2013年浙江省考试院高考数学测试卷(理)
2013年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)
2013年浙江省高考数学试卷（理科）一．选择题目：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）B ．C．D．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）x k9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平二、填空题目：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=_________．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于_________cm3．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=_________．14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_________种（用数字作答）15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于_________．16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．2013年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题目：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的三角函数的图像与性质．φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f （0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解：若φ=，则f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f（x）是奇函数，⇒f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．故选B．本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）图表型．根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则 2﹣=．∴a=4，6．（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A B．C．D．由题意结合sinα+cosα=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A∠ABC=90°B∠BAC=90°C AB=AC D AC=BC计算题；平面向量及应用．以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出，，，，然后由结合向量的数量积的坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）∴=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）∵恒有∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立∴△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0∴a=0，即C在AB的垂直平分线上∴AC=BC故△ABC为等腰三角形本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查x k极小值还是极大值即可得结论．解：当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当＜x＜1时，f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．故选C．本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A B．C．D．计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF|与|AF|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角二、填空题目：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=﹣10．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解：二项式的展开式的通项公式为 T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24 cm3．先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：V=V棱柱﹣V三棱锥=﹣×3=24（cm3）故答案为：24本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算．V椎体=Sh，V柱体=Sh．考查空间想象能力．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2．答案．解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在x=4，y=4时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在x=0，y=2时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）最后乘以2即可．解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第2个位置时A A，当C在左边第3个位置时，有A A+A A，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有 480种．故答案为：480．本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．圆锥曲线的定义、性质与方程．由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．压轴题；解三角形．作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，故答案为：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．压轴题；平面向量及应用．由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6P（2）由题意知η的分布列为η 1 2 3PEη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD 的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．计算题；空间位置关系与距离；空间角．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴．∴三角形ABD的面积．∴=，当且仅当时取等号，故所求直线l1的方程为．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．小．解：（1）因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a，故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；（2）由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得，．所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极大值，极小值．故f（x1）+f（x2）=2＞0，．从而f（x1）＞|f（x2）|．所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|．又=故．当时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．又=．所以当时，f（x1）＞|f（2）|．故．当时，f（x1）≤|f（2）|．故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．综上所述|f（x）|max=．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2013高考真题——(浙江卷)理科数学(解析版+Word版含答案)
数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A. ]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 答案：C 解析：如图1所示，由已知得到考点定位：此题考查集合的运用之补集和并集体，考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 3、已知y x ,为正实数，则A.yxyx lg lg lg lg 222+=+ B.yxy x lg lg )lg(222∙=+C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙= 答案：D解析：此题中，由考点定位：此题考查对数的运算法则和同底数幂的乘法的运算法则；4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：考点定位：充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 答案：A解析：由图可知考点定位：此题考查算法及数列的列项相消求和的方法； 6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tanA.34 B. 43 C.43- D.34- 答案：C解析：由已知得到：考点定位：此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解能力；7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00∙≥∙。
浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷--含答案
浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷姓名_____________ 准考证号__________________本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞25．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab 6．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列B ．若a n ⋅a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ⋅a n ＝2m +n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n ⋅a n +3＝a n +1⋅a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是ABCD8．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+-≥ 则2x＋y 的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．309．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为A B(第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图 xy OA B F 1F 2(第9题图)C．2D10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，f n+1 (x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为A．B．C．D．非选择题部分(共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年高考理科数学浙江卷-答案
{|x xS=RS T=(){|x xR，再利用并集的定义求出结果．【提示】先根据一元二次不等式求出集合T，然后求得SR【考点】集合的基本运算．s tx y，满足上述两个a，lg(xy lg2【提示】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =，,()C a b ，P ，∴01,0()P B =，2(,0B x P =，(,a C x P =，0(a P C =-00PB PC P B P C ≥，∴(20=，即C AB 的垂直平分线上，∴BC =，故△等腰三角形，故选D ．然后由题意可写出0P B ，PB ，PC ，0PC ，然后由00PB PC P B P C ≥结合向量的数量积的()f x 在1x =取得极小值．对照选项．故选C ．角，∴平面α与平面β垂直，故选A ．155536255(1)(1)C r r r r r r r x x x ----=-．令1524.此时，120+2k =⨯，故k 不存在．综上，2k =.故答案为：2.（步骤3）32c2c 【答案】2【解析】∵1e ，2e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于∴12112e e =⨯⨯∵非零向量12+b xe ye =，（步骤22212||+2+b b x xye e y x ===222||||||+3+3+3+x x b x xy x x x xy y y y ==⎛⎫ ⎪⎝⎭故当3x =-||||x b 取得最大值为，故答案为2.（步骤【提示】由题意求得1232e e =，22212||+2+b b x xye e y x ===222|||||+3+3++x b x xy x x x x y y ==⎛⎫⎛ ⎪⎝⎭再利用二次函数的性质求得||||x b 的最大值．123(10+11++||++++2n n n a a a a a -==123111213++||++++(+++)n n a a a a a a a a =-1112311(21++)(++++)22n a a a a a --=⨯所以，综上所述：1232(21),(111)2||+||+||++||21n n n n a a a a n -⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪10，且1a ，2++||n a 的和．所以PQF BDC 面∥面，且PQ PQF ⊂面， 所以PQ BDC ∥面；（步骤2）方法二：如图所示，1PQOH ，且PQ BDC ∥面（Ⅱ）如图所示，,1][,)a+∞时，---1(2a。
2013年浙江省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年浙江省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知i是虚数单位,则(－1＋i)(2－i)＝( )A.－3＋iB.－1＋3iC.－3＋3iD.－1＋iS)∪T＝( )2.(5分)设集合S＝{x|x＞－2},T＝{x|x2＋3x－4≤0},则(∁RA.(－2,1]B.(－∞,－4]C.(－∞,1]D.[1,＋∞)3.(5分)已知x,y为正实数,则( )A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB.2lg(x＋y)＝2lgx•2lgyC.2lgx•lgy＝2lgx＋2lgyD.2lg(xy)＝2lgx•2lgy4.(5分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则( )A.a＝4B.a＝5C.a＝6D.a＝76.(5分)已知,则tan2α＝( )A. B. C. D.7.(5分)设△ABC,P是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则( )A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝ACD.AC＝BC8.(5分)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2),则( )A.当k＝1时,f(x)在x＝1处取得极小值B.当k＝1时,f(x)在x＝1处取得极大值C.当k＝2时,f(x)在x＝1处取得极小值D.当k＝2时,f(x)在x＝1处取得极大值9.(5分)如图F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )A. B. C. D.10.(5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B＝fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1＝fβ[fα(P)],Q2＝fα[fβ(P)],恒有PQ1＝PQ2,则( )A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)设二项式的展开式中常数项为A,则A＝.12.(4分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm3.13.(4分)设z＝kx＋y,其中实数x,y满足,若z的最大值为12,则实数k＝.14.(4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答)15.(4分)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|＝2,则直线l的斜率等于.16.(4分)△ABC中,∠C＝90°,M是BC的中点,若,则sin∠BAC＝.17.(4分)设、为单位向量,非零向量＝x＋y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)在公差为d的等差数列{an }中,已知a1＝10,且a1,2a2＋2,5a3成等比数列.(Ⅰ)求d,an；(Ⅱ)若d＜0,求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.19.(14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定：取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当a＝3,b＝2,c＝1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若,求a：b：c.20.(15分)如图,在四面体A－BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD＝2,BD＝2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小为60°,求∠BDC的大小.21.(15分)如图,点P(0,－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.22.(14分)已知a∈R,函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.2013年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知i是虚数单位,则(－1＋i)(2－i)＝( )A.－3＋iB.－1＋3iC.－3＋3iD.－1＋i【分析】直接利用两个复数代数形式的乘法法则,以及虚数单位i的幂运算性质,运算求得结果.【解答】解：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i,故选：B.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.S)∪T＝( )2.(5分)设集合S＝{x|x＞－2},T＝{x|x2＋3x－4≤0},则(∁RA.(－2,1]B.(－∞,－4]C.