2019-2020中考数学考点总动员系列专题39与圆有关的角含解析
中考数学复习与圆有关的角[人教版]
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（2）若AB=10，AD=8，求DE的长。
ED C
A
O
B
8、如图P是⊙ O外一点，PO交 ⊙ O于C、D两点，过⊙ O上一点 A作弦AB⊥PD，E为垂足，已知 PA是⊙ O的切线，求证：
()AC平分∠PAB
(2) PC·PD＝PE·PO
B
P
CE O
D
A
9、如图，梯形ABCD内接于⊙ O， AD∥BC，过点B引⊙ O的切线分别交 DA、CA的延长线于点E、F。
O
B
C
A
D
4、如图，△ABC中，∠A的平分 线交BC于点D，圆O过点A且与BC 相切于点D，与AB、AC分别相交 于点E、F，AD与EF相交于点G。 求证：AF·FC=GF·DC
A
E B
O
G
F
C D
5、如图，⊙ O1和⊙ O2相交于A，
B，直线PE与⊙ O1相切于P，PA
的延长线与⊙ O2相交于C，PB
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伤兵罗雯依琦妖女细长的耳朵，此时正惨碎成海马样的暗白色飞丝，快速射向远方女伤兵罗雯依琦妖女怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将细长的耳朵复原，但元气已受损伤砸壮扭公主：“哈哈！ 这位同志的风格极为迷离哦！非常有完美性呢！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我要让你们知道什么是疯狂派！什么是缠绵流！什么是温柔完美风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么 法术都弄出来瞧瞧！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我让你享受一下『白冰跳祖牙膏理论』的厉害！”女伤兵罗雯依琦妖女突然耍了一套，窜虾猪肘翻九千度外加猪哼菜叶旋一百周半的招数 ，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。接着像暗绿色的三须海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地振颤的特技神功，身上瞬间生出了九十只活像拐杖般的 乳白色眉毛……紧接着威风的深灰色怪藤样的嘴唇连续膨胀疯耍起来……亮紫色旗杆一样的眉毛透出纯黄色的阵阵春雾……纯灰色蛤蟆一般的脸闪出亮灰色的隐约幽音。最后扭起瘦弱的酷似谷穗 模样的肩膀一颤，萧洒地从里面滚出一道流光，她抓住流光诡异地一旋，一件青虚虚、银晃晃的咒符『白冰跳祖牙膏理论』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“哼嗷”的猛 响。！猛然间女伤兵罗雯依琦妖女疯妖般地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见她轻盈的手指中，威猛地滚出五十片珍珠状的黄豆，随着女伤兵罗雯依琦妖女的耍动，珍珠状的黄豆像鸡笼一样在双肩上 残暴地设计出飘飘光环……紧接着女伤兵罗雯依琦妖女又连续使出四十五派晶豹滑板掏，只见她亮灰色棕叶款式的项链中，快速窜出四十缕转舞着『银玉香妖闪电头』的螳螂状的怪毛，随着女伤 兵罗雯依琦妖女的转动，螳螂状的怪毛像苦瓜一样念动咒语：“三指吲 唰，原木吲 唰，三指原木吲 唰……『白冰跳祖牙膏理论』！爷爷！爷爷！爷爷！”只见女伤兵罗雯依琦妖女的 身影射出一片纯蓝色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的暗青色光雁，似玉光一样直奔水蓝色幻影而来！，朝着壮扭公主齐整严密的牙齿乱晃过来。紧跟着女伤兵罗雯依琦妖女也狂 耍着咒符像缰绳般的怪影一样向壮扭公主乱晃过来壮扭公主突然来了一出，蹦鹏灯笼翻九千度外加雁乐烟囱旋一百周半的招数！接着又搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招 式！接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立抽动的特技神功，身上忽然生出了九十只美如杠铃一般的暗黑色鼻子！紧接着圆润光滑、无忧无虑的快乐下巴奇特紧缩闪烁起 来……时常露出欢快光
中考圆的知识点总结总结
中考圆的知识点总结总结一、圆的定义和性质1. 圆的定义圆是一个平面上和一个确定点的距离都相等的点的集合。
这个确定点就是圆心，而圆心到圆上的任意点的距离就是半径。
2. 圆的性质（1）圆心角圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别是圆周上的两条弦。
圆心角的度数等于对应的弧所对的圆周的度数。
如果圆心角的度数为360度，那么这个角就是周角。
（2）弧圆上的一段弧是圆周的一部分。
圆的周长就是圆周的长度，可以用角度和弧度来表示。
（3）切线和切点切线是一个直线，它与圆相切于一个点。
在圆上，切线与半径的夹角为90度。
（4）同位角同位角是两条平行线被一条截线所切割而形成的一对内角和一对外角。
同位角的性质也可以应用到圆上。
（5）相似两个或者更多的圆是相似的，如果它们有着相同的形状但是不同的尺寸。
相似的圆的半径之比等于它们的直径之比。
二、圆的相关定理1. 圆周角定理圆周角等于圆心角的一半。
2. 圆的面积和周长圆的面积等于πr^2，圆的周长等于2πr，其中r是圆的半径，π是一个无理数，约等于3.14159。
3. 弦长定理在同一个圆上，相交弦的两个切点到圆心的距离相等。
4. 弧长定理同样的圆上，相对的圆周弧长相等。
5. 切线定理切线和半径的夹角为90度。
6. 弧上的角定理同样的圆上，一个圆周弧所对的圆心角等于这个弧上的其他角的和。
7. 线段对定理在一个圆上，两条相交的弧所对的线段互为比例。
三、圆的应用1. 圆的周长和面积的应用圆的周长和面积是经常在实际生活中用到的数学概念。
比如在工程测量中，需要计算环形的周长和面积。
2. 圆的图形补充圆的图形补充，包括扇形、环形等概念，也是圆的知识点之一。
3. 圆的运动学应用在运动学中，圆的运动规律和路径也是一个重要的应用。
四、典型例题下面列举一些典型的中考圆的例题，帮助大家更好地复习和巩固知识。
1. 如果一条切线和一条半径分割了一个角为30度的圆心角，那么这条切线和半径的夹角是多少度？A. 60度B. 45度C. 30度D. 15度答案：A. 60度2. 已知圆的半径为8cm，求圆的面积和周长。
中考数学考点知识与题型专题讲解28---与圆有关的角
如答图，连接 DO， ∵DO=CO，∴∠1=∠2 . ∵DM=CM，∴∠4=∠3. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴直线 DM 与⊙O 相切．
【答案】（1）证明见解析；（2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与⊙O 相切，理由见解析. 【解析】
∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A. （2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与⊙O 相切，理由如下：
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中考数学考点知识与题型专题讲解 专题 28 与圆有关的角
聚焦考点☆温习理解 一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相 等。 推论：在同圆 或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中 有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 4、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论 3：如果 三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
OD
∴ r − 2 = 1 ，解得 r =4， r2
∴OE=4-2=2， ∴ DE = OD2 − OE2 = 42 − 22 = 2 3 . ∴CD=2DE= 4 3 ．
考点典例三 圆周角与切线之间的关系 【例 3】（2016 海南省第 12 题）如图，AB 是⊙O 的直径，直线 PA 与⊙O 相切于点 A， PO 交⊙O 于点 C，连接 BC．若∠P=40°，则∠ABC 的度数为（ ） A．20° B．25° C．40° D．50°
圆中有关的角
年 级 初三 学 科 数学 编稿老师 田一鹏 课程标题 圆中有关的角一校 张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。
2. 掌握圆内接四边形的性质定理。
3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。
二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。
难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。
一、圆中有关的角⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩圆心角圆周角圆中有关的角圆内角圆外角弦切角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
OCB把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1°的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
OBCA一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
BCAO3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。
P OBA圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。
DPB COA4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。
DPBCAO圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。
5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论①弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。
推论②如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
中考数学题型热点汇析：圆
2019中考数学题型热点汇析：圆本专题包括圆的有关性质、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、正多边形和圆四方面内容，它们是初中数学中最核心的内容之一.2019年各省、市的考题中反映出的考点主要有：1.准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别一类与圆有关的概念型试题.2.既会从距离与半径的数量关系确定点与圆、直线与圆、•圆与圆的位置关系，又能从点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系探索相应半径与距离的数量关系.3.利用圆心角、圆周角、弦切角的定义及它们之间特有的关系，解证与角、•线段相关的几何问题.4.会运用垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理、•割线定理证明一类与圆相关的几何问题.5.会利用圆内接正多边形的性质，圆的周长、扇形的弧长、圆、扇形、•弓形的面积公式，解决一类与圆柱、圆锥、圆台展开图有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法巧求阴影部分的面积.6.会准确表述有关点的轨迹问题，会用分析法证明一类简单的几何问题.7.会用T形尺找出圆形工件的圆心，会选用作垂直平分线的方法寻找在实际背景中的圆心问题，会作满足题设条件的圆和圆的切线、圆内接正多边形，并会以圆弧和圆的基本元素设计各种优美图案.8.充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、•动态型问题、探索型问题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计.9.综合运用圆、方程、函数、三角、•相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题.观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
九年级数学圆中的角知识点
九年级数学圆中的角知识点在九年级数学学习中，圆是一个重要的几何图形，而圆中的角也是其中的一个重要概念。
本文将为您介绍九年级数学圆中的角的知识点。
一、圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
在一个圆中，以圆心为顶点的角所对的弧长恰好等于该角的大小。
这是因为在圆的任意两点之间，弧长与圆心角是相等的。
二、弧度制和度数制在计量圆心角时，我们通常使用度数制和弧度制。
度数制是我们较为熟悉的角度计量方式，一圆的度数为360°。
而弧度制则是将角度的度数转换为弧长与半径之比的计量方式，通常用π来表示。
三、圆内切、圆心角在圆内切问题中，我们经常遇到的一个重要概念是圆心角。
