多边形及其内角和
多边形及其内角和
在同一平面内，由不在同一条直线上的三 条线段首尾顺次相接所组成的图形。
四边形的定义：
在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段 首尾顺次相接所组成的图形。
五边形
六边形
七边形
……
多边形的定义：
在同一平面内，由不在同一条 直线上的一些线段首尾顺次相接 所组成的（封闭）图形。
多边形按组成它的线段条数分成三 角形、四边形、五边形……其中三角形 是最简单的多边形。
（未知）
（已知）
请探索任意一个多边形的内角和与外 角和的规律.
三角形
四边形
五边形
……
六边形
n边形
多边形
边 数
分成三 角形的
个数
图形
三角形 3
1
四边形 4
2
五边形 5
3
六边形 6
4
七边形 7
5
内角和 计算规律
180° 1 ×180° 360° 2 ×180° 540° 3 ×180° 720° 4 ×180° 900° 5 ×180°
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
反过来，由定义可以得，正多边形有什么性 质呢？
1、填空题 （1）连接多边形（ 不相邻的两个顶点 ）的线段，叫做多边形的多角形。 （2）多边形的任何（ 一条边 ）所在的直线，整个多边形都在这条 直线的（ 同一侧 ），这样的多边形叫做凸多边形 。
（3）各个角（都相等 ），各条边（都相等）的多边形，叫做正多边形。
解：(10－2)×180°=8 ×180°=1440° 答:十边形的内角和是1440°
（2）已知一个多边形的内角和为720o ，则这个 多边形是__6____边形 （3）在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且 ∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为__8_0_o___
11.3.多边形及其内角和(教案)
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于多边形内角和的概念和计算公式的理解整体上是积极的。他们能够通过具体的实例和实践活动，逐步掌握内角和的计算方法。然而，我也注意到了一些需要改进的地方。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解多边形的基本概念。多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次相连，形成的封闭平面图形。内角和是多边形内所有角的总和，它在几何图形的计算中非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以四边形为例，通过将其分解为两个三角形，来计算其内角和。这个案例展示了内角和在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-四边形内角和的推导；
- n边形内角和的公式：（n-2）×180°。
3.多边形内角和的应用：解决实际问题，运用内角和公式进行计算。
-利用内角和解决多边形角度问题；
-结合生活实例，进行内角和计算的应用练习。
4.实践活动：通过实际操作，加深对多边形内角和的理解。
-动手制作多边形，观察内角和的特征；
-分组讨论，探索多边形内角和与边数的关系。
-对于内角与外角的关系，教师可以通过动态演示或实物模型，让学生直观感受外角是如何由内角转化而来，从而理解外角和总是等于360°的原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《多边形及其内角和》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算多边形内角和的情况？”比如，在设计班旗或地图上的多边形区域时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索多边形内角和的奥秘。
专题04 多边形及其多边形内角和(知识点串讲)(解析版)
专题04 多边形及其多边形内角和知识网络重难突破知识点一多边形相关知识多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。
外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(nn（重点）凸多边形概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）典例1 （2018春富顺县期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；∴剩余图形不可能是六边形，故选A.典例2 （2018秋桥北区期中）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【详解】设多边形有n条边，n－2＝9，则n＝11，故答案选B.典例3 （2018春道里区期末）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是( ) A．6 B．9 C．14 D．20【答案】B【详解】由题意可知n=6，所以对角线条数为9知识点二多边形的内角和外角（重点）n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（重点）n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
典例1 （2019春安庆市期中）若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【详解】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．故选C.典例2 （2019春南阳市期中）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】根据n边形的内角和公式，得：（n-2）•180=360，解得n=4．故选B典例3 （2018春菏泽市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春龙安区期末）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为540 ，那么原多边形的边数为（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．4或5或6【答案】D【详解】设新多边形的边数为n,则(n−2)⋅180°=540°,解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6.故选：D.此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式.2．（2019春闻喜县期末）下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【详解】A. 正六边形的每个内角是120°,能整除360°，能密铺；B. 正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°,不能整除360°，不能密铺；C. 正方形的每个内角是90°,能整除360°，能密铺；D. 正三角形的每个内角是60°,能整除360°，能密铺.故选B.【名师点睛】此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于掌握计算法则.3．