则∠1和∠2的关系是什么？。
7年级春季班05-对顶角邻补角和垂直-马秋燕
邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOD =35°，则∠AOC =___________； ∠BOD =_________；∠BOC =______________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 经过两点可以画_______________条直线，两条直线相交，有且只有_________个交点． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，∠BOF 的邻补角是（）．A ．∠AOEB ．∠AOF 和∠BOEC ．∠AOBD ．∠BOE 和∠DOF 【难度】★ 【答案】 【解析】【例4】 把下图中邻补角分别写出来． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDOAB CE FDOEFABCD O【例5】已知∠1=∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互补，则∠3___________∠4．【难度】★【答案】【解析】【例6】已知，AB与CD相交于O点，若∠AOD比∠AOC大40°，则∠BOD=________，若∠AOD=2∠AOC，则∠BOD=________，若∠AOD=∠AOC，则∠BOD=________．【难度】★【答案】【解析】【例7】如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．【难度】★★【答案】【解析】【例8】如图，射线OA、OB、OC、OD有公共端点O，且∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=54∠BOC ，求∠BOC的度数．【难度】★★【答案】【解析】A BCDEOB ADCO【例9】 （1）已知∠1和∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍大20°，求∠1和∠2的度 数；（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍大15°，求这个角的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例10】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC =54°，∠1比∠2小10°，求∠1、∠2的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且∠AOF =3∠BOF ，∠AOC =90°，（1） 求∠COE 的度数；（2） 说明OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线的理由．【难度】★★ 【答案】 【解析】AC B DOEFACBDO211、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质 对顶角相等．【例12】 下列说法中，正确的是()A ． 有公共顶点的两个角是对顶角B ． 对顶角一定相等C ． 有一条公共边的两个角是邻补角D ． 互补的两个角一定是邻补角 【难度】★ 【答案】 【解析】【例13】 把下图中对顶角分别写出来． 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析知识精讲模块二：对顶角的意义和性质ABC DO【例14】 （1）如果以点O 为端点画四条射线OA 、OB 、OC 、OD ，且OA 、OC ， OB 、OD 互为反向延长线，那么∠AOB 和∠COD 互为_________；（2）如果以点O 为端点画三条射线OA 、OB 、OC ，且射线OA 、OC 互为反向延长线，那么∠AOB 和∠COB 互为_________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例15】 如图，共有对顶角（ ） A ．4对B ．5对C ．6对D ．8对【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】 下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；④如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．其中正确的说法是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】 a 、b 、c 两两相交，∠1=60°，∠2：∠4=3:2，求∠3和∠5的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】A BCDEFG HJI K43521abc【例18】 如图，直线AB 、CD 交于点O ，则（1）若∠2=3∠1，则∠1=__________； （2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________； （3）若∠2-∠1=100°，则∠3=__________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 a 、b 、c 交于点O ，两条直线相交，∠2=∠1，∠3：∠1=8:1，求∠4的度数 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2：∠1=4:1，求∠AOF 的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例21】 （1）两条直线相交，有几对对顶角?有几对邻补角?（2）三条直线相交，有几对对顶角?有几对邻补角?（3）n 条直线两两相交，最多会形成多少对对顶角?几对邻补角?（不含平角） 【难度】★★★ 【答案】 【解析】4321ab cO12ABC DE FO321A BCD O模块三：垂线(段)的意义和性质知识精讲1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零．例题解析【例22】“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这一点的位置（）A．在直线的上方B．在直线的下方C．在直线上D．可以任意位置【难度】★【答案】【解析】【例23】 如图，OA ⊥OB 于O ，直线CD 经过点O ，∠AOD =35°，则∠BOC =_______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例24】 下列说法中正确的是（）A ．