椭圆双曲线抛物线
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线是数学中的重要概念，它们的知识点汇总如下：
首先是椭圆，它是一种抛物线，其特征是两个轴的长度不相等，形状像一个椭圆。
它的方程式为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴。
其次是双曲线，它也是一种抛物线，其特征是两个轴的长度相等，形状像一个双曲线。
它的方程式为：x2/a2 - y2/b2 = 1，其中a为双曲线的长轴，b为双曲线的短轴。
最后是抛物线，它是一种曲线，其特征是一个轴的长度为零，形状像一个抛物线。
它的方程式为：y2 = 2px，其中p为抛物线的焦点距离。
椭圆双曲线抛物线是数学中重要的概念，它们的方程式分别为：x2/a2 + y2/b2 = 1（椭圆），x2/a2 - y2/b2 = 1（双曲线），y2 = 2px（抛物线）。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
高中数学知识点---椭圆、双曲线、抛物线
高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-by a x ，因式分解得到0x ya b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
一轮复习专题48 椭圆、双曲线、抛物线(知识梳理)
专题48椭圆、双曲线、抛物线（知识梳理）一、椭圆(一)椭圆的基本定义和方程1、椭圆的定义：设1F 、2F 是定点，P 为动点，则满足a PF PF 2||||21=+(a 为定值且||221F F a >)的动点P 的轨迹称为椭圆，符号表示：a PF PF 2||||21=+(||221F F a >)。
注意：当||221F F a =时为线段21F F ，当||221F F a <时无轨迹。
2、椭圆的方程及图像性质定义方程a y c x y c x 2)()(2222=+-+++ac y x c y x 2)()(2222=-++++标准方程12222=+b y a x (0>>b a )12222=+b x a y (0>>b a )一般方程122=+ny mx (0>m ，0>n ，n m ≠)推导方程22222b x ab y +-=(0>>b a )22222a x ba x +-=(0>>b a )范围][a a x ，-∈，][b b y ，-∈][b b x ，-∈，][a a y ，-∈图形焦点坐标焦点在x 轴上)0(1，c F -，)0(2，c F 焦点在y 轴上)0(1c F -，，)0(2c F ，对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心)顶点)0(1，a A -、)0(2，a A 、)0(1b B -，、)0(2b B ，)0(1a A ，、)0(2a A -，、)0(1，b B 、)0(2，b B -轴长轴21A A 的长为：a 2(a 为长半轴)短轴21B B 的长为：b 2(b 为短半轴)离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率ace =，)10(，∈e ，e 越大越扁，e 越小越圆焦距：cF F 221=222c b a +=3、椭圆12222=+by a x (0>>b a )的图像中线段的几何特征(如图)：(1)a PF PF 2||||21=+，e PM PF PM PF ==2211，c a PM PM 2212||||=+；(2)a BF BF ==||||21，c OF OF ==||||21，2221||||b a B A B A +=+；(3)c a F A F A -==||||2211，c a F A F A +==||||1221。
椭圆、双曲线与抛物线深入解析
02
双曲线的基本概念及其性质
双曲线的定义及其标准方程
双曲线的定义
• 到两个定点（焦点）的距离之差等于常数（实轴的两端点）的点的集合
• 实轴为通过椭圆中心且与两个焦点所在的直线垂直的线段，虚轴为与实轴垂直且通过椭圆
中心的线段
双曲线的标准方程
• 一般方程：$(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}) = 1$，其中$a > b$，实轴在x轴上，长
双曲线的基本方程求解
• 转换方程为关于x或y的一元二次方程，使用求根公式
抛物线的基本方程求解
• 整理方程，使其成为标准形式，使用顶点公式或对称轴求解
椭圆、双曲线与抛物线的极坐标方程求解
01
02
03
椭圆的极坐标方程求解
双曲线的极坐标方程求解
抛物线的极坐标方程求解
• 将直角坐标方程转换为极坐标方
• 将直角坐标方程转换为极坐标方
切线
离无限接近于0
• 双曲线两侧的直线，无限接近双
曲线
双曲线的对称性及其基本性质
对称性
基本性质
• 双曲线关于x轴、y轴、原点
• 实轴等于虚轴的两倍：$2a =
分别对称，也关于经过焦点的
2b$
直线对称
• 对称轴交点为椭圆中心：
F1(c, 0)，F2(c, 0)，c为焦点到
中心的距离，$c^2 = a^2 +
• 方程为$x = -\frac{1}{4a}$
抛物线的对称性及其基本性质
对称性
基本性质
01
02
• 抛物线关于对称轴对称
• 顶点为抛物线的最低点（开
口向上）或最高点（开口向下）
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数大于F1F21的点的轨迹叫做椭圆。
符号语言：|MF,| |MF2| 2a 2a 2c将定义中的常数记为2a,贝①.当2a卩人时，点的轨迹是椭圆_____________双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数小于F”的点的轨迹叫做双曲线。
