高考专题突破四

高考专题突破四高考中的立体几何问题

【考点自测】

1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA 的位置关系为()

A．相交B．平行

C．垂直相交D．不确定

答案B

解析如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF，

则EF∥A1B1，DF∥B1B，

且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1，

∴平面EFD∥平面A1B1BA，

∴DE∥平面A1B1BA.

2．设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：

①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．

其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是()

A．③④B．①③C．②③D．①②

答案C

解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．3．(2018届黑龙江海林市朝鲜中学模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()

A．9＋4(2＋5) B．10＋2(2＋3)

C ．11＋2(2＋5)

D ．11＋2(2＋3)

答案 C

解析 根据三视图还原几何体为一个直四棱柱，两底面为四边形(侧视图)，其余各侧面为矩形，两底面面积为2⎝⎛⎭⎫12×2×2＋1

2×1×1＝5，四个侧面面积为2×2＋1×2＋2×5＋2×2＝6＋25＋22，几何体的表面积为11＋2(5＋2)，故选C.

4．(2017·天津滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD ⊥AC ；

②△BAC 是等边三角形； ③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④

答案 B

解析 由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B.

5．(2017·沈阳调研)设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同的直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上) 答案 ①或③

解析 由线面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.

题型一 求空间几何体的表面积与体积

例1 (2016·全国Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′；

(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝5

4，OD ′＝22，求五棱锥D ′-ABCFE 的体积．

(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得

AE AD ＝CF

CD

，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′. (2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝1

4.

由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，

所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，

于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 故OD ′⊥OH .

由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ， BD ，HD ′⊂平面BHD ′，

所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′，

又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，AC ，OH ⊂平面ABC ， 所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92

.

五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.

所以五棱锥D ′-ABCFE 的体积 V ＝13×694×22＝232

2

.

思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．

(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何

体，再利用公式求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 跟踪训练1 (2018·乌鲁木齐质检)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求： (1)这个正三棱锥的表面积；

(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．

解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为13×3

2×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为

12＋(2)2＝3，

∴S 侧＝3×1

2×26×3＝92，

∴S 表＝S 侧＋S 底＝92＋12×3

2×(26)2

＝92＋6 3.

(2)设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r . ∴V

三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥O －P AB ＋V 三棱锥O －PBC ＋V 三棱锥O －P AC ＋V 三棱锥O

－ABC

＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝1

3S 表·r ＝(32＋23)r .

又V P －ABC ＝13×12×3

2×(26)2×1＝23，

∴(32＋23)r ＝23，

得r ＝23

32＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.

∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝8

3(96－22)π.

题型二 空间点、线、面的位置关系