有且只有一条直线垂直于已知直线B ．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离C ．互相垂直的两条线段一定相交D ．直线c 外一点A 与直线c 上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm ，则点A 到直线c 的距离是3cm 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 列说法正确的个数是 （）①过直线上或直线外一点，都能且只能画这条直线的一条垂线；②过直线l 上一点A 和直线l 外一点B 的直线，使它与直线l 垂直；③从直线外一点作这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；④过直线外一点画这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离.A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 如图，点A 到直线BC 的距离是线段_______的长；线段CH 的长表示点C 到直线________的距离； 点A 到点C 的距离是线段_________长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDOABC DEFHba P【例27】 如图,AC ⊥BC ，C 为垂足，CD ⊥AB ，D 为垂足，BC =8，CD =4.8,BD =6.4，AD =3.6，AC = 6，那么点C 到AB 的距离是_______，点A 到BC 的距离是________，点B 到CD 的距离是_____，A 、B 两点的距离是_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 作图题：过点P 分别画直线a 、b 的垂线，垂足分别为M 、N ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例29】 按下列要求画图并填空：（1）过点B 画出直线AC 的垂线，交直线AC 于点D ，那么点B 到直线AC 的距离是线段_________的长．（2）用直尺和圆规作出△ABC 的边AB 的垂直平分线EF ，交边AB 、AC 于点M 、N ，联结CM ．那么线段CM 是△ABC 的___________．（保留作图痕迹） 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例30】 一辆汽车在直线形的公路上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的两个学校；（1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来．（2）当汽车由A 向B 行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大? 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABMNABCDABCABC【习题1】 到一条直线的距离等于2的点有（ ）A ．1个B ．0个C ．无数个D ．无法确定【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 下列说法错误的是（） A ．两点之间，线段最短B ．和已知直线垂直的直线有且只有一条C ．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线D ．在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 如图，过△ABC 三个顶点A 、B 、C ，分别作BC 、AC 、AB 的垂线，并用“⊥”符号表示出来． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 下列说法正确的个数有（）（1） 直线外一点与直线上各点的所有连接线中垂线段最短； （2） 画一条直线的垂线可以画无数条；（3） 在同一平面内，经过一个已知点能画出一条直线和已知直线垂直； （4） 从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABC【习题5】 若∠α=54°，∠β的两边与∠α两边互相垂直，则∠β=____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 平面上三条直线两两相交，最多有m 个交点，最少有n 个交点，则m n +=____________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，OA 平分∠COE ，当∠COE =70°，求∠BOD的度数，当∠DOE =110°时，求∠BOD 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 已知AB ⊥l ，BC ⊥l ，B 为垂足，问：A 、B 、C 三点共线吗?为什么? 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 如图已知O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC内，∠BOE =12∠EOC ，∠DOE =70°，求∠EOC 的度数．【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB CDEFOA C BlD AEB CO【习题10】 如图，已知∠AOB ，画射线OC ⊥OA ，射线OD ⊥OB ，你能画出几种符合要求的图形?并猜想∠COD 与∠AOB 的数量关系，并说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 下列语句中正确的是（）A ．有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角B ．互为邻补角的两个角不等C ．两边互为反向延长线的两个角是对顶角D ．交于一点的三条直线行成3对对顶角 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 直线AB 上有一点P 和此直线外的一点Q 的距离为3cm ，则Q 到直线AB 的距离（ ） A ．等于3cmB ．大于或等于3cmC ．小于或等于3cmD ．