当两个圆相切时，连接切点与圆心所形成的角即为圆心角。
在圆内切问题中，我们可以利用相关的角关系来求解问题。
四、弦和弦心角在圆中，一条弦是连接圆上两个点的线段。
而以圆内任意一点为顶点的角，它的两条边分别为切线和与切线相交的弦，我们称之为弦心角。
在求解弦心角时，我们可以利用圆周角的性质来推导和计算。
五、相交弦和相交弦心角当两条弦在圆内相交时，所形成的角即为相交弦心角。
相交弦心角是圆内切角和圆周角的重要推论。
我们可以利用相交弦心角的性质来解决圆内相交问题，如求解弦的长度以及圆内接四边形的性质等。
六、正多边形的圆内角和圆心角在正多边形中，每个内角都相等，且每个内角都对应一个圆心角。
通过研究正多边形的特性，我们可以得出正多边形内角的计算公式，从而在解决相关题目时能够更加便捷地计算。
七、切割圆和弧长的概念圆的切割是指通过特定的线段将圆分割成几个部分。
在切割圆的过程中，我们需要关注到切割弧的长度。
通过计算切割弧的长度，我们可以更好地掌握切割圆的相关知识点，并应用到实际问题中。
结语通过本文的介绍，希望能够帮助九年级的同学们掌握圆中的角的知识点。
在数学学习中，理论的掌握和实践能力的培养同样重要，希望同学们能够通过大量的练习和实例分析，不断提升自己的数学能力。
加油！。
中考数学总复习课件之与圆有关的角
（2）若AB=10，AD=8，求DE的长。
ED C
A
O
B
2020/8/18
8
8.如图P是⊙O外一点，PO交⊙O 于C.D两点，过⊙O上一点A作弦 AB⊥PD，E为垂足，已知PA是 ⊙O的切线，求证：
(1)AC平分∠PAB
(2) PC·PD＝PE·PO
B
P
CE O
D
2020/8/18
9
A
9.如图，梯形ABCD内接于⊙O， AD∥BC，过点B引⊙O的切线分别交 DA.CA的延长线于点E.F。
（1）求证：AB2=AE·BC
（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF
的长。
F
A
D
E
2020/8/18
O
B
C
10
2020/8/18
O
B
C
A
D
4
4.如图，△ABC中，∠A的平分线 交BC于点D，圆O过点A且与BC相 切于点D，与AB.AC分别相交于点 E.F，AD与EF相交于点G。求证：
AF·FC=GF·DC
A
2020/8/18
E
O
G
F
B
C
5
D
5.如图，⊙O1和⊙O2相交于A，
B，直线PE与⊙O1相切于P，PA
2020/8/18
1
1.如图，⊙O切BT于B， ∠CBT=430，求∠BAC和∠BOC 及弧BC的度数。
A
O C
B
T
2020/8/18
2
2.如图，在RT△ABC中，∠C＝ RT ，∠AC＝ 6 ，BC＝ 2 ， 以AB为弦的⊙O与AC相切于点 A，求⊙O的面积。
与圆有关的角(解析版)
专题08 与圆有关的角知识网络重难突破知识点一圆心角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数等于它所对的弧的度数．2.圆心角性质定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．【典例1】（2020•项城市三模）如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25°B．40°C．50°D．60°【点拨】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【解析】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝75°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，则的度数为60°．故选：D．【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，多边形内角与外角，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．【变式训练】1．（2019秋•鹿城区月考）一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【点拨】根据正多边形的中心角＝计算即可．【解析】解：设正多边形的边数为n．由题意＝72°，∴n＝5，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角＝．2．（2019秋•余杭区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α【点拨】连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3.（2019秋•鄞州区期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10 B．13 C．15 D．16【点拨】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点睛】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．（2019春•西湖区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，则的度数60°．【点拨】根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，M、N分别是AO，BO的中点，∴2OM＝OC，2ON＝OD，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴∠MCO＝∠NDO＝30°，∴∠MOC＝∠NOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴的度数是60°，故答案为：60°【点睛】此题考查圆心角、弧、弦，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和含30°的直角三角形的性质解答．5.（2018秋•丽水期中）如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，点C是弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．【点拨】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC＝∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM＝ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．【解析】证明：∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OA＝OB，M、N分别是OA、OB的中点∴OM＝ON，在△MOC和△NOC中，，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC＝NC．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．知识点二圆周角1.圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．2.圆周角性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【典例2】（2019秋•义乌市期末）如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．【点拨】（1）利用圆周角定理得到∠C＝∠ADB＝90°，则根据互余计算出∠CAB＝62°，再根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠CAB＝31°，然后根据圆周角定理得到∠CBD的度数；（2）连接OD交BC于E，如图，先利用勾股定理计算出BC＝4，由∠CAD＝∠BAD得到＝，根据垂径定理得到OD⊥BC，BE＝CE＝BC＝2，则OE＝1，然后根据勾股定理计算出BD，接着计算出AD．【解析】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝∠ADB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠CAB＝31°，∴∠CBD＝∠CAD＝31°；（2）连接OD交BC于E，如图，在Rt△ACB中，BC＝＝4，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∴BE＝CE＝BC＝2，∴OE＝AC＝×2＝1，∴DE＝OD﹣OE＝3﹣1＝2，在Rt△BDE中，BD＝＝2，在Rt△ABD中，AD＝＝2．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1．（2019秋•海曙区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径，若∠CAD＝25°，则∠ABD 的度数为（）A．25°B．50°C．65°D．75°【点拨】先根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，∠ABD＝∠ACD，然后利用互余计算出∠ACD，从而得到∠ABD的度数．【解析】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝65°，∴∠ABD＝∠ACD＝65°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．2．（2020•绍兴）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°【点拨】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．【解析】解：连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，∴∠BOD＝2∠BED＝90°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．3. （2020•温州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为60°．【点拨】根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠D，根据题意得到∠B＝2∠D，根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．【解析】解：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D，∵∠AOC＝∠B，∴∠B＝2∠D，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠B＝180°，∴∠D+2∠D＝180°，解得，∠D＝60°，故答案为：60．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4.（2019春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E连接EB、DE，EC＝2，BC＝6，则⊙O的半径为 4.5．【点拨】连接BE，AD，求出CD，根据圆周角定理求出∠CAD＝∠CBE，证△CAD∽△CBE，得出比例式，求出AC，即可得出答案．【解析】解：连接BE，AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵BC＝6，AB＝AC，∴CD＝BD＝3，∵由圆周角定理得：∠CAD＝∠CBE，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CEB，∴＝，∴＝，解得：AC＝9，∵AB＝AC，∴AB＝9，∴⊙O的半径为＝4.5，故答案为：4.5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．5.（2019秋•温州期末）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：＝．【点拨】由于AC平分∠BAD则∠BAC＝∠DAC，再利用平行线的性质得∠BAC＝∠ACE，所以∠DAC ＝∠ACE，然后根据圆周角定理得到结论．【解析】证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠DAC＝∠ACE，∴＝．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.（2018秋•西湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若∠B＝75°，求弧DE的度数；（3）若BD＝3，BE＝4，求AC的长．【点拨】（1）连结AE，如图，由圆周角定理得∠AEC＝90°，而AB＝AC，则根据等腰三角形的性质即可判断BE＝CE；（2）连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，利用互余计算出∠BAE＝15°，再根据圆周角定理得∠DOE ＝2∠DAE＝30°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数即可得到弧DE的度数为30°；（3）连结CD，如图，BC＝2BE＝8，设AC＝x，则AD＝x﹣3，由圆周角定理得∠ADC＝90°，在Rt △BCD中，利用勾股定理得CD2＝55，然后在Rt△ADC中再利用勾股定理得到（x﹣3）2+55＝x2，接着解方程求出x即可．