(－∞,1]D.[1,＋∞)【分析】先根据一元二次不等式求出集合T,然后求得∁S,再利用并集的定义求出结果.R【解答】解：∵集合S＝{x|x＞－2},S＝{x|x≤－2},∴∁RT＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1},S)∪T＝{x|x≤1}故(∁R故选：C.【点评】此题属于以一元二次不等式的解法为平台,考查了补集及并集的运算,是高考中常考的题型.在求补集时注意全集的范围.3.(5分)已知x,y为正实数,则( )A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB.2lg(x＋y)＝2lgx•2lgyC.2lgx•lgy＝2lgx＋2lgyD.2lg(xy)＝2lgx•2lgy【分析】直接利用指数与对数的运算性质,判断选项即可.【解答】解：因为a s＋t＝a s•a t,lg(xy)＝lgx＋lgy(x,y为正实数),所以2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx•2lgy,满足上述两个公式,故选：D.【点评】本题考查指数与对数的运算性质,基本知识的考查.4.(5分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】φ＝⇒f(x)＝Acos(ωx＋)⇒f(x)＝－Asin(ωx)(A＞0,ω＞0,x∈R)是奇函数.f(x)为奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝kπ＋,k∈Z.所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”必要不充分条件.【解答】解：若φ＝,则f(x)＝Acos(ωx＋)⇒f(x)＝－Asin(ωx)(A＞0,ω＞0,x∈R)是奇函数；若f(x)是奇函数,⇒f(0)＝0,∴f(0)＝Acos(ω×0＋φ)＝Acosφ＝0.∴φ＝kπ＋,k∈Z,不一定有φ＝“f(x)是奇函数”是“φ＝”必要不充分条件.故选：B.【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意三角函数性质的灵活运用.5.(5分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则( )A.a＝4B.a＝5C.a＝6D.a＝7【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S＝1＋＋…＋的值,利用裂项相消法易得答案.【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝1＋＋…＋＝1＋1－＝2－.若该程序运行后输出的值是,则 2－＝.∴a＝4,故选：A.【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中分析出程序的功能是解答的关键.6.(5分)已知,则tan2α＝( )A. B. C. D.【分析】由题意结合sin2α＋cos2α＝1可解得sinα,和cosα,进而可得tanα,再代入二倍角的正切公式可得答案.【解答】解：∵,又sin2α＋cos2α＝1,联立解得,或故tanα＝＝,或tanα＝3,代入可得tan2α＝＝＝－,或tan2α＝＝＝故选：C.【点评】本题考查二倍角的正切公式,涉及同角三角函数的基本关系,属中档题.7.(5分)设△ABC,P是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则( )A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝ACD.AC＝BC【分析】设||＝4,则||＝1,过点C作AB的垂线,垂足为H,在AB上任取一点P,设HP0＝a,则由数量积的几何意义可得||2－(a＋1)||＋a≥0恒成立,只需△＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0即可,由此能求出△ABC是等腰三角形,AC＝BC.【解答】解：设||＝4,则||＝1,过点C作AB的垂线,垂足为H,＝a,则由数量积的几何意义可得,在AB上任取一点P,设HP＝||•||＝||2－(a＋1)||,•＝－a,于是•≥••恒成立,整理得||2－(a＋1)||＋a≥0恒成立,只需△＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0即可,于是a＝1,因此我们得到HB＝2,即H是AB的中点,故△ABC是等腰三角形,所以AC＝BC.故选：D.【点评】本题主要考查了平面向量的运算,向量的模及向量的数量积的概念,向量运算的几何意义的应用,还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力8.(5分)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2),则( )A.当k＝1时,f(x)在x＝1处取得极小值B.当k＝1时,f(x)在x＝1处取得极大值C.当k＝2时,f(x)在x＝1处取得极小值D.当k＝2时,f(x)在x＝1处取得极大值【分析】通过对函数f(x)求导,根据选项知函数在x＝1处有极值,验证f'(1)＝0,再验证f(x)在x＝1处取得极小值还是极大值即可得结论.【解答】解：当k＝1时,函数f(x)＝(e x－1)(x－1).求导函数可得f'(x)＝e x(x－1)＋(e x－1)＝(xe x－1),f'(1)＝e－1≠0,f'(2)＝2e2－1≠0,则f(x)在在x＝1处与在x＝2处均取不到极值,当k＝2时,函数f(x)＝(e x－1)(x－1)2.求导函数可得f'(x)＝e x(x－1)2＋2(e x－1)(x－1)＝(x－1)(xe x＋e x－2),∴当x＝1,f'(x)＝0,且当x＞1时,f'(x)＞0,当x0＜x＜1时(x为极大值点),f'(x)＜0,故函数f(x)在(1,＋∞)上是增函数；在(x,1)上是减函数,从而函数f(x)在x＝1取得极小值.对照选项. 故选：C.【点评】本题考查了函数的极值问题,考查学生的计算能力,正确理解极值是关键.9.(5分)如图F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )A. B. C. D.【分析】不妨设|AF1|＝x,|AF2|＝y,依题意,解此方程组可求得x,y的值,利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率.【解答】解：设|AF1|＝x,|AF2|＝y,∵点A为椭圆C1：＋y2＝1上的点,∴2a＝4,b＝1,c＝；∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝4,即x＋y＝4；①又四边形AF1BF2为矩形,∴＋＝,即x2＋y2＝(2c)2＝＝12,②由①②得：,解得x＝2－,y＝2＋,设双曲线C2的实轴长为2m,焦距为2n,则2m＝|AF2|－|AF1|＝y－x＝2,2n＝2c＝2,∴双曲线C2的离心率e＝＝＝.故选：D.【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.10.(5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B＝fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1＝fβ[fα(P)],Q2＝fα[fβ(P)],恒有PQ1＝PQ2,则( )A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°【分析】设P1是点P在α内的射影,点P2是点P在β内的射影.根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点,由此可得四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α－l－β的平面角,根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直,得到本题答案.【解答】解：设P1＝fα(P),则根据题意,得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1＝fβ[fα(P)]＝fβ(P1),∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理,若P2＝fβ(P),得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2＝fα[fβ(P)]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P,恒有PQ1＝PQ2,∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得,四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α－l－β的平面角∵∠P1Q1P2是直角,∴平面α与平面β垂直故选：A.【点评】本题给出新定义,要求我们判定平面α与平面β所成角大小,着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识,属于中档题.二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)设二项式的展开式中常数项为A,则A＝－10 .【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的系数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项的值.【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr＋1＝••(－1)r•＝(－1)r••.令＝0,解得r＝3,故展开式的常数项为－＝－10,故答案为－10.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.12.(4分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的体积等于24 cm3.【分析】先根据三视图判断几何体的形状,再利用体积公式计算即可.【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边分别为3,4,侧面的高为5,被截取的棱锥的高为3.如图：V＝V棱柱－V棱锥＝＝24(cm3)故答案为：24.【点评】本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算.V椎体＝Sh,V柱体＝Sh.考查空间想象能力.13.(4分)设z＝kx＋y,其中实数x,y满足,若z的最大值为12,则实数k＝ 2 .【分析】先画出可行域,得到角点坐标.再对k进行分类讨论,通过平移直线z＝kx＋y得到最大值点A,即可得到答案.【解答】解：可行域如图：由得：A(4,4),同样地,得B(0,2),z＝kx＋y,即y＝－kx＋z,分k＞0,k＜0两种情况.当k＞0时,目标函数z＝kx＋y在A点取最大值,即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大,即12＝4k＋4,得k＝2；当k＜0时,①当k＞－时,目标函数z＝kx＋y在A点(4,4)时取最大值,即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大,此时,12＝4k＋4,故k＝2.②当k时,目标函数z＝kx＋y在B点(0,2)时取最大值,即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大,此时,12＝0×k＋2,故k不存在.综上,k＝2.故答案为：2.【点评】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义.14.(4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有480 种(用数字作答)【分析】按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.【解答】解：按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时,有A,当C在左边第2个位置时,A和B有C右边的4个位置可以选,有A A,当C在左边第3个位置时,有A A＋A A,共为240种,乘以2,得480.则不同的排法共有480种.故答案为：480.【点评】本题考查排列、组合的应用,关键在于明确事件之间的关系,同时要掌握分类讨论的处理方法.15.(4分)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|＝2,则直线l的斜率等于不存在.【分析】由题意设直线l的方程为my＝x＋1,联立得到y2－4my＋4＝0,△＝16m2－16＝16(m2－1)＞0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y).利用根与系数的关系可得y1＋y2＝4m,利用中点坐标公式可得＝2m,x0＝my－1＝2m2－1.Q(2m2－1,2m),由抛物线C：y2＝4x得焦点F(1,0).再利用两点间的距离公式即可得出m及k,再代入△判断是否成立即可.【解答】解：由题意设直线l的方程为my＝x＋1,联立得到y2－4my＋4＝0,△＝16m2－16＝16(m2－1)＞0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y).∴y1＋y2＝4m,∴＝2m,∴x＝my－1＝2m2－1.∴Q(2m2－1,2m),由抛物线C：y2＝4x得焦点F(1,0).∵|QF|＝2,∴,化为m2＝1,解得m＝±1,不满足△＞0.故满足条件的直线l不存在.故答案为不存在.【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识,考查了推理能力和计算能力.16.(4分)△ABC中,∠C＝90°,M是BC的中点,若,则sin∠BAC＝.【分析】作出图象,设出未知量,在△ABM中,由正弦定理可得sin∠AMB＝,进而可得cosβ＝,在RT△ACM中,还可得cosβ＝,建立等式后可得a＝b,再由勾股定理可得c＝,而sin∠BAC═＝,代入化简可得答案.【解答】解：如图设AC＝b,AB＝c,CM＝MB＝,∠MAC＝β,在△ABM中,由正弦定理可得＝,代入数据可得＝,解得sin∠AMB＝,故cosβ＝cos(－∠AMC)＝sin∠AMC＝sin(π－∠AMB)＝sin∠AMB＝,而在RT△ACM中,cosβ＝＝,故可得＝,化简可得a4－4a2b2＋4b4＝(a2－2b2)2＝0,解之可得a＝b,再由勾股定理可得a2＋b2＝c2,联立可得c＝,故在RT△ABC中,sin∠BAC＝＝＝＝,另解：设∠BAM为α,∠MAC为β,正弦定理得BM：sinα＝AM：sin∠B BM：sinβ＝AM又有sinβ＝cos∠AMC＝cos(α＋∠B),联立消去BM,AM得sin∠Bcos(α＋∠B)＝sinα,拆开,将1化成sin2∠B＋cos2∠B,构造二次齐次式,同除cos2∠B,可得tanα＝,若,则cos∠BAM＝,tan∠BAM＝,解得tan∠B＝,cosB＝易得sin∠BAC＝.另解：作MD⊥AB交于D,设MD＝1,AM＝3,AD＝2,DB＝x,BM＝CM＝, 用△DMB和△CAB相似解得x＝,则cosB＝,易得sin∠BAC＝.故答案为：【点评】本题考查正弦定理的应用,涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用,属难题.17.(4分)设、为单位向量,非零向量＝x＋y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于 2 .【分析】由题意求得＝,||＝＝,从而可得＝＝＝,再利用二次函数的性质求得的最大值.【解答】解：∵、为单位向量,和的夹角等于30°,∴＝1×1×cos30°＝.∵非零向量＝x＋y,∴||＝＝＝,∴＝＝＝＝,故当＝－时,取得最大值为2,故答案为 2.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,求向量的模,利用二次函数的性质求函数的最大值,属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)在公差为d的等差数列{an }中,已知a1＝10,且a1,2a2＋2,5a3成等比数列.(Ⅰ)求d,an；(Ⅱ)若d＜0,求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.【分析】(Ⅰ)直接由已知条件a1＝10,且a1,2a2＋2,5a3成等比数列列式求出公差,则通项公式an可求；(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,得到等差数列{an}的前11项大于等于0,后面的项小于0,所以分类讨论求d＜0时|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的和.【解答】解：(Ⅰ)由题意得,即,整理得d2－3d－4＝0.解得d＝－1或d＝4.当d＝－1时,an ＝a1＋(n－1)d＝10－(n－1)＝－n＋11.当d＝4时,an ＝a1＋(n－1)d＝10＋4(n－1)＝4n＋6.所以an ＝－n＋11或an＝4n＋6；(Ⅱ)设数列{an }的前n项和为Sn,因为d＜0,由(Ⅰ)得d＝－1,an＝－n＋11.则当n≤11时,.当n≥12时,|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝.综上所述,|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝.【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念,考查了等差数列的通项公式,求和公式,考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力,是中档题.19.(14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定：取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当a＝3,b＝2,c＝1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若,求a：b：c.【分析】(1)ξ的可能取值有：2,3,4,5,6,求出相应的概率可得所求ξ的分布列；(2)先列出η的分布列,再利用η的数学期望和方差公式,即可得到结论.【解答】解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6,P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；P(ξ＝5)＝＝；P(ξ＝6)＝＝.Eη＝＝Dη＝(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＝.得,解得a＝3c,b＝2c,故a：b：c＝3：2：1.【点评】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运算能力,属于中档题.20.(15分)如图,在四面体A－BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD＝2,BD＝2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小为60°,求∠BDC的大小.【分析】(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF＝3CF,连接OP、OF、FQ.根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形,从而PQ∥OF,再由线面平行判定定理,证出PQ∥平面BCD；(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH.根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH,因此∠CHG是二面角C－BM－D的平面角,可得∠CHG＝60°.设∠BDC＝θ,用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式,最后在Rt△CHG中,根据正切的定义得出tan∠CHG＝＝,从而得到tanθ＝,由此可得∠BDC.