数学第二册期终复习1(2014.6 (1)
高中教育数学必修第二册湘教版《专项培优① 章末复习课》教学课件
)
4
5
A．
B．
3
15
C．
8
答案：B
3
D．2
(2)已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若AP＝AB＋λAC (λ∈R)，
试求λ为何值时：
①点P在第一、三象限的角平分线上；
②点P在第三象限内．
考点二 平面向量的数量积及其应用
角度1 求数量积
1．平面向量的数量积有两种表示形式a·b＝|a||b|cos θ和a·b＝x1x2＋
1
2＝－2.
×5
3
3
(2)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝(
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
解析： 由题意，a·b＝|a|·|b|cos 60°＝1，
所以|2a－b|＝ 42 − 4 · + 2 ＝ 4＝2.
)
(3)设向量a与b的夹角为θ，且a＝(－2，1)，a＋2b＝(2，3)，则cos θ
5，BC＝3BD，则AD·BC＝(
)
2
2
A．1
B．
C．3
D．－
3
3
答案：D
解析：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，满足AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC，
∵BC＝3BD，
1
1
1
3
∴AD·BC＝(AB + BD)·BC＝ AB + 3 BC ·BC＝AB·BC + 3 BC 2 ＝|AB|·|BC|·cos (π－B)＋3|BC|2＝3×5× − 5 +
y1y2.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则利用a·b＝|a||b|cos θ，若
高中数学必修2复习资料
必修2数学复习资料第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图1、 三视图： 正视图：从前往后； 侧视图：从左往右； 俯视图：从上往下。
2、 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3、直观图：斜二测画法4、斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。
5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1、棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2、圆柱的表面积3、圆锥的表面积2r rl S ππ+=4、圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=5、球的表面积24R S π=（二）空间几何体的体积 1、柱体的体积 h S V ⨯=底2、锥体的体积 h S V ⨯=底313、台体的体积h S S S S V ⨯++=)31下下上上（4、球体的体积 334R V π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11、平面含义：平面是无限延展的2、平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母γβα、、等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3、三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为ααα⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈∈∈L L B L A B A 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，222r rl S ππ+= D CBAαC · B· A·LA· α使.,,ααα∈∈∈C B A公理2作用：确定一个平面的依据。
大学高等数学第二册复习资料
第六章 定积分的应用学习指导一、基本内容 （一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量x 与变化区间，再小区间[]dx x x +,。
求出部分量的近似值的积分元素()dx x f du =，从而求出所求量()⎰=ba dxx f u 。
（二）平面图形的面积1．由平面曲线()x f y =，直线a x =，b x =和0=y 所围图形的面积：()dxx f A b a⎰=。
2．由平面曲线()x f y 1=，()x f y 2=和直线a x =，b x =所转图形的面积：()()⎰-=b adxx f x f A 21。
3．由极坐标曲线()θγγ=， αθ=、βθ=转的图形的面积：()⎰=βαθθγd A 221。
4．由参数方程()t x x =，()t y y =给出的曲线和直线()()αx a x ==，()()βx b x ==，0=y 所围图形的面积：()()⎰⎰'==βαdtt x t y dx y SA b a。
（三）体积1．由曲线()x f y =和直线a x =，b x =，0=y 所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积：()⎰+=ba x dxx f V 2π。
2．由曲线()y x x =和直线c y =，d y =，0=x 所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体积：()⎰=dc y dyy x V 2π。
3．垂直于x 轴的平行截面面积为x 的函数()x A 的立体的体积：()⎰=ba dxx A V 。
（四）平面曲线的弧长1．直角坐标曲线()x f y =b x ≤≤0：()[]⎰'+=b adxx f L 21。
2．参数方程曲线()t x x =，()t y y =，βα≤≤t ：()[]()[]⎰'+'=βαdtx y t x L 22。
3．极坐标曲线()θγγ=，βθα≤≤：()()[]⎰'+=βαθθγθd r L 22。
（五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。
初二数学考试题(含答案)2014.6.12
54D3E21C B A中学2013－2014学年度第二学期学业水平检测初 二 数 学 试 题（考试时间：120分钟，满分120分，其中书写质量6分）在第14题后面的表格；15-24在试卷给出的本题位置作答。
一﹑选择题（每题3分，共24分） 1. 若m ＞－1，则下列各式中错误．．的是 A ．6m ＞－6 B ．－5m ＜－5 C ．m+1＞0 D ．1－m ＜2 2．如右图，下列能判定AB ∥CD 的条件有( )个.(1) ︒=∠+∠180BCD B (2)21∠=∠；(3) 43∠=∠；(4) 5∠=∠B . A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--+2321123x ,x x ＞的解集在数轴上表示正确的是5. 有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种四边形一定能进行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．若21x y =⎧⎨=⎩是方程3x 一k y =10的解，则k 的值是A ．一72 B ．4 C ．一4D ．167．小娜在做下面的数学作业时，因钢笔漏墨水，不小心 将部分字迹污损了。
作业过程如下（涂黑部分即污损部分）已知：如图，OP 平分∠AOB ，MN ∥OB 试说明：OM ＝NM 解：∵OP 平分∠AOB∴▄▄▄▄▄▄▄▄▄又∵MN ∥OB∴▄▄▄▄▄▄▄▄▄∴∠1＝∠3∴OM ＝NM小娜思考：污损部分应分别是以下四项中的两项：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠3＝∠4；④∠1＝∠4，那么她补出来的结果应是（） A ．①④ B ．②③ C ．①②D ．③④8．把x =1代入方程x －2y =4…①，那么方程①变成A ．关于y 的一元一次方程B ．关于x 的一元一次方程C ．关于y 的二元一次方程D ．关于x 的二元一次方程A ． C ．D ．二﹑填空题（每题3分，共18分）9．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝300， ∠2＝500，则∠3等于 度．10．若1032=++z y x ,15234=++z y x ，则x ＋y ＋z 的值是 ．11．若方程组⎩⎨⎧=-=+a y x yx 224中的x 是y 的2倍，则a 等于 ．12．“a 的3倍与4的差不大于1”列出不等式是。
2014年考研数学二真题与解析
2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y ux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．所以应该选（A ）．7．行列式dc dc ba b a 0000000等于 （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c db a a dc d c ba b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ． 【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021023101==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dx x x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t xx dt t e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ， 即32313133+-=+x x y y ．令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDD D dr r r d dxd y x dxdyy x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xadt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa =-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈ 也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列)()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；..对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00200100 相似．。
数学 人教A版 选择性必修第二册第四章(数列) 章末复习课
选①时，an＋1＝2(n＋1)＋1＝2n＋3.bn＝
1 an＋
＝ an＋1
1 2n＋1＋
2n＋3
＝
2n＋3－ 2
2n＋1＝－12(
2n＋1－
2n＋3)，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…
＋
bn
＝
－
1 2
×[(
3－
5)＋(
5－
7)＋(
7－
9)＋…＋(
2n＋1 －
2n＋3)]＝
2n＋3－ 2
3 .