【解析】解：（1）证明：连结AE，如图，∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）解：连结OD、OE，如图，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣75°＝15°，∴∠DOE＝2∠DAE＝30°，∴弧DE的度数为30°；（3）解：连结CD，如图，BC＝2BE＝8，设AC＝x，则AD＝x﹣3，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，在Rt△BCD中，CD2＝BC2﹣BD2＝82﹣32＝55，在Rt△ADC中，∵AD2+CD2＝AC2，∴（x﹣3）2+55＝x2，解得x＝，即AC的长为．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的判定与性质．知识点三圆内接四边形1.圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．2. 圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补．【典例3】（2018秋•崇川区校级月考）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝40°，求∠A的度数；（3）若∠E＝30°，∠F＝40°，求∠A的度数．【点拨】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，解方程即可．【解析】解：（1）∠E＝∠F，∵∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，∴∠ADC＝∠ABC；（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣40°＝50°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，∴2∠A+30°+40°＝180°，∴∠A＝90°﹣＝55°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【变式训练】1．（2019秋•越城区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A：∠C＝5：7，则∠C＝（）A．210°B．150°C．105°D．75°【点拨】根据圆内接四边形对角互补可得∠C＝180°×＝105°．【解析】解：∵∠A+∠C＝180°，∠A：∠C＝5：7，∴∠C＝180°×＝105°．故选：C．【点睛】此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补．2．（2020•仙居县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝143°，则∠BOD的度数是（）A．77°B．74°C．37°D．43°【点拨】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝143°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝37°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝74°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD ＝60°，AB＝5，PC＝4，则⊙O的面积为（）A．25πB．16πC．15πD．13π【点拨】连接AC，由圆周角定理可得出∠ACD＝90°，再由圆内接四边形的性质及三角形内角和定理可求出∠P AC＝30°，由直角三角形的性质可求出AP、AC的长，由相似三角形的判定定理及性质可得出CD的长，再根据勾股定理接可求出AD的长，进而求出该圆的面积．【解析】解：连接AC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵∠APD＝60°，∴∠P AC＝30°，∴AP＝2PC＝2×4＝8，∵AB＝5，∴PB＝8﹣5＝3，∵四边形ABCD是以AD为直径的圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠PCB＝180°，∴∠BAD＝∠PCB，∠APD＝∠APD，∴△PCB∽△P AD，∴＝，即＝，PD＝6，∴CD＝PD﹣PC＝6﹣4＝2，∴AC＝＝＝4，在Rt△ACD中，AD＝＝＝2．∴OA＝AD＝，∴⊙O的面积＝π×（）2＝13π．故选：D．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形求解．4．（2019秋•萧山区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝2．【点拨】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠BAE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，从而得到∠ACD＝∠CDA，得出AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解析】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD，∵∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．6.（2019•黄埔区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，∠CDE＝∠CDF＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）判断DA，DC，DB之间的数量关系，并证明你的结论．【点拨】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE＝∠ABC＝60°，根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；（2）在BD上截取PD＝AD，证明△APB≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论．【解析】（1）证明：∵∠CDE＝∠CDF＝60°，∴∠CDE＝∠EDF＝60°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠ABC＝60°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB＝∠EDF＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：DA+DC＝DB，理由如下：在BD上截取PD＝AD，∵∠ADP＝60°，∴△APD为等边三角形，∴AD＝AP，∠APD＝60°，∴∠APB＝120°，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP＝CD，∴DB＝BP+PD＝DA+DC．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．巩固训练1．（2019秋•福田区期末）下图中∠ACB是圆心角的是（）A．B．C．D．【点拨】根据圆心角的概念判断．【解析】解：A、∠ACB不是圆心角；B、∠ACB是圆心角；C、∠ACB不是圆心角；D、∠ACB不是圆心角；故选：B．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．2．（2019秋•诸暨市期末）用直角三角板检查半圆形的工件，下列工件哪个是合格的（）A．B．C．D．【点拨】根据90°圆周角所对的弦是直径即可判断．【解析】解：根据90°的圆周角所对的弦是直径得到只有C选项正确，其他均不正确；故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理、解题的关键是灵活运用圆周角定理解决问题，属于中考常考题型．3．（2019秋•拱墅区校级期末）下列语句中，正确的是（）①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接平行四边形一定是矩形．A．①②B．②③C．②④D．④【点拨】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．【解析】解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；故选：C．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．4．（2019春•西湖区校级月考）圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是（）A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2【点拨】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．【解析】解：∵圆的内接四边形对角互补，∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：3：1：2．故选：C．【点睛】要掌握圆的内接四边形对角互补的特性．5．（2018秋•句容市校级月考）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC 的度数70°．【点拨】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°．【解析】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理．6．（2020•浙江自主招生）如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN 的中点，P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为．【点拨】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧的度数发现一个等腰直角三角形计算．【解析】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．此时P A+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，∴∠AON＝60°，∴弧AN的度数是60°，则弧BN的度数是30°，根据垂径定理得弧CN的度数是30°，则∠AOC＝90°，又OA＝OC＝1，则AC＝．【点睛】此题主要考查了确定点P的位置，垂径定理的应用．7．（2019春•西湖区校级月考）如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于3．【点拨】延长CA，交⊙A于点F，易得∠BAF＝∠DAE，由圆心角与弦的关系，可得BF＝DE，由圆周角定理可得：∠CBF＝90°，然后由勾股定理求得弦CF的长即可．【解析】解：作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴，∴DE＝BF＝6，∵CF是直径，∴∠CBF＝90°，∴CF＝＝＝3，故答案为：3．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．8．（2019秋•香坊区校级期中）如图，AB为 ⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且＝．（1）求证：OE＝OF；（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝8，MN＝2，求OM的长．【点拨】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；（2）连接OA，由垂径定理得出AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解析】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∵＝，∴∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：连接OA，如图2所示：∵OM⊥AB，∴AM＝AB＝4，设OM＝x，则OA＝ON＝x+2，在Rt△AOM中，由勾股定理得：42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OM＝3．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理等知识；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系和垂径定理是解题的关键．9．（2019秋•滨江区期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求弧CD的度数；（2）若AC＝24，DE＝8，求半圆O的半径．【点拨】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC的度数，根据平行线的性质求出∠AOD的度数，然后求出∠DOC的度数可确定弧CD的度数；（2）先证明OE⊥AC得到AE＝CE＝AC＝12，设半径为r，则OE＝r﹣8，然后利用勾股定理得到（r ﹣8）2+122＝r2，然后解方程即可．【解析】解：（1）连接OC，如图，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，又∠B＝70°，∴∠BAC＝20°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠B＝70°，又OD＝OA，∴∠OAD＝55°，∴∠DAC＝35°，∴∠DOC＝2∠DAC＝70°，∴的度数是70°；（2）∵OD∥BC，∴∠OEA＝∠ACB＝90°，∴OE⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝12，设半径为r，则OE＝r﹣8，在Rt△AOE中，（r﹣8）2+122＝r2，解得r＝5，即半圆O的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10．（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．【点拨】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形．（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°，∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝∠BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。
