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2019高考数学总复习优编增分练：86分项练13导数文

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2019高考数学总复习优编增分练8+6分项练12圆锥曲线理

2019高考数学总复习优编增分练8+6分项练12圆锥曲线理

＋分项练圆锥曲线．(·大连模拟)设椭圆：＋＝的左焦点为，直线：＝(≠)与椭圆交于，两点，则△周长的取值范围是( )答案解析根据椭圆对称性得△的周长为＋′＋＝＋＝＋(′为右焦点)，由＝，＋＝，得＝，∴＝·＝＝∈()(≠)，即△周长的取值范围是＝.．(·烟台模拟)已知双曲线－＝(>)两焦点之间的距离为，则双曲线的渐近线方程是( ) ．＝±．＝±．＝±．＝±答案解析由双曲线－＝(>)的两焦点之间的距离为，可得＝，所以＝，又由＝＋，即＋＝，解得＝，所以双曲线的渐近线方程为＝±＝±.．(·重庆模拟)已知抛物线＝的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是( )．．．．答案解析根据题意，四边形为矩形，可得＝，从而得到圆心到准线的距离与到的距离是相等的，所以点的横坐标为，代入抛物线方程，设为轴上方的交点，从而求得()，(，－)，所以＝，＝，从而求得四边形的面积为＝×＝.．(·重庆模拟)已知双曲线：－＝(>，>)的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线相交于，两点，其中为坐标原点，若与圆相切，则双曲线的离心率为( )答案解析根据题意，有＝，＝，因为与圆相切，所以∠＝，所以由勾股定理可得＝，所以∠＝＝，所以∠＝－，且＝，由余弦定理可求得＝＝，所以＝＝＝.．已知点在抛物线＝上，点在圆＋(－)＝上，则的最小值为( )－－．－－答案解析设抛物线上点的坐标为(，)．圆心与抛物线上的点的距离的平方。

(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练6 数列 文

(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练6 数列 文

8＋6分项练6 数 列1．(2018·大连模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．27B ．31C ．63D ．75答案 C解析 由题意得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，所以3,12，S 6－15成等比数列，所以122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.2．(2018·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．13答案 B解析 根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7.3．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n ，n ∈N *，则S 2 017的值为( )A ．2 016×1 010－1B ．1 009×2 017C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 016 答案 C解析 由递推公式，可得当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2＝2 017×1 010－1.4．(2018·南充质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 56等于( ) A ．－ 3 B ．0 C. 3 D.32 答案 A解析 因为a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)， 所以a 1＝0，a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，a 5＝－3，a 6＝3，…， 故此数列的周期为3.所以a 56＝a 18×3＋2＝a 2＝－ 3.5．(2018·咸阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得( )A ．三分鹿之一B ．三分鹿之二C ．一鹿D ．一鹿、三分鹿之一答案 A解析 显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x ， 则5⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋x 2＝5，解得x ＝13. 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．(1，e)C.233,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，e 答案 C 解析 由题意知，{a n }，{b n }的共同项为2,8,32,128，…，故c n ＝22n －1. 由x n ＝c n 1＋c n ，得1x n ＝1＋1c n， 1x 1…x n －1x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n .令F n ＝1x 1…x n －1x n ，则当n ≥2时，F n F n －1＝1x n>1， 故数列{F n }是递增数列，∴1x 1…x n －1x n ≥32. ∵当x >0时，ln(1＋x )<x ，∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c n， 则ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝⎛⎭⎪⎫1＋1c n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c 1＋1c 2＋…＋1c n＝12＋123＋…＋122n －1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－14<121－14＝23， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <23e ， 故32≤1x 1…x n －1x n <23e ，故选C. 7．(2018·宁德质检)记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)，若S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立，则实数M 的最小值为( ) A ．2 2 B.176 C.4112D ．4 答案 C解析 由a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)， 得2a n ＋3S n －1＝3，n ≥2.两式相减，可得2a n ＋1－2a n ＋3a n ＝0，即a n ＋1a n ＝－12＝q .∵a 1＝32，∴2a 2＋3S 1＝3，即2a 2＋3a 1＝3， ∴a 2＝－34，∴a 2a 1＝－12， ∴a n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 则S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . ∴当n ＝1时，S n 取最大值32； 当n ＝2时，S n 取最小值34. 要使S n ＋2S n≤M 对任意的n ∈N *恒成立． 根据对勾函数的性质，当S n ＝34时， S n ＋2S n 取得最大值4112， ∴M ≥4112， ∴实数M 的最小值为4112. 8．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知数列{a n }满足当2k －1－1<n ≤2k －1(k ∈N *，n ∈N *)时，a n ＝k2k ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( ) A ．59 B ．58 C ．57 D ．60答案 B解析 由题意可得，当k ＝1时，20－1<n ≤21－1，即n ＝1，则a n ＝12，所以S 1＝12； 当k ＝2时，21－1<n ≤22－1，即1<n ≤3，n ∈N *，则a n ＝12，所以S 3－S 1＝12＋12＝1； 当k ＝3时，22－1<n ≤23－1，即3<n ≤7，n ∈N *，则a n ＝38，所以S 7－S 3＝4×38＝32；当k ＝4时，23－1<n ≤24－1，即7<n ≤15，n ∈N *，则a n ＝14，所以S 15－S 7＝8×14＝2； 当k ＝5时，24－1<n ≤25－1，即15<n ≤31，n ∈N *，则a n ＝532，所以S 31－S 15＝16×532＝52； 当k ＝6时，25－1<n ≤26－1，即31<n ≤63，n ∈N *，则a n ＝332，所以S 63－S 31＝32×332＝3， 则S 31＝12＋1＋32＋2＋52＝7.5， 设从a 32到a 63中有m 项，则m 项的和为m ×332＝3m 32， 令3m 32>2.5，解得m >803，所以当S n >10时，n >57， 所以n 的最小值为58.9．(2018·烟台模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 9＝27，则a 20＝________. 答案 18解析 由等差数列的前n 项和公式可知 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝27，解得a 5＝3， 又由d ＝a 7－a 57－5＝5－32＝1，所以由等差数列的通项公式可得a 20＝a 5＋15d ＝3＋15×1＝18.10．(2018·三明质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8＝________. 答案 510解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2，当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 19 4解析 等比数列前n 项和公式具有的特征为S n ＝aq n －a ，据此可知，r ＝－1，则S n ＝3n －1，a 3＝S 3－S 2＝()33－1－()32－1＝18， a 3－r ＝19.令b n ＝n ()n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，且b n >0， 则b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n>1可得n 2<10， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n<1可得n 2>10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4，且b 4>b 5>b 6>b 7>b 8>…，则k ＝4.12．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋3＋…＋n，若数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝3n －72解析 由S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2， a 1＝p －2符合上式，所以对任意的n ∈N *均有a n ＝2pn －p －2，则a n ＋1－a n ＝2p ，因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2， b 1＝a 1＝p －2，b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，则b 2－b 1＝7p －63－(p －2)＝2， 得2p ＝3，p ＝32，a 1＝－12， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72，n ∈N *.13．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，则S 30＝________.(用数字作答)答案 75解析 ∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，a 1＝1，a 2＝2，∴a 3＝2－2a 1＝2－2＝0，a 4＝a 1＋1＝2，a 5＝a 1－1＝0，∴a 3＋a 4＋a 5＝2.∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，∴把上面三个式子相加得a 3n ＋a 3n ＋1＋a 3n ＋2＝n ＋1，∴a 10＝a 3×3＋1＝a 3＋1＝0＋1＝1，∴a 30＝a 3×10＝2×10－2a 10＝18.∴S 30＝a 1＋a 2＋(a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 27＋a 28＋a 29)＋a 30＝1＋2＋(2＋10)×92＋18＝75. 14．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017的整数部分是________． 答案 2解析 因为a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，所以a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增，所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0，所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n ， 所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1， 所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1－1， 所以m ＝S 2 017＝3－1a 2 018－1， 因为a 1＝43，所以a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－43＋1＝139，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1392－139＋1＝13381，a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133812－13381＋1>2，…，所以a 2 018>a 2 017>a 2 016>…>a 4>2， 所以a 2 018－1>1，所以0<1a 2 018－1<1，所以2<3－1a 2 018－1<3，因此m 的整数部分是2.。