选②时，bn＝an＋2n＝(2n＋1)＋2n，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(3＋
2n＋1 由条件可得 an＋1＝ n an. 将n＝1代入，得a2＝4a1＝4. 将n＝2代入，得a3＝3a2＝12. 所以b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得na＋n＋11＝2nan， 即bn＋1＝2bn，又b1＝1， 所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.
5＋7＋…＋2n＋1)＋(21＋22＋23＋…＋2n)＝n2n2＋4＋2×1－1－22n ＝n2 ＋2n＋2n＋1－2.
选③时，bn＝an·2n＝(2n＋1)·2n，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝3×21＋
5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)·2n，则2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n
＋ 1 ) ·2 n ＋ 1 ， 两 式 作 差 得 － T n ＝ 3 × 2 1 ＋ 2 × 2 2 ＋ 2 × 2 3 ＋ … ＋ 2 × 2 n －
(2n＋1)·2n＋1＝6＋
8×1－2n－1 1－2
－(2n＋1)·2n＋1＝(－2n＋1)·2n＋1－2，
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14年高中第二册数学期末考试卷答案
只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。
由小编为您提供的高中第二册数学期末考试卷答案，祝您学习愉快!
考试时间:120分钟总分：150分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
试题卷1至4页。
答题卷5到8页。
考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半
径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知直线、和平面，则的一个必要不充分的条件是点击下载：高中第二册数学期末考试卷答案
聪明出于勤奋，天才在于积累。
我们要振作精神，下苦功学习。
查字典数学网编辑了高中第二册数学期末考试卷答案，以备借鉴。
人教版数学必修第二册综合复习：复数课件
的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭
除法
复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
考点微练
1+i 3
1．(2020届贵州铜仁第一中学高三月考)
1−i 2
A．1＋i
B．－1＋i
C．1－i
D．－1－i
＝( D )
2．(2020届江西南昌第十中学高三月考)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，
C．a＝－1，b＝－1
D．a＝1，b＝－1
二、复数的几何意义
1. 复数z＝a＋bi
易错提醒
复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为
(a，b)，而不是(a，bi).
2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量
特别提醒
实轴上的点都表示实数；除原点外，
虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内
1·
2
=
|1 |
，|zn|＝|z|n.
|2 |
考点突破
考点一
复数的有关概念(高考热度：★★★)
[例1] (2019江苏卷，2)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，
其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
2
[例2] (2019浙江卷，11)复数z＝
2
则|z|＝________.
a＝c且b＝d
3.共轭复数
a＝c，b＝－d
a＋bi与c＋di共轭⇔_____________(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模
向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，
成人高考(专升本)高等数学2总复习资料汇总.汇总
2021年成人高考〔专升本〕高等数学二〔第一章样本，完整版共14页〕严格依据大纲编写：笔记目录第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念〔对极限定义等形式的描述不作要求〕.会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件.2.了解极限的有关性质，掌握极限的四那么运算法那么.3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系.会进展无穷小量阶的比拟〔高阶、低阶、同阶和等价〕.会运用等价无穷小量代换求极限.4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法.第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与连续的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数〔含分段函数〕在一点处连续性的方法.2.会求函数的连续点.3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题.4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限.第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数.2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程.3.熟练掌握导数的根本公式、四那么运算法那么以及复合函数的求导方法.4.掌握隐函数的求导法与对数求导法.会求分段函数的导数.5.了解高阶导数的概念.会求简单函数的高阶导数.6.理解微分的概念，掌握微分法那么，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分.第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法那么求“0·∞〞、“∞-∞〞型未定式的极限的方法.2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法.会利用函数的单调性证明简单的不等式.3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题.4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点.5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质.2.熟练掌握不定积分的根本公式.3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法〔仅限三角代换与简单的根式代换〕.4.熟练掌握不定积分的分部积分法.5.掌握简单有理函数不定积分的计算.第二节定积分及其应用[复习考试要求]1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件2.掌握定积分的根本性质3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法.4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式.5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法.6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法.7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积.第四章多元函数微分学[复习考试要求]1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域.了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念.3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法.掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法.4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法.5.会求二元函数的无条件极值和条件极值.6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题.第五章概率论初步[复习考试要求]1.了解随机现象、随机试验的根本特点；理解根本领件、样本空间、随机事件的概念.2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系.3.理解事件之间并〔和〕、交〔积〕、差运算的意义，掌握其运算规律.4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的根本性质及事件概率的计算.5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性.6.了解随机变量的概念及其分布函数.7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法.8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差.第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念〔对极限定义等形式的描述不作要求〕.会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件.2.