第一章行列式第二讲
线性代数课件第一章 行列式
an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持 其余数字的位置不动，则称对这个排列施 行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置 数字的对换称为相邻对换，否则称为一般 对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6
高等代数第一章行列式第二讲
（其中第一个行列式从最后一行起，每行减前一行，第二个行列式按 最后一列展开。）
练习
1、计算
1 2 3 n 2 1 2 n-1 3 2 1 n-2 4 3 2 n-3 n n 1 n 2 1
Dn
提示： Dn=(-1)n+1(n+1)2n-2 （从最后一 行起，每行减前 一行，然后在每列上加上 第一列）
1+a1x1 Dn 1+a1x 2
2+a 2 x1 1 a 2 x1 a1x1 2+a 2 x 2 1 a 2 x 2 a1x 2
2 (x1 x 2 )(2a1 a 2 ) 2
当n 1时，D1 1 a1x1
（6）变换元素法：将行列式的每个元素加同一个数.
令D= ij
1 1 =x （a1 -x）（a n -x）( + + x a1 -x + 1 ) a n -x
（7）加行加列法：在行列式中加一行一列后再计算。
4、计算 1 2 x1
n x1
1 2 x2 xn 2 1 x2 2 x2
n x2
1 2 xn xn n 1 xn 2 xn
n xn
1 x1 2 解：考虑D= x1
1 ) (x i x k ). x n 1 k i n 1 1 1 x n ( + + + ) (x i x k ) x x2 x n 1 k i n 1 + ) (x i x k ) x n 1 k i n +
（8） 拉普拉斯展开法（Laplace）：
利用Laplace公式：D=M1A1+M2A2+…+MtAt计算。
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数讲义(第一章)
an1 an2 ann
解 展开式的一般项为 (-1)t( j1 j2jn ) a1 j1 a2 j2 anjn .
不为零的项只有 (-1)t(12n) a11a22 ann.
a11 0
0
a21 a22 0 1 t12na11a22 ann
1
1
a2 a a 1
1
1
b2 b b 1
1
1
c2 c c 1
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1
1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
1
1 b2
1 b
1
1 c2
1 c
1
1 d2
1 d
0.
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 ， a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 . a12a21
（3）
由方程组的四个系数确定.
为便于记忆，引入记号
a D 11
a21
a 12
a a11 22 a a 12 21
三阶行列式的计算: 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
线性代数第一章行列式
04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。
线性代数 1-2 第1章2讲-行列式的基本概念(2)
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
01 n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数.
02 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积（称为一个乘积项）,这 n 个元素是
由行列式的不同行、不同列的元素构成的.
某一乘积项符号的确定：先把该项的 n个元素按行标排成标准顺序，然后由
03
列标所成排列的逆序数来决定这一项的符号.
当n 4k或n 4k 1时，n(n 1) 为偶数； 2
当n 4k 2或n 4k 3时，n(n 1) 为奇数. 2
6
n阶行列式
结论（3）
a11 a12 a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
上三角行列式 对角线下方的元素全为零
解
D 中可能不为 0 的项只有 (1)N a11a22 ann ，
此项的符号为 (1)N (1)0 1 ，
所以 D a11a22 ann .
7
n阶行列式
结论（4） 结论（5）
a11 a21 a22
a11a22 ann
an1 an2
ann
a2 ( n 1)
a1n
a2n
n ( n 1)
(1) 2 a a 1n 2(n1)
an1
a a n(n1)
nn
下三角行列式 对角线上方的元素全为零
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第二讲 行列式的基本概念(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 排列及其逆序数 02 二阶、三阶行列式
03 n阶行列式
n阶行列式
定义 用 n2个数aij i, j 1, 2, , n 排列成的一个 n 行 n 列的记号
线性代数第一章第二讲
D = ∑ (− 1) a p1 1a p2 2 ⋯a pnn
t
的逆序数. 其中 t 为行标排列 p1 p2 ⋯ pn的逆序数.
