《空间向量及其运算》精品说课课件
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第八章 第5讲 空间向量及其运算.pptx
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)
___a_1_b_1_＋__a_2_b_2＋__a__3b_3_＝__0___
模 夹角
|a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
a12＋a22＋a32
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
6
知识衍化体验
考点聚焦突破
3
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 叫做向量 a，
b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是 0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称 a 与 b_互__相___垂__直___，
22
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)解 设A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.
∵A→C1＝A→C＋C→C1＝A→B＋A→D＋A→A1＝a＋b＋c， ∴| A→C 1| ＝ |a ＋ b ＋ c| ＝ （a＋b＋c）2 ＝ |a|2＋|b|2＋|c|2＋2（a·b＋b·c＋c·a） ＝
12
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)解析 O→C＝12A→C＝12(A→B＋A→D)， ∴O→C1＝O→C＋C→C1＝12(A→B＋A→D)＋A→A1＝12A→B＋12A→D＋A→A1. 答案 12A→B＋12A→D＋A→A1 (2)解 M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N＝12O→A＋23(O→N－O→A)＝12O→A＋23[12(O→B＋O→C)－O→A]＝ －16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
《空间向量及其运算》课件
向量的模的运算律
模的加法运算律
$|overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}| = |overset{longrightarrow}{a}| + |overset{longrightarrow}{b}|$ 当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$ 与 $overset{longrightarrow}{b}$ 同向。
模的数乘运算律
$|lambdaoverset{longrightarrow}{a}| = |lambda||overset{longrightarrow}{a}|$，其 中 $lambda$ 是标量。
特殊向量的模的性质
零向量的模
$|overset{longrightarrow}{0}| = 0$。
向量的加法结合律
向量加法满足结合律，即对于任意三个向量 $overset{longrightarrow}{a}$、 $overset{longrightarrow}{b}$和 $overset{longrightarrow}{c}$，有 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
模的等式
当且仅当 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$同向 或反向时，有 $|overset{longrightarrow}{a}| = |overset{longrightarrow}{b}|$。
第1章 1.1 1.1.1 空间向量及其线性运算课件(共71张PPT)
·
情
课
景
堂
导
小
学
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
结
·
探
提
新 知
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
素 养
合
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
作
课
探 究
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向
时 分
层
释 疑
量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
作 业
难
返 首 页
·
结 提
新
素
知
(2)若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足O→P＝13O→A 养
合
作
课
探 究
＋13O→B＋13O→C，则点 P 与点 A，B，C 是否共面？
时 分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
17
·
情 景
[提示]
(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成
课 堂
导
小
学 为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
课 时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
12
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
·
提
新
素
知
养
[提示] 没有关系．
合
作
课
探
时
究
分
层
释
空间向量及其运算PPT优秀课件9
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
高考数学总复习第讲空间向量及其运算优秀课件
三条侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，且长度
均为 2. E，F 分别是 AB，AC 的中点，H 是
EF 的中点. 试建立适当的空间坐标系，表示
向量 AH ，BC 的坐标.
O
思路二：以底面ABC中心
G为坐标原点，建立空间
坐标系 ．
A
求解较繁！
C F
H
E
B
求解过程
解（选用思路一）如图以 O 为原点，建立空间直
试用向量a ，b，c 表示向量GH ．
HC
A G B
思路分析
例 1 如图，在空间四边形 OABC 中，G，H 分
别是△ ABC 和△ OBC 的重心，
O
设OA a，OB b，OC c ，
试用向量a ，b，c 表示向量GH ． 思路一（通法）：
HC
由空间向量基本定理，关键找
A
到一组有序数组（x，y，z），
F
C A
E 第3题 B
参考答案
1．证明 EF
1 2
BB1
1 2
BD
2．建立空间直角坐标系，证明向量间垂直，
（2）方法比较：方法一利用共面向量定理证明，侧 重于空间向量的计算，使几何问题数量化，方 法二与方法四需添加辅助线，侧重于推理．这 三种方法，各具特色，运用时因人、因题而 异. 思路三将平几类比到立几时没有注意两者的 差异，导致错误.