初三数学圆的有关性质及有关的角(含答案)
第三讲圆的有关性质及有关的角一、知识要点：1、圆是平面上到的距离等于的点的集合。
2、的三点确定一个圆；任何一个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的心，它是三角形的的交点。
3、圆是以为轴的轴对称图形，又是以为中心的中心对称图形。
4、垂径定理的条件是，结论是。
5、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都。
重、难点：圆的基本性质，垂径定理。
基础知识圆的有关性质和计算①垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．②弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④圆内接四边形的性质: 圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.1、圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的；半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是。
2、弦切角它所夹的弧对的圆周角。
3、圆内接四边形的对角；任何一个外角都等于它的。
二、例题讲解（1）圆的认识1、（2005•扬州）下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、下列命题中，正确的是（）A．圆只有一条对称轴B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，每条直径所在的直线都是它的对称轴3、过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．无数条4、下列命题中，正确的个数是（）（1）不同的圆中不可能有相等的弦；（2）优弧一定大于劣弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）垂径定理及推论例1、1．（2012•新疆）如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．（1）请你写出四个不同类型的正确结论；（2）若BE=4，AC=6，求DE．练习1、（2019•南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O 位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．变式题1：（2010•襄阳）圆的半径为13cm，两弦：AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求两弦AB、CD的距离。
中考数学专题复习 与圆有关的角
专题与圆有关的角阅读与思考与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________.（海南省竞赛题）例1题图例2题图解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.»BC的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB 【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是的长是（）A．4B．2C．3D．3解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.【例3】如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上.(1)证明：B，C，E三点共线；(2)若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN＝2OM；(3)将△DCE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D1CE1(如图2).若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝2OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.图1图2【例4】如图所示，ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠DAC.求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.（陕西省竞赛试题）解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.【例5】如图1，已知⊙M与x轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是⊙M上一点，且A（－2,0），B（0，4），AB＝BC.(1)求圆心M的坐标；(2)求四边形ABCD的面积；(3)如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BC＝BE时，求CF的长.解题思路：作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC＝BE，得∠BEC＝∠BCE，连接AC，将与圆无关的∠BEC转化为与圆有关角，导出CF平分∠ACD，这是解题的关键.【例6】如图，AB，AC，AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE.求证：(1)∠CAD＝2∠DBE；(2)AD2－AB2＝BD·DC.（浙江省竞赛试题）解题思路：对于（2），AD2－AB2＝(AD＋AB)(AD－AB)＝(AD＋AE)(AD－AE)＝(AD＋AE)·DE，需证(AD＋AE)·DE＝BD·DC，从构造相似三角形入手.能力训练A级1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝x，则x的取值范围是________.2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长为________.3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P.连接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为________.BD＝1.设AD＝x，4.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P，已知AB＝BC，CD＝12用x的代数式表示PA与PC的积：PA·PC＝__________.（宁波市中考试题）5.如图，ADBC是⊙O的内接四边形，AB为直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝()A．50B．32C．52D．42第4题图第5题图第6题图6.如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（哈尔滨市中考试题）7.如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧»BC上任意一点，PA 与BC 交于点E ，有如下结论：①PA ＝PB ＋PC ；②111AP PB PC=+；③PA ·PE ＝PB ·PC .其中正确结论的个数是()（天津市中考试题）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 交于点M ，延长AB ，DC 交于点N ，∠M ＝20°，∠N ＝40°，则∠A 的大小为（）A ．35°B ．60°C ．65°D ．70°第7题图第8题图第9题图9.如图，已知⊙O 的内接四边形ABCD 中，AD ＝CD ，AC 交BD 于点E .求证：(1)AD DE BD AD=；(2)AD ·CD －AE ·EC ＝DE 2；（扬州市中考试题）10.如图，已知四边形ABCD 外接圆⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 交于点E ，且AB 2＝AE •AC ，BD ＝8，求△ABD 的面积.（黑龙江省中考试题）11.如图，已知⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3.设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x .(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积.（南京市中考试题）12.如图，已知半圆⊙O 的直径AB ＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上.当三角板绕着O 点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C ，D 两点，连接AD ，BC 交于点E .(1)求证：△ACE ∽△BDE ；(2)求证：BD ＝DE ；(3)设BD ＝x ，求△AEC 的面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（广东省中考试题）B 级1.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆，设BC ＝a ，AC ＝b ，那么△ABC 的高CD ＝__________.2.如图，在平面直角坐标系中，△OCB 的外接圆与y 轴相交于点A （0，2），∠OCB ＝60°，∠COB ＝45°，则OC ＝__________.第1题图第2题图第3题图3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，设∠COD ＝α，则2sin 2AB AD ＝________.（江苏省竞赛试题）4.如图，已知圆内接四边形ABCD 中，AD ≠AB ，∠DAB ＝90°，对角线AC 平分∠DAB .若AD ＝a ，AB ＝b ，则AC ＝___________.（“东亚杯”竞赛试题）5.如图，ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形，AB ＝5，PC ＝4，分别延长AB 和DC ，它们相交于点P ，若∠APD ＝60°，则⊙O 的面积为（）A ．25πB ．16πC ．15πD ．13π6.如图，AB ＝AC ＝AD ，若∠DAC 是∠CAB 的k 倍（k 为正数），那么∠DBC 是∠BDC 的（）A ．k 倍B ．2k 倍C ．3k 倍D ．以上答案都不对第4题图第5题图第6题图7.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，AB ＝AC ，过A ，D 两点的圆与AB ，AC 分别相交于E ，F ，弦EF 与AD 相交于点G ，则图中与△GDE 相似的三角形的个数为()A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个8．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点E ，BC 交⊙O 于点D ，CD ＝BD ，∠C ＝70°，现给出以下四个结论：①∠A ＝45°；②AC ＝AB ；③»»AE BE；④CE ·AB ＝2BD 2.其中正确结论的序号是()A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④（苏州市中考试题）第7题图第8题图第9题图9.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 为⊙O 的直径，E 为DC 边上一点，若AE ∥BC ,AE ＝EC ＝7，AB ＝6.(1)求AD 的长；(2)求BE 的长.（绍兴市竞赛题）10.如图1，已知M（12，32，以M为圆心，MO为半径的⊙M分别交x轴，y轴于B，A.(1)求A，B两点的坐标;(2)C是»AO上一点，若BC＝3，试判断四边形ACOM是何种特殊四边形，并说明理由;(3)如图2，在(2)的条件下，P是»AB上一动点，连接PA，PB，PC.当P在»AB上运动时，求证：PA+POPC的值是定值.11.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB，AD于点F，E.(1)求证：DE＝AF；(2)若⊙O的半径为32，AB＝2＋1，求AEED的值.（江苏省竞赛题）。
