高中数学必修二《点、直线、平面之间的位置关系》2.3.3~2.3.4 导学案设计

2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质[学习目标] 1.理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.会用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.知识点一直线与平面垂直的性质定理①线面垂直⇒线线平行思考(1)垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？(2)过一点有几条直线与已知平面垂直？答(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.(2)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.知识点二平面与平面垂直的性质定理①面面垂直⇒线面垂直思考(1)如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？(2)如果α⊥β，过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α吗？答(1)正确.若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直.题型一直线与平面垂直的性质及应用例1如图，正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.反思与感悟证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪训练1已知α∩β＝AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R.求证：QR⊥AB.证明如图，因为α∩β＝AB，PO⊥β于点O，所以PO⊥AB.因为PQ⊥α于点Q，所以PQ⊥AB.因为PO∩PQ＝P，所以AB⊥平面PQO.因为OR⊥α于点R，所以PQ∥OR.因为PQ与OR确定平面PQRO，QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR.题型二平面与平面垂直的性质及应用例2如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积.(1)证明∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC.(2)证明∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB＝34AB2＝ 3.∵OC⊥平面VAB，∴V C－VAB＝13OC·S△VAB＝13×1×3＝33，∴V V－ABC＝V C－VAB＝3 3.反思与感悟 1.证明或判定线面垂直的常用方法：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.跟踪训练2如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，过点A作AF⊥SB，垂足为F.求证：BC⊥SA.证明因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.又因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.又因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.题型三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE ⊥平面BB 1C 1C ； (2)求点B 1到平面EA 1C 1的距离.(1)证明 过B 作CD 的垂线交CD 于F ， 则BF ＝AD ＝2，EF ＝AB －DE ＝1，FC ＝2. 在Rt △BFE 中，BE ＝ 3. 在Rt △CFB 中，BC ＝ 6.在△BEC 中，因为BE 2＋BC 2＝9＝EC 2，故BE ⊥BC . 由BB 1⊥平面ABCD 得BE ⊥BB 1， 又BB 1∩BC ＝B ，所以BE ⊥平面BB 1C 1C . (2)解 三棱锥E －A 1B 1C 1的体积 V ＝13AA 1·111∆A B C S ＝ 2. 在Rt △A 1D 1C 1中，A 1C 1＝A 1D 21＋D 1C 21＝3 2.同理，EC 1＝EC 2＋CC 21＝32，A 1E ＝A 1A 2＋AD 2＋DE 2＝2 3.故11∆A C E S ＝3 5.设点B 1到平面A 1C 1E 的距离为d ， 则三棱锥B 1－A 1C 1E 的体积 V ＝13·d ·11∆A C E S ＝5d ，从而5d ＝2，d ＝105. 即点B 1到平面EA 1C 1的距离为105. 反思与感悟 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪训练3如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面P AD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边上的中点，能否在PC棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.(1)证明设G为AD的中点，连接PG，BG，如图.因为△P AD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)解当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)，得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD.条件开放型例4如图，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有A1C⊥B1D1？(注：写出一个你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形)分析 要使A 1C ⊥B 1D 1→A 1C ⊥BD ――――――→A 1A ∩A 1C ＝A 1BD ⊥平面A 1AC →AC ⊥BD 解 因为BD ∥B 1D 1，所以要使A 1C ⊥B 1D 1，需A 1C ⊥BD . 又因为A 1A ⊥平面ABCD ，A 1A ⊥BD ，A 1A ∩A 1C ＝A 1， 所以BD ⊥平面A 1AC .因为AC ⊂平面A 1AC ，所以AC ⊥BD .由以上分析，知要使A 1C ⊥B 1D 1，需使AC ⊥BD 或任何能推导出AC ⊥BD 的条件，如四边形ABCD 是正方形、菱形等.解后反思 此题是对条件开放的，因此解决此类问题时一般从结论入手，分析得到该结论所需的条件，逐步使问题简化，最终得证.这种解决问题的技巧在今后的学习中经常会用到，注意掌握.1.在空间中，下列命题正确的是( ) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.平行于同一条直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D解析 A 项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B 项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C 项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D 项正确. 2.关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ； ④若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n . 其中真命题的序号是( ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③答案 D解析①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A.α∥γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能答案 D解析两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C 都有可能，故选D.4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________.①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.