（2018春南昌县期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得(n-2)×180°=2×360°，解得：n=6，即这个多边形为六边形，故选C．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（2019春道外区期末）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.5．（2018春东坡区期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】C【详解】∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【名师点睛】主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180 （n≥3且n为整数）．6．（2018春金安区期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（）A．100米B．110米C．120米D．200米【答案】A【详解】解：∵360÷36=10，∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．故选A.【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360º．7．（2018春小店区期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．8．（2017秋民勤县期中）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选：C．【名师点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．9．（2016春荔湾区期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：==35，故选C．10．（2018春德州市期末）一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7-3=4.故选：B【名师点睛】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.二、填空题（共5小题）11．（2018春天水市期末）如图，五边形是正五边形，若，则__________．【答案】72【解析】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB交于点F，∵，∴∠2=∠3，∵五边形是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°.[名师点睛]题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.12．（2019春海淀区期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.13．（2018春金东区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为：40°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．14．（2018春延边市期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．【答案】540°【详解】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.【名师点睛】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.15．（2019春东阳市期末）若一个多边形的内角和比外角和多900，则该多边形的边数是_____．【答案】9，【解析】分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．详解：设这个多边形的边数是n，则 (n−2)⋅180°−360°=900°，解得n=9.故答案为： 9.【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.三、解答题（共2小题）16．（2018春云岩区期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是120°．【详解】（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+=180°,解得:x=120°,=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,（2）设内角为x,则外角为,由题意得: x+=180°,解得:x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（6﹣2）×180°=720°．【名师点睛】本题主要考查多边形内角和外角,多边形内角和以及多边形的外角和,解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系以及多边形内角和.17．（2017春黄岩区期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=90°；理由见解析；（2）（2）BE∥DF；理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．试题解析：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．。
多边形及其内角和
多边形及其内角和1．多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
三角形是最简单，边数最少的多边形.①多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．②拓展理解：一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n边形一共有n(n－3)2条对角线．2．多边形的内角和(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.【例1】选择：(1)十边形的内角和为()．A．1 260°B．1 440°C．1 620°D．1 800°(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有()．A．6条B．7条C．8条D．9条4．多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．解技巧多边形的内角与相邻外角的关系的运用同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．【例4】填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．3．多边形内角和公式的应用多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n－2)×180°求出．(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n 为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数．