初三数学圆知识点总结和解题技巧,初中圆的经典例题附答案
《圆》全章复习与珥固一知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解圆及其有关柢念，理解弧、弦、圆心角的关系J 探素并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的 位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2. 了解切线的概念'探索并摹握切我与过切点的半径之间的位置关系'能判定一条直线是否为圆 的切线，会过圆上一点画圆的切线，3. 了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆34. 了解正多边形的瞬，摹握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、 圆锥的侧面积及全面积55. 结合相关图形性质的探素和证明，进一步培养合情推理能如 发展i 罗辑思维能力彳瞒理论证的 表达能力；通过这一童的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知说网络】的时房件其应用T 具的野典LJ-T 弧.夜、网心角之间的忐IT 时兑上的隔用角与Bi心角的美系三角於FT/卜接携切咬的件项及捋定与K 有关的传置关系T 正多边形和直线利01的位置关系曜长的讨算反其魔用周扇形血秋沮形面秘的计斯我其应的计鼻I ~H ［要点橙理］要点二'圜的定义、性质及与圈有矣的角1. 圆的定义0舞殳0A 绕着它的T 端点。
放转一周，另T 、端点A 所形成的封闭曲添叫偷凰（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：① 圆心确定圆的位置，半径福定圆的大小J 确定一个圆应先确定圆心，再珊定半径，二者缺一不可;② 圆是一条封闭曲线.2. 圆的性质令旅转不变性：圆是族转对称图形，绕圆心族转任一南度都和原来图形重合，圆是中心对称图形， 对称中心是圆心・在同圆或等圆中，两个圆6角，两条弘.两条弦，两条弦心距，这ES 瞠中的任意一卸爵）那么 它所对应的耳他各组分别相等・0轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它根I称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心'且平分弦对的两条强.吵平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心；且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：'…在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的当弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论・(注意：“过圆心、平分弦〃作为题设时，平分的弦不能是直径〉3.两国的性质6两个圆是一个轴对称图形'对称轴是两圆连心场0相交两圆的连心线垂直平分公共弦'相切两圆的连心线经过切点.4.与圆有美的危6圆心角；顶点在圆心的角叫圆心角.EI心角的，性质：圆心角的度数等于它所对的孤的度数.⑵圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的，性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中』相等的圆周角所对的弧相等.③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半国或直径所对的圆周角为直角.四如果三角形一边上的中线等于这边的一半'那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补J外角等于它的内对角.要点逢释:"、(1)圆周角必须海足两个条件：①顶点在鼠h②角的两边都和圆相交.⑵圆周角定理成立的前提条件是在同圆成等圆中.要点二'与园有笑触位置笑系1.判定一个点P是否在oo±设3的半径为,，0P=d,贝惰d＞厂=点「在。
2020年【状元必读专家点拨】九年级数学：11圆中有关的角
4. 圆内一条弦与直径相交成30°角，且分直径为1cm，5cm两部分，则该弦的弦心距 为__________。
5. 在半径为1的圆中，长度为 2 的弦所对的圆心角是_________度。
三、圆中有关的角的应用
根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对 的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆
3
内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。在运用圆中 角时，要关注弧的中介作用，即弧把圆心角、圆周角联系起来。
∵OC、CG是定值， ∴OG是定值， ∴CF+DE=6×2=12， ∵梯形的高也是定值是9， ∴梯形的面积是定值=12×9÷2=54． 3. 提示：连结AH，可证得∠H＝∠C＝∠AFH．
∴∠DMB＝∠DAB。
∴90°－∠DMB＝90°－∠DAB。
∴∠AMD=∠FMC．
思维拓展类
6
例5 已知：如图，在定圆⊙O内有两条互相垂直的弦AC、BD。求证：AB2＋BC2＋CD2 ＋DA2＝定值。
D
A
C
O
B
一点通：可设⊙O的半径为R，特殊地，AC、BD为两条互相垂直的直径时，显然
有AB＝BC＝CD＝DA＝R，所以只需证明它们的平方和为定值8R2即可。
2. 圆周角： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
A
B O
C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反 之也成立。
直径所对的圆周角是直角。
初三数学圆知识点
初三数学圆知识点数学，作为一门重要的基础学科，对于学生的学习和发展起着重要的作用。
其中，圆是初中数学中的重要知识点之一。
本文将围绕圆的定义、性质、常见定理以及解题技巧展开讨论，帮助同学们更好地理解和掌握圆的相关概念。
一、圆的定义和常见性质圆是指平面上到一个固定点的距离等于一个定值的点的集合。
其中，这个固定点称为圆心，这个定值称为半径。
圆的性质有以下几点：1. 圆心角与弧度关系：圆心角的弧度等于弧长除以半径。
2. 圆内接四边形：圆内接四边形的两对对角线互相垂直。
3. 弧长公式：弧长等于圆心角的弧度乘以半径。
4. 扇形的面积：扇形的面积等于圆心角的弧度除以2π乘以圆的面积。
二、相关定理1. 弧长定理：弧长等于圆心角的弧度乘以半径。
2. 圆的面积公式：圆的面积等于π乘以半径的平方。
3. 相交弦定理：两条相交弦所夹的圆心角相等。
4. 正切定理：切线与半径的夹角为直角。
5. 切线定理：切线与半径的夹角相等时，它们的长度也相等。
三、解题技巧1. 通过给定的条件，利用性质和定理建立方程，从而解题。
比如，已知一弧长和圆心角的关系，可以通过等量关系解方程，求得所需的未知数。
2. 注意理解和应用公式，合理运用。
面积、弧长和半径等之间的关系，可以通过公式相互转换和运用，解决复杂的圆相关题目。
3. 运用几何直觉进行推理和分析。
通过图形上的观察和想象，帮助理解和解决问题。
四、例题分析例1：若圆的半径为5cm，求它的弧长和面积。
解析：根据圆的性质和公式，可以得出弧长等于圆心角的弧度乘以半径。
由于整个圆的圆心角为360度（2π弧度），所以弧长等于2π乘以半径，即2π×5=10π cm。
面积等于π乘以半径的平方，即π×5×5=25π cm²。
例2：已知一个半径为4cm的圆上有一条长为6cm的弦AB，求弦与半径的夹角。
解析：由于弦与半径的夹角为直角，可根据勾股定理求解。
设弦与半径的夹角为θ，则可得出4²+（6/2）²=4²+3²=25，因此AB与半径的夹角的正切为3/4。
初三圆知识点归纳总结
初三圆知识点归纳总结初三阶段，学生将开始学习数学中的几何知识，其中包括了圆的相关内容。
在本文中，我将对初三圆的知识点进行归纳总结，以便帮助学生更好地理解和掌握这一部分知识。
一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是平面上距离一个确定点（圆心）相等的所有点的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径。
- 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，长度相等。
- 直径：通过圆心的两个相对点的线段，长度是半径的两倍。
二、圆的相关线段与角度1. 弧长和弧度制：- 弧长：圆弧的长度。
- 弧度制：一个弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小被定义为一个弧度。
2. 弧度与角度之间的换算：- 1周角= 360° = 2π 弧度。
- 1° = π/180 弧度。
3. 弧与圆心角：- 弧：指的是圆上的一段弧。
- 圆心角：以圆心为顶点的角，弧所对的圆心角大小等于该弧的长度所对应的圆周角度。
4. 弧与弦的关系：- 弦：圆上两点之间的线段。
- 弧所对的圆心角等于弦所对的外角的两倍。
- 弧所对的圆心角等于弦所对的中心角。
三、圆的定理与性质1. 弧度的性质：- 同一圆上的两个弧所对的圆心角相等。
- 同弧所对的圆心角相等。
2. 切线与半径的关系：- 切线与半径垂直。
- 切线与半径的交点在圆上。
3. 切线定理：- 从圆外一点引一条切线，则切点与圆心以及该点连线所夹的角是直角。
4. 弦切角定理：- 弦切角：以圆心为顶点的一个角，其中一条边是弦，另一条边是切线。
- 弦切角等于其所对的弦所对的中心角的一半。
综上所述，初三圆的知识点主要包括圆的定义与性质、相关线段与角度以及定理与性质。
通过对这些知识点的归纳总结，相信学生们可以更好地理解和掌握圆的相关概念、性质以及应用，从而在数学学习中取得更好的成绩。
在学习过程中，灵活运用这些知识和定理，能够更好地解决与圆相关的问题，并提高解题效率。
希望本文对学生们的学习有所帮助。
中考数学考点总动员系列专题39与圆有关的角含解析
考点三十九：与圆有关的角聚焦考点☆温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
名师点睛☆典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.【例1】（2017湖南张家界第3题）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】D．【解析】试题分析：∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO =30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BOC =2∠A =2×30°=60°．故选D ． 考点：圆周角定理．【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【举一反三】（2017海南第12题）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO=25°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．25°B ．50°C ．60°D ．80°【答案】B.考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】（2017河池第8题）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦 36,=∠CAB CD ，则BCD ∠的大小是（）A ． 18B ． 36 C. 54 D ． 72【答案】B.。
初三数学--与圆有关的角考点总结