2019高考数学优编增分练5套

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高考数学优编增分练目录(一)三角函数与解三角形 (2)(二)立体几何 (5)(三)数列 (10)(四)解析几何 (15)(五)函数与导数 (21)(一)三角函数与解三角形1．(2018·浙江省教育绿色评价联盟月考)已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. 令u ＝2x －π3，因为y ＝sin u 在⎣⎡⎦⎤－π3，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2π3上是减函数， 令u ＝2x －π3＝π2，则x ＝5π12，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤5π12，π2上是减函数． 由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象(图略)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的交点， 又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝1＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝3， 所以3≤t <1＋32，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫3，1＋32. 2. (2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝3⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 因此函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， 因此当x ＝π12时，f (x )的最大值为1， 当x ＝－π4时，f (x )的最小值为－12. 3．(2018·浙江省台州中学模拟)在△ABC 中，cos B ＝－513，cos C ＝45. (1)求sin A 的值；(2)设△ABC 的面积S △ABC ＝332，求BC 的长． 解 (1)由cos B ＝－513，得sin B ＝1213， 由cos C ＝45，得sin C ＝35， sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝3365. (2)由S △ABC ＝332，得12AB ·AC ·sin A ＝332， ∴AB ·AC ＝65.又AC ＝AB ·sin B sin C ＝2013AB ， ∴AB ＝132，BC ＝AB ·sin A sin C ＝112. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C .(1)求角C 的大小；(2)若a cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C 及正弦定理得，23ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2， ∴3sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴3sin C ＝cos C ， ∴tan C ＝33，又0<C <π，∴C ＝π6. (2)由a cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )，得a sin B ＝b cos A .由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos A ，又sin B ≠0，∴sin A ＝cos A ，∴A ＝π4， 根据正弦定理可得2sin π4＝c sin π6，解得c ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×2sin(π－A －C ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝3＋12.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又0<C <π，∴C ＝2π3， ∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin2π3＝32. (2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4ab －12 ＝－⎝⎛⎭⎫4ab 2＋8ab ，∴S ＝12ab sin C ＝12ab －⎝⎛⎭⎫4ab 2＋8ab ＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2， ∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积． 解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－1. ∵相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6－1＝0， ∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6， ∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3， 由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ，在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334. (二)立体几何1．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面．(1)求证：平面SBD ⊥平面SAC ；(2)若SA 与平面SCD 所成的角为30°，求SB 的长．(1)证明 连接AC ，BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为SB ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥SB ，因为BD ∩SB ＝B ，BD ，SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD .又因为AC ⊂平面SAC ，所以平面SAC ⊥平面SBD .(2)解 将四棱锥补形成正四棱柱ABCD －A ′SC ′D ′，连接A ′D ，作AE ⊥A ′D ，垂足为点E ，连接SE .由SA ′∥CD 可知，平面SCD 即为平面SCDA ′.因为CD ⊥侧面ADD ′A ′，AE ⊂侧面ADD ′A ′，所以CD ⊥AE ，又因为AE ⊥A ′D ，A ′D ∩CD ＝D ，A ′D ，CD ⊂平面SCD ，所以AE ⊥平面SCD ，于是∠ASE 即为SA 与平面SCD 所成的角．设SB ＝x ，在Rt △ABS 中，SA ＝1＋x 2，在Rt △DAA ′中，AE ＝x 1＋x 2 . 因为∠ASE ＝30°，所以1＋x 2＝2x 1＋x 2， 解得x ＝1，即SB 的长为1.2．(2018·浙江省金华十校模拟)如图，在几何体ABCDE 中，CD ∥AE ，∠EAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，CD ＝2EA ＝2，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，F 为BD 的中点．(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)求直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值．(1)证明 取BC 的中点G ，连接FG ，AG ，∵F 为BD 的中点，CD ＝2EA ，CD ∥AE ，∴FG ＝12CD ＝EA ，且FG ∥AE ， ∴四边形AGFE 是平行四边形，∴EF ∥AG ，∵EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .(2)解 ∵∠EAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，且平面EACD ∩平面ABC ＝AC ，EA ⊂平面EACD ， ∴EA ⊥平面ABC ，由(1)知FG ∥AE ，∴FG ⊥平面ABC ，又∵AB ＝AC ，G 为BC 的中点，∴AG ⊥BC ，如图，以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，D (0，－3，2)，E (1,0,1)， ∴AB →＝(－1，3，0)，BD →＝(0，－23，2)，BE →＝(1，－3，1)，设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧z －3y ＝0，x －3y ＋z ＝0， 令y ＝1，得n ＝(0,1，3)，∴直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值为|AB →·n ||AB →||n |＝34. 3．在三棱锥D —ABC 中，DA ＝DB ＝DC ，D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F .(1)求证：平面ABD ⊥平面DEF ；(2)若AD ⊥DC ，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求直线BE 与平面DAB 所成角的正弦值．(1)证明 由题意知DE ⊥平面ABC ，所以AB ⊥DE ，又AB ⊥DF ，且DE ∩DF ＝D ，所以AB ⊥平面DEF ，又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面DEF .(2)解 方法一 由DA ＝DB ＝DC ，知EA ＝EB ＝EC ，所以E 是△ABC 的外心．又AB ⊥BC ，所以E 为AC 的中点，如图所示．过E 作EH ⊥DF 于H ，连接BH ，则由(1)知EH ⊥平面DAB ，所以∠EBH 即为BE 与平面DAB 所成的角．由AC ＝4，∠BAC ＝60°，得AB ＝AE ＝BE ＝2，所以EF ＝3，又DE ＝2，所以DF ＝DE 2＋EF 2＝7，EH ＝237，所以sin ∠EBH ＝EH BE ＝217.方法二 如图建系，则A (0，－2，0)，D (0,0,2)，B (3，－1,0)，所以DA →＝(0，－2，－2)，DB →＝(3，－1，－2)．设平面DAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →＝0，n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧ －2y －2z ＝0，3x －y －2z ＝0，取z ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫33，－1，1.设EB →与n 的夹角为θ，则cos θ＝EB →·n |EB →|·|n |＝2273＝217，所以BE 与平面DAB 所成角的正弦值为217. 4．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝1，BF ＝3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上．(1)求证：CD ⊥BE ；(2)求线段BH 的长度；(3)求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值．(1)证明 ∵BH ⊥平面CDEF ，∴BH ⊥CD ，又CD ⊥DE ，BH ∩DE ＝H ，BH ，DE ⊂平面DBE ，∴CD ⊥平面DBE ，∴CD ⊥BE .(2)解 方法一 设BH ＝h ，EH ＝k ，过F 作FG 垂直ED 于点G ，∵线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧ BE 2＝BH 2＋EH 2，BF 2＝BH 2＋FH 2＝BH 2＋FG 2＋GH 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝h 2＋k 2，9＝22＋h 2＋(2－k )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝2，k ＝1， ∴线段BH 的长度为2.方法二 如图，过点E 作ER ∥DC ，过点E 作ES ⊥平面EFCD ，以点E 为坐标原点，分别以ER ，ED ，ES 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设点B (0，y ，z )(y >0，z >0)，由于F (2,2,0)，BE ＝5，BF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝5，4＋(y －2)2＋z 2＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝2，于是B (0,1,2)， ∴线段BH 的长度为2.(3)解 方法一 延长BA 交EF 于点M ，∵AE ∶BF ＝MA ∶MB ＝1∶3，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的13， ∴点A 到平面EFCD 的距离为23，而AF ＝13， 故直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为21339. 方法二 由(2)方法二知FB →＝(－2，－1,2)， 故EA →＝13FB →＝⎝⎛⎭⎫－23，－13，23， F A →＝FE →＋EA →＝⎝⎛⎭⎫－83，－73，23，设平面EFCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则sin θ＝|F A →·n ||F A →||n |＝21339. 5.在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点．(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成的角．方法一 (1)证明 因为AC ＝BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB .又EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以EA ⊥CM ，因为AB ∩EA ＝A ，AB ，EA ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥平面ABDE ，又因为EM ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥EM .(2)解 过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足为H ，连接CH 并延长交ED 于点F ，连接MF ，MD ，∠FCM 是直线CM 和平面CDE 所成的角．因为MH ⊥平面CDE ，ED ⊂平面CDE ，所以MH ⊥ED ，又因为CM ⊥平面EDM ，ED ⊂平面EDM ，所以CM ⊥ED ，因为MH ∩CM ＝M ，MH ，CM ⊂平面CMF ，所以ED ⊥平面CMF ，因为MF ⊂平面CMF ，所以ED ⊥MF .设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2a ，在直角梯形ABDE 中，AB ＝22a ，M 是AB 的中点，所以DE ＝3a ，EM ＝3a ，MD ＝6a ，所以EM 2＋MD 2＝ED 2，所以△EMD 是直角三角形，其中∠EMD ＝90°，所以MF ＝EM ·MD DE＝2a . 在Rt △CMF 中，tan ∠FCM ＝MF MC＝1， 又因为∠FCM ∈(0°，90°)，所以∠FCM ＝45°，故CM 与平面CDE 所成的角是45°.方法二 如图，以点C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系，设EA ＝a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0)，E (2a,0，a )，D (0,2a,2a )，M (a ，a,0)．(1)证明 因为EM →＝(－a ，a ，－a )，CM →＝(a ，a,0)，所以EM →·CM →＝0，故EM ⊥CM .(2)解 设向量n ＝(1，y 0，z 0)为平面CDE 的一个法向量，则n ⊥CE →，n ⊥CD →，即n ·CE →＝0，n ·CD →＝0.因为CE →＝(2a,0，a )，CD →＝(0,2a,2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋az 0＝0，2ay 0＋2az 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2，z 0＝－2， 即n ＝(1,2，－2)，cos 〈n ，CM →〉＝CM →·n |CM →|·|n |＝22， 因为〈n ，CM →〉∈[0°，180°]，所以〈n ，CM →〉＝45°.直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM →夹角的余角，所以θ＝45°，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45°.6.如图，在三棱台ABCDEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32， 得cos ∠BDF ＝217. 所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. (三)数 列1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n＋2，所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5.所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，又因为a 1＝1，所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，所以a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1，所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2－n 2. 又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n 2(n ∈N *)． 