符号语言：MF t - MF22a 2a 2c将定义中的常数记为2a，贝①.当2a FE时，点的轨迹是双曲线_____________________ ②•当2a |吋2时，点的轨迹是两条射线③.当2a卩占时，点的轨迹不存在焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mn 02 2与双曲线仔笃1共焦点的双曲线系方程可设为:a b2y1 ba kb kx22 2 2 2与双曲线笃 耸1共渐近线的双曲线系方程可设为： $ 爲a ba b三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线I （I 不经过点F ）距离相等 的点的轨迹叫做AB x , x 2 p -2^（为弦AB 的倾斜角）sin直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于 A （x i ,y i ）,B x 2,y 2，则椭圆（或双曲线、抛 物线）的弦长公式：AB x , x 2| —k 2J x , x 2 2 4%卷—k22 2 2 2与椭圆負b 2 1共焦点的椭圆系方程可设为：和冷1 k b 2标准方程2y 2px (p o )图形焦点坐标(p ,0) 2 (匕0) 2 （0月2(0,上) 2准线方程x& 2x E 2 y 舟 yi范围x 0, y R x 0, y Ry 0,x Ry 0,x R对称性 关于x 轴关于y 轴顶点坐标 (0,0)焦半径M X o ,y o|MF | X 。
椭圆双曲线抛物线
目录
• 椭圆 • 双曲线 • 抛物线 • 三者之间的联系与区别 • 应用场景
01
椭圆
定义与性质
性质
定义：椭圆是由平面内与两个定 点$F_1$和$F_2$的距离之和等于 常数（大于$F_1F_2$）的所有点 组成的图形。
椭圆上任意一点到两焦点的距离 之和为常数，且等于椭圆的长轴 长。
区别
椭圆的焦点在x轴上，准线在y轴上；双曲线的焦点在x 轴上，准线在y轴上；抛物线的焦点在顶点，准线在x 轴上。
05
应用场景
椭圆的应用场景
天文观测
椭圆常用于描述行星和卫星的运 行轨道，是研究天文学的重要工
具。
建筑设计
椭圆在建筑设计中常用于门窗、壁 炉和吊顶等造型设计，增添空间的 美感。
光学仪器
椭圆形状的透镜或反射镜常用于光 学仪器中，如望远镜和显微镜。
面积与周长
面积
对于给定的抛物线，其面积可以通过以 下公式计算：$S = frac{1}{2} times text{base} times text{height}$。
VS
周长
由于抛物线是连续的曲线，其周长没有精 确的公式来表示。但对于某些特殊的抛物 线形状，如半圆形或四分之一圆形，其周 长可以用相应的公式来计算。
焦点与准线
焦点
对于开口向右或向上的抛物线，焦点位于直线 $x = frac{p}{2}$ 或 $y = frac{p}{2}$ 上；对于开口向左或向下的 抛物线，焦点位于直线 $x = -frac{p}{2}$ 或 $y = -frac{p}{2}$ 上。
准线
对于开口向右或向上的抛物线，准线是 $x = -frac{p}{2}$ 或 $y = -frac{p}{2}$；对于开口向左或向下的抛物线， 准线是 $x = frac{p}{2}$ 或 $y = frac{p}{2}$。
椭圆,双曲线,抛物线性质
1、范围:焦点在x轴上-a≤x≤a -b≤y≤b;焦点在y轴上-b≤x≤b -a≤y≤a[1]2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）4、离心率：e=c/a 或e=√1-b^2/a^25、离心率范围 0<e<16、离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆7.焦点(当中心为原点时)（-c，0），（c，0）或(0,c),(0,-c)切线法线定理1：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。
若直线AB切椭圆C于点P，且A和B在直线上位于P 的两侧，则∠APF1=∠BPF2。
定理2：设F1、F2为椭圆C的两个焦点，P为C上任意一点。
若直线AB为C在P点的法线，则AB平分∠F1PF2。
上述两定理的证明可以查看参考资料。
方程标准方程高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)2）焦点在Y轴时，标准方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0)其中a>0，b>0。
a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。
又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。
即标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。
椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1。
椭圆双曲线与抛物线
椭圆双曲线与抛物线椭圆双曲线和抛物线是数学中常见的曲线形状，它们在几何、物理和工程学中有广泛的应用。
本文将分别介绍椭圆双曲线和抛物线的定义、特点以及一些实际应用。
一、椭圆双曲线椭圆双曲线是平面上一类特殊的闭合曲线，它由两个焦点和一个恒定的距离和焦点间的任意点的距离之和构成。
椭圆双曲线可以分为椭圆和双曲线两种情况。
1. 椭圆椭圆是一种有两个焦点的闭合曲线，它的定义是：平面上到两个固定点的距离之和等于一个常量。
椭圆具有以下特点：- 所有点到两个焦点的距离之和等于一个常量。
- 椭圆具有对称性，焦点为对称中心。
- 椭圆的离心率小于1，离心率为0时为一个圆。
椭圆在几何学和天体力学中有广泛的应用。
例如，行星绕太阳的轨道就呈现出椭圆形状，地球绕太阳的轨道也是一个椭圆。
2. 双曲线双曲线也是一类有两个焦点的闭合曲线，它的定义是：平面上到两个固定点的距离之差等于一个常量。