【例5】若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．【例】一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．【例】一个多边形的内角和不可能是()．A．1 800°B．540°C．720°D．810°4.多边形外角、外角和公式的应用【例6】如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB ＝__________.7.正多边形知识的应用正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)．解技巧利用方程思想求多边形的边数正多边形中已知一个内角的度数求边数时，一是将内角根据“同顶点的内、外角互补”转化为外角，再根据外角和是360°，由360°除以一个外角的度数得到边数；二是根据内角和公式和每个角度数都相等列方程解出边数n.【例7】若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．【例】一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．【例】一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．常见题型及巩固练习：1．边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用在多边形问题中，当多边形的边数n一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n－2)×180°，多边形对角线的条数也是一定的，是n(n－3)2，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n－3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个量，就可以求出所有的量．在多边形问题的综合应用中，一般是边数、对角线的条数、内角和之间的关系应用较多，有时还与正多边形知识相结合．因知识限制，一般是给出内角和，求边数或对角线条数题目较多，如：已知一个多边形内角和是 1 080°，它有几条对角线？根据内角和公式列方程，(n－2)×180＝1 080求出边数，再根据对角线公式求出对角线条数．练习1过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是()．A．8 B．9 C．10 D．11练习2 多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是()．A．7 B．8 C．9 D．10练习3一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．练习4如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数。
多边形及其内角和知识点汇编
多边形知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。
拼成360度的角：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
(完整版)多边形及其内角和知识点
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。
拼成360度的角3、4。
知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形 凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。
要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。
多边形及其内角和
多边形及其内角和知识点：多边形的内角和定理1.四边形内角和等于，能否利用三角形内角和等于180°得出结论：2.从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察图3，请填空：（1）从五边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将五边形分为_____个三角形，五边形的内角和等于180°×______．（2）从六边形的一个顶点出发，可以引_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×______．3.一般地，怎样求n边形的内角和呢？请填空：从n边形的一个顶点出发，可以引____条对角线，它们将n边形分为____个三角形，n边形的内角和等于180°×______．结论：多边形的内角和与边数的关系是4.镶嵌的定义：用相状、大小________的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间________、不重叠得铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称平面图形的镶嵌。
记忆再现1.多边形的内角和【例1】一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A.4B.5C.6D.7练习1．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9练习2．（四边形的内角和为（）A.180°B.360°C.540°D.720°2.正多边形的内角和问题【例2】正八边形的每个内角为（）A．120°B．135°C．140°D．144°练习3.正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（）A．9 B．8 C．7 D．4练习4.已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边是__________．3.外角和问题【例3】（五边形的外角和等于（）A．180°B．360°C．540°D．720°练习5．一个正多边形，它的每一个外角都等于45°，则该正多边形是（）A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形练习6.若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．94.内角和和外角和综合问题【例4】已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为_____边形．练习7.若一个正多边形的一个外角为40o，则这个正多边形是_______边形．练习8.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（）A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形5.对角线问题【例5】若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是_____________．练习9．若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( )A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形练习10.一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（）A．6条B．7条C．8 D．9条6.综合问题【例6】如图，依次以三角形、四边形、……、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交．把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，…．n边形与各圆重叠部分面积之和记为S n．则S90的值为_________________．（结果保留π）练习11.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线L∥CD，则∠1= ．练习12.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。
