(北京专用)2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第六节立体几何中的向量方法作业本理

第六节立体几何中的向量方法
A组基础题组
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且∠DAB=60°.点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若PA=PD=AD,且平面PAD⊥平面ABCD,求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值.
2.(2018北京东城期中,17)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面
ABCD,AB∥CD,AB⊥AD,PA=AB,AB∶AD∶CD=2∶∶1.
(1)证明BD⊥PC;
(2)求二面角A-PC-D的余弦值;
(3)设点Q为线段PD上一点,且直线AQ与平面PAC所成角的正弦值为,求的值.
B组提升题组
3.(2017北京东城二模,17)如图,在几何体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC的中点.
(1)求证:FM∥平面BDE;
(2)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值;
(3)在棱CF上是否存在点G,使得BG⊥DE?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
4.(2017北京东城一模,17)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面
ABC,AP⊥BP,AC⊥BC,∠PAB=60°,∠ABC=45°,D是AB的中点,E,F分别为PD,PC的中点.
(1)求证:AE⊥平面PCD;
(2)求二面角B-PA-C的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在点M,使得CM∥平面AEF?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
答案精解精析
A组基础题组
1.解析(1)证明:因为底面ABCD是菱形,所以AB∥CD.
又因为AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD.
又因为A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,
所以AB∥EF.
(2)取AD的中点G,连接PG,GB.
因为PA=PD,所以PG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
且平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PG⊥平面ABCD.所以PG⊥GB.
在菱形ABCD中,因为AB=AD,
∠DAB=60°,G是AD中点,所以AD⊥GB.
如图,建立空间直角坐标系G-xyz,设PA=PD=AD=2a,
则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-2a,a,0),D(-a,0,0),P(0,0,a). 又CD∥EF,点E是棱PC的中点,所以点F是棱PD的中点,
E,F.
所以=,
=.
设平面AFE的法向量为n=(x,y,z),
则有所以
令x=3,则平面AFE的一个法向量为n=(3,,3).
易知BG⊥平面PAD,所以=(0,a,0)是平面PAF的一个法向量.
因为cos<n,>===,
所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为.
2.解析以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.
设AB=2,则有B(2,0,0),D(0,,0),P(0,0,2),C(1,,0),A(0,0,0).
(1)证明:=(-2,,0),=(1,,-2),
∵·=0,∴BD⊥PC.
(2)=(1,,0),=(0,0,2),
设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1),则即令x1=,得y1=-1,所以平面PAC 的一个法向量为m=(,-1,0).
=(0,-,2),=(1,,-2),设平面DPC的法向量n=(x2,y2,z2),则即
令y2=-,得z2=-1,x2=0,所以平面DPC的一个法向量为n=(0,-,-1).
cos<m,n>==,
∴二面角A-PC-D的余弦值为.
(3)设=t,t∈[0,1],∴=+=+t,∴=(0,0,2)+t(0,,-2)=(0,t,2-2t),设θ为直线AQ与平面PAC所成的角,则sin θ=|cos <,m>|==,
=⇒3t2=6t2-8t+4,解得t=2(舍)或.所以=t=.
B组提升题组
3.解析(1)证明:如图,取CD的中点N,连接MN、FN.
因为N,M分别为CD,BC的中点,
所以MN∥BD.
又BD⊂平面BDE且MN不在平面BDE内,
所以MN∥平面BDE,
因为四边形ABCD为菱形,所以AB∥CD,
又因为EF∥AB,AB=2EF,
所以EF∥CD,EF=DN.
所以四边形EFND为平行四边形.
所以FN∥ED.
又ED⊂平面BDE且FN不在平面BDE内,
所以FN∥平面BDE,
又N为FN和MN的交点,
所以平面MFN∥平面BDE.
又FM⊂平面MFN,
所以FM∥平面BDE.
(2)如图,取AD的中点O,连接EO,BO.
因为EA=ED,所以EO⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD,
所以EO⊥平面ABCD,EO⊥BO.
因为AD=AB,∠DAB=60°,
所以三角形ADB为等边三角形.
因为O为AD的中点,
所以AD⊥BO.
EO,BO,AO两两垂直,以O为原点,OA,OB,OE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=4,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-4,2,0),D(-2,0,0),E(0,0,2),F(-1,,2),所以=(3,-,2),=(2,0,2),=(0,-2,2).
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),
则即
令z=1,则y=1,x=-.
所以n=(-,1,1).
设直线CF与平面BDE所成角为α,
则sin α=|cos<,n>|=,
所以直线CF与平面BDE所成角的正弦值为.
(3)存在.设G是CF上一点,且=λ,λ∈[0,1],
因此点G(3λ-4,-λ+2,2λ),
=(3λ-4,-λ,2λ).
由·=0,解得λ=.
所以在棱CF上存在点G,使得BG⊥DE,
此时=.
4.解析(1)证明:在Rt△ABC中,因为∠ABC=45°,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC,且平面PAB∩平面ABC=AB,
所以CD⊥平面PAB.
因为AE⊂平面PAB,
所以CD⊥AE.
因为AP⊥BP,D为AB的中点,
所以DP=AD,又∠PAB=60°,
所以△PAD为等边三角形,
又E为PD的中点,
所以AE⊥PD.
因为PD∩CD=D,
所以AE⊥平面PCD.
(2)在△PAB中,取AD的中点O,
连接PO,所以PO⊥AB.
在平面ABC中,过O作CD的平行线,交AC于G.
因为平面PAB⊥平面ABC,
所以PO⊥平面ABC,
所以PO⊥OG,
所以OG,OB,OP相互垂直,
如图,建立空间直角坐标系O-xyz.
设AB=4a,则A(0,-a,0),B(0,3a,0),C(2a,a,0),P(0,0,a),D(0,a,0),所以=(2a,2a,0),=(0,-a,-a).
设平面PAC的法向量n=(x,y,z),
则即
令z=1,则y=-,x=.
所以n=(,-,1).
平面PAB的法向量=(2a,0,0),
设n与的夹角为α,
则cos α==,
所以二面角B-PA-C的余弦值为.
(3)设M是棱PB上一点,则存在λ∈[0,1],使得=λ. 则M(0,3aλ,a(1-λ)),=(-2a,a(3λ-1),a(1-λ)).由(1)知CD⊥平面PAB,PD⊂平面PAB,
所以CD⊥PD.
因为EF∥CD,所以EF⊥PD.
又AE⊥PD,AE∩EF=E,
所以PD⊥平面AEF.
所以为平面AEF的法向量.
因为平面AEF的法向量=(0,a,-a),
所以·=0,
即a·a(3λ-1)-a·a(1-λ)=0,
解得λ=.
所以在棱PB上存在点M,使得CM∥平面AEF,
此时=.。