数值分析公式、定理等

第一章 绪论

1. *x ＝ n 21k a a a .010⨯±，如果｜*x －x|≤0.5n k 10-⨯（这里n 是使此式成立的最大正整数），则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值。 2．定理：设x 的近似值*x 有（1-1）的表示式： （１）如果*x 有n 位有效数字，则

n 11

10a 21|x ||x x |-**⨯≤

- （２）如果n 1110)

1a (21

|

x ||x x |-*

*⨯+≤

-，则*x 至少有n 位有效数字。

第二章 非线性方程根求解

1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)⋅f(b)<0，则必存在α∈(a,b)，使f(α)=0。

2.二分法的误差： |1

k 1k k k 2

a

b |x x ||x x +-*-=-≤- 3. 局部收敛性：设α是f(x)=0的根，若存在α的一个邻域∆，当迭代初值属于∆时，迭代法得到的序列{k x }收敛到α，则称该迭代法关于根α具有局部收敛性。

4. 收敛速度：设i x 为第i 次迭代值，α是f(x)=0的根，令α-=εi i x ，且假设迭代收敛，即α=∞

→i i x lim 。若存在实数P ≥1，使 c |

|||lim

p

i 1i i =εε+∞

→≠0 ，则称此方法关于根α具有P

阶收敛速度。C 称为渐近误差常数，渐近误差常数C 与f(x)有关。C ≠0保证了P 的唯一性。对于特殊的函数，C 可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P 越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。 5.牛顿迭代法：)x (f )

x (f x x k k k 1k '-

=+

定理3：如果方程f(x)=0的根α是单根，且在α的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton 迭代法必是局部收敛的 且 )

(f 2)(f lim

2i

1

i i α'α''-

=εε+∞

→（即具有二阶收敛速度）

定理4：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r 阶连续导数，则Newton 法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。

定理5：如果α是方程f(x)=0的r 重根（r>1），且f(x)在α的某邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton 迭代公式：)x (f )x (f r x x i i i 1i '⋅-=+，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。

定理6：设f(x)在f(x)=0的有根区间[a,b]上二阶导数存在，且满足：（1）f(a) f(b)<0； （2）)x (f ),x (f '''在[a,b]中不变号。则对[a,b]任一使f "(x)f(x)>0的点0x ，都能使Newton 迭代法：)

x (f )x (f x x k k k 1k '-

=+ 得到的序列{}k x 收敛到方程f(x)=0唯一的根α。

6.弦割法：)x x ()

x (f )x (f )x (f x x 1i i 1i i i i 1i --+---

=

定理７：设f(x),f '(x),f "(x)在包含f(x)=0的根α的某区间上连续，且α是其单根，则如果初始值0x 和1x 选得充分接近α，由（2—12）产生的迭代序列收敛于α，收敛的阶是2

5

1p +=

，

且 1

1||()lim ||2()p i p i i

f f εαεα-+→∞''=

'

第三章 插值法

1.定义：设f(x)为定义在[a,b]上的函数，n 10x ,,x ,x 为［a,b ］上n+1个互不相同的点，Ｙ为给定的某一个函数类，若Ｙ上有函数y(x)，满足：n ,,2,1,0i ),x (f )x (y i i == (3—１)， 则称y(x)为f(x)关于节点n 10x ,,x ,x 在Ｙ上的插值函数，点n 10x ,,x ,x 称为插值节点,f(x)称为被插值函数。包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，条件（3—１）称为插值条件。

2. 定理：设)x (M n 表示次数不超过n 次的多项式的全体，则满足插值条件（3—１）的，属于函数类Ｙ＝)x (M n 的插值多项y(x)存在且唯一。

3. Lagrange 插值多项式：∑==

n

j j

j

)x (l )x (f )x (y

⎩⎨

⎧≠==j

k 0

j k 1)x (l k j )

x x ()x x )(x x ()x x )(x x ()x x ()x x )(x x ()x x )(x x ()x (l n j 1j j 1j j 1j 0j n 1j 1j 10j ----------=

+-+-

)x x ()x x ()x x )(x x ()x (i n

i n 101n -∏=---=π=+ ，

定理２：设f(x)在［a,b ］上存在n 阶连续导数，在（a,b ）上存在n+1阶导数，)x (L n 是满足条件（3－１）属于)x (M n 插值多项式，则对任何)b ,a (x ∈，插值余项为：

)x ()!

1n ()(f )x (R 1n )1n (n ++π+ε=

，其中)b ,a (∈ε，且依赖于x ，)x x ()x (j n

j 1n -∏=π=+

推论：满足条件(3—3)的Lagrange 插值基函数：)n ,,1,0j (),x (l j =，有如下性质：

（1）

∑

=≡n

0j k

j k j x )

x (l x ，(k=0,1,…,n)，特别

∑==n

j j 1)x (l

（2）

∑==-n

j j k j

0)x (l )x x

(（k=1,…,n ）

4. 差商（均差）与Newton 插值法

=

]x ,,x ,x [f k 10 0

k k 10k 21x x ]

x ,,x ,x [f ]x ,,x ,x [f -- 为f(x)关于节点k 10x ,,x ,x 的k

阶差商。

性质1：)x (f )

x x

(1

]x ,,x ,x [f j k

j i j

j

i k 10∑=≠-∏=

性质2：如果k 10i ,,i ,i 是0，1，2，…，k 的一个排列，则]x ,,x ,x [f ik 1i 0i =]x ,,x ,x [f k 10 性质3：Newton 插值多项式的余项为R(x)=f(x)-)x (N n =)x (]x ,x ,,x ,x [f 1n n 10+π 性质4：如果f(x)有n 阶导数，则!

n )(f ]x ,,x ,x [f )n (n 10ε=

5.差分及插值公式：见教材P31.

6.Hermite 插值多项式：用Hermite 插值多项式去替代f(x)产生的误差为：R(x)=f(x)-H(x)。如f(x)在(a,b)中有n+r+2阶导数时，误差可写成如下形式)(f )!

2r n ()x ()x ()x (R )2r n (1r 1n ε++ππ=++++，

其中ε∈（a,b ） 7.三次样条插值

定义：如果函数S(x)在[a ，b]区间满足： (1) S (x)在[a ，b]上具有二阶连续导数。

(2) 对［a ，b ］上的划分b x x x a n 10=<<<= ,S(x)在每一个区间]x ,x [1i i +上， S(x)是一个不高于３次的多项式，(i=0,1,…,n-1)。

则我们称S(x)是关于划分b x x x a n 10=<<<= 的一个三次样条函数。 三次样条插值唯一性的条件：（1）第一边界条件：)b (f )b (S ),a (f )a (S '=''='

（2）第二边界条件：)b (f )b (S ),a (f )a (S ''=''''=''。特别0)b (S ,0)a (S =''=''称为自然边界