《多边形及其内角和》ppt课件
详细展示多边形内角和定理的证明过 程，帮助学习者深入理解定理的证明 思路。
03 多边形内角和的计算方法
公式法计算内角和
01
公式法是计算多边形内角和最常用的方法，通过公式可 以直接计算出多边形的内角和。
02
对于一个n边形，其内角和S可以通过公式计算：S = (n 2) * 180°。
03
这个公式基于多边形的定义和性质，通过数学推导得出 ，适用于任何凸多边形和凹多边形。
举例说明
通过具体实例，如四边形、五边形等，演示如何运用三角形内角和推导多边形内 角和。
内角和定理的应用
解决实际问题
多边形内角和定理可以应用于解 决实际问题，如计算多边形面积 、解决几何问题等。
拓展知识
介绍多边形内角和定理在其他领 域的应用，如建筑设计、计算机 图形学等。
内角和定理的证明
证明方法
介绍多边形内角和定理的证明方法， 包括几何证明、代数证明等。
多边形的分类
总结词
根据边的数量和形状，可以将多边形分为三角形、四边形、 五边形等。
详细描述
三角形是多边形中最简单的形式，由三条边组成。四边形由 四条边组成，五边形由五条边组成，以此类推。此外，根据 边的形状，多边形还可以分为凸多边形和凹多边形。
多边形的性质
总结词
多边形具有一些基本的几何性质，如内角和、外角和等。
建筑设计中的应用
建筑设计中的角度计算
多边形内角和在建筑设计中有广泛的应用，如角度计算、空间布局等。通过利用多边形 内角和的知识，设计师可以更加精确地计算出建筑物的角度和方向，从而更好地进行空
间布局和设计。
建筑光学与视觉效果
多边形内角和的知识还可以应用于建筑光学和视觉效果的设计。利用多边形的内角和性 质，可以调整建筑物的窗户、镜面等元素的角度，创造出更加舒适和美观的视觉效果。
多边形内角和和外角和的公式
多边形内角和和外角和的公式多边形是指由三个或更多条线段组成的封闭图形。
在数学中，多边形的内角和和外角和是一个重要的概念。
本文将介绍多边形的内角和和外角和的公式，并解释其含义和应用。
1. 多边形的内角和公式多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
对于任意n边形（其中n大于等于3），其内角和可以通过以下公式计算得出：内角和 = (n - 2) × 180度这个公式的推导可以通过将多边形分割成n-2个三角形来进行。
每个三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和就是(n-2)个三角形的内角和之和。
举例来说，对于一个三角形（3边形），其内角和为180度。
对于一个四边形（四边形），其内角和为360度。
对于一个五边形（五边形），其内角和为540度。
依此类推，随着边数的增加，多边形的内角和也会增加。
2. 多边形的外角和公式多边形的外角和指的是多边形外部所有角的和。
对于任意n边形，其外角和可以通过以下公式计算得出：外角和 = 360度这个公式的推导可以通过将多边形的每个外角和其相邻的内角相加得到。
根据三角形的性质可知，三角形的外角和为360度。
因此，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
举例来说，对于一个三角形，其外角和为360度。
对于一个四边形，其外角和为360度。
对于一个五边形，其外角和为360度。
可见，不论多边形的边数是多少，其外角和始终为360度。
3. 内角和和外角和的关系内角和和外角和有一个重要的关系：它们的和始终等于多边形的边数乘以180度。
这可以通过以下公式表示：内角和 + 外角和= n × 180度这个公式的推导可以通过将多边形的每个内角和其对应的外角相加得到。
根据三角形的性质可知，内角和和外角和的和为180度。
因此，多边形的每个内角和其对应的外角的和为180度。
由于多边形共有n个内角和n个外角，所以它们的和为n × 180度。
举例来说，对于一个三角形，其内角和为180度，外角和为360度，满足内角和 + 外角和= 3 × 180度。
多边形及其内角和(能力培优)
多边形及其内角和一、多边形1、概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.（注意：三角形是最简单的多边形）2、内角：相邻两边组成的角.3、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.4、分类：①凸多边形：任一线段所在直线不会经过图形内部的图形叫凸多边形.②凹多边形：只要有一条线段所在直线经过图形内部则被称作为凹多边形.5、正多边形：各个角相等，各条边相等的多边形.二、n边形1、n个顶点2、n个内角3、n条边4、过一个顶点有（n-3）条对角线5、过一个顶点的对角线把n边形分成（n-2）个三角形6、共有2)3n(n条对角线7、内角和为（n-2）180°8、外角和为360°三、多边形的内角和推理方法一：从n边形的一个顶点引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是（n-2）×180°.四、多边形外角和的推理多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n×180°，外角和等于n×180°-（n一2）×180°=360°.题型讲解【题型1】多边形内角和公式的运用例1、把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG=( )A. 141°B. 144°C. 147°D. 150°迁移训练1.如图，若干全等正五边形排成环状。
图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需( )个五边形。
A. 6B. 7C. 8D. 9迁移训练2.在凸四边形ABCD中，∠A-∠B=∠B-∠C=∠C-∠D>0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数。
【题型2】多边形内角和与平行线性质的结合例2、（2018·南京）如图，五边形ABCDE是正五边形。
11.3.1多边形及其内角和(教案)
一、教学内容
《11.3.1多边形及其内角和》为本章节内容，主要包括以下三个方面：
1.多边形的定义与性质：使学生掌握多边形的定义，了解多边形的边、角、对角线等基本概念，并探索多边形的性质，如对角线数量、顶点角、内角和等。
2.多边形的内角和公式：引导学生通过观察、推理、归纳等方法，发现多边形内角和的计算公式，即（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
举例：通过正三角形、正方形、正五边形等具体多边形的分析，使学生明确多边形的性质。