所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝16·⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝16·⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 12(n ＋1)(n ＋2).2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 52，S 4成等差数列，a 5＝3a 2＋2a 1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3，S 52，S 4成等差数列， 可知S 3＋S 4＝S 5，得2a 1－d ＝0，①由a 5＝3a 2＋2a 1－2，②得4a 1－d －2＝0，由①②，解得a 1＝1，d ＝2，因此，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)令c n ＝a n b n＝(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，∴T n ＝1·1＋3·12＋5·⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，③ 12T n ＝1·12＋3·⎝⎛⎭⎫122＋5·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ，④ ③－④，得12T n ＝1＋2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝ 3－2n ＋32n ， ∴T n ＝6－2n ＋32n －1(n ∈N *)． 3．已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，k ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n 2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)方法一 由(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，令n ＝1,2,3，得到a 1＝3＋k 2，a 2＝10＋k 3，a 3＝21＋k 4， ∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3，即20＋2k 3＝3＋k 2＋21＋k 4， 解得k ＝－1.由于(n ＋1)a n ＝2n 2＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)，又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．方法二 ∵{a n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝a 1＋d (n －1)＝dn ＋(a 1－d )，∴(n ＋1)a n ＝(n ＋1)(dn ＋a 1－d )＝dn 2＋a 1n ＋a 1－d ，∴dn 2＋a 1n ＋a 1－d ＝2n 2＋n ＋k 对于任意n ∈N *均成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a 1＝1，a 1－d ＝k ，解得k ＝－1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝4n 2a n a n ＋1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 24n 2－1＝1＋14n 2－1＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋1， 得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋1＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋1＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋1＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＋n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＋n ＝n 2n ＋1＋n ＝2n 2＋2n 2n ＋1(n ∈N *)． 4．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知数列{a n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋1en x +－1，证明：当n ∈N *时， (1)0<x n ＋1<x n ；(2)x n x n ＋1>x n －2x n ＋1；(3)⎝⎛⎭⎫12n ≤x n ≤⎝⎛⎭⎫12n －1. 证明 (1)用数学归纳法证明x n >0，当n ＝1时，x 1＝1>0，假设x k >0，k ∈N *，k ≥1，成立，当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则x k ＝x k ＋1＋1e k x +－1≤0，矛盾，故x k ＋1>0，因此x n >0(n ∈N *)，所以x n ＝x n ＋1＋1e n x +－1>x n ＋1＋e 0－1＝x n ＋1，综上，x n >x n ＋1>0.(2)x n ＋1x n ＋2x n ＋1－x n ＝x n ＋1(x n ＋1＋1en x +－1)＋2x n ＋1－x n ＋1－1e n x +＋1＝x 2n ＋1＋1e n x +(x n ＋1－1)＋1， 设f (x )＝x 2＋e x (x －1)＋1(x ≥0)，则f ′(x )＝2x ＋e x ·x ≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此f (x )≥f (0)＝0，因此x 2n ＋1＋1e n x +(x n ＋1－1)＋1＝f (x n ＋1)>f (0)＝0，故x n x n ＋1>x n －2x n ＋1.(3)由(2)得1x n ＋1＋1<2⎝⎛⎭⎫1x n ＋1，所以当n >1时， 1x n ＋1<2⎝⎛⎭⎫1x n －1＋1<…<2n －1⎝⎛⎭⎫1x 1＋1＝2n ， 当n ＝1时，1x n ＋1＝2n ，所以1x n ≤2n ，即x n ≥12n ， 又由于x n ＝x n ＋1＋1e n x +－1≥x n ＋1＋(x n ＋1＋1)－1＝2x n ＋1，x n ＋1≤12x n ，所以易知x n ≤12n －1， 综上，⎝⎛⎭⎫12n ≤x n ≤⎝⎛⎭⎫12n －1.5．(2018·浙江省台州中学模拟)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1,2，…. (1)求{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的x >0，a n ≥11＋x －1(1＋x )2·⎝⎛⎭⎫23n －x ，n ＝1,2，…； (3)证明：a 1＋a 2＋…＋a n >n 2n ＋1. (1)解 ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1， ∴1a n －1＝23·13n 1＝23，∴a n ＝3n3n ＋2(n ∈N *)． (2)证明 由(1)知a n ＝3n3n ＋2>0， 11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23n －x ＝11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23n ＋1－1－x ＝11＋x －1(1＋x )2⎣⎡⎦⎤1a n －(1＋x ) ＝－1a n ·1(1＋x )2＋21＋x ＝－1a n ⎝⎛⎭⎫11＋x －a n 2＋a n ≤a n ， ∴原不等式成立．(3)证明 由(2)知，对任意的x >0，有a 1＋a 2＋…a n ≥11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＋11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＋…＋11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＝n 1＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23＋232＋…＋23n －nx ， ∴取x ＝1n ⎝⎛⎭⎫23＋23＋…＋23＝1n ⎝⎛⎭⎫1－13， 则a 1＋a 2…＋a n ≥n1＋1n ⎝⎛⎭⎫1－13n ＝n 2n ＋1－13n >n 2n ＋1， ∴原不等式成立．6．已知在数列{a n }中，满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋12，记S n 为a n 的前n 项和． (1)证明：a n ＋1>a n ；(2)证明：a n ＝cos π3·2n －1； (3)证明：S n >n －27＋π254. 证明 (1)由题意知{a n }的各项均为正数，因为2a 2n ＋1－2a 2n ＝a n ＋1－2a 2n ＝(1－a n )(1＋2a n)． 所以，要证a n ＋1>a n ，只需要证明a n <1即可．下面用数学归纳法证明a n <1.①当n ＝1时，a 1＝12<1成立， ②假设当n ＝k 时，a k <1成立，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12<1＋12＝1. 综上所述，a n <1成立，所以a n ＋1>a n .(2)用数学归纳法证明a n ＝cos π3·2n －1. ①当n ＝1时，a 1＝12＝cos π3成立， ②假设当n ＝k 时，a k ＝cos π3·2k －1. 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＝cos π3·2k －1＋12＝cos π3·2k ， 综上所述，a n ＝cosπ3·2n －1. (3)由题意及(2)知， 1－a n －12＝1－a n －1＋12＝1－a 2n ＝1－cos 2π3·2n 1＝sin 2π3·2n －1<⎝⎛⎭⎫π3·2n －12(n ≥2)， 得a n －1>1－2π29·4n －1(n ≥2)， 故当n ＝1时，S 1＝12>1－27＋π254； 当n ≥2时，S n >∑n i ＝2 ⎝⎛⎭⎫1－2π29·4i ＋12 ＝n －12－2π29×43×116⎝⎛⎭⎫1－14n －1 >n －27＋π254. 综上所述，S n >n －27＋π254. (四)解析几何1．(2018·浙江省台州中学模拟)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程． (1)证明 由题意知，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， 直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝2pk 21＋p ，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM →＝(pk 1，pk 21)． 同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎫pk 2，pk 22＋p 2， FN →＝(pk 2，pk 22)，于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．∵k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，∴0<k 1k 2<1，故FM →·FN →<p 2(1＋1)＝2p 2.(2)解 由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p 2， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0， 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0， ∴直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0， 即x ＋2y ＝0.∴点M 到直线l 的距离为d ＝p |2k 21＋k 1＋1|5. 故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85. 由已知得7p 85＝755，解得p ＝8. 故所求抛物线E 的方程为x 2＝16y .2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝⎛⎭⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63，t 2＝23. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6， 综上23≤t 2<6， 又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t 24，所以S 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2π3，2π. 3．(2018·浙江“超级全能生”联考)如图，已知直线y ＝－2mx －2m 2＋m 与抛物线C ：x 2＝y 相交于A ，B 两点，定点M ⎝⎛⎭⎫－12，1. (1)证明：线段AB 被直线y ＝－x 平分；(2)求△MAB 面积取得最大值时m 的值．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx －2m 2＋m ，y ＝x 2， 得x 2＋2mx ＋2m 2－m ＝0，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－m ，则x 1＋x 22＝－m ， y 1＋y 22＝x 21＋x 222＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22＝m ， ∴线段AB 的中点坐标为(－m ，m )，∴线段AB 被直线y ＝－x 平分．(2)解 ∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋4m 2－4m 2＋4m (0<m <1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝|1＋2m 2－2m |1＋4m 2， ∴△MAB 的面积S ＝12|AB |d ＝－m 2＋m |1－2(－m 2＋m )|(0<m <1)，令－m 2＋m ＝t ，则S ＝t |1－2t 2|，又∵0<t ≤12，∴S ＝t －2t 3⎝⎛⎭⎫0<t ≤12， 令f (t )＝t －2t 3⎝⎛⎭⎫0<t ≤12，则f ′(t )＝1－6t 2， 则f (t )在⎝⎛⎭⎫0，66上单调递增，在⎝⎛⎦⎤66，12上单调递减，故当t ＝66时，f (t )取得最大值，即△MAB 面积取得最大值，此时有－m 2＋m ＝66，解得m ＝3±36. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a,0)，B (a,0)，k 1＝b a ，k 2＝－b a， k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33. (2)由(1)知e ＝c a ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线l 的方程为x ＝my －3，由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0，因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c 22m 2＋3. 又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2，代入上述两式得6－6c 2＝－36m 22m 2＋3， 所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3 ＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52， 代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为2x 215＋y 25＝1. 5．已知在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与轨迹C 相交于A ，B 两点，设点Q 在直线x ＋y －1＝0上，且满足OA →＋OB →＝tOQ→(O 为坐标原点)，求实数t 的最小值．解 (1)方法一 因为点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以|PN |－1＝|x |，将点N 的坐标代入，并整理得y 2＝4x .故点P 的轨迹C 的方程是y 2＝4x .方法二 因为平面上动点P 到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以点P 到点N (1,0)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离相等，即点P 的轨迹是以原点为顶点，焦点到准线的距离为2，并且为开口向右的抛物线，所以点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意知直线AB 的斜率存在且斜率不为0且与抛物线y 2＝4x 有两个交点，设直线AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得k 2x 2－4(k 2＋1)x ＋4k 2＝0(k ≠0)． Δ＝16(2k 2＋1)>0恒成立，所以x 1＋x 2＝4(k 2＋1)k 2，x 1·x 2＝4， 因为OA →＋OB →＝tOQ →，所以(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，即x ＝x 1＋x 2t ＝4(k 2＋1)k 2t ，y ＝y 1＋y 2t ＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)t ＝k (x 1＋x 2)－4k t ＝4tk， 又点Q 在x ＋y －1＝0上，所以4(k 2＋1)k 2t ＋4tk－1＝0. 所以t ＝4⎝⎛⎭⎫1k 2＋1k ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋3≥3.