黑河学院计算机系线性代数
二、行列式的性质
记
a11 a12 ⋯ a1n a11 a21 a21 a22 ⋯ a2n a12 a22 T D= D = ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ an1 an2 ⋯ ann a1n a2n
四、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri + kr j 把行列式 计算行列式常用方法： 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值． 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
−1 2 −3 3 −7 例１ D = 2 0 4 1 3 4 −5 −4 7 10 −3 9 −2 − 14 − 10 1 ×3 −5 1 6 2
a11 ⋯ a1k ⋮ ⋮
0 b11 ⋯ b1n ⋮ ⋮ bn1 ⋯ bnn
黑河学院计算机系线性代数
2.对换与排列的奇偶性的关系 对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 定理1 一个排列中的任意两个元素对换， 改变奇偶性． 改变奇偶性． 对换的次数就是排列奇偶性的变化次数
思考： 思考： 奇排列调成标准排列的对换次数？ 奇排列调成标准排列的对换次数？ 偶排列调成标准排列的对换次数？ 偶排列调成标准排列的对换次数？
黑河学院计算机系线性代数
1 0 r5 − 2r3 −0 0 0 1 0 r5 + 4r4 −0 0 0
−1 −2 0 0 0 −1 −2 0 0 0
2 1 1 0 0 2 1 1 0 0
−3 −5 −1 −1 4 −3 −5 −1 −1 0
1 3 2 0 ×4 ⊕ −6 1 3 2 = −(− 2)(− 1)(− 6) = 12. 0 −6
线性代数 第一章 行列式 1.2
称为n 阶行列式它表示代数和
( 1) N ( j1 j 2 j n ) a1 j a 2 j a nj 1 2 n
其中和式中的排列 j1j2 jn要取遍所有n级排列
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2
二、n 阶行列式的定义
观察二阶行列式和三阶行列式
a11 a12 a11 a 22 a12 a 21 a 21 a 22
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
故有j3 且有i1时k5 或i5时k1
当i1 j3 k5时 (1)N(14325)N(52314)(1)9 1 所以 该项前应冠以负号 a15a42a33 a21ak4为|aij|的一项 当i5 j3 k1时 (1)N(54321)N(52314)(1)16 1 所以
1 1 2
j2
a i
n
jn
其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为 乘积项中的任意两个元素进行对换后 乘积项 的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化 所以对换前后行 标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变 因此
若 ai j ai
1 1 2
j2
a i
举例 对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 提问 排列21354与排列24351的奇偶性如何?
对换 在一个排列i1isitin中 将数码is与it对调 就得到另一 个排列i1itisin 这样的变换称为一个对换 记为对换(it is) 定理11 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变 证 (1)显然对换相邻的两个数码奇偶性改变 (2)设排列ik1k2ks j 经过对换(i j)变为jk1k2ksi 这个变换可以按如下方法完成 j与前面s1个数码逐个对 换 然后i与后面s个数码逐个对换 按上述方法 总共进行了2s1次相邻数码的对换 因为相 邻数码的对换的次数为奇数 所以最后得到的排列与原排列 的奇偶性不同
第一章行列式(1-2节)
a15 a25 a35 a45 a55
a21 a22 例:计算D = 0 0 0 0 0 0
17
a1 a2 例:计算D= b1 0 0 0 b2 0
a 3 a n1 an 0 0 0 0 0 0
bn1
3
例:求多项式 求多项式
5x 1 2 x D= 1 x
x 1 2 中x 3的系数 2 x 3 1 2 2x
D1 x1 = D
D2 x2 = D
D3 x3 = D
其中, 其中, D = b 1 2
b3 a11 D2 = a21 a31
a11 D3 = a21 a31
a12 a22 a32
b1 b2 b3
6
例:
2
0
1
1 4 1 8 3 1
= 2 × ( 4) × 3 + 0 × ( 1) × ( 1) + 1 × 1 × 8 1 × ( 4) × ( 1) 0 × 1 × 3 2 × ( 1) × 8 = 24 + 8 4 + 16 = 4
a13
寻找规律: 寻找规律: 规律 1. 三阶行列式是 3! 项的代数和. ! 项的代数和. 2. 每一项都是 取自不同行,不同列的 3 个 元素的乘积. 元素的乘积. 取自不同行,
其任一项可写成: 其任一项可写成:
a1 j a2 j a3 j
1 2
其中
3
j 1 j 2 j 3 是123的一个排列 的一个排列
0 0
a22
= a11a22 ann
15
an 2 ann
a11
(3)
D=
a22 ann
= a11a22 ann (显然) 显然)
a1n
01第一讲行列式(1-11)