廓清疑点：两向量夹角的 确定
基础知识
1. 两向量的夹角 a ，b是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作 OA a，OB b，则∠AOB 叫做向量a 与向量b的夹角， 记作＜a ，b＞，并且规定 0≤＜a ，b＞≤ π . 2. 向量的数量积 设a ，b是空间两个非零向量，将数量 |a ||b|cos＜a ，b＞叫做向量a ，b的数量积，记作a b， 即a b＝|a ||b|cos＜a ，b＞.
8-5空间向量及其运算课件共83张PPT
(1) 解析：∵a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
∴(a＋b)·(a－b)＝－13. (2) 解析：cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝－2155.
核/心/素/养
已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，V→P＝13V→C，V→M＝23 V→B，V→N＝23V→D，则VA与平面PMN的位置关系是__平__行____．
A．(2,3,3)
B．(－2，－3，－3)CFra bibliotek(5，－2,1)
D．(－5,2，－1)
4．在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用 基向量O→A，O→B，O→C表示M→G，O→G.
[解] M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N ＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G ＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C ＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
知识点二 数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)a⊥b⇔_a_·_b_＝__0__(a，b为非零向量)． (3)|a|2＝__a_2_____，|a|＝ x2＋y2＋z2.
2．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 (1)|a|＝ a21＋a22＋a32； (2)a＋b＝_(_a_1＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_； (3)a－b＝_(_a_1－__b_1_，__a_2_－__b_2，__a_3_－__b_3_) ； (4)λa＝_(λ_a_1_，__λ_a_2，__λ_a_3_)____； (5)a·b＝_a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3__；
1.1空间向量及其运算课件
1
(3) AF AD x AB y AA) x y
2
课堂小结
一. 空间向量的有关概念
二. 几类特殊的空间向量
三. 空间向量的线性运算
四. 空间向量的共线（平行）的 充要条件
五. 空间向量的共面充要条件
2
1.1.1空间向量及其线性运算
新知讲授
一. 空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，
平面向量/ 空间向量
加法
减法
数乘
运算
加法：三角形法则或平行四边形法则
减法：三角形法则
数乘：ka，k为正数,负数,零
12
学习新知
（1）空间向量的加减法
C
ab
b
A
O
a
a b OA AB OB
（2）空间向量的数乘
a
a b
λa
a b OA OC CA
(λ>0)
0时， a 0
∠AOB
作 OA ＝a，OB ＝b，则_______＝θ
叫做向量a与b的夹
<a,b>
角．记作: ________
A
a
a
b
O
b
B
关键是共
起点！
• 通常规定： 0≤ <a,b> ≤π
• 如果<a,b>=90°，那么a,b互相垂直，记作a⊥b
• 两个向量的夹角唯一确定，且<a,b>=<b,a>
新知讲授
λa
(λ<0)
B
13
学习新知
平面向量/ 空间向量
运
(3) AF AD x AB y AA) x y
2
课堂小结
一. 空间向量的有关概念
二. 几类特殊的空间向量
三. 空间向量的线性运算
四. 空间向量的共线（平行）的 充要条件
五. 空间向量的共面充要条件
2
1.1.1空间向量及其线性运算
新知讲授
一. 空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，
平面向量/ 空间向量
加法
减法
数乘
运算
加法：三角形法则或平行四边形法则
减法：三角形法则
数乘：ka，k为正数,负数,零
12
学习新知
（1）空间向量的加减法
C
ab
b
A
O
a
a b OA AB OB
（2）空间向量的数乘
a
a b
λa
a b OA OC CA
(λ>0)
0时， a 0
∠AOB
作 OA ＝a，OB ＝b，则_______＝θ
叫做向量a与b的夹
<a,b>
角．记作: ________
A
a
a
b
O
b
B
关键是共
起点！
• 通常规定： 0≤ <a,b> ≤π
• 如果<a,b>=90°，那么a,b互相垂直，记作a⊥b
• 两个向量的夹角唯一确定，且<a,b>=<b,a>
新知讲授
λa
(λ<0)
B
13
学习新知
平面向量/ 空间向量
运
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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2024课件
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时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
新教材选择性6.1空间向量及其运算课件(24张)
(1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R); (3)(a+b)·c=⑩ a·c+b·c .