故实数t 的最小值为3.6.如图，过椭圆M ：x 22＋y 2＝1的右焦点F 作直线交椭圆于A ，C 两点．(1)当A ，C 变化时，在x 轴上求定点Q ，使得∠AQF ＝∠CQF ；(2)设直线QA 交椭圆M 的另一个交点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点D ，当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线AC 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Q (q,0)，当A ，C 不在x 轴上时，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋1，代入椭圆M 的方程，可得(2＋t 2)y 2＋2ty －1＝0.则y 1＋y 2＝－2t 2＋t 2，y 1y 2＝－12＋t 2， 由意题知k AQ ＋k CQ ＝y 1x 1－q ＋y 2x 2－q＝y 1(x 2－q )＋y 2(x 1－q )(x 1－q )(x 2－q ) ＝y 1(ty 2＋1－q )＋y 2(ty 1＋1－q )(x 1－q )(x 2－q ) ＝2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)(x 1－q )(x 2－q )＝0， 即2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)＝0，整理得－2t －2t (1－q )＝0，由题知无论t 取何值，上式恒成立，则q ＝2，当A ，C 在x 轴上时，定点Q (2,0)依然可使∠AQF ＝∠CQF 成立，所以点Q 的坐标是(2,0)．(2)由(1)知∠AQF ＝∠CQF ，∠BQF ＝∠DQF .所以B ，C 关于x 轴对称，A ，D 关于x 轴对称，所以四边形ABCD 是一个等腰梯形．则四边形ABCD 的面积S (t )＝|x 1－x 2|·|y 1－y 2|＝|t |·|y 1－y 2|2＝8·(t 2＋1)|t |(t 2＋2)2. 由对称性不妨设t >0，求导可得S ′(t )＝－8·t 4－3t 2－2(t 2＋2)3， 令S ′(t )＝0，可得t 2＝3＋172， 由于S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3＋172上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋172，＋∞上单调递减，所以当t 2＝3＋172时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值． 此时，直线AC 的方程是x ＝±3＋172y ＋1. (五)函数与导数1．(2018·浙江省台州中学模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，曲线y ＝f (x )过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴．(1)用a 分别表示b 和c ；(2)当bc 取得最小值时，求函数g (x )＝－f (x )e －x 的单调区间．解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3＝c ，2a ·(－1)＋b ＝0，则b ＝2a ，c ＝2a ＋3. (2)由(1)得bc ＝2a (2a ＋3)＝4⎝⎛⎭⎫a ＋342－94， 故当a ＝－34时，bc 取得最小值－94， 此时有b ＝－32，c ＝32， 从而f (x )＝－34x 2－32x ＋32，f ′(x )＝－32x －32， g (x )＝－f (x )e －x ＝⎝⎛⎭⎫34x 2＋32x －32e －x ，所以g ′(x )＝－34(x 2－4)e －x ， 令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，－2)上为减函数；当x ∈(－2,2)时，g ′(x )>0，故g (x )在(－2,2)上为增函数；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(2，＋∞)上为减函数．由此可见，函数g (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2,2)．2．(2018·浙江省温州六校协作体联考)已知函数f (x )＝e kx (k －x )(k ≠0)．(1)当k ＝2时，求y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)对任意x ∈R ，f (x )≤1k恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)当k ＝2时，f (x )＝e 2x (2－x )．∵f ′(x )＝2e 2x (2－x )－e 2x ＝e 2x (3－2x )，∴f ′(1)＝e 2，又∵f (1)＝e 2，∴所求的切线方程为y －e 2＝e 2(x －1)．即y ＝e 2x .(2)方法一 ∵e kx (k －x )≤1k， ∴当x ＝k 时，0≤1k，即k >0， ∴对任意x ∈R ，k (k －x )≤e－kx 恒成立， 设g (x )＝e －kx ＋kx －k 2，g ′(x )＝－k e －kx ＋k ＝k (1－e －kx )，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (0)＝1－k 2≥0，又k >0，∴0<k ≤1.方法二 对任意x ∈R ，f (x )≤1k 恒成立⇔f (x )max ≤1k，x ∈R . ∵f ′(x )＝k e kx (k －x )－e kx ＝e kx (k 2－kx －1)，当k <0，x ≥k －1k 时，f ′(x )≥0；x <k －1k时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，k －1k 上是减函数，在⎣⎡⎭⎫k －1k ，＋∞上是增函数． 又当x →－∞时，f (x )→＋∞，而1k<0， ∴与f (x )≤1k恒成立矛盾，∴k <0不满足条件； 当k >0，x ≤k －1k 时，f ′(x )≥0；x >k －1k时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，k －1k 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫k －1k ，＋∞上是减函数． ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫k －1k ＝21e k －·1k ≤1k，∴k 2－1≤0，即－1≤k ≤1，又k >0，∴0<k ≤1，综上所述，实数k 的取值范围是(0,1]．3．设函数f (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ，g (x )＝e x －e x .(1)当b ＝0时，函数f (x )有两个极值点，求实数a 的取值范围；(2)若y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，且函数h (x )＝f (x )＋g (x )在x ∈(1，＋∞)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a 的取值范围．解 (1)当b ＝0时，f (x )＝x ln x －ax 2－x ，f ′(x )＝ln x －2ax ，∴f (x )＝x ln x －ax 2－x 有2个极值点就是方程ln x －2ax ＝0有2个不同的解，即y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有2个． ∵m ′(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(0，e)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．∴m (x )有极大值1e， 又∵x ∈(0,1]时，m (x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，0<m (x )<1e. 当a ∈⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有0个； 当a ∈(－∞，0]或a ＝12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有1个； 当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有2个． 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12e . (2)函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，∴f ′(1)＝0且f (1)≠0，∵f ′(x )＝ln x －2ax ＋b ，∴b ＝2a 且a ≠1.h (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ＋e x －e x 在x ∈(1，＋∞)时，其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当x >1时，h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )>0恒成立，即ln x ＋e x －2ax ＋2a －e>0恒成立，令t (x )＝ln x ＋e x －2ax ＋2a －e ，∴t ′(x )＝1x＋e x －2a ，设φ(x )＝1x ＋e x －2a ，φ′(x )＝e x －1x 2， ∵x >1，∴e x >e ，1x 2<1， ∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，即t ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，∴t ′(x )>t ′(1)＝1＋e －2a ，当a ≤1＋e 2且a ≠1时，t ′(x )≥0， ∴t (x )＝ln x ＋e x －2ax ＋2a －e 在(1，＋∞)上单调递增，∴t (x )>t (1)＝0成立，当a >1＋e 2时， ∵t ′(1)＝1＋e －2a <0，t ′(ln 2a )＝1ln 2a＋2a －2a >0， ∴存在x 0∈(1，ln 2a )，满足t ′(x 0)＝0.∵t ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ∈(1，x 0)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，∴t (x 0)<t (1)＝0，t (x )>0不恒成立．∴实数a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝⎛⎦⎤1，1＋e 2. 4．已知函数f (x )＝x －1＋a e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2>4.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增．当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)证明 由f (x )＝0得a ＝1－x e x ， 设g (x )＝1－x e x ，则g ′(x )＝x －2e x . 由g ′(x )<0，得x <2；由g ′(x )>0，得x >2.故g (x )min ＝g (2)＝－1e 2<0. 当x >1时，g (x )<0，当x <1时，g (x )>0，不妨设x 1<x 2，则x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，x 1＋x 2>4等价于x 2>4－x 1，∵4－x 1>2且g (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴要证x 1＋x 2>4，只需证g (x 2)>g (4－x 1)，∵g (x 1)＝g (x 2)＝a ，∴只需证g (x 1)>g (4－x 1)，即1－x 11e x >x 1－314e x −， 即证124e x −(x 1－3)＋x 1－1<0；设h (x )＝e 2x －4(x －3)＋x －1，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝e 2x －4(2x －5)＋1，令m (x )＝h ′(x )，则m ′(x )＝4e 2x －4(x －2)，∵x ∈(1,2)，∴m ′(x )<0，∴m (x )在(1,2)上单调递减，即h ′(x )在(1,2)上单调递减，∴h ′(x )>h ′(2)＝0，∴h (x )在(1,2)上单调递增，∴h (x )<h (2)＝0，∴124e x −()x 1－3＋x 1－1<0，从而x 1＋x 2>4得证．5．已知函数f (x )＝a ＋ln x x，g (x )＝mx . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝0时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当a ＝1时，求证：当x >1时，(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e . (1)解 f (x )＝a ＋ln x x的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－(a ＋ln x )x 2＝1－ln x －a x 2. 由f ′(x )>0得1－ln x －a >0，即ln x <1－a ，解得0<x <e 1－a ，∴f (x )在(0，e 1－a )上单调递增，在(e 1－a ，＋∞)上单调递减．(2)解 a ＝0，f (x )＝ln x x，∴f (x )≤g (x )⇔ln x x ≤mx ⇔m ≥ln x x 2， 令u (x )＝ln x x 2，∴u ′(x )＝1－2ln x x 3， 由u ′(x )>0得0<x <e ，∴u (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴u (x )max ＝u (e)＝ln e e ＝12e ，∴m ≥12e. (3)证明 (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e ， 等价于1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x >2e x －1x e x ＋1. 令p (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x ，则p ′(x )＝x －ln x x 2， 令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x， ∵x >1，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，φ(x )>φ(1)＝1>0，p ′(x )>0，∴p (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴p (x )>p (1)＝2，∴p (x )e ＋1>2e ＋1， 令h (x )＝2e x －1x e x ＋1， 则h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2， ∵x >1，∴1－e x <0，∴h ′(x )<0，h (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴当x >1时，h (x )<h (1)＝2e ＋1， ∴p (x )e ＋1>2e ＋1>h (x )， 即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e ，x >1. 6．已知函数f (x )＝x 3＋|ax －3|－2，a >0.(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ∈(0,5)时，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，求实数a 的值． 解 (1)f (x )＝x 3＋|ax －3|－2(a >0)＝⎩⎨⎧ x 3＋ax －5，x ≥3a ，x 3－ax ＋1，x <3a .则f ′(x )＝⎩⎨⎧ 3x 2＋a ，x ≥3a ，3x 2－a ，x <3a . 当a 3≥3a，即a ≥3时， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 3，3a ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎫3a ，＋∞； 当a 3<3a，即0<a <3时， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 3，a 3， 单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞. (2)由题意知，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，等价于当x ∈[0,1]时，f (x )min ＋f (x )max ＝0，由(1)得当3≤a <5时，y ＝f (x )在⎣⎡⎭⎫0，3a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤3a ，1上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫3a ＝27a 3－2，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1，a －4}＝1，所以27a3－2＋1＝0，解得a ＝3； 当0<a <3时，y ＝f (x )在⎣⎡⎭⎫0，a 3上单调递减， 在⎝⎛⎦⎤a 3，1上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－2a 3a 3， f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1,2－a }，当1<a <3时，f (x )max ＝1，则1－2a 3a 3＋1＝0，得a ＝3(舍去)； 当0<a ≤1时，f (x )max ＝2－a ，则1－2a 3a 3＋2－a ＝0， 即3－a ＝2a 3a 3，其中3－a ≥2，而2a 3a 3<2，所以无解，舍去． 综上所述，a ＝3.。

2019高考数学总复习优编增分练：8+6分项练14导数理

2019高考数学总复习优编增分练：8+6分项练14导数理

8＋6分项练14 导 数1．(2018·四平模拟)定积分ʃ10错误!d x 的值为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π 答案 A解析 ∵y ＝错误!，∴(x －1)2＋y 2＝1表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆， ∴定积分ʃ10错误!d x 等于该圆的面积的四分之一， ∴定积分ʃ10错误!d x ＝错误!. 2．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是( )A ．－eB ．eC ．－e22D ．4e 2答案 A解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x ≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x(x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.3．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝错误!若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的取值范围为( ) A ．[3－2ln 2,2) B ．[3－2ln 2,2] C ．[e －1,2) D ．[e －1,2] 答案 A解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则当ln(x ＋1)＝1时，得x ＋1＝e ，即x ＝e －1， 则满足0<n ≤e－1，－2<m ≤0，则ln(n ＋1)＝12m ＋1，即m ＝2ln(n ＋1)－2，则n －m ＝n ＋2－2ln(n ＋1)，设h (n )＝n ＋2－2ln(n ＋1)，0<n ≤e－1， 则h ′(n )＝1－2n ＋1＝n －1n ＋1，0<n ≤e－1， 由h ′(n )>0，解得1<n ≤e－1， 由h ′(n )<0，解得0<n <1， 当n ＝1时，函数h (n )取得最小值h (1)＝1＋2－2ln(1＋1)＝3－2ln 2，当n ＝0时，h (0)＝2－2ln 1＝2；当n ＝e －1时，h ()e －1＝e －1＋2－2ln(e －1＋1)＝e －1<2，所以3－2ln 2≤h (n )<2，即n －m 的取值范围是[3－2ln 2,2)．4．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( )A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3)B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5)C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C解析 令g (x )＝错误!，则g ′(x )＝错误!， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即错误!>错误!>错误!， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．5．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，e28 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e24C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e28，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e24，＋∞答案 D解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t ＝am2－et m －t，所以m ＝2t －2，a ＝错误!(t >1)，令f (t )＝错误!(t >1)，则f ′(t )＝错误!，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e24，所以a ≥e24，故选D.6．已知函数f (x )＝ex |x|，关于x 的方程f 2(x )－2af (x )＋a －1＝0(a ∈R )有3个相异的实数根，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫e2－12e －1，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，e2－12e －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e2－12e －1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫e2－12e －1 答案 D解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧exx，x>0，－exx ，x<0，当x >0时，f ′(x )＝错误!，当0<x <1时，f ′(x )<0，函数单调递减， 当x >1时，f ′(x )>0，函数单调递增， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e.当x <0时，f ′(x )＝－错误!>0，函数单调递增， 如图，画出函数的图象，设t ＝f (x )，当t >e 时，t ＝f (x )有3个根，当t ＝e 时，t ＝f (x )有2个实根，当0<t <e 时，t ＝f (x )有1个实根，考虑到原方程的判别式大于零恒成立，所以原方程等价于t 2－2at ＋a －1＝0有2个相异实根，其中t 1＝e ，t 2∈(0，e)或t 1≤0，t 2>e ，当t ＝e 时，e 2－2a e ＋a －1＝0，解得a ＝e2－12e －1，检验满足条件；由t 1≤0，t 2>e 得⎩⎪⎨⎪⎧02－2a×0＋a －1≤0，e2－2ae ＋a －1<0，无解．故选D.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2－2x ＋1，－2≤x<0，ex ，x≥0，若函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，e2B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪[e 2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1eD.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪[e，＋∞) 答案 B解析 函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点， 即方程f (x )＝ax －a 存在实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝a (x －1)的图象有交点，如图所示，作出f (x )图象，直线y ＝a (x －1)恒过定点(1,0)，过点(－2,1)与(1,0)的直线的斜率k ＝1－0－2－1＝－13，设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x相切于点(x 0，)， 则切点处的导数值为，则过切点的直线方程为y －＝(x －x 0)， 又切线过点(1,0)，则－＝(1－x 0)， ∴x 0＝2e ，得x 0＝2， 此时切线的斜率为e 2，由图可知，要使函数g (x )＝f (x )－ax ＋a 存在零点， 则实数a 的取值范围是a ≤－13或a ≥e 2.8．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2＋a )x (a ∈R )，g (x )＝x ex －2，对任意的x 0∈(0,2]，关于x 的方程f (x )＝g (x 0)在(]0，e 上有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数)为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2e ，－3＋2e e2＋e B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2e ，－e e2＋2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e2＋e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，－e e2＋2 答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x＋2ax ＋(2＋a )＝错误!(x >0)，当a ＝0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增．g (x )＝x ex －2，则g ′(x )＝1－xex， 当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 其中g (0)＝－2，g (1)＝1e －2，g (2)＝2e2－2，则函数g (x )在区间(0,2]上的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－2，1e －2，f (x )＝g (x 0)在(0，e]上有两个不同的实数根，则必有a <0，且由f (x )的解析式有f (0)→－∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1a －1，f (e)＝1＋a e 2＋(2＋a )e ，则满足题意时应有错误!注意到函数f (x )＝ln x ＋x －1是单调递增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e－2，据此可知方程ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1a －1＝1e －2的唯一实数根满足－1a ＝1e ，即a ＝－e ，则不等式ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1a －1>1e －2的解集为(－e ，＋∞)，求解不等式1＋a e 2＋(2＋a )e≤－2，可得a ≤－3＋2e e2＋e .求解不等式－1a <e ，可得a <－1e，据此可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－e ，－3＋2e e2＋e .9．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________. 答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝6－4x ， ∴f ′(0)＝6－4×0＝6.10．若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x－2的切线，则实数b ＝________. 答案 －2ln 2解析 由题意可知，设切点为(x 0，y 0)，y ′＝e x，由y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x－2的切线，得e x 0＝2，x 0＝ln 2，代入曲线得y 0＝0，然后将切点坐标代入切线得b ＝－2ln 2.11．已知函数f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2，若存在x 0使得f (x 0)≤110成立，则实数a 的值为________． 答案130解析 f (x )＝x 2＋(ln 3x )2－2a (x ＋3ln 3x )＋10a 2＝(x －a )2＋(ln 3x －3a )2表示点M (x ，ln 3x )与点N (a,3a )距离的平方，M 点的轨迹是函数g (x )＝ln 3x 的图象，N 点的轨迹是直线y ＝3x ，则g ′(x )＝1x .作g (x )的平行于直线y ＝3x 的切线，切点为(x 1，y 1)，则1x1＝3，所以x 1＝13，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以曲线上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0到直线y ＝3x 的距离最小，最小距离d ＝110，所以f (x )≥110，根据题意，要使f (x 0)≤110，则f (x 0)＝110，此时N 为垂足，点M 与点P 重合，k MN ＝3a －0a －13＝－13，得a ＝130.12．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟联考)已知函数f (x )＝a ln(x ＋2)－x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p >q ，若不等式错误!>2恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案[)24，＋∞解析 由已知p >q ，可得f (p ＋1)－f (q ＋1)>2(p －q )，f (p ＋1)>f (q ＋1)＋2p －2q ， f (p ＋1)－2p >f (q ＋1)－2q ， f (p ＋1)－2p －2>f (q ＋1)－2q －2， f (p ＋1)－2(p ＋1)>f (q ＋1)－2(q ＋1)．令g (x )＝f (x )－2x ，则有g (p ＋1)>g (q ＋1)． 因为p ，q ∈(0,1)，所以p ＋1∈(1,2)，q ＋1∈(1,2)， 又因为p >q ，所以g (x )＝f (x )－2x 在(1,2)上为单调递增函数， 则g ′(x )＝f ′(x )－2＝ax ＋2－2x －2≥0在(1,2)上恒成立， 即a ≥(x ＋2)(2x ＋2)在x ∈(1,2)时恒成立，令h (x )＝(x ＋2)(2x ＋2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－12，h (x )在(1,2)上为增函数，所以a ≥h (2)＝24.即a 的取值范围为[)24，＋∞.13．(2018·河北省衡水中学模拟)若存在两个正实数x ，y 使等式2x ＋m (y －2e x )(ln y －ln x )＝0成立(其中e ＝2.718 28…)，则实数m 的取值范围是_____________________．答案 (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞ 解析 由题意可得m ＝错误!， 则1m＝错误!＝错误!·ln 错误!， 令t ＝y x ()t>0，构造函数g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e －t 2ln t (t >0)， 则g ′(t )＝－12ln t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫e －t 2×1t＝－12ln t ＋e t －12(t >0)，设h (t )＝g ′(t )，则h ′(t )＝－12t －e t2＝－t ＋2e 2t2<0恒成立，则g ′(t )在(0，＋∞)上单调递减， 当t ＝e 时，g ′(t )＝0，则当t ∈(0，e)时，g ′(t )>0，函数g (t )单调递增， 当t ∈(e，＋∞)时，g ′(t )<0，函数g (t )单调递减， 则当t ＝e 时，g (t )取得最大值g (e)＝e2，据此有1m ≤e 2，∴m <0或m ≥2e.综上可得实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞.14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba 的最小值为________． 答案 －1e解析 因为函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ， 所以f ′(x )＝1x ＋(e －a )，其中x >0，当a ≤e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )≤0不恒成立；当a >e 时，令f ′(x )＝1x ＋e －a ＝0，得x ＝1a －e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a －e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，所以当x ＝1a －e 时，f (x )取得最大值，因为不等式f (x )≤0恒成立， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1a －e ＝－ln(a －e)－b －1≤0，所以ln(a －e)＋b ＋1≥0， 所以b ≥－1－ln(a －e)， 所以ba ≥错误!，a >e ，设F (x )＝错误!，x >e ， 则F ′(x )＝错误! ＝错误!，x >e ，令H (x )＝(x －e)ln(x －e)－e ， 则H ′(x )＝ln(x －e)＋1， 由H ′(x )＝0，解得x ＝e ＋1e，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ，＋∞时，H ′(x )>0，H (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e ＋1e 时，H ′(x )<0，H (x )单调递减，所以当x ＝e ＋1e 时，H (x )取得最小值，最小值为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ＝－e －1e ， 因为当x →e 时，H (x )→－e ， 当x >2e 时，H (x )>0，H (2e)＝0，所以当x ∈(e,2e)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减， 当x ∈(2e，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增， 所以当x ＝2e 时，F (x )取最小值F (2e)＝－1－12e ＝－1e ，所以b a 的最小值为－1e.。

2019高考数学总复习优编增分练8+6分项练14导数理

2019高考数学总复习优编增分练8+6分项练14导数理

＋分项练导数．(·四平模拟)定积分ʃ的值为( )．π．π答案解析∵＝，∴(－)＋＝表示以()为圆心，以为半径的圆，∴定积分ʃ等于该圆的面积的四分之一，∴定积分ʃ＝.．(·昆明模拟)已知函数()＝(－)－(∈)在区间(，＋∞)上单调递增，则的最大值是( ) ．－．．－．答案解析因为函数()＝(－)－(∈)，所以′()＝(－)＋(－)－＝(－)－(>)．因为函数()＝(－)－(∈)在区间(，＋∞)上单调递增，所以′()＝(－)－≥在区间(，＋∞)上恒成立，即≤(－)在区间(，＋∞)上恒成立，亦即≤(－)在区间(，＋∞)上恒成立，令()＝(－)，>，则′()＝(－)＋(－)＝(－＋－)＝(－)(＋＋)，>，因为∈(，＋∞)，所以＋＋>.因为>，令′()>，可得>，令′()<，可得<<.所以函数()在区间(，＋∞)上单调递增，在区间()上单调递减．所以()＝()＝(－)＝－.所以≤－.所以的最大值是－.．(·潍坊模拟)已知函数()＝(\\((＋(，>，,()＋，≤，))若<，且()＝()，则－的取值范围为( )．[－ ) ．[－ ]．[－) ．[－]答案解析作出函数()的图象，如图所示，若<，且()＝()，则当(＋)＝时，得＋＝，即＝－，则满足<≤－，－<≤，则(＋)＝＋，即＝(＋)－，则－＝＋－(＋)，设()＝＋－(＋)，<≤－，则′()＝－＝，<≤－，由′()>，解得<≤－，由′()<，解得<<，当＝时，函数()取得最小值()＝＋－(＋)＝－，当＝时，()＝－＝；。

江苏省2019高考数学总复习 优编增分练：高考解答题分项练(五)函数与导数(A)

江苏省2019高考数学总复习 优编增分练：高考解答题分项练(五)函数与导数(A)

(五)函数与导数(A)1．(2018·宿迁期末)已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－2a x＋a 2(a >0，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的值域；(3)若存在x ∈[1,2]，使得4＋mf (x )－2x ＋1≥0成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－21＋a 2＝0，可得a ＝2. 经检验a ＝2符合题意．(2)由(1)可得f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1，∴函数f (x )在R 上单调递增， 又2x＋1>1，∴－2<－22x ＋1<0，∴－2<2⎝⎛⎭⎪⎫1－22x＋1<2. ∴函数f (x )的值域为(－2,2)．(3)当x ∈[1,2]时，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x－12x ＋1>0. 由题意知，存在x ∈[1,2]，使得mf (x )＝2m ·2x－12x ＋1≥2x ＋1－4成立，即存在x ∈[1,2]，使得m ≥(2x ＋1)(2x－2)2x－1成立． 令t ＝2x－1(1≤t ≤3)，则有m ≥(t ＋2)(t －1)t ＝t －2t＋1，∵当1≤t ≤3时，函数y ＝t －2t＋1为增函数，∴⎝⎛⎭⎪⎫t －2t＋1min ＝0. ∴m ≥0.故实数m 的取值范围为[0，＋∞)．2．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0>1， ①e x a x＋x 0>0， ②e x a (x 0－1)＋x 2x 20＝0， ③由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e，则h ′(x )＝x (x －2)e，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2， 则H ′(x )＝(a e x＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x∈(e，＋∞)， ∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x<a e≤－e ， ∴a e x＋2<0，∴H ′(x )<0， ∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0， ∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0， 且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0； 当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*)又H (x 0)＝0e xa (x 0－1)＋x 20＝0，∴e x a x 0＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0，∴不存在负整数a 满足条件．3．(2018·南通模拟)已知函数f (x )＝12ax 2－ax ＋ln x ＋54a ，其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求f (x 1)＋f (x 2)的取值范围；(3)若不等式f (x )≥ax －a4对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－x ＋ln x ＋54，故f (1)＝34，且f ′(x )＝x －1＋1x，故f ′(1)＝1，所以函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －34＝x －1，即4x －4y －1＝0.(2)由f (x )＝12ax 2－ax ＋ln x ＋54a ，x >0，可得f ′(x )＝ax －a ＋1x ＝ax 2－ax ＋1x，因为函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2， 所以x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个正根， 即ax 2－ax ＋1＝0的两个正根为x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a >0，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝1a>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >4，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝1a，所以f (x 1)＋f (x 2)＝12ax 21－ax 1＋ln x 1＋54a ＋12ax 22－ax 2＋ln x 2＋54a＝12a [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]－a (x 1＋x 2)＋ln(x 1x 2)＋52a ＝2a －ln a －1，令g (a )＝2a －ln a －1，a >4，故g ′(a )＝2－1a>0，g (a )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (a )>g (4)＝7－ln 4，故f (x 1)＋f (x 2)的取值范围是(7－ln 4，＋∞)．(3)由题意知，f (x )≥ax －a4对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立，即2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a ≥0对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立． 令h (x )＝2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a ，x >1， 则h ′(x )＝2x ＋2ax －4a ＝2·ax 2－2ax ＋1x，①若a ＝0，当x >1时，h (x )＝2ln x >0， 故a ＝0符合题意； ②若a >0，(ⅰ)若4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1，则h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x >1时，h (x )>h (1)＝0，故0<a ≤1符合题意； (ⅱ)若4a 2－4a >0，即a >1，令h ′(x )＝0，得x 1＝1－a 2－aa <1(舍去)，x 2＝1＋a 2－aa>1，当x ∈(1，x 2)时，h ′(x )<0，h (x )在(1，x 2)上单调递减； 当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(x 2，＋∞)上单调递增， 所以存在x ＝x 2>1，使得h (x 2)<h (1)＝0，与题意矛盾， 所以a >1不符合题意． ③若a <0，令h ′(x )＝0，得x 0＝1－a 2－aa＝1＋1－1a>1.当x ∈(1，x 0)时，h ′(x )>0，h (x )在(1，x 0)上单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递减．首先证明：4－2a>x 0.要证4－2a>x 0，即要证4－2a >1－a 2－aa，只要证2－3a >a 2－a ， 因为a <0，所以(2－3a )2－(a 2－a )2＝8a 2－11a ＋4>0， 故2－3a >a 2－a ，所以4－2a>x 0.其次证明，当a <0时，ln x <x －32a 对任意的x ∈(1，＋∞)都成立，令t (x )＝ln x －x ＋32a ，x >1，则t ′(x )＝1x －1<0，故t (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以t (x )<t (1)＝32a －1<0，则ln x －x ＋32a <0，所以当a <0时，ln x <x －32a 对任意的x ∈(1，＋∞)都成立，所以当x >4－2a 时，h (x )＝2ln x ＋ax 2－4ax ＋3a <2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32a ＋ax 2－4ax ＋3a ，即h (x )<ax ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝⎛⎭⎪⎫4－2a <0，与题意矛盾，故a <0不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]．。