【解答】(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF＝3CF,连接OP、OF、FQ∵△ACD中,AQ＝3QC且DF＝3CF,∴QF∥AD且QF＝AD∵△BDM中,O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM,且OP＝DM,结合M为AD中点得：OP∥AD且OP＝AD∴OP∥QF且OP＝QF,可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD,∴PQ∥平面BCD；(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH∵AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,∴AD⊥CG又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD,结合BM⊂平面ABD,得CG⊥BM∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH因此,∠CHG是二面角C－BM－D的平面角,可得∠CHG＝60°设∠BDC＝θ,可得Rt△BCD中,CD＝BDcosθ＝2cosθ,CG＝CDsinθ＝sinθcosθ,BG＝BCsinθ＝2sin2θRt△BMD中,HG＝＝；Rt△CHG中,tan∠CHG＝＝∴tanθ＝,可得θ＝60°,即∠BDC＝60°【点评】本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行,并且在已知二面角大小的情况下求线线角.着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识,属于中档题.21.(15分)如图,点P(0,－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.【分析】(1)由题意可得b＝1,2a＝4,即可得到椭圆的方程；(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x,y).由题意可知：直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y＝kx－1.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|,又l2⊥l1,可得直线l2的方程为x＋kx＋k＝0,与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标,即可得出|PD|,即可得到三角形ABD的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值,即得到k的值.【解答】解：(1)由题意可得b＝1,2a＝4,即a＝2.∴椭圆C1的方程为；(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x,y).由题意可知：直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆的圆心O(0,0)到直线l1的距离d＝. ∴|AB|＝＝.又l2⊥l1,故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0,联立,消去y得到(4＋k2)x2＋8kx＝0,解得,∴|PD|＝.∴三角形ABD的面积S△＝＝,令4＋k2＝t＞4,则k2＝t－4,f(t)＝＝＝,∴S△＝,当且仅,即,当时取等号,故所求直线l1的方程为.【点评】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力.22.(14分)已知a∈R,函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.【分析】(1)求出原函数的导函数,求出函数取x＝1时的导数值及f(1),由直线方程的点斜式写出切线方程；(2)求出原函数的导函数,分a≤0,0＜a＜1,a≥1三种情况求|f(x)|的最大值.特别当0＜a＜1时,仍需要利用导数求函数在区间(0,2)上的极值,然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小.【解答】解：(1)因为f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3,所以f′(x)＝3x2－6x＋3a,故f′(1)＝3a－3,又f(1)＝1,所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4；(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1),0≤x≤2.故当a≤0时,有f′(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故|f(x)|max＝max{|f(0)|,|f(2)|}＝3－3a.当a≥1时,有f′(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故|f(x)|max＝max{|f(0)|,|f(2)|}＝3a－1.当0＜a＜1时,由3(x－1)2＋3(a－1)＝0,得,.所以,当x∈(0,x1)时,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增；当x∈(x1,x2)时,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减；当x∈(x2,2)时,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的极大值,极小值.故f(x1)＋f(x2)＝2＞0,.从而f(x1)＞|f(x2)|.所以|f(x)|max ＝max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.当0＜a＜时,f(0)＞|f(2)|.又＝故.当时,|f(2)|＝f(2),且f(2)≥f(0).又＝.所以当时,f(x1)＞|f(2)|.故.)≤|f(2)|.当时,f(x1＝|f(2)|＝3a－1.故f(x)max综上所述|f(x)|＝.max【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求闭区间上的最值,考查了分类讨论的数学思想方法,正确的分类是解答(2)的关键,此题属于难题.第21页，共21页。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)理
浙江理科选择题部分(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013浙江,理1)已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=().A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i答案:B解析:(-1+i)(2-i)=-2+i+2i-i2=-1+3i,故选B.2.(2013浙江,理2)设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(∁R S)∪T=().A.(-2,1]B.(-∞,-4]C.(-∞,1]D.[1,+∞)答案:C解析:由题意得T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1}.又S={x|x>-2},∴(∁R S)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1},故选C.3.(2013浙江,理3)已知x,y为正实数,则().A.2lg x+lg y=2lg x+2lg yB.2lg(x+y)=2lg x·2lg yC.2lg x·lg y=2lg x+2lg yD.2lg(xy)=2lg x·2lg y答案:D解析:根据指数与对数的运算法则可知,2lg x+lg y=2lg x·2lg y,故A错,B错,C错;D中,2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y,故选D.”的().4.(2013浙江,理4)已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=π2A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:若f(x)是奇函数,则φ=kπ+π2,k∈Z;若φ=π2,则f(x)=A cos(ωx+φ)=-A sinωx,显然是奇函数.所以“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的必要不充分条件.5.(2013浙江,理5)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是95,则().A.a=4B.a=5C.a=6D.a=7答案:A解析:该程序框图的功能为计算1+11×2+12×3+…+1a(a+1)=2-1a+1的值,由已知输出的值为95,可知当a=4时2-1a+1=95.故选A.6.(2013浙江,理6)已知α∈R,sinα+2cosα=√102,则tan2α=().A.43B.34C.-34D.-43答案:C解析:由sin α+2cos α=√102得,sin α=√102-2cos α.①把①式代入sin 2α+cos 2α=1中可解出cos α=√1010或3√1010, 当cos α=√1010时,sin α=3√1010; 当cos α=3√1010时,sin α=-√1010. ∴tan α=3或tan α=-13,∴tan 2α=-34.7.(2013浙江,理7)设△ABC ,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB ,且对于边AB 上任一点P ,恒有PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ). A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC答案:D解析:设PB⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤t ≤1), ∴PC⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=t 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 由题意PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·P 0C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即t 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(14)2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC , 即当t=14时PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值.由二次函数的性质可知:-AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14,即:-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2, ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. 取AB 中点M ,则12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即AB ⊥MC. ∴AC=BC.故选D .8.(2013浙江,理8)已知e 为自然对数的底数,设函数f (x )=(e x -1)(x-1)k (k=1,2),则( ). A.当k=1时,f (x )在x=1处取到极小值 B.当k=1时,f (x )在x=1处取到极大值 C.当k=2时,f (x )在x=1处取到极小值 D.当k=2时,f (x )在x=1处取到极大值 答案:C解析:当k=1时,f (x )=(e x -1)(x-1),f'(x )=x e x -1,∵f'(1)=e -1≠0,∴f (x )在x=1处不能取到极值;当k=2时,f (x )=(e x -1)(x-1)2,f'(x )=(x-1)(x e x +e x -2), 令H (x )=x e x +e x -2,则H'(x )=x e x +2e x >0,x ∈(0,+∞). 说明H (x )在(0,+∞)上为增函数, 且H (1)=2e -2>0,H (0)=-1<0,因此当x 0<x<1(x 0为H (x )的零点)时,f'(x )<0,f (x )在(x 0,1)上为减函数. 当x>1时,f'(x )>0,f (x )在(1,+∞)上是增函数.∴x=1是f(x)的极小值点,故选C.9.(2013浙江,理9)如图,F1,F2是椭圆C1:x 24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是().A.√2B.√3C.32D.√62答案:D解析:椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2√3.又因为四边形AF1BF2为矩形,所以∠F1AF2=90°.所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,所以|AF1|=2-√2,|AF2|=2+√2.所以在双曲线C2中,2c=2√3,2a=|AF2|-|AF1|=2√2,故e=ca =√3√2=√62,故选D.10.(2013浙江,理10)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则().A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°答案:A非选择题部分(共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(2013浙江,理11)设二项式(√x -√x3)5的展开式中常数项为A ,则A= .答案:-10解析:T r+1=C 5r (√x )5-r·(√x3)r =C 5r x5-r2·(-1)r·x -r3=(-1)r C 5rx5-r 2-r 3=(-1)r C 5rx15-5r 6.令15-5r=0,得r=3,所以A=(-1)3C 53=-C 52=-10.12.(2013浙江,理12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm 3.答案:24解析:由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥.V A 1EC 1-ABC =V A 1B 1C 1-ABC −V E -A 1B 1C 1=12×3×4×5-13×12×3×4×3=30-6=24.13.(2013浙江,理13)设z=kx+y ,其中实数x ,y 满足{x +y -2≥0,x -2y +4≥0,2x -y -4≤0.若z 的最大值为12,则实数k= . 答案:2解析:画出可行域如图所示.由可行域知,最优解可能在A(0,2)或C(4,4)处取得.若在A(0,2)处取得不符合题意;若在C(4,4)处取得,则4k+4=12,解得k=2,此时符合题意.14.(2013浙江,理14)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案:480解析:如图六个位置若C放在第一个位置,则满足条件的排法共有A55种情况;若C放在第2个位置,则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A,B,再在余下的3个位置排D,E,F,共A42·A33种排法;若C放在第3个位置,则可在1,2两个位置排A,B,其余位置排D,E,F,则共有A22·A33种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A,B,再在其余3个位置排D,E,F,共有A32·A33种排法;若C在第4个位置,则有A22A33+A32A33种排法;若C在第5个位置,则有A42A33种排法;若C在第6个位置,则有A55种排法.综上,共有2(A55+A42A33+A32A33+A22A33)=480(种)排法.15.(2013浙江,理15)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q 为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.答案:±1解析:设直线l的方程为y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2).由{y2=4x,y=k(x+1)联立,得k2x2+2(k2-2)x+k2=0,∴x1+x2=-2(k 2-2)k2,∴x1+x22=-k2-2k2=-1+2k2,y1+y22=2k,即Q(-1+2k2,2 k ).又|FQ|=2,F(1,0),∴(-1+2k 2-1)2+(2k)2=4,解得k=±1.16.(2013浙江,理16)在△ABC 中,∠C=90°,M 是BC 的中点.若sin ∠BAM=13,则sin ∠BAC= .答案:√63解析:如图以C 为原点建立平面直角坐标系,设A (0,b ),B (a ,0),则M (a 2,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a2,-b),cos ∠MAB=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a 22+b2√a 2+b 2·√a 4+b 2.又sin ∠MAB=13,∴cos ∠MAB=√1-(13)2=√89.∴(a 22+b2)2(a 2+b 2)(a 24+b 2)=89,整理得a 4-4a 2b 2+4b 4=0, 即a 2-2b 2=0,∴a 2=2b 2, sin ∠CAB=a√a 2+b =a√3b 2=√2b √3b=√63.17.(2013浙江,理17)设e 1,e 2为单位向量,非零向量b =x e 1+y e 2,x ,y ∈R .若e 1,e 2的夹角为π6,则|x ||b |的最大值等于 . 答案:2解析:|b |2=(x e 1+y e 2)2=x 2+y 2+2xy e 1·e 2=x 2+y 2+√3xy.∴|x ||b |=√x 2+y 2+√3xy,当x=0时,|x ||b |=0;当x ≠0时,|x ||b |=√(y x)2+√3yx +1=√(y x+√32)2+14≤2.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(2013浙江,理18)(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列. (1)求d ,a n ;(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |. 解:(1)由题意得5a 3·a 1=(2a 2+2)2,即d 2-3d-4=0, 故d=-1或d=4.所以a n =-n+11,n ∈N *或a n =4n+6,n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n . 因为d<0,由(1)得d=-1,a n =-n+11.则当n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-12n 2+212n.当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-S n +2S 11=12n 2-212n+110.综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |={-12n 2+212n ,n ≤11,12n 2-212n +110,n ≥12.19.(2013浙江,理19)(本题满分14分)设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列;(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若E η=53,D η=59,求a ∶b ∶c.解:(1)由题意得ξ=2,3,4,5,6.