了解极限的有关性质，掌握极限的四那么运算法那么.3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系.会进展无穷小量阶的比拟〔高阶、低阶、同阶和等价〕.会运用等价无穷小量代换求极限.4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法.[主要知识内容]〔一〕数列的极限1.数列定义按一定顺序排列的无穷多个数称为无穷数列，简称数列，记作{x n}，数列中每一个数称为数列的项，第n项x n为数列的一般项或通项，例如〔1〕1，3，5，…，〔2n-1〕，…〔等差数列〕〔2〕〔等比数列〕〔3〕〔递增数列〕〔4〕1，0，1，0，…，…〔震荡数列〕都是数列.它们的一般项分别为〔2n-1〕,.对于每一个正整数n，都有一个x n与之对应，所以说数列{x n}可看作自变量n的函数x n=f〔n〕，它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列.在几何上，数列{x n}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...x n,….2.数列的极限定义对于数列{x n}，如果当n→∞时，x n无限地趋于一个确定的常数A，那么称当n趋于无穷大时，数列{x n}以常数A为极限，或称数列收敛于A，记作比方：无限的趋向0，无限的趋向1否那么，对于数列{x n}，如果当n→∞时，x n不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{x n}没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的.比方：1，3，5，…，〔2n-1〕，…1，0，1，0，…数列极限的几何意义：将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，假设数列{x n}以A为极限，就表示当n趋于无穷大时，点x n可以无限靠近点A，即点x n与点A之间的距离|x n-A|趋于0.比方：无限的趋向0无限的趋向1〔二〕数列极限的性质与运算法那么1.数列极限的性质定理1.1〔惟一性〕假设数列{x n}收敛，那么其极限值必定惟一.定理1.2〔有界性〕假设数列{x n}收敛，那么它必定有界.注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛.比方：1，0，1，0，…有界：0，12.数列极限的存在准那么定理1.3〔两面夹准那么〕假设数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件：〔1〕，〔2〕，那么定理1.4假设数列{x n}单调有界，那么它必有极限.3.数列极限的四那么运算定理.定理1.5〔1〕〔2〕〔3〕当时，〔三〕函数极限的概念1.当x→x0时函数f〔x〕的极限〔1〕当x→x0时f〔x〕的极限定义对于函数y=f〔x〕，如果当x无限地趋于x0时，函数f〔x〕无限地趋于一个常数A，那么称当x→x0时，函数f〔x〕的极限是A，记作或f〔x〕→A〔当x→x0时〕例y=f〔x〕=2x+1x→1,f〔x〕→?x<1x→1x>1x→1〔2〕左极限当x→x0时f〔x〕的左极限定义对于函数y=f〔x〕，如果当x从x0的左边无限地趋于x0时，函数f〔x〕无限地趋于一个常数A，那么称当x→x0时，函数f〔x〕的左极限是A，记作或f〔x0-0〕=A〔3〕右极限当x→x0时，f〔x〕的右极限定义对于函数y=f〔x〕，如果当x从x0的右边无限地趋于x0时，函数f〔x〕无限地趋于一个常数A，那么称当x→x0时，函数f〔x〕的右极限是A，记作或f〔x0+0〕=A例子：分段函数，求，解：当x从0的左边无限地趋于0时f〔x〕无限地趋于一个常数1.我们称当x→0时，f〔x〕的左极限是1，即有当x从0的右边无限地趋于0时，f〔x〕无限地趋于一个常数-1.我们称当x→0时，f〔x〕的右极限是-1，即有显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：定理1.6当x→x0时，函数f〔x〕的极限等于A的必要充分条件是反之，如果左、右极限都等于A，那么必有.x→1时f(x)→?x≠1x→1f(x)→2对于函数，当x→1时，f〔x〕的左极限是2，右极限也是2.2.当x→∞时，函数f〔x〕的极限〔1〕当x→∞时，函数f〔x〕的极限y=f(x)x→∞f(x)→?y=f(x)=1+x→∞f(x)=1+→1定义对于函数y=f〔x〕，如果当x→∞时，f〔x〕无限地趋于一个常数A，那么称当x→∞时，函数f〔x〕的极限是A，记作或f〔x〕→A〔当x→∞时〕〔2〕当x→+∞时，函数f〔x〕的极限定义对于函数y=f〔x〕，如果当x→+∞时，f〔x〕无限地趋于一个常数A，那么称当x→+∞时，函数f〔x〕的极限是A，记作这个定义与数列极限的定义根本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，那么要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数.y=f(x)x→+∞f(x)x→？x→+∞，f(x)=2+→2例：函数f〔x〕=2+e-x，当x→+∞时，f〔x〕→？解：f〔x〕=2+e-x=2+，x→+∞，f〔x〕=2+→2所以〔3〕当x→-∞时，函数f〔x〕的极限定义对于函数y=f〔x〕，如果当x→-∞时，f〔x〕无限地趋于一个常数A，那么称当x→-∞时，f〔x〕的极限是A，记作x→-∞f(x)→？那么f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞f(x)=2+→2例：函数，当x→-∞时，f〔x〕→？解：当x→-∞时，-x→+∞→2，即有由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f〔x〕极限的定义，不难看出：x→∞时f〔x〕的极限是A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f〔x〕有一样的极限A.例如函数，当x→-∞时，f〔x〕无限地趋于常数1，当x→+∞时，f〔x〕也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时的极限是1，记作其几何意义如图3所示.f(x)=1+y=arctanx不存在.但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x→-∞时，f〔x〕的极限存在，当x→+∞时，f〔x〕的极限也存在，但这两个极限不一样，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在. x)=1+y=arctanx不存在.但是对函数y=arctanx来讲，因为有即虽然当x→-∞时，f〔x〕的极限存在，当x→+∞时，f〔x〕的极限也存在，但这两个极限不一样，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在. 〔四〕函数极限的定理定理1.7〔惟一性定理〕如果存在，那么极限值必定惟一.定理1.8〔两面夹定理〕设函数在点的某个邻域内〔可除外〕满足条件：〔1〕，〔2〕那么有.注意：上述定理1.7及定理1.8对也成立.下面我们给出函数极限的四那么运算定理定理1.9如果那么〔1〕〔2〕〔3〕当时，时，上述运算法那么可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：〔1〕〔2〕〔3〕用极限的运算法那么求极限时，必须注意：这些法那么要求每个参与运算的函数的极限存在，且求商的极限时，还要求分母的极限不能为零.另外，上述极限的运算法那么对于的情形也都成立.〔五〕无穷小量和无穷大量1.无穷小量〔简称无穷小〕定义对于函数，如果自变量x在某个变化过程中，函数的极限为零，那么称在该变化过程中，为无穷小量，一般记作常用希腊字母，…来表示无穷小量.定理1.10函数以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和.注意：〔1〕无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势无限趋于为零.〔2〕要把无穷小量与很小的数严格区分开，一个很小的数，无论它多么小也不是无穷小量.〔3〕一个变量是否为无穷小量是与自变量的变化趋势严密相关的.在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势，因此结论也不尽一样.例如：振荡型发散〔4〕越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越变越小，但它不是无穷小量.〔5〕无穷小量不是一个常数，但数“0〞是无穷小量中惟一的一个数，这是因为.2.无穷大量〔简称无穷大〕定义；如果当自变量〔或∞〕时，的绝对值可以变得充分大〔也即无限地增大〕，那么称在该变化过程中，为无穷大量.记作.注意：无穷大〔∞〕不是一个数值，“∞〞是一个记号，绝不能写成或.3.无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量之间有一种简单的关系，见以下的定理.定理1.11在同一变化过程中，如果为无穷大量，那么为无穷小量；反之，如果为无穷小量，且，那么为无穷大量.当无穷大无穷小当为无穷小无穷大4.无穷小量的根本性质性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质2有界函数〔变量〕与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量.性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量.性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量.5.无穷小量的比拟定义设是同一变化过程中的无穷小量，即.〔1〕如果那么称是比拟高阶的无穷小量，记作；〔2〕如果那么称与为同阶的无穷小量；〔3〕如果那么称与为等价无穷小量，记为；〔4〕如果那么称是比拟低价的无穷小量.当等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有且存在，那么.均为无穷小又有这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用.但是必须注意：等价无穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用.