第1讲 描述运动的基本概念
(1)向量在另一向量上的投影向量
对于空间任意两个非零向量a,b,设向量
OA
=a,
OB
=b(如图),过点A作AA1⊥OB,垂足
为A1.上述由向量a得到向量 OA1 的变换称为向量a向向量b投影,向量 OA1 称为向量a
=aO, A =bO, B =cB. D
第1讲 描述运动的基本概念
问题
a,b,c表示 ? AD
提示:
AD =
AB +
BD =
OB-
OA+
BD=b-a+c.
E为OD的中点,如何用a,b,c表示 ?AE
提示:
AE
=
1
(
AO
+
AD
)=
1
(-a+b-a+c)=-a+
1
b+
1
c.
2
2
22
第1讲 描述运动的基本概念
5 10 5
第1讲 描述运动的基本概念
解析
由题意得
MN
=
AN
-
AM
=
AC
+ CN
-
AA1 -
A1M
=
AC
+
1 5
CA1 -
AA1 -
1 2
AD =
AC
+
1 5
(
AA1 -
AC
)-
AA1
-
1 2
AD =
4 5
第1讲 描述运动的基本概念
(1)向量在另一向量上的投影向量
对于空间任意两个非零向量a,b,设向量
OA
=a,
OB
=b(如图),过点A作AA1⊥OB,垂足
为A1.上述由向量a得到向量 OA1 的变换称为向量a向向量b投影,向量 OA1 称为向量a
=aO, A =bO, B =cB. D
第1讲 描述运动的基本概念
问题
a,b,c表示 ? AD
提示:
AD =
AB +
BD =
OB-
OA+
BD=b-a+c.
E为OD的中点,如何用a,b,c表示 ?AE
提示:
AE
=
1
(
AO
+
AD
)=
1
(-a+b-a+c)=-a+
1
b+
1
c.
2
2
22
第1讲 描述运动的基本概念
5 10 5
第1讲 描述运动的基本概念
解析
由题意得
MN
=
AN
-
AM
=
AC
+ CN
-
AA1 -
A1M
=
AC
+
1 5
CA1 -
AA1 -
1 2
AD =
AC
+
1 5
(
AA1 -
AC
)-
AA1
-
1 2
AD =
4 5
空间向量及其运算PPT优秀课件8
解 （1）∵P是C1D1的中点，
APA1AA1D1D1PaAD12D1C1
ac1ABac1b
2
2
(2)N是BC的中点 ,
A1N
A1A
ABBN
ab
1BC 2
ab1 ADab1c.
2
2
(3)
M
是
AA
的中点
1
,
MP
MA
AP
1 2
祝同学们学习愉快！ 再见！
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
2.下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有ABBC
CDDA0;
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，
若 OP xOA yOB zO（C其中x、y、z∈R）,则P、 A、B、C四点共面.其中不正确命题的个数是
A1 A
AP
1 a (a c 1 b) 1 a 1 b c,
2
2 22
又 NC 1 NC
CC
1
1 2
BC
AA 1
1 AD 2
AA
1
1c 2
a,
MP
NC
1
(1 2
《空间向量及其运算》课件3(24张PPT)(苏教版选修2-1)
488
C、P四点( )
(A) 不一定共面 (B)一定共面
(C) 一定不共面 (D)无法判定
例1 用向量方法求证：长方 体的体对角线长的平方等于它的 长、宽、高的平方和 .
例2 在60Ｏ的两面角α-l-β中， Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l 的距离分别是2和4，且A体ABCD-A1B1C1D1 中 ， E 、 F 分 别 是 BB1 、 DC 的 中 点
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
例1 利用空间向量的方法证明直线与 平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平 面垂直.
例2 已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内， 线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且 与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 点F是侧面CD1的中心，若 ，则
AFm=AD mAB,nn=AA1
。
5、 对空间任意一点Ｏ，若 OP 3 OA 1 OB 1 OC ， 则 A 、 B 、
第 课时
2
空间如向果量三基个本向定量理a：, b, c 不共面， p 那么对空间任一向量 ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论： 设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在 唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
第 课时
3
C、P四点( )
(A) 不一定共面 (B)一定共面
(C) 一定不共面 (D)无法判定
例1 用向量方法求证：长方 体的体对角线长的平方等于它的 长、宽、高的平方和 .
例2 在60Ｏ的两面角α-l-β中， Ａ∈α，Ｂ∈β，已知A、B到直线l 的距离分别是2和4，且A体ABCD-A1B1C1D1 中 ， E 、 F 分 别 是 BB1 、 DC 的 中 点
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
例1 利用空间向量的方法证明直线与 平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平 面垂直.