答案①③解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.5.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面P AC⊥底面ABC，且∠P AC＝90°，P A＝1，AB＝2，则PB＝________.答案 5解析∵侧面P AC⊥底面ABC，交线为AC，∠P AC＝90°(即P A⊥AC)，∴P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，∴PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：一、选择题1.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直答案 D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.2.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面P AB，P A＝PB，AD＝DB，则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC答案 B解析∵P A＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面P AB，平面ABC∩平面P AB＝AB，∴PD⊥平面ABC.3.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的投影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部答案 A解析连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的投影必在直线AB上，故选A.4.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A.①与②B.①与③C.②与③D.③与④答案 B解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.5.P A垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，则下列关系不正确的是()A.P A⊥BCB.BC⊥平面P ACC.AC⊥PBD.PC⊥BC答案 C解析∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，A选项正确；∵BC⊥AC，∴BC⊥面P AC，∴BC⊥PC，∴B，D选项均正确.故选C.6.三棱锥P－ABC的三条侧棱P A，PB，PC两两垂直，O是顶点P在底面ABC上的射影，则()A.S △ABC ＝S △PBC ＋S △OBCB.S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC C.2S △PBC ＝S △OBC ＋S △ABCD.2S △OBC ＝S △PBC ＋S △ABC答案 B解析 如图，由题设，知O 是垂心，且有AP ⊥PD ，所以PD 2＝OD ·AD ，即S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC . 7.如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A.A ′C ⊥BDB.∠BA ′C ＝90°C.CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D.四面体A ′－BCD 的体积为13答案 B解析 取BD 的中点O ，连接A ′O ，CO .∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD .∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD .假设A ′C ⊥BD ，∵A ′O ∩A ′C ＝A ′，∴BD ⊥平面A ′OC ，∴OC ⊥BD ，出现矛盾，即A ′C 不垂直于BD ，A 选项错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，且平面A ′BD ∩平面BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，∴CD ⊥A ′B .∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，∴A ′B ⊥平面A ′CD ，∴A ′B ⊥A ′C ，B 选项正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 选项错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 选项错误.二、填空题8.设两个平面α，β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提条件，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数为_______. 答案 1解析 ①②作为前提条件，③作为结论构成的命题正确，过l 作一平面与β交于l ′，则l ∥l ′，所以l ′⊥α，故α⊥β；①③作为前提条件，②作为结论构成的命题错，这时可能有l ⊂β；②③作为前提条件，①作为结论构成的命题错，这时l 与α的各种位置关系都可能存在.9.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为________.答案 55解析 取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，易知∠EDF 为直线DE 与平面ABCD 所成的角，tan ∠EDF ＝15＝55. 10.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为________.答案 8 3解析 如图.因为矩形ABCD 的四个顶点都在球面上，所以过A ，B ，C ，D 四点的截面圆的圆心为矩形ABCD 的中心O ′.连接OO ′，在△AOC 中，因为OA＝OC ，且O ′为AC 的中点，所以OO ′⊥AC .同理，OO ′⊥BD .又因为AC ∩BD ＝O ′，所以OO ′⊥平面ABCD ，即OO ′为棱锥O －ABCD 的高. AO ′＝AC 2＝62＋(23)22＝432＝23， OO ′＝AO 2－AO ′2＝42－(23)2＝2， 所以V O －ABCD ＝13×6×23×2＝8 3.11.如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N分别为AB ，DF 的中点.若CD ＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF ，则线段MN的长等于________.答案 6解析 取CD 的中点G ，连接MG ，NG .因为ABCD ，DCEF 为正方形，且边长为2，所以MG ⊥CD ，MG ＝2，NG ＝ 2.因为平面ABCD ⊥平面DCEF ，所以MG ⊥平面DCEF ，可得MG ⊥NG ，所以MN ＝MG 2＋NG 2＝ 6.三、解答题12.如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点.(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .证明 (1)如图所示，设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ， 所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，因此，四边形ABCE 为菱形，所以O为AC的中点.又F为PC的中点，因此，在△P AC中，可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.又AP∩AC＝A，AP、AC⊂平面P AC，所以BE⊥平面P AC.13.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1、AC为平面ACC1A1内两条相交的直线，所以BC⊥平面ACC1A1.(2)解取线段AB的中点M，连接AM，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.由已知，O为AC1的中点.连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ， 因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .。