2017北京市海淀区高一年级第一学期期末数学预测试题含答案 (1)
【精品】2017-2018学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷
2017-2018学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ＝．11．（4分）已知向量，在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（x）=sinωｘ在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωｘ在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωｘ+φ0π2πxy=Asin（ωｘ+φ）0200（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x ∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x 为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．2017-2018学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【分析】根据集合的交集的定义进行计算即可．【解答】解：∵B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（4分）=（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．【点评】本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数取值，是基本知识的考查．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，结合幂函数的性质进行判断即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选：C．【点评】本题主要考查幂函数的解析式和性质，利用待定系数法是解决本题的关键．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|【分析】运用奇偶性的定义和常见函数的奇偶性，即可得到结论．【解答】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法和常见函数的奇偶性，属于基础题．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D 三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【分析】根据直角三角形的性质、向量的线性运算，即可判定．【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的性质，向量线性运算，属于中档题．6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωｘ+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ＝﹣，f（x）=2sin（2x﹣），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+﹣）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【分析】结合f（x0）=0，可得当x＜x0时，f（x）＞0，当x＞x0时，f（x）＜0，由此可得x0＞a一定成立．【解答】解：∵f（x）=log2x﹣（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．【点评】本题考查函数零点判定定理，考查函数单调性的性质，是中档题．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值【分析】设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）即可求得．【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）C（1，2）+=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）+（1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣4cosθ，4﹣4sinθ）∴==∵cosθ∈（0，1]，∴∈[0，4）故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【分析】答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．【点评】本题考查向量的坐标的求法，考查共线向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ＝．【分析】根据任意角的三角函数的定义，求得cosθ的值．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=5，则cosθ＝=．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．11．（4分）已知向量，在边长为 1 的正方形网格中的位置如图所示，则= 3．【分析】向量坐标，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积是定义域，平面向量的坐标运算，考查计算能力．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【分析】画出分段函数的图象，即可判断t的取值范围．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查函数的图象的画法，分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【分析】快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，代值计算即可求出答案．【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．【点评】本题考查了对数的运算和性质在实际生活中的应用，属于中档题．14．（4分）函数f（x）=sinωｘ在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωｘ在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【分析】运用函数的奇偶性和单调性可判断①；由单调性可得ω≤，即可判断②；运用正弦函数的对称性，即可判断③．【解答】解：函数f（x）=sinωｘ在区间上是增函数，由f（﹣x）=sin（﹣ωｘ）=﹣sinωx=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωｘ在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得?≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，主要是对称性和单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【分析】（Ⅰ）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用三角函数的有界性，方程f（x）=1有解，即可求实数k的取值范围；（Ⅱ）利用方程求出正弦函数的值，利用同角三角函数基本关系式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sinx，1），b=（1，k），f（x）=，∴f（x）==sinx+k．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sinx=1﹣k有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sinx∈[﹣1，1]，∴当1﹣k∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力．16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先根据函数的奇偶性求出g（x）的解析式，（i）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数的单调减区间，（ii）根据函数单调性性质可得或解得即可【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2﹣4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），假设x＜0，则﹣x＞0，则g（﹣x）=f（﹣x）=x2+4x，∴g（x）=﹣x2﹣4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．【点评】本题考查了二次函数的性质和函数的奇偶性的性质，属于中档题17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωｘ+φ0π2πxy=Asin（ωｘ+φ）0200（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=f（x）=2sin（2x+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域、值域，求得函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：ωｘ+φ0π2πxy=Asin（ωｘ+φ）020﹣20根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ＝，∴φ＝，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f （x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性以及定义域、值域，属于基础题．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x ∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x 为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．【分析】（Ⅰ）根据新定义判断即可，（Ⅱ）根据新定义证明即可，（Ⅲ）φ（x）=sinx+kx为线周期函数，可得存在非零常数T，对任意x∈R，sin （x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．即可得到2kT=2T，解得验证即可．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）﹣x，∴G（x+T）=g（x+T）﹣（x+T）=g（x）+T﹣（x+T）=g（x）﹣x=G（x）．∴G（x）=g（x）﹣x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得﹣sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．【点评】本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了恒成立问题，属于中档题．。
北京市海淀高一上学期期末数学试卷
北京市海淀区高一(上)期末数学试卷.选择题(每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的)1 •已知集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6} , M={1, 5} , P={2, 4}，则下列结论正确的 是( )A. 1 € ?U ( MU P )B. 2€ ?U (MU P )C. 3 € ?U (MU P )D. 6??u (MU P )2•下列函数在区间(-x, 0)上是增函数的是( )A. f(x ) =x 2 - 4x B. g (x ) =3x+1 C. h (x ) =3- x D. t (x ) =tanx3. 已知向量-=(1, 3), = (3, t )，若J/ ；',则实数t 的值为()A.- 9 B . - 1 C . 1 D. 94. 下列函数中，对于任意的x € R,满足条件f (x ) +f (- x ) =0的函数是()1 2A. f (x ) =xB. f (x ) =sinxC. f (x ) =cosxD. f (x ) =log 2 (x +1) 7T 7T1T 1T5. 代数式sin (冷十才)+cos (冷■-卡)的值为( )A. - 1 B . 0 C. 1 D.甞26. 在边长为1的正方形ABC 冲，向量I •=「，丁 =二『：，贝U 向量「，厂的夹 角为()7. 如果函数f (x ) =3sin (2x+®的图象关于点(辛),那么函数f (x )图象的一条对称轴是()IT7TH7TA. x= -— B . x= 一 C. x= D. x=2s 5M8.已知函数f (x )其中MU P=R 则下列结论中一定正确的是( )A.函数f (x )一定存在最大值B •函数f (x ) —定存在最小值A. n ?B. 4 D. -,0)成中心对称(|创vC.函数f (x) 一定不存在最大值D.函数f (x) 一定不存在最小值二.填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)9. 函数y= _________ ' - 的定义域为 .10. _________________________________________________________ 已知a=40.5, b=0.54, c=log 0.54,则a, b, c 从小到大的排列为_______________ .11. ______________________________________________________ 已知角a终边上有一点P (x, 1),且cos a=-寺，贝U tan a= __________________ .12. 已知△ ABC中，点A (- 2, 0), B (2, 0), C (x, 1)(i )若/ ACB是直角，贝U x= __(ii )若厶ABC是锐角三角形，贝U x的取值范围是____ .13. 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2 •.若两岁燕子耗氧量达到40个单10位时，其飞行速度为v=10m/s,则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位.14. 