故P (ξ=2)=3×36×6=14,P (ξ=3)=2×3×26×6=13,P (ξ=4)=2×3×1+2×26×6=518, P (ξ=5)=2×2×16×6=19,P (ξ=6)=1×16×6=136, 所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E (η)=aa+b+c +2ba+b+c +3ca+b+c =53,D (η)=(1-53)2·aa+b+c +(2-53)2·ba+b+c +(3-53)2·c a+b+c =59, 化简得{2a -b -4c =0,a +4b -11c =0.解得a=3c ,b=2c ,故a ∶b ∶c=3∶2∶1.20.(2013浙江,理20)(本题满分15分)如图,在四面体A-BCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD=2,BD=2√2.M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ=3QC.(1)证明:PQ ∥平面BCD ;(2)若二面角C-BM-D 的大小为60°,求∠BDC 的大小.方法一:(1)证明:取BD 的中点O ,在线段CD 上取点F ,使得DF=3FC ,连结OP ,OF ,FQ ,因为AQ=3QC ,所以QF ∥AD ,且QF=14AD.因为O ,P 分别为BD ,BM 的中点, 所以OP 是△BDM 的中位线,所以OP ∥DM ,且OP=12DM.又点M 为AD 的中点,所以OP ∥AD ,且OP=14AD. 从而OP ∥FQ ,且OP=FQ ,所以四边形OPQF 为平行四边形,故PQ ∥OF.又PQ⊄平面BCD,OF⊂平面BCD,所以PQ∥平面BCD.(2)解:作CG⊥BD于点G,作CH⊥BM于点H,连结CH.因为AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,所以AD⊥CG,又CG⊥BD,AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD,又BM⊂平面ABD,所以CG⊥BM.又GH⊥BM,CG∩GH=G,故BM⊥平面CGH,所以GH⊥BM,CH⊥BM.所以∠CHG为二面角C-BM-D的平面角,即∠CHG=60°.设∠BDC=θ.在Rt△BCD中,CD=BD cosθ=2√2cosθ,CG=CD sinθ=2√2cosθsinθ,BG=BC sinθ=2√2sin2θ.在Rt△BDM中,HG=BG·DMBM =2√2sin2θ3.在Rt△CHG中,tan∠CHG=CGHG =3cosθsinθ=√3.所以tanθ=√3.从而θ=60°.即∠BDC=60°.方法二:(1)证明:如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A (0,√2,2),B (0,-√2,0),D (0,√2,0). 设点C 的坐标为(x 0,y 0,0).因为AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =3QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以Q (34x 0,√24+34y 0,12). 因为M 为AD 的中点,故M (0,√2,1). 又P 为BM 的中点,故P (0,0,12),所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(34x 0,√24+34y 0,0). 又平面BCD 的一个法向量为u =(0,0,1),故PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·u =0. 又PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD. (2)解:设m =(x ,y ,z )为平面BMC 的一个法向量. 由CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0,√2-y 0,1),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,1), 知{-x 0x +(√2-y 0)y +z =0,2√2y +z =0.取y=-1,得m =(y 0+√2x 0,-1,2√2).又平面BDM 的一个法向量为n =(1,0,0),于是|cos <m ,n >|=|m ·n ||m ||n |=|y 0+√2x |√9+(y 0+√2x 0)2=12,即(y 0+√2x 0)2=3.①又BC ⊥CD ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故(-x 0,-√2-y 0,0)·(-x 0,√2-y 0,0)=0,即x 02+y 02=2.②联立①,②,解得{x 0=0,y 0=-√2,(舍去)或{x 0=±√62,y 0=√22.所以tan ∠BDC=|√2-y 0|=√3.又∠BDC 是锐角,所以∠BDC=60°.21.(2013浙江,理21)(本题满分15分)如图,点P (0,-1)是椭圆C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个顶点,C 1的长轴是圆C 2:x 2+y 2=4的直径,l 1,l 2是过点P 且互相垂直的两条直线,其中l 1交圆C 2于A ,B 两点,l 2交椭圆C 1于另一点D.(1)求椭圆C 1的方程;(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程. 解:(1)由题意得{b =1,a =2.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 0,y 0).由题意知直线l 1的斜率存在,不妨设其为k , 则直线l 1的方程为y=kx-1.又圆C 2:x 2+y 2=4,故点O 到直线l 1的距离d=√k +1,所以|AB|=2√4-d 2=2√4k 2+3k 2+1.又l 2⊥l 1,故直线l 2的方程为x+ky+k=0.由{x +ky +k =0,x 2+4y 2=4,消去y ,整理得(4+k 2)x 2+8kx=0, 故x 0=-8k4+k 2.所以|PD|=8√k 2+14+k 2.设△ABD 的面积为S ,则S=12|AB|·|PD|=8√4k 2+34+k 2, 所以S=√4k +3+134k 2+3≤2√√4k 2+3·13√4k 2+3=16√1313, 当且仅当k=±√102时取等号.所以所求直线l 1的方程为y=±√102x-1.22.(2013浙江,理22)(本题满分14分)已知a ∈R ,函数f (x )=x 3-3x 2+3ax-3a+3. (1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)当x ∈[0,2]时,求|f (x )|的最大值. 解:(1)由题意f'(x )=3x 2-6x+3a ,故f'(1)=3a-3.又f (1)=1,所以所求的切线方程为y=(3a-3)x-3a+4. (2)由于f'(x )=3(x-1)2+3(a-1),0≤x ≤2,故①当a ≤0时,有f'(x )≤0,此时f (x )在[0,2]上单调递减,故|f (x )|max =max{|f (0)|,|f (2)|}=3-3a.②当a ≥1时,有f'(x )≥0,此时f (x )在[0,2]上单调递增, 故|f (x )|max =max{|f (0)|,|f (2)|}=3a-1. ③当0<a<1时,设x 1=1-√1-a ,x 2=1+√1-a , 则0<x 1<x 2<2,f'(x )=3(x-x 1)(x-x 2). 列表如下:由于f (x 1)=1+2(1-a )√1-a ,f (x 2)=1-2(1-a )√1-a , 故f (x 1)+f (x 2)=2>0,f (x 1)-f (x 2)=4(1-a )√1-a >0, 从而f (x 1)>|f (x 2)|.所以|f (x )|max =max{f (0),|f (2)|,f (x 1)}. 当0<a<23时,f (0)>|f (2)|.又f (x 1)-f (0)=2(1-a )√1-a -(2-3a )=22(1-a )√1-a+2-3a>0,故|f (x )|max =f (x 1)=1+2(1-a )√1-a . 当23≤a<1时,|f (2)|=f (2),且f (2)≥f (0).又f (x 1)-|f (2)|=2(1-a )√1-a -(3a-2)=22(1-a )√1-a+3a -2,所以当23≤a<34时,f (x 1)>|f (2)|. 故f (x )max =f (x 1)=1+2(1-a )√1-a .当34≤a<1时,f(x1)≤|f(2)|.故f(x)max=|f(2)|=3a-1.综上所述,|f(x)|max={3-3a,a≤0,1+2(1-a)√1-a,0<a<34,3a-1,a≥34.。
2013年浙江省高考数学试卷(理科)及答案评分参考
Z 数学（理科）试题第 1 页 (共 12 页)参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A ，B 相互独立，那么 P (A·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 P n (k )=C kn p k (1－p )n -k (k =0,1,2,…，n ) 台体的体积公式 V=)(312211S S S S h ++其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高柱体的体积公式 Sh V =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 Sh V 31= 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式3π34R V =其中R 表示球的半径 2013年浙江省高考数学试卷(理)姓名_____________ 准考证号__________________本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则Z 数学（理科）试题第 1 页 (共 12 页)A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞25．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab 6．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列 B ．若a n ⋅a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ⋅a n ＝2m +n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n ⋅a n +3＝a n +1⋅a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是ABCD8．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x ＋y 的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．30(第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图 2C．DZ数学（理科）试题第1页 (共12页)Z 数学（理科）试题第 1 页 (共 12 页)非选择题部分 (共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年浙江省高考数学(理科)试题(教师版含解析)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-=（ ）.A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D. 1i -+ 分析 直接利用复数的乘法法则运算求解.解析 ()()21i 2i 23i i 13i -+-=-+-=-+.故选B .2.设集合{}{}2|2,|340S x x T x x x =>-=+-，则()C S T =R （ ）.A. ]1,2(-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D. ),1[+∞ 分析 先求出集合S 的补集，同时把集合T 化简，再求它们的并集. 解析 因为{}2S x x =-，所以{}2S x x =-R ≤，而{}41T x x =-≤≤，所以(){}{}{}2411S T x x x x x x =--=R≤≤≤≤.故选C.3.已知y x ,为正实数，则（ ）.A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅C.lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D.lg()lg lg 222xy x y =⋅分析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证. 解析 A 项，lg lg lg lg 222x yx y +=⋅，故错误；B 项，()()lg lg lg lg lg lg 22222x y x y x y x y ⋅++⋅==≠，故错误；C 项，()lg lg lg lg 22yx yx ⋅=，故错误；D 项，()lg lg lg lg lg 2222xy x y x y +==⋅，正确. 故选D.4.已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件分析 先判断由()f x 是奇函数能否推出ϕπ=2，再判断由ϕπ=2能否推出()f x 是奇函数. 解析 若()f x 是奇函数，则()00f =，所以cos 0ϕ=，所以()k k ϕπ=+π∈2Z ，故ϕπ=2不成立；开始结束若ϕπ=2，则()()cos sin 2f x A x A x ωωπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()f x 是奇函数.所以()f x 是奇函数ϕπ=2必要不充分条件.故B.5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）. A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a分析 可依次求出1,2,3,k =时S 的值进行验证，也可以先求出S 的表达式，通过解方程求出k 的值.解析 （方法一）由程序框图及最后输出的值是95可知：当1k =时， 1,S ka =不成立，故131,2122S k a =+==⨯不成立，故315,32233S k a =+==⨯不成立，故517,43344S k a =+==⨯不成立，故719,4455S =+=⨯此时5k a =成立，所以4a =.（方法二）由程序框图可知：()111111111111111212231223111S k k k k k k =++++=+-+-++-=+-=-⨯⨯++++， 由95S =，得19215k -=+，解得4k =，故由程序框图可知4k a =不成立，5k a =成立，所以4a =.6.已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ）. A.34 B. 43 C. 43- D. 34- 分析 先利用条件求出tan α，再利用倍角公式求tan 2α.解析 把条件中的式子两边平方，得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=，即233cos 4sin cos 2ααα+=，所以2223cos 4sin cos 3cos sin 2ααααα+=+，所以234tan 31tan 2αα+=+，即23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，所以22tan 3tan 2tan 4ααα==--.故选C. 7.设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅.则（ ）. A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C. AC AB = D.BC AC =分析 根据向量投影的概念，对选项逐一验证排除不符合的选项.不妨设4AB =，则01P B =，03P A =.设点C 在直线AB 上的投影为点C '.解析 A 项，若90ABC ∠=︒，如图（1）所示，则2cos PB PC PB PC BPC PB ⋅=⋅∠=，2000P B P C P B ⋅=. 当点P 落在点0P 的右侧时，220PBP B ，即00PB PCP B PC ⋅⋅，不符合； B 项，若90BAC ∠=︒，如图（2）所示，则cos PB PC PB PC BPC PB PA ⋅=⋅∠=-，00003P B P A P B P A ⋅=-=-.当P 为AB 的中点时，4PB PC ⋅=-，00PB PCP B P C ⋅，不符合；C 项，若AB AC =，假设120BAC ∠=︒，如图（3）所示，则2AC '=，PB PC PB PC ⋅=⋅cos BPC PB PC ∠=-，0000000cos 5P B P C P B P C BP C P B P C ⋅=∠=-=-.当P 落在A 点时，8PB PC -=-，所以00PB PCP B PC ⋅⋅，不符合，故选D. 8.已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)xkf x x k =--=，则（ ）.A. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B. 当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D. 当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值分析 分别求出1,2k =时函数的导数，再判断()0f x '=是否成立及1x =两侧导数的符号， 进而确定极值.解析 当1k =时，()()()e 11x f x x =--，则()()()e 1e 1e 1x x xf x x x '=-+-=-，所以()1e 10f '=-≠，所以()1f 不是极值.图（1）P 0PB (C')CA图（2）BC A (C')P P 0A P 0（P ）C'CB图（3）当2k =时，()()()2e 11x f x x =--，则()()()()2e 12e 11x xf x x x '=-+--= ()()()()2e 1211e 12x xx x x x ⎡⎤---=-+-⎣⎦，所以()10f '=，且当1x 时，()10f '；在1x =附近的左侧，()0f x '，所以()1f 是极小值.故选C.9. 如图所示，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二.四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ A.2 B. 3C. 23D.26分析 由椭圆可求出12AF AF +，由矩阵求出2212AF AF +，再求出21AF AF -即可求出双曲线方程中的a ，进而求得双曲线的离心率.解析 由椭圆可知124AF AF +=，12FF =因为四边形12AF BF 为矩形， 所以222121212AF AF F F +==，所以()()222121212216124AF AF AF AF AF AF =+-+=-=，所以()22221121221248AF AF AF AF AF AF -=+-=-=，所以21AF AF -=a =c =所以2C的离心率c e a ==.故选D. 10. 在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，[]12(),()Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎣⎦，恒有21PQ PQ =，则（ ）.A. 平面α与平面β垂直B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为60 分析 根据新定义及线面垂直知识进行推理.解析 设()1P f P α=，()2P f P β=，则1PP α⊥，11PQ β⊥，2PP β⊥，22P Q α⊥. 若//αβ，则1P 与2Q 重合、2P 与1Q 重合，所以12PQ PQ ≠，所以α与β相交.设al β=，由俯视图侧视图122//PP P Q ，所以122,,,P P P Q 四点共面.同理121,,,P P P Q 四点共面.所以1212,,,,P P P Q Q 五点共面.且α与β的交线l 垂直于此平面.又因为12PQ PQ =，所以12,Q Q 重合且在l 上，四边形112PPQ P 为矩形.