双曲线具有以下特点：- 所有点到两个焦点的距离之差等于一个常量。
- 双曲线具有对称性，焦点为对称中心。
- 双曲线的离心率大于1。
双曲线在物理学、电磁学和天体力学中有广泛的应用。
例如，光线在折射过程中呈现双曲线的形状，行星绕太阳的超级高速轨道也是一个双曲线。
二、抛物线抛物线是一种特殊的曲线形状，它由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）上的所有点到焦点和准线的距离相等而构成。
抛物线具有以下特点：- 所有点到焦点和准线的距离相等。
- 抛物线具有对称性，焦点和准线在曲线上的对称点对称。
- 抛物线在平面上无限延伸。
抛物线在物理学、工程学和天文学中有广泛的应用。
例如，摩天大楼的外形常常设计成抛物线形状，抛物面反射器在卫星通讯中也起到重要作用。
总结：椭圆双曲线和抛物线都是重要的数学曲线，在几何、物理和工程学中有广泛的应用。
椭圆双曲线包括椭圆和双曲线两种形态，而抛物线则是一种特殊的曲线形状。
它们的定义、特点和应用在不同领域中都有一定差异，但都有着重要的实际意义。
椭圆双曲线抛物线公式
双曲线的标准公式为: X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x 轴,y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为 a (a≠0,顺时针) (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有X = xcosa ysina Y = - xsina ycosa 取 a = π/4 则X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数椭圆的面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。
如L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2 b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL椭圆的准线方程x=±a^2/C椭圆的离心率公式e=c/a(e<1,因为2a>2c)椭圆的焦准距 :椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x= a^2/C)的距离,数值=b^2/c椭圆焦半径公式 |PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a ex椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a点与椭圆位置关系点M(x0,y0) 椭圆 x^2/a^2 y^2/b^2=1点在圆内: x0^2/a^2 y0^2/b^2<1点在圆上: x0^2/a^2 y0^2/b^2=1点在圆外: x0^2/a^2 y0^2/b^2>1直线与椭圆位置关系y=kx m ①x^2/a^2 y^2/b^2=1 ②由①②可推出x^2/a^2 (kx m)^2/b^2=1相切△=0相离△<0无交点相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = √(1 k^2)|x1-x2| = √(1 k^2)(x1-x2)^2 = √(1 1/k^2)|y1-y2| = √(1 1/k^2)(y1-y2)^2椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)公式:2b^2/a椭圆的斜率公式过椭圆上x^2/a^2 y^2/b^2上一点(x,y)的切线斜率为b^2*X/a^2y抛物线的标准方程右开口抛物线:y^2=2px左开口抛物线:y^2=-2px上开口抛物线:x^2=2py下开口抛物线:x^2=-2pyp为焦准距(p>0)[编辑本段]3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线) 离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦):2P [编辑本段]4.它的解析式求法:以焦点在X轴上为例知道P(x0,y0)令所求为y^2=2px则有y0^2=2px0∴2p=y0^2/x0∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x [编辑本段]5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。
椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质
椭圆、抛物线、双曲线的定义及性质椭圆、抛物线、双曲线是高中数学中常见的三种二次曲线，它们的定义和性质对于我们理解数学和应用数学起着非常重要的作用。
本文将详细介绍这三种曲线的定义以及它们的一些重要性质。
一、椭圆的定义及性质椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和为常数2a的所有点P的轨迹，这两个定点称为椭圆的焦点，椭圆的长轴为2a，短轴为2b，半径为c，满足 $a^2=b^2+c^2$。
椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}$，离心率是描述椭圆扁平程度的一个参数，$0<e<1$，当离心率为0时，椭圆就退化成为一个圆。
椭圆具有如下性质：1.椭圆的中心在两个焦点的中垂线上；2.椭圆的两个焦点到圆心连线的夹角等于圆心到椭圆上任意一点P的切线与椭圆长轴之间的夹角；3.椭圆的周长和面积分别为 $C=4aE(e)$，$S=\pi a b$；其中$E(e)$为第二类完全椭圆积分。