都不对【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业ABO【作业3】 直线AB 与直线CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于O ，则图中∠1和∠2的关系是__________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】 从钝角∠AOB 的顶点O 在∠AOB 内引射线OC 使OC ⊥OA ，若∠AOC =∠COB =3：1，求∠AOB 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业5】 如图：AO ⊥BC 于点O ，OA 平分∠DOE ，∠COE =64°，求∠AOD 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 作图：已知线段AB 上一点Q 及线段外一点P ．（1） 过点Q 作线段AB 的垂线； （2） 过点P 作线段AB 的垂线． 【难度】★★ 【答案】 【解析】21ABC D EOABCDEOABPQ．【作业7】 （1）用三角尺画一个30°的∠AOB ，在边OA 上任取一点P ，过P 作PQ ⊥OB ，垂足为Q ，量一量OP 的长，你发现点P 到OB 的距离与OP 长的关系吗? （2）若所画的∠AOB 为60°，重复上面的测量，你会发现什么? 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】 如图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，OG 平分∠BOF ，且CD ⊥EF ，∠AOE =70°，求∠DOG 的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图所示，O 为直线AB 上一点，∠AOC =13∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线（1） 求∠DOC 的度数；（2） 判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEFG OBACDOAB OAOB【作业10】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥EF ，OG 平分∠FOC ，OH 平分∠DOG ，（1）若∠AOC ：∠COG=4:7，求∠DOF 的度数； （2）若∠AOC ：∠DOH=8:29，求∠COH 的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业11】 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC DEF GOA BCDOEHGF。
七年级数学下册课后补习班辅导余角补角对顶角讲学案苏科版
余角、补角、对顶角【本讲教育信息】一. 教学内容：余角、补角、对顶角本周要紧内容是学习互为余角和互为补角的概念及其性质，对顶角的概念及其特点。
并要求在经历观看、操作、推理、交流等进程中，进一步进展空间概念，培育推理能力、有层次的表达能力，并要求能解决一些实际问题。
［目标］1. 在现实背景下了解余角、补角、对顶角的概念。
2. 明白等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相等；能利用对顶角相等的性质进行计算。
二. 重、难点：本周的重点是互为余角和互为补角的概念及其性质，和利用学习过的知识解决一些实际问题。
三. 知识要点1. 余角、补角。
（1）若是两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角。
（2）若是两个角的和等于180°，那么称这两个角互为补角。
（3）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
说明：①互余与互补角是研究两个角的关系，单唯一个角不能说是余角或补角，就像称号两兄弟一样，而且可不能随位置改变。
②“互为余角”和“互为补角”是指具有特殊关系的两个角. 犹如代数中的“互为倒数”和“互为相反数”一样，是指具有特殊关系的两个数，而且只能是两个角之间的特殊关系。
若是三个角的和是180°，咱们不能说这三个角互为补角2. 对顶角（1）一个角的两边别离是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
如：两条直线相交形成∠1，∠2，∠3，∠4四个角，如图：∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角。
（2）定理：对顶角相等。
【典型例题】例1. 如图，直线m 和l 交于O 点，已知∠1的余角与它的补角的比为1：3，求∠2的度数。
分析：此题能够利用题目中所给的条件列方程（设∠1为x°），求出∠1的度数，而∠1和∠2是对顶角，利用对顶角的性质能够求出∠2的度数。
解：设∠1的度数为x°，那么它的余角为(90－x) °，它的补角为(180－x) °，依照题意： （90－x ）：（180－x ）＝1：3 解之得x ＝45又因为∠1和∠2是对顶角， 因此∠1＝∠2 （对顶角相等） 答：那个角的度数为45 °。
2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第5讲 邻补角、对顶角及垂直(讲义)解析版
第5讲邻补角、对顶角及垂直模块一：邻补角的意义和性质知识精讲1、平面上两条不重合直线的位置关系相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．3、邻补角的性质互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．例题解析例1．（2018·上海七年级零模）已知，∠B与∠A互为邻补角，且∠B=2∠A，那么∠A为________度．【答案】60【分析】设A x ∠=，则2B x ∠=，然后根据领补角的定义进行求解即可．【详解】解：设A x ∠=，则2B x ∠=根据题意得，2180x x +=︒，解得：60x =︒，∴60A ∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题主要考查领补角的定义及一元一次方程的解法，熟练掌握领补角的定义及一元一次方程的解法是解题的关键．例2．（2019·上海浦东新区·七年级期末）互为邻补角的两个角的大小相差60︒，这两个角的大小分别为_____________【答案】60,120︒︒【分析】设其中一个角为x ，则根据邻补角的定义得另一个角为180x ︒-，再根据两个角的大小相差60︒，列出方程，解方程即可【详解】解：设其中一个角为x ，则另一个角为180x ︒-，∵两个角的大小相差60︒，∴()18060x x ︒︒--=或()18060x x ︒︒--= ∴120x ︒=或60x ︒=，∴18060x ︒︒-=或120︒，故答案为：60,120︒︒【点睛】本题考查了邻补角的定义和解一元一次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键 例3．