已知函数f (x) =|ax - 1| -(a - 1) x(1)当a」时，满足不等式f (x)> 1的x的取值范围为—;(2)________________________________________________________ 若函数f (x)的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为__________________ .三.解答题(本大题共4小题，共44分)15. 已知函数f (x) =x2+bx+c,其对称轴为y轴(其中b, c为常数)(I )求实数b的值；(U )记函数g (x) =f (x) - 2,若函数g (x)有两个不同的零点，求实数 c 的取值范围；(川)求证：不等式f (c2+1)>f (c)对任意c€ R成立.16. 已知如表为五点法”绘制函数f (x) =Asin(3X+®图象时的五个关键点的坐标(其中A>0, 3>0, |创v n)(I )请写出函数f (x)的最小正周期和解析式; (U)求函数f (x)的单调递减区间；TT(川)求函数f (x)在区间［0 ,］上的取值范围.17. 如图，在平面直角坐标系中，点A (-唇0), B(^, 0),锐角a的终边与单位圆O 交于点P.(I)用a的三角函数表示点P的坐标；(U )当?.二-.时，求a的值；(川)在X轴上是否存在定点M使得I '.1= 一I厂|恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由.18. 已知函数f (x)的定义域为R,若存在常数T M0,使得f (x) =Tf (x+T) 对任意的x € R成立，则称函数f (x)是Q函数.(I )判断函数f (x) =x, g (x) =sin n(是否是Q函数；(只需写出结论)(U)说明：请在(i )、(ii )问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择(i ) 计分(i )求证：若函数f (x)是Q函数，且f (x)是偶函数，贝U f (x)是周期函数；(ii )求证：若函数f (x)是Q函数，且f (x)是奇函数，贝U f (x)是周期函数；(川)求证：当a> 1时，函数f (x) =a x一定是Q函数.选做题(本题满分10分)19. 记所有非零向量构成的集合为V,对于',■€ V, > ；■,定义V( ', ■) =|x€ V|x? ：=x? |(1)请你任意写出两个平面向量打一，并写出集合V(】，J中的三个元素；(2)请根据你在(1)中写出的三个元素，猜想集合V(：,')中元素的关系，并试着给出证明；(3)若V( ., ) =V(-,)，其中工「，求证：一定存在实数入，“，且入+ ?2=1, 使得「a -.2016-2017学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题(每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1 •已知集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6} , M={1, 5} , P={2, 4}，则下列结论正确的是( )A. 1 € ?U ( MU P)B. 2€ ?U (MU P)C. 3 € ?U (MU P)D. 6??u (MU P)【考点】元素与集合关系的判断.【分析】首先计算MU P,并求其补集，然后判断元素与集合的关系.【解答】解：由已知得到MU P={1, 5, 2, 4};所以?u (MU P) ={3 , 6};故A、B、D错误；故选：C.2. 下列函数在区间(-％, 0)上是增函数的是( )A. f (x) =x2- 4xB. g (x) =3x+1C. h (x) =3- xD. t (x) =tanx【考点】函数单调性的判断与证明.【分析】分别判断选项中的函数在区间(-%, 0) 上的单调性即可.【解答】解：对于A, f (x) =x2- 4x= (x - 2) 2- 4,在(-X, 0) 上是单调减函数，不满足题意；对于B, g (x) =3x+1在(-%, 0) 上是单调增函数，满足题意；对于C, h (x) =3-x=丄I是(-%, 0) 上的单调减函数，不满足题意；对于D, t (x) =tanx在区间(-%, 0)上是周期函数，不是单调函数，不满足题意.故选：B.3. 已知向量-(1, 3), = (3, t)，若J/「，则实数t的值为( )A.- 9 B . - 1 C . 1 D. 9【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】利用向量共线列出方程求解即可.【解答】解：向量>(1, 3), I =( 3, t)，若；可得t=9 .故选：D.4. 下列函数中，对于任意的x € R,满足条件f (x) +f (- x) =0的函数是( )1 2A. f (x) =x 'B. f (x) =sinxC. f (x) =cosxD. f (x) =log 2 (x +1)【考点】函数奇偶性的性质.【分析】对于任意的x€ R,满足条件f (x) +f (- x) =0的函数是奇函数，分析选项，即可得出结论.【解答】解：对于任意的x € R,满足条件f (x) +f (-x) =0的函数是奇函数. A,非奇非偶函数；B奇函数，C, D是偶函数，故选B.5 .代数式sin (=+ , ) +cos - )的值为( )Z J d 0A. - 1 B . 0 C. 1 D.于【考点】三角函数的化简求值.【分析】原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得答案. 【解答】解：sin + . ) +cos ( ------------------ ) =•：・....】i；一_：故选：C.6.在边长为1的正方形ABC冲，向量I ■=,：「，「=「「，则向量的夹角为( )n A.bit ir 5 兀B. C D---【考点】平面向量数量积的运算.【分析】以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，根据向量的夹角的公式计算即可【解答】解：设向量■.；：.'的夹角为9,以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AD 为x 轴，建立直角坐标系, ••• A (0, 0), B (1.0 ), C (1,1), D( 0,1),(1，:), '■/= (1 , ■:),八1 '■ 1=，厂=「_ ,'■' ?「=:+• = ., § 6血7 •如果函数f (x ) =3sin (2x+©)的图象关于点JT=),那么函数f (x )图象的一条对称轴是( JT JTH 7TA. x= —— B . x=^C. x=D. x=—6 1263【考点】函数y=Asin (®x+©)的图象变换.【分析】由正弦函数的对称性可得 2X =+忻kn, k €乙 结合范围| V —,可 求氛令2x+^=k 廿一，k € Z ,可求函数的对称轴方程，对比选项即可得解.AE-AF二 cos 9=十|AE l-lAFl—0)成中心对称(|吗v )二 e =,【解答】解：•••函数f (x) =3sin (2x+©)的图象关于点(r, 0)成中心对称, TT 9 JTw+ 忙k n, k € Z,解得：©二k n—务，k€ Z,门⑷V :,•••忻.，可得：f (x) =3sin (2x+ ),人 c 兀i TT ― / 曰IT•••令2x+ .. =k n+ .. , k€ 乙可得：x= 一 , k€ 乙TT•••当k=0时，可得函数的对称轴为x=-.故选：B.X垃E H28. 已知函数f (x) = •其中MU P=R则下列结论中一定正确的是( ) 〔启疋PA.函数f (x)一定存在最大值B•函数f (x) —定存在最小值C. 函数f (x) 一定不存在最大值D.函数f (x) 一定不存在最小值【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】分别根据指数函数和二次函数的图象和性质，结合条件M U P=R讨论M P,即可得到结论.【解答】解：由函数y=2x的值域为(0, +x),y=x2的值域为[0 , +x),且MU P=R若M=(0 , +x) , p=(-x, 0],则f (x)的最小值为0 ,故D错；若M=( — x , 2), P=[2 , +x),则f (x)无最小值为,故B错；由MU P=R可得图象无限上升, 则f (x)无最大值.故选：C.二.填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)9. 函数y= - .|的定义域为_［2 , +x)_.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由根式内部的代数式大于等于0,然后求解指数不等式.【解答】解：由2x- 4>0,得2x>4,则x>2.函数y= 」的定义域为［2 , +x).故答案为：［2 , +X).10. 已知a=40.5, b=0.54, c=log°.54,则a, b, c 从小到大的排列为_c v b v a_ 【考点】对数值大小的比较.【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解.【解答】解：••• a=40.5> 40=1,0v b=0.54v 0.5 0=1,c=log o.54v log 0.51=0,••• a, b, c从小到大的排列为c v b v a.故答案为：c v b v a.11. 已知角a终边上有一点P (x, 1),且cos o=-*，贝U tan a=-讥【考点】任意角的三角函数的定义.【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得tan a的值.1 工価•••角a 终边上有一点P( X, 1),且cos a=-—= 「.，• x=- , 【解答】解:• tan a=—= - _,故答案为：-二12. 已知△ ABC中，点A (- 2, 0), B (2, 0), C (x , 1)(i )若/ ACB是直角,贝U x= -(ii )若厶ABC是锐角三角形,则x的取值范围是_(- 2,-二)U (2 , +^)精品文档【考点】平面向量的坐标运算.【分析】(i )求出視=(-2 - x, - 1),忑=(2 -x, - 1),由/ ACB是直角，则 :.・「=0,由此能求出x.CA*CB>0 (ii )分别求出石，&，反，爲，反，环,由厶ABC是锐角三角形，得，丘屁>0, 由此能求出x的取值范围.【解答】解：(i )•「△ ABC中，点 A (-2, 0), B (2 , 0), C (x , 1), •••.：= (- 2 -x, - 1), y (2 - x, - 1),•••/ ACB是直角,・ |= (- 2- x) (2-x) + (- 1) (- 1) =x - 3=0 , 解得x= • 二(")•••△ ABC中，点 A (- 2 , 0), B (2 , 0), C (x , 1),•••：=(-2 - x, - 1), y (2-x, - 1), ■-■ = (x+2 , 1), ：；=( 4 , 0) , 「二 (x- 2 , 1), .*= ( - 4 , 0),•••△ ABC是锐角三角形，CA*CB = x2- 3>0••瓦•尿4仗+2)>0 ,解得-2vxv-占或x>2.• x的取值范围是(-2, - -)U( 2 , +x). 故答案为：.-,(-2, - =)U( 2 , +x).13. 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2 •'.若两岁燕子耗氧量达到40个单10位时，其飞行速度为v=10m/s ,则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到_320 单位.【考点】对数函数的图象与性质.【分析】由题意，令x=4 , y=10代入解析式得到a；求得解析式，然后将v=25 代入解析式求x【解答】解：由题意，令x=40 , v=1011欢迎下载。
2017-2018海淀区高一年级第一学期数学期末试卷
海淀区高一年级第一学期期末练习数学2018.01学校班级姓名成绩一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{1,3,5}A =，{(1)(3)0}B x x x =--=，则A B =（）A ．∅B ．{1}C ．{3}D ．{1,3}2.2πsin()=3-（）A.32-B.12-C.32D.123.下列函数为奇函数的是（）A.2x y =B.[]sin ,0,2πy x x =∈C.3y x = D.lg y x=4.若幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)-，则()f x 在定义域内（）A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值5.如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且B C D ，，三点共线，则下列结论不成立．．．的是（）A.3CD BC=B.0CA CE ⋅=C.AB 与DE 共线D.CA CB CE CD⋅=⋅6.函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（）5π6-1-O 12y xπ3-π62π3A.每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位B.每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位C.先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D.先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）7.已知21()log 2xf x x =-⎛⎫⎪⎝⎭，若实数a ，b ，c 满足0＜a ＜b ＜c ，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足0()0f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（）A.0x a< B.0x a> C.0x c< D.0x c>8.如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O （不含A ，B 两点），P 为半圆上一动点，下面关于PA PB PC PD +++的说法正确的是（）A.无最大值，但有最小值B.既有最大值，又有最小值C.有最大值，但无最小值D.既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9.已知向量=(1,2)a ，写出一个与a 共线的非零向量的坐标.10.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=.11.向量a ，b 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则⋅=a b .12.函数2,(),0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩，（0t >）是区间(0,)+∞上的增函数，则t 的取值范围是.13.