与圆有关的角考点聚焦圆是重要的平面图形，与圆有关的角(圆心角，圆周角，圆内接四边形的内角，与切线有关的夹角，扇形的圆心角等)是圆中最基础最重要的内容之一纵观近年来各地的中考数学试卷，与圆有关的角相关的考题都占有一定的比重，有的直接单一考查圆周角、圆心角的有关知识点，这类问题多以选择题和填空题的形式出现;有的则与其他知识点或生活实际相结合，成为综合解答类试题，以考查学生综合运用有关知识分析问题与解决问题的能力.其考点则主要聚焦在以下几个方面.考点1求圆心角的度数例1(2017•绍兴)如图1，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A 在圆上，边,AB AC 分别与⊙O 交于点,D E ，则DOE ∠的度数为.解:Q 点A 在圆上45DAE ∠=︒,1452DAE DOE ∴∠=∠=︒.90DOE ∴∠=︒.评注:根据图形特点，利用同弧(»DE)所对的圆心角DOE ∠等于圆周角DAE ∠的2倍，可使问题获得解答.同步练习1(2017•兰州)如图2.在⊙O 中，AB BC =，点D 在⊙O 上，25CDB ∠=︒，则AOB ∠=()A.45° B.50°C.55°D.60°考点2求圆周角的大小例2(2017•重庆)如图3,BC 是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接,,64AO AC AOB ∠=︒，则ACB ∠=.解:由题设知ACB ∠是弧AB 所对的圆周角，AOB ∠是弧AB 所对的圆心角.又64AOB ∠=︒，1322ACB AOB ∴∠=∠=︒.评注:此类考题是基础题，理解并掌握同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半是正确解题的关键.同步练习2(2017•自贡)如图4,AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点,A PO 交⊙O 于点C ，连接BC ，若40P ∠=︒，则B ∠=()A.20°B.25°C.30°D.40°考点3求与圆心角和圆周角相关的其它角的度数例3(2017•泰安)如图5,ABC ∆内接于⊙O ，若A α∠=，则OBC ∠=()A.1802α︒-B.2αC.90α︒+D.90α︒-解:如图6，连接OC .O Q 为圆心，A α∠=,22BOC A α∠=∠=.又OB OC =,OBC OCB ∴∠=∠.21801802OBC BOC α∴∠=︒-∠=︒-，即90OBC α∠=︒-故选D.评注:根据题设条件，作出辅助线OC ，构造出圆心角BOC ∠是解答本题的切入点，而利用BOC ∠与A ∠之间的关系，以及等腰三角形的性质，用含α的式子表示出OBC ∠是解答本题的关键.同步练习3(2017•扬州)如图7，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，连接AO ，若40B ∠=︒，则OAC ∠=.考点4圆内接四边形的内角例4(2017•南京)如图8，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点,,A C D ，与BC 相交于点E ，连接,AC AE ，若78D ∠=︒，则EAC ∠=.解:Q 四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴.78D ∠=︒Q ,102BCD ∴∠=︒.1512ECA BCD ∴∠=∠=︒.Z又四边形AECD 为⊙O 的内接四边形，180AEC D ∴∠+∠=︒.102AEC ∴∠=︒.1801801025127EAC AEC ECA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.评注:圆内接四边形的四个内角都是圆周角，它们的内对角互补.同步练习4(2017•淮安)如图9，在圆内接四边形ABCD 中，若,,A B C ∠∠∠的度数之比为4:3:5，则D ∠的度数是.考点5弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例5(2017•湖州)如图10，已知，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作半圆O ，交BC 于D .若40BAC ∠=︒，则»AD 的度数是度.解:如图11，连接OD .,40AB AC BAC =∠=︒Q ,70ABC C ∴∠=∠=︒，即70ABD ∠=︒.2270140AOD ABD ∴∠=∠=⨯︒=︒.∴»AD 的度数是140°.评注:本题考查了弧、圆周角、圆心角之间的关系，明确所求弧的度数等于这条弧上的圆心角的度数是正确解题的关键.同步练习5(2017•北京)如图12,AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的点,»»AD CD=，若40CAB ∠=︒，则CAD ∠=.考点6与圆心角有关的弧长计算例6(2017•安徽)如图13，已知等边ABC ∆的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边,AC BC 分别交于,D E 两点，则»DE 的长为.解:如图14，连接,,OD OE AE .ABC ∆Q 为等边三角形，60BAC ∴∠=︒.又AB 为直径，90AEB ∴∠=︒.即AE BC ⊥.30BAE CAE ∴∠=∠=︒.260DOE DAE ∴∠=∠=︒.又132OD OA AB ===Q ，»DE ∴的长603180ππ⨯⨯==.评注:求弧长，必须知道弧所对的圆心角的大小.本题根据等边三角形“三线合一”的性质先求出圆周角DAE ∠的度数，从而可得到圆心角DOE ∠的度数，然后利用弧长公式可求出»DE的长.同步练习6(2017•枣庄)如图15，在ABCD Y 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知12,60AB C =∠=︒，则»FE 的长为.考点7与切线有关的夹角问题例7(2017•滨州)如图16，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交ABC ∆的外接圆⊙O 于点D ，连接BD ，过点D 作直线DM ，使BDM DAC ∠=∠.求证:直线DM 是⊙O 的切线.证明:如图17，连接OD .Q 点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线交⊙O 于点D ,BAD DAC ∴∠=∠.»»BDCD ∴=，即D 为»BC 的中点.OD BC ∴⊥.,BDM DAC DAC DBC ∠=∠∠=∠Q ,BDM DBC ∴∠=∠.//DM BC ∴.OD BC ⊥Q ,DM OD ∴⊥.∴直线DM 是⊙O 的切线.评注:当过半径外端点的一条直线(DM )与过这个端点的一条弦(DB )所夹的角(BDM ∠)，等于这个角所夹弧上的圆周角(BAD ∠)时，则这条直线必是圆的切线.值得注意的是，上述命题的逆命题也成立.即知道一条直线是圆的切线时，则切线与弦的夹角等于其所夹弧上的圆周角(有兴趣的读者可自证之).熟知上述两个结论，在求解有关问题(特别是选择题和填空题)时，可简化过程，收到事半功倍的效果.同步练习7(2017•福建)如图18，四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是⊙O 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=︒.(1)若AB =4，求»CD的长;(2)若»»BCAD =,AD AP =，求证:PD 是⊙O 的切线.考点8与其他知识结合的综合性问题例8(2017•台州)如图19，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点(不与,B C 重合),PE 是ABP ∆的外接圆⊙O 的直径.(1)求证:APE ∆是等腰直角三角形;(2)若⊙O 的直径为2，求22PC PB +的值.解:(1)证明:ABC ∆Q 为等腰直角三角形，,90AC AB CAP BAP ∴=∠+∠=︒.PE Q 为⊙O 的直径，90BAE BAP ∴∠+∠=︒.CAP BAE ∴∠=∠.Q 四边形AEBP 为⊙O 的内接四边形，180APB AEB ∴∠+∠=︒.又180APC APB ∠+∠=︒,APC AEB ∴∠=∠.ACP ABE ∴∆≅∆.AP AE ∴=.又90PAE ∠=︒，APE ∴∆是等腰直角三角形.(2)ACP ABE ∆≅∆Q ,CP BE ∴=.PE Q 为⊙O 的直径，90PBE ∴∠=︒.222,2EB PB PE PE +==Q .222224PC PB PE ∴+===.评注:本题由全等三角形和圆周角及其推论(直径所对的圆周角是直角)，证出APE ∆是等腰直角三角形;在ACP ABE ∆≅∆的基础上，结合勾股定理并利用整体求值的思想方法计算出22PC PB +的值，知识间联系自然，具有较好的综合性.同步练习8(2017•天津)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，50ABT ∠=︒,BT 交⊙O 于点,C E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .(1)如图20，求T ∠和CDB ∠的大小;(2)如图21，当BE BC =时，求CDO ∠的大小.参考答案1.B2.B3.50°4.120°5.25°6.π7.(1)π(2)»»BCAD =Q ,BOC AOD ∴∠=∠,90COD ∠=︒Q ,45AOD ∴∠=︒,18067.52AOD ODA ︒-∠∴∠==︒,又45,CAD AD AP ∠=︒=,122.52ADP APD CAD ∴∠=∠=∠=︒,67.522.590ODP ODA ADP ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒,即OD PD ⊥.∴PD 是⊙O 的切线.8.(1)40T ∠=︒,40CDB ∠=︒.(2)15CDO ∠=︒。
2020-2021【名校提分专用】中考数学考点总动员系列专题39与圆有关的角含解析
考点三十九：与圆有关的角聚焦考点☆温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
名师点睛☆典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.【例1】（2017湖南张家界第3题）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】D．【解析】试题分析：∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO =30°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BOC =2∠A =2×30°=60°．故选D ． 考点：圆周角定理．【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【举一反三】（2017海南第12题）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO=25°，则∠BOC 的度数为（ ）A ．25°B ．50°C ．60°D ．80°【答案】B.考点：圆周角定理及推论，平行线的性质.考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】（2017河池第8题）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦36,=∠CAB CD ，则BCD ∠的大小是（）A ． 18B ． 36 C. 54 D ．72【答案】B.考点：圆周角定理；垂径定理.【举一反三】（2017贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD 的长为（）A．2 B．﹣1 C D．4【答案】A．【解析】试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=12OC=1，∴CD=2OE=2，故选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．考点典例三圆周角与切线之间的关系【例3】（2017贵州如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD 的长为（）A ． 65 B ．85 C【答案】B【解析】试题解析：连接BD ．∵AB 是直径，∴∠ADB=90°．∵OC ∥AD ，∴∠A=∠BOC ，∴cos ∠A=cos ∠BOC ．∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∴cos ∠BOC=25OBOC ，∴cos ∠A=cos ∠BOC=25．又∵cos ∠A=ADAB ，AB=4，∴AD=85．故选B ．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．【举一反三】（2016黑龙江哈尔滨第18题）如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AD⊥l，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC 、BE ．若AE=6，OA=5，则线段DC 的长为 ．【答案】4.【解析】试题分析：令OC 交BE 于F ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵AD ⊥CD ，∴BE ∥CD ，∵CD 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴OC ⊥BE ，∴四边形CDEF 为矩形，∴CD=EF ，在Rt △ABE 中，822=-=AE AB BE ，∵OF ⊥BE ，∴BF=EF=4，∴CD=4．考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理.考点典例四 与圆周角有关的证明【例4】（2017湖南怀化第23题）如图，已知BC 是O ⊙的直径，点D 为BC 延长线上的一点，点A 为圆上一点，且AB AD =，AC CD =.(1)求证：ACD BAD △∽△；(2)求证：AD是O⊙的切线.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．试题解析：（1）∵AB=AD，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA ⊥AD ，∴AD 是⊙O 的切线．【举一反三】（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC 为⊙O 的直径，B 为⊙O 上一点，∠ACB=30°，延长CB 至点D ，使得CB=BD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足E 在CA 的延长线上，连接BE ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）3-2 【解析】试题分析：（1）连接BO ，根据△OBC 和△BCE 都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE 是⊙O 的切线；（2）在Rt △ABC 中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt △ABC 的面积，进而得到阴影部分的面积．