初等代数研究( 第3章 函数 )2011.9
初等代数研究课后习题答案
初等代数研究课后习题答案初等代数是数学的一门重要分支，它研究的是代数方程、代数式以及它们之间的关系。
在学习初等代数的过程中，课后习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以巩固知识、提高技能。
然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。
因此，本文将为大家提供一些初等代数课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握相关知识。
1. 解方程：求解方程2x + 5 = 13。
解答：将方程中的13减去5得到8，所以2x = 8。
再将8除以2得到x = 4。
因此，方程的解为x = 4。
2. 简化代数式：将代数式3x + 2x - 5x + 4x简化。
解答：将代数式中的同类项合并，得到4x - 5x + 4x。
再将同类项相加，得到3x。
因此，代数式简化后为3x。
3. 因式分解：将代数式x^2 + 5x + 6进行因式分解。
解答：首先，我们需要找到两个数，它们的和为5，乘积为6。
很明显，这两个数分别是2和3。
因此，代数式可以因式分解为(x + 2)(x + 3)。
4. 求解不等式：求解不等式2x - 3 < 7。
解答：将不等式中的7加上3得到10，所以2x < 10。
再将10除以2得到x < 5。
因此，不等式的解集为x < 5。
5. 求解方程组：求解方程组2x + y = 5x - y = 1。
解答：可以通过消元法求解这个方程组。
首先，将第二个方程的两边都加上y，得到x = y + 1。
然后，将这个结果代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。
将这个方程化简，得到3y + 2 = 5。
再将2从等式两边减去，得到3y = 3。
最后，将等式两边都除以3，得到y = 1。
将y的值代入x = y + 1，得到x = 2。
因此，方程组的解为x = 2，y = 1。
通过以上几个例子，我们可以看到，初等代数的习题解答需要我们熟练掌握各种解题方法和技巧。
在解方程时，我们可以通过加减、乘除等运算来求解未知数的值。
初等代数研究
绪言一、“代数学”的起源及几种历史观点⒈“代数学”的起源公元820年前后时，花剌子模数学家和天文学家穆罕默德·伊本·穆斯·阿里·花剌子模的著作《Kitab al jabrw’al-mugabala》，意思是“整理”和“对比”。
到14世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。
其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（Algorithm）即源于此。
代数的基础就是脱离了具体数字在一般形态上形式地加以考察的关于算术的学说。
代数的课题首要就是字母表示的式的变换和解方程的规则和方法。
所以，代数这个名称的起源完全符合这门科学本身的内容。
算术→初等代数→高等代数→近世代数。
⒉历史观点⑴Ⅰ16世纪后期，视为普遍化的算术；Ⅱ17世纪60年代，各种量的计算理论；⑵18世纪末至19世纪初，代数方程的解法；⑶19世纪至今，研究各种代数结构。
二、“代数学”的定义“代数学”的定义——初等代数学（或称古典代数学）是更古来的算术的推广和发展；抽象代数学（曾称近世代数学）则是在初等代数学的基础上发生、发展，而于20世纪形成的。
“初等代数学”——研究数字和文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法；更确切点说，研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。
三、为什么数应专业学生要学习本门课程中学数学教师的历史使命第一章自然数一、数系的历史发展⑴数学思维对象与实体的分离数的概念的产生和发展人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。
在人类开始数数之前，人类是根据物体样子的差别来判断物体是多还是少。
从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。
原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别，逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西，即他们的单位性。
数：一定物群所共有的抽象性质。
初等代数研究
初等代数研究.下册
《初等代数研究》(Elementary algebra)是一本普及性的教科书，是一套完整的初等代数学习系统，也是学习更高程度的数学知识的基础课程。
本书由斯坦福大学教授爱德华·穆斯
特尔 (Edward Moody)编写，是一本着重于工具和技能是自我解决理论之外的数学书籍。
本书主要涵盖了代数学科的基础知识，包括定义、表达式、方程、不等式、有理数等概念。
它还介绍了对不同概念的特定的应用，其中包括例如分数、根式、绝对值等。
本书讲解了
其他诸如曲线和多项式概念的应用，还提供了一些具体的解决问题的实例，以让学生更好
地理解这些概念。
同时，书中还涵盖了大学里介绍过的一些知识，比如方程求解和多项式
因式分解。
本书提供了包括条件、拓扑、微分学和线性代数等更高程度的数学概念，为孩子们打下计算、推理、命题论证和解决多项式方程等等问题的基础。
本书的习题十分充足，有助于学
生提高计算和思考能力，促进他们更好地掌握数学知识，为高等数学打下坚实的基础。
《初等代数研究》不仅是学习初等代数必备的参考书，也是帮助大家学好高等数学的关键读物。
初等数论第三章课件
, n 1)时，每一项3i xi 各取3个值， 3x1 x0共通过3n 1 个数；
② 在这3n 1 个数中，若有 3n 1 xn 1 3n xn x0 =3n xn 3n 1 xn 1 3x1 3x1 x0 3n ( xn xn ) 3n 1 ( xn 1 xn 1 ) 则x0 x0 x0 x0 3 x0 x0 x1 ) 3( x1
同余的一个应用——检查因数的一些方法
A、一整数能被3（9）整除的充要条件是它的十进位 数码的和能被3（9）整除。
证：a Z , 将a写成十进位数的形式： a an10 an 110
n
i n n
n 1
a0 , 0 ai 10.
i n
因10 1(mod 3), 故10 1(mod 3), ai 10 ai (mod 3), 从而 ai 10i ai (mod 3),即a ai (mod 3).