那么112PQ P π∠=2为二面角--l αβ的平面角，所以αβ⊥.故选A . 二.填空题11.设二项式5的展开式中常数项为A ，则=A ________.分析 写出二项展开式的通项1r T +，令通项中x 的指数为零，求出r ，即可求出A . 解析()55526155C C 1rrrr rr r T x --+⎛==- ⎝，令55026r -=，得3r =，所以35C 10A =-=-. 12.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2cm .分析 根据三视图还原出几何体，再根据几何体的具体形状及尺寸求体积.解析 由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥， 如图所示.三棱术的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积()31134530cm 2V =⨯⨯⨯=，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同， 高为3，故其体积()32113436cm 32V =⨯⨯⨯⨯=，所以所求几何体的体积为()330624cm -=.13.设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，若z 的最大值为12，则实数=k ________.分析 画出可行域，分类讨论确定出最优解，代入最大值即可求出k 的值. 解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当102k-≤时， 直线y kx z =-+经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =（舍去）；当12k -≥时，直线y kx z =-+经过点()0,2时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当0k-时，直线y kx z=-+x 4MBCA经过点()4,4M 时z 最大，所以4412k +=，解得2k =，符合题意.综上可知，2k =.14.将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）分析 按C 的位置分类计算.解析 ①当C 在第一或第六位时，有55A 120=（种）排法；②当C 在第二或第五位时，有2343A A 72=（种）排法； ③当C 在第三或第四位时，有23232333A A A A 48+=（种）排法.所以共有()21207248480⨯++=（种）排法.15.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q 为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 答案：1±（特别说明：根据已公布答案，斜率等于1±代入题干可得抛物线C 与直线l 相切，与题干中“直线l 交抛物线C 于,A B 两点”矛盾.——编者注）16.ABC △中，90C ∠=，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 分析 画出图形，确定已知量和待求量所在的三角形，利用正弦定理求解. 解析 因为1sin 3BAM ∠=，所以cos 3BAM ∠=.如图所示，在ABM △中，利用正弦定理，得sin sin BM AM BAM B =∠，所以sin sin BM BAM AM B ∠=113sin 3cos B BAC==∠. 在Rt ACM △中，有()sin sin CMCAM BAC BAM AM=∠=∠-∠.由题意知BM CM =，所以()1sin 3cos BAC BAM BAC=∠-∠∠.化简，得2cos cos 1BAC BAC BAC ∠∠-∠=.所以211tan 1BAC BAC ∠-=∠+，解得tan BAC ∠=. 再结合22sin cos 1BAC BAC ∠+∠=，BAC ∠为锐角可解得sin 3BAC ∠=.17. 设12,e e 为单位向量，非零向量12,,x y x y =+∈R b e e ，若12,e e 的夹角为π6， 则||||x b 的最大值等于________. 分析 为了便于计算可先求2x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭b 的范围，再求xb 的最值.解析 根据题意，得()()()1222222212122x x x x y xy x y ⎛⎫=== ⎪ ⎪++⋅+⎝⎭b e e e e e e22222cos 6x x y xy =π++2114y x ==⎛+ ⎝⎭⎝⎭.因为211244y x ⎛++ ⎝⎭≥，所以204x ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭≤b ，所以02x ≤b.故x b的最大值为2.18.在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知101=a ，且123,22,5a a a +成等比数列. （1）求,n d a ；（2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++分析 （1）用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出n a .（2）根据（1）及0d确定数列的通项公式，确定n a 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得，2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .设数列{}n a 的前n 项和为n S . 因为0d，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+.综上所述，123n a a a a ++++ 22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥ 19.设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分， 取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a分析（1）对取出球的颜色进行分类以确定得分值，进而确定随机变量ξ的取值，计算相应的概率，再列出分布列；（2）先用,,a b c 表示出随机事件的概率，列出随机变量η的分布列，求出数学期望和方差，再把条件代入，列方程组求出,,a b c 的关系.解析（1）由题意得2,3,4,5,6ξ=.故()33124P ξ⨯===6⨯6， ()232133P ξ⨯⨯===6⨯6，()231225418P ξ⨯⨯+⨯===6⨯6，()221159P ξ⨯⨯===6⨯6，()111636P ξ⨯===6⨯6.所以ξ的分布列为（2QPMDBA所以2353a b c E a b c a b c a b c η=++=++++++,22255551233339a b c D a b c a b c a b c η⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得240,4110.a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩解得3a c =，2b c =，故::3:2:1a b c =.20. 如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ，22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=. （1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.分析 立体几何题目一般有两种思路：传统法和向量法.传统法是借助立体几何中的相关定义、定理，通过逻辑推理证明来完成.（1）要证明线面平行，根据判定定理可通过证明线线平行来实现；（2）求二面角要先找到或作出二面角的平面角，再通过解三角形求解.向量法则是通过建立空间直角坐标系，求出相关的坐标，利用向量的计算完成证明或求解.直线一般求其方向向量，平面一般求其法向量.（1）只要说明直线的方向向量与对应平面的法向量垂直即可；（2）二面角的大小即为两个平面的法向量的夹角或其补角. 解析 方法一：（1）如图（1）所示，取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连接,,OP OF FQ .因为3AQ QC =，所以//QF AD ，且14QF AD =. 因为,O P 分别为,BD BM 的中点，所以OP 是BDM △的中位线，所以//,OP DM 且12OP DM =.又点M 为AD 的中点，所以//OP AD ，且14OP AD =.从而//OP FQ ，且OP FQ =，所以四边形OPQF 为平行四边形，故//PQ OF .又PQ BCD ⊄平面，OF BCD ⊂平面，所以//PQ BCD 平面.（2）如图（1）所示，作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连接CH . 因为AD BCD ⊥平面，CG BCD ⊂平面，所以AD CG ⊥.又CG BD ⊥，AD BD D =，故CG ABD ⊥平面.又BM ABD ⊂平面，所以CG BM ⊥.又,GH BM CG GH G ⊥=，故BM CGH ⊥，所以,GH BM CH BM ⊥⊥.O图（1）QGMH PF DC BAx图（2）所以CHG ∠为二面角--C BM D 的平面角，即60CHG ∠=︒.设BDC θ∠=，在Rt BCD △中，cos ,sin sin CD BD CG CD θθθθθ====，2sin ,sin BC BD BG BC θθθθ====.在BGM △中，BG DM HG BM ⋅==.因为CG ABD ⊥平面，GH ABD ⊂平面，所以CG GH ⊥. 在Rt CHG △中，3cos tan sin CG CHG HG θθ∠===.所以tan θ=.从而60θ=︒.即60BDC ∠=︒.方法二：（1）如图（2）所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，,OD OP 所在的射线为,y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系-O xyz .由题意知()()(),0,,A B D . 设点C 的坐标为()00,,0x y ，因为3AQ QC =，所以0031,42Q x y ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭. 因为点M 为AD的中点，故()M .又点P 为BM 的中点，故10,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0033,,0444PQ x y ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭.又平面BCD 的一个法向量为()0,0,1=a ，故0PQ ⋅=a .又PQ BCD ⊄平面，所示//PQ BCD 平面.（2）设(),,x y z =m 为平面BMC 的一个法向量.由()()00,2,1,0,2CMx y BM =--=，知)000,0.x x y y z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩取1y =-，得00,1,y m x ⎛=- ⎝.又平面BDM 的一个法向量为()1,0,0=n ，于是1cos ,2⋅===m nm n m n，即2003y x ⎛+= ⎝⎭. ①又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=，故()()0000,,0,00x y x y -⋅-=，即22002x y +=. ②联立①②，解得000,x y=⎧⎪⎨=⎪⎩002x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以tan BDC ∠==又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒.21. 如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D . （1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.分析（1）根据椭圆的几何性质易求出,a b 的值，从而写出椭圆的方程；（2）要求ABD △的面积，需要求出,AB PD 的长，AB 是圆的弦，考虑用圆的知识来求，PD 应当考虑用椭圆的相当知识来求.求出,AB PD 的长后，表示出ABD △的面积，再根据式子的形式选择适当的方法求最值.解析（1）由题意得1,2.b a =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y .由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设其为k ，则直线1l的方程为1y kx =-.又圆222:4C x y +=，故点O 到直线1l的距离d =，所以AB ==又21l l ⊥，故直线2l 的方程为0x kx k ++=. 由220,44x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩消去y ，整理得()22480k x kx ++=，故0284kx k =-+，所以24PD k =+.设ABD △的面积为S，则2124S AB PD k=⋅=+，所以3213S ==当且仅当2k =±时取等号.所以所求直线1l的方程为12y x =±-. 22. 已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f （1）求曲线)(x f y =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值.分析 （1）切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可；（2）要确定()f x 的最大值，首先要确定()f x 的最值. ()f x 的最值又是由其单调性决定的，所以要先利用导数确定()f x 的单调性，在确定函数单调性时，要注意考虑极值点是否在所给区间内，不确定时需要分类讨论.解析 （1）由题意()2363f x x x a '=-+，故()133f a '=-.又()11f =，所以所求的切线方程为()3334y a x a =--+.（2）由于()()()23131,02f x x a x '=-+-≤≤，故①当0a ≤时，有()0f x '≤，此时()f x 在[]0,2上单调递减，故()()(){}max max 0,233f x f f a ==-.②当1a ≥时，有()0f x '≥，此时()f x 在[]0,2上单调递增， 故()()(){}maxmax 0,231f x f f a ==-.③当01a 时，设11x =21x =则1202x x ，()()()123f x x x x x '=--.由于()(1121f x a =+-()(2121f x a =--. 故()()1220f x f x +=，()()(12410f x f x a -=-，从而()()12f x f x .所以()()()(){}1maxmax 0,2,f x f f f x =.①当23a时，()()02f f .又()()(()2134021220a a f x f a a--=--=，故()()(1max121f x f x a ==+-.②当213a ≤时，()()22f f =，且()()20f f ≥.又()()(()213422132a a f x f a a --=--=，所以ⅰ.当2334a ≤时，()()12f x f .故()()(1max 121f x f x a ==+-ⅱ.当314a ≤时，()()12f x f ≤.故()()max 231f x f a ==-.综上所述，()(max33,00,31210,4331,.4a f x a aa a ⎧⎪-⎪⎪=+-⎨⎪⎪-⎪⎩≤≥。
2013年高考数学真题(理)-浙江
2013年高考数学真题（理）-浙江（2013 浙江 理 1）已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-= A.3i -+ B.13i -+ C.33i -+ D.1i -+ 【答案】B【解析】本题考查复数的四则运算，属于容易题。
（2013 浙江 理 2）设集合{|2}S x x =>-，2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃= A.(21]-，B.(4]-∞-，C.(1]-∞，D.[1)+∞， 【答案】C【解析】因为(){|2}R C S x x =≤-，{|41}T x x =-≤≤，所以()(1]R C S T ⋃=-∞，.（2013 浙江 理 3）已知x ，y 为正实数，则A.lg lg lg lg 222x yx y +=+ B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅ C.lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D.lg()lg lg 222xy x y =⋅【答案】D【解析】由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确。
（2013 浙江 理 4）已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)R ϕ∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由()f x 是奇函数可知(0)=0f ，即cos =0ϕ，解出=Z 2k k πϕπ+∈，，所以选项B正确。
（2013 浙江 理 5）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A.4a =B.5a =C.6a =D.7a = 【答案】A【解析】本题考查算法程序框图，属于容易题。
（2013 浙江 理 6）已知R α∈，sin 2cos αα+=，则tan 2α=A.43B.34C.34-D.43-【答案】C【解析】由可得，进一步整理可得，解得tan =3α或1tan = - 3α，于是.（2013 浙江 理 7）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则A.90ABC ∠=︒B.90BAC ∠=︒C.AB AC =D.AC BC =【答案】D【解析】由题意，设4AB =，则01P B =，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0H P a=，则由数量积的几何意义可得，((1))PB PC PH PB PB a PB⋅=⋅=-+⋅，0000P B P C P H P B a⋅=-=-；由于00PB PC P B PC ⋅≥⋅恒成立，相当于((1))P B a P B a -+≥-恒成立，整理得2(1)0P B a P B a -++≥恒成立，只需22(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形，所以AC BC =。
2013年高考浙江卷(理)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i i [来源:学科网ZXXK]A ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-1 2．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A ．(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 3．已知y x ,为正实数，则A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222∙=+ C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙= 4．已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a6．已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-7．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 10=，且对于边AB 上任一点P ，恒有（第5题图）C P B P 00∙≥∙。