试题解析：（1）如图所示，连接BO ，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE ⊥AC ，CB=BD ，∴Rt △DCE 中，BE=12CD=BC ，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；课时作业☆能力提升一．选择题1．（2017甘肃兰州第4题）如图，在OCDB=∠( )∠°，则AOB=⊙上，25⊙中，AB BC=，点D在OA.45°B.50°C.55°D.60°【答案】B【解析】，点D在⊙O上，∠CDB=25°，试题解析：∵在⊙O中,AB BC∴∠AO B=2∠CDB=50°．故选B．考点：圆周角定理．A B C D是O上的四个点，B是AC的中点，M是半径OD上任2.（2017广西贵港第9题）如图，,,,意一点，若40BDC ∠= ，则AMB ∠的度数不可能是（ ）A ．45B ．60 C. 75 D ．85【答案】D【解析】试题解析：∵B 是AC 的中点，∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M 是OD 上一点，∴∠AMB ≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D ．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．3. （2017山东烟台第9题）如图，□ABCD 中，070=∠B ，6=BC ，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则弧DE 的长为（ ）A ．π31B ．π32 C. π67 D ．π34【答案】B ．【解析】试题解析：连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，∴OA=OD=3，∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴DE的长=4032 1803ππ⨯=.故选：B．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．4.（2017新疆建设兵团第9题）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（）A．12 B．15 C．16 D．18【答案】A.【解析】试题解析：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，∴AC=BC=12AB=4．设OA=r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中，∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，∴AE=10，∴=，∴△BCE 的面积=12BC•BE=12×4×6=12． 故选A ． 考点：圆周角定理；垂径定理5. （2017江苏徐州第6题）如图，点,,A B C ，在⊙O 上，72AOB ∠=，则ACB ∠=（ ）A ．28B ．54 C.18 D ．36【答案】D ．【解析】试题解析：根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，即∠ACB=36°，故选D ．考点：圆周角定理．6.如图所示，点A ，B ，C 在圆O 上，∠A=64°，则∠BOC 的度数是（ ）A ． 26°B ． 116°C ． 128°D ． 154°【答案】C ．【解析】试题分析：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选C．考点：圆周角定理．二．填空题1. （2017重庆A卷第15题）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB= ．【答案】32°．【解析】试题解析：∵AO=OC，∴∠ACB=∠OAC，∵∠AOB=64°，∴∠ACB+∠OAC=64°，∴∠ACB=64°÷2=32°．考点：圆周角定理.2.（2017甘肃庆阳第14题）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．【答案】58°．【解析】试题解析：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OAB=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．考点：圆周角定理．3.（2017江苏盐城第14题）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在AmB上，点D在AB上，若∠ACB=70°，则∠ADB= °．【答案】110°考点：圆周角定理.4.（2017四川宜宾第17题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果AD= ．【答案】4.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，==，∴AC CD AB=，∴CB AD∴AD=CB，∵∠BCD=90°，，∴BC=CD•tan60°=3∴AD=BC=4．考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.含30°角的直角三角形.5. （2017湖南株洲第15题）如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM= ．【答案】80°.【解析】试题分析：连接EM，∵AB=AC，∠BAM=∠CAM，∴AM⊥BC，∵AM为⊙O的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°，∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°，∴∠EOM=2∠EAM=80°，故答案为：80°．考点：圆周角定理．6. （2017湖北孝感第15题）已知半径为2的O 中，弦2AC =，弦AD =COD ∠的度数为 ．【答案】150°或30°考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.等边三角形的判定与性质；4.圆周角定理.7. （2017青海西宁第17题）如图，四边形ABCD 内接于O ，点E 在BC 的延长线上，若0120BOD ∠=，则DCE ∠=______.【答案】60°【解析】试题分析：∵∠BOD=120°，∴∠A=12∠BOD=60°． ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DCE=∠A=60°．考点： 1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理．8. （2017海南第18题）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ．. 【解析】试题分析：根据中位线定理得到MN 的最大时，BC 最大，当BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN=12BC ， ∴当BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当BC 是直径时，BC 最大，连接BO 并延长交⊙O 于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O 的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′=sin 45AB ︒∴MN 最大．考点：三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形.三、解答题1. （2017湖北孝感第23题） 如图，O 的直径10,AB = 弦6,AC ACB =∠的平分线交O 于,D 过点D 作DE AB 交CA 延长线于点E ，连接,.AD BD（1）由AB，BD，AD围成的曲边三角形的面积是；（2）求证：DE是O的切线；（3）求线段DE的长.【答案】（1）252524π+；（2）证明见解析；（3）354．试题解析：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，且AB=10，∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ABD=∠ACD=12∠ACB=45°，∴∠AOD=90°，则曲边三角形的面积是S 扇形AOD+S△BOD=2905360π+12×5×5=252524π+；（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）∵AB=10、AC=6，∴，过点A作AF⊥DE于点F，则四边形AODF是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC，∴tan∠EAF=tan∠CBA，∴EF ACAF BC=，即658EF=，∴EF=154，∴DE=DF+EF=154+5=354．考点：1.切线的判定；2.圆周角定理；3.正方形的判定与性质；4.正切函数的定义.。
2019-2020中考数学考点总动员系列专题40与圆有关的位置关系含解析
——教学资料参考参考范本——2019-2020中考数学考点总动员系列专题40与圆有关的位置关系含解析______年______月______日____________________部门聚焦考点☆温习理解一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r点P在⊙O内；⇔d=r点P在⊙O上；⇔d>r点P在⊙O外。
⇔二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞ d<r；直线l与⊙O相切＜====＞ d=r；直线l与⊙O相离＜====＞ d>r；切线的判定和性质：（1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
切线长定理：（1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。
(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
三、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
中考数学辅导：解析灵活的圆中角
中考数学辅导：解析灵活的圆中角
2019中考数学辅导：解析灵活的圆中角
资料图1
资料图2
资料图3
角是几何图形中最重要的元素，是判断三角形全等、三角形相似的重要条件，而圆的旋转不变性和对称性，又赋予了角极强的灵活性，使得角之间的相互转化成为了解题的关键要素。
下面主要介绍圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角与内对角之间的相互转化问题。
特别指出在理解圆中角时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系；在运用圆中角时，要关注弧的中介作用。
基本图形如下：
（1）一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；
（3）直径所对的圆周角是90°；
（4）圆内接四边形外角等于内对角；
（5）圆内接四边形，一条边所对的两个圆周角相等；（6）如图，像∠APB这样顶点在圆内，两边都与圆相交的角我们定义为圆内角，由三角形外角的性质可以得到
∠APB=∠ADB+∠CBD，即圆内角可以通过圆周角进行转换，实质上∠APB=■（弧AB的度数+弧CD的度数）；
（7）如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边都与圆相交的角
型。
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——教学资料参考参考范本——2019-2020中考数学考点总动员系列专题39与圆有关的角含解析______年______月______日____________________部门聚焦考点☆温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