n
n 1
3 x1 x
也是模3 =2H+1的绝对最小完全剩余系。（再由 模2H+1的绝对最小完全剩余系具有唯一性得到结论）
① 3n xn 3n 1 xn 1 xi 1, 0,1(i 0,1, 故3n xn 3n 1 xn 1
3x1 x0共有n 1项，当
i ! p( p 1)
( p i 1) Z i! ( p i 1)
当i 1, 2, 故C ip pq,
, p 1时, (i !, p) 1 即p C ip
i ! ( p 1)
( p i 1)，
例3、（ 1）求所有的正整数n，使得2n 1能被7整除； （2）证明：对于任何正整数n，2n +1不能被7整除。
初等代数研究(第三章方程)ppt2
定义域的交集
称为方程的定义域。
二、方程的分类
指数方程 超越方程 对数方程 三角方程 反三角方程 一次方程 方程 整式方程 二次方程 有理方程 高次方程 代数方程 分式方程 无理方程
一、方程的定义：
形如 f x1 , x2 ,, xn g x1 , x2 ,, xn 的等式 叫做方程，其中 f x1 , x2 ,, xn , g x1 , x2 ,, xn 是 两个解析式，且至少有一个不是常函数。
f x1 , x2 ,, xn , g x1 , x2 ,, xn
第三节、几种常见方程的变形 在解方程时，除了利用同解变形外，有 时还要作以下几种变形： n n f ( x ) g ( x) 是方程 f ( x) g ( x) 的 ⒈方程 结果； 正整数 n 是对函数 f ( x), g ( x) 施行乘方运 算的指数。可能产生增根，如 2x 1 3x 5 。
㈠二项方程和三项方程的解法 形如 x A 0 的方程叫做二项方程，解 此方程就是求A的n次方根
n
例3 解方程
x 5 32 0
形如 x 2n pxn q 0 的方程叫做三项方程 . 例 解方程
x 6 4x 3 3 0
（二）一元三次方程
1、一元三次方程 的化简
定理 1 如果函数 A( x ) 对于方程 f ( x ) g ( x ) 的定义域
M 中的数都有意义，那么方程⑴ f ( x) g ( x) 与方程⑵
f ( x) A( x) g ( x ) A( x ) 同解。
定理 2 如果函数 A( x ) 对于方程 f ( x) g ( x) 的定义域M 中的数都有意义，并且不等于零，那么方程⑴
初等数学研究
《初等数学研究》------本学期课程内容要点学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。
学习永远是自己的大事，任何人无法代替。
但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！绪论 初等数学研究概况1. 国内外初等数学研究的发展状况；2. 数学发展的各个历史时期。
第一章 数的扩张1. 自然数的序数理论：Peano(皮亚诺)公理化定义；四则运算；2. 自然数的重要性质：三分律；良序性-最小数原理；离散性；阿基米德性；3. 数学归纳法：第一数学归纳法；第二数学归纳法；反向归纳法；4. 整数的公理化体系：整数概念；四则运算；5. 有理数的公理化体系：有理数概念；四则运算；6. 实数概念：戴德金分割法；7. 复数的公理化体系：复数概念及其代数形式、几何表示、三角形式；欧拉公式及其应用；复数的开方运算；复数的模及其应用。
第二章 重要不等式1. 平均值不等式：几何平均、算术平均、调和平均与平方平均； 几何平均:na a a A nn +++=21算术平均:n n n a a a G 21=调和平均:nna a a n H 11121+++=平方平均:2122221)(na a a Q n n+++= n n n n Q A G H ≤≤≤2. 柯西(Cauchy)不等式与琴森(Jonson)不等式：加权几何幂平均不等式；加权幂平均不等式；Yong不等式；H Ölder 不等式；Minkowski 不等式；柯西(Cauchy)不等式:设n n b b b b a a a a ,,,,,,,,,321321 为实数，则22222122222122211)()()(n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++当且仅当nn b a b a b a === 2211时等号成立。
琴森(Jonson)不等式：若函数在区间I 内上凸，对于任意的I x x x x n ∈,,,,321 ，以及任意的121=+++n λλλ 的正数n λλλ,,,21 都有()()()()n n n n x f x f x f x x x f λλλλλλ ++≥+++22112211加权几何幂平均不等式:设0),1(0,>≤≤>βλn i x ii 则ββββλλλλλλλλλλλλ1212211121)()(2121nn n n x x x x x x nn++++++≤+++++加权幂平均不等式：设αβλ>≤≤>),1(0,n i x ii 则ββββααααλλλλλλλλλλλλ12122111212211)()(nnn n n n x x x x x x ++++++≤++++++Yong 不等式：设0,)0,(,111>>=+b a q p q p 则q p b qa p ab 11+≤ H Ölder 不等式：设0,)0,(,111>>=+b a q p q p 则)0,(11111>⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===i i qn i q i n i p i n i i i b a b a b a pMinkowski 不等式：设0,0,>>p b a ii 则()()()()101111111111111<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑∑∑∑∑======p b a b a p b a b a pni p i pni p i pni p i i pni p i pni p i pni p i i 3. 伯努利(Bernoulli)不等式与约当(Jordan)不等式；伯努利(Bernoulli)不等式：设1->x ，则()())1,0(,11)2()11(,11)1(><+≥+<<+≤+αααααααx x x x当且仅当x=0等号成了。
初等代数研究
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（二）加减消元法
用加减消元法解方程组时,将方程组中各个方程的 两端乘以预先选定的数,然后将各端相加,如此便 能减少作为原方程组的结果的方程组所含的未知 元的个数,以便能够用已知的方法求解.
