数值分析重点公式

第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~
1
2
k b a
x α+--<
2）迭代法收敛阶：1lim
0i p
i i
c εε+→∞
=≠，若1p =则要求01c <<
3）单点迭代收敛定理：
定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；
定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：
110
1
11i i i
i
i x x x l
l x x x l
αα+-≤
---≤--
定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'
()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；
定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()
()()0,1,,1,()0j P j P ϕ
αϕα==-≠（Taylor 展开证明）
4）Newton 迭代法：1'()
()
i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：
设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'
()0,,f x x a b ≠∈；
③：[]''
,,f x a b ∈不变号
④：初值[]0,x a b ∈使得''
()()0f x f x <；
则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111
()()()
()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-
=+----
收敛阶：P =
7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()
()
i i i i f x x x r
f x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''
()()
,()()()
i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

8）迭代加速收敛方法：
221
1211212()()
i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x ϕϕ++++++++-=
-+==当不动点迭代函数()x ϕ在α的某个邻域内具有二阶导数，
'()1,0L ϕα=≠平方收敛
9）确定根的重数：当Newton 迭代法收敛较慢时，表明方程有重根
2211212121
1
2i i i i i i i i i i i x x x x r x x x x x x x +++++++++-≈-
-+-- 10）拟Newton 法
1111111
1
1111
()()()()()
(()())()i i i i i i i i i i i i i i i i i
i
i i i i i i i i i x x A F x A x x F x F x A H A A A A
x x H F x H F x F x x x H H H
+-++-+++++++⎧=-⎪-=-=⎨⎪=+∆⎩⎧=-⎪-=-⎨⎪=+∆⎩若非奇异，则
其中1111
2
222'12
1
2()i i
i n i i i i
n i n n
n i i i n f f f x x x f f f x x x A F x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤
⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂==⎢⎥⎢⎥⎢
⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦
11）秩1拟Newton 法：
11111
(),,()()()()()i i i i i i i i i i i T i i i i i i T i x x A F x r x x y F x F x r A A y A r r r +-+++⎧=-⎪=-=-⎨=+-⎪⎩
其中 Broyden 秩1方法
11()
()()()i i i i i T i i
i i i i i T i
i x x H F x r H H H r H y r H y ++⎧=-⎪⎨=+-⎪⎩
第二章 线性代数方程组数值解法
1）向量范数：
①：非负性：0x >，且0x =的充要条件是0x =； ②：齐次性：
x x αα=
③：三角不等式：x y x y +≤+
1范数：11n
i
i x x
==
∑
2范数：12
2
2
1
()n
i i x
x ==∑
∞范数：1max i i n
x
x ∞
≤≤=
p 范数：11
()n
p
p
i p
i x
x ==∑
2）矩阵范数：
①：非负性：0A >，且0A =的充要条件是0A =； ②：齐次性：
A A αα=
③：三角不等式：A B A B +≤+ ④：乘法不等式：AB A B ≤
F 范数：1
2
211n n ij F
i j A
a ==⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑∑ 1范数：111
max
n
ij
j n
i A a
≤≤==∑，列和最大
∞范数：111
max n
ij i n
j A a ≤≤==∑，行和最大
2
范数：2
A
=
1max i i n
λ≤≤=，i λ为H A A 的特征值，()A A ρ≤
3）Gauss 消元法（上三角阵）：3
13
M n ≈；
Gauss-Jordan 消元法（对角阵）：3
12
M n ≈；
列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵） 全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；
4）三角分解法：
①：Doolittle 分解法：A=LU ，L 单位下三角阵，U 上三角阵 ②：Crout 分解法：A=LU ，L 下三角阵，U 单位上三角阵 ③：Cholesky 分解法：A 对称正定，T A LL =，L 为单位下三角阵