例2 已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内， 线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且 与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件
4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 点F是侧面CD1的中心，若 ，则
AFm=AD mAB,nn=AA1
。
5、 对空间任意一点Ｏ，若 OP 3 OA 1 OB 1 OC ， 则 A 、 B 、
第 课时
2
空间如向果量三基个本向定量理a：, b, c 不共面， p 那么对空间任一向量 ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论： 设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在 唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
第 课时
3
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意图：变被动学习为主动，使数学学习的过程更加生动、有趣， 也使得对所推广知识的认识更加清晰、牢固。
4、练习巩固，点拨讲解 方式：学生自己寻找，讨论，验证，教师适度启发认识平行
六面体的概念与其中的空间向量；然后采用练习的方式 解决例1。。
情景：平行六面体。 目标：进一步认识和理解如下知识
（1）相等向量、相反向量、单位向量； （2）向量的加减运算；（3）加法运算律。
例1.已知平行六面体ABCD A' B 'C ' D（' 如图） 化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC '；⑷ 1 ( AB AD AA' )．
2
3
教师点拨：一般遵循的原则是
“内化面，面化棱，棱化基”。
意图：平行六面体是空间向量的
断发展、进化的，会用联系的观点看待事物．
三、教法与学法
教法分析： 启发式提问 类比式探索 互动式探讨 点拨式讲解 反馈式评价
学法指导： 自主探索 观察发现 类比猜想 合作交流
教学手段的运用： 借助多媒体，运用几何画板的演示和手中的笔进
行实物演示辅助教学。
四、教学过程的设计
教学流程设计
自主回顾 夯实基础
2、地位和作用： 向量的引入除了在平面几何、立体几何中产生较大的 影响外，对于中学教材的其它章节来讲，程度不同也 有影响，如它在三角函数、解析几何中应用，可以改 善其教材结构、优化解题方法；又如，向量在物理学 和力学中也有许多应用。对一些高考创新题也常围绕 向量和其他章节的知识交汇点命题。
3、教学重、难点 教学重点： 空间向量的加减与数乘运算及运算律； 教学难点：应用空间向量的运算及运算律解决立体
2、尝试提问，类比探索
教师引导学生提出质疑：难道向量只能是平面上的吗？ 问题：期望学生能提出如下问题：以前学过的向量都是平面是
的，是否应该有空间中的向量？直线上的向量？同时以此 引出空间向量。 活动：举出几个可看做“空间向量”的例子。
2、尝试提问，类比探索
素材：素材较多，如手中的一支笔；物体的受力分析；建筑物 中的“向量影子”．
2、教学目标： 知识目标：
（1）空间向量的概念，平行六面体的概念； （2）空间向量的加减与数乘运算及运算律；
能力目标：
（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们 的运算律；
（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几 何问题．
德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不
几何问题； 关键：把平面向量的概念、表示、运算及运算律通
过类比推广到空间向量,重点突出类比的思想 方法.
二、教材目标的确定
1、教情、学情分析：高一《平面向量》和高二《空 间的直线与平面》这两部分内容是学习空间向量的前 提。而高二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维 活跃，并且乐于探索、敢于探究，在前面学习了空间 的线面关系后，空间想象能力有了大幅度的提高，所 以他们对于向量从平面向空间的推广不难接受。
2
B
⑶ AG 1 ( AB AC) 2
M C
D G
课堂练习
1.在空间四边形ABCD中，E, F分别是AD与 BC的中点，求证：EF 1 ( AB DC) 2
2.已知2x 3y 3a b 4c， 3x y 8a 5b c 把向量x, y用向量a,b, c表示.
