《2.2.2反证法(2)》教学案
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
(新课程)高中数学《2.2.2反证法》教案 新人教A版选修22
1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
(2)、例子例1、求证：2不是有理数例2、已知0>>b a ，求证：n n b a >（N n ∈且1>n ）例3、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。
高中数学 专题2.2.2 反证法教案 新人教A版选修12
反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。
提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、课前复习与思考：（1）请学生复习旧知，为本节课夯实基础：直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法：综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。
（2）让学生思考间接证明是什么？它有哪些方法？（初中所学）间接证明：不是从正面证明命题的真实性，而是证明命题的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到证明的目的。
反证法就是一种常用的间接证明方法。
二、探究新知【新课导引】多媒体课件显示9个白色球.上课时要求学生将9个球分别染成红色或绿色.让学生注意观察现象.提问学生，让学生由感性认识上升到理性认识：同学们请看，这9个球无论如何染色，至少有5个球是同色的.你能用数学中的什么方法来证明这个结论吗？【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
高中数学_2.2.2反证法教学课件设计
“数即万物”，也就是说
宇宙间各种关系都可以用整数或整数 之比来表达。
毕达哥拉斯学派中的 一个成员希帕索斯发现， 边长为1的正方形，它的对 角线长却不是整数，也不 能用整数之比来表达。
在当时，这个小小的 2 ，是多么违反 常识，多么荒谬的存在！它简直把以前所知 道的事情（“数即万物”，也就是说宇宙间各种关系都 可以用整数或整数之比来表达。）根本推翻了。更 糟糕的是，面对这一荒谬，人们竟然毫无办 法。
z 1 至少有一个不小于2 y z
x
3：ABC 的内角 A, B,C 所对的边
a,b, c 的倒数成等差数列， 求证：B
2
1：用反证法证明“在△ ABC中至多有一个直角或 钝角”，第一步应假设：（ ）
A．三角形中至少有一个直角或钝角 B．三角形中至少有两个直角 或钝角 C．三角形中没有直角或钝角 D ．三角形中三个角都是直角或钝角 2：用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小 于60°”应先假设这个三角形中（ ） A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 3：用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a， b，c中无偶数”，正确的假设为________.
王戎不取道旁李
王戎七岁，尝与诸小儿游，看道边李树多子折枝。 诸儿竞走取之，唯戎不动。人问之，答曰：“树在 道边而多子，此必苦李。”取之信然。
王戎的结论：“此李必苦”
假设：李子不苦
由于是“道边李树” ，故假设错误。因此，李子是苦的。
毕达哥拉斯（公元前5世纪, 古希腊）在宇宙论，哲学思想， 数学等方面都有极高的成就。 他是用演绎法证明了直角三角 形斜边平方等于两直角边平方 之和，即毕达哥拉斯定理（勾 股定理）。
人教A版选修2-2第二章 2.2.2反证法 教学设计
反证法(教学设计)【教学目标】知识与技能：1.通过实例理解反证法的概念；2.了解反证法的思考过程与特点,掌握反证法证明问题的步骤。
过程与方法：通过反证法的应用体会“正难则反”的数学思想，提升逻辑推理能力。
情感态度价值观：渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【教学重难点】学习重点：理解反证法的概念、反证法的特点，把握反证法的适用范围。
学习难点：如何假设问题的反面，如何在证明过程中导出矛盾。
【学法指导】通过预习教材和导学案，理解反证法的概念及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤，理解反证法的原理。
合作探究反证法的证明过程和一般思路，掌握反证法的特点和表述的规律及适用题型，提升自己的分析能力和数学论证能力。
【教学过程】一.情景引入（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）将9个球分别染成红色或白色，无论怎样染，至少有5个球是同色的，你能证明这个结论吗？分析：假设有某种染法使同色的球数都不超过4个，则球的总数不超过4+4=8，这与球的总数是9矛盾。
因此，假设不成立，无论怎样染，至少有5个球是同色的。
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
（引出反证法）二．基本概念一般地，假设原命题不成立（即假设在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明。
注：反证法是最常见的间接证明法。
反证法证题的基本步骤：①假设——假设命题的结论不成立，即假设命题结论的否定成立；②找矛盾——从假设出发，经过一系列正确的逻辑推理，推出矛盾（与已知矛盾，与定义，公理，定理，事实等矛盾，与假设矛盾，在证明过程中出现自相矛盾等），从而否定假设；③下结论——由矛盾结果，断定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
简单记为：否定结论——推出矛盾——肯定结论（其中推出矛盾是反证法证明的关键）三．典型例题例1.求证：在三角形ABC中，至少有一个内角不小于60°。
2.2.2反证法（优秀经典公开课比赛教案）.