（2018·上海七年级期中）如果两个角互为邻补角，其中一个角为65°，那么另一个角为______度．【答案】115【分析】根据邻补角互补即可得到结论．【详解】解：由题意得，180°-65°=115°， 答：另一个角为115°， 故答案为115．【点睛】本题考查了邻补角，熟记邻补角互补是解题的关键．例4.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOD =35°，则∠AOC =___________；∠BOD=_________；∠BOC=______________．【难度】★【答案】145︒，145︒，35︒．【解析】AOD∠和AOC∠互为邻补角，∠，BOC∠互为邻补角．∠和BODBOD∠和AOD【总结】考察邻补角的定义．例5.经过两点可以画_______________条直线，两条直线相交，有且只有_________个交点．【难度】★【答案】1，1．【解析】考察两点确定一条直线以及相交的意义．例6.如图，∠BOF的邻补角是（）．A．∠AOE B．∠AOF和∠BOE C．∠AOB D．∠BOE和∠DOF【难度】★【答案】B【解析】考察邻补角的意义．例7.把下图中邻补角分别写出来．【难度】★【答案】AFE ∠和BFE ∠，BOD ∠和AOD ∠，BOD ∠和BOC ∠，AOC ∠和AOD ∠，AOC ∠和BOC ∠．【解析】考察邻补角的意义例8.已知∠1=∠2，∠1与∠3互余，∠2与∠4互补，则∠3___________∠4．【难度】★【答案】<．【解析】1+3=90∠∠︒（互余的意义），2+4=180∠∠︒（互补的意义），又1=2∠∠（已知）， 9031804∴︒-∠=︒-∠（等式性质）． 4390∴∠-∠=︒（等式性质）， 34∴∠<∠．【总结】考察互余，互补的概念以及利用简单的运算比较大小．例9.已知，AB 与CD 相交于O 点，若∠AOD 比∠AOC 大40°，则∠BOD =________，若∠AOD =2∠AOC ，则∠BOD =________，若∠AOD =∠AOC ，则∠BOD =________．【难度】★【答案】706090︒︒︒，，．【解析】设AOC x ∠=，则40AOD x ∠=+︒，40x x ++180=︒（邻补角的意义）， 解得：70x =︒，所以40110x +︒=︒， 所以70BOD ∠=︒（邻补角的意义）； 设AOC x ∠=，则2180x x +=︒解得：60x =︒，所以2120x=︒，所以60BOD∠=︒（邻补角的意义）；设AOC x∠=，则2180x=︒，解得：90x=︒，所以90BOD∠=︒．【总结】考察平角的意义以及邻补角的定义．例10.如图所示，O是直线AB上任意一点，以O为端点任意做一条射线OC，且OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE的度数．【难度】★★【答案】90︒．【解析】因为OD平分BOC∠，OE平分AOC∠（已知）所以BOD COD∠=∠，COE AOE∠=∠（角平分线的意义）因为180BOD COD EOC AOE∠+∠+∠+∠=︒（平角的意义）所以22180EOC COD∠+∠=︒（等量代换）所以90EOC COD∠+∠=︒（等式性质）即90DOE∠=︒【总结】主要考察平角的意义，角平分线的意义的综合运用．例11.如图，射线OA、OB、OC、OD有公共端点O，且∠AOB=90°，∠COD=90°，∠AOD=5 4∠BOC，求∠BOC的度数．【难度】★★【答案】80︒．【解析】因为∠AOD=54∠BOC，所以设BOC x∠=，则54AOD x∠=．因为360AOB AOD COD BOC∠+∠+∠+∠=（周角的意义）又∠AOB=90°，∠COD=90°（已知）所以51804x x+=︒（等式性质）解得：80x=︒，即80BOC∠=．【总结】考察周角的概念，以及利用设未知数的思路求解角的度数．例12.（1）已知∠1和∠2互为邻补角，且∠1比∠2的3倍大20°，求∠1和∠2的度数；（2）一个角的补角比这个角的余角的2倍大15°，求这个角的度数．【难度】★★【答案】（1）1140∠=︒，240∠=︒；（2）15︒．【解析】（1）因为∠1和∠2互为邻补角，所以12180∠+∠=︒（邻补角的意义）．因为13220∠=∠+︒（已知），所以4220180∠+︒=︒（等量代换），所以240∠=︒，1140∠=︒（等式性质）；（2）设这个角为x，则根据题意可得：180(90)215x x-=-⨯+︒，解得：15x=︒，即这个角的度数为15︒．【总结】考察补角，余角以及邻补角的概念及其综合运用．例13.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠AOC =54°，∠1比∠2小10°，求∠1、∠2的度数．【难度】★★【答案】22︒，32︒．【解析】因为直线AB 、CD 相交于点O （已知），所以AOC BOD ∠=∠54=︒（对顶角相等）．设1x ∠=，则210x ∠=+， 故1054x x ++=︒， 解得：22x =︒，所以1032x +=︒， 即122∠=，232∠=．【总结】考察对顶角的意义及角的和差的综合运用．例14.如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，且∠AOF =3∠BOF ，∠AOC =90°，（1） 求∠COE 的度数；（2） 说明OE 、OF 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线的理由．【难度】★★【答案】（1）45︒；（2）略．【解析】（1）因为180AOF BOF ∠+∠=︒（邻补角的意义）又3AOF BOF ∠=∠（已知）所以4180BOF ∠=︒（等量代换）所以45∠=︒（等式性质）BOF因为直线AB、EF相交于点O（已知）所以BOF AOE∠=∠（对顶角相等）因为90∠=︒（已知）AOC所以9045∠=︒-∠=︒（等式性质）COE BOF（2）因为90COE∠=︒（已知）AOC∠=︒，45所以45AOE∠=︒（等式性质）所以AOE COE∠=∠（等量代换）因为BOF AOE∠=∠（对顶角相等）所以45∠=∠=︒（等量代换）AOE BOF同理45∠=︒DOF所以OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线（角平分线的意义）【总结】考察邻补角的意义，角平分线的意义以及相应的计算，综合性较强，注意认真分析题目中的条件．模块二：对顶角的意义和性质知识精讲1、对顶角的意义两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．2、对顶角的性质对顶角相等．例题解析例1．