有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾将以此增长率持续增长.请预测，从年开始，快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg 30.4771≈）14.已知函数()sin f x x ω=在区间π06（，）上是增函数，则下列结论正确的是.（将所有符合题意的序号填在横线上）ab OBP①函数()sin f x x ω=在区间(π6-,0)上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③ππ()(412f f ≥.三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题10分）已知向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）若1()3f k α=+且(0π),α∈，求tan α.16.（本小题12分）已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-.（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =，（ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间为；（ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17.（本小题12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ62π3sin()y A x ωϕ=+0200（Ⅰ）请将上表数据补充完整；函数()f x 的解析式为()f x =（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值．18.（本小题10分）定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期．（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2log y x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：()()G x g x x =-为周期函数；（Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案2018.1数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.题号12345678答案DACCDCBA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()24,等.10.3511.312.1t ≥13.202114.①②③注：第14题选对一个给1分，选对两个给2分，选对三个给4分.三、解答题:本大题共4小题，共44分.15.解：（Ⅰ）∵向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b ，∴()f x =⋅a b =sin +x k .--------------------------2分关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解.--------------------------3分∵[]sin 11x ∈-,，∴当[]111k ,-∈-时，方程有解.--------------------------4分则实数k 的取值范围为[]02,.--------------------------5分（Ⅱ）因为1()3f k α=+，所以1sin ++3k =k α，即1sin 3=α.--------------------------6分当π(0]2,α∈时，22cos 1sin 3αα=-=，sin 2tan cos 4=ααα=.---------------------8分当π(,π)2α∈时，222cos 1sin 3αα=-=-，2tan 4=α-.-------------------------10分16.解：（Ⅰ）4b =-；--------------------------2分0c =.--------------------------4分（Ⅱ）（ⅰ）[]22,-.--------------------------6分（ⅱ）由（Ⅰ）知2()4f x x x =-，则当0x ≥时，2()4g x x x =-；当0x <时，0x ->，则22()()4()4g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以2()()4g x g x x x =--=--.-------------------------8分若()g a a >，则20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩--------------------------10分解得5a >或50a -<<.--------------------------12分综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<.17.解:（Ⅰ）x ωϕ+0π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12sin()y A x ωϕ=+0202-0--------------------------4分解析式为：π()2sin(2)6f x x =+--------------------------6分（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.---------------------------8分（Ⅲ）因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤.得：π11sin(262x -≤+≤.所以,当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间[,0]2π-上的最小值为2-.-----------10分当ππ266x +=即0x =时，()f x 在区间[,0]2π-上的最大值为1.--------------------12分18.解：（Ⅰ）③；--------------------------2分（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T +=+恒成立.∵()()G x g x x =-,∴(+)()()G x T g x T x T =+-+()()g x T x T =+-+()g x x =-()G x =.∴()()G x g x x =-为周期函数.--------------------------6分（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，sin()()sin x T k x T x kx T +++=++.∴sin()sin x T kT x T ++=+．令0x =，得sin T kT T +=；---------------------①令πx =，得sin T kT T -+=；---------------②①②两式相加，得22kT T =.∵0T ≠，∴1k =．--------------------------8分检验：当1k =时，()sin x x x ϕ=+．存在非零常数2π，对任意x ∈R ，(2π)sin(2π)2πsin 2π()2πx x x x x x ϕϕ+=+++=++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数．综上，1k =.--------------------------10分。
海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案2017
海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案2018.1数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. 答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()24,等.10.3511. 3 12. 1t ≥ 13. 2021 14. ①②③ 注：第14题选对一个给1分，选对两个给2分，选对三个给4分.三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15. 解：（Ⅰ）∵向量=(sin ,1)x a ，=(1,)k b ，()f x =⋅a b ， ∴()f x =⋅a b =sin +x k . --------------------------2分关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. --------------------------3分∵[]sin 11x ∈-,，∴当[]111k ,-∈-时，方程有解. --------------------------4分 则实数k 的取值范围为[]02,. --------------------------5分 （Ⅱ）因为1()3f k α=+，所以1sin ++3k =k α，即1sin 3=α. --------------------------6分当π(0]2,α∈时，cos 3α==，sin tan cos 4=ααα=. ---------------------8分当π(,π)2α∈时，cos 3α==-，tan 4=α-. -------------------------10分16. 解：（Ⅰ）4b =-； --------------------------2分0c =. --------------------------4分（Ⅱ）（ⅰ）[]22,-. --------------------------6分 （ⅱ）由（Ⅰ）知2()4f x x x =-，则当0x ≥时，2()4g x x x =-；当0x <时，0x ->，则22()()4()4g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以2()()4g x g x x x =--=--. -------------------------8分 若()g a a >，则20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩--------------------------10分 解得5a >或50a -<<. --------------------------12分 综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<.17. 解:分解析式为：π()2sin(2)6f x x =+--------------------------6分 （Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. ---------------------------8分 （Ⅲ）因为π02x -≤≤，所以5πππ2666x -≤+≤. 得：π11sin(2)62x -≤+≤.所以,当ππ262x +=-即π3x =-时，()f x 在区间[,0]2π-上的最小值为2-.-----------10分当ππ266x +=即0x =时，()f x 在区间[,0]2π-上的最大值为1. --------------------12分18. 解：（Ⅰ） ③； --------------------------2分 （Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T +=+恒成立.∵()()G x g x x =-,∴(+)()()G x T g x T x T =+-+()()g x T x T =+-+()g x x =-()G x =.∴()()G x g x x =-为周期函数. --------------------------6分（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，sin()()sin x T k x T x kx T +++=++. ∴sin()sin x T kT x T ++=+．令0x =，得sin T kT T +=； ---------------------① 令πx =，得sin T kT T -+=； ---------------② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠，∴1k =． --------------------------8分 检验：当1k =时，()sin x x x ϕ=+．存在非零常数2π，对任意x ∈R ，(2π)sin(2π)2πsin 2π()2πx x x x x x ϕϕ+=+++=++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数．综上，1k =. --------------------------10分。
海淀区高一年级第一学期期末数学
解得 kπ
5π π 所以 f ( x) 的增区间为 kπ , kπ ， (k Z) ． 12 12 π π π 4π （Ⅲ）因为 x [0, ] ，所以有 2 x [ , ] ， 2 3 3 3
所以当 x 当x
π 时，函数 f ( x) 取得最大值 2 ， 12
( 3, 2)
12． 3 ， (2, 3)
13． 320
1 14． (2, ) ， [ ,1) 2
说明：12，14 题每个答案两分，丢掉一个减 2 分 三．解答题:本大题共 4 小题，共 44 分． 15． （本小题满分 12 分） （I）因为 f ( x) 的对称轴为 y 轴，所以 f ( x) f ( x) 对任意的 x R 成立， 即 x2 bx c x2 bx c 对任意的 x R 成立， 整理有 2bx 0 对任意的 x R 成立，所以 b 0 ．
1 2 3 4 2 2 （Ⅲ）因为 f (c2 1) f (c) [(c2 1)2 c] (c2 c) c c 1 (c ) 0 恒成立， 2 4
所以 f (c2 1) f (c) 对 c R 恒成立． 法二：因为 f ( x) 的对称轴为 y 轴，其开口向上
1 2 3 2 且 c 1 | c | (| c | ) 0 ， 2 4
即 c 2 1 到对称轴的距离大于 | c | 到对称轴的距离， 根据二次函数的性质， 所以 f (c2 1) f (c) 对 c R 恒成立．
16． （本小题满分 12 分）
5 π （I） T π ( ) π ， 6 6
即T
2π
π ，所以 2 ．
海淀区学年高一第一学期期末数学试题及答案官方版