2.2.2反证法（优秀经典公开课⽐赛教案）.课题：2．3反证法学科：数学年级：⾼⼆班级：⼀、教材分析：本节主要研究反证法的概念以及反证法证明问题的⼀般步骤。
在上⼀节中，我们已经学习了直接证明，但是对于有的题⽬，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；或者如果从正⾯证明，需要分成多种情形进⾏分类讨论，⽽从反⾯进⾏证明，只要研究⼀种或很少的⼏种情形。
所以，教材在直接证明之后安排反证法的内容是很有必要的。
⼆、教学⽬标：1．知识与技能结合实例了解间接证明的⼀种基本⽅法——反证法，了解反证法的思考过程与特点．会⽤反证法证明数学问题．2．过程与⽅法使学⽣经历“总结归纳反证法的操作步骤”的过程，培养学⽣归纳、总结、推理论证的能⼒．增强学⽣的数学应⽤意识和创新意识．3．情感、态度与价值观注重培养学⽣积极参与、⼤胆探索的精神以及合作意识．通过让学⽣体验成功，培养学⽣学习数学的⾃信⼼．通过科学家的故事，培养学⽣的耐⼼、恒⼼、⾃信⼼和抗挫折能⼒．从⽽发展学⽣的数学思维能⼒，提⾼思维品质．三、教学重点重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．四、教学难点难点：应⽤反证法解决问题，在推理过程中发现⽭盾．在教学中要明确反证法证明的三个步骤：(1)做待证命题的否命题；(2)根据所做出的否命题，结合已知条件或⼰知的其他的真命题，推导出和已知条件或已知的真命题相⽭盾的地⽅；(3)否定所做的否命题，也就是肯定原命题的正确性．让学⽣亲⾝体会并总结三个步骤中的关键因素，集体探索解决⽅法，突出重点、化解难点．五、教学准备1、课时安排：1课时2、教具选择：电⼦⽩板六、教学⽅法：建议本节课采取探究式教学法，让学⽣参与证明问题的否定假设，推理归谬，激发学⽣积极参与的热情，开发其论证推理能⼒的潜能，培养良好的思维品质．关于反证法的教学需要注意以下⼏点：(1)书写格式及解题步骤：假设——归谬——指出⽭盾——得出结论．(2)提出反设的⽅式⽅法：引导学⽣弄清反设词语的含义，掌握常见量词的反设词．(3)归谬⽅法：在归谬过程中要注意假设条件的利⽤，通过例题分析总结归谬的⽅法技巧．(4)反证法的适⽤范围及对象：反证法⼀般适⽤于题⽬条件中含有量词“⾄多”“⾄少”“全部”“都”或否定性命题．其次是在直接证明受阻的情况下，考虑间接证明．七、教学过程：1、⾃主导学：阅读课本42—43页回答下列问题：（学⽣课前预习后提出疑惑，⽼师解答）【问题导思】著名的“道旁苦李”的故事：王戎⼩时候，爱和⼩朋友在路上玩耍．⼀天，他们发现路边的⼀棵树上结满了李⼦，⼩朋友⼀哄⽽上，去摘李⼦，独有王戎没动．等到⼩朋友摘了李⼦⼀尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李⼦是苦的呢？”王戎说：“假如李⼦不苦的话，早被路⼈摘光了，⽽这棵树上却结满了李⼦，所以李⼦⼀定是苦的．”王戎的论述运⽤了什么推理思想？【提⽰】实质运⽤了反证法的思想．1．反证法假设原命题不成⽴(即在原命题的条件下，结论不成⽴)，经过正确的推理，最后得出⽭盾，因此说明假设错误，从⽽证明了原命题成⽴，这样的证明⽅法叫做反证法．2．反证法常见的⽭盾类型2、合作探究（1）分组探究探究点1 反证法的定义和探究点2 反证法的应⽤1.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0⽆整数根．【思路探究】此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选⽤反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应⽤．【⾃主解答】假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．⽽f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn ＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．⼜a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数⽭盾．∴f(x)＝0⽆整数根．2.若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．【思路探究】先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a，b)内有零点，再⽤反证法证明零点唯⼀．