则A. 090=∠ABCB. 090=∠BACC. AC AB =D.BC AC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f k x ，则A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
2013年浙江高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-= （ ） A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D.1i -+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】求两个复数相乘的结果 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】(-1+i)(2-i)=- 2+i+2i+1=-1+3i ，故选B.2．设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-…，则()S T =R ð （ ） A ．(2,1]- B.]4,(--∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法给出两个集合求补集的并. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵集合S ={x |x ＞-2}，∴S R ð={x |x …-2}，由2x +3x -4…0得：T={x |-4…x …1}，故(S R ð) T ={x |x …1}，故选C.3．已知y x ,为正实数，则 （ ）A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.lg lg lg lg 222x yx y =+ D.lg()lg lg 222xy x y = 【测量目标】指数幂运算.【考查方式】给出指数型的函数，化简函数. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】因为s ta+=s a ta ，lg(xy )=lg x +lg y (x ，y 为正实数)，所以()lg 2xy =lg +lg 2x y=lg 2xlg 2y ，满足上述两个公式，故选D.4．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 （ ）A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图的输出值求输入的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出S =1+112⨯+…+1(1)a a +=1+1-11a +=2-11a +.若该程序运行后输出的值是95，则2-11a +=95.∴a =4，故选A.6．已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【测量目标】二倍角，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出正弦和余弦的方程求解二倍角的正切. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵sin α+2cos α，又2sin α+2cos α=1，联立解得sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故tan α=sin cos αα =13-或tan α=3，代入可得tan2α=22tan 1tan αα-=212()311()3⨯---=34-或tan2α=22tan 1tan αα-=22313⨯-=34-.故选C.7．设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC….则 （ ） A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AC AB =D.BC AC =【测量目标】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】在三角形中给出定点在三角形中的位置，求定点与各顶点所成向量数量积的大小.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =4，C (a ，b )，P (x ，0),则0BP =1，A (-2，0)，B (2，0)，0P (1，0),∴0P B =(1，0)，PB =(2-x ，0)，PC =(a -x ，b )，0PC =(a -1，b ),∵恒有PB PC ≥00P B PC ,∴(2-x )(a -x )≥a -1恒成立,整理可得2x - (a +2)x +a +1≥0恒成立,∴Δ=()22a +-4(a +1)≤0,即Δ=2a ≤0,∴a =0，即C 在AB 的垂直平分线上,∴AC =BC ,故△ABC 为等腰三角形,故选D.第7题图8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=，则 （ ） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出含未知量的函数表达式，判断函数何时取得极值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当k =2时，函数f (x )=(e x-1)2(1)x -.求导函数可得()f x '=e x 2(1)x -+2(e x -1)(x -1)=(x -1)(x e x +e x -2)，∴当x =1，()f x '=0，且当x ＞1时，()f x '＞0，当12＜x ＜1时，()f x '＜0，故函数f (x )在(1，+∞)上是增函数；在(12，1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值.对照选项.故选C.第8题图9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 （ ）第9题图A.2 B.3 C.23 D.26【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】椭圆和双曲线相交焦点和交点构成矩形，求双曲线的离心率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】|1AF |=x ，|2AF |=y ，x y <∵点A 为椭圆1C ：24x +2y =1上的点，∴2a =4，b =1，c|1AF |+|2AF |=2a =4，即x +y =4①；又四边形12AF BF 为矩形，∴21AF +22AF =212F F ，即2x +2y =()22c=(2=12②，由①②得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =2-y2x y ==-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c ，则12a =|2AF |-|1AF |=y -x12c=2C 的离心率e =11c a故选D. 10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【测量目标】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角. 【考查方式】给出两个平面判断面面之间的位置关系. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】设1P =()f P α，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足,∵1Q =()[]f f P βα=1()f P β，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足,同理，若2P =()f P β，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足,因此2Q =()[]f f P αβ表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足,∵对任意的点P ，恒有1PQ =2PQ ，∴点1Q 与2Q 重合于同一点,由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且∠112PQ P 是二面角α﹣l ﹣β的平面角,∵∠112PQ P 是直角，∴平面α与平面β垂直,故选A.第10 题图二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出含根式的二项式，求解展开式中常数项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】-10【试题解析】二项式5的展开式的通项公式为 1r T +=5325C (1)rr r rx x --- =15565(1)C r rr x-- .令1556r-=0，解得r =3，故展开式的常数项为-35C =-10.故答案为-10.12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________3cm .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积和体积. 【考查方式】给出几何体的三视图，求几何体的体积. 【难易程度】中等 【参考答案】24【试题解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =V 棱柱-V 三棱锥=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(3cm ),故答案为：24.第12题图13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数=k ________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出可行域的不等式和目标函数的最大值，求目标函数中未知数的值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】可行域如图：由24=024=0x y x y -+⎧⎨--⎩得：A (4，4)，同样地，得B (0，2)，（步骤1）①当k ＞-12时，目标函数z =kx +y 在x =4，y =4时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k +4，故k =2. （步骤2） ②当k ≤-12时，目标函数z =kx +y 在x =0，y =2时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k +2，故k 不存在.综上，k =2.故答案为：2. （步骤3）第13题图14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答） 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出六个字母和限定条件求排法的种数. 【难易程度】中等 【参考答案】480【试题解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可. （步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A =120种，当C 在左边第2个位置时2343A A =72种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有2333A A +2323A A =48种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有 480种.故答案为：480. （步骤3）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程和直线过的定点和直线与抛物线交线的长度求直线斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】不存在【试题解析】由题意设直线l 的方程为my =x +1，联立214my x y x=+⎧⎨=⎩得到2y -4my +4=0，（步骤1）Δ=162m -16=16(2m -1)＞0.设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，Q (0x ，0y ).∴1y +2y =4m ，∴0y =122y y +=2m ，（步骤2）∴0x =m 0y -1=22m -1.∴Q (22m -1，2m )，（步骤3）由抛物线C ：2y =4x 得焦点F (1，0).∵|QF |=2=2，化为2m =1，解得m =±1，不满足Δ＞0.故满足条件的直线l 不存在. （步骤4）故答案为不存在. 16.ABC △中，90C ∠= ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 【测量目标】正弦定理和余弦定理解三角形.【考查方式】直角三角形中直角边的中点，求三角形中角的正弦值. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】如图,设AC =b ，AB =c ，CM =MB =2a，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin ac BAM AMB=∠∠，代入数据可得21sin 3a c AMB =∠，解得2sin 3c AMB a ∠=，（步骤1）故πcos cos 2AMC β⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭=sin AMC ∠=()2sin πsin 3c AMB AMB a -∠=∠=，而在Rt △ACM 中，cos β=AC AM =23ca =，化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=(a 2-2b 2)=0，解之可得a，（步骤2）再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，联立可得c，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BC a AB c ===骤3）第16题图17．设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【考查方式】给出单位向量和非零向量，求向量模的比值. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4） 三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【测量目标】等差数列的通项公式和.【考查方式】给出等比数列的首相和三项成等比数列，求通项公式，和前n 项绝对值和. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n剟时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--∴++++=++++==…（步骤2）②当12n …时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)2ln 2202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a a a ∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=…所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧⎪⎪++++=⎨-+⎪⎪⎩ 剟…；（步骤3）19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a 【测量目标】随机事件与概率，期望和方差.【考查方式】有放回取样的分布列和已知期望和方差求个数比. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤3）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)P ξ⨯===；（步骤5）所以ξ的分布列是： 9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.（步骤6）20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.第20题图【测量目标】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角.【考查方式】给出四面体和直线间的位置和长度关系求解二面角大大小. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =.因为P 是BM 中点，所以PF BD ；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ，所以面PQF 面BDC ，且PQ ⊂面PQF ，所以PQ 面BDC ；（步骤2）第20题图方法二：如图所示，第20题图取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH C H =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD，（步骤1）所以PO QH 四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴ ，且OH BCD ⊂面，所以PQ 面BDC ；（步骤2） （Ⅱ）如图所示，第20题图由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===，在Rt BCG △中，2s i ns i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △中，13HG =∴=，所以在Rt CHG △中tan tan 603CG CHG HG ∠==== （步骤5）tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ；（步骤6）21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.第21题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出定点和圆的方程，由直线与椭圆、圆的位置关系求椭圆方程和直线方程. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且242a a =∴=，所以椭圆的方程是2214x y +=；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；（步骤3）由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，（步骤4） 所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++，（步骤5）所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ====++++△23232===…（步骤6）当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:1l y x =-（步骤7） 22．已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值. 【测量目标】利用导数求函数的最值问题.【考查方式】给出含有未知量的函数求函数的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-，且(1)13333f a a =-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -…，（步骤2）（1）当0a …时，()0f x '…，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤4） （2）当440a ∆=-…，即1a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤6） （3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8） 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)12(1332(1(23f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,340a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x 1|()|()12(1f x f x a ==+-10）（ⅱ）当213a <…时，(2)0,(0)0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当2334a <<时，340a->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（步骤11） ② 当314a <…时，340a-<，所以1()|(2)|f x f …，所以此时m a x|()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎩…….（步骤13）。