WOED格式海淀区高一年级第一学期期末调研数学学校班级姓名成绩考1．本试卷共6页，共三道大题，18道小题.总分值100分.另有一道附加题〔5分〕.考生试时间90分钟.须2．在卷面上准确填写学校名称、班级名称、姓名.知3．考试结束，请将本试卷和草稿纸一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合A{x|1x2},B{0,1,2} ，那么AIB()A.{0}B.{0 ，1}C.{0，1，2}D.{1,01,,2}2〕不等式|x1|2的解集是()A.{x|x3}B.{ x|1x3}C.{ x|1x3}D.{ x|3x3}(0,.B.y2C.〔4〕某赛季甲、乙两名篮球运发动各参加了13场比赛，得分情况用茎叶图表示如下：甲乙988177996102256799532030237104根据上图对这两名运发动的成绩进行比拟，以下四个结论中，不正确．．．的是()A．甲运发动得分的极差大于乙运发动得分的极差（B．甲运发动得分的中位数大于乙运发动得分的中位数（C．甲运发动得分的平均值大于乙运发动得分的平均值（D．甲运发动的成绩比乙运发动的成绩稳定（ a（5〕a,bR，那么“ab〞是“1〞的()bA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1专业资料整理WOED格式2,x2,〔6〕函数f(x)x假设关于x的函数yf(x)k有且只有三个不同的零点，那么实数k 的2x3,x2.取值范围是()A.(3,1)B.(0,1)C.3,0D.(0,)7〕“函数f(x)在区间[1,2]上不．是．增函数〞的一个充要条件是()A.存在a(1,2)满足f(a)f(1)B.存在a(1,2)满足f(a)f(2)C.存在a,b[1,2] 且ab满足f(a)f(b)D. 存在a,b[1,2] 且ab满足f(a)f(b)〔8〕区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务效劳、供给链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中，假设密码的长度设定为256比特，那么密码一共有256种可能，因此，2为了破解密码，最坏情况需要进行25611次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行10次哈希2运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为〔参考数据〕()73657二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分，把答案填在题中横线上.x9〕函数f(x)a(a0且a1)的图象经过点(1,2)，那么a的值为__________.10〕f(x)lgx，那么f(x)的定义域为__________,不等式f(x1)0的解集为.uuur uuur uuur uuur 〔11〕OA(1,0)，AB(1,2)，AC(1,1)，那么点B的坐标为_________,CB的坐标为_________.〔12〕函数()22的零点个数为_______，不等式f(x)0的解集为_____________.fxx〔13〕某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2021年的平均年收入约为35万元.由此_____〔填“能够〞或“不能〞〕推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2021年的平均年收入约为35万元，理由是________________________________________________________________________________.〔14〕对于正整数k，设函数fk(x)[kx]k[x] ，其中[a] 表示不超过a的最大整数.①那么2f()_______; 23②设函数g(x)f 2(x)f 4(x) ，那么在函数g(x)的值域中所含元素的个数是____________.专业资料整理WOED格式2专业资料整理WOED格式三、解答题：本大题共4小题，共44分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)〔本小题共11分〕某校2021级高一年级共有学生 195人，其中男生105人，女生90人.基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制〞中的学科选择情况，该校对2021级高一年级全体学生进行了问卷调查.现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．问卷中某个必答题的选项分别为“同意〞和“不同意〞，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．选“同意〞的人数选“不同意〞的人数男生4a女生b2〔Ⅰ〕写出a，b的值；〔Ⅱ〕根据上表的数据估计2021级高一年级学生该题选择“同意〞的人数；〔Ⅲ〕从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意〞的概率．函数f(x)ax2ax3.2〔Ⅰ〕假设a1，求不等式f(x)0的解集；〔Ⅱ〕a0，且f(x)0在[3,)上恒成立，求a的取值范围；〔Ⅲ〕假设关于x的方程f(x)0x1,x2，求22有两个不相等的正．实数根xx的取值范围.123专业资料整理WOED格式〔本小题共12分〕如图，在射线OA,OB,OC中，相邻两条射线所成的角都是120o，且线段OAOBOC.uuuruuuruuur设OPxOAyOB.〔Ⅰ〕当x2,y1时，在图1中作出点P的位置〔保存作图的痕迹〕；〔Ⅱ〕请用x,y 写出“点P在射线OC上〞的一个充要条件： _________________________________；〔Ⅲ〕设满足“x2y4且xy0〞的点P所构成的图形为G，①图形G是_________；A.线段B.射线C.直线D.圆②在图2中作出图形G.BBOOCACA图图21〔本小题共10分〕函数f(x) 的图象在定义域(0,) 上连续不断.假设存在常数T0，使得对于任意的x0，f(Tx)f(x)T 恒成立，称函数f(x) 满足性质P(T).(Ⅰ)假设f(x)满足性质P(2)，且f(1)0，求1f(4)f()的值；(Ⅱ)假设f(x)logx4，试说明至少存在两个不等的正数T1,T2，同时使得函数f(x)满足性质P(T1) 4和P(T2).(参考数据:2.0736)(Ⅲ)假设函数f(x)满足性质P(T)，求证：函数f(x) 存在零点.4专业资料整理附加题：〔此题总分值5分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分〕在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合.定义数据点集为平面点集SPxyiLN〔NN+〕，寻找函数yf(x)去拟合数据点集S，就是寻找适宜的函数，{i(i,i)|1,2,,}使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势.〔Ⅰ〕以下说法正确的选项是_________.〔写出所有正确说法对应的序号〕A.对于任意的数据点集S，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点B.存在数据点集S，不存在函数使其图象经过每一个数据点C.对于任意的数据点集S，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧D.拟合函数的图象所经过的数据点集S中元素个数越多，拟合的效果越好〔Ⅱ〕衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度〞，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况.如下图，对于数据点集PPP，在如下的两种“偏1,2,3置度〞的定义中，使得函数1(x)的偏置度大于函数f2(x)的偏置度的序号为________；yP3l31P221P1O13xl2n①=(x,yf(x))(x,yf(x))(x,yf(x))L(x,yf(x));iii111222nnn i1x))||,yf(iii111222nnni1〔其中|(x,y)|代表向量w(x,y)的模长〕〔Ⅲ〕对于数据点集S0,0,1,1,1,1,2,2，用形如f(x)axb的函数去拟合.当拟合函数f(x)axb满足〔Ⅱ〕中你所选择的“偏置度〞到达最小时，该拟合函数的图象必过点_______.〔填点的坐标〕5专业资料整理WOED格式草稿纸6专业资料整理WOED格式高一年数学级习参一.选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分.考（1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕答答案BCCDDBDB 案及准2021．01二.填空题：本大题共 6小题，每题4分，共24分.9〕〔10〕；11〕；〔12〕1；(,0)U(1,)13〕不能；参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入14〕1；4注：两空的题，每空2分；三.解答题：本大题共 4小题，共44分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔15〕(Ⅰ)由题意可得；..........2 分；..........4 分(Ⅱ)估计2021级高一年级学生该题选择“同意〞的人数为；..........7 分(Ⅲ)如果访谈学生中选择“同意〞那么记为1，如果选择“不同意〞那么记为0，列举如下：1111000 ..........9 分共有76=42种等可能的结果，其中至少有一人选择“同意〞的有42636种，中至少有一人选择‘同意’〞为事件，那么P(A)..........10 分记“访谈学生366427..........11 分〔16〕(Ⅰ)当a1时，由2f(x)x2x3≥0解得{x|x≥3或x≤-1}..........3分专业资料整理WOED格式7专业资料整理WOED格式(Ⅱ)当a0时，二次函数2f(x)ax2ax3开口向上，对称为轴x1，所以f(x)在[3,)上单调递，增...........5分要使f(x)≥0在[3,)上恒成立，只需f(3)9a6a3≥0，...........6分所以a的取值范围是{a|a≥1}...........7分(Ⅲ)因为f(x)0有两个不相等的正．实数根x1,x2，a024a12a0所以xx2，..........8分123xgx0a12解得a3，所以a的取值范围是{a|a3}...........9分因为2226 xx(xx)2xgx4，..........10分121212a22所以，xx的取值范围是(2,4)...........11分1217〕(Ⅰ)BPOCA图中点P即为所求............4 分(Ⅱ)xy且x0,y0；...........7分说(明Ⅲ)①A；,..........10分：②如果“xE,ByO〞CA，(D分图中线段DE即为所求............12 分专业资料整理WOED格式〔18〕(Ⅰ)因为满足性质，所以对于任意的，f(2x)f(x)2恒成立.又因为f(1)0，所以，f(2)f(1)22，...........1分f(4)f(2)2 4，...........2分由f(1)f()211可得f()f(1)22，22111 1由f()f()+2可得f()f()24，.........3分2414 2所以，f(4)f()0.............4分4(Ⅱ)假设正数T满足，等价于log TT〔或者TT〕，log(Tx)logxTx记g(x)xlog x，〔或者设，x(0,)〕.........5分显然g(1)0，，2，所以16，16log16，即g(16)0............6分因为g(x)的图像连续不断，所以存在T(1,2),T(2,16)，使得g(T1)g(T 2)0，1 2因此，至少存在两个不等的正数1，使得函数同时满足性质1T,T P(T)和P(T).............7分2(Ⅲ)①假设f(1)0，那么1即为的零点；...........8分②假设f(1)M0，那么f(T)f(1)T，2f(T)f(T)Tf(1)2T，L，可得kk1f(T)f(T)Tf(1)kT，其中kN.取k[M]1M kTT即可使得f(T)MkT0.所以，存在零点............9分③假设f(1)M0，那么由1，可得1，f(1)f()T f()f(1)TT T1111，L，由f()f()T，可得f()f()Tf(1)2TTT2TT111 1k1k kk1TTTTMM即可使得1取[]1f(k)MkT0.所以，存在零点.kTTT综上，存在零点............10分专业资料整理WOED格式9专业资料整理WOED格式附加题：〔此题总分值5分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分〕【答案】(Ⅰ)B、C ...........2分(Ⅱ)①...........分(Ⅲ)(1,1)..........2.5分注：对于其它正确解法，相应给分.10专业资料整理。
北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学理试题含答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2017.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1 BCD3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A．12y x =-+B．12y x =C．2y x =D．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14B ．16C ．18D ．208．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．俯视图主视图ABCD1D 1A 1B 1C E F三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B =，且∆ABC（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望； （Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠=，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．AOBCD 1图ODCB2图1A18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-=，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,ka a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==122a a ⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,b b >∴. (不写b>0不扣分)（Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin sin a A B b ==， 又120B =，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）所以cos A ==所以sin tan cos A A A === 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P1327321532932 171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分. 