④：改进的Cholesky 分解法：A 对称正定，T A LDL =，L 为单位下三角阵，D 为对角阵 ⑤：追赶法：Crout 分解法解三对角方程
5）矩阵的条件数1()1cond A A A -=≥，谱条件数：122
2
()cond A A
A -=
()1()
A
Cond A x
A
A
x
Cond A A
δδδ≤
-
6）如果1B <，则I B +为非奇异阵，且1
1
()1I B B
-+≤
-
7）迭代法基本原理： ①：迭代法：1
i i x
Bx K +=+
②：()1B ρ<( lim 0i
i B →∞
=，迭代格式收敛) ③：至少存在一种矩阵的从属范数，使1B < 8）Jacobi 迭代：A L D U =++
111()i i x I D A x D b +--=-+
9）Gauss-Seidel 迭代：1
11()()i i x L D Ux L D b +--=-+++
10）超松弛迭代法1
1i i i x
x r ω++=+
11）二次函数的一维搜索：21
11x x P α=+
12）最速下降法：
选择方向0000()Z gradf x r b Ax =-==-
进行一维搜索：1
0x x r α=+，其中00000(,)
(,)
r r Ar r α=
13）共轭梯度法：
第一步：最速下降法，00P r =，11
r b Ax =-，0
1
(,)0r r =
第二步：过1
x 选择0P 的共轭方向110
P r P β=+，其中1000
(,)(,)
r AP P AP β=-，过1x 以1
P 为方向的共轭直线为11
x x tP =+，进行二次函数的一维搜索211111111(,)(,)x x P r P AP P αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩
14）一般的共轭梯度法： 第三章 插值法与数值逼近 1）Lagrange 插值：0
()()()n
n j
j
j L x l x f x ==
∑，
1111'1111()()()()()
()()
()()
()
()()
j j n n j j j j j j j n j n j x x x x x x x x P x l x x x x x x x x x x x P x -++-++----=
=
-----
余项：(1)1()
()()(1)!
n n f E x P x n ξ++=
+ 2）Newton 插值：差商表
0x 0()f x 1x 1()f x 01[ ]f x x
2x 2()f x 02[ ]f x x 012[ ]f x x x
3x 3()f x
03[ ]f x x
013[ ]f x x x 0123[ ]f x x x x
00100101010()()[ ]()[ ]()()[ ]()()
n n n n f x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x -=+-++--+--余项(1)0101()
()[ ]()
()()(1)!
n n n n f E x f x x x x x x x x P x n ξ++=--=+
3）反插值
4）Hermite 插值（待定系数法）'210
()[()()()()]n
n j
j j j j H x x f x x f x α
β+==
+∑
其中2'''1,1
()()(),2(),12(),()n
j j j j j j j j
j k k j j k
x ax b l x a l x b x l x l x x x α=≠=+=-=+=-∑ 2()()()j j j x x x l x β=-
余项：(22)2
1()()()(22)!
n n f E x P x n ξ++=
+ 5）分段线性插值：111
1()()()j j j j j j j j j
x x x x L x f x f x x x x x ++++--=
+
--
插值基函数：011
010101
111
0,,(),(),0,n n n n n n n n x x x x x x x x x x l x l x x x x x x x x x x x ----<<-⎧⎧≤≤⎪⎪
-==-⎨⎨≤≤⎪⎪
<≤-⎩⎩ 1
111
11,(),0,j j j j j j j j j j j x x x x x x x x x l x x x x x x ---+++-⎧≤≤⎪
-⎪⎪-⎪=≤≤⎨-⎪⎪⎪⎪⎩
余项：分段余项2
(2)22,max ()8
M h M f x ≤
= 6）有理逼近：反差商表
有理逼近函数式：0
00111122()()()()()
n n n x x f x v x x x v x x x v x v x --=+
-+
-+
+
7）正交多项式的计算：
定理：在[,]a b 上带权函数()x ρ的正交多项式序列{}0()n x ϕ∞
，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定
11()n n n n n x ϕαϕβϕ+-=--
1011(,)(,)
,,0,1(,)(,)
n n n n n n n n n n x ϕϕϕϕαβϕϕϕϕϕϕ---=
===
其中(,)()b
i j i j a
x dx ϕϕρϕϕ=⎰
定理3.8
8）连续函数的最佳平方逼近：在2
{1,,,
,}n Span x x x Φ=上，法方程为n H a d =，
其中1
121(1)1213
1(2)1(1)12)
1(21)n n n H n n n +⎡⎤
⎢⎥+⎢
⎥=
⎢⎥⎢
⎥
+++⎣⎦
，10
(,)()k k k d f f x dx ϕϕ==⎰ 均方误差：2
2
*
*
2
1(,)(,)n
i i i f f P f f
a d δ==-=-∑ 最大误差：*01
max x f P δ
∞
≤≤=-
9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）： 法方程
(,)(,)n
j
k
j k j a f ϕϕ
ϕ==∑
其中
(,)()()
(,)()()
m
j k i j i k i i m
k i i k i i x x f f x x ϕϕρϕϕϕρϕ====∑∑
第四章 数值积分
1）代数精度的概念及应用：对r 次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。