第二篇线性代数目录第一讲行列式（1-11）第二讲矩阵及其运算（12-31）第三讲向量（32-51）第四讲线性方程组（52-75）第五讲矩阵对角化（76-99）第六讲二次型（100-118）第一讲行列式考纲要求1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.问题1.1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？答行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，这个数从不同的角度反映了方阵的性质. 行列式在线性代数中有广泛应用，请看下面的定理.定理1 设A为n阶方阵，则下列命题等价：⑴0A≠（A非奇异）；⑵A可逆；⑶存在方阵B，使得A B EB A E；=或者=⑷A可表示为有限个初等方阵的乘积；⑸()r n（A满秩）；A=⑹A的特征值全不为零；⑺A的行（列）向量组线性无关；⑻A x=0只有零解；⑼A x b=有惟一解；⑽TA A为正定矩阵.定理2设A为n阶方阵，则下列命题等价：A=（A奇异）；⑴0⑵A不可逆；⑶()r nA；<⑷0是A的一个特征值；⑸A的行（列）向量组线性相关；⑹A x=0有非零解；=有无穷多解或者无解.⑺A x b▲上述定理反映了行列式与矩阵的可逆性、矩阵的秩、矩阵的特征值、向量组的线性相关性、线性方程组之间的联系，随着复习的深入，要加深对定理的理解，理顺知识间的关系，打开解题思路.问题1.2 余子式、代数余子式答 划去n 阶行列式中元素ij a 所在的第i 行、第j 列留下的1n -阶行列式称为元素ija 的余子式，记作ij M ，并称(1)i jij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式. 由定义知，余子式ij M 和代数余子式ij A 与第i 行、第j 列的元素的取值无关.例题设4521011130112101--=D ，求41424344A A A A +++；41424344.M M M M +++解 （方法一）根据定义计算（略）.（方法二）41424344A A A A +++是将行列式第四行的元素全部改为1，然后按第四行展开的展开式，得414243441012101210111031103110111101110111111101--+++===-=-A A A A ， 类似可得414243444142434410121103511101111-+++=-+-+==---M M M M A A A A .问题1.3 行列式的性质 答 行列式的性质有⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来；⑷两行成比例，行列式为零；⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和；⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变.▲⑴由性质⑴知，行列式对行成立的性质，对列也成立. ⑵利用行列式的性质，可以简化行列式的计算.问题1.4 行列式按一行（列）展开公式 答 1122i i i i in in a A a A a A =+++A （按第i 行展开）1122j j j j nj nj a A a A a A =+++A （按第j 列展开）▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠ ；一列元素与另一列对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠ .问题1.5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷数学归纳法； ⑸公式法. ▲常用公式有：公式1 上（下）三角形行列式 112212************n nna a a a a a a a a ==.公式2 关于副对角线的上（下）三角形行列式 11(1)22212******(1)******n n n nna a a a a a a a a -==-.公式3 范德蒙德行列式 12111112111()n i j j i nn n n nx x x x x x x x ≤<≤---=-∏.▲计算行列式时，根据行列式的特点（例如行和相等、爪形、可化为爪形、三对角等），采用适当的变形方法，可以简化运算.常用变形方法⑴把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）；⑵把其余各行（列）的倍数加到某一行（列）； ⑶把上一行（列）的倍数加到下一行（列）.例题1.设方阵3221423kk -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且0λ-=A E ，求λ的值. 解 【求矩阵的特征值，关键是计算特征多项式λ-A E 】322122101423123k k k λλλλλλλλ-----=---=-------A E212201(1)(1)001k λλλλλ--=--=---=--，故1231,1λλλ==-=.2.求方程0347534453542333322212223212=---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 的根.解 【关键是计算左端四阶行列式】212321012221222322101333245353312244357434373x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx ------------=-------------210022100212155033121221764376x x x x x x x x x x xx ()-----===--+=---------，故0x =或者1x =.3.设63121024221421)(++--=x x xx x xx f ，证明0)(='x f 有小于1的正根.解 【用罗尔定理】f x ()是一个多项式，它在01[,]上可导，且01241224002012136f ()==，112411*********147f ()==，由罗尔定理知，0)(='x f 有小于1的正根.4.计算行列式1111111111111111--+---+---=x x x x D .解 【行和相等，首先将第2、3、4列加到第1列】12341111111111111111111111111111c c c c x xx x x x D x x x x x+++-----+--+-==----+----2131414334211111001111100(1)111110011111c c c c c c x x x x xx x x x x x +-⨯+---+-===⋅-=----.5.计算43211001001111a a a a D =，其中0432≠a a a .解 【爪形行列式，将第2、3、4列的适当倍数加到第1列，化为上三角行列式】112342233441111111111000001000001a a a a a a a D a a a a ---==2341234111a a a a a a a ()=---.6.