3.在平行六面体ABCD ABCD中，设 AB a，AD b, AA c，E, F分别是AD, BD中点。 （1）用向量a, b, c表示DB, EF； （2）化简：AB BB BC CD 2DE
尝试提问 类比探索
感悟归纳 互动探讨
练习巩固 点拨讲解
拓展提升 反馈评价
1、自主回顾，夯实基础
方式：由学生自主回顾平面向量的有关知识．通过这些开放 式、参与式的交流活动，激发学生的温习旧知识的兴趣，尽快 熟悉平面向量的有关内容．
问题：知道的平面向量知识有哪些？ 意图：有效的学习应以学生已有的知识和能力为基础．而平 面向量是空间向量最直接的基础，学生学过但时隔一年基本都 已淡忘，所以温习旧知识是学习好空间向量的基础。
意图：（1）认识、归纳空间向量的学习方法；
（2）体验向量由二维向三维的转化；
（3）体会空间向量与立体几何的联系与区别．
6、课堂小结，布置作业 方式：学生自己小结所学知识。作业根据学生实际具体对待。 意图：归纳小结是培养学生概括能力和语言表达能力的重要环
节。采用让学生谈学习收获的方式对所学知识进行归纳总 结，这样不仅加深了对所学知识的认识，同时也在学习过 程中增强了学生的交流能力。。
五、设计反思
课堂教学中学生是学习的主体，教师是组织者、引导者。 本节课以教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心， 让学生主动进行观察、类比、猜测、验证、交流等活动，可以 使学生有效地掌握知识、提高能力，使体验性目标和结果性目 标都有所加强，从而较好地实现了教学目标。但整节课中学生 自主互动活动较多，时间把握难度较大，要求教师有较强的驾 驭课堂的能力。
联系：直线上的向量是平面向量的特殊情况，而空间向量则是 平面向量更普遍的存在形式；
意图：合理地提出有价值的问题，是当前教学中的薄弱环节． 让学生感受到“数学是自然的”。
3、感悟归纳,互动探讨
方式：学生自己联系实际生活，寻找实例，教师做适当引导.
活动：自己总结归纳空间向量的概念、表示方法、加减法运算
法则、数乘向量的积、运算律。
基本模型，解题是知识的深化和
对理解的提升．
5、拓展提升，反馈评价
方式：自主完成例2及三个课堂练习题，如果产生间四边形ABCD，连结AC,BD,设M ,
G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，
并标出化简结果的向量：
A
⑴ AB BC CD；
⑵ AB 1 (BD BC)；
空间向量及其运算
（第一课时）说课
一、教材内容的分析 二、教材目标的确定 三、教法与学法 四、教学过程的设计 五、设计反思
一、教材内容的分析
1、教材内容：对于第一课时来讲，是向量这一工具 刚刚被引入到空间中，所以对其概念的学习和对新体 系的建立、认识、融合 就显得尤为重要。本节课的 主要内容是空间向量的概念，平行六面体的概念，空 间向量的加减法和数乘运算及运算律。
4、练习巩固，点拨讲解 方式：学生自己寻找，讨论，验证，教师适度启发认识平行
六面体的概念与其中的空间向量；然后采用练习的方式 解决例1。。
情景：平行六面体。 目标：进一步认识和理解如下知识
（1）相等向量、相反向量、单位向量； （2）向量的加减运算；（3）加法运算律。
例1.已知平行六面体ABCD A' B 'C ' D（' 如图） 化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC '；⑷ 1 ( AB AD AA' )．
2
3
教师点拨：一般遵循的原则是
“内化面，面化棱，棱化基”。
意图：平行六面体是空间向量的
断发展、进化的，会用联系的观点看待事物．
三、教法与学法
教法分析： 启发式提问 类比式探索 互动式探讨 点拨式讲解 反馈式评价
学法指导： 自主探索 观察发现 类比猜想 合作交流
教学手段的运用： 借助多媒体，运用几何画板的演示和手中的笔进
行实物演示辅助教学。
四、教学过程的设计
教学流程设计
自主回顾 夯实基础
2、地位和作用： 向量的引入除了在平面几何、立体几何中产生较大的 影响外，对于中学教材的其它章节来讲，程度不同也 有影响，如它在三角函数、解析几何中应用，可以改 善其教材结构、优化解题方法；又如，向量在物理学 和力学中也有许多应用。对一些高考创新题也常围绕 向量和其他章节的知识交汇点命题。
3、教学重、难点 教学重点： 空间向量的加减与数乘运算及运算律； 教学难点：应用空间向量的运算及运算律解决立体
2、尝试提问，类比探索
教师引导学生提出质疑：难道向量只能是平面上的吗？ 问题：期望学生能提出如下问题：以前学过的向量都是平面是
的，是否应该有空间中的向量？直线上的向量？同时以此 引出空间向量。 活动：举出几个可看做“空间向量”的例子。
2、尝试提问，类比探索
素材：素材较多，如手中的一支笔；物体的受力分析；建筑物 中的“向量影子”．
2、教学目标： 知识目标：
（1）空间向量的概念，平行六面体的概念； （2）空间向量的加减与数乘运算及运算律；
能力目标：
（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们 的运算律；
（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几 何问题．
德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不
几何问题； 关键：把平面向量的概念、表示、运算及运算律通
过类比推广到空间向量,重点突出类比的思想 方法.