常用的等价无穷小量代换有：当时，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;〔六〕两个重要极限1.重要极限Ⅰ重要极限Ⅰ是指下面的求极限公式令这个公式很重要，应用它可以计算三角函数的型的极限问题.其构造式为：2.重要极限Ⅱ重要极限Ⅱ是指下面的公式：其中e是个常数〔银行家常数〕，叫自然对数的底，它的值为e=2.718281828495045……其构造式为：重要极限Ⅰ是属于型的未定型式，重要极限Ⅱ是属于“〞型的未定式时，这两个重要极限在极限计算中起很重要的作用，熟练掌握它们是非常必要的. 〔七〕求极限的方法：1.利用极限的四那么运算法那么求极限；2.利用两个重要极限求极限；3.利用无穷小量的性质求极限；4.利用函数的连续性求极限；5.利用洛必达法那么求未定式的极限；6.利用等价无穷小代换定理求极限.根本极限公式〔2〕〔3〕〔4〕例1.无穷小量的有关概念〔1〕[9601]以下变量在给定变化过程中为无穷小量的是A. B.C. D. [答]CA.发散D.〔2〕[0202]当时，与x比拟是A.高阶的无穷小量B.等价的无穷小量C.非等价的同阶无穷小量D.低阶的无穷小量[答]B解:当,与x是极限的运算：[0611]解：[答案]-1例2.型因式分解约分求极限〔1〕[0208] [答]解:〔2〕[0621]计算[答]解:例3.型有理化约分求极限〔1〕[0316]计算 [答]解:〔2〕[9516] [答]解:例4.当时求型的极限 [答]〔1〕[0308]一般地，有例5.用重要极限Ⅰ求极限〔1〕[9603]以下极限中，成立的是A. B.C. D. [答]B〔2〕[0006] [答]解:例6.用重要极限Ⅱ求极限〔1〕[0416]计算 [答][解析]解一：令解二：[0306][0601]〔2〕[0118]计算 [答]解:例7.用函数的连续性求极限[0407] [答]0解:，例8.用等价无穷小代换定理求极限[0317] [答]0解:当例9.求分段函数在分段点处的极限〔1〕[0307]设那么在的左极限[答]1[解析]〔2〕[0406]设,那么 [答]1 [解析]例10.求极限的反问题〔1〕那么常数[解析]解法一：，即，得. 解法二：令，得，解得.解法三：〔洛必达法那么〕即，得.〔2〕假设求a,b的值.[解析]型未定式.当时，.令于是，得.即，所以.[0402][0017]，那么k=_____.〔答:ln2〕[解析]前面我们讲的内容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法那么；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比拟.第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与连续的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数〔含分段函数〕在一点处连续性的方法.2.会求函数的连续点.3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题.4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限.[主要知识内容]〔一〕函数连续的概念1.函数在点x0处连续定义1设函数y=f〔x〕在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x 〔初值为x0〕趋近于0时，相应的函数的改变量△y也趋近于0，即那么称函数y=f〔x〕在点x0处连续.函数y=f〔x〕在点x0连续也可作如下定义：定义2设函数y=f〔x〕在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数y=f 〔x〕的极限值存在，且等于x0处的函数值f〔x0〕，即定义3设函数y=f〔x〕，如果，那么称函数f〔x〕在点x0处左连续；如果，那么称函数f〔x〕在点x0处右连续.由上述定义2可知如果函数y=f〔x〕在点x0处连续，那么f〔x〕在点x0处左连续也右连续. 2.函数在区间[a，b]上连续定义如果函数f〔x〕在闭区间[a，b]上的每一点X处都连续，那么称f〔x〕在闭区间[a，b]上连续，并称f〔x〕为[a，b]上的连续函数.这里，f〔x〕在左端点a连续，是指满足关系：，在右端点b连续，是指满足关系：，即f〔x〕在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续.可以证明：初等函数在其定义的区间内都连续.3.函数的连续点定义如果函数f〔x〕在点x0处不连续那么称点x0为f〔x〕一个连续点.由函数在某点连续的定义可知，假设f〔x〕在点x0处有以下三种情况之一：〔1〕在点x0处，f〔x〕没有定义；〔2〕在点x0处，f〔x〕的极限不存在；〔3〕虽然在点x0处f〔x〕有定义，且存在，但，那么点x0是f〔x〕一个连续点.，那么f〔x〕在A.x=0,x=1处都连续B.x=0,x=1处都连续C.x=0处连续，x=1处连续D.x=0处连续，x=1处连续解：x=0处，f〔0〕=0∵f〔0-0〕≠f〔0+0〕x=0为f〔x〕的连续点x=1处，f〔1〕=1f〔1-0〕=f〔1+0〕=f〔1〕∴f〔x〕在x=1处连续［答案］C[9703]设，在x=0处连续，那么k等于A.0B.C.D.2分析：f〔0〕=k［答案］B例3[0209]设在x=0处连续，那么a=解：f〔0〕=e0=1∵f〔0〕=f〔0-0〕=f〔0+0〕∴a=1 ［答案］1〔二〕函数在一点处连续的性质由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法那么，可以得到以下连续函数的性质.定理1.12〔四那么运算〕设函数f〔x〕，g〔x〕在x0处均连续，那么〔1〕f〔x〕±g〔x〕在x0处连续〔2〕f〔x〕·g〔x〕在x0处连续〔3〕假设g〔x0〕≠0，那么在x0处连续.定理1.13〔复合函数的连续性〕设函数u=g〔x〕在x=x0处连续，y=f〔u〕在u0=g 〔x0〕处连续，那么复合函数y=f[g〔x〕]在x=x0处连续.在求复合函数的极限时，如果u=g〔x〕，在x0处极限存在，又y=f〔u〕在对应的处连续，那么极限符号可以与函数符号交换.即定理1.14〔反函数的连续性〕设函数y=f〔x〕在某区间上连续，且严格单调增加〔或严格单调减少〕，那么它的反函数x=f-1〔y〕也在对应区间上连续，且严格单调增加〔或严格单调减少〕.〔三〕闭区间上连续函数的性质在闭区间[a，b]上连续的函数f〔x〕，有以下几个根本性质，这些性质以后都要用到.定理1.15〔有界性定理〕如果函数f〔x〕在闭区间[a，b]上连续，那么f〔x〕必在[a，b]上有界.定理1.16〔最大值和最小值定理〕如果函数f〔x〕在闭区间[a，b]上连续，那么在这个区间上一定存在最大值和最小值.定理1.17〔介值定理〕如果函数f〔x〕在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，那么对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得推论〔零点定理〕如果函数f〔x〕在闭区间[a，b]上连续，且f〔a〕与f〔b〕异号，那么在[a，b]内至少存在一个点ξ，使得f〔ξ〕=0〔四〕初等函数的连续性由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四那么运算或复合运算而得的函数在其定义的区间内是连续函数.又由于根本初等函数在其定义区间内是连续的，可以得到以下重要结论.定理1.18初等函数在其定义的区间内连续.利用初等函数连续性的结论可知：如果f〔x〕是初等函数，且x0是定义区间内的点，那么f〔x〕在x0处连续也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可.［0407］[0611]例1.证明三次代数方程x3-5x+1=0在区间〔0,1〕内至少有一个实根.证：设f〔x〕=x3-5x+1f〔x〕在［0，1］上连续f〔0〕=1 f〔1〕=-3由零点定理可知，至少存在一点ξ∈〔0，1〕使得f〔ξ〕=0，ξ3-5ξ+1=0即方程在〔0，1〕内至少有一个实根.本章小结函数、极限与连续是微积分中最根本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最根本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的根底.这一章的内容在考试中约占15%，约为22分左右.现将本章的主要内容总结归纳如下：一、概念局部重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念.极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数.函数在一点连续性的三个根本要素：〔1〕f〔x〕在点x0有定义.〔2〕存在.〔3〕.常用的是f〔x0-0〕=f〔x0+0〕=f〔x0〕.二、运算局部重点：求极限，函数的点连续性的判定.1.求函数极限的常用方法主要有：〔1〕利用极限的四那么运算法那么求极限；对于“〞型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法.〔2〕利用两个重要极限求极限；〔3〕利用无穷小量的性质求极限；〔4〕利用函数的连续性求极限；假设f〔x〕在x0处连续，那么.〔5〕利用等价无穷小代换定理求极限；〔6〕会求分段函数在分段点处的极限；〔7〕利用洛必达法那么求未定式的极限.2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性.。