2）Lagrange 插值代入 Lagrange 插值基函数011011()()()()()
()()
()
j j n j j j j j j j n x x x x x x x x l x x x x x x x x -+-+----=
----
()()n
b
j j a
j f x dx H f x =≈∑⎰
，其中()b
j j a
H l x dx =⎰
误差：(1)1()
()()(1)!
n b
n a
f E f P x dx n ξ++=
+⎰
定理：数值积分公式具至少有n 次代数精度 其是差值型的 3）等距节点的Newton-Cotes 公式
将拉格朗日差值积分公式中的差值节点i x a ih =+即可，其中b a
h n
-=
； 00,(1)()!()!n j n
n j i i j h H t i dt j n j -=≠-=--∏⎰，令j j H C b a =-（Cotes 系数）则：
0()()()n
j j j Q f b a C f x ==-∑
N-C 公式的数值稳定性：当j C 同号时是稳定的，否则不稳定，0
()n
j
j b a C
ηε
=≤-∑（其中
0max j j n
εε≤≤=）
N-C 公式至少具有n 次代数精度，若n 为偶数，则其代数精度可提高到n+1次； 余项：
当n 为偶数时，(2)1()()()(2)!n b
n a f E f xP x dx n ξ++=+⎰ 当n 为奇数时，(1)1()()()(1)!n b
n a
f E f P x dx n ξ++=
+⎰ 4）复化的N-C 公式
复化的梯形公式：将积分区间n 等分，然后在每个区间上应用梯形公式
1
1
1
10
0()()()()()()2j j
n n b
x j j n n n a
x j j f x f x I f x dx f x dx h E f T E f +--+==+⎡⎤
===+=+⎢⎥⎣⎦
∑∑⎰⎰
2
''1()()()()122
n h E f b a f η=-
- 复化的Simpson 公式：将积分区间n 等分，然后在每个区间上应用Simpson 公式
1
11112
1100024()()()2()()()66663n n n j j j n j j j j j j f x f x f x h S f x f x f x h ---++++===⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++=++⎣⎦⎢⎥⎣⎦
∑∑∑ 4
(4)1()()()()1802n h E f b a f η=--
243
n n n T T S -=
5）Romberg 积分法
0212()()1()()()4()()2221411()2m m m m m m m m m T h T h h h T T h T T h T +=⎧⎪⎪--⎨==⎪--⎪⎩ ()m T h 逼近()I f 的阶为2(1)m h +
0()T h 0()2h T 0()4h T 0()8
h T
1()T h 1()2h T 1()4
h
T
6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1；
7）Gauss 求积公式
'
()()()()()()n
j j j j j f x x f x x f x E x αβ=⎡⎤=++⎣⎦∑
(22)21()()()(22)!
n n f E x P x n ξ++=+
'
'
00
'0
()()()()()()() ()()()()() ()()
n
b
b b
j j j j a a a j n
n
b b
b
j j j j a
a
a
j j n
n
j j j j j j I f f x dx x f x x f x dx E x dx x dxf x x dxf x E x dx
H f x H f x αβαβ=====⎡⎤==++⎣⎦=++=+∑⎰⎰
⎰∑∑⎰⎰⎰∑∑
21'
1()
()()()()
b b
n j j j j a
a
n P x H x x l x dx l x dx P x ++=-=⎰⎰
1()n P x +在[a ，b]上与所有次数<=n 的多项式带权1ρ≡正交 上式为Gauss 求积公式、
8）Gauss-Legendre 求积公式 给
出
1()
n P x +公式：
0()1
P x =、
1()P x x
=、
22(31)
2
x P -=······{}21()(1)2!n n n n
n d P x x n dx =- 给出区间[1,-1]上的求积公式，取()n P x 的零点为求积节点 ① 取1()P x 零点为0
00()()()b
a
f x dx H f x E f =+⎰
02H =
② 取2P
零点为3
±
0011()()()()b
a
f x dx H f x H f x E f =++⎰
001H H ==
对于区间[a,b]上的
Gauss
求积公式，令,[,]22
a b b a
x t t a b +-=
+∈，()(
)()22a b b a
f x f t
g t +-=+=，则： 11
11
()()()22b
a
b a b a f x dx g t dt g t dt ----==⎰
⎰⎰
余项：2(1)12
1101()()(),()()()2(22)!
n n n n b a g E f P t dt P t t t t t n ξ+++--==--+⎰
第五章 乘幂法 1）基本定理： 定理一：若12,,
,n λλλ为A 的特征值，()P x 为某一多项式，则矩阵()P A 的特征值是
12(),(),,()n P P P λλλ。

特别地，k A 的特征值是12,,k k k n λλλ。

定理二：如果A 为实对称矩阵，则A 的所有特征值均为实数，且存在n 个线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。

定理三：设A 与B 为相似矩阵，即存在非奇异阵P ，使1PAP B -=，则A 与B 有相同的特征值。

定理四：如果A 有n 个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P ，使得1P AP D -=，其中D 是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A 的特征值。