F2[f(y,…,z),y,…,z]=0,F3[f(y,…,z),y,…,z]=0,……… …………………Fn[f(y,…,z),y,…,z]=0; 3°解方程组(F′); 4°由(F′)的每一个解,相应地求前面被消去的未知 元的值.例如,将由(F′)解出的关于未知元y,…,z的每 一组解代入f(y,…,z)而求出相应的x的值. 对于方程组(F′)仍然采用上述消元的步骤,必然得 到方程组(F″),其中所含方程的个数与未知元的个 数又比(F′)各少一个,如此类推,便可达到将多元方 程转化为一元方程的目的.
定义2
方程组(F)中各个方程的共同的定义域称为方 程组(F)的定义域.
定义3
如果数组集M是方程(F)的定义域,M内的一组 数a,b,…,c满足方程组(F)中的每一个方程,那 么数组a,b,…,c称为方程组(F)的一个解.
定义4
作为方程组(F)的解的数组的集合称为这个方 程组的解集.
I.
II.
III.
证明: 设方程组(Fn)为： f1 = g 1； f2 = g2 , ……… fn = g n ,
在(Fn)的n个方程中任意选出k个方程(k<n)。不失一般 性,设所选的是(Fn)的前k个方程,由此组成方程组(Fk)：
f1=g1, f2=g2, ……… fk=gk.
又设方程组(F′l)：
f′1=g′1, f′2=g′2, ……… f′l=g′l
例如,方程组x+y=3x-y=1与方程组 x3=8x+y=3在实数域上是同解的,但在复数域 上不同解.
《初等代数研究》教学大纲
《初等代数研究》教学大纲课程名称：初等代数研究课程编码：0702032100适用专业及层次：数学教育专业（三年制专科）课程总学时：72学时课程总学分：一、课程的性质、目的与任务1、本课程的性质：本课程是数学教育专业一门重要的专业基础课。
它是在学生掌握了一定的数学专业理论知识的基础上开设的。
本课程根据中学数学的教学目的及现行的中学代数教材，以传统内容为主，适当渗透近代数学的思想，课程内容具有广泛性和多样性，除固定意义的代数基本内容外，还安排一些其他数学分支的知识。
2、课程目的与任务：通过《初等代数研究》课程的教学使学生掌握初中数学教学所需的初等数学的基础理论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初中数学打下较坚实的基础。
另外，同过该课程的学习，可以加深学生对初中代数内容的理解，可以提高学生的初中数学解题能力及从事初中数学教学工作的能力。
二、教学内容、教学要求及教学重难点第一章数【教学内容】：本章主要讨论数的概念的形成与扩展，数的运算与性质，数的近似计算等内容。
【教学要求】：了解数系概念的发展简史；熟悉用代数结构的观点和用严格的公理体系来处理数的概念的扩展；能正确分析处理初中数学教材的有关内容。
【教学重难点】：第一节数系的扩展1.1 数的发展简史1.2 正整数理论1.3 有理数集及其性质1.4 实数集及其性质1.5 复数集及其性质第二节整数的整除性2.1 整除的意义及其性质2.2 素数与合数2.3 最大公约数与最小公倍数2.4 同余第三节近似计算初步3.1近似值的截取方法3.2绝对误差与相对误差3.3有效数字与可靠数字第四节初中数的教学4.1 内容分析4.2 教学目标4.3 教学建议本章重点：数及其运算性质、同余理论本章难点：利用同余理论研究整数的性质第二章式【教学内容】：式是数的概念的发展，也是研究函数、方程和不等式的基础。
本章着重讨论代数式和简单超越式的概念、性质和恒等变形。
初等代数基本研究
代数的认识及初等代数的课程开设姓名：夏诗涵班级：2011级4班学号：201110440744摘要：在中学数学教学过程中，人们经常会思考:中学生为什么要学习代数?应该学习哪些代数?如何学好代数?应该从什么角度来衡量学生的代数学习情况？用什么方法来判断学生代数学习结果?等等。
针对这些问题，国家的课程标准、学者的研究成果、教师的经验积累、学生的个人体验、社会的实际需求都有不同侧重的回答和解释。
因此，评价中学生代数学习情况的方式可能是多样的。
本文主要从多个视角、多个维度、多个层面探讨了中学生代数素养的内涵和综合评价。
在古代，当算术里积累了大量的关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
《初等代数研究》是师范本专科院校数学教育类学生的专业必修课，对于开设这门课程，有不同的观念，本文就此作简要的探讨。
关键词：初等代数；代数；数学思想；学习帮助。
1.代数的重要性1.1.生活中的代数在现实生活中，数学可谓随处可见。
华罗庚1959年曾在《人民日报》发表《大哉数学之为用》清楚地指出，从宇宙到微粒、从地球到生物、从化工到生活，数学无处不在。
Lynn Arthur Steen (1999)也认为，信息时代就是数字时代，数据、图表、统计量既丰富了人们的生活也给人们带来很多困扰，从医疗报告、新闻报道、金融资讯到社会政策等方方面面，数、量、图、表充满其中，基于数量的决策支配着教育、健康和政府行为。
数学的广泛应用已成为数学的特点之一。
代数，作为数学的重要组成部分，在实际生活中是否也有广泛的应用呢？人为什么要学习代数?人们做什么工作需要代数?现摘录部分如下:Glenn Blaylock认为，代数是数学中的基础学科，任何一门需要数学的工作都会需要一些代数。
从事科学或工程技术的工作将需要更多的代数，代数是每一个人都需要的基础数学。
DA BEN DAN yanggui zi认为，代数有助于发展一个人的逻辑感。
初等数学研究第三章
方程是函数变化过程中的一个特殊状态， 即方程的解是函数的零点。
eg : 求f (x) 0的解，就是求函数 y f (x)的零点。
方程思想、函数思想解决问题
一、方程
讲授的内容 1、方程与方程组的有关概念 2、方程与方程组的同解变形 3、各类方程与方程组的解法 重点：方程（组）的同解性判定；
节 整
设两个根为 x1、x2 ,则x1
x2
b a
,
x1
x2
c. a
式