2014年数学二真题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ （ ）(A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bcd c d= （ ）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a dbc -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. (11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y ∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,1()(()),n n f x f f x -=，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2xx -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(C)(D)【答案】C1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x →=ξ （ ）(A)1 (B)23(C)12(D)13【答案】D【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数 则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7) 行列式0000000ab a bcd c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. 【答案】1 【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数则()()[]'212,0fx x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x 的周期为4，()()711f f ∴=-=(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz =__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)limlim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.【解析】 由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'><所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0. (17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=⎰⎰12D D I dxdy ∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰π221211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ 34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x xz z z e y e x y ∂∂=+∂∂，代入得， ()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0uag t dt u a ≤≤-⎰()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞. 【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x xf x f x f x f x x x x nx====++++ 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰ 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭,(I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTT e e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ 2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似.【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()12001B n ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .。
数学数列期末复习题(2014.6)
数列单元测试题一、 选择题1．等差数列前10项和为100，前100项和为10。
则前110项的和为( )A ．-90B ．90C ．-110D ．102．两个等差数列，它们的前n 项和之比为1235-+n n ，则这两个数列的第9项之比是( ) A ．35 B ．58 C ．38 D ．47 3．若数列{}n a 中，n a =43-3n ，则n S 最大值n =( )A ．13B ．14C ．15D ．14或154．一个项数为偶数的等差数列，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30。
若最后一项超过第一项10.5，则该数列的项数为( )A ．18B ．12C ．10D ．85．等差数列{}n a 的前m 项的和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是( )A ．130B ．170C ．210D ．2606．等差数列{}n a 中，01≠a ，10S =45S ，若有k a =91a ，则k =( )A ．2B ．3C ．4D ．57．等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．等比数列{}n a 中，9696==a a ，，则3a 等于( )A ．3B ．23C ．916 D ．4 9．等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么d 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．2±10．设由正数组成的等比数列，公比q =2，且3030212=a a a ……·，则30963a a a a ……··等于( ) A ．102 B ．202 C ．162 D ．152二、填空题1．等差数列{}n a 中5S =25，45S =405。
则50S =______________。
2．等差数列5，8，11，……与等差数列3，8，13，……都有100项，那么这两个数列相同的项共有______________项。
2014考研数学二真题及参考答案
2014考研数学二真题及参考答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥(B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x →=ξ（ ） (A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（ ）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000ab a bc d c d= （ ）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a d b c -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组 123,,ααα线性无关的（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. (19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明：(I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,1()(()),n n f x f f x -=，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞. (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且 2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 参考答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2x x -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =.故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥(B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥.故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy t dx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ（ ）(A)1(B)23(C)12(D)13【答案】D 【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 22222200011()arctan 11limlimlim lim ()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20u x y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（ ）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数 则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7)行列式0000000ab a bc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc -(D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π 【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________. 【答案】1 【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数则()()[]'212,0fx x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x 的周期为4，()()711f f ∴=-=(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________. 【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====.(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.