计算43214321432143214321++++=a a a a a a a a a a a a a a a a D .解 【除对角元外，各行元素相同，只要将第2、3、4行减去第1行，就化为爪形】12341234123412341234112120031030414a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a +++-==+-+-32414!(1)234a a a a =++++.▲除对角元外，各行元素成比例的行列式，都可以化为爪形行列式.7.计算22221111000000c d a b d c b a D =.解 （方法一 多零，按第一行展开）111111111212222222220000000000000a b c d c d c d D a a b b b a d c d c d c ==+ 12121212121212121212()()()()a a c c d d b b c c d d a a b b c c d d =---=--.（方法二）23231111111111222222112222220000000000000000000c c r r a b a b a b cd c d b a D b a b a c d d c d c d c ↔↔==-=12121212()()a a b b c c d d =--.8.计算12564271625169454321111=D .解 【利用行列式的拆分性质和范德蒙德行列式】1111111101112345234503454916254916250916251627641258276412582764125D ==+32425243535484353544()()()()()()()()()=----------=-.9.计算abbb a b b b a D n=.解 （方法一）各行元素之和相等，各列加到第一列，再化为上三角形行列式：1111n a b b b b b a b a b D a n b bba ba[()]==+-1100110n bb a b a n b a n b a b a b[()][()]()--=+-=+---.（方法二）各行减去第一行，化为爪形行列式：n a b b b a b D bba =1010n a b b b a a b a n b a b b aa b[()]()---==+----.10.设()ij a =A 为n 阶矩阵，其中ij a i j =-，求A .解 从第n 行开始，依次用下面一行减去上面一行，再把第n 列加到前面各列，化为上三角行列式：01221012211013211111210431111123401111111231011111A ---------------==--------n n n n n n n n n n n n n n12112310222100221(1)(1)200021001---+---------==-----n n n n n n n n .11.abcdb a dc cd a b d c b a D ------=.解 【T DD 为对角行列式】T0000000000ab c d a b c d k b a d cba d c k D Dc d a b c d a b k dcba dcba k------==------，其中2222k a b c d =+++， 故222224()D a b c d =+++，又D 的展开式中4a 的系数为1，所以22222()D a b c d =+++.12.计算aa a a a a a a a D ---------=111100011000110001.解 【这是一个三对角行列式，可以用下面三种方法计算】（方法一）按第一行展开（这是计算三对角行列式的基本方法）5111243(1)(1)D D a A aA a D aD ==-+=-+一般地，有递推公式12(1)n n n D a D aD --=-+，11D a =-，221D a a =-+，23321(1)1D a D aD a a a =-+=-+-，234432(1)1D a D aD a a a a =-+=-+-+， 2345543(1)1D a D aD a a a a a =-+=-+-+-.（方法二）化为三角形行列式，为此，先将行列式拆分成两个行列式之和：510000001100010001100110001100110001100011aa a aa a a D D a a a a a a a a a a----==+------------1000000010010000100110000100110010011a a a a a a a a a a a a a--=+------2234543211(1)1(1)1aD a aD a a aD a a a a a =-=--=-+-=-+-+-.问题1.6 如何计算抽象行列式？答 计算抽象行列式，除了掌握行列式的性质，还必须熟记关于矩阵行列式的结论：⑴若A 为n 阶矩阵，则nk k=A A .⑵若A 为n 阶矩阵，则T =A A ，1*n -=A A .⑶若A 为n 阶可逆矩阵，则11--=A A.⑷若A ，B 为n 阶矩阵，则AB A B =⋅.⑸若A 为n 阶矩阵，(1,2,,)i i n λ= 是A 的特征值，则12A λλλ= n . ⑹设A ，B 分别为m 阶，n 阶矩阵，则==⋅A C A O A B OB CB，(1)m nC A O A A B BO BC ==-⋅.例题1.设123,,,,αααβγ都是4维列向量，且123,,,a αααβ=，321,,,b βγααα+=，1232,,,γααα= .解 【用拆分性质】123,,,a αααβ=，321321321,,,,,,,,,bβγαααβαααγααα+=+=321321,,,,,,b b a γαααβααα⇒=-=-，故1231232,,,2,,,2()a b γαααγααα==-.2.设123,,2ααα=，则112123,2,23αααααα+++= .解 【用倍加性质】1121231223,2,23,2,23αααααααααα+++=+123123,2,36,,12αααααα===.3.设123,,ααα都是3维列向量，记矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，如果1A =，那么B = .解 【用倍加性质】123123123,24,39B =++++++ααααααααα1232323123233,3,28,3,2ααααααααααααα=++++=+++12323312231232,3,2,,2,,2=+++=+==ααααααααααααα.4.