2013年高考理科数学浙江卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一(浙江卷)选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013浙江，理1)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )．A ．－3＋iB ．－1＋3iC ．－3＋3iD ．－1＋i 2．(2013浙江，理2)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(R S )∪T ＝( )．A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) 3．(2013浙江，理3)已知x ，y 为正实数，则( )．A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y)＝2lg x²2lg yC ．2lg x²lg y＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy)＝2lg x²2lg y 4．(2013浙江，理4)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“π2ϕ=”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．(2013浙江，理5)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则( )． A ．a ＝4 B ．a ＝5 C ．a ＝6 D ．a ＝7 6．(2013浙江，理6)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝2，则tan 2α＝( )． A ．43 B ．34 C ．34- D ．43-7．(2013浙江，理7)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ²PC ≥0P B ²0PC ，则( )． A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC8．(2013浙江，理8)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )．A ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极大值9．(2013浙江，理9)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A．32 D．10．(2013浙江，理10)在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记B ＝f π(A )．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，Q 1＝f β[f α(P )]，Q 2＝f α[f β(P )]，恒有PQ 1＝PQ 2，则( )．A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．(2013浙江，理11)设二项式5的展开式中常数项为A ，则A ＝__________.12．(2013浙江，理12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于__________cm 3.13．(2013浙江，理13)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足20,240,240.x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z 的最大值为12，则实数k ＝__________.14．(2013浙江，理14)将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__________种(用数字作答)．15．(2013浙江，理15)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于__________．16．(2013浙江，理16)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝__________.17．(2013浙江，理17)设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于__________． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(2013浙江，理18)(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.19．(2013浙江，理19)(本题满分14分)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝53，Dη＝59，求a∶b∶c.20．(2013浙江，理20)(本题满分15分)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小为60°，求∠BDC的大小．21．(2013浙江，理21)(本题满分15分)如图，点P(0，－1)是椭圆C1：22221x ya b+=(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B 两点，l2交椭圆C1于另一点D．(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．22．(2013浙江，理22)(本题满分14分)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(浙江卷)选择题部分(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i，故选B．2．答案：C解析：由题意得T＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1}．又S＝{x|x＞－2}，∴(R S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}，故选C．3．答案：D解析：根据指数与对数的运算法则可知，2lg x＋lg y＝2lg x²2lg y，故A错，B错，C错；D中，2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x²2lg y，故选D．4．答案：B解析：若f(x)是奇函数，则φ＝kπ＋π2，k∈Z；若π2ϕ=，则f(x)＝A cos(ωx＋φ)＝－A sin ωx，显然是奇函数．所以“f(x)是奇函数”是“π2ϕ=”的必要不充分条件．5．答案：A解析：该程序框图的功能为计算1＋112⨯＋123⨯＋…＋11a a(+)＝2－11a+的值，由已知输出的值为95，可知当a＝4时2－11a+＝95.故选A．6．答案：C解析：由sin α＋2cos αsin α2cos α.①把①式代入sin2α＋cos2α＝1中可解出cos α，当cos α时，sin α；当cos α时，sin α＝.∴tan α＝3或tan α＝13-，∴tan 2α＝34-.7．答案：D解析：设PB ＝t AB (0≤t ≤1)， ∴PC ＝PB ＋BC ＝t AB ＋BC ，∴PB ²PC ＝(t AB )²(t AB ＋BC )＝t 22AB ＋t AB ²BC .由题意PB ²PC ≥0P B ²0PC ， 即t 22AB ＋t AB ²BC ≥14AB 14AB BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214⎛⎫⎪⎝⎭2AB ＋14AB ²BC ，即当14t =时PB ²PC 取得最小值．由二次函数的性质可知：2142AB BC AB⋅-=，即：AB -²BC ＝122AB ，∴AB ²12AB BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0.取AB 中点M ，则12AB ＋BC ＝MB ＋BC ＝MC ，∴AB ²MC ＝0，即AB ⊥MC ． ∴AC ＝BC ．故选D ． 8． 答案：C解析：当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x－1， ∵f ′(1)＝e －1≠0，∴f (x )在x ＝1处不能取到极值；当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x－2)，令H (x )＝x e x ＋e x－2，则H ′(x )＝x e x ＋2e x＞0，x ∈(0，＋∞)． 说明H (x )在(0，＋∞)上为增函数， 且H (1)＝2e －2＞0，H (0)＝－1＜0，因此当x 0＜x ＜1(x 0为H (x )的零点)时，f ′(x )＜0，f (x )在(x 0,1)上为减函数． 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴x ＝1是f (x )的极小值点，故选C ． 9． 答案：D解析：椭圆C 1中，|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝又因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以∠F 1AF 2＝90°.所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，所以|AF 1|＝2|AF 2|＝2所以在双曲线C 2中，2c ＝2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝2e ==，故选D ．10． 答案：A非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．答案：－10解析：T r ＋1＝553255C C (1)rr rr r r r x x ---⎛⋅=⋅-⋅ ⎝＝515523655(1)C (1)C r rr rrrr xx----=-.令15－5r ＝0，得r ＝3，所以A ＝(－1)335C ＝25C -＝－10.12．答案：24 解析：由三视图可知该几何体为如图所示的三棱柱割掉了一个三棱锥．11111111A EC ABC A B C ABC E A B C V V V ---=-＝12³3³4³5－13³12³3³4³3＝30－6＝24.13．答案：2解析：画出可行域如图所示．由可行域知，最优解可能在A (0,2)或C (4,4)处取得． 若在A (0,2)处取得不符合题意；若在C (4,4)处取得，则4k ＋4＝12，解得k ＝2，此时符合题意． 14．答案：480 解析：如图六个位置.若C 放在第一个位置，则满足条件的排法共有55A 种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A ，B ，再在余下的3个位置排D ，E ，F ，共24A ²33A 种排法；若C 放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A ，B ，其余位置排D ，E ，F ，则共有22A ²33A 种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A ，B ，再在其余3个位置排D ，E ，F ，共有23A ²33A 种排法；若C 在第4个位置，则有22A 33A ＋23A 33A 种排法；若C 在第5个位置，则有24A 33A 种排法；若C 在第6个位置，则有55A 种排法．综上，共有2(55A ＋24A 33A ＋23A 33A ＋22A 33A )＝480(种)排法．15．答案：±1解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由24,1y x y k x ⎧=⎨=(+)⎩联立，得k 2x 2＋2(k 2－2)x＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2222k k(-)-， ∴212222212x x k k k+-=-=-+，1222y y k +=， 即Q 2221,k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.又|FQ |＝2，F (1,0)，∴22222114k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k ＝±1.16．解析：如图以C 为原点建立平面直角坐标系，设A (0，b )，B (a,0)， 则M ,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，AB ＝(a ，－b )，AM ＝,2a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭， cos ∠MAB ＝AB AMAB AM⋅22a b +.又sin ∠MAB ＝13，∴cos∠MAB=∴22222222894a b aa b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫(+)+ ⎪⎝⎭，整理得a 4－4a 2b 2＋4b 4＝0，即a 2－2b 2＝0，∴a 2＝2b 2， sin ∠CAB===. 17．答案：2解析：|b |2＝(x e 1＋y e 2)2＝x 2＋y 2＋2xy e 1²e 2＝x 2＋y 2.∴||||x =b x ＝0时，||0||x =b ； 当x ≠0时，||2||x ==≤b .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解：(1)由题意得5a 3²a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0， 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d ＜0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝212122n n -+. 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝212122n n -＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩19．解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝331664⨯=⨯， P (ξ＝3)＝2321663⨯⨯=⨯， P (ξ＝4)＝2312256618⨯⨯+⨯=⨯， P (ξ＝5)＝2211669⨯⨯=⨯， P (ξ＝6)＝1116636⨯=⨯， 所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E (η)＝3a abc a b c a b c ++=++++++， D (η)＝22255551233339a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅+-⋅+-⋅= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得240,4110.a b c a b c --=⎧⎨+-=⎩解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1. 20．方法一：(1)证明：取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连结OP ，OF ，FQ ，因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD ．因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点， 所以OP 是△BDM 的中位线， 所以OP ∥DM ，且OP ＝12DM . 又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝14AD ． 从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF . 又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD ．(2)解：作CG ⊥BD 于点G ，作CH ⊥BM 于点H ，连结CH . 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ， 所以AD ⊥CG ，又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ， 所以CG ⊥BM .又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ， 所以GH ⊥BM ，CH ⊥BM .所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝θ，CG ＝CD sin θ＝θsin θ，BG ＝BC sin θ＝2θ.在Rt △BDM 中，BG DM HG BM ⋅==在Rt △CHG 中，tan ∠CHG＝3cos sin CG HG θθ==所以tan θ从而θ＝60°.即∠BDC ＝60°.方法二：(1)证明：如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A (02)，B (0，0)，D (00)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)． 因为3AQ QC =，所以Q 00331,,4442x y ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭. 因为M 为AD 的中点，故M (01)． 又P 为BM 的中点，故P 10,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以PQ＝0033,044x y ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ ²u ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD ．(2)解：设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM ＝(－x 00y ,1)，BM ＝(0,1)，知000,0.x x y y z z ⎧-+)+=⎪⎨+=⎪⎩ 取y ＝－1，得m＝001,y x ⎛+- ⎝. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝||1||||2⋅==m n m n，即200y x ⎛+= ⎝⎭① 又BC ⊥CD ，所以CB ²CD ＝0，故(－x 0，0y ,0)²(－x 00y ,0)＝0， 即x 02＋y 02＝2.②联立①，②，解得000,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去)或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以tan ∠BDC=.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°. 21．解：(1)由题意得1,2.b a =⎧⎨=⎩所以椭圆C 的方程为24x ＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d =，所以||AB ==.