情况七： 结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1ADC 平面1A OB m =所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅=，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z =，所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=1115cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠=，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O =，所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D =，所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠=，所以160OAG ∠=， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Oxyz -，则10,0,0),(2,0,0),((0,0,2)O A B D -（， 所以11(2,0,2),(A D A B =-=- 设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z=，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则1y z =，所以(1,3,1)n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则 sin θ=1115cos ,AO n AO n AO n ⋅<>==⋅18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+ 因为以BC 为直径的圆经过点A ， 所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-. 19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x0x0(,)x +∞'()g x- 0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列， 所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=-，故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤=，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥=，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥=. 又因为1110b a a =-=， 所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-=，所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+(1,2,3,)n =的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+. 下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾；若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-=，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++，(1,2,3,,)k n =由1(1,2,3,)n n b b n +≥=可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤=又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k =， 所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++-，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++≤+等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -===，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）。
2017届北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科)试题带答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2017.1本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i(2i)-在复平面内对应的点的坐标为A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(1,2)D ．(1,2)-2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．33．下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是 A ．1()2x y = B ．2y x =- C ．2log y x =D ．||1y x =+4．已知向量a,b 满足2-0a b =，()2-⋅=a b b ，则=|b |A ．12B ．1CD ．25．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．96．在ABC ∆中，“30A <︒”是“1sin 2A <”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为ABC ．2D主视图俯视图8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==． 若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线C :2214y x -=，则双曲线C 的一条渐近线的方程为________．10．已知数列{}n a 满足12,,n n a a n +-=∈*N 且33a =，则1a =____，其前n 项和n S =____．11．已知圆C :2220x y x +-=，则圆心C 的坐标为_____，圆C 截直线y x =的弦长为____． 12．已知,x y 满足04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为________．13．如图所示，点D 在线段AB 上，30CAD ∠= ，50CDB ∠= ．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①,AD DB ； ②,AC DB ； ③,CD DB ．其中，能使ABC ∆唯一确定的条件的序号为____．（写出所有所和要求的条件的序号）14．已知A 、B 两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A 大学的各专业的男女生比例均高于B 大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）． 据此， 甲同学说：“A 大学的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”； 乙同学说：“A 大学的男女生比例不一定高于B 大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”． 其中，说法正确的同学是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且21a =，346a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a n -的前n 项和为n S ，比较4S 和5S 的大小，并说明理由．AD BCABCD1D 1A 1B 1C E F已知函数2sin 22cos ()cos x xf x x +=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及π()4f 的值；（Ⅱ）求()f x 在π(0,)2上的单调递增区间．17．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数x ；（Ⅱ）从表1诚信度超过91%的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AB //DC , CD =2AB , AD ⊥CD ，E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求证：平面P AB ⊥平面P AD ；（Ⅲ）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由．PABCD E已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>，直线l 过椭圆G 的右顶点(2,0)A ，且交椭圆G 于另一点C ．（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B ，求直线l 的方程．20．（本小题满分14分）已知函数ln 1()x f x x+=． （Ⅰ）求曲线()y f x =在函数()f x 零点处的切线方程； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =恰有两个不同的实根12,x x ，且12x x <，求证：2111x x a->-．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）答案及评分标准2017.1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
海淀区学年第一学期期末高一数学试题及答案
海淀区高一年级第一学期期末考试数 学2017.1学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{1,5}M =，{24},P =，则下列结论正确的是 ( ) A ．1()U M P ∈U ð B ．2()U M P ∈U ð C ．3()U M P ∈U ð D ．6()U M P ∉U ð 2．下列函数在区间(,0)-∞上是增函数的是 ( ) A. 2()4f x x x =- B. ()31g x x =+C. ()3xh x -= D. ()tan t x x =3. 已知向量(1,3), (3,),t ==a b 若a b P , 则实数t 的值为 ( ) A. 9- B. 1- C. 1 D. 94. 下列函数中，对于任意的x ∈R ，满足条件()()0f x f x +-=的函数是 ( ) A. 13()f x x = B. si ()n 1f x x =+C. 2()f x x =D. 22()log (1)f x x =+5. 代数式ππππsin()cos()2326++-的值为 ( )A. 1-B. 0C. 1D.26. 在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，则向量,AE AF u u u r u u u r 的夹角为( ) A.π6 B. π4 C. π3 D. 5π2１ 7. 如果函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点π(,0)3成中心对称(π||2ϕ<)，那么函数()f x 的一条对称轴是 ( ) A.π6x =-B.π12x =C. π6x =D. π3x = 8. 已知函数22() xx M f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，其中M P =R U ，则下列结论中一定正确的是 ( )A. 函数()f x 一定存在最大值B. 函数()f x 一定存在最小值C. 函数()f x 一定不存在最大值D. 函数()f x 一定不存在最小值 二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分. 把答案填在题中横线上. 9．函数()f x =的定义域为_____________.10. 已知0.540.540.5,log 4，a b c ===，则,,a b c 从小到大的排列为_____________.11. 已知角α终边上有一点(,1)P x ,且21cos -=α,则_________ta _n ___α=. 12. 已知ABC ∆中，点(20), (2,0)A B -，, (,1)C x . (i) 若ACB ∠是直角，则_____________x =；(ii) 若ABC ∆是锐角三角形，则x 的取值范围是_____________.13. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =. 若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为10/v m s =，则两岁燕子飞行速度为25/m s 时，耗氧量达到_____________单位. 14. 已知函数()|1|(1)f x ax a x =---.(i) 当１２a =时，满足不等式()1f x >的x 的取值范围为_____________； (ii) 若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_____________.三.解答题: 本大题共4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，其对称轴为y 轴(其中,b c 为常数) . (Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 记函数()()2g x f x =-，若函数()g x 有两个不同的零点，求实数c 的取值范围； (Ⅲ) 求证：不等式2(1)()f c f c +> 对任意c ∈R 成立. 16．（本小题满分12分）已知下表为“五点法”绘制函数()sin()f x A x ωϕ=+图象时的五个关键点的坐标(其中0,0,πA ωϕ>><).(Ⅰ) 请写出函数)(x f 的最小正周期和解析式；(Ⅱ) 求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅲ) 求函数)(x f 在区间π[0,]2上的取值范围.17．