（2019·上海浦东新区·七年级期中）下列说法：①对顶角相等；②相等的两角一定是对顶角；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；其中正确的说法有( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据对顶角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①对顶角相等，正确；②相等的两个角是一定对顶角，错误；③如果两个角不是对顶角，那么它们一定不相等；错误；故选：B．【点睛】本题考查了对顶角的定义以及对顶角相等的性质，是基础题，掌握概念与性质是解题的关键．例2．（2019·上海市嘉定区震川中学七年级期中）在下列四个选项中的图形中，∠1与∠2是对顶角的图形是( ).A．B．C．D．【答案】C【分析】根据对顶角的定义，对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此即可判断．【详解】解：根据对顶角的定义可得，四个图形中C中∠1与∠2为对顶角．故答案为：C．【点睛】本题考查了对顶角的定义，理解定义是解题的关键.例3.下列说法中，正确的是( )A．有公共顶点的两个角是对顶角B．对顶角一定相等C．有一条公共边的两个角是邻补角D．互补的两个角一定是邻补角【难度】★【答案】B【解析】A错误，有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角才叫做互为对顶角；B正确；C错误，有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线；D错误，互补的两个角不一定是邻补角．【总结】考察邻补角和对顶角的概念．例4.把下图中对顶角分别写出来．【难度】★【答案】AOB∠和AOD∠．∠，BOC∠和COD【解析】考察对顶角的定义．例5.（1）如果以点O为端点画四条射线OA、OB、OC、OD，且OA、OC， OB、OD互为反向延长线，那么∠AOB和∠COD互为_________；（2）如果以点O为端点画三条射线OA、OB、OC，且射线OA、OC互为反向延长线，那么∠AOB 和∠COB 互为_________．【难度】★【答案】对顶角，邻补角．【解析】考察对顶角和邻补角的定义．例6.如图，共有对顶角（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．8对【难度】★【答案】D【解析】CJA ∠和KJG ∠，CJK ∠和AJG ∠，BIJ ∠和EIF ∠，BIE ∠和JIG ∠，CGB ∠和FGD ∠， CGF ∠和BGD ∠，CHF ∠和EHD ∠，CHE ∠和FHD ∠均互为对顶角．【总结】本题主要考察对顶角的概念．例7.下列说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③如果两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角；④如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等．其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④ 【难度】★★【答案】B【解析】（1）正确；（2）错误，相等的角不一定是对顶角；（3）正确，对顶角一定是相等的，（4）错误，不是对顶角也可以相等．【总结】主要考察学生对对顶角的理解，相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，不是对顶角的两个角也可以相等．例8.a、b、c两两相交，∠1=60°，∠2：∠4=3:2，求∠3和∠5的度数．【难度】★★【答案】40︒，120︒．【解析】因为12∠=︒（已知）∠=∠（对顶角相等），160所以260∠=︒（等量代换）因为2:43:2∠=︒（等式性质）∠∠=（已知），所以440因为34∠=︒（等量代换）∠=∠（对顶角相等），所以340因为25180∠=︒（等式性质）∠+∠=︒（邻补角的意义），所以5120【总结】考察邻补角和对顶角的意义及综合运用．例9.如图，直线AB、CD交于点O，则（1）若∠2=3∠1，则∠1=__________；（2）若∠2：∠3=4：1，则∠2=__________；（3）若∠2-∠1=100°，则∠3=__________．【难度】★★【答案】45︒，144︒，40︒．【解析】（1）因为12180∠+∠=︒（邻补角的意义）， 又231∠=∠（已知）所以41180∠=︒（等量代换）， 所以145∠=︒（等式性质）；（2）因为23180∠+∠=︒（邻补角的意义），∠2：∠3=4：1（已知）所以设24x ∠=，3x ∠=， 则4180x x +=︒（等量代换），解得：36x =︒，4144x =︒（等式性质）， 即2144∠=；（3） 因为12180∠+∠=︒（邻补角的意义），∠2-∠1=100°（已知）所以2140∠=︒，140∠=︒（等式性质）， 所以340∠=︒（对顶角相等）【总结】考察学生对于邻补角知识点的掌握，同时还考察学生对于二元一次方程组的计算，设未知数列式计算等．例10.a 、b 、c 交于点O ，两条直线相交，∠2=∠1，∠3：∠1=8:1，求∠4的度数【难度】★★【答案】36︒．【解析】设12x ∠=∠=，则38x ∠=， 故8180x x x ++=︒，解得：18x =︒（等式性质）， 所以1218∠=∠=．所以436∠=︒（对顶角相等）【总结】考察学生对邻补角和对顶角的意义及综合运用．例11.已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2：∠1=4:1，求∠AOF 的度数．【难度】★★★【答案】135︒．【解析】因为OE平分∠BOD（已知）所以1DOE∠=∠（角平分线的意义）设1x∠=，则DOE x∠=，24x∠=，因为4180x x x++=︒（平角的意义），所以30x=︒（等式性质）即30DOE∠=，所以150COE∠=︒（邻补角的意义）．因为OF平分∠COE（已知），所以COF EOF∠=∠（角平分线的意义）所以COF EOF ∠=∠12COE=∠75=︒（等式性质）因为1EOF BOF∠=∠+∠（角的和差）所以45BOF∠=︒（等式性质）因为180AOF BOF∠+∠=（邻补角的意义）所以135AOF∠=︒（等式性质）【总结】考察学生对邻补角，角平分线的意义的概念的理解以及简单的运算，综合性较强，注意认真分析条件．例12．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）观察图形，回答下列各题：（1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角；（2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角；（3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角；（4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角；【答案】（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）n(n-1) (n≥2).