（2）多边形的内角和公式：掌握内角和计算公式（n-2）×180°，并能够运用该公式解决相关问题。
举例：给出一个六边形，让学生计算其内角和，并解释为什么可以用（n-2）×180°来计算。
（3）多边形内角和公式的应用：能够将内角和公式应用于解决实际问题，如判断多边形类型、计算多边形内角度数等。
5.培养学生的团队协作能力：在小组讨论、交流过程中，培养学生合作学习、共同解决问题的团队协作能力。
本节课将紧扣核心素养目标，注重培养学生的几何直观、逻辑推理、数学建模等能力，提高学生的学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）多边形的定义与性质：理解多边形的基本概念，掌握多边形的边、角、对角线等性质，这是学习多边形内角和的基础。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了多边形的基本概念、性质以及内角和的计算公式。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对多边形内角和的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级上册_多边形及其内角和(解析版)
多边形的内角和与外角和1. 多边形的相关概念（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．（3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角（4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（5）凸多边形：如果整个多边形都在其任何一边所在直线的同一侧的多边形．2. 内角和与外角和如下图，边形的内角和为，多边形的外角和都是．3. 正多边形正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形.考点：1. 对角线条数；2.内角和与外角和；3. 正多边形重难点：1. n边形形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．2. 要计算正多边形的内角度数，除了可以拿内角和（）除以边数（n）以外，还可以通过利用外角和（）除以边数（n），得到一个顶点处外角的度数，再拿180减去它即可.易错点：每个多边形在其一个顶点处对应的外角也都只有一个，它们的和等于.题模一：对角线条数例1.1.1若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A.7B.10C.35D.70例1.1.2若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是__________边形例1.1.3从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是____个．例1.1.4观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线，六边形有_______条对角线；（2）根据规律七边形有_______条对角线，n边形有___________条对角线．例1.1.5一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是______边形题模二：内角和与外角和例1.2.1一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形的内角和是1980°，则原多边形的边数为（）A.11或12B.12或13C.13或14D.12或13或14题模三：正多边形例1.3.1已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（）A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形例1.3.2已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（）A.6B.7C.8D.10例1.3.3如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A.140米B.150米C.160米D.240米随练1.1如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是______随练 1.2一个多边形的每一个内角都是140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是_______随练1.3一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7∠3=32°，那么∠1+∠2=____度．随练1.5请总结规律，完成下表：拓展1下列说法中错误的有（）①各边都相等的多边形是正多边形．②多边形的外角和是指多边形所有外角相加的和．③四个内角均为直角的四边形是正四边形．④多边形的内角和与外角和均与边数有关．⑤正多边形的内角度数与边数无关．⑥多边形的内角和与外角和加起来，应为边数与180°的乘积．A.2个B.3个C.4个D.5个拓展2一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数__________拓展3一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A.7 B.7或8 C.8或9 D.7或8或9拓展4如图，小明从点A出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？拓展5 如图，∠1=m°，∠2+∠4+∠6+∠8=n°，则∠3+∠5+∠7的大小是__．A222220︒20︒20︒答案解析多边形的内角和与外角和题模一：对角线条数例1.1.1【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∵144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．例1.1.2【答案】13【解析】该题考查的是多边形对角线计算公式．从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引()3n-条对角线，（n为多边形边数）．本题中，设这个多边形是n边形．代入公式，得310n-=，∴13n=．例1.1.3【答案】7【解析】从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是7个例1.1.4【答案】（1）2；5；9，（2）14；(3)2n n-【解析】（1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；（2）七边形有14条对角线，n边形有(3)2n n-条对角线．例1.1.5【答案】5【解析】设多边形有n 条边，则根据题意可列：(3)2n nn -=，解得15n =，20n =（舍） 故多边形的边数为5题模二：内角和与外角和 例1.2.1 【答案】C【解析】该题考查的是多边形的角度计算．多边形内角和公式为()2180n -⨯︒，外角度数和为定值360︒， 本题中，()21801980n -⨯︒=︒，解得13n =而多边形从某一个顶点出发截去一个角，边数有两种可能，一种是边数不变，一种是边数减少1条，所以原来的多边形边数可能是13或14，故答案是C ．题模三：正多边形 例1.3.1 【答案】B【解析】设所求正n 边形边数为n ， 则60°•n=360°， 解得n=6．故正多边形的边数是6． 故选B ． 例1.3.2 【答案】C【解析】本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解． ∠正n 边形的一个内角为135°，∠正n 边形的一个外角为180°-135°=45°， n=360°÷45°=8． 故选C ． 例1.3.3 【答案】B【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°， ∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150米． 随练1.1【答案】7【解析】设原来多边形的边数是n ，则()221802160n -⨯︒=︒，解得7n = 随练1.2 【答案】6【解析】由于一个多边形的每一个内角都是140°，因此其外角都是40°，则这个多边形的边数为360940=，因此从九边形的每一个顶点出发的对角线的条数为936-= 随练1.3 【答案】D【解析】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键． 首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 设内角和为720°的多边形的边数是n ，则（n -2）•180=720， 解得：n=6．则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D ． 随练1.4 【答案】70∠∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°， ∠∠4=180°-60°-32°=88°， ∠∠5+∠6=180°-88°=92°， ∠∠5=180°-∠2-108° ∠， ∠6=180°-90°-∠1=90°-∠1 ∠，∠∠+∠得，180°-∠2-108°+90°-∠1=92°， 即∠1+∠2=70°． 故答案为：70°． 随练1.5【答案】见下表：【解析】n 边形过一个顶点可作()3n -条对角线，而n 边形共有n 个顶点，则共可作()3n n -条对角线，而这()3n n -条对角线中，有一半是重复计算的，抛去重复的这一半对角线，共有()32n n -条对角线．拓展1 【答案】D【解析】只有⑥是正确的，其余说法均错误 拓展2【答案】14【解析】从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成()2n -个三角形．根据题意可知，这个多边形的边数是12214+= 拓展3 【答案】D【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9． 拓展4【答案】能回到出发点，第一次回到出发点共走了36m ． 【解析】根据题意可知，小明所走的路线为一个正多边形，其边数为3601820=，即左拐18次后回到出发点．因此小明从点A 出发，第一次回到出发点共走了18236⨯=（m ）． 拓展5【答案】m°+n°【解析】如图，连结AB 、BC 、CD ．∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°，∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=540°，∴∠3+∠5+∠7=540°﹣（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14），∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴540°=∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8=（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=（m°+n°）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14），∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣（m°+n°）．∴∠3+∠5+∠7=540°﹣[540°﹣（m°+n°）]=m°+n°．。
多边形及其内角和
多边形及其内角和一、知识点：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点总结边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。
拼成360度的角：3、4。
知识点：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
多边形及其内角和知识点总结
多边形及其内角和知识点总结一、知识点1、多边形的定义：由在同一平面内，不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、多边形的分类：根据边数的不同，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等等。
3、多边形的内角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点相连所形成的角称为该多边形的内角。
4、多边形的内角和公式：n边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。
5、多边形的外角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点之间的夹角称为该多边形的外角。
6、多边形的外角和公式：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关。
7、勾股定理：在直角三角形中，勾股定理指出两个直角边的平方和等于斜边的平方。
二、重难点精析1、多边形的定义和分类是基础知识，需要理解并掌握不同类型多边形的特点。
2、多边形的内角和公式是重点，需要牢记并能够熟练运用该公式进行计算。
同时，也需要理解该公式的推导过程。
3、多边形的外角和公式是重点，需要理解并掌握该公式的应用。
同时，也需要掌握通过多边形的内角和公式和外角和公式之间的联系，进行计算和推导。
4、勾股定理是重点，需要理解并掌握其应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。
5、对于一些复杂的多边形问题，需要掌握分解和组合的思想，将复杂的多边形分解为简单的三角形或四边形，从而解决问题。
6、在解决与角度制相关的问题时，需要注意角度制的计算方法和单位转换。
7、在解决与对称性相关的问题时，需要结合多边形的定义和性质进行思考和分析。
总之，对于八年级数学中的多边形及其内角和知识点，学生需要牢固掌握基础知识，理解公式的推导过程，熟练运用公式进行计算和推导，同时还需要灵活运用各种解题技巧和方法，才能够真正掌握该部分知识点的核心内容。
多边形及其内角和
，
得
.
所以五十三边形的边数与其对角线条 数的和是1325+53=1378. 答：该班每周师生之间至少要通1378次 电话.
变式练习： 1. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有 对角线，k边形共有k条对角线，则 =
解析：由m-3=7，得m=10.由n边形没有对 角线，所以n=3.由 k(k-3)=k,得k=5.故 n 3 3 (m-k) =(10-5) =5 =125.