方 法国数学家——系统地引入了代 程 数符号，推进了方程的发展——
现代数学之父
第 韦达定理（复数范围）
三 定理1方程 节 f (x) a0 x n a1 x n1 ... an1 x an 0(a0 0)
整 的n个根是x1 , x2 ,...,xn1 , xn , 那么
方程组也可以类似的分类
二、方程与方程组的同解性
F1 (x1, x2 ,...,xn ) 1 (x1, x2 ,...,xn ) A1 F2 (x1, x2 ,...,xn ) 2 (x1, x2 ,...,xn ) A2
如果A1 A2 ,则
F1 (x1, x2 ,...,xn ) 1 (x1, x2 ,...,xn )与 F2 (x1, x2 ,...,xn ) 2 (x1, x2 ,...,xn )为同解方程。 注：没有特别说明方程的同解不考虑重数
互为结果方程的两个方程同解。
每一个方程是无解方程的结果方程。
定理1 如果
等价转换
F1 (x1 , x2 ,...,xn ) 1 (x1 , x2 ,...,xn )， F2 (x1 , x2 ,...,xn ) 2 (x1 , x2 ,...,xn )，
初等数学研究教学大纲
初等数学研究教学大纲《中学数学研究》课程教学大纲课程名称：中学数学研究（代数分册）课程代码:ZB1051021-22 学分: 3 开课单位: 制订人：数学系英文名称：课程类别: 专业必修学时: 48 适用专业: 制订日期:数学与应用数学 2011.04审核人：（教研室主任签字）审定人: 审核日期：2011.05 审定日期: 2011.06一、课程性质与目的（一）课程的性质初等代数研究是高等师范本科数学与应用数学专业、专科数学教育专业的一门专业方向课。
本课程需要从中学数学的教学需要出发，根据中学数学的内容和知识结构，把初等代数的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高。
对各个专题的教学，都要着重基本思维方法和基本技能技巧的训练。
要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
（二）课程的目的本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等代数的基础理论、基础知识和基本技能；了解初等代数的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。
二、与相关课程的联系与分工中学数学研究（代数分册）是高等师范院校数学专业的专业方向课。
它是在学生已经掌握了一定的数学专业知识的基础上，继“心理学”、“教育学”之后开设的，是研究初等数学系统理论的一门课程。
本课程的主要特点是高等数学与初等数学相联系，弥补学生学习初等数学与高等数学衔接的不足，为学生用高观点指导中学数学教学、进行教学研究打下基础。
三、教学内容及要求第一章数系【教学要求】了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则。
掌握自然数的序数理论。
理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，掌握有理数（实数）大小比较的法则、有理数（实数）的运算法则和有理数（实数）集的性质。
理解无理数、实数和复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性质。
【教学重点】序数理论、整数环、实数的运算、实数集的性质、复数的三角形式、复数的运算、复数集的性质。
初等代数函数
初等代数函数
初等代数函数是指由基本代数运算和有限次函数复合产生的函数。
它们主要包括以下几类：
1. 幂函数：以自变量x的幂次为基础的函数，如x^n（n为实数）。
2. 指数函数：以自变量x为底，指数为实数的函数，如e^x。
3. 对数函数：以自变量x为底，真数为实数的函数，如log_x(y)。
4. 三角函数：包括正弦函数（sin(x)）、余弦函数（cos(x)）和正切函数（tan(x)）等。
5. 反三角函数：包括反正弦函数（arcsin(x)）、反余弦函数（arccos(x)）和反正切函数（arctan(x)）等。
6. 初等超越函数：如平方根函数（sqrt(x)）、立方根函数（cube root，即x^(1/3)）等。
7. 有理函数：包括有理整式和有理分式。
有理函数是通过多项式的加减乘除得到的函数。
初等代数函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，它们是研究更复杂函数和微分方程的基础。
此外，初等代数函数的性质和求解方法也是高中数学和大学数学分析的重要内容。
初等代数研究(_第2章_)2011.9
2015-5-19
初等代数研究
21
§5
指数式与对数式
在历史上，英国数学家纳皮尔（1614） 发表了第一张对数表,而现代指数记号的创 设则始于笛卡儿（正整数指数，1637年） 和牛顿（分数指数，1676年），18世纪欧 拉研究了指数式和对数式的关系．
2015-5-19
初等代数研究
22
§5 指数式与对数式
2015-5-19 初等代数研究 2
c a b2
等.
§1
一、基本概念
式的概念
定义1 用运算符号和括号把数和表示数的字 母连结而成的式子叫做解析式，约定：单 独一个数或一个字母也看作是解析式．
初等运算 代数运算：加、减、乘、除、 乘方（指数为有理数）、开方 初等超越运算：乘方（指数为无理数）、 对数、三角、反三角等）
解法二（基函数法）：由插值条件，有
f ( x) ( x 0)( x 1) ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 0) 13 1 (1) 5 x 2 7 x 1 (1) (2) 1 (1) 2 1
2015-5-19
初等代数研究
n
AB n A n B ( A 0, B 0, n N , n 1).
