圆的轴对称性1.3圆的轴对称性第一课时

D A
G
B
例2：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
想一想:排水管中水最深多少? 解:作OC⊥AB于C, 由垂径定理得: AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
OC OB BC 10 8 6
2 2 2 2
d A
O
．
C
r
B
弦长AB 2 r 2 d 2 .
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
• 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径.
A
C 1 3D O
3
B
过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点 E
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C
O
D
结论1：
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 强调：
（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴; （2）圆的对称轴有无数条．
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
X）
在刚才操作的基础上,再作一条和直径CD垂直 的弦AB,AB与CD相交于点E,然后沿着直径CD所 在的直线把纸折叠,你发现哪些点、线互相重 合?
8
C
10 8
答:截面圆心O到水面的距离为6. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
D
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
这条弦的长. 想一想：在同一个圆中，两条弦 的长短与它们所对应的弦心距之
B 13
A
D 5
.
C
间有什么关系？ 答:在同一个圆中， 弦心距越长,所对应的弦就越短;
O
A C
.
E
D
B
A
B
作法:
1.连结AB; 2.作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒
⌒ ∴点E就是所求AB的中点.
变式： 求弧AB的四等分点．
C
m
F
E G
n
A
B
D
⌒所对的弦，AB的垂直平分线DG交 如图，AB是AB ⌒ AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ⌒ ⌒ ① DG⊥AB ②AG=DG ③BD=AD ① ③ （只需填写序号） 其中正确的是________
如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧, 那么在下图中,哪些圆弧相等? A
C E
O
D
B
结论2： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧．
A
垂径定理的几何语言叙述: ∵CD为直径，CD⊥AB（或OC⊥AB）C E O
D
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ EA=EB， AC=BC， AD=BD．
CD为直径 CD平分弦AB
O
弦心距越短,所对应的弦就越长.
2、已知⊙O的半径为10cm，点P是⊙O内一点，且
OP=8，则过点P的所有弦中，最短的弦是（ D ）
(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm
O
8
10 6
P
1．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长 3 为8cm，那么OM长为（A）
A．3 B．6cm C． 41cm D．9cm
2．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB 4 上的动点，则OM的长的取值范围是（A）
A．3≤OM≤5
C．3<OM<5
B．4≤OM5
D．4<OM<5
A
M
O ．
B
小结：
1．作弦心距和半径是圆中 常见的辅助线； 2 ．半径（r)、半弦、弦心 距(d)组成的直角三角形是研 究与圆有关问题的主要思路， 它们之间的关系：
B
条件
CD⊥AB
结论 CD平分弧A B CD平分弧ADB
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
⌒如图，用直尺和圆规求作这条弧 例1：已知AB E 的中点。 ⌒ 分析:要平分 AB,只要画垂直
于弦AB的直径.而这条直径 应在弦AB的垂直平分线上. 因此画AB的垂直平分线就能 ⌒ 把AB平分.
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 ⌒ ⌒ 求证：AC=BD
O A C B D
总结回顾
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
弦长AB 2 r 2 d 2 .
目标训练
1．已知⊙O的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5， 则这条弦的弦长等于 24 ． 2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于 点E，则下列结论中不一定成立的是（C） A．∠COE∠DOE B．CEDE C．OEBE
A O ． C E B D
⌒ ⌒ D．BDBC
5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB12， CD16，则AB和CD的距离为 2或14 ．
6. 如图 ,M为⊙ O 内的一点 , 利用M.
M ●O
●
课外练习
1、 已知：如图，在以 点O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆 于C，D两点. 求证：ACBD.