探究类型二
多边形的内角和与外角和
例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的 求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
，
解得 n=8. 答：这个多边形的边数是8.
拓展延伸：
现有四种地面砖，他们的形状分别是：正三角形、正方形、 正六边形，正八边形，且他们的边长相等，同时选择其 中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ B ） A.2种 B.3种 C.4种 D. 5种
课堂总结：
n边形内角和等于 (n-2)·180°；
任意多边形外角和等于360°； 1 凸n边形共有 2 n(n 3)条对角线. 平面镶嵌：几个正多边形的同一个顶点的几个 角的和等于360°.
例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°， 再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）
C
A.60米
B.100米
C.90米
D.120米
类似性问题：
2. 一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形 的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
4. 如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到 一个五边形，则∠1+∠2= 240 度.
11.3.2 多边形及其内角和
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但 外角和不变．
知3－讲
知1－讲
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角 有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°, ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180° =360° ∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C ) =360°－180°=180° 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一 组对角也互补.
2
2× 180º
5
2
3
3× 180º
6
3
4
4× 180º
…… ……
n
……
n－3
…… ……
n－2 (n－2)×180º
知1－讲
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3) 条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形 的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角 形，还有其他分法吗？由新 的分法，能得出多边 形内角 和公式吗？
知1－讲
例2 〈四川遂宁〉若一个多边形的内角和是1 260°， 则这个多边形的边数是____9____．
导引： 设这个多边形的边数为n，由题意知， (n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.
知1－讲
(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内 角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程 求出n，即得多边形的边数；
11.3 多边形及其内角和
解:设这个多边形的边数是n,
根据题意,得(n-2)•180=4×360+180. 解得n=11.
则这个多边形的边数是11,内角和度数是1620度.
使用多边形内角和与外角和时注意
(1)多边形的内角和是多边形所有内角的和,它的外角和是每个顶点处只取一个
外角的和. (2)n边形的内角和是(n-2)·180°,外角和等于360°,两者不要混淆.
1.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( A (A)十三边形 (C)十一边形 (A)正方形 (B)十二边形 (D)十边形
)
2.如果一个正多边形的内角和等于外角和的2倍,则这个正多边形是( C (B)正五边形
)
(C)正六边形
(D)正八边形
8 1800°. .
3.一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数 4.一个正多边形的一个外角为30°,则它的内角和为
11.3
多边形及其内角和
一、多边形 1.在平面内,由一些线段 首尾顺次相接 组成的封闭图形叫做多边形;如果一
பைடு நூலகம்
个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形. 2.各角都 相等 ,各边都 相等 的多边形叫做正多边形.
3.连接多边形不相邻的两个顶点的 线段 叫做多边形的对角线. 4.从n边形的一个顶点出发,可以作 (n-3) 条对角线,它们将n边形分成 (n-2) 个 三角形.
二、多边形的内角和外角 1.多边形相邻 两边 组成的角叫做它的内角,多边形的边与它的邻边的 延长线 . 组成的角叫做多边形的外角. 2.n(n≥3)边形的内角和等于 (n-2)·180° 3.多边形的外角和等于 360° . .