【⾃主解答】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f(x)在(a，b)内⾄少存在⼀个零点，设零点为m，则f(m)＝0，假设f(x)在(a，b)内还存在另⼀个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，⽭盾；若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，⽭盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有⼀个零点．（2）教师点拨1．对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正⾯突破较困难时，可⽤反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后⽤转化后的命题作为条件进⾏推理，推出⽭盾，从⽽达到证题的⽬的．2．常见否定词语的否定形式如下表所⽰：3、巩固训练1.已知⾮零实数a 、b 、c 成等差数列a ≠c ，求证：1a ，1b ，1c不可能成等差数列．【证明】假设1a ，1b ，1c成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac，⼜a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac，∴(a －c )2＝0，即a ＝c .这与a ≠c ⽭盾．故假设错误，原命题正确.2.已知a 与b 是异⾯直线，求证：过a 且平⾏于b 的平⾯只有⼀个．【证明】如图所⽰．假设过直线a 且平⾏于直线b 的平⾯有两个，分别为α和β，在直线a 上取点A ，过b 和A 确定⼀个平⾯γ，且γ与α、β分别交于过点A 的直线c 、d ，由b ∥α，知b ∥c ，同理b ∥d ，故c ∥d ，这与c 、d 相交于点A ⽭盾，故假设不成⽴，原结论成⽴.3.已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y x中⾄少有⼀个⼩于2. 【思路探究】明确“⾄少”的含义―→对结论作出假设―→得出⽭盾．【⾃主解答】假设1＋x y ，1＋y x 都不⼩于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2.∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.∴2＋x＋y≥2(x＋y)．即x＋y≤2，这与已知x＋y＞2⽭盾．∴1＋xy，1＋yx中⾄少有⼀个⼩于2.常见结论词与反设词列表如下：。
第2章-2.2.2 反证法
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数学[新课标· 选修2-2]
用反证法证明否定性命题
设{an}是公比为 q 的等比数列．设 q≠1，证明：数 列{an＋1}不是等比数列．
【思路探究】
假设{an＋1}是等比数列，任取连续三项，
利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为 1.
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A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c都是奇数或至少有两个偶数
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数学[新课标· 选修2-2]
【解析】 “恰有一个偶数”的否定是“一个也没有或至 少有两个”．
【答案】 D
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数学[新课标· 选修2-2]
应用反证法常见的“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易 入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的 “结论词”与“反设词”如下：
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数学[新课标· 选修2-2]
结论词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个
反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个 至少有n＋1个
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数学[新课标· 选修2-2]
用反证法证明“至多”、“至少” 类 问题
(2013· 威海高二检测)已知a，b，c∈(0,1)，求证： 1 (1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于4.