名师点睛☆典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.【例1】（20xx湖南张家界第3题）如图，在⊙O中，AB是直径，AC 是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】D．【解析】试题分析：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．故选D．考点：圆周角定理．【点睛】此题运用了圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【举一反三】（20xx海南第12题）如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．80°【答案】B.考点：圆周角定理及推论，平行线的性质. 考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】（20xx 河池第8题）如图，⊙的直径垂直于弦，则的大小是（）O AB36,=∠CAB CD BCD ∠A ．B ． C. D ． 18 36 5472【答案】B.考点：圆周角定理；垂径定理. 【举一反三】（20xx 贵州黔东南州第5题）如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A=15°，半径为2，则弦CD 的长为（ ）A．2 B．﹣1 C．D．42【答案】A．【解析】试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，∵OC=2，∴CE=OC=1，1 2∴CD=2OE=2，故选A．考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．考点典例三圆周角与切线之间的关系【例3】（20xx贵州如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O 于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）A．B．C．D．658575235【答案】B【解析】试题解析：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°．∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，∴cos∠BOC=，25 OBOC∴cos∠A=cos∠BOC=．2 5又∵cos∠A=，AB=4，AD AB∴AD=．8 5故选B．考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．【举一反三】（20xx黑龙江哈尔滨第18题）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O 相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为．【答案】4.【解析】试题分析：令OC交BE于F，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AD ⊥CD，∴BE∥CD，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，∴四边形CDEF 为矩形，∴CD=EF ，在Rt △ABE 中，，∵OF ⊥BE ，∴BF=EF=4，∴CD=4．822=-=AE AB BE考点：1切线；2矩形的性质；3勾股定理. 考点典例四 与圆周角有关的证明【例4】（20xx 湖南怀化第23题）如图，已知是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，.BC O ⊙D BC A AB AD =AC CD =(1)求证：；ACD BAD △∽△ (2)求证：是的切线.AD O ⊙【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B ，由于∠D=∠D ，于是得到△ACD ∽△BAD ；（2）连接OA ，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB ，得到∠OAB=∠CAD ，由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论． 试题解析：（1）∵AB=AD ，∴∠B=∠D，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D，∴∠CAD=∠B，∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD；（2）连接OA，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAB=∠CAD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．【举一反三】（20xx新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．333-22【解析】试题分析：（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．试题解析：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，1 2∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；课时作业☆能力提升一．选择题⊙1．（20xx甘肃兰州第4题）如图，在中，，点在上，，则( )O ∠°AOB=∠CDB==D OAB BC⊙25A. B. C.D.45°50°55°60°【答案】B【解析】=试题解析：∵在⊙O中,，点D在⊙O上，∠CDB=25°，AB BC∴∠AOB=2∠CDB=50°．故选B．考点：圆周角定理．2. （20xx广西贵港第9题）如图，是上的四个点，是的中点，是半A B C D O B AC M 径上任意一点，若，则的度数不可能是（）,,,OD40∠=AMBBDC∠A． B． C. D．45607585【答案】D【解析】试题解析：∵B是的中点，AC∴∠AOB=2∠BDC=80°，又∵M是OD上一点，∴∠AMB≤∠AOB=80°．则不符合条件的只有85°．故选D．考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．3. （20xx 山东烟台第9题）如图，□中，，，以为直径的⊙交于点，则弧的长为（ ）ABCD 070=∠B 6=BC AD O CD E DEA ．B ． C. D ．π31π32π67π34 【答案】B ． 【解析】试题解析：连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6， ∴OA=OD=3， ∵OD=OE ，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，∴的长=.DE 40321803ππ⨯= 故选：B ．考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．4. （20xx 新疆建设兵团第9题）如图，⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，CE ．若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（ ）A ．12B ．15C ．16D ．18 【答案】A. 【解析】试题解析：∵⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，AB=8，∴AC=BC=AB=4．12设OA=r ，则OC=r ﹣2， 在Rt△AOC 中，∵AC2+OC2=OA2，即42+（r ﹣2）2=r2，解得r=5， ∴AE=10，∴BE==6，2222108AE AB -=-∴△BCE 的面积=BC •BE=×4×6=12．1212故选A ．考点：圆周角定理；垂径定理5. （20xx 江苏徐州第6题）如图，点，在⊙上，，则（ ）,,A B C O72AOB ∠=ACB ∠=A． B． C. D．2854 1836【答案】D．【解析】试题解析：根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，即∠ACB=36°，故选D．考点：圆周角定理．6.如图所示，点A，B，C在圆O上，∠A=64°，则∠BOC的度数是（）A．26° B．116° C．128° D．154°【答案】C．【解析】试题分析：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=2×64°=128°．故选C．考点：圆周角定理．二．填空题1. （20xx重庆A卷第15题）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB= ．【答案】32°．【解析】试题解析：∵AO=OC，∴∠ACB=∠OAC，∵∠AOB=64°，∴∠ACB+∠OAC=64°，∴∠ACB=64°÷2=32°．考点：圆周角定理.2. （20xx甘肃庆阳第14题）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．【答案】58°．【解析】试题解析：如图，连接OB，∵OA=OB，∴△AOB是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB=32°，∴∠OAB=∠OAB=32°，∴∠AOB=116°，∴∠C=58°．考点：圆周角定理．3. （20xx江苏盐城第14题）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，则∠ADB= °．AmB AB【答案】110°考点：圆周角定理.4. （20xx四川宜宾第17题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，则AD= ．43 3【答案】4.【解析】试题解析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴，AC CD AB==∴，CB AD=∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=•=4，4333∴AD=BC=4．考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.含30°角的直角三角形.5. （20xx 湖南株洲第15题）如图，已知AM 为⊙O 的直径，直线BC 经过点M ，且AB=AC ，∠BAM=∠CAM ，线段AB 和AC 分别交⊙O 于点D 、E ，∠BMD=40°，则∠EOM= ．【答案】80°. 【解析】试题分析：连接EM ，∵AB=AC ，∠BAM=∠CAM ，∴AM ⊥BC ， ∵AM 为⊙O 的直径，∴∠ADM=∠AEM=90°， ∴∠AME=∠AMD=90°﹣∠BMD=50°∴∠EAM=40°， ∴∠EOM=2∠EAM=80°， 故答案为：80°．考点：圆周角定理．6. （20xx 湖北孝感第15题）已知半径为的中，弦，弦，则的度数为 ．2O 2AC =22AD =COD ∠ 【答案】150°或30°考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.等边三角形的判定与性质；4.圆周角定理.7. （20xx 青海西宁第17题）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则______.ABCD O E BC 0120BOD ∠=DCE ∠=【答案】60° 【解析】试题分析：∵∠BOD=120°，∴∠A=∠BOD=60°．12∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DCE=∠A=60°． 考点： 1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理．8. （20xx 海南第18题）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ．【答案】. 【解析】试题分析：根据中位线定理得到MN 的最大时，BC 最大，当BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 如图，∵点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN =BC ，∴当BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当BC 是直径时，BC 最大， 连接BO 并延长交⊙O 于点C′，连接AC′， ∵BC ′是⊙O 的直径，∴∠BAC ′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC ′B=45°，∴BC ′===5，sin 45AB52252 ∴MN 最大=．故答案为：．522522考点：三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形.三、解答题1. （20xx 湖北孝感第23题） 如图，的直径 弦的平分线交于 过点作交延长线于点，连接O 10,AB =6,AC ACB =∠O ,D D DE AB CA E,.AD BD（1）由，，围成的曲边三角形的面积是 ；AB BD AD （2）求证：是的切线；DE O （3）求线段的长.DE【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．252524π+354试题解析：（1）如图，连接OD ，∵AB 是直径，且AB=10，∴∠ACB=90°，AO=BO=DO=5，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°，∴∠AOD=90°，12则曲边三角形的面积是S 扇形AOD +S△BOD= +×5×5=；2905360π12252524π+（2）由（1）知∠AOD=90°，即OD⊥AB， ∵DE ∥AB ，∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线； （3）∵AB=10、AC=6，∴BC==8，22AB AC -过点A 作AF⊥DE 于点F ，则四边形AODF 是正方形，∴AF=OD=FD=5，∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC ，∴tan ∠EAF=tan ∠CBA ， ∴，即，∴EF=，∴DE=DF+EF=+5=．EF AC AF BC =658EF =154154354考点：1.切线的判定；2.圆周角定理；3.正方形的判定与性质；4.正切函数的定义.。