二、教材目标的确定
1、教情、学情分析：高一《平面向量》和高二《空 间的直线与平面》这两部分内容是学习空间向量的前 提。而高二年级学生正值身心发展的鼎盛时期，思维 活跃，并且乐于探索、敢于探究，在前面学习了空间 的线面关系后，空间想象能力有了大幅度的提高，所 以他们对于向量从平面向空间的推广不难接受。
2
B
⑶ AG 1 ( AB AC) 2
M C
D G
课堂练习
1.在空间四边形ABCD中，E, F分别是AD与 BC的中点，求证：EF 1 ( AB DC) 2
2.已知2x 3y 3a b 4c， 3x y 8a 5b c 把向量x, y用向量a,b, c表示.
3.在平行六面体ABCD ABCD中，设 AB a，AD b, AA c，E, F分别是AD, BD中点。 （1）用向量a, b, c表示DB, EF； （2）化简：AB BB BC CD 2DE
尝试提问 类比探索
感悟归纳 互动探讨
练习巩固 点拨讲解
拓展提升 反馈评价
1、自主回顾，夯实基础
方式：由学生自主回顾平面向量的有关知识．通过这些开放 式、参与式的交流活动，激发学生的温习旧知识的兴趣，尽快 熟悉平面向量的有关内容．
问题：知道的平面向量知识有哪些？ 意图：有效的学习应以学生已有的知识和能力为基础．而平 面向量是空间向量最直接的基础，学生学过但时隔一年基本都 已淡忘，所以温习旧知识是学习好空间向量的基础。
意图：（1）认识、归纳空间向量的学习方法；
（2）体验向量由二维向三维的转化；
（3）体会空间向量与立体几何的联系与区别．
6、课堂小结，布置作业 方式：学生自己小结所学知识。作业根据学生实际具体对待。 意图：归纳小结是培养学生概括能力和语言表达能力的重要环
节。采用让学生谈学习收获的方式对所学知识进行归纳总 结，这样不仅加深了对所学知识的认识，同时也在学习过 程中增强了学生的交流能力。。
五、设计反思
课堂教学中学生是学习的主体，教师是组织者、引导者。 本节课以教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心， 让学生主动进行观察、类比、猜测、验证、交流等活动，可以 使学生有效地掌握知识、提高能力，使体验性目标和结果性目 标都有所加强，从而较好地实现了教学目标。但整节课中学生 自主互动活动较多，时间把握难度较大，要求教师有较强的驾 驭课堂的能力。
联系：直线上的向量是平面向量的特殊情况，而空间向量则是 平面向量更普遍的存在形式；
意图：合理地提出有价值的问题，是当前教学中的薄弱环节． 让学生感受到“数学是自然的”。
3、感悟归纳,互动探讨
方式：学生自己联系实际生活，寻找实例，教师做适当引导.
活动：自己总结归纳空间向量的概念、表示方法、加减法运算
法则、数乘向量的积、运算律。
基本模型，解题是知识的深化和
对理解的提升．
5、拓展提升，反馈评价
方式：自主完成例2及三个课堂练习题，如果产生间四边形ABCD，连结AC,BD,设M ,
G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，
并标出化简结果的向量：
A
⑴ AB BC CD；
⑵ AB 1 (BD BC)；
空间向量及其运算
（第一课时）说课
一、教材内容的分析 二、教材目标的确定 三、教法与学法 四、教学过程的设计 五、设计反思
一、教材内容的分析
1、教材内容：对于第一课时来讲，是向量这一工具 刚刚被引入到空间中，所以对其概念的学习和对新体 系的建立、认识、融合 就显得尤为重要。本节课的 主要内容是空间向量的概念，平行六面体的概念，空 间向量的加减法和数乘运算及运算律。