【思路探究】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小 于或等于”其对立面为“全部大于”．
《2.2.2 反证法》教学案2
《2.2.2 反证法》教学案2【教学目标】了解间接证明的一种方法——反证法；了解反证法的思维过程、特点．通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系，体现对立与统一的思想观点和方法．【知识扫描】间接证明证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称位间接证明.反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等.反证法⑴反证法的证明过程:即：“否定——推理——否定”⑵反证法证明命题“若p则q”的步骤：①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反而为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结论；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。
【例题选讲】例1．求证：正弦函数没有比2 小的正周期。
例2例3.已知||1,||1,a b <<用反证法证明：||11a bab +<+。
例4.已知三个正数,,a b c 成等差数列，且公差0≠d ，求证：111,,a b c 不可能成等差数列例5. 设0 < a ， b ， c < 1，求证：(1 - a )b ， (1 - b )c ，(1 - c )a ，不可能同时大于14。
例6.(强化班做)已知：2()f x x px q =++⑴求证：(1)(3)2(2)2f f f +-=；⑵求证：|(1)|,|(2)|,|(3)|f f f 中至少有一个不小于12．【巩固提高】1．若证明命题“质数有无限多个”，适宜的证法是___________2. 用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，第一步假设________________________3．在△ABC 中，若AC AB =，P 是△ABC 内一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠C AP ．用反证法证明时应分：假设__________和___________两类．4. 用反证法证明“若,5>+y x 则3x 2>>或x ”，其反证假设是________________5. 用反证法证明方程()0F x =至少有两个实数根，其反证假设是___________________6. 命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定是_____________________7.用反证法证明命题“ab N b a ,,∈可被5整除，那么b a ,中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是__________________________8. x ，y ∈R +，且x +y ＞2，求证:11x y y x++与中至少有一个小于29.若a ，b ，c 均为实数，且222a x y π=-+ ， 223b y z π=-+，226c z x π=-+，求证：a ，b ，c 中到少有一个大于010．(强化班做)已知函数2()(0)1x x f x a a x -=+>+。
2.2.2反证法(二)
中山市东升高中 高一数学◆必修1◆导学案 编写：高建彪 校审：贺联梅§2.2.2 反证法(二)1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.一、课前准备（预习教材P 66~ P 67，找出疑惑之处） 复习1：反证法：复习2：所谓矛盾主要是指：二、新课导学※ 学习探究探究任务：反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？新知：应用反证法证明数学问题的一般步骤：反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※ 典型例题例1 证明：1,2不能为同一等差数列的三项。
变式：证明：5,3,2不可能成等差数列.小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2平面上有四个点，没有三点共线。
证明以每三个点为顶点的三角形不可能是锐角三角形。
变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60 .小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.2008年下学期◆高一 月 日 班级： 姓名： 第一章 集合2※ 动手试试练 1. 证明在A B C ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.练 2. A B C ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.三、总结提升※ 学习小结1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论.2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.※ 知识拓展空城计与反证法空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵.诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设,,a b c 都是正数，则三个数111,,ab c b c a+++（ ）.A ．都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于22. 设a,b,c,d 求证：a是无理数。
反证法 文科 教学设计
2.2直接证明和间接证明【课题】：2.2.2反证法(文科班用)【设计与执教者】：广州市86中学，张科，redfoxzke@。
【学情分析】：【教学目标】：（1）知识目标：1.理解反证法的概念及其特点；2.掌握用反证法证明问题的基本方法和步骤. 3.培养学生用反证法简单推理的技能.（2）过程与方法目标：通过生活中的具体问题的解决引入反证法的基本概念及其特点；结合具体实例让学生掌握用反证法求解问题的方法和步骤。
（3）情感与能力目标：培养学生通过事物的结论的反面出发，进行推理，使之引出矛盾，从而证明事物的结论成立的简单推理能力与思维能力.【教学重点】：1. 理解反证法的概念2．掌握用反证法证明问题的基本方法和步骤【教学难点】：掌握用反证法证明问题的基本方法和步骤【教法、学法设计】：合作探究式教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：配套习题1：已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A ：至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2：用反证法证明命题“若a ，b ∈ N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除” 3：已知非零实数a 、b 、c 成等差数列，a ≠c ，求证：1,1,1a b c 不可能成等差数列。
4：已知(1tan )tan )1αα-+=,求证：3sin 24cos2αα=-5：已知方程ax 2＋bx ＋c=0，且a 、b 、c 都是奇数，求证方程没有整数根。
习题答案： 1：A2：证明：假设a 、b 中没有一个能被5整除，即a 、b 都没有因数5，则ab 没有因数5，ab 不能被5整除，与题设矛盾． ∴a，b 中至少有一个能被5整除．3：证明：假设1,1,1a b c 成等差数列 则(11)12a cb +=化简得：2*()ac b a c =+又∵实数a 、b 、c 成等差数列，即2b a c =+代入上式得： 24()ac a c =+∴2()0a c -=即a c =与已知条件矛盾。
高中数学优质教案 反证法
2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列， 求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1） 在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2） 如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3） 在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4） 在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。
2.2.2 反证法教案-高二数学人教A版选修1-2
[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。