【解析】 由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'>< 所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=12D D I dxdy∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰221211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ 34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. 【解析】由()cos ,x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂ 由 ()22222+4cos x xz z z e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xa g t dt x a x ab ≤≤-∈⎰, （II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰. 【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0u ag t dt u a ≤≤-⎰ ()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x f x f x f x f x x x x nx====++++ 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰ 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数.又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdx x xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()12001B n ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵0=0n ⎛⎫ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .。
高二文科数学期末测试模拟题一(2014.6)参考答案
高二文科数学期末测试模拟题一（2014.6）参考答案1．复数基本运算 复数24(1i z i i+=-为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ） A ．（3，3） B ．（一1，3） C （3，一1） D ．（2，4）【答案】B2．集合运算 若集合{{}2|,|2,M x y N y y x x R ====-∈,则M N = （ ）A.[0,)+∞B.[2,)-+∞C.∅D.[2,0)-【答案】A3． 命题真假判断 下列命题中，真命题是（ ）A ．""a b ≤是""a c b c +≤+的充分不必要条件B ．“已知,x y R ∈，且6x y +≠，则2x ≠或6y ≠”是真命题C ．命题“,20x x R ∀∈>”的否定是“,20x x R ∃∈<”D ．“若210x -=，则1x =或1x =-”的否命题为“210x -≠，则1x ≠或1x ≠-”【答案】B4．充分必要条件 “命题p q ∧为真命题”是“命题p q ∨为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A5．导数概念 若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ） A ．3- B ．6- C ．9- D ．12- 【答案】D6．函数应用问题 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，如果使得每天所赚的利润最大，那么他将销售价每件定为（ ）A ．11元B ．12元C ．13元D ．14元【答案】D7． 推理问题 “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于( )A ．演绎推理B ．类比推理C ．合情推理D ．归纳推理【答案】A8．常见函数性质 已知定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （x ﹣4）=﹣f （x ），且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A ．f （﹣25）＜f （11）＜f （80）B ．f （80）＜f （11）＜f （﹣25）C ．f （11）＜f （80）＜f （﹣25）D ．f （﹣25）＜f （80）＜f （11）【答案】D9．比较大小 已知21(1)log 222a x a xb ac ∈===，，，，，则（ ） A.a b c << B.c a b << C.b a c << D.b c a <<【答案】C10．函数图象变换 函数f （x ）=﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A11．函数性质综合 设函数f(x)＝22,0,0x x bx c x ->⎧⎨++≤⎩，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)【答案】C12．函数最值问题 已知函数f(x)＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥32 B ．m>32 C ．m≤32 D ．m<32 【答案】A13．复数计算已 知复数12312z bi z i =-=-，，若12z z 是实数，则实数b 的值为 ( ) A ．0 B ．32-C ．6D ．6- 【答案】C14．归纳猜想 观察下列各式：2233441,3,4,7,a b a b a b a b +=+=+=+=5511......a b +=则1010a b +=___________.【答案】12315．函数性质应用 ①设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+，若()3f a =， 则实数a 的值为【答案】1±②已知y ＝f(x)＋x 2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.【答案】－116． 函数零点问题 已知函数⎩⎨⎧>≤=0,0,0)(x e x x f x ，则使函数m x x f x g -+=)()(有零点的实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,0[ B.)1,(-∞ C ．),1(]0,(+∞⋃-∞ D ．),2(]1,(+∞⋃-∞【答案】C17．函数最值问题（应用背景）若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．18．导数与函数的综合 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示.下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4；②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点.其中正确命题的序号是 .【答案】①②19．集合运算问题 已知集合107x A x x ⎧-⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22220B x x x a a =---< （1）当4a =时，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,6A B =，（2）(,7][5,)-∞-⋃+∞. 20．函数性质证明①()22x x f x -=-（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断并证明的单调性（用定义法）②已知函数()22x x f x a -=+⋅()a R ∈．（1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 在(,2]-∞上为减函数，求a 的取值范围．【答案】（1）当1a =时，()f x 是奇函数；当1a =-时，()f x 是偶函数；当1a ≠±时，()f x 是非奇非偶函数，（2）4a ≥.21．利用导数研究函数性质 已知函数)(ln 212)(R a x a xa x x f ∈---=． （1）若函数)(x f 在2=x 时取得极值，求实数a 的值；（2）若0)(≥x f 对任意),1[+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）23=a ；（2）1≤a . 22．函数性质的综合问题已知函数1()ln 1f x a x x=+-在1x =处取极值． （1）求a 的值； （2）求()f x 在21[,]e e上的最大值和最小值． 【答案】（1）1a =；（2）()()()min 10f x f ==；()()22max 1()1f x f e e ==+.。
数学人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用单元复习
规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
(1)|λa|＝_________；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向______；当λ＜0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝____
λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝_________
C
训练1 (1)(多选)下列命题中正确的有( )A.平行向量就是共线向量B.相反向量就是方向相反的向量C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞bD.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件解析 由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任意两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量一定平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D正确.