二、抛物线的定义及性质抛物线是平面上到一个定点F到直线l距离等于点P到定点F 距离的所有点P的轨迹，这个定点F称为抛物线的焦点，直线l称为抛物线的准线。
抛物线具有如下性质：1.抛物线的焦点到抛物线顶点的距离等于抛物线定点F到准线距离的一半，称为抛物线的焦距；2.抛物线的汇聚点为无穷远处；3.对于平面上任意的一点P，直线FP与准线l的夹角等于点P 到抛物线顶点的切线与抛物线轴线的夹角相等。
三、双曲线的定义及性质双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差为常数2a的所有点P的轨迹，这两个定点称为双曲线的焦点，而常数2a为双曲线的距离。
双曲线具有如下性质：1.双曲线的两个分支之间存在一对渐近线，渐近线与双曲线的距离趋近于无穷；2.双曲线的离心率$e=\frac{c}{a}>1$；3.双曲线没有汇聚点，但是有两个分支的顶点。
总之，椭圆、抛物线、双曲线是研究二次曲线非常重要的三种类型，它们都具有自己独特的定义及性质。
理解这些性质不仅有助于我们提高抽象思维和数学运用能力，还有助于我们在物理、工程、计算机等领域的具体应用中理解和解决实际问题。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$为长半轴长，＄b$为短半轴长，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
（2）焦点在$y$轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$）。
3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
（2）范围：对于焦点在$x$轴上的椭圆，＄a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆，＄b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
（3）顶点：焦点在$x$轴上时，顶点坐标为$（＼pm a, 0)＄，＄（0, ＼pm b)＄；焦点在$y$轴上时，顶点坐标为$（0, ＼pm a)＄，＄（＼pm b, 0)＄。
（4）离心率：＄e ＝＼frac{c}｛a}＄（＄0 ＜ e ＜ 1$），反映了椭圆的扁平程度。
4、椭圆中的重要结论（1）过椭圆焦点的弦长：若弦过焦点$F_1$，则弦长$｜AB| ＝ 2a e(x_1 ＋ x_2)＄。
（2）椭圆上一点到焦点的距离：设椭圆上一点$P(x_0, y_0)＄，两焦点为$F_1$，＄F_2$，则$｜PF_1| ＝ a ＋ ex_0$，＄｜PF_2| ＝ aex_0$。
二、双曲线1、定义平面内与两个定点$F_1$，＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
2、标准方程（1）焦点在$x$轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$。
椭圆双曲线抛物线公式汇总 椭圆双曲线抛物线公式
椭圆双曲线抛物线公式汇总椭圆双曲线抛物线公式双曲线的标准公式为: X /a - Y /b = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的因为xy = c的对称轴是y=x, y=-x 而X /a - Y /b = 1的对称轴是x轴,y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为a (a≠0,顺时针) (a为双曲线渐进线的倾斜角) 则有X = xcosa ysina Y = - xsina ycosa 取a = π/4 则X - Y = (xcos(π/4) ysin(π/4)) -(xsin(π/4) - ycos(π/4)) = (√2/2 x √2/2 y) -(√2/2 x - √2/2 y) = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以X /(2c) - Y /(2c) = 1 (c>0) Y /(-2c) - X /(-2c) = 1 (c 由此证得,反比例函数其实就是双曲线函数椭圆的面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).椭圆的周长公式椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。
如L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost) )dt≈2π√((a b )/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则e=PF/PL椭圆的准线方程x=±a /C椭圆的离心率公式e=c/a(e2c)椭圆的焦准距:椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x= a /C)的距离,数值=b /c椭圆焦半径公式|PF1|=a ex0 |PF2|=a-ex0椭圆过右焦点的半径r=a-ex过左焦点的半径r=a ex椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b /a点与椭圆位置关系点M(x0,y0) 椭圆x /a y /b =1点在圆内: x0 /a y0 /b点在圆上: x0 /a y0 /b =1点在圆外: x0 /a y0 /b >1直线与椭圆位置关系y=kx m ①x /a y /b =1 ②由①②可推出x /a (kx m) /b =1相切△=0相离△相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2)|AB|=d = √(1 k )|x1-x2| = √(1 k )(x1-x2) = √(1 1/k )|y1-y2| = √(1 1/k )(y1-y2)椭圆通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦)公式:2b /a椭圆的斜率公式过椭圆上x /a y /b 上一点(x,y)的切线斜率为b *X/a y 抛物线的标准方程右开口抛物线:y =2px左开口抛物线:y =-2px上开口抛物线:x =2py下开口抛物线:x =-2pyp为焦准距(p>0)[编辑本段]3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)离心率:e=1焦点:(p/2,0)准线方程l:x=-p/2顶点:(0,0)通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦):2P [编辑本段]4.