(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练4 平面向量与数学文化 文

(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练4 平面向量与数学文化 文

8＋6分项练4 平面向量与数学文化1．(2018·贵阳模拟)如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AO →等于( )A.12a ＋12bB.12a ＋14bC.14a ＋12bD.14a ＋14b 答案 B解析 ∵在△ABC 中，BE 是AC 边上的中线， ∴AE →＝12AC →，∵O 是BE 边的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AE →)，∴AO →＝12AB →＋14AC →，∵AB →＝a ，AC →＝b ， ∴AO →＝12a ＋14b .2．(2018·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( ) A.49 B.89 C.269 D.263 答案 C 解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →＋13CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. 3．(2018·昆明模拟)程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A ．65 B ．176 C ．183 D ．184 答案 D解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996. 由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.4．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中OA ＝1，则给出下列结论： ①HD →·BF →＝0；②OA →·OD →＝－22；③OB →＋OH →＝－ 2 OE →；④|AH →－FH →|＝2－ 2. 其中正确结论的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 B解析 正八边形ABCDEFGH 中，HD ⊥BF ， ∴HD →·BF →＝0，故①正确； OA →·OD →＝1×1×cos3π4＝－22，故②正确；OB →＋OH →＝ 2 OA →＝－ 2 OE →，故③正确；|AH →－FH →|＝|AF →|＝|OF →－OA →|，则|AF →|2＝1＋1－2×1×1×cos 3π4＝2＋2，∴|AF →|＝2＋2，故④错误． 综上，正确的结论为①②③，故选B.5．(2018·聊城模拟)在△ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，则PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－1 答案 C解析 建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为(x ，y )，则PA →＝()－x ，2－y ，PO →＝(－x ，－y )，故PA →·PB →＋PA →·PC →＝PA →·()PB →＋PC→＝2PA →·PO →＝2()x 2＋y 2－2y ＝2[]x 2＋()y －12－2≥－2，当且仅当x ＝0，y ＝1时等号成立．所以PA →·PB →＋PA →·PC →的最小值为－2.6．(2018·石家庄模拟)三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的直角三角形(直角边长之比为1∶3)围成的一个大正方形，中间部分是一个小正方形，如果在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是( )A.32B.34C ．1－32D ．1－34答案 C。

(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：压轴大题突破练(三)函数与导数(1)文

(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：压轴大题突破练(三)函数与导数(1)文

(三)函数与导数(1)1．(2018·咸阳模拟)已知函数f (x )＝a (x ＋1)ln x －x ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥时，求证：对任意的x ≥1，f (x )≥0恒成立．12(1)解　由f (x )＝2(x ＋1)ln x －x ＋1，得f ′(x )＝2ln x ＋＋1，2x 切点为(1,0)，斜率为f ′(1)＝3，所求切线方程为y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0.(2)证明　当a ＝时，12f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1(x ≥1)，12欲证：f (x )≥0，注意到f (1)＝0，只要f (x )≥f (1)即可，f ′(x )＝a －1(x ≥1)，(ln x ＋1x ＋1)令g (x )＝ln x ＋＋1(x ≥1)，1x 则g ′(x )＝－＝≥0(x ≥1)，1x 1x 2x －1x 2知g (x )在[1，＋∞)上单调递增，有g (x )≥g (1)＝2，所以f ′(x )≥2a －1≥0，(a ≥12)可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (1)＝0，综上，当a ≥时，对任意的x ≥1，f (x )≥0恒成立．122．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2＋ax (a ∈R )，g (x )＝e x ＋x 2.1232(1)讨论函数f (x )极值点的个数；(2)若对∀x >0，不等式f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解　(1)f ′(x )＝＋x ＋a ＝(x >0)，1x x 2＋ax ＋1x 令f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4，①当a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即f ′(x )≥0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值点，②当a 2－4>0，即a <－2或a >2时，若a <－2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得Error!故x 1>0，x 2>0，此时x ∈(0，x 1)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(x 1，x 2)，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ∈(x 2，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增，故x 1，x 2分别为f (x )的极大值点和极小值点，因此a <－2时，f (x )有两个极值点；若a >2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，由根与系数的关系得Error!故x 1<0，x 2<0，此时f (x )无极值点，综上，当－2≤a ≤2时，f (x )无极值点，当a <－2时，f (x )有两个极值点，当a ≥－2时，f (x )无极值点．(2)f (x )≤g (x )等价于ln x ＋x 2＋ax ≤e x ＋x 2，1232即e x －ln x ＋x 2≥ax ，因此a ≤对∀x >0恒成立．e x －ln x ＋x 2x 设h (x )＝，e x －ln x ＋x 2xh ′(x )＝(e x －1x ＋2x )x －e x ＋ln x －x 2x 2＝，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1x 2当x ∈(0,1)时，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1<0，即h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，e x (x －1)＋ln x ＋x 2－1>0，即h ′(x )>0，h (x )单调递增，因此x ＝1为h (x )的极小值点，即h (x )≥h (1)＝e ＋1，故a ≤e＋1.3．(2018·亳州模拟)已知函数f (x )＝在x ＝1处取得极值．a ＋ln x x (1)求a 的值，并讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥恒成立，求实数m 的取值范围．m1＋x 解　(1)由题意知f ′(x )＝，1－a －ln xx 2又f ′(1)＝1－a ＝0，即a ＝1，∴ f ′(x )＝(x >0)，－ln xx 2令f ′(x )>0，得0<x <1；令f ′(x )<0，得x >1，∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)依题意知，当x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥恒成立，m1＋x 即m ≤恒成立，(1＋x )(1＋ln x )x 令g (x )＝(x ≥1)，(1＋x )(1＋ln x )x 只需g (x )min ≥m 即可，又g ′(x )＝，x －ln xx 2令h (x )＝x －ln x ，h ′(x )＝1－≥0(x ≥1)，1x ∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴ h (x )≥h (1)＝1>0，∴ g ′(x )>0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝2，故m ≤2.4．(2018·福建省百校模拟)已知函数f (x )＝x －1＋a e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋.1e (1)解　f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增．当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ，(－1a )则f (x )的单调递增区间为，(－∞，ln (－1a ))令f ′(x )<0，得x >ln ，(－1a )则f (x )的单调递减区间为.(ln (－1a )，＋∞)(2)证明　方法一　设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3，由g ′(x )<0得x >ln 3；由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0，从而得g (x )＝f (x )＋2x <0，∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0，即x 1－2x 2>－4＋.1e 方法二　∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴x 1＝12e e x x＋－x 2－3，∴x 1－2x 2＝12e e x x ＋－3x 2－3，设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3，由g ′(x )<0得x <ln 3，由g ′(x )>0得x >ln 3，故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3.∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝－3ln 3，1e ∵3ln 3＝ln 27<4，∴x 1－2x 2>－4＋.1e 5．(2018·江南十校模拟)已知函数f (x )＝，g (x )＝mx .a ＋ln x x (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝0时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当a ＝1时，求证：当x >1时，(x ＋1)f (x )>2.(x ＋1e x )(1＋1e )(1)解　f (x )＝的定义域为(0，＋∞)，a ＋ln x x 且f ′(x )＝＝.1－(a ＋ln x )x 21－ln x －ax 2由f ′(x )>0得1－ln x －a >0，即ln x <1－a ，解得0<x <e 1－a ，∴f (x )在(0，e 1－a )上单调递增，在(e 1－a ，＋∞)上单调递减．(2)解　a ＝0，f (x )＝，ln x x ∴f (x )≤g (x )⇔ ≤mx ⇔m ≥，ln x x ln xx 2令u (x )＝，∴u ′(x )＝，ln x x 21－2ln xx 3由u ′(x )>0得0<x <，e ∴u (x )在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，e e ∴u (x )max ＝u ()＝＝，∴m ≥.e ln e e 12e 12e (3)证明　(x ＋1)f (x )>2，(x ＋1e x )(1＋1e )等价于·>.1e ＋1(x ＋1)(ln x ＋1)x 2e x －1x e x ＋1令p (x )＝，则p ′(x )＝，(x ＋1)(ln x ＋1)x x －ln x x 2令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－＝，1x x －1x∵x >1，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，φ(x )>φ(1)＝1>0，p ′(x )>0，∴p (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴p (x )>p (1)＝2，∴>，p (x )e ＋12e ＋1令h (x )＝，则h ′(x )＝，2e x －1x e x ＋12e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2∵x >1，∴1－e x <0，∴h ′(x )<0，h (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴当x >1时，h (x )<h (1)＝，2e ＋1∴>>h (x )，p (x )e ＋12e ＋1即(x ＋1)f (x )>2，x >1.(x ＋1e x )(1＋1e )。