试题分析：（1）图A中，共有2对对顶角；（2）图B中，共有6对对顶角；（3）图C中，共有12对对顶角；（4）找出对顶角的对数与直线的条数n之间的关系式为：n（n－1）（n ≥2）.试题解析：（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）2条直线相交时，对顶角对数为：1×2=2对；3条直线相交时，对顶角对数为：3×2=6对；4条直线相交时，对顶角对数为：4×3=12对；…n条直线相交时，对顶角对数为：n（n－1）（n≥2）对.点睛：本题关键在于找出直线的条数与对顶角对数的关系式.模块三：垂线(段)的意义和性质知识精讲1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零．例题解析例1.“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”中这一点的位置（）A．在直线的上方B．在直线的下方C．在直线上D．可以任意位置【难度】★【答案】D【解析】考察对垂直公理的理解及运用．例2.如图，OA⊥OB于O，直线CD经过点O，∠AOD=35°，则∠BOC=_______．【难度】★【答案】125︒．【解析】OA OB⊥（已知）AOB∴∠=︒（垂线的意义）90AOD∠=︒（已知）35∴∠=︒（互余）BOD55∴∠=︒（邻补角的意义）125BOC【总结】考察垂线的意义以及互余的意义及综合运用．例3.下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线垂直于已知直线B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离C．互相垂直的两条线段一定相交D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A 到直线c的距离是3cm【难度】★★【答案】D【解析】A错误，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线； B错误，垂线段的长度；C错误，互相垂直的两条直线一定相交； D正确．【总结】考察垂直公理，点到直线的距离以及垂线段的性质等内容．例4.列说法正确的个数是（）①直线上或直线外一点，都能且只能画这条直线的一条垂线；②过直线l上一点A和直线l外一点B的直线，使它与直线l垂直；③从直线外一点作这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；④过直线外一点画这条直线的垂线段，垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离.A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】C【解析】（1）错误，在同一平面内；（2）错误；（3）错误，点到直线的距离是指垂线段的长度，故选C．【总结】考察学生对基本概念的理解．∆，根据下列语句画图．例5．（2018·上海松江区·七年级期中）如图，已知ABC⊥，垂足为D；（1）过点A作AD BC（2）过点D作DE AB∥，交AC于点E；（3）点C到直线AD的距离是线段_______的长度．【答案】（1）见解析．（2）见解析．（3）CD．【分析】（1）根据垂线的定义画出直线AD即可；（2）根据平行线的定义画出直线DE即可；（3）根据点到直线的距离判断即可．【详解】（1）如图，直线AD 即为所求（2）如图，直线DE 即为所求（3）点C 到直线AD 的距离是线段CD 的长度．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定及性质、点到直线的距离，熟练掌握垂线、平行线、点到直线的距离的定义是解题的关键．例6．（2019·上海市浦东新区建平中学南校七年级期中）按下列要求画图并填空：如图，（1）过点A 画直线BC 的平行线AD ；（2）过点B 画直线AD 的垂线段，垂足为点E ；（3）若点B 到直线AD 的距离为4cm ，BC=2cm ，则ABC S =________2cm ．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4【分析】（1）根据平行线的画法画出即可；（2）根据垂线的画法画出即可；（3）根据平行线间的距离处处相等得出三角形ABC的高为4cm，再根据三角形的面积公式即可求出．【详解】解：（1）如图:AD即为所求（2）如图: BE即为所求（3）因为BC//AD,所以三角形ABC的高为4cm；所以12442ABCS=⨯⨯=；故答案为：4【点睛】本题考查了基本作图的知识以及三角形的面积公式，正确的作出图形是解答第（3）题的关键，难度不大．例7.（2019·上海七年级单元测试）如图所示，点P是∠ABC内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P 画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?【答案】（1）图形见解析（2）∠EPF＝∠B试题分析:（1）①过点P作BC的垂线，D是垂足；②过点P作BC的平行线交AB于E，过点P作AB的平行线交BC于F；（2）根据平行线的性质可得∠AEP＝∠B，∠EPF＝∠AEP然后利用等量代换得到结论即可．解:如图所示，(1)①直线PD即为所求；②直线PE、PF即为所求．(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．点睛:本题考查了平行线和垂线的画法及平行线的性质,熟练掌握两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等是解答本题的关键.例8.如图，点A到直线BC的距离是线段_______的长；线段CH的长表示点C到直线________的距离；点A到点C的距离是线段_________长．【难度】★★【答案】AE，AD，AC．【解析】考察点到直线的距离的概念的理解及运用．例9.如图,AC⊥BC，C为垂足，CD⊥AB，D为垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4，AD=3.6，AC= 6，那么点C到AB的距离是_______，点A到BC的距离是________，点B到CD的距离是_____，A、B两点的距离是_________．【难度】★★【答案】4.8，6，6.4，10．【解析】点C到AB的距离是线段CD的长，即4.8；点A到BC的距离是线段AC的长，即6；点B到CD的距离是线段BD的长，即6.4；A、B两点的距离是线段AB的长，即10．