它的解析式求法:以焦点在X轴上为例知道P(x0,y0)令所求为y =2px则有y0 =2px0∴2p=y0 /x0∴抛物线为y =(y0 /x0)x [编辑本段]5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。
必修十三中的椭圆、抛物线和双曲线
必修十三中的椭圆、抛物 线和双曲线
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椭圆、抛物线和 双曲线的定义和 性质
椭圆、抛物线和 双曲线的几何应 用
椭圆、抛物线和 双曲线的解析方 法
椭圆、抛物线和 双曲线的参数方 程和极坐标方程
椭圆、抛物线和 双曲线的离心率 和准线方程
参数方程：通过引入参数 来表示椭圆、抛物线和双 曲线的几何特征，参数的 变化可以描述曲线的形状
和大小。
极坐标方程：利用极坐标 系中Байду номын сангаас角度和距离来表示 椭圆、抛物线和双曲线的 几何特征，极坐标方程可 以描述曲线的位置和形状。
参数方程和极坐标方程的 应用：在物理学、工程学、 天文学等领域中，参数方 程和极坐标方程被广泛应 用于描述和分析各种曲线
抛物线：解析法在抛物线中的应用主要 体现在求抛物线的标准方程和焦点坐标 等方面，有助于更好地掌握抛物线的性 质和应用。
双曲线：解析法在双曲线中的应用主要体 现在求双曲线的标准方程和离心率等方面， 有助于更好地掌握双曲线的性质和应用。
综合应用：解析法在椭圆、抛物线和双 曲线中都有广泛的应用，通过解析法的 运用，可以更好地理解这些曲线的性质 和方程形式，从而更好地掌握其应用。
离心率：椭圆、抛物线和双曲线的离心率分别为$e = \frac{c}{a}$、$e = 1$和$e > 1$，其中$c$是焦点到中心的距离
03
椭圆、抛物线和双曲线的几 何应用
椭圆、抛物线和双曲线在实际问题中的应用
椭圆的应用：描述行星和 卫星的运动轨迹，以及地 球上自然现象如潮汐的周
期性变化。
抛物线的应用：设计卫星 通信系统，实现无线信号
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点的总结-教师版汇编
椭圆、双曲线、抛物线相关知识点总结一、椭圆的标准方程及其几何性质椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的和等于常数大于F,F2的点的轨迹叫做椭圆。
符号语言：［MF.I+|MF2| =2a(2a >2c)将定义中的常数记为2a，贝U：①.当2a FF时，点的轨迹是椭圆焦点位置不确定的椭圆方程可设为：mx2 ny2=1 m 0, n • 0,m = n2 2 2 2与椭圆笃每=1共焦点的椭圆系方程可设为：孚2y 1 k • —b2 a2 b2a+k b +k二、双曲线的标准方程及其几何性质双曲线的定义：我们把平面内与两个定点F, F2的距离的差的绝对值等于常数小于F”的点的轨迹叫做双曲线。
符号语言：| MF』-MF2| -2a 2a：：： 2C将定义中的常数记为2a，贝U：①.当2a £市』时，点的轨迹是双曲线______________2 与双曲线二ax2 a 2-k2y_ b2k渐近线方程by = ±—xaay =士一xbr通径2b2a焦点位置不确定的双曲线方程可设为：mx2 - ny2 =1mn • 02 2与双曲线笃一耸=1共渐近线的双曲线系方程可设为:a b三、抛物线的标准方程及其几何性质抛物线的定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线I （I不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做标准方程2y = 2 px( p > 0)2y = -2 px( p > 0)2x = 2 py( p >0)2x = —2 py( p a 0)—图形[K NT”J y /iPT——[厂。
:焦点坐标p(2,0)（号。
）p（0，#）2(0,」)2准线方程X」2x专y」2y」2范围x 兰0, y w R x^0,厂R y K0,x E R y 兰0,x^ R对称性关于x轴关于y轴顶点坐标(0,0)焦半径M (x o, yo )i MF j+p|MF|=—X。
埠MF= y°+£|MF= -y^p离心率e=122直线与抛物线相交于A（X i,yJ,B X2,y2，且直线过抛物线的焦点，则过焦点的弦长公式：AB =捲+X2 + p^-2^©为弦AB的倾斜角）sin a直线与椭圆（或与双曲线、抛物线）相交于A（X i,yd,B X2,y2 ,则椭圆（或双曲线、抛物线）的弦长公式：AB =凶—xj J i +k2 = J* + x? f —4X[X2J i + k2。
8.12椭圆、双曲线、抛物线的统一定义