定理五：对于任意方阵A ，存在一个酉变矩阵Q ，使得H
Q AQ T =，其中T 是一个上三角矩阵，H
Q 是Q 是共轭转置矩阵。

推论：如果A 是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q ，使T
Q AQ D =，其中D 是对角矩阵，它的对角线元素是A 的特征值，而Q 的各列即为A 的特征向量，并且T
T
Q Q QQ I ==。

定理六：设(),(1,
,)ii n n i A a C i n ⨯==是以ii a 为中心的一些圆，其半径为
1,,1,
,n i ik k k i
r a i n =≠=
=∑
，设1
n
i i C =Ω=
，则A 的所有特征值都位于区域Ω内。

推论：1
A -的谱半径满足1
11,1
min()()n
ii ik i n k k i
a a A ρ-≤≤=≠≥-∑。

定理七：设A 为对称正定阵，则有0()max H H x x Ax
A x x
ρ≠=，101min ()H H x x Ax A x x ρ-≠=，其中，x 是任意复向量，H
x 表示x 的共轭转置。

定理八：对任意非奇异矩阵A ，有
21
1()()T
i T A A A A λρρ-≤≤⎡⎤⎣⎦
，其中i λ为A 的任一特征值。

2）求按模最大的特征值和对应的特征向量
11
0max()
m m m m A v v Au A v --==，1max()m v λ→ 3）
第六章 常微分方程的数值解法（差分法）
1）离散化方法：Taylor 展开、差商代替求导、数值积分
2）Euler 公式：110()()(,())n n n n y x y x hf x y x y η
++-=⎧⎨=⎩ Euler 隐式11110
()()(,())n n n n y x y x hf x y x y η++++-=⎧⎨=⎩（1阶） 改进的Euler 公式11110()()((,())(,()))2n n n n n n h y x y x f x y x f x y x y η
++++⎧-=+⎪⎨⎪=⎩（2阶精确解） 3）截断误差和P 阶精确解：截断误差11()P n T O h ++=
4）S 级Runge-Kuta 法
1111(,s n n i i i i i n i n ij j j y y h b k k f x c h y h k α+=-=⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩
∑∑ 1110,0,(,)j n n c k f x y α=== 2级Runge-Kuta 法
1211122122222112121121(,)2(,n n n n n n b c y y hb k hb k k f x y b c k f x c h y h k c αα+⎧=-⎪⎪=++⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪=++⎩⎪=⎪⎩
其中（2阶精度） 2c 的取值1/2（中点公式）、2/3（Heun 公式）、1（改进的Euler 方法）
5）单步法1(,,)n n n n y y hf x y h +=+（*）
相容性：(,,0)(,)n n n n x y f x y ϕ=则（*）式与初值问题相容
收敛性：对于固定的0n x x nh =+当0h →时有()n n y y x →则称（*）式收敛 数值稳定性：若一数值方法在n y 上有扰动n S 而于以后的各节点值()m y m n >上产生的偏差均不超过n S ，则称该方法绝对收敛
试验方程：[]'0
,0 , ,Re()0(0)R y y x a b C y y λλλλλ⎧∈<=⎧∈⎨⎨∈<=⎩⎩用以求解绝对稳定区间
绝对收敛：用单步法求解试验方程，若绝对收敛则称该方法绝对稳定
6）线性多步法德一般格式：'101()()()p p
n i
n i i n i i i y x a y x h b y x +--==-=+∑∑ 局部阶段误差'()01()()()q q n n n q n T C y x C hy x C h y x =++
++（系数通过Taylor 展开构
造） 其中00
10110111[()]11()()!p i i p p i i i i p p q q q i i i i C a C i a b C i a q i b q ===--==-⎧⎪=-⎪⎪⎪=--+⎨⎪
⎪⎧⎫⎡⎤⎪=--+-⎨⎬⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎭⎩
∑∑∑∑∑
线性多步法的阶数通过误差系数来判断，最高阶数22r p =+
7）线性多步法的收敛性判断：00C =10C =称线性多步法相容
满足根条件：第一特征多项式10
()p p p i i i r r a r ρ+-==-∑，
第二特征多项式1()p p i i i r b r σ-=-=
∑
当第一特征多项式所有根的模均不大于1，且模为1的根均是单根，称满足根条件 收敛 相容且满足根条件
8）数值稳定性判断：
稳定多项式（特征多项式）(,)()()r h r h r πλρλσ=- 令h h λ=，()i r h 是稳定多项式的根，20()1()r h h o h λ=++ ①：若对任意[,]h a b R ∈⊂有0()()i r h r h ≤，且当0()()i r h r h =时，()i r h 为单根，则称
[,]a b 为相对稳定区间； ②：若对任意[,]h a b R ∈⊂有()1i r h <，则称[,]a b 为绝对稳定区间。