A B
n n
n
A B
( A 0, B 0, n N , n 1).
初等代数研究 17
§4 根式
法则4 ( n A)m n Am 法则5
n m
( A 0, m, n N , n 1).
例5 分解因式
2015-5-19
f ( x) 3x 2 x 9 x 6
3 2
f ( x) x 6 x 11x 6
初等代数研究课后习题答案完整版-余元希
初等代数研究课后习题完整版1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即（1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >.（2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B ==（1）“⇒” b a <，则B B ⊂∃,,使,~B A ，A B B ~,⊃∴,a b >∴“⇐” a b >，则B B ⊂∃,,使A B ~,，B B A ⊂∴,~,b a <∴综上 对任何N b a ∈,，b a <⇔a b >（2）由（1）b a <⇔a b > b a <∴与b a >不可能同时成立，假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ⊂∃,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立，综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立..2、证明自然数的加法满足交换律.证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则+++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a bb a b a +++++=+=+=+ ,b M M N +∴∈∴= 对任何N b a ∈,，a b b a +=+3、证明自然数的乘法是唯一存在的证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ∀∈，有(),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合，()()1f b g b a ==⋅ 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ∀∈，()()f b g b =乘法是唯一的存在性：设乘法存在的所有a 组成集合K 当1a =时，b N ∀∈，111,1111b b b b ++⋅=⋅==+=⋅+ φ≠∈∴k 1，设a K ∈，b N ∀∈， 有,a b 与它对应，且1a a ⋅=，ab ab a +=+，对b N ∀∈，令a b ab b +=+ 1111a a a a ++⋅=⋅+=+=1()(1)a b ab b ab a b ab b a a b a ++++++=+=+++=+++=+a K +∴∈ K N ∴= 即乘法存在p24—5、解：满足条件的A 有1{1,2}A =，2{1,2,3}A =，3{1,2,4}A =，4{1,2,5}A = 5{1,2,3,4}A =，6{1,2,3,5}A =，7{1,2,4,5}A =，8{1,2,3,4,5}A = 123456782,3,4,5A A A A A A A A ========∴========基数和为23343528+⨯+⨯+= p24—6、证明：,A a B b ==，A 中的x 与B 中的y 对应 A B ab ∴⨯=，B A ba ab ∴⨯==A B ab ⨯= A B A B B A∴⨯=⋅=⨯ p24—8、证明：1）3+4=73134++== 3231(31)4++++=+=+== 3332(32)56++++=+=+==3433(33)67++++=+=+==2）3412⋅=313⋅= 32313136+⋅=⋅=⋅+= 33323239+⋅=⋅=⋅+=343333312+⋅=⋅=⋅+=p24—12、证明：1）()m n m n +++++=+()1(1)m n m n m n m n +++++++=++=++=+2）()mn nm m +++=+ ()1(1)mn mn mn m nm m ++++=+=++=+p26—36、已知(,)f m n 对任何,m n N ∈满足(1,)1(1,1)(,2)(1,1)(,(1,))f n n f m f m f m n f m f m n =+⎧⎪+=⎨⎪++=+⎩求证：1）(2,)2f n n =+2）(3,)22f n n =+3）1(4,)22n f n +=-证明：1)当1n =时，(2,1)(11,1)(1,2)2112f f f =+==+=+结论成立，假设n k =时，结论成立，即(2,)2f k k =+，当1n k =+时，(2,1)(11,1)(1,(2,))(1,2)(2)1(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立2）当1n =时，(3,)(21,)(2,2)22212f n f n f =+==+=⋅+结论成立 假设n k =时，结论成立，即(3,)22f k k =+当1n k =+时，(3,1)(21,1)(2,(3,))(2,22)2222(1)2f k f k f f k f k k k +=++==+=++=++ 所以对一切自然数结论都成立3）当1n =时，11(4,1)(31,1)(3,2)22222f f f +=+==⨯-=-结论成立 假设n k =时，结论成立，即1(4,)22k f k +=- 当1n k =+时，112(4,1)(3,(4,))(3,22)2(22)222k k k f k f f k f ++++==-=-+=-所以对一切自然数结论都成立p62—1、证明定理2.1证明：[,],[,]a b c d Z ∀∈，[,][,][,]a b c d a c b d +=++因为自然数加法满足交换律[,][,]a c b d c a d b ∴++=++而[,][,][,]c d a b c a d b +=++[,][,][,][,]a b c d c d a b ∴+=+[,],[,],[,]a b c d e f Z ∀∈，[,][,][,][,][,][(),()]a b c d e f a c b d e f a c e b d f ++=+++=++++以为自然数满足加法结合律([,][,])[,][,]([,][,])a b c d e f a b c d e f ∴++=++ 即整数加法满足交换律和结合律p62—2、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证[,][,]a b c d =的充要条件是[,][,][1,1]a b c d -= 证明：“⇒” 已知[,][,]a b c d =则a d b c +=+[,][,][,][1,1]a b c d a d b c ∴-=++=“⇐” 已知[,][,][1,1]a