8.7椭圆、双曲线、抛物线的统一定义1.椭圆、双曲线、抛物线的统一定义是在平面上，若动点 M 与一个定点F 及M 到一条定直线(定点 M 不在定直线上)距离之比等于常数 f ,当0<e <i 时，点M 的轨迹是椭圆；当 e >i 时，点M 的轨迹为双 曲线；当e = 1时，点M 的轨迹为抛物线.2 22 .椭圆 笃+当=1(a Ab>0)上点 M ( x 0,y 0)的左焦点半径+ ，右焦点半径a bx 2y2MF ?] =a —ex o ，椭圆手 p =1(a >b >0)上点P ( X o , y o )的下焦点半径 PF 』=a + ey °，上焦点 a b半径PF 2 =a-ey o .希望注意双曲线的焦半径与椭圆的焦半径的区别.2 2X y3•双曲线— 牙=1上一点P ( X o ,y o )的焦半径公式a b(1) x o >o , PF l=ex )+a , PF^ex^ - a ;(2) X o <o , PF 1 = —(ex o + a), PF 2 — —(ex o — a).4 .抛物线y 2二2px(p o)和抛物线x 2二2py(p o)的焦半径公式:如图所示，已知椭圆C 的焦点是3,o ), F 2C 3,0)，点F 1到相应的准线的距离为 过F 2点且倾斜角为锐角的直线 l 与椭圆C 交于A 、B 两点，使得，F 2B =3F 2A .(1)求椭圆C 的方程；(2)求直线l 的方程.PFPFy o •卫2、-3 3例2 已知双曲线b2x2- a2y2=a2b2的离心率的取值范围为e （1 • 2, •：：），左、右焦点分别为F2，左准线为丨，能否在双曲线的左支上找到一点P,使得PF1是P到丨的距离d与PF2的等比中项？例3 如图所示.有一张长为8,宽为4的矩形纸片ABCD ,按图示的方法进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上.此时将B记为B'（注：图中FE为折痕.点F也可落在边CD 上）.过B'作B '// CD交EF于点T .求点T的轨迹方程.已知线段AB的两个端点在椭圆2 2—-红=1上滑动，且25 1632AB = m(——c m £10),5M为AB的中点，求M到y轴的最大距离.I1例6一动点到定直线 X = 3的距离是它到定点 F ( 4，0)的距离的-，求这个动点的轨迹方程.28.12椭圆、双曲线、抛物线的统一定义证:2 2例5 已知AB 是双曲线 冷一仝=1(a .o,b .0)过右焦点a 2b 21 AF ,1 BF ,为定值，并求出该定值.1-已知双曲线A m 2x 2=1(m >°)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为5,则m=C . 3最小值为4MF +5MA 的最小值为最大值为 _________________解答题2.已知点P 是抛物线y 2 = 2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的3.已知抛物线y 2= 2px (p>0),过焦点且斜率为 坐标为2，则该抛物线的准线方程为1的直线交抛物线于 A 、 B 两点，若线段 AB 的中点的纵A . x = 1 C . x = 2 D . x =- 24.过原点的直线B . x =- 12 2I 与双曲线x -73 =- 1交于两点，则直线l 的斜率的取值范围是4 3一亜一 2，-m ,-舟U 于，+o25. 设P 是双曲线x 2-= 1的右支上的动点，F 为双曲线的右焦点，已知 3A ( 3,1),则 |FA|+ |PF|的最小值为 ________ . 6. 如图，抛物线顶点在原点，圆 x 2+ y 2- 4x = 0的圆心恰是抛物线的焦点.(1) ______________________ 抛物线的方程为 ; (2) 一直线的斜率等于 2，且C 、D 四点，贝U |AB|+ |CD| = ________ .2 2x V7.已知椭圆的方程是 — 1(a 5)，它的两个焦点分别为F 、F ，且F 1 F 2 =8，弦 AB 过 F ］，则△ AB F 2的周长为 ___________________________&若点A 的坐标为(3, 2), F 为抛物线y 2 =2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则 PA+|PF 取得最 小值时点P 的坐标是 ________________________________ .9.已知点F 为双曲线2 2x y 169=1的右焦点, M 是双曲线右支上一动点，定点 A 的坐标是(5, 1),则10. P ( x, y )是椭圆2 2X . y a 2b 2= 1(a b 0)上任意一点, F 1> F 2是它的左、右焦点，则PF 1 PF 2 的一oo,,C .2 2y x11 •如图所示，M ,N 是椭圆C l ：22=1(a b ■ 0)的一条弦，A (1, -2)a b是MN 的中点，以A 为焦点，以椭圆 C 2的下准线丨为相应准线的双曲线 C 2与直 线MN 交于点B (- l ，- 4),设曲线 G, C 2的离心率分别为 e ,,e 2 •(1) 试求e 1的值，并用a 表示双曲线的离心率 e 2 ； (2) 当e )e 2 =1时，求MB 的值.2 2x y2 212 •如图，点P(0,-1)是椭圆2=1(a b 0)的一个顶点，G 的长轴是圆C 2：x y =4的直a b(1) 求椭圆G 的方程；(2) 求 ABD 面积取最大值时直线|1的方程.径• 11 ,1 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中h 交圆C 2于两点,12交椭圆G 于另一点D(第12题图)。