【总结】考察点到直线的距离的内容．例10.作图题：过点P分别画直线a、b的垂线，垂足分别为M、N．【难度】★★【答案】【解析】考察垂线的画法例11.按下列要求画图并填空：（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D，那么点B到直线AC的距离是线段_________的长．（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM．那么线段CM是△ABC的___________．（保留作图痕迹）【难度】★★【答案】（1）BD；（2）AB边上的中线【解析】考察垂线的画法．例12.一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的两个学校；（1）汽车行驶时，会对公路两旁的学校都造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校影响最大?在图中标出来．（2）当汽车由A向B行驶时，在哪一段上对两个学校影响越来越大?越来越小?对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?【难度】★★★【解析】（1）如下图所示，到C 点时对M 影响最大，到D 点时对N 影响最大；（2）由A 向C 时，对两学校影响逐渐增大；由D 向B 时，对两学校影响逐渐减小；由C 向D 时，对M 影响减小，对N 影响增大．【总结】本题主要考察对点到直线的距离的概念的理解及在实际问题中的运用．随堂检测1.到一条直线的距离等于2的点有（） A ．1个B ．0个C ．无数个D ．无法确定 【难度】★【答案】C【解析】到直线的距离等于2的点有无数个，这些点组成两条直线．【总结】考察点到直线的距离．2.下列说法错误的是（ ）A ．两点之间，线段最短B ．和已知直线垂直的直线有且只有一条C ．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线D ．在同一平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线DC N MBA【难度】★【答案】B【解析】B错误，有无数条．【总结】考察学生对垂线的意义和性质的理解．3.如图，过△ABC三个顶点A、B、C，分别作BC、AC、AB的垂线，并用“⊥”符号表示出来．【难度】★【答案】【解析】考察垂线段的作法．4.下列说法正确的个数有（）（1）直线外一点与直线上各点的所有连接线中垂线段最短；（2）画一条直线的垂线可以画无数条；（3）在同一平面内，经过一个已知点能画出一条直线和已知直线垂直；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离A．1个B． 2个C． 3个D．4个【难度】★★【答案】C【解析】（4）错误，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选C．【总结】本题主要考查点到直线的距离及垂线的相关概念等．5.若∠α=54°，∠β的两边与∠α两边互相垂直，则∠β=____________．【难度】★★【答案】54︒或126︒．【解析】∠α和∠β是相等或者互补的关系．【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论．6.平面上三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则m n+=____________．【难度】★★【答案】4．【解析】最多有3个交点，最少有1个交点．3+=．m nn=，4m=，1【总结】考察学生的作图分析能力．7.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OA平分∠COE，当∠COE=70°，求∠BOD的度数，当∠DOE=110°时，求∠BOD的度数．【难度】★★【答案】35︒，35︒．【解析】因为OA平分COE∠，∠COE=70°（已知）所以1352AOC AOE COE∠=∠=∠=︒（角平分线的意义）所以35BOD AOC∠=∠=︒（对顶角相等）同理，35BOD∠=︒【总结】考察学生对邻补角和对顶角知识点的掌握和简单应用．8.已知AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，问：A、B、C三点共线吗?为什么? 【难度】★★【答案】共线．【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【总结】考察垂线段意义和性质，注意对三点共线的理解．9.如图已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE=1 2∠EOC，∠DOE=70°，求∠EOC的度数．【难度】★★★【答案】80︒．【解析】因为OD平分∠AOB（已知）所以AOD BOD∠=∠（角平分线的意义）设BOE x∠=，BOD y∠=，则7023180x yy x+=︒⎧⎨+=︒⎩，解得：4030xy=︒⎧⎨=︒⎩，所以∠EOC =280x=︒．【总结】这一题考察学生对角平分线的内容理解，对补角的知识点的掌握以及二元一次方程组的列式和计算等．10.如图，已知∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，你能画出几种符合要求的图形?并猜想∠COD与∠AOB的数量关系，并说明理由．【难度】★★★【答案】相等或互补【解析】如图．【总结】主要考察多解问题，是对学生发散思维的要求．。
对顶角邻补角教案
对顶角邻补角教案_________________对顶角,标题：邻补角次）至段（上课时间：年月日授课教师： ____ 学生签字：）不满意（基本满意（）学生评价：特别满意（）满意（）一、考点分析1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3．会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．二、学情分析三、授课重点 1 ．通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．2．通过对顶角件质的推理过程，培养学生的推理和逻辑思维能力．新课邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角，由此可知，邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角．右图这样的邻补角在图形中也是常见的．在这种情况下，只存在一对邻补角，而不存在对顶角，与两条直线相交所得的角不同．l22 l还是邻补角吗？为什么？和∠提出问题：∠和∠的和是多少度？