探究点一:多边形的有关概念
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多边形及其内角和一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解多边形，多边形的对角线，正多边形等有关的概念；● 掌握多边形内角和与外角和公式；● 灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力。
重点难点：● 重点：多边形内角和及外角和公式的灵活应用。
● 难点：多边形内角和公式的推导；多边形内角和及外角和公式的应用。
学习策略：● 通过把多边形转化为三角形体会转化思想在几何中的运用，探索多边形内角和公式，同时体会从特殊到一般的认识问题的方法。
二、学习与应用（一）三角形的内角和等于，外角和是 。
（二）三角形的一个 等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角 与它不相邻的任何一个内角。
（三）三角形任意两边 大于第三边，三角形任意两边 小于第三边。
“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。
课堂笔记或者其它补充填在右栏。
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复习与知识回顾 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）多边形的定义：在平面内，由一些线段相接组成的图形叫做多边形。
（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条叫做多边形的边。
顶点：每相邻两条边的公共叫做多边形的顶点。
内角：多边形两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可；③理解时要特别注意“在同一内”这个条件，其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形。
（二）多边形的分类：（1）多边形可分为多边形和多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为多边形，反之为多边形（见图1）。
本章所讲的多边形都是指多边形。
凸多边形凹多边形图1（2）多边形通常还以命名，多边形有n条边就叫做边形。
三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形。
知识点二：正多边形各个角都，各条边都的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：、是正多边形的必备条件，二者缺一不可。
如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是___ _。
知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
如图2，为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：（1）从n边形一个顶点可以引条对角线，将多边形分成_ _个三角形。
（2）n边形共有__条对角线。
证明：过一个顶点有条对角线（n≥3的正整数），又∵共有个顶点，∴共有对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了次，∴凸n边形，共有条对角线。
知识点四：多边形的内角和公式n 。
（一）公式：n边形的内角和为__________(3)（二）公式的证明：证法1：在n边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个角，即得到n 边形的内角和为。
证法2：从n边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且n 边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是n边形的，等于。
证法3：在n边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，n边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个角的度数，即。
要点诠释：（1）注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为问题来解决的基础思想。
（2）内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。
知识点五：多边形的外角和公式（1）公式：多边形的外角和等于。
（2）多边形外角和公式的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是，所以n边形的内角和加外角和为，外角和等于。
注意：n边形的外角和恒等于，它与边数的多少无关。
要点诠释：（1）外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数。
（2）多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于（n≥3，n是正整数），可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加。
②多边形的外角和等于，与边数的多少无关。
☆知识点六：镶嵌的概念和特征（一）定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分 覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。
这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。
（二）实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 ；相邻的多边形有 。
（三）常见的一些正多边形的镶嵌问题：（1）用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为 。
（2）只用一种正多边形镶嵌地面对于给定的某种正多边形，怎样判断它能否拼成一个平面图形，且不留一点空隙？解决问题的关键在于正多边形的 的特点。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个 角 °时，就能铺成一个平面图形。
事实上，正n 边形的每一个内角为 ，要求k 个正n 边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝ ，由此导出k ＝22－n n ＝2+ ，而k 是正整数，所以n 只能取 。
因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正 角形、正方形、正 边形的地砖可以用。
注意：任意四边形的内角和都等于 。
所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。
（3）用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个 角”的问题。
例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角。
类型一：多边形内角和及外角和定理应用例1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？思路点拨：本题实际告诉了这个多边形的内角和是。
解析：总结升华：___________________________________________________________________举一反三：☆【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数。
答案：经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
若有其它补充可填在右栏空白处。
更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#242807【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？答案：☆☆【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
答案：类型二：多边形对角线公式的运用例2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）。
你能算出一共需要进行多少场比赛吗？思路点拨：本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形_________条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数。
如图：六班五班四班三班二班一班解析：总结升华：___________________________________________________________________举一反三：【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）。
A．6 B．7 C．8 D．9答案：【变式2】一个十二边形有几条对角线。
解析：总结升华：___________________________________________________________________类型三：可转化为多边形内角和问题☆例3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。
21GFEDC BA思路点拨：设法将这几个角转移到____________中，然后利用多边形内角和公式求解。
解析：总结升华：___________________________________________________________________ 举一反三：【变式1】如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 。
356421答案：【变式2】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。
解析：类型四：实际应用题☆例4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？思路点拨：根据多边形的___________定理解决。
解析：总结升华：___________________________________________________________________举一反三：☆【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了m。
答案：总结升华：___________________________________________________________________【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A 时共走了多少米？若不能，写出理由。
答案：【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE。
按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量。
这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由。
A BCDE F解析：类型五：镶嵌问题（1）正方形和正八边形；（2）正三角形和正十二边形；（3）正三角形、正方形和正六边形。
思路点拨：只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。
解析：总结升华：___________________________________________________________________举一反三：【变式1】分别用形状、大小完全相同的①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板的是（）A．①B．②C．③D．④答案：【变式2】用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（）A．4B．5C．6D．8答案：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。