也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。
但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。
由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。
第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。
核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。
高中数学 2.2.2反证法学案 新人教A版选修22
2．2.2 反证法1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．基础梳理1．定义：一般地，由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定┐q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．反证法常见的矛盾类型：反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理、公式、定义或与公认的简单事实矛盾等．想一想：(1)反证法的实质是什么？(2)反证法属于直接证明还是间接证明？其证明过程属合情推理还是演绎推理？(1)解析：反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．(2)解析：反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．自测自评1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°”时，反设正确的是(A) A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都不大于60°”．2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是(D)A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“p＋q>2”；②的假设为“两根的绝对值不都小于1”，故①假设错误．②假设正确．3.“实数a，b，c不全大于0”等价于(D)A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．故选D.基础巩固1．(2014·微山一中高二期中)用反证法证明命题“如果a>b>0，那么a2>b2”时，假设的内容应是(C)A．a2＝b2 B．a2<b2C．a2≤b2 D．a2<b2，且a2＝b22．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是(D)A．有一个解 B．有两个解C．至少有两个解 D．至少有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为(B)A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a≠1或b≠1能力提升5．下列命题不适合用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1.解析：选项A中命题条件较少，不足以正面证明；选项B中命题是否定性命题，可以反证法证明；选项D中命题是至少性命题，可以反证法证明．选项C不适合用反证法证明．故选C.6．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R P、Q、R都大于0.故选C.＋矛盾，故7．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a>b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，所以不存在n使a n＝b n.答案：08．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有__________(填序号)．解析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y或x<y”，所以②正确；“a>b”的反面是“a ≤b ”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形至少有两个钝角”．所以这三个都错．答案：②9．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c .证明：2b ＝1a ＋1c不成立． 证明：假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac . 又∵b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即a 2＋c 2＝2ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋1c不成立． 10．已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负实根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0. 所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1 ＝（x 2－2）（x 1＋1）－（x 1－2）（x 2＋1）（x 1＋1）（x 2＋1） ＝3（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）>0. 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2. 与假设x 0<0矛盾，故f (x )＝0没有负实根．。
人教A版选修2-2 2.2.2反证法 学案
2. 2.2反证法课前预习学案一、预习目标：使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.二、预习内容：提出问题：问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。
你能解释这种现象吗？学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转2 枚硬币，3 枚硬币被翻转的次数只能是2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使3 枚硬币全部反面朝上．问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。
则C 必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.推进新课在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、 学习目标（1）使学生了解反证法的基本原理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.二、学习过程： 例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂，所以b αβ=I .下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=I ，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.点评：用反证法的基本步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利 变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.例2、求证：2不是有理数解析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n ，m n=，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即222n k =所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．点评：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
2.2.反证法-人教A版选修2-2教案
2.2 反证法 - 人教A版选修2-2教案教学目标1.了解反证法的概念和基本原理；2.学会如何运用反证法证明命题；3.掌握反证法在数学、物理、哲学等领域的应用。
教学重难点重点：理解反证法的概念和基本原理。
难点：熟练运用反证法证明命题。
教学过程导入（5分钟）通过导入一些生活中的例子或者一些数学公式，引出反证法的概念和作用，并与学生进行互动，鼓励学生积极参与。
概念解释（15分钟）1.以“证明1=2”为例，讲解真正意义上的反证法；2.解释什么是自相矛盾，举例说明；3.举例说明反证法的基本思想和方法。