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P . (Ⅰ) 用角α的三角函数表示点P 的坐标；(Ⅱ) 当14AP BP ⋅=-u u u r u u u r 时，求α的值；(Ⅲ) 在x 轴上是否存在定点M ，使得1||||2AP MP =u u u r u u u r恒成立若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由.18．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0T ≠，使得()()f x Tf x T =+对任意的x ∈R 成立，则称函数()f x 是Ω函数.（Ⅰ）判断函数()f x x =，()sin πg x x =是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（ⅰ）计分.（ⅰ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是偶函数，则()f x 是周期函数； （ⅱ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是奇函数，则()f x 是周期函数； (Ⅲ) 求证：当1a >时，函数 ()x f x a =一定是Ω函数.α选作题：（本小题满分10分）记所有非零平面向量构成的集合为V ，对于∈V a,b ，≠a b ，定义(){|}=∈⋅⋅V V a,b m m a =m b .(Ⅰ) 请你任意写出两个平面向量a,b ，并写出集合()V a,b 中的三个元素；（Ⅱ）请根据你在(Ⅰ)中写出的三个元素，猜想集合()V a,b 中元素的关系，并试着给出证明； (Ⅲ) 若()()=V V a,b a,c ，其中≠b c ，求证：一定存在实数12λλ,，121λλ=+，使得12λλ+a =b c .海淀区高一年级第一学期期末考试数 学参考答案及评分标准2017.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. [2,)+∞ 10. <<c b a 11.12. (2,-U 13. 320 14. 1(2,), [,1)2+∞ 说明：12，14题每个答案两分，丢掉一个减2分 三.解答题:本大题共4小题, 共44分. 15. （本小题满分12分）解: （I ）因为()f x 的对称轴为y 轴，所以()()-=f x f x 对任意的x ∈R 成立，即22++=-+x bx c x bx c 对任意的x ∈R 成立，整理有20=bx 对任意的x ∈R 成立，所以0=b . ………………………4分法二：因为()f x 的对称轴为y 轴， 而()f x 的对称轴为2b x =-， 所以有 02b-=，所以0=b . ………………………4分 （II ）依题意2()2=+-g x x c 有两个不同的零点，即关于x 的方程220x c +-=有两个不相等的实数根， 所以0>V ,即20c -<，2c <为所求. ………………………8分(Ⅲ) 因为2222(1)()[(1)]()+-=++-+f c f c c c c c 4222131()024c c c =++=++>恒成立， 所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分 法二：因为()f x 的对称轴为y 轴, 其开口向上 且22131||(||)024c c c +-=-+>， 即21c +到对称轴的距离大于||c 到对称轴的距离， 根据二次函数的性质，所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分16．（本小题满分12分） 解: （I ）5ππ()π66T =--=, ………………………2分 即2ππT ω==, 所以2ω=.又2=A , ()2sin(2)=+f x x ϕ,将π(,2)12代入()f x , 有π2sin()26ϕ+=，即πsin()16ϕ+=. 因为||π,ϕ< 所以π57(π,π)666ϕ+∈-，因此ππ62ϕ+=，即π3ϕ=.故π()2sin(2)3f x x =+. ………………………4分说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程. （II ） 因为函数sin y x =的单调区间为ππ2π2π22k x k -<<+， 所以令πππ2π22π232k x k -<+<+， 即 5ππ2π22π66k x k -<<+， 解得 5ππππ1212k x k -<<+， 所以()f x 的增区间为5ππ(ππ),()1212k k k -+∈Z ，. ………………………8分(Ⅲ) 因为π[0,]2x ∈，所以有ππ4π2[,]333x +∈， 所以当 π12x =时 ，函数()f x 取得最大值2， 当 π2x =时， 函数()f x取得最小值，所以函数()f x 在 π[0,]2上的取值范围为[2] ………………………12分17.（本小题满分10分）解: （I ）(cos ,sin )P αα. ………………………2分（II ）13(cos ,sin ) (cos ,sin )22AP BP αααα=+=-u u u r u u u r ，213(cos )(cos )sin 22AP BP ααα⋅=+-+u u u r u u u r ，因为14AP BP ⋅=-u u u r u u u r ，所以11cos 44α-=-，即1cos 2α=，因为α为锐角，所以π3α=. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+u u u r ，2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+u u u r ， 因为1||||2=u u u r u u u r AP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，所以2(1)cos (1)024m m α++-=对任意π(0,)2α∈成立， 所以2102104m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 所以2m =-. M 点的横坐标为2-. ………………………10分法二：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+u u u r ，2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+u u u r ，因为1||||2=u u u r u u u rAP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，即22cos 4cos 40m m αα---=，(2)[(2)2cos ]0m m α+--=，因为α可以为任意的锐角，(2)2cos 0m α--=不能总成立，所以20m +=，即2m =-，M 点的横坐标为2-. ………………………10分18．（本小题满分10分）解: （I ）函数()f x 不是Ω函数，函数()g x 是Ω函数. ………………………2分 （II ）(i)因为()f x 是Ω函数，所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()Tf x T Tf x T +=-+，即()()f x T f x T +=-+， 所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分 (ii) 因为()f x 是Ω函数， 所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是奇函数， ()()f x f x -=- 所以()()f x Tf x T -=--， 即 ()()f x Tf x T =-， 所以()()Tf x T Tf x T +=-，所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设()1xg x xa =-， 所以(0)1g =-，(1)10g a =->所以至少存在一个(0,1)T ∈，满足()0=g T ，即1TTa =， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 法二：设1()=-x g x a x， 因为1a >，所以(1)10g a =-<，11()0=->ag a a a，所以至少存在一个1(,1)∈T a，满足()0=g T ，即1T a T=， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 选作题：（I ）例如(1,0),(0,1),a a ==r r则(,)a b r r V 中的三个元素可以为(1,1),x =r (1,1),y =--u r (2,2)z =r .……………3分 （II ）猜想：(,)a b r rV 中的所有向量都是共线向量.证明如下：不妨设1212(,),(,),a a a b b b ==r r因为a b ≠r r，所以1122a b a b --，中至少有一个不为0， 若220a b -≠，记1122(1)a be a b -=--r ，, 显然()0e a b ⋅-=r r r ，即e a e b ⋅=⋅r r r r ，所以e ∈r (,)a b r rV .任取(,)v x y =∈r (,)a b r rV ，因为v a v b ⋅=⋅r r r r ，所以()0v a b ⋅-=r r r，所以1122()()0x a b y a b -+-=，则有1122a b y x a b -=--，所以(,)v x y xe ==r r ，所以(,){|,}a b v v e λλ==∈r r r r rV R ，问题得证；若220a b -=，110a b -≠时，可证明(,){|,}a b v v e λλ==∈r r r r r V R ，其中2211(1)a b e a b -=--r ，. 所以(,)a b r rV 中的所有向量都是共线向量. ………………………6分 (Ⅲ) 因为(,)a b r r V (,)a c r r =V ，不妨设12v v ∈u r u u r ，(,)a b r r V ，12v v ≠u r u u r.则由(,)a b r r V 的定义知道，11v a v b ⋅=⋅u r r u r r ，即1()0v a b ⋅-=u r r r , 同理2()0v a b ⋅-=u u r r r, 所以1()v a b ⋅-u r r r 2()v a b =⋅-u u r r r ，所以()a b -∈r r 12(,)v v u r u u rV ， 同理得到()a c -∈r r 12(,)v v u r u u rV 由（II ）得，(),()a b a c --r r r r共线，所以()()a c a b λ-=-r r r r ，所以(1)a b c λλ-=-+r r r .因为b c ≠r r，所以1λ≠，所以11)1)a b c λλλ=-+--r r r（（ 记1211)1)λλλλλ=-=--，（（，则12+1λλ=，问题得证. ………………………10分。
北京市海淀区高一上期末数学试卷
北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={x|（x﹣1）（x﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（x）=xα，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（x）=x2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2x B．y=sinx，x∈[0，2π]C．y=x3 D．y=lg|x|【解答】解：y=2x为指数函数，没有奇偶性；y=sinx，x∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=x3定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（x）的图象如图所示，为了得到y=2sinx函数的图象，可以把函数f（x）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（x）的图象，设f（x）=Asin（ωx+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（x）=2sin（2x﹣），故可以把函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2x+﹣）=2sin2x的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sinx函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【解答】解：∵f（x）=log2x﹣（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，由f（﹣x）=sin（﹣ωx）=﹣sinωx=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则①函数f（x）=sinωx在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴x≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sinx，1），=（1，k），f（x）=．（Ⅰ）若关于x的方程f（x）=1有解，求实数k的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sinx，1），b=（1，k），f（x）=，∴f（x）==sinx+k．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于x的方程f（x）=1有解，即关于x的方程sinx=1﹣k有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sinx∈[﹣1，1]，∴当1﹣k∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数k的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（x）是奇函数，当x≥0时，g（x）=f（x），（ⅰ）直接写出g（x）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x2﹣4x，∵函数g（x）是奇函数，∴g（﹣x）=﹣g（x），假设x＜0，则﹣x＞0，则g（﹣x）=f（﹣x）=x2+4x，∴g（x）=﹣x2﹣4x，∴g（x）=，（i）g（x）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=f（x）=2sin（2x+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（x）在区间上的最小值为﹣2．当即x=0时，f（x）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（x）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，f（x+T）=f（x）+T恒成立，则称f（x）为线周期函数，T为f（x）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2x，②y=log2x，③y=[x]，（其中[x]表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（x）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（x）=g（x）﹣x为线周期函数；（Ⅲ）若φ（x）=sinx+kx为线周期函数，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（x+T）=2x+T=2x2T=f（x）2T，故不是线周期函数对于②f（x+T）=log2（x+T）≠f（x）+T，故不是线周期函数对于③f（x+T）=[x+T]=[x]+T=f（x）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（x）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意x∈R，g（x+T）=g（x）+T恒成立．∵G（x）=g（x）﹣x，∴G（x+T）=g（x+T）﹣（x+T）=g（x）+T﹣（x+T）=g（x）﹣x=G（x）．∴G（x）=g（x）﹣x为周期函数．（Ⅲ）∵φ（x）=sinx+kx为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意x∈R，sin（x+T）+k（x+T）=sinx+kx+T．∴sin（x+T）+kT=sinx+T．令x=0，得sinT+kT=T；令x=π，得﹣sinT+kT=T；①②两式相加，得2kT=2T．∵T≠0，∴k=1检验：当k=1时，φ（x）=sinx+x．存在非零常数2π，对任意x∈R，φ（x+2π）=sin（x+2π）+x+2π=sinx+x+2π=φ（x）+2π，∴φ（x）=sinx+x为线周期函数．综上，k=1．。