(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练13 导数 文

(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练13 导数 文

8＋6分项练13 导 数1．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A答案 D解析 绘制函数f (x )＝log a x ()0<a <1的图象如图所示，且M ()a ，log a a ，N ()a ＋1，log a (a ＋1)，由题意可知A ＝f ′(a )为函数在点M 处切线的斜率，C ＝f ′(a ＋1)为函数在点N 处切线的斜率，B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a为直线MN 的斜率，由数形结合可得C >B >A . 2．已知函数f (x )＝f ′(1)ee x＋f (0)2x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞) 答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝f ′(1)e·e x ＋f (0)2×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1， ∴f (0)＝f ′(1)e＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1， 解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 3．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A. 2B.332C.322D. 5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.4．(2018·咸阳模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x()2x －2＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x(x ＋1) B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x(x －1)2答案 D 解析 令G (x )＝f (x )e x，则G ′(x )＝f ′(x )－f (x )ex＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ， ∵G (0)＝f (0)＝1，∴c ＝1. ∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2.5．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( ) A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3) B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5) C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4) D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5) 答案 C 解析 令g (x )＝f (x )x －2，则g ′(x )＝(x －2)f ′(x )－f (x )(x －2)2， 因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0， 所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减， 则g (5)>g (3)>g (4)， 即f (5)5－2>f (3)3－2>f (4)4－2， 即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．6．(2018·辽宁省葫芦岛市普通高中模拟)已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，＋∞B.()－2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5π6，＋∞答案 D解析 ∵函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，∴f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由f ′(x )＝0，得x ＝π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，f ′(x )<0， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ>0，① f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，② 联立①②，得λ>3－5π6. 7．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －ln x ，x >0，ax ＋ln (－x )，x <0，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，若0<k ≤2e，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2 C ．(e,2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤2，2＋1e 答案 A解析 当x >0时，函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，由函数f (x )为奇函数且有两个极值点得a >0， 不妨设x 2＝－x 1>0， 则有x 2＝1a，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，1＋ln a ，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a，－(1＋ln a )，由直线的斜率公式可得k ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝a (1＋ln a )，a >0，又k >0,1＋ln a >0，所以a >1e ，设h (a )＝a (1＋ln a )，则当a >1e时，h ′(a )＝2＋ln a ＝1＋(1＋ln a )>0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，h (e)＝2e,0<k ≤2e，得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <h (a )≤h (e)， 所以1e<a ≤e.8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f (x )＝x 2－x ln x ＋2，若存在区间[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，9＋2ln 24 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 24 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 210 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝2x －ln x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2－1x(x >0)．当x ≥12时，g ′(x )＝2－1x≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )≥f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 12>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因为[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 所以f (x )在[a ，b ]上单调递增，因为f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝k (a ＋2)，f (b )＝k (b ＋2)，所以方程f (x )＝k (x ＋2)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两解a ，b ，作出y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，若直线y ＝k (x ＋2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94＋12ln 2， 则k ＝9＋2ln 210，若直线y ＝k (x ＋2)与y ＝f (x )的图象相切， 设切点为(x 0，y 0)则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k (x 0＋2)，y 0＝x 20－x 0ln x 0＋2，2x 0－ln x 0－1＝k ，解得k ＝1，数形结合可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210. 9．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是________． 答案 －e解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )， 所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝e x(x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x (x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x (x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0， 因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0. 因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1， 令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e. 所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am 2－e tm －t，所以m ＝2t －2，a ＝e t 4(t －1)(t >1)，令f (t )＝e t 4(t －1)(t >1)，则f ′(t )＝e t(t －2)4(t －1)2，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e 24，所以a ≥e24.11．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________. 答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2， ∴f ′(x )＝6－4x ， ∴f ′(0)＝6－4×0＝6.12．(2018·烟台模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则实数a 的值是________． 答案 2＋ln 2解析 由y ＝ln x ＋a 求导得y ′＝1x，设切点是(x 0，ln x 0＋a )， 则y ′＝1x 0＝2，故x 0＝12，ln x 0＝－ln 2，切点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2＋a ，代入直线方程得 2×12＋ln 2－a ＋1＝0，解得a ＝2＋ln 2.13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1,2)成立，则称函数f (x )具有性质P ，若函数f (x )＝exa具有性质P ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0 解析 若函数f (x )＝exa具有性质P ，则xf (x )＝1 有两个不等实数根， 代入得xf (x )＝x ·exa＝1，即a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根． 令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝x e x＋e x＝e x(1＋x )，令g ′(x )＝0， 得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：根据表格，画出如图所示的函数图象由图象可知，a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根， 即y ＝a 与g (x )的图象有两个不同交点， 由极小值g (－1)＝－1e可知，当有两个交点时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0. 14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝e x＋e xe x，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________．答案 4解析 因为g (x )＝e x＋e x e x ，所以g ′(x )＝e x(x －1)e x ，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.。

(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练11 圆锥曲线 文

(京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8 6分项练11 圆锥曲线 文

8＋6分项练11 圆锥曲线1．(2018·大连模拟)设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则||AF ＋||BF 的值是( ) A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．4 3 答案 C解析 设椭圆的右焦点为F 2，连接AF 2，BF 2， 因为|OA |＝|OB |，|OF |＝|OF 2|， 所以四边形AFBF 2是平行四边形， 所以|BF |＝|AF 2|，所以|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF 2|＝2a ＝4.2．(2018·洛阳统考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. 5 B ．3 C ．5 D ．4 2 答案 A解析 因为抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为()3，0，依题意得4＋b 2＝9，所以b 2＝5， 所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，所以其渐近线方程为y ＝±52x ， 所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为||±5×3－05＋4＝ 5.3．(2018·重庆模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线交于P ，Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是( ) A ．16 3 B ．12 3 C ．4 3 D ．3 答案 A解析 根据题意，四边形MNPQ 为矩形， 可得|PQ |＝|MN |，从而得到圆心F 到准线的距离与到MN 的距离是相等的，所以M 点的横坐标为3，代入抛物线方程，设M 为x 轴上方的交点，从而求得M (3,23)，N (3，－23)， 所以|MN |＝43，||NP ＝4，从而求得四边形MNPQ 的面积为S ＝4×43＝16 3.4．(2018·昆明模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆M ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2，直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，自上而下顺次与上述两曲线交于A 1，A 2，A 3，A 4四点，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|A 1A 2|－1|A 3A 4|等于( )A.1pB.2p C ．p D.p2 答案 B解析 圆M ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p 2的圆心为抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，半径为p . 直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p2过抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 设A 2(x 1，y 1)，A 4(x 2，y 2)． 不妨设k <0，则x 1<p 2，x 2>p2.|A 1A 2|＝|A 1F |－|A 2F |＝p －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＝p2－x 1，|A 3A 4|＝|A 4F |－|A 3F |＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2－p ＝x 2－p2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0，所以x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，x 1x 2＝p 24.所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|A 1A 2|－1|A 3A 4| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1p 2－x 1－1x 2－p 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－p 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋x 2－p p 2(x 1＋x 2)－x 1x 2－p 24 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p (k 2＋2)k 2－p p 2×p (k 2＋2)k －p 24－p 24＝2p . 5．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过其焦点F的直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，且抛物线C 上存在点M 与x 轴上一点N (7,0)关于直线l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．5 C.112 D ．6答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ′：x ＝－p2，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别过点A ，B 作AP ⊥l ′，BQ ⊥l ′，垂足为P ，Q ， 过点B 作BD ⊥AP 交AP 于点D ， 则|AP |＝|AF |，|BQ |＝|BF |， ∵|AF |＝3|BF |＝34|AB |，∴|AP |－|BQ |＝|AD | ＝|AF |－|BF |＝12|AB |，在Rt△ABD 中，由|AD |＝12|AB |，可得∠BAD ＝60°，∵AP ∥x 轴，∴∠BAD ＝∠AFx ＝60°， ∴k AB ＝tan 60°＝3， 直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，设M 点坐标为(x M ，y M )，由⎩⎪⎨⎪⎧y M x M －7＝－33，y M2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x M＋72－p 2，可得x M ＝34p －72，y M ＝32⎝⎛⎭⎪⎫7－p 2，代入抛物线的方程化简可得3p 2－4p －84＝0，解得p ＝6(负值舍去)， 该抛物线的焦点到准线的距离为6.6．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B.22C ．1 D. 2答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2， 半焦距为c ，P 为第一象限内的公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，所以4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π4，所以4c 2＝(2－2)a 21＋(2＋2)a 22， 所以4＝2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21×2＋2e 22＝22e 1e 2， 所以e 1e 2≥22，故选B. 7．(2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上， 则0<m <3，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)． 故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(2,0)．过F 2作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，若使|AB |＝b 2的直线l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(1,2) C ．(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 C解析 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2＋b 2)，设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，F 1F 2，PF 2切于点G ，H ，I ， 则|PG |＝|PI |，|F 1G |＝|F 1H |，|F 2H |＝|F 2I |. 由双曲线的定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝|F 1G |－|F 2I |＝|F 1H |－|F 2H |， 又|F 1H |＋|F 2H |＝|F 1F 2|＝2c ， 故|F 1H |＝c ＋a ，|F 2H |＝c －a ， 所以H (a ,0)，即a ＝2. 注意到这样的事实：若直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点， 则当l ⊥x 轴时，|AB |有最小值2b 2a＝b 2；若直线l 与双曲线的两支各交于一点(A ，B 两点)， 则当l ⊥y 轴时，|AB |有最小值2a ，于是， 由题意得b 2>2a ＝4，b >2，c ＝a 2＋b 2>22， 所以双曲线的离心率e ＝c a> 2.故选C.9．(2018·唐山模拟)已知P 是抛物线y 2＝4x 上任意一点，Q 是圆()x －42＋y 2＝1上任意一点，则|PQ |的最小值为________． 答案 23－1解析 设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2，m ， 由圆的方程()x －42＋y 2＝1，可得圆心坐标A ()4，0，∴|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14m 2－42＋m 2＝116()m 2－82＋12≥12，∴|PA |≥23，∵Q 是圆()x －42＋y 2＝1上任意一点，∴|PQ |的最小值为23－1.10．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆交渐近线ay ＝bx 于点P (P 在第一象限)，PF 1交双曲线左支于Q ，若Q 是线段PF 1的中点，则该双曲线的离心率为________． 答案5＋1解析 联立直线方程与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝bax ，结合c 2＝a 2＋b 2，且点P 位于第一象限可得P (a ，b )， 双曲线的左焦点为F 1(－c,0)， 则PF 1的中点为Q ⎝⎛⎭⎪⎫a －c 2，b 2，点Q 在双曲线上，则()a －c 24a2－b 24b2＝1，整理可得c 2－2ac －4a 2＝0，即e 2－2e －4＝0， 解得e ＝1±5，又双曲线的离心率e >1，故e ＝5＋1.11．(2018·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，255，且C 的一个焦点坐标为(2,0)，则C 的标准方程为________． 答案x 25＋y 2＝1解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(－2,0)， 则2a ＝(1＋2)2＋45＋(1－2)2＋45＝75＋355＝25， 所以a ＝5，因为c ＝2，所以b ＝5－4＝1， 从而得到椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与点O 重合，称射线OM 与圆x 2＋y 2＝1的交点N 为点M 的“中心投影点”．(1)点M (1，3)的“中心投影点”为________；(2)曲线x 2－y 23＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 (2)4π3解析 (1)|OM |＝12＋(3)2＝2，|ON |＝1， 所以ON →＝12OM →，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(2)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，由“中心投影点”的定义知，中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的与x 轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为π3，因此弧长为2×23π×1＝4π3.13．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan∠PF 2F 1≥4，则双曲线C 的半焦距的取值范围为____________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173 解析 由|F 1F 2|＝2|OP |可得△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，tan∠PF 2F 1≥4， 即|PF 1|≥4|PF 2|，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 2|≤23a ，由(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2化为(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋a 2，可得c ≤173，又双曲线中c >a ＝1，所以双曲线C 的半焦距的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173. 14．(2018·威海模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个动点，线段PQ 的中点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，若|MN |＝|PQ |，则∠PFQ 的最大值为________． 答案π3解析 如图所示，分别过P ，Q 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，B ，设|PF |＝2a ，|QF |＝2b ，由抛物线定义，得|PF |＝|PA |，|QF |＝|QB |， 在梯形ABQP 中，2|MN |＝|PA |＋|QB |＝2a ＋2b ， ∴|MN |＝a ＋b .若PQ 过焦点F ，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝2a ＋2b ， 又|MN |＝a ＋b ，且|MN |＝|PQ |， ∴2a ＋2b ＝a ＋b ， ∴a ＋b ＝0，显然不成立， ∴PQ 不过焦点F .∵|MN |＝|PQ |，∴|PQ |＝a ＋b ， 设∠PFQ ＝θ，由余弦定理得， (a ＋b )2＝4a 2＋4b 2－8ab cos θ， ∴a 2＋b 2＋2ab ＝4a 2＋4b 2－8ab cos θ， ∴cos θ＝3a 2＋3b 2－2ab 8ab ≥6ab －2ab 8ab ＝12，当且仅当a ＝b 时取等号， 又∵θ∈(0，π)，∴0<θ≤π3， ∴∠PFQ 的最大值为π3.。

2019高考数学三轮冲刺大题提分大题精做13函数与导数：参数与分类讨论(理)

2019高考数学三轮冲刺大题提分大题精做13函数与导数：参数与分类讨论(理)

大题精做13 函数与导数：参数与分类讨论[2019·揭阳毕业]已知函数（，）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）或．【解析】（1），①若，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．②若，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2），当时，上不等式成立，满足题设条件；当时，，等价于，设，则，设，则，∴在上单调递减，得．①当，即时，得，，∴在上单调递减，得，满足题设条件；②当，即时，，而，∴，，又单调递减，∴当，，得，∴在上单调递增，得，不满足题设条件；综上所述，或．1．[2019·周口调研]已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围．2．[2019·济南期末]已知函数．（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．3．[2019·漳州一模]已知函数．（1）求在上的最值；（2）设，若当，且时，，求整数的最小值．1．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，．当时，恒成立，函数的单调递增区间为；当时，由，得或（舍去），则由，得；由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，都有恒成立，即在上．由（1）知，当时，在上是增函数，又，不合题意；当时，在处取得极大值也是最大值，所以．令，所以．在上，，是减函数．又，所以要使得，须，即．故的取值范围为．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），因为，所以．（2），设，设，设，注意到，，（ⅰ）当时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以在上恒成立，符合题意；（ⅱ）当时，，，所以，使得，当时，，所以，所以在上是减函数，所以在上是减函数，所以，所以在上是减函数，所以，不符合题意；综上所述．3．【答案】（1）详见解析；（2）2．【解析】解法一：（1），，①当时，因为，所以在上单调递减，所以，无最小值．②当时，令，解得，在上单调递减；令，解得，在上单调递增；所以，无最大值．③当时，因为，等号仅在，时成立，所以在上单调递增，所以，无最大值．综上，当时，，无最小值；当时，，无最大值；当时，，无最大值．（2），当时，因为，由（1）知，所以（当时等号成立），所以．当时，因为，所以，所以，令，，已知化为在上恒成立，因为，令，，则，在上单调递减，又因为，，所以存在使得，当时，，，在上单调递增；当时，，，在上单调递减；所以，因为，所以，所以，所以的最小整数值为2．解法二：（1）同解法一．（2），①当时，因为，由（1）知，所以，所以，②当时，因为，，所以，令，，已知化为在上恒成立，因为在上，所以，下面证明，即证在上恒成立，令，，则，令，得，当时，，在区间上递减；当时，，在区间上递增，所以，且，所以当时，，即．由①②得当时，，所以的最小整数值为2．。

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8＋6分项练13 导 数1．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)的导函数为f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A 答案 D解析 绘制函数f (x )＝log a x ()0<a<1的图象如图所示，且M ()a ，logaa ，N 错误!，由题意可知A ＝f ′(a )为函数在点M 处切线的斜率，C ＝f ′(a ＋1)为函数在点N 处切线的斜率， B ＝f (a ＋1)－f (a )＝错误!为直线MN 的斜率，由数形结合可得C >B >A .2．已知函数f (x )＝错误!e x ＋错误!x 2－x ，若存在实数m 使得不等式f (m )≤2n 2－n 成立，则实数n 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，＋∞)答案 A解析 对函数求导可得，f ′(x )＝错误!·e x ＋错误!×2x －1，∴f ′(1)＝f ′(1)＋f (0)－1，∴f (0)＝错误!＝1，∴f ′(1)＝e ，f (x )＝e x＋12x 2－x ，f ′(x )＝e x ＋x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x＋1>0， ∴函数f ′(x )单调递增，而f ′(0)＝0， ∴当x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故f (x )min ＝f (0)＝1，由存在性的条件可得关于实数n 的不等式2n 2－n ≥1，解得n ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．3．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为( )A.2B.332C.322 D.5答案 C解析 点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，所以当曲线在点P 的切线与直线y ＝x －52平行时，点P 到直线y ＝x －52的距离最小，直线y ＝x －52的斜率为1，由y ′＝3x －2x ＝1，解得x ＝1或x ＝－23(舍)．所以曲线与直线的切点为P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 到直线y ＝x －52的距离最小值是⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－32－5212＋12＝322.故选C.4．(2018·咸阳模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意的实数x 都有f ′(x )＝e x()2x －2＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，则( )A ．f (x )＝e x (x ＋1)B ．f (x )＝e x(x －1) C ．f (x )＝e x(x ＋1)2D ．f (x )＝e x (x －1)2答案 D解析 令G (x )＝错误!，则G ′(x )＝错误!＝2x －2，可设G (x )＝x 2－2x ＋c ，∵G (0)＝f (0)＝1，∴c ＝1.∴f (x )＝(x 2－2x ＋1)e x ＝e x (x －1)2.5．(2018·安徽省江南十校联考)y ＝f (x )的导函数满足：当x ≠2时，(x －2)(f (x )＋2f ′(x )－xf ′(x ))>0，则( )A ．f (4)>(25＋4)f (5)>2f (3)B ．f (4)>2f (3)>(25＋4)f (5)C ．(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)D ．2f (3)>f (4)>(25＋4)f (5)答案 C解析 令g (x )＝错误!，则g ′(x )＝错误!，因为当x ≠2时，(x －2)[f (x )＋(2－x )f ′(x )]>0，所以当x >2时，g ′(x )<0，即函数g (x )在(2，＋∞)上单调递减，则g (5)>g (3)>g (4)， 即错误!>错误!>错误!，即(25＋4)f (5)>2f (3)>f (4)．6．(2018·辽宁省葫芦岛市普通高中模拟)已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，＋∞B.()－2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3－5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5π6，＋∞答案 D解析 ∵函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，∴f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，由f ′(x )＝0，得x ＝π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，f ′(x )<0， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ，∵在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2＋λ>0，① f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，② 联立①②，得λ>3－5π6.7．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝错误!若f (x )有两个极值点x 1，x 2，记过点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))的直线的斜率为k ，若0<k ≤2e，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，2C ．(e,2e] D.⎝⎛⎦⎥⎤2，2＋1e答案 A解析 当x >0时，函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，由函数f (x )为奇函数且有两个极值点得a >0，不妨设x 2＝－x 1>0，则有x 2＝1a，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1＋ln a ，可得A 错误!，由直线的斜率公式可得k ＝错误!＝a (1＋ln a )，a >0，又k >0,1＋ln a >0，所以a >1e，设h (a )＝a (1＋ln a )，则当a >1e时，h ′(a )＝2＋ln a ＝1＋(1＋ln a )>0，所以h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0，h (e)＝2e,0<k ≤2e，得h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <h (a )≤h (e)，所以1e<a ≤e.8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f (x )＝x 2－x ln x ＋2，若存在区间[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，9＋2ln 24B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 24C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，9＋2ln 210答案 C解析 由题意得f ′(x )＝2x －ln x －1，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝2－1x(x >0)．当x ≥12时，g ′(x )＝2－1x≥0，所以函数g (x )＝f ′(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增， 所以当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )≥f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 12>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，因为[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，所以f (x )在[a ，b ]上单调递增，因为f (x )在[a ，b ]上的值域为[k (a ＋2)，k (b ＋2)]，所以错误!所以方程f (x )＝k (x ＋2)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上有两解a ，b ，作出y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，若直线y ＝k (x ＋2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94＋12ln 2，则k ＝9＋2ln 210，若直线y ＝k (x ＋2)与y ＝f (x )的图象相切，设切点为(x 0，y 0)则错误!解得k ＝1，数形结合可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，9＋2ln 210.9．(2018·昆明模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，则a 的最大值是________．答案 －e解析 因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )，所以f ′(x )＝e x (x 2－2x )＋e x(2x －2)－a x＝e x (x 2－2)－a x(x >0)．因为函数f (x )＝(x 2－2x )e x－a ln x (a ∈R )在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝e x (x 2－2)－a x ≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a x≤e x (x 2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立，亦即a ≤e x (x 3－2x )在区间(0，＋∞)上恒成立，令h (x )＝e x (x 3－2x )，x >0，则h ′(x )＝e x (x 3－2x )＋e x (3x 2－2)＝e x(x 3－2x ＋3x 2－2)＝e x(x －1)(x 2＋4x ＋2)，x >0，因为x ∈(0，＋∞)，所以x 2＋4x ＋2>0.因为e x>0，令h ′(x )>0，可得x >1，令h ′(x )<0，可得0<x <1.所以函数h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减．所以h (x )min ＝h (1)＝e 1(1－2)＝－e.所以a ≤－e.所以a 的最大值是－e.10．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e24，＋∞解析 设公共切线在曲线C 1，C 2上的切点分别为(m ，am 2)，(t ，e t )，则2am ＝e t＝am2－et m －t，所以m ＝2t －2，a ＝错误!(t >1)，令f (t )＝错误!(t >1)，则f ′(t )＝错误!，则当t >2时，f ′(t )>0；当1<t <2时，f ′(t )<0，因此f (t )≥f (2)＝e24，所以a ≥e24.11．(2018·河南省豫南九校联考)若f (x )＝3xf ′(1)－2x 2，则f ′(0)＝________.答案 6解析 由题意得f ′(x )＝3f ′(1)－4x ， ∴f ′(1)＝3f ′(1)－4，∴f ′(1)＝2，∴f ′(x )＝6－4x ，∴f ′(0)＝6－4×0＝6.12．(2018·烟台模拟)已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ln x ＋a 相切，则实数a 的值是________．答案 2＋ln 2解析 由y ＝ln x ＋a 求导得y ′＝1x，设切点是(x 0，ln x 0＋a )，则y ′＝1x0＝2，故x 0＝12，ln x 0＝－ln 2，切点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－ln 2＋a ，代入直线方程得2×12＋ln 2－a ＋1＝0，解得a ＝2＋ln 2.13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y ＝f (x )，若其定义域内存在两个不同的实数x 1，x 2，使得x i f (x i )＝1(i ＝1,2)成立，则称函数f (x )具有性质P ，若函数f (x )＝ex a具有性质P ，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0解析 若函数f (x )＝exa 具有性质P ，则xf (x )＝1 有两个不等实数根，代入得xf (x )＝x ·exa＝1，即a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根．令g (x )＝x e x，则g ′(x )＝x e x＋e x＝e x(1＋x )，令g ′(x )＝0，得x ＝－1，当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表所示：根据表格，画出如图所示的函数图象由图象可知，a ＝x ·e x在R 上有两个不等实数根，即y ＝a 与g (x )的图象有两个不同交点，由极小值g (－1)＝－1e可知，当有两个交点时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0.14．已知函数f (x )＝－x 2－6x －3，g (x )＝ex ＋ex ex，实数m ，n 满足m <n <0，若∀x 1∈[m ，n ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则n －m 的最大值为________．答案 4解析 因为g (x )＝ex ＋ex ex，所以g ′(x )＝错误!，分母恒大于0，且e x>0，由题意讨论x >0即可，则当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝2.f (x )＝－(x ＋3)2＋6≤6，作函数y ＝f (x )的图象如图所示，当f (x )＝2时，方程－(x ＋3)2＋6＝2的两根分别为－5和－1，则n －m 的最大值为－1－(－5)＝4.。

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