练习应用（25分钟）1.从几何中给出一个定理或命题，要求学生应用反证法来证明它；2.从代数中给出一个公式或方程，要求学生应用反证法解决它；3.通过其他领域的实例，让学生进一步理解和熟练应用反证法。
总结提高（10分钟）1.教师总结反证法的基本原理和应用范围；2.回顾课堂内容，让学生在思考中进一步掌握反证法的应用场景和技巧；3.鼓励学生理解和运用反证法的重要性，以及在日常生活和学习中如何灵活运用。
教学评估1.检测学生对反证法的理解和应用情况，以小组形式讨论、出题解答等方式进行；2.通过教学调研、课堂练习、作业考核等方式，综合评估学生对反证法的掌握程度，并针对性地布置练习和加强巩固。
讲师寄语反证法是数学证明中常用的一种方法，但其应用不只限于数学领域。
同学们可以多思考、多实践，在生活中运用反证法的思想和方法，不断拓展自己的思维和创新能力。
希望同学们在今后的学习和工作中，都能够善于运用反证法，不断追求真理和发现新的可能性。
高中数学选修2-2教学设计7：2.2.2反证法教案
2．2.2 反证法教学设计1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．教学知识梳理知识点反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考本故事中王戎运用了什么论证思想？[答案]运用了反证法思想．梳理(1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．教学案例类型一用反证法证明否定性命题例1已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.证明假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立．所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练1 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明 假设a ，b ，c 成等差数列， 则2b ＝a ＋c ， ∴4b ＝a ＋c ＋2ac .①∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，② 由②得b ＝ac ，代入①式， 得a ＋c －2ac ＝(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，从而a ＝b ＝c .这与已知a ，b ，c 不成等差数列相矛盾， ∴假设不成立．故a ，b ，c 不成等差数列． 类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a ，b ，c ∈(0,2)，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1. 证明 假设(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 都大于1. 因为a ，b ，c ∈(0,2)， 所以2－a >0,2－b >0,2－c >0. 所以(2－a )＋b 2≥(2－a )b >1.同理(2－b )＋c 2≥(2－b )c >1，(2－c )＋a2≥(2－c )a >1.三式相加，得(2－a )＋b 2＋(2－b )＋c 2＋(2－c )＋a2>3， 即3>3，矛盾．所以(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能都大于1. 反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词 反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有x 成立 存在某个x 0不成立 至多有一个 至少有两个 对任意x 不成立存在某个x 0成立至少有n 个 至多有n －1个 p 或q p 且q 至多有n 个至少有n ＋1个p 且qp 或q跟踪训练2 已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a 和y 3＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点． 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点， 由y 1＝ax 2＋2bx ＋c ，y 2＝bx 2＋2cx ＋a ，y 3＝cx 2＋2ax ＋b ， 得Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0， 且Δ3＝4a 2－4bc ≤0.同向不等式求和，得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， 所以2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，所以a ＝b ＝c . 这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证． 类型三 用反证法证明唯一性命题 例3 求证：方程2x ＝3有且只有一个根． 证明 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23. 这说明方程2x ＝3有根．下面用反证法证明方程2x ＝3的根是唯一的． 假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)， 则12b＝3, 22b＝3，两式相除得122b b -＝1，∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这与b 1≠b 2矛盾． ∴假设不成立，从而原命题得证．反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．跟踪训练3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，求证：方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α<β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)．这与假设f (α)＝0＝f (β)矛盾，所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．达标检测1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A ．三角形中至少有一个直角或钝角 B ．三角形中至少有两个直角或钝角 C ．三角形中没有直角或钝角 D ．三角形中三个角都是直角或钝角 [答案]B2．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么直线c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线[答案]C[解析]假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线． 3．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A ．有一个内角小于60° B ．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D ．每一个内角都大于60°[答案]B4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥b D ．a 与b 相交[答案]D5．用反证法证明：关于x 的方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，当a ≤－32或a ≥－1时，至少有一个方程有实数根．证明 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16a 2＋4(4a －3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4×(－2a )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，－2<a <0，解得－32<a <－1，与a ≤－32或a ≥－1矛盾，故原命题成立．。
人教版高中数学选修2-2学案：2.2.2反证法
2.2.2反证法【学习目标】1.了解间接证明的一种基本方法——反证法；2.了解反证法的思考过程、特点;3.会用反证法证明问题.【新知自学】知识回顾：1.综合法：（1）一般地,利用,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法.（2）框图表示：（3）要点：顺推证法，由____导____.2.分析法（1）一般地，从要证明的出发，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．（2）框图表示（3）要点：逆推证法；执____索____.新知梳理：1.反证法：一般地，假设原命题，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设，从而证明了原命题.这种证明方法叫.2.反证法证题的一般规律：（1）证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立（2）方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.对点练习：1.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60︒B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒D．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c不全为0等价于为（）A．,,a b c均不为0B．,,a b c中至多有一个为0C．,,a b c中至少有一个为0D．,,a b c中至少有一个不为0A ．都大于2 B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于24. 用反证法证明命题“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的反设为 .【合作探究】典例精析：ABC ∆中,若C ∠是直角,那么B ∠一定是锐角.变式练习：证明：5,3,2不可能成等差数列.例2.设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列.变式练习：60 .【课堂小结】【当堂达标】1. 用反证法证明：“a b >”，应假设为（ ）. A.a b > B.a b < C.a b = D.a b ≤2.用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( ) A ．a ，b 都能被5整除 B ．a ，b 都不能被5整除 C ．a ，b 不都能被5整除 D ．a 不能被5整除3.如果12x >,那么2210x x +-≠.4.ABC ∆的三边,,a b c 的倒数成等差数列,求证:90B <︒.【课时作业】1. 用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．2.设x 、y 、z ＞0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于23.设直线1:,1:2211-=+=x k y l x k y l ，其中k 1, k 2满足k 1+k 2+2=0，证明1l 与2l 相交.4.已知,0x y >,且2x y +>.试证:11,x yy x++中至少有一个小于2.5.求证22y ax bx c =++,22y bx cx a =++,22y cx ax b =++(,,a b c 是互不相等的实数),3条抛物线至少有一条与x 轴有两个交点.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠F AE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠F AE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bbx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。
高中数学 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2
§2.2.2 反证法
一学习目标：
了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点；会用反证法证明问题；
二自学指导：
1、反证法定义：
2、所谓矛盾主要是指：
3、应用反证法证明数学命题的一般步骤：
4、预习中的问题：
三典型例题
例1
1、证明：设直线a,b,c在同一平面上，如果a∥c，b∥c，那么a∥b
2、如果x>
2
1，那么x 2+2x-1≠0
3、如果1a +为无理数，求证a 是无理数.
4、证明：如果a >b >0，那么b a >
5、证明：过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆
6、求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分
五活学活用
1、设p是质数，证明p是无理数
2、lg2是无理数
六小结。
选修2-2反证法教案
2.2.2 反证法一、教课目的（1）认识反证法的基来源理；（2）掌握运用反证法的一般步骤；（3）学会用反证法证明一些典型问题.二、教课要点和难点教课要点和难点：用反证法证明一些典型问题.三、教课过程：例 1、已知直线和平面，假如，且，求证。
分析：让学生理解反证法的严实性和合理性；证明：由于 ,所以经过直线 a , b确立一个平面。
由于，而，所以与是两个不一样的平面．由于，且，所以 .下边用反证法证明直线 a 与平面没有公共点．假定直线 a 与平面有公共点，则，即点是直线 a与b的公共点，这与矛盾．所以.评论：用反证法的基本步骤：第一步第二步第三步第四步分清欲证不等式所波及到的条件和结论；作出与所证不等式相反的假定；从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；判定产生矛盾结果的原由，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利变式训练 1. 求证：圆的两条不全部是直径的订交弦不可以相互均分.例 2、求证：不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采纳反证法．假定不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都能够写成形如（互质，”的形式．下边我们看看可否由此推出矛盾．证明：假定不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数，使得，进而有 ,所以，，所以 m 为偶数．于是可设( k是正整数），进而有，即所以 n 也为偶数．这与m , n互质矛盾！由上述矛盾可知假定错误，进而是无理数．评论：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假定，而后，从这个假定出发，经过正确的推理，致使矛盾，进而否认相反的假定，达到一定原命题正确的一种方法。
变式训练 2、已知，求证：（且）例 3、设二次函数，求证：中起码有一个不小于.分析：直接证明中起码有一个不小于. 比较困难，我们应采纳反证法证明：假定都小于，则（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）（1）、（ 2）两式的结果矛盾，所以假定不建立，本来的结论正确。
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《2.2.2反证法（2）》教学案
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？
3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，
则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上， 即O 是l 与m 的交点。
但 ∵A 、B 、C 共线，∴l ∥m (矛盾)
∴ 过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆.
二、讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
A
① 练习：仿照以上方法，证明：如果a >b >0，那么b a >
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立
应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？
与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ， 则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分.
② 出示例2. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为/m n ）
/m n （m ,n 为互质正整数）， 从而：2(/)3m n =，223m n =，可见m 是3的倍数.
设m =3p （p 是正整数），则 22239n m p ==，可见n 也是3的倍数.
这样，m , n 就不是互质的正整数（矛盾）. /m n =不可能，
是无理数.
③ 练习：如果1a +为无理数，求证a 是无理数.
提示：假设a 为有理数，则a 可表示为/p q （,p q 为整数），即/a p q =. 由1()/a p q q +=+，则1a +也是有理数，这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题）。