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椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及性质(学案)【一】知识回顾【二】例题选讲1. 已知()()0,2,0,2-B A（1）动点P 满足10=+PB PA ，则P 的轨迹方程是 ；（2）动点P 满足4=-PB PA（3）动点P 满足2=-PB PA 2. 已知21,F F 椭圆181622=+y x 点，如图1所示，则2ABF ∆3. 已知21,F F 双曲线(,1222=-a b y ax 交左支于A ，B 两点，且m AB =4. 抛物线x y 22=上的点M 5. 已知椭圆1532222=+n y m x 渐近线方程是 .6. 以双曲线116922=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 . 7. 已知双曲线C 经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y =，则双曲线C 的标准方程是 .8. 椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上（1）若|PF 1|＝4，求|PF 2|及∠F 1PF 2的大小； （2）若21PF PF ⊥，求21F PF ∆的面积.9. 正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，求正方形ABCD 的面积.10. 已知动点P 到两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离12,PF PF 的等差中项为（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）直线l 过圆2240x y y ++=的圆心Q 与曲线C 交于,M N 两点，且0ON OM ⋅=(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.【三】课后练习1. 若椭圆1222=+ky kx 的一个焦点是()4,0-，则=k .2. 双曲线19422=-y x 的顶点坐标是 ，渐近线方程是 . 3. 抛物线24x y =的焦点坐标是 ，准线方程是 .4. 经过椭圆15922=+y x 和19522=+y x 的所有交点的圆的方程是 . 5. 设双曲线192522=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，且121=PF ，则=2PF . 6. 与双曲线4422=-y x 有共同的渐近线，且过点()5,2的双曲线方程是 .7. F 是抛物线x y 22=焦点，P 是抛物线上一点，且29=PF ，则P 的坐标是 . 8. 已知两圆2215:(1)4O x y ++=和22245:(1)4O x y -+=，动圆P 与⊙O 1外切，且与⊙O 2内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是 .9. 求抛物线22x y =上的点到直线02=--y x 的距离最小值.10. 若直线b x y +=与抛物线y x 22=交于A ，B 两点，且OB OA ⊥，求实数b 的值.11. 过抛物线()0,22>=p px y 的焦点F 作直线交抛物线于()()2211,,,y x B y x A 两点，求证：21x x 及21y y 均为定值.12. 已知椭圆1C 的方程为2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点。
（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:l y kx =+C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的范围.直线与圆锥曲线的位置关系（学案）【一】 知识回顾：直线与曲线的位置关系：相交、相切、相离，如何判断？【二】 例题选讲1. 过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是……………………（ ）()A 0条 ()B 1条 ()C 2条 ()D 3条2. 已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 …………………………………………………………………………………（ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条3. 直线y=x+3与曲线14||92=-x x y ……………………………………………………………（ ） （A ）没有交点 (B)只有一个交点 (C)有两个交点 (D)有三个交点4. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）有且仅有一条 （B ）有且仅有两条 （C ）有无穷多条 （D ）不存在 5. 求过点()1,0-M 且与抛物线22y x =有且仅有一个公共点的直线方程.6. 若直线1-=kx y 与双曲线1322=-y x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.7. 已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点. （1）求证：以AB 为直径的圆经过坐标原点； （2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值.8. （1）已知直线l 与抛物线x y 42=交于A ，B 两点，若直线l 过定点()0,4M ，求证：OB OA ⊥（2）试写出（1）的逆命题，并判断其真假，说明理由. 解（1）解（2）逆命题：【三】 课后练习1 已知M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为…………………………………………………………………（ ）（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42=（D ）x y 42-=2 直线l 过点(5, 0)，与双曲线2214y x -=只有一个公共点，则满足条件的l 有…………（ ） （A ）1条（B ）2条（C ）4条（D ）无数条3 过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有………………… （ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条4 椭圆205422=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 .5 动点P 到定点()0,1F 的距离比它到定直线04=+x 距离小3，则P 的轨迹方程为 .6 若双曲线()0,0,12222>>=-b a b y a x 的顶点三等分焦距，则其渐近线方程是 .7 以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ． 8 直线l 过点M （1，1）且与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，求直线l的方程。
