江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试数学试题(含精品解析)

江苏省南京金陵中学2019届高三年级第一学期期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.设集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A B＝_____________．【答案】{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2.已知复数，其中i是虚数单位，则的值是_____________．【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|==．故答案为：．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3.已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．【答案】4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数==5，这组数据的方差S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4.从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．【答案】【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有=3种选法，∴2名都是女同学的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．【答案】9【解析】:试题分析：由题意可得，a是在不断变大的，b是在不断变小，当程序运行两次时，a=9,b=5，a>b,跳出程序，输出a="9;"考点：算法的流程图的计算6.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数p的值为_____________．【答案】2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（，0），即可求出p值．【详解】∵中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（，0），∴，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7.已知，则＝_____________．【答案】﹣【解析】【分析】利用sin2x=cos（2x+）=2sin2（x+）即可得到结果.【详解】∵，∴sin2x=cos（2x+）=2sin2（x+）=﹣1=，故答案为：﹣【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8.设a＞0，若a n＝且数列{a n}是递增数列，则实数a的范围是__________．【答案】2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得解得∴2＜a＜39.在平面直角坐标系xOy中，若曲线(a，b为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P处的切线与直线垂直，则2a＋3b的值是_______．【答案】﹣8【解析】【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，解方程可得答案．【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=，∴切线的斜率为﹣，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣，∴，解得：a=﹣1，b=﹣2，故2a＋3b=﹣8，故答案为：﹣8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣，是解答的关键．10.若函数在上不单调，则的取值范围是____．【答案】0【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以11.如下图，在中，．若，则__________．【答案】【解析】因为,又因为，所以，也即，所以，又，故，由余弦定理得，则，应填答案。

点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。

12.已知函数，则关于x的方程的解的个数为_____________．【答案】【解析】由题意得，或，即（舍去）或或，若，则或，故（舍去）或或，若，则或，故或或，故方程，共有个解，故答案为.13.已知正数a，b，c满足，则的最大值为_____________．【答案】【解析】【分析】利用求根公式得到，表示目标，借助均值不等式求最值.【详解】∵∴，∴，，当且仅当a=c时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14.若存在正数x，y，使得，其中e为自然对数的底数，则实数的取值范围是_____________．【答案】(，0)[，)【解析】【分析】根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．【详解】由得x+s（y﹣2ex）ln=0，即1+s（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为1+s（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=有解，则≥﹣e，即≤e，则s＜0或s≥，故答案为：s＜0或s≥．【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数与方程的关系，转化为两个函数相交问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）线面平行的判定关键在证相应线线平行，线线平行的证明或寻求需要结合平面几何的知识，如中位线平行于底面，因为本题中M为PC中点，所以应取BD的中点作为解题突破口；（2）线线垂直的证明一般需要经过多次线线垂直与线面垂直的转化，而对于面面垂直，基本是单向转化，即作为条件，就将其转化为线面垂直；作为结论，只需寻求线面垂直.如本题中面PCD与面ABCD垂直，就转化为BC平面PCD，到此所求问题转化为:已知线面垂直，要求证线线垂直.在线线垂直与线面垂直的转化过程中，要注意充分应用平面几何中的垂直条件,如矩形邻边相互垂直.试题解析：证明：（1）连结AC交BD于点O,连结OM. 2分因为M为PC中点,O为AC中点，所以MO//PA. 4分因为MO平面MDB，PA平面MDB,所以PA//平面MDB. 7分（2）因为平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD =CD,BC平面ABCD ,BC CD,所以BC平面PCD. 12分因为PD平面PCD,所以BC PD 14分考点：直线与平面平行判定定理，面面垂直性质定理.16.已知，，，，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)利用同角三角函数基本关系可得则，结合二倍角公式可得 .(2)由题意结合同角三角函数基本关系求得，结合角的范围可知.试题解析：（1）∵，，，得∴，则（2）由，，∴又∵，∴∴=由得：= =∵∴.17.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，记∠BHE＝．（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．【答案】（1），；（2）或时，L取得最大值为米．.【解析】【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数L=在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．所以当时，即或时，L取得最大值为米．【详解】由题意可得，，，由于，，所以，，，即，设，则，由于，由于在上是单调减函数，当时，即或时，L取得最大值为米．【点睛】三角函数值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函数式变换成的形式求值域3.通过换元，转化成其他类型函数求值域18.在平面直角坐标系xOy中，圆O：与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)．（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．（图1）（图2）【答案】（1）2；（2）证明见解析。

【解析】【分析】（1）设A2Q的斜率为k，求出直线A1Q和A2Q的方程，得出M，N的坐标，从而得出MN关于k的表达式，进而得出MN的最小值；（2）求出直线方程，得出E、F的坐标，进而得出m与k的关系，从而得出结论．【详解】(1)由题设可以得到直线的斜率存在设方程为,直线的方程为,由,解得;由,解得所以,直线与直线的交点直线与直线的交点,所以.当时, ,等号成立的条件是当时, ,等号成立的条件是.故线段长的最小值是2.(2)法1:由题意可知,的斜率为,∴直线的方程为,由得则直线的方程为,令,则,即∵直线的方程为,由解得∴，∴的斜率,∴ (定值).法2:设, ,,所以直线方程::直线方程,则,得而,得,则（定值）。