∠【教法说明】此问题意在区别互为补角和互为邻补角的概念，演示活动投影片，有助于学生抓住概念的本质，比教师单纯地强调效果更好．2．对顶角的性质5/ 1对顶角邻补角教案提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？42l3，然后得出对顶角相等的性质．在学生理解【教法说明】学生说出对顶角∠后，启发学生再说出∠＝∠＝∠推理思路的基础上，进行推理．对顶角的性质不难得出，放手让学生展开讨论，充分发挥学生的主动性，培养学生的创造思维能力2231互补（邻补角定义），互补，∠与∠与∠因为∠l3（同角的补角相等）．＝∠所以∠l2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．）注意：∠与∠（223180°1 180°（邻补角定义），＝－∠或写成：所以∠，∠＝－∠13 ．＝∠所以∠”“这个结论的过程，是课本中初次出现的一步推理，使学生了解推理可以写成的形【教法说明】推得对顶角相等式，并且每一步都要有根据，也就是括号里填的理由．这种推理的格式以后还要逐步渗透和训练，现在不要求自己会写推理过程，只要求学生能看明白就可以了，为以后证明打好基础。
5.1.1对顶角
课题 5.1.1对顶角学习内容简析本节课从学生已有的知识入手,在两条相交线中认识对顶角,掌握对顶角的特征,探索对顶角相等的性质.学情分析本年级的学生已经研究过互补角,互余角的性质，积累了一定的经验，动手能力强，善于与同伴交流，这就为本节课的学习做好了知识、能力、情感方面的准备．不同层次的学生因为基础不同，在学习中必然会出现相异构想，这也将是我在教学过程中着重关注的一点．教学目标知识目标:1．理解对顶角与邻补角概念,能在图形中辨认对顶角和邻补角．2．掌握对顶角性质及其推证过程,并能运用它进行计算．过程与方法目标:经历对顶角、邻补角的概念及性质的探索过程，体会分类思想，在探究过程中发展学生的抽象概括能力，进一步培养说理能力．情感、态度与价值目标：激发学生求知欲，感受数学与生活的联系，培养学生独立思考与合作交流的能力，让学生享受成功的喜悦，感悟数学学习是一种美的享受．教学重点: 对顶角的概念,对顶角的性质与应用.教学难点: 在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．策略方法：“和谐互助”教学模式课前预习1、预习课本160--162页内容2、完成160页表格3、完成161页对顶角有关概念4、能独立完成例25、了解对顶角相等的性质教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动批注交流预习1、对顶角的概念,特征2、对顶角的性质检查学生预习情况1.师友相互交流概念、例题、课本习题的掌握情况2.相互交流自学中遇到的困惑从学生身边的的生活和已有的知识中创设情境，引导学生观察、联想，学会从数学的角度去观察事物，思考问题，激发学习兴趣，引入课题。
互相探究1、161页推理“对顶角相等”1、教师通过多媒体演示动画，并用数学语言进行描述。
2、教师结合图形引导学生归纳出：对顶角的性质对顶角相等1.对顶角的特征有哪些？2.对顶角的概念3.预习充分的师友到讲台前展示例1、例24.如果学友不会，师傅讲给学友听，听后学友再讲给师父听，直到学会为止。
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相交线导学案（20150105）
一、自主预习：1、问题1：两条相交直线.形成的小于平角的角有哪几个? 问题2：将所得到的角两两相配共能组成几对角？（每两个角组成一对） 问题3：根据各对角不同的位置怎么将它们分类?
问题4：以∠1和∠2为例分析各对角存在怎样的位置关系？
问题5：类似∠1和∠2，分析∠1和∠3存在怎样的位置关系？ 2、
巩固概念练习：1.下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
（1） （2） （3）
2.下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
3、对顶角性质：对顶角相等。
注意：1、如果两个角互为邻补角，那么它们一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角。
2、只有当两条直线相交时，才会产生对顶角。
对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角。
巩固练习： 例1．如图，直线a ， b 相交， ∠ 1=40°，求∠2， ∠3， ∠4的度数. 解：∵∠1+∠2=180 ( ) ∴∠2=180-∠1=
∴∠3=∠1= ∠4=∠2= ( ) 变式一：若∠1=32°20′，求∠2， ∠3， ∠4的度数.
变式二：若∠1+∠3=50°，则∠3= ，∠2= 。
变式三：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数。
（二）合作探究
1、如图，直线AB 、CD 、EF 相交于O ，(1)右图中∠AOC 的对顶角是 , ∠1邻补角是 。
(2)如图，直线AB 、CD 相交于O ，∠AOC=80°，∠1=30°，求∠2的度数。
解：∵∠DOB=∠ ，（对顶角相等 ）
=80°（已知） ∴∠DOB= °（等量代换）
又∵∠1=30° （已知）
∴∠2 = ∠ - ∠ = - =
2、如图,直线AB 、CD 相交于点O (1)若∠AOC+∠BOD=100°,求∠BOC 、∠AOD 的度数； (2)若∠BOC 比∠AOC 的2倍多33°,求∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 、∠BOD 的度数。
3、如图，直线AB 、CD 交于点O ，∠BOD=40°，
OA 平分∠COE ，求∠DOE 的度数
4、如图，两堵墙围一个角∠AOB,但人不能进入围墙， 我们如何去测量这个角的大小呢？请画图加以说明。
5、 如图，已知OA OB ⊥，OC OD ⊥，试说明180AOD BOC ∠+∠=. 证明：∵OA OB ⊥，OC OD ⊥，
∴90AOB COD ∠=∠=( )
∴∠AO D ＋∠BOC=（∠AOB ＋∠BOD ）＋（∠COD －∠ ） = .
1
2
1
1 2
2
邻补角：有一条（ ）,而且另一边（ ）的两个角叫做邻补角. 对顶角：如果两个角有一个（ ）, 而且一个角的两边分别是另一角两边的（ ）,那么这两个角叫对顶角 已知：直线a 与直线b 相交 求证：∠1=∠2 证明：∵ ∠1+∠3=180°（邻补角定义） ∠2+∠3= （ ） ∴ ∠1=∠2 （ ） 括号内填根据
A
E 1
2 ) ) O
C
B D
F
A
D
O
C
B
43
21O
D
C B
A
1 2 （2） （3） （4） 2 1 （1） 1 2 （5） 1 2 1 2 4b a
3
2
1
a
3
2
1E
O
D C
B
A
A
O
C B
D。