北京市海淀区高一年级第一学期期末练习数学试题带答案
海淀区高一年级第一学期期末练习数学2016.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一．选择题：本大题共8小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A ＝{x |－1≤x <2 } ，B ＝{x |x ≥1 }，则A ∩B= ( )A.(1，2)B.[－1，2)C.[－1，1]D. [－1，2)2.的值为 ( )A.1B.－1C.0D.3.若α 是第二象限的角，P(x ，6)为其终边上的一点，且，则x = ( ) A.－4B.±4 C.－8 D.±84.化简 ( ) A.cos200B.－cos200C.±cos200 D.±|cos200 |5.已知A (1，2)，B (3，7)，a =（x ，－1），∥a ，则 ( ) A.x =，且与a 方向相同B. x =，且与a 方向相同 C.x =，且与a 方向相反 D.x =，且与a 方向相反6.已知函数：①y = tan x ，②y = sin|x |，③y = |sin x |，④y = |cos x |，其中周期为π，且在(0，2)上单调递增的是 ( )A.①②B.①③C.①②③D.①③④7．先把函数y = cos x 的图像上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为 ( )A.y = cos( 2x +)B.y = cos( 2x －)C.y = cos(x +)D.y = cos(x －)8. 若m 是函数f (x) =的一个零点，且x 1∈(0，m )，x 2∈(m ，+∞)，则f (x 1)，f (x 2)，f (m )的大小关系为( ) A.f (x 1)＜f (m )＜f (x 2) B.f (m )＜f (x 2)＜f (x 1)C.f (m )＜f (x 1)＜f (x 2)D.f (x 2)＜f (m )＜f (x 1)二．填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上.9. 若2log y x ＞1，则x 的取值范围是_____________.10.若函数f (x) = x 2+3x －4在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M+N= .11. 若向量a = (2，1)，b = (1，－2)，且m a + n b = (5，－5) (m ，n ∈R )，则m －n 的值为.12.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若(λ，μ∈R)，则λ+μ= .13.若函数f (x ) =sin(ωx +φ)(其中ω＞0) 在(0，)上单调递增，且f () + f ()=0， f (0) = －1，则ω= _____________.14.已知函数y = f (x )，若对于任意x ∈R ，f (2x ) =2f (x )恒成立，则称函数y = f (x )具有性质P ，(1) 若函数f (x ) 具有性质P ，且f (4) = 8，则f (1) = _____________；(2) 若函数f (x ) 具有性质P ，且在 (1，2]上的解析式为y = cos x ，那么y = f (x )在(1，8]上有且仅有___________个零点.三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本题满分12分)已知二次函数f (x) = x 2+mx －3的两个零点为－1和n ，(Ⅰ) 求m ，n 的值；(Ⅱ) 若f (3) = f (2a －3)，求a 的值.16. (本题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数f (x ) =2x －1(Ⅰ) 求当x ＜0时，f (x)的解析式；(Ⅱ) 若f (a ) ≤3，求a 的取值范围.17. (本题满分12分）已知函数f (x )=2sin(2x －).(Ⅰ) 求函数f (x )的单调递增区间与对称轴方程；(Ⅱ) 当x ∈[0，2]时，求函数f (x ) 的最大值与最小值.18. (本题满分8分）如果f (x )是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f (－x ) ≠－f (x )，则称该函数是“X-函数”. (Ⅰ) 分别判断下列函数：①2x y =；②y = x +1； ③y = x 2+2x －3是否为“X-函数”？(直接写出结论)(Ⅱ) 若函数f (x ) = sin x + cos x + a 是“X-函数”，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 已知f (x ) =是“X-函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案2016.1数学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3. C4.A5.D6.B7.B8.D8.分析:因为m 是()22x f x =+的一个零点,则m 220x +=的一个解,即m 22x =-的一个解,所以m 是函数()g x =()22x h x =-图象的一个交点的横坐标,如图所示,若()()120,,,x m x m ∈∈+∞,则222()g()h()0(m)f x x x f =-<=,111()g()h()0(m)f x x x f =->=,所以2()f x <()f m <1()f x .二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分, 第14题每空2分.9.(2,)+∞10. 39411.2-12.3413.214. 2；3 14.分析:（1）（2分）因为函数()y f x =具有性质P ，所以对于任意x R ∈，(2)2()f x f x =恒成立，所以(4)(22)2(2)2(21)4(1)f f f f f =⨯==⨯=,因为(4)8f =，所以(1)2f =.（2）（2分）若函数()y f x =具有性质P ，且在(1,2]上的解析式为cos y x =，则函数()y f x =在(2,4]上的解析式为2cos 2x y =，在(4,8]上的解析式为4cos 4x y =， 所以()y f x =在(1,8]上有且仅有3个零点,分别是,,22πππ．三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）因为二次函数2()3f x x mx =+-的两个零点为1-和n ，所以，1-和n 是方程23=0x mx +-的两个根. 则1,13n mn -+=--⨯=-（），--------------------------4分 所以2m =-，3n =. --------------------------6分（Ⅱ）因为函数2()23f x x x =--的对称轴为1x =.若(3)(23)f f a =-， 则32312a +-=或233a -=--------------------------9分 得1a =或3a =. --------------------------12分综上,1a =或3a =.16.解：（Ⅰ）当0<x 时,0x ->,则()21x f x --=-. --------------------------2分因为)(x f 是奇函数，所以()()f x f x -=-. --------------------------4分所以()21x f x --=-,即当0<x 时,12)(+-=-x x f . -------------------6分（Ⅱ）因为()3f a ≤,(2)3f =，--------------------------8分所以()(2)f a f ≤.又因为)(x f 在R 上是单调递增函数，-----------------10分所以2a ≤. --------------------------12分说明：若学生分0a ≥和0a <两种情况计算，每种情况计算正确，分别给3分.17．解：(Ⅰ)因为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，--------------------------2分得ππ63k x k ππ-+≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为ππ,63k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. -------------3分 由2,62x k k Z πππ-=+∈，---------------5分 得π32k x π=+. 所以()f x 的对称轴方程为π32k x π=+，其中k Z ∈. -----------------------6分 (Ⅱ)因为π02x ≤≤，所以52666x πππ-≤-≤. --------------------------8分 得：1sin(2)126x π-≤-≤ . --------------------------10分 所以,当266x ππ-=-即0x =时，()f x 的最小值为1-， 当262x ππ-=即3x π=时，()f x 的最大值为2. --------------------------12分18．解:（Ⅰ）①、②是“X - 函数”，③不是“X - 函数”. -------------------2分 (说明:判断正确一个或两个函数给1分)（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，()()f x f x -≠-，即()()0f x f x -+≠.因为()sin cos f x x x a =++，所以()sin cos f x x x a -=-++.故()()2cos 2f x f x x a +-=+.由题意,对任意的x ∈R ，2cos 20x a +≠，即cos a x ≠-. --------------------4分故实数a 的取值范围为(,1)(1,)-∞-+∞U . ---------------------------5分（Ⅲ）（1）对任意的0x ≠（a ）若x A ∈且x A -∈，则x x -≠，()()f x f x -=，这与()y f x =在R 上单调递增矛盾，（舍），（b ）若x B ∈且x B -∈，则()()f x x f x -=-=-，这与()y f x =是“X -函数”矛盾，（舍）.此时，由()y f x =的定义域为R ，故对任意的0x ≠，x 与x -恰有一个属于A ，另一个属于B .（2）假设存在00x <，使得0x A ∈，则由002x x <，故00()2x f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭. （a ）若02x A ∈，则220000()11()24x x f x f x =+<+=，矛盾，（b ）若02x B ∈，则20000()01()22x x f x f x =<<+=，矛盾. 综上，对任意的0x <，x A ∉，故x B ∈，即(,0)B -∞⊆，则(0,)A +∞⊆.（3）假设0B ∈，则(0)(0)0f f -=-=，矛盾. 故0A ∈故[0,)A =+∞，(,0)B =-∞. 经检验[0,)A =+∞，(,0)B =-∞.符合题意 ------------------------------------8分。
北京市海淀区高一上册期末数学试卷(有答案)-精品.doc