b c d -=则[,][1,1]a d b c ++=，a d b c +=+ [,][,]a b c d ∴= p62—4、已知N b a ∈,，求证([,])[,]a b a b --=证明：[,][,]a b b a -= ([,])[,][,a b b a a b --=-= p62—5、已知[,],[,]a b c d Z ∈，求证([,][,])[,][,]a b c d a b c d --=-+证明：左边([,][,])[,][,]a b c d a d b c b c a d --=-++=++右边[,][,][,][,][,]a b c d b a c d b c a d -+=+=++所以左边等于右边([,][,])[,][,]a b c d a b c d ∴--=-+p62—7、已知,,a b c N ∈，求证当且仅当a d b c +<+时[,][,]a b c d <证明：“⇒” 已知a d b c +<+，[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为 a d b c +<+ [,]a d b c ∴++是负数，[,][,]a b c d ∴<“⇐” 已知[,][,]a b c d <则[,][,][,]a b c d a d b c -=++因为[,]a d b c ++是负数，a d b c ∴+<+p62—9、已知,Z αβ∈，求证：1）αβαβ+≤+ ，2） αβαβ=证明：设[,],[,]a b c d αβ== 1）[,]a c b d αβ+=++ ()()a cb d αβ∴+=+-+ 而,a bcd αβ=-=-()()()()a c b d a b c d a b c d+-+=-+-≤-+- αβαβ∴+≤+2）[,]ac bd ad bc αβ=++ ()ac bd ad bc αβ∴=+-+而,a b c d αβ=-=-()()()()()ac bd ad bc a c d b d c a b c d a b c d +-+=-+-=--=-- αβαβ∴=p63—12、n 名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k 名胜负的次数各为,k k a b ，1,2,........,k n =，求证：2222221212......n n a a a b b b +++=+++ 证明：对于(1,2,...,)k a k n =，必存在一个(1,2,...,)j b j n =使得k j a b =⇒22(,1,2,...,)k j a b k j n == 222221212......n n a a a b b b ∴+++=+++ p63—16、已知10p a b -，10p c d -，求证p ad bc -证明：由已知：,s t Z ∃∈使10a b ps -=，10c d pt -=10,10b a ps d c pt =-=-10(10)()ad bc ac apt ac cps p cs at ∴-=---=-p ad bc ∴-p63—17、设2不整除a ，求证281a +证明：因为2不整除a ，所以存在唯一一对,q r Z ∈，使2a q r =+，其中02r <<1r =，22441a q q ∴=++214(1)a q q -=+ 281a ∴-p63—20、设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++是奇数的平方证明：22222(1)(2)(3)1[(1)1](1)[(2)(2)1]1[(1)(1)][(2)(2)]1(1)(2)2(1)(2)1[(1)(2)1]a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+++++=+-+++++=++-+++=++- 1,2a a ++肯定一奇一偶(1)(2)a a ∴++肯定为偶数(1)(2)1a a ∴++-肯定为奇数p63—22、证明：前n 个自然数之和的个位数码不能是2、4、7、9证明：前n 个自然数的和为(1)2n n + 因为：n 个自然数的和仍为自然数1+n 与n 中必定一个为奇数一个为偶数若个位数码为2则1+n 与n 的个位数码只能是1,4或4,1而（1+n ）- n=1 ∴个位数码不能为2若个位数码为4则1+n 与n 的个位数码只能是1,8或8,1也不可能成立若个位数码为7则1+n 与n 的个位数码有2种可能，则2,7或1,14也不可能成立，若个位数码为9则1+n 与n 的个位数码有2种可能，即2,9或1,18也不可能成立，综上，前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9p63—26、证明2.3定理1（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ）证明：因为：（12,,......,n a a a ）是12,,......n a a a 的公因数中的最大数所以R 需考虑非负整数 ∴（12,,......,n a a a ）=（12,,......n a a a ） p63—29、证明2.3定理4的推论(,)1a b =的充要条件是有,x y Z ∈使得1ax by += 证明：因为(,)1a b = ,a b ∴不全为0“⇒” 由定理4 ,x y Z ∃∈使(,)1ax by a b +==“⇐” 设(,)a b d =则,d a d b ，d ax by ∴+ 1d ∴ (,)1d a b ∴== p63—30、证明2.3定理6及其推论。
初等代数研究教案ppt1
⑵函数的对应说定义 设 A 为非空实数集， 如果存在一个对应规律 f ， A 对 中每个元 x 按照对应规律 f ，存在 R 中唯一的一个实数
A y 与之对应，则称对应规律 f 是定义在 上的函数，表为
f :AR
⑶函数的关系说定义
X Y 设 f 是集合 与集合 的关系，即 f X Y 。如果还满 f X Y 足 x1 , y1 f , ( x1 , y 2 ) f ，则 y1 y 2 ，那么称 是集合 到集合
应，并且
与之对
1 a 1 a; 2 a b (a b)
2、乘法：自然数的乘法是一种对应关系“·”， 由于它，对任何a、b ，有唯一确定的a · ， b 并且。
1 a 1 a; 2 a b a b a
3、减法：设a, b N ，若存在 x N ，使 b x a ，则称 x 为 a 减去 b 的 差， 记作a b ，这里 a 叫做被减数，b 叫做减数。求两数差的运算 叫做减法。 4、除法：设 记作 叫做除法。
第一节、自然数和0 1.1定义（自然数的序数定义）
集合N的元素叫做自然数。如果的元素间有
一个基本关系“后继”（用“'”表示），并满足: 1、 存在一个元素 1 N ， a N , a不是1 2、 每一个自然数a都存在唯一个后继
a 。
3、 a, b N , 若a 与b相同，则a b 4、 若M N , 且(1)1 M ； 。
三、复数的性质
1、C存在复数 (a, b)，使得 (a, b) 2 (1,0) . 记为i=(0,1).
2 、复数域不是有序域。 但复数集可以定义顺序使其构成有序集。
第四章 函
初等代数研究--第3章--方程
x
14 1775
利用三角形相似可得方程x2+34x=71000.
6
希腊数学家丢番图《算术》中,讨论了一次方 程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量 的不定方程。但没给出一元二次方程的解法。
印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中 给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公 元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书 中，也给出了一般二次方程的求根公式。
花拉子米的《代数学》一开头就指出:下列的 问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。 该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来 叙述。
7
13世纪的中国,在求高次方程数值解，以及解 高次联立方程上有重大贡献。1247年，秦九 昭给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立 的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的 “四元术”（1303年）能够求解一大类的般的多元高次方程求解；③任意多 元高次方程的求解。
9
秦九韶 阿 贝 尔
拉 格 朗 日
10
2 方程在中学数学中的地位和作用
高中阶段对方程学习有较高的要求,重点在于 领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程 与几何图形之间的密切关系。
具体包含以下几方面:函数与方程，直线与方 程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与 二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方 程等等。
欧几里得《几何原本》中则有很多问题还要用 到解二次方程。
3
中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章, 包含了很多关于方程的问题。
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十 九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四 斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六 斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”
一．方程的历史发展及其科学价值 二．方程的定义 三．同解方程 四．几种常见方程的变形 五．解方程的常用方法（第五组报告） 六．一元三次、四次以及高次方程 七．韦达公式、方程根的性质 八．不定方程与中国剩余定理 九．有关方程的问题求解（第六组报告）
初等代数研究学习计划
初等代数研究学习计划导言初等代数是数学中的一个基础部分，也是数学学习的一个重要环节。
初等代数的学习涉及到一系列基础知识，如方程、不等式、函数、多项式等，是进一步学习高等数学和各种数学分支的基础。
因此，对初等代数的学习必须认真对待，建立扎实的基础知识。
一、学习目标1.1 掌握基本的代数运算法则，包括加减乘除、整式的基本运算、方程的基本处理等。
1.2 熟练掌握一元一次方程的解法，特别是通过应用题的形式来巩固。
1.3 理解一元一次不等式及其解法。
1.4 掌握一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和图象法。
1.5 了解多项式的基本概念、性质和基本运算。
1.6 掌握分式的基本概念、性质和基本运算。
1.7 了解函数的基本概念，特别是一次函数和二次函数。
1.8 通过学习初等代数，提高数学分析和数学应用能力。
二、学习内容2.1 代数基本法则代数基本法则是代数学习的基础，理解和熟练掌握代数基本法则对于整个初等代数学习至关重要。
代数基本法则包括加减乘除的运算法则，整式的基本运算等。
2.2 一元一次方程的解法一元一次方程是初等代数中的一个极为重要的内容，通过学习一元一次方程的解法，可以提高问题解决能力。
一元一次方程的解法不仅包括基本的解法，还包括通过应用题来理解和实践。
2.3 一元一次不等式及其解法一元一次不等式是初等代数的另一部分内容，学习一元一次不等式及其解法有助于提高逻辑思维和问题解决能力。
2.4 一元二次方程的解法一元二次方程是初等代数的又一个重要内容，通过学习一元二次方程的解法，可以加深对方程的理解，同时也可以提高数学分析能力。
2.5 多项式的基本概念、性质和基本运算多项式是初等代数的一个重要内容，学习多项式的基本概念、性质和基本运算是初等代数学习的关键步骤。
2.6 分式的基本概念、性质和基本运算分式是初等代数中的又一个重要内容，学习分式的基本概念、性质和基本运算有助于深化对代数的理解。
2.7 函数的基本概念函数是初等代数学习的一个重要内容，了解函数的基本概念对于进一步学习高等数学和数学分支有着非常重要的价值。
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初等代数研究
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
最早提出函数（function）概念的是 17 世纪德国数学家莱布尼茨． 1718 年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家约翰· 贝努利把函数定义为：“由 某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．” 1755 年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，我 们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用 公式表示了．由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线 也叫函数．他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”当时有些数学家对于不用 公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公 式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”．
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
19 世纪末，自从德国数学家康托创立了集合论，人们把函数的概念提升到了 更抽象的层次，这个抽象的定义，提炼出了函数概念的精髓，使它去除了各种形 式的束缚，从而有了更广泛的应用． 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。 我国清代数学家李善兰在翻译 《代 数学》 （1895 年）一书时，把“funcion”译成“函数”，中国古代“函”字与“含”字通用， 都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国 古代用天、地、人、物 4 个字来表示 4 个不同的未知数或变量。这个定义的含义 是：“凡是公式中含有变量ｘ，则该式子叫做ｘ的函数。”所以“函数”是指公式里 含有变量的意思。
3.伸缩变换
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y f ( x) y f (kx) y f ( x) y kf ( x)
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§5 初等函数图像的作法
1 例 利用初等变换作出函数 y 2 sin( x 1) 1 的图像。 2
作图步骤大致如下：⑴作 y sin x 的图像；⑵作函数 y 2 sin x 的图像（振幅变换） ；
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§1 函数的概念
三、反函数的概念
定理 在同一坐标系中， 函数 y f ( x) 与它的的反函数
y f 1 ( x) 的图像关于 y x 直线对称．
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§2 基本初等函数（略讲）
基本初等函数——
常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角
函数和反三角函数等，称为基本7-3 初等代数研究 12
§ 3 初等函数及其分类
二、初等函数的分类 （回顾初等运算和解析式的分类）
初等函数
初等代数函数 初等超越函数
有理函数
有理整函数 有理分函数
无理函数
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§ 3 初等函数及其分类
三、代数函数
定义13 凡是能作为代数方程 P（x，y）= 0 的解的函 数都叫做代数函数．
一、应用函数的特性作函数图像（略）
二、应用初等变换作函数图象 1.平移变换
y f x a y f x b
2.对称变换 ⑴奇函数图像关于原点对称， 偶函数图像关于 y 轴对称； ⑵ y f ( x) y f ( x) 关于 y 轴对称，
y f ( x) y f ( x) 关于 x 轴对称， y f ( x) y f ( x) 关于原点对称。
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§1 函数的概念
二、函数的几种定义方式
⑴函数的传统定义（变量说）
一般地， 设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ， 如果变量 y 随着 x 的变化而变化，那么就说 x 是自变量， y 是因变量，也称 y 是 x 的函数。 这种陈述性的定义， 是函数的传统定义。 它建立在变量的基础 上，强调了变化。而描述变化，正是函数最重要的特征。函数定义 的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。
三、反函数的概念
定义 4 如果函数 y f ( x) 是定义域 A 到值域 B 上的一一映 射 ， 那 么 由 它 的 逆 映 射 f 1 : B A 所 确 定 的 函 数 ， 叫 做 函 数
y f ( x) 的反函数．
反函数的习惯表示为 y f
1
( x) ．
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初等代数研究
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§1 函数的概念
二、函数的几种定义方式
⑵函数的近代定义（对应说）
设 A 为非空实数集，如果存在一个对应法则 f ，对 A 中每个元 x 按照对应 法则 f ，存在 R 中唯一的一个实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 A 上 的函数，表为
f :AR
这一定义建立在“集合”和“对应”这两个基本概念上，是函数的近代定 义。在高中阶段基本上就用这种定义。 目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映 射的特殊情形。由于映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其 实是一回事。
第三章 初等函数
§1 函数的概念
§2 基本初等函数 §3 初等函数及其分类
§4 用初等方法讨论初等函数
§5 初等函数图像的作法
§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的 16－17 世纪才逐渐产生。 伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数 S gt 2 。 法国数学家笛卡儿最先提出了“变量”的概念，他在《几何学》中不 仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出 x, y 是变量的同时，还 注意到 y 依赖于 x 而变化，这正是函数思想的萌芽。
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例
证明：ab+bc+ca+1>0恒成立。
题
例2.已知：实数a,b,c 的绝对值都小于1，
证法1：a，b，c的绝对值小于1，则|ab|，|bc|，|ca|均小于1。 即(ab+1),(ac+1),(bc+1)均大于0 。 a,b,c中若有数为零，例如a=0，则 ab+bc+ca+1=bc+1>0 若三数均不为0，其中必有至少两个数同号。 假设a,b同号，即有ab>0 由于|c|<1,则0<c2<1 所以abc2<ab 所以 ab+bc+ca+1>abc2+bc+ca+1=(ac+1)(bc+1)>0 。
函数。 函数是一种特殊的关系。 “关系说”是完全数学化的定义，也便于 为计算机所接受， 具有多方面的优越性。 这种定义是函数的形式化定义。 然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不 出对应关系的形式，更没有解析式的表达，所以初学者不易掌握。
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§1 函数的概念
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初等代数研究
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§1 函数的概念
二、函数的几种定义方式
⑶函数的现代定义（关系说）
设 f 是集合 X 与集合 Y 的关系，即 f X Y 。如果还满足
x1 , y1 f , ( x1 , y2 ) f ，则 y1 y2 ，那么称 f 是集合 X 到集合 Y 的
二、函数的性质:
（1）函数的有界性：设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义，如果 M 0 ，使得对 x I ， 有 f ( x) M ，则称 f ( x) 在区间 I 上有界，否则，称 f ( x) 在区间 I 上无界。 （ 2 ） 函 数 的 奇 偶 性 ： 对 于 函 数 f x 在 定 义 域 内 的 任 意 一 个 x 值 ， 如 果 都 有
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§1 函数的概念
一、函数概念的扩展
1821 年， 法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义： “在某些变数间存 在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随之而确定时，则 将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数”，在柯西的定义中，首先出现了自变量 一词． 1837 年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立 x 与 y 之间的对应关系是无关紧要的， 所以他的定义是：“如果对于 x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数．”这个定义抓住了概念的本质属性，变量 y 称为 x 的函数，只须有一个法 则存在， 使得这个函数取值范围中的每一个值， 有一个确定的 y 值和它对应就行了． 这 个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定 义曾被长期的使用着．
x T M ，且 f x T f ( x) 总成立，则称 f x 是数集 M 上的周期函数。常数 T
称为 f x 的一个周期。若 T0 是所有周期中一个最小的正数，则称 T0 是 f ( x ) 的最小正 周期。
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§5 初等函数图像的作法
1 1 x ) 的图像（周期变换） ；⑷作函数 y 2 sin( x 1) 的图像（位相变换） ； 2 2 1 ⑸作函数 y 2 sin( x 1) 1 的图像。 （平移变换） 2
⑶作函数 y 2 sin(
1 1 1 y sin x y 2 sin x y 2 sin( x) y 2 sin( x 1) y 2 sin( x 1) 1 2 2 2
2014-7-3
初等代数研究
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§ 3 初等函数及其分类
一、初等函数的概念
定义 9（初等函数） 由基本初等函数经过有限次的代数运算及有 限次的函数复合所得到的函数叫做初等函数（或代数显函数） 。 基本初等函数一个重要的特点是它能通过一个统一的代数式 在定义域上表达出来。