2019届高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 第一节 空间几何体的结构特征及三视图和直观图教师用书 理

2019届高考数学大一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图教师用书理2．空间几何体的三视图(1)三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用平行投影得到的，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。

(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线。

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。

3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中还是平行于坐标轴的线段。

平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中保持不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半。

1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行。

2．同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同。

3．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”。

在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线。

4．对于求解简单的组合体的表面积，要注意各几何体重叠部分的处理。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修2P15练习T4改编)如图为一个几何体的三视图，则该几何体是( )A．四棱柱B．三棱柱C．长方体D．三棱锥【解析】由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示：即为一个平放的三棱柱。

故选B。

【答案】 B2．(必修2P29B组T1改编)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为( )A．9πB．10πC．11πD．12π【解析】由三视图可得该几何体是球与圆柱的组合体，球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为3，则其表面积为S＝4π×12＋π×12×2＋2π×1×3＝12π。

故选D。

【答案】 D二、双基查验1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面。

故选C。

【答案】 C2．下列三种叙述，其中正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。

A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①中的平面不一定平行于底面，故①错。

②③可用下图反例检验，故②③不正确。

故选A。

【答案】 A3．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )【解析】D选项为正视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线。

故选B。

【答案】 B4．如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【解析】由题图知A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，由斜二测画法知，在△ABC中，AC∥y轴，AB∥x轴，∴AC⊥AB。

又因为A′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是直角三角形。

故选B。

【答案】 B5．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________。

【答案】五棱柱三棱柱微考点大课堂A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点【解析】A错，如图1；B正确；如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点。

故选B。

【答案】 B反思归纳解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧1．紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定。

2．通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可。

【变式训练】以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。

其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③错，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以。

故选A。

【答案】 A【典例2】(2016·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤【解析】正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③。

故选B。

【答案】 B角度二：由三视图还原直观图【典例3】某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A．2 2 B．2C．2 5 D. 5【解析】由三视图知，该几何体是棱长为2的正方体截去两个角后得到的，几何体的直观图是多面体PABCDEF，如图所示。

易知其最长棱为正方体的一条面对角线，其长为22。

故选A。

【答案】 A角度三：三视图间的转换【典例4】(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )【解析】由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B。

【答案】 B反思归纳 1.已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚。

2．已知三视图，判断几何体的技巧(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉。

(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图。

(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则。

为( )A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2D.616a 2【解析】 如图①②所示的实际图形和直观图。

①②由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ， 在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a 。

∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2。

故选D 。

【答案】 D反思归纳 平面图形与其直观图的面积关系直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论。

【变式训练】 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2 B.1＋22 C.2＋22D ．1＋ 2【解析】 恢复后的原图形为一直角梯形。

S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋2。

故选A 。

【答案】 A1)A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④解析 图①的三种视图均相同；图②的正视图与侧视图相同；图③的三种视图均不相同；图④的正视图与侧视图相同。

故选D 。

答案 D2．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示。

则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26πD ．1＋26π解析 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V 1＝13×12×1＝13。

设半球的半径为R ，则2R ＝2，即R ＝22，所以半球的体积V 2＝12×4π3R 3＝12×4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝26π。

故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝13＋26π。

故选C 。

答案 C3．某个水平放置的平面四边形ABCD 的斜二测画法直观图为A ′B ′C ′D ′，有以下判断： ①若A ′B ′＝A ′C ′，则必有AB ＝AC ；②若∠A ′B ′C ′＝∠C ′A ′B ′，则必有∠ABC ＝∠CAB ； ③若△A ′B ′C ′的面积为2，则△ABC 的面积可能为4； ④若A ′B ′C ′D ′是菱形，则ABCD 不可能是正方形。

其中，正确判断的序号是( ) A ．①②③④ B ．①③ C ．②④D ．③④解析 如果斜二测画法直观图中A ′B ′＝A ′C ′(线段长相等)，则原四边形中不一定有AB ＝AC ，①不正确；直观图中∠A ′B ′C ′＝∠C ′A ′B ′(角的大小相等)，原四边形中不一定有∠ABC＝∠CAB，②不正确；直观图的面积和原图形的面积之比为2∶4，③正确；若A′B′C′D′是菱形，则A′B′＝A′D′，若ABCD是矩形，那么一定不会有AB＝AD，从而ABCD不可能是正方形，④正确。

故选D。

答案 D4．三棱锥D－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱BD的长为________。

解析取AC的中点E，连接BE，DE。

由正视图和侧视图可知BE⊥AC，BE⊥DE，DC⊥平面ABC ，且DC＝4，BE＝23，AE＝EC＝2。

所以BC＝BE2＋EC2＝32＋22＝16＝4，BD＝42＋42＝42。

答案4 25．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________。

解析从三视图可还原出该几何体是三棱锥，为求三棱锥的外接球的体积，可将该三棱锥放在长、宽、高分别为5,4,3的长方体内，由于长方体的体对角线的长等于外接球的直径2R，而该三棱锥的外接球和长方体的外接球是相同的，故4R2＝52＋42＋32＝50，故S外接球＝4πR2＝50π。

答案50π。