9已知直线y=kx+1与双曲线2x2―y2=1只有一个公共点，求k的值.10 已知直线l ：0=+-m y x 及曲线C ：2222=+y x（1）当m 为何值时，直线l 与曲线C 相交，相切，相离？（2）当m 为何值时，直线l 截曲线C 所得弦长为34？（3）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，当m 为何值时，32=∆ABO S ？（4）当m 为何值时，直线l 截曲线C 所得弦长最大，最大为多少？最大，最大为多少？（5）若直线l与曲线C交于A，B两点，当m为何值时，ABOS（6）若直线l与曲线C交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求m的值.圆锥曲线的综合应用（学案）【一】例题选讲1. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2 m 时，水面宽4 m ，若水面下降1 m 时，则水面宽为________.2. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm ，灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是________________ cm.3. 在相距1 400 m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s ，已知声速340 m/s ，建立恰当的坐标系，炮弹爆炸点所在曲线的方程为__________________.4. 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验． 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. .)0,8(D ．观测点)0,4(A )0,6(B 同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的 距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？5. 左图是一种加热水和食物的太阳灶，是一种可利用太阳能资源的设备，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。
已知镜口圆的直径为12 m ，镜深2 m ，（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置； （2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度.6.A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．【二】课后练习1. 双曲线221102x y -=的焦距为 ，渐近线方程为 . 2. 若方程112222=-++m y m x 的曲线C 是双曲线，则m 的取值范围是 . 3. P 是双曲线116922=-y x 上一点，若|PF 1|=7，则|PF 2|= . 4. 直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为 .5. 直线2y kx =-交抛物线28y x =于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标是2,则AB =________.6. 设F 1是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A （1，1）是一定点，则1PA PF +的最大值是____________.7. 某抛物线形拱桥的跨度是20 m ，拱高是4 m ，在建桥时每隔4 m 需用一柱支撑，求其中最长的支柱长多少米.8. 某隧道横断面由抛物线及矩形三边组成，尺寸如图(单位:m)，某卡车空车能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4.5 m ，此车能否通过此隧道？请说明理由.9. 已知点()0,2A 及椭圆2214x y +=，在椭圆上求一点P ，使PA 的值最大.10.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(03)-，，(03)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）写出曲线C 的标准方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？11. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线.近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ （半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）。