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由220,44,x ky k x y ++=⎧⎨+=⎩消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故0284kx k =-+. 所以|PD |＝24k +设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |²|PD |＝24k +，所以S＝32=，当且仅当k = 所以所求直线l 1的方程为y＝x －1. 22．解：(1)由题意f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ， 故f ′(1)＝3a －3.又f (1)＝1，所以所求的切线方程为y ＝(3a －3)x －3a ＋4.(2)由于f ′(x )＝3(x －1)2＋3(a －1)，0≤x ≤2，故①当a ≤0时，有f ′(x )≤0，此时f (x )在[0,2]上单调递减， 故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3－3a .②当a ≥1时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0,2]上单调递增， 故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.③当0＜a ＜1时，设x 1＝1x 2＝1则0＜x 1＜x 2＜2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． 列表如下：由于f (x 1)故f (x 1)＋f(x 2)＝2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a 0， 从而f (x 1)＞|f (x 2)|.所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}． 当0＜a ＜23时，f (0)＞|f (2)|. 又f (x 1)－f (0)＝2(1－a (2－3a )2＞0，故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a 当23≤a ＜1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)． 又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a (3a －2)2，所以当23≤a ＜34时，f (x 1)＞|f (2)|.故f (x )max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a 当34≤a ＜1时，f (x 1)≤|f (2)|. 故f (x )max ＝|f (2)|＝3a －1. 综上所述，|f (x )|max ＝33,0,3121,4331,.4a a a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪+(-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩。
2013年浙江高考数学（理科）试卷及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科） 选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么互斥，那么 柱体的体积公式柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+V Sh = 如果事件A ，B 相互独立，那么相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高表示柱体的高()()()P A B P A P B ×=× 锥体的体积公式锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么，那么 13VSh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高表示锥体的高 ()()()1,0,1,2,,n kk kn nP k C p p k n -=-= 球的表面积公式球的表面积公式台体的体积公式台体的体积公式24πS R = ()112213V h S S S S =++ 球的体积公式球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，分别表示台体的上底、下底面积，34π3V R = h 表示台体的高表示台体的高 其中R 表示球的半径表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1， 已知i 是虚数单位，则()()12i i -+-=2， A ，3i -+ B ，13i -+ C ，33i -+ D ，1i -+ 3， 设集合{}{}22,340S x x T x x x =>-=+-£，则()R C S T =UA ，(]2,1-B ，(],4-¥-C ，(],1-¥D ，[)1,+¥ 3，已知,x y 为正实数，则为正实数，则A ，lg lg lg lg 222x y x y +=+B ，()lg lg lg 222x y x y +=gC ，lg lglglg222x yxy=+gD ，()lg lg lg 222xy x y=g4，已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R w j w j =+>>Î，则“()f x 是奇函数”是“2pj =”的”的A ，充分不必要条件，充分不必要条件B ，必要不充分条件，必要不充分条件C ，充分必要条件，充分必要条件D ，既不充分也不必要条件，既不充分也不必要条件 5，某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则，则 A ，4a = B ，5a = C ，6a =D ，7a = 6，已知10,sin 2cos 2R a a a Î+=，则tan 2a =A ，43B ，34C ，34-D ，43- 7，设ABC V ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边，且对于边 AB 上任一点，恒有00PB PC P B PC ³uu r uu u r uuu r uuu r g g ，则，则 A ，90ABC Ð=o B ，90BAC Ð=o C ，AB AC =D ，AC BC = 8，已知e 为自然对数的底数，设函数()()()()111,2kxf x e x k =--=，则，则A ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值处取到极小值B ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值处取到极大值C ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值处取到极小值D ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值处取到极大值 9，如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是的离心率是 A ，2 B ，3 C ，32D ，6210，在空间中，过点A 作平面p 的垂线，垂足为B ，记().Bf A p=设,a b 是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()()12,Q f f P Q f f P b a a b éù==éùëûëû，恒有12PQ PQ =，则，则A ，平面a 与平面b 垂直垂直B ，平面a 与平面b 所成的（锐）二面角为45oC ，平面a 与平面b 平行平行D ，平面a 与平面b 所成的（锐）二面角为60o11，设二项式531x x æö-ç÷èø的展开式中常数项为A ，则A =12，某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积）如图所示，则此几何体的体积等于等于3cm13，设z kx y =+，其中,x y 满足20240240x y x y x y +-³ìï-+³íï--£î，若z 的最大值为12，则实数k = 14，将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，且,A B 均在C 的同侧，则不同的排法共有则不同的排法共有种（用数字作答）数字作答）15，设F 为抛物线22:4C y x =的焦点，过点()1,0P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率等于的斜率等于 16，在ABC V 中，90C Ð=o，M 是BC 的中点。
浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷
浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷姓名_____________ 准考证号__________________本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞25．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab 6．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列 B ．若a n ⋅a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ⋅a n ＝2m +n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n ⋅a n +3＝a n +1⋅a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是ABC ．D8．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x＋y 的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．309．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为A B(第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图 2 xy OA B F 1F 2(第9题图)C．2D10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，f n+1 (x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为A．B．C．D．非选择题部分(共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
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Z 数学（理科）试题第 1 页 (共 11 页)测试卷数学(理科)姓名_____________ 准考证号__________________本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则11页)A．x1＞－1 B．x2＜0 C．x2＞0 D．x3＞25．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|AB|＝a，|AD|＝b，则AC BD⋅＝A．b2－a2B．a2－b2C．a2＋b2D．ab6．设数列{a n}．A．若2na＝4n，n∈N*，则{a n}为等比数列B．若a n⋅a n+2＝21na+，n∈N*，则{a n}为等比数列C．若a m⋅a n＝2m+n，m，n∈N*，则{a n}为等比数列D．若a n⋅a n+3＝a n+1⋅a n+2，n∈N*，则{a n}为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是A B C D8．若整数x，y满足不等式组0,2100,0,x yx yy⎧->⎪--<⎨+-则2x＋y的最大值是A．11 B．23 C．26D．309．如图，F1，F2是双曲线C：22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若| AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为A B(第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图俯视图侧视图俯视图xyOABF1F2(第9题图)Z数学（理科）试题第2页 (共C．2D10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，f n+1 (x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为A．BCD(第10题图)Z数学（理科）试题第3页 (共11页)非选择题部分(共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．已知i是虚数单位，a∈R．若复数2i2iaa+-的虚部为＝．12．设公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a22＋a32＝a42＋a52，则S6＝．13．若)2nx(n为正偶数)的展开式中第项式系数最大，则第5项是．1415．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，ccos A＝34，b＝5，则△ABC的面积为．16．在△ABC中，B(10，0)，直线BC与圆Γ：x2＋(y－5)＝25相切，切点为线段BC的中点．若△ABC的重心恰好为圆Γ的圆心，则点A的坐标为．17．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2．若存在各棱长均相等的四面体P1P2P3P4，其中P1，P2，P3，P4分别在棱AB，A1B1，C1D1，CD所在的直线上，则此长方体的体积为．(第14题图)A BCDA1B1C1D1(第17题图)Z数学（理科）试题第4页 (共11页)Z 数学（理科）试题第 5 页 (共 11 页)三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．(本题满分14分) 已知函数f (x )＝3 sin 2 axsin ax cos ax ＋2 cos 2 ax 的周期为π，其中a ＞0．(Ⅰ) 求a 的值； (Ⅱ) 求f (x )的值域．19．(本题满分14分) 已知A ，B ，C ，D ，E ，F 是边长为1的正六边形的6个顶点，在顶点取自A ，B ，C ，D ，E ，F 的所有三角形中，随机(等可能)取一个三角形．设随机变量X 为取出三角形的面积． (Ⅰ) 求概率P ( X)； (Ⅱ) 求数学期望E ( X )．20．(本题满分15分) 如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，其中ABCD 为矩形，ADEF 为梯形， AF ∥DE ，AF ⊥FE ，AF ＝AD ＝2 DE ＝2． (Ⅰ) 求异面直线EF 与BC 所成角的大小；(Ⅱ) 若二面角A －BF －D 的平面角的余弦值为13，求AB 的长． 21．(本题满分15分) 如图，F 1，F 2是离心率为2的椭C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，直线l ：x ＝－12将线段F 1F 分成两段，其长度之比为1 : 3．设A ，B 是C 上的两个动点，线段的中垂线与C 交于P ，Q 两点，线段AB 的中点M 在直线l 上． (Ⅰ) 求椭圆C 的方程； (Ⅱ) 求22F P F Q ⋅的取值范围． 22．(本题满分14分) 已知函数f (x )＝x 3＋32(1－a )x 2－3ax ＋1，a ＞0． (Ⅰ) 证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当x ∈[0，p ]时，有－1≤f (x )≤1； (Ⅱ) 设(Ⅰ)中的p 的最大值为g (a )，求g (a )的最大值．(第21题图)数学测试题(理科)答案及评分参考说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1．B 2．B 3．C 4．C5．A6．C 7．D 8．B 9．A 10．D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
11．2 12．0 13．358x614．101516．(0，15) 或(－8，－1) 17．4三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．本题主要考查三角函数的图象与性质、三角变换等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 由题意得f(x)＝3(1－cos 2ax)sin 2ax＋(1＋cos 2ax) sin 2ax－12cos 2ax＋52＝sin (2ax－π6)＋52．因为f(x)的周期为π，a＞0，所以a＝1．…………7分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得f(x)＝sin (2x－π6)＋52，所以f(x)的值域为[32，72]．…………14分19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求Z数学（理科）试题第6页 (共11页)Z 数学（理科）试题第 7 页 (共 11 页)解能力和应用意识。
满分14分。
(Ⅰ)的概率 P ( X)＝366C ＝310．………… 7分(Ⅱ) 随机变量X 的分布列为所以 E ( X )×310×610×110． ………… 14分20．本题主要考查空间点、线、面位置关系，异面直线所成角、二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
满分15分。
(Ⅰ) 延长AD ，FE 交于Q ． 因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ，所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角．在梯形ADEF 中，因为DE ∥AF ，AF ⊥FE ，AF ＝2，∠AQF ＝30°．………… 7分(Ⅱ) 方法一：设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得DG ⊥AF ．因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，所以AB ⊥DG ．所以DG ⊥平面ABF ．过G 作GH ⊥BF ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BF ， 所以∠DHG 为二面角A －BF －D 的平面角．(第20题图)Z 数学（理科）试题第 8 页 (共 11 页)在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得DG在直角△BAF 中，由AB BF ＝sin ∠AFB ＝GH FG，得 GH x所以GH在直角△DGH 中，DG，GH，得DH＝因为cos ∠DHG ＝GH DH ＝13，得 x所以AB………… 15分方法二：设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．则F (0，0，0)，A (－2，0，0)，E，0，0)，D (－10)，B (－2，0，x )，所以DF ＝(1，0)，BF ＝(2，0，－x )．因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)． 设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以，可取2n ＝，1． 因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅⋅＝13，得x所以(第20题图)Z 数学（理科）试题第 9 页 (共 11 页)AB………… 15分21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。