北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3D．y=lg||5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f （c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f（）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={|（﹣1）（﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（）=α，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（）=2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3D．y=lg||【解答】解：y=2为指数函数，没有奇偶性；y=sin，∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=3定义域为R，f（﹣）=﹣f（），为奇函数；y=lg||的定义域为{|≠0}，且f（﹣）=f（），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（）的图象，设f（）=Asin（ω+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（）=2sin（2﹣），故可以把函数f（）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2+﹣）=2sin2的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sin函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f （c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c【解答】解：∵f（）=log2﹣（）在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数0是函数y=f（）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（）=sinω在区间上是增函数，由f（﹣）=sin（﹣ω）=﹣si nω=﹣f（），可得f（）为奇函数，则①函数f（）=sinω在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin，1），b=（1，），f（）=，∴f（）==sin+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于的方程f（）=1有解，即关于的方程sin=1﹣有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sin∈[﹣1，1]，∴当1﹣∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（）=2﹣4，∵函数g（）是奇函数，∴g（﹣）=﹣g（），假设＜0，则﹣＞0，则g（﹣）=f（﹣）=2+4，∴g（）=﹣2﹣4，∴g（）=，（i）g（）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（）的解析式为f（）=f（）=2sin（2+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2π﹣≤2+≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得函数f（）的单调递增区间为，∈．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（）在区间上的最小值为﹣2．当即=0时，f（）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f（）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（+T）=2+T=22T=f（）2T，故不是线周期函数对于②f（+T）=log2（+T）≠f（）+T，故不是线周期函数对于③f（+T）=[+T]=+T=f（）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意∈R，g（+T）=g（）+T恒成立．∵G（）=g（）﹣，∴G（+T）=g（+T）﹣（+T）=g（）+T﹣（+T）=g（）﹣=G（）．∴G（）=g（）﹣为周期函数．（Ⅲ）∵φ（）=sin+为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意∈R，sin（+T）+（+T）=sin++T．∴sin（+T）+T=sin+T．令=0，得sinT+T=T；令=π，得﹣sinT+T=T；①②两式相加，得2T=2T．∵T≠0，∴=1检验：当=1时，φ（）=sin+．存在非零常数2π，对任意∈R，φ（+2π）=sin（+2π）++2π=sin++2π=φ（）+2π，∴φ（）=sin+为线周期函数．综上，=1．。
北京市海淀区高一上学期期末数学模拟试卷
高 一 数 学 试 卷（必修1、4）第Ⅰ卷（模块卷）一、 选择题（4＇×10＝40分）1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) (D 3．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C 上所有的点（ ） A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位C ．向左平行移动52π个单位D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ） A.1 B.1或4； C.4 D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 1[2D.] 8．如图，□ABCD 中，AD ＝a ，AB ＝b ，则下列结论中正确的是（ ）（A ）AB ＋BD ＝a －b （B ）BC ＋AC ＝b （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠=且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===则或 ③△ABC 中，若AB BC 0⋅>，则△ABC 是锐角三角形④△ABC 中，若AB BC 0⋅=，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ）(A )0(B ) 1(C ) 2(D ) 310．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)2,1(b ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．三、解答题16. 已知向量b a ,满足：||1,||2||7a b a b = =＝，－．（1）求|2|;a b －（2）若(2)a b ka b +⊥)（－，求实数k 的值． 17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α． 第II 卷（综合卷）一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
2017年北京市海淀高一上学期数学期末试卷
2017年北京市海淀高一上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则为A. B. C. D.2.A. B. C. D.3. 若幂函数的图象经过点，则在定义域内A. 为增函数B. 为减函数C. 有最小值D. 有最大值4. 下列函数为奇函数的是A. B. ，C. D.5. 在边长为的正三角形中，设，，则等于A. B. C. D.6. 函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象A. 每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B. 每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）7. 已知，若实数，，满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是A. B. C. D.8. 如图，以为直径在正方形内部作半圆，为半圆上与，不重合的一动点，下面关于的说法正确的是A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C. 有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知向量，写出一个与共线的非零向量的坐标．10. 已知角的终边过点，则．11. 向量，在边长为的正方形网格中的位置如图所示，则．12. 函数是区间上的增函数，则的取值范围是．13. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在年约为万吨，年的年增长率为．有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递业产生的包装垃圾超过万吨．（参考数据：，）14. 已知函数在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）．①函数在区间上是增函数；②满足条件的正整数的最大值为；③．三、解答题（共4小题；共52分）15. 已知向量，，．（1）若关于的方程有解，求实数的取值范围；（2）若且，求．16. 已知二次函数满足．（1）求，的值；（2）若函数是奇函数，当时，，（ⅰ）直接写出的单调递减区间：；（ⅱ）若，求的取值范围．17. 某同学用五点法画函数，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）求在区间上的最小值．18. 定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．（1）下列函数①；②；③（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：函数为周期函数；（3）若为线周期函数，求的值．答案第一部分1. C 【解析】易得，集合，，故．2. A3. C4. C5. A6. C7. B8. A第二部分9. 答案不唯一，纵坐标为横坐标倍即可，例如等10.11.12.13.14. ①②③第三部分15. （1）因为向量，，，所以．关于的方程有解，即关于的方程有解．因为，所以当时，方程有解．则实数的取值范围为．（2）因为，所以，即．当时，，．当时，，．16. （1）因为，，所以解得所以；．（2）（ⅰ）（ⅱ）由（Ⅰ）知，则当时，；当时，，则，因为是奇函数，所以．若，则或解得或．综上，的取值范围为．17. （1）．（2）令，．解得，．所以函数的单调递增区间为，．（3）因为，所以．当，即时，取得最小值．18. （1）③（2）因为为线周期函数，其线周期为，所以存在非零常数，对任意，恒成立．因为，所以．所以为周期函数．（3）因为为线周期函数，所以存在非零常数，对任意，．所以．令，得令，得两式相加，得．因为，所以．检验：当时，．存在非零常数，对任意，．所以为线周期函数．综上，．。
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海淀区高一年级第一学期期末练习
数 学
2017.01
学校 班级 姓名 成绩
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{0
7}U x x =危<Z ，{1,2,3}A =，{5,4,3,2,1}B =，则 U A B ð=
（ ） （A ） Æ （B ）{1,2,3} （C ）{1,2,3,4,5} （D ）{0,1,2,3,6}
（2）已知 1.23a =，01.2b =，0.9
1
()
3
c -=，则,,a b c 的大小关系是 （ ）
（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）a c b << （3）已知向量(,1),(4,)x x a b ==，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是 （ ） （A ） 2- （B ） 2 （C ） 0 （D ）
8
5
b 满足||2=a ，||
1=b ，且()3?=a a b ，则,<>=a b
（ ）
B ）75° （
C ）90°
（A ） （D ）
（6）如图所示，点C CD ，则AD =
（ ）
（A ）32AC AB - 3AB
（C ）4133AC AB - 23
AB -
（7）函数()sin 1f x x x =-在ππ
(,)22
-
上的零点个数为 （ ） （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
（8）已知动点111(,cos )P x x ，222(,cos )P x x ，O 为坐标原点，则当1211x x -≤≤≤时，下
列说法正确的是 （ ）
（A ）1OP 有最小值1 （B ）1OP 有最小值，且最小值小于1
（C ）12
0OP OP ?
恒成立 （D ）存在12,x x 使得12
2OP OP
?
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.
（9）如果1
cos 2
α=
，且α为第四象限角，那么tan α的值是 . （10）将函数sin 2y x =的图象向左平移π
(0)2
ϕϕ<<个单位，得到函数sin(21)y x =+的
图象，则ϕ的值是 .
（11）已知直角三角形ABC 的直角顶点(1,1)C ，点(2,3)A -，(0,)B y ，则y = . （12）已知π3
sin(
)25
α+=，则tan sin αα⋅= . （13）已知函数lg ,0
()10,0
x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩，则(100)f = ；1(())2
f f = .
（14）已知数集12={,,,}n X x x x （其中0,1,2,,i x i n >= ，3n ³），若对任意的k x X
∈（1,2,,k n = ），都存在,()i j i j x x X x x ∈≠，使得下列三组向量中恰有一组共线：①向量(,)i k x x 与向量(,)k j x x ； ②向量(,)i j x x 与向量(,)j k x x ；
③向量(,)k i x x 与向量(,)i j x x ，则称X 具有性质P . 例如{1,2,4}具有性质P . （ⅰ）若{1,3,}x 具有性质P ，则x 的取值为________；
（ⅱ）若数集12{1,3,,}x x 具有性质P ，则12x x +的最大值与最小值之积为_______.
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）
已知函数()π()sin 0,
f x x ωϕωϕ骣
÷
ç=+
><÷ç÷
ç
桫
的部分图象如图所示. （Ⅰ）写出函数)(x f （Ⅱ）求)(x f 的解析式.
(16) （本小题共12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，点M 是直线OP 上的一个动点.
（Ⅰ）求PB PA -
的值；
（Ⅱ）若四边形APBM 是平行四边形，求点M 的坐标；
（Ⅲ）求MA MB ×
的最小值.
(17) （本小题共10分）
已知函数2
()f x x bx c =++，且函数(1)f x +是偶函数. （Ⅰ）求实数b 的值；
（Ⅱ）若函数()()g x f x =（[1,2]x ∈-）的最小值为1，求函数()g x 的最大值.
(18)（本小题共12分）
已知定义在R 上的函数()f x 满足：
①对任意的实数,x y ，有(1)(1)()()f x y f x y f x f y ++=-+-； ②(1)2f =；
③()f x 在[0,1]上为增函数. （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值；
（Ⅱ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；
（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可。
若选择（ⅰ）问并正确解答，满分6分；选择（ⅱ）问并正确解答，满分4分）
（ⅰ）设,,a b c 为周长不超过2的三角形三边的长，求证：(),(),()f a f b f c 也是某个三角形三边的长；
（ⅱ）解不等式()1f x >.。