大小
方向
长度
长度为0
1个单位
相同
相反
平行
相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相同
相等
相反
2.向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝________(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________
b＋a
a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算
a－b＝a＋(－b)
平面向量基本定理及坐标表示
1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2014年考研数学二真题及解析
x
a
b
g (t ) dt x a, x [ a, b] ,
a
a
a
a g (t ) dt f ( x) d x b f ( x) g( x)dx . x , x 0,1 ，定义函数列 f1 ( x ) f ( x ), f 2 ( x ) f ( f1 ( x )), , 1 x
4
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学二
当 x 0 时， (1 cos x) ~
1
x 2
2 1
是比 x 的高阶无穷小，所以
2
1 0 ，即 2 .
故选 B (2) 下列曲线中有渐近线的是 (A) y x sin x (C) y x sin 【答案】C (B) y x sin x (D) y x sin
d2y dx 2
dy ' t 1 dx y ''
2 t2 t 1 2t
t 1
1
k
1 y
3 '2 2
1
1 q
3 2
, R
1 10 10 k
故选 C (5) 设函数 f ( x ) arctan x ， 若 f ( x ) xf ( ) ， 则 lim (A) 1 【答案】D 【解析】因为 (B)
1
)
(A) (2, )
(B) (1, 2)
高数二下学期复习课
(1) 曲面 S 上任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
两个基本问题 :
F(x,y,z)0
z
S
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
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13
二次曲面
三元二次方程
四、空间曲线在坐标面上的投影
设消空去间z 得曲投线影C柱的面一H 般(方x,程y)为0 GF,((xx,,
y,z) y,z)
0 0
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
y
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x
19
C
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
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定义1 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lim f(x0
x 0
x, y0)f(x x
0
, y0)
存在, 则称此极限为函数 z f(x ,y )在 点 (x 0 ,y 0 )对 x
的偏导数，记为
z x
(x0
,
y0
);
f x
(x0,
A 2 x B 2 y C 2 z D E xy y Fxzx G H x I y z J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面.
其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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高中数学选择性必修第二册《数列知识点复习讲义》(精心整理、史上最全)
数列知识点复习讲义（含答案）一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
4、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．5、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n n n n a a a a 考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-． 通项公式特点：1()n a dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 （1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。
人教A版高中数学必修二课件：章末复习1(共29张PPT)
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A版 ·数学 ·必修2
3学科思想培优
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A版 ·数学 ·必修2
一、空间几何体的结构特征 1．空间几何体的结构特征是立体几何图形认识的基础， 理解时要从其几何体的本质去把握，多面体中常见的棱柱、 棱锥和棱台既有必然的联系，也有本质的区别． 2．旋转体是由一个平面封闭图形绕一条轴旋转形成的， 一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形 旋转形成的，从而可以掌握旋转体中各元素之间的关系，也 就掌握了它们各自的性质．
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例 1 给出下列四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的 连线是圆柱的母线； ②棱柱的上下底面全等； ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的 几何体都是圆锥； ④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等． 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
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例 3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 为( )
A.13＋2π 7π
C. 3
16
13π B. 6
5π D. 2
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解析 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆 锥组合而成的几何体，如图所示，其体积为 π×12×2＋12×13 π×12×1＝136π.
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四、立体几何中的几种解题策略 立体几何是高中数学中重要的模块之一，解决立体几何 问题需要一定的空间想象能力和逻辑思维能力，这就增加了 立体几何的学习难度，但是如果对一些不易解决的问题采用 一定的策略，也可以起到化难为易的良好效果，现举几例． 1．降维：在线、面、体几个元素中，体是最复杂的， 而线是最简单的．如果能将几何体问题转化为平面问题，或 者将平面问题转化为直线问题去解决，便可达到化难为易的 目的．
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数学第二册期终复习1
班级姓名
一、填空。
1、在计数器上，从右边起，第二位是（）位，第三位是（）位。
2、7个十和5个一合起来是( )。
10个十是( )。
4个一和5个十合起来是（）。
38里面有( )个一和( )个十。
3、个位是0的两位数，最小是（），最大是（）。
十位是7的两位数，最小是（），最大是（）。
比60多，比40少的整十数是（）。
比20多，比30少，个位上的数与十位上的数相同，这个数是（）。
比50少，比40多，这个数最大是（），最小是（）。
比70大又比75小的数有（）。
4、比39大1的数是( )，小l的数是( )。
5、4个十和9个一合起来是（），再添1个一是（）个十。
6、
7、在17、36、9、5、11、98、43和51中圈出所有单数。
再把这些单数从大到小排出来。
8、50比87少（），34再添（）就和40同样多。
9、写出3个个位上是7的数。
、、
10、从1、0、7、8四个数中选出两个数组成一个两位数，这个两位数最大是（），最小是（）。
11、与89相邻的两个数是（）和（）。
12、最大的一位数和最小的两位数相差（）。
13
14、7个十是（），再添上（）个十是一百。
个位上是8，十位上是7的数是（）。
40比（）大1，比（）小1。
15、小红看一本书，第一天看了8页，第二天看了10页，第三天要从第（）页看起。
16、一个两位数，个位和十位上的数相加是9，这个两位数最大是（），最小是（）。
17、乐乐和欢欢参加拍球比赛，乐乐拍了36下，欢欢比乐乐拍得少，两人最多一共拍（）下，两人最少一共拍（）下。
18、小明有16张画片，小东有6张，小明要给小东（）张，两人的画片一样多。
19、40路公交车上原来有35人，到东山站下了17人，又上了24人，车上现在有（）
人，现在比原来多了（）人。
二、在合适的答案下面画“√”。
1、2、
3、4、
5、红花的数量比80朵少一些。
（90朵78朵82朵）
6、与60最接近的数是（100 25 70 55）
7、李爷爷的岁数比60大，比65小，是奇数，李爷爷可能多少岁？
数学第二册期终复习2
1
2
3
4、 数一数，填一填。
（
1
比□多（ ）个，○比△少（ ）个； （2再添（ ）个就和△的个数同样多。
5、在方格纸上画一个长方形、正方形和一个三角形。
12枝18把 )辆15件
6、在合适的答案下面画“√”。
数学第二册期终复习3
一、填空：
1、3个十是( )，( )个十是100。
4个十和5个一合起来是( )。
6个一和5个十合起来是( )。
69是( )位数，它里有( )个十和( )个一。
2、3前面一个数是( )，后面一个数是( )。
3、最大的两位数是( )，最大的一位数是( )，它们相差( )。
4、比40小1的数是( )；比79大1的数是( )；
( )比54多1；比( )小1的数是99；60比( )大1，比( )小1。
5、两个加数都是40，和是( )，差是( )。
6、减数是4，被减数是34，差是( )。
7、10个10个地数，数8次是( )，再添( )就是100。
8、10的后面添上1个0，这个数比原来多( )。
9、48后面的第4个数是( )；93前面第5个数是( )。
10、4个十加( )个十是100；16加( )个十是36。
11、和80相邻的两个数是( )和( )。
12、数位表从右起，第一位是( )位，第二位是( )位，第三位是( )位。
13、比50大又比70小的整十数是( )。
14、在5、10、100、80、60中，最接近50的是( )，最小的整十数是( )，最大的数是( )。
15、比60少，比40多的整十数是( )。
比14少，比11多的单数是( )。
比10多，比20少，个位上是5的数是( )。
比50少，比46多的双数是( )。
16、把47、53、6、90、35、74、63、12、9中的单数圈出来，再数一数，剩下的双数有( )个。
17、按从大到小的顺序写出4个十位上是6的双数：
( ) ＞( ) ＞( ) ＞( )
18、、按从小到大的顺序写出4个个位上是6的两位数：
( ) ＜( ) ＜( ) ＜( )
19、在□6＜56＜○7中，□里最大能填( )，○里最小能填( )。
20、小红带的钱正好够买45元钱的玩具车，她最多带（）张10元。
21、小红带一些钱买45元钱的玩具车，她最多带（）张10元。
22、按规律写数。
5、10、15、20、( )、( )、( )。
22、24、26、28、( )、( )、( )。
18、28、38、48、( )、( )、( )。
9、18、27、36、( )、( )、( )。
68、66、64、62、( )、( )、( )。
40、50、60、70、( )、( )、( )。
11、22、( )、44、( )、( )。
23、个位上5的最大的两位数是( )。
十位上7的最小的两位数是( )。
24、一个数十位和个位上的数都是2，这个数是( )。
25、根据要求在( )里圈一个数。
比90小得多的数是：(29、77、82)
比21大得多的数是：(100、32、28)
比( )小1的数是：(78、80、89)
十位上的数字比个位上的数字多4的是：(41、51、26) 最小的三位数比最大的两位数多( )：(1、90、10)
最接近90的是：(88、98、91)
26、在合适的答案下面画“√”。
数学第二册期终复习4
1、
（）2、
（）
3、小朋友栽树，已经栽好10棵，还有14棵没有栽，一共要栽多少棵？
（
）
4、树上有一些鸟，先往东边飞走
8只，后来又往西边飞走了5
只。
一共飞走了多少只？
（
）
5、书架上的书给拿走了
（）
6、三（5）班有男生35人，女生30人，有60本书，给三（5）班学生每人一本，够不够？
（）够不够
7、一本书有75页，小红已经看了30页，小明还有30页没有看。
（1）小红还有多少页没有看？
（）
（2）小明已经看了多少页？
（）
8、冬冬和明明都有18张画片，冬冬送给明明6张。
（1）冬冬现在有多少张画片？
（）
（2
）明明现在有多少张画片？
（
）
9、货架上有
46个苹果，卖掉一些后还有20个，卖掉多少个？
（）
10、
11、
58元38元24元42元25元19元
（1）小红要买一个书包和一辆玩具车，她最
多要用多少钱？
（2）小红要买一个书包和一辆玩具车，她最
（3）小明买一个，找回12元，他付
（4）小东带了50元，买一辆，
应找回多少元？
（5）小花有22元，她要买一个
她还和妈妈要多少钱？
（）
（）
（）
（）。