设A 与B 均为n 阶矩阵，2,3==-A B ，则*12A B -= .解 2111*1*122223A BABA B -----===-n n nn.5.设A 为3阶方阵，且2A =，则1*(2)A A --= .解 1*1*1(2)2A A A A ---=-**112A A A=-2*3*333327()()44416A A A=-=-=-=-.6.设210120001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，则B = . 解 3=A ，**3===AA A A A E E ，用A 右乘**2ABA BA E =+，得36A B B A =+，(36)A E B A -=，36A E B A -=，030363002703A E --=-=-，故19B =.7.设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2A B A B -==+=，则1A B -+= .解 【用矩阵乘积的行列式】111()()---+=+=+=+B A B B A E B A A A B A A ，取行列式，得11--+=+B A B B A A ，将13,2,2A B A B -==+=代入上式，得13-+=A B .8.设A 为3阶方阵，且,2,2A E A E A E --+均不可逆，则A = .解 【用特征值】,2,2A E A E A E --+均不可逆⇒10,20,2802A E A E A E A E -=-=+=+=，11由特征方程0A E λ-=知，A 的特征值为11,2,2-，故112()12A =⨯⨯-=-.9.设4阶方阵A 与B 相似，A 的特征值为51,41,31,21，则1B E --= . 解 A 与B 相似⇒A 与B 有相同的特征值⇒B 的特征值为51,41,31,21⇒1B E --的特征值为1,2,3,4，故1123424B E --=⨯⨯⨯=. 10.设A 与B 相似，001020300B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A E -＝ . 解 （方法一）A 与B 相似⇒A 与B 有相同的特征值201020(2)(3)30B E λλλλλλ-⎛⎫⎪-=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭， B的特征值为故A的特征值为2,A E -的特征值为1,1故11)(1)2A E -=⨯⨯=-.（方法二）A 与B 相似，则A E -与B E -相似，故A E -101010231B E -=-==--. 11.设A ,B ,C 都是行列式为2的3阶方阵，求12()3OAB C--.解 【关于副对角线的分块下三角行列式】33131321127(1)()(1)22238()()333⨯---=--=--==O A A B AAB CBB.。
经济数学基础线性代数之第1章行列式
第一单元 行列式的定义一、学习目标通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．二、内容讲解行列式 行列式的概念什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。
即2153-称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用ija 表示第i 行第j 列的元素，如上例中的元素311=a ，512=a ，121-=a ，222=a ．再看一个算式075423011--称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素423=a ，531=a又如1321403011320---，是一个四阶行列式．而11a 的代数余子式为()07421111111--=-=+M A代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．()43011322332-=-=+M A问题思考：元素ija 的代数余子式ijA 是如何定义的？ 代数余子式ijA 由符号因子j i +-)1(与元素ij a 的余子式ij M 构成，即()ijji ijM A +-=1三、例题讲解例题1：计算三阶行列式542303241---=D分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．解：()()()5233145430112111---⋅-+--⋅=++D ()42031231--⋅++7212294121=⋅+⋅+⋅=四、课堂练习计算行列式hg f ed c b a D 00000004=利用n 阶行列式的定义选择答案．将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的两项不用写出来了．4D =⋅-⋅+11)1(a h f ed c 00+41)1(+-⋅b 000g f ed c ⋅五、课后作业1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式23A（1）210834021-- （2）3405122010141321---2．计算下列行列式（1）622141531-- （2）612053124200101---3．设00015413010212014=D（1）由定义计算4D ；（2）计算2424232322222121A a A a A a A a +++，即按第二行展开； （3）计算3434333332323131A a A a A a A a +++，即按第三行展开；（4）按第四行展开．1．（1）1021)1(32--+ （2）305120121)1(32---+2．（1）20 （2）243．（1）1 （2）1 （3）1 （4）1第二单元 行列式的性质一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．二、内容讲解 行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D 中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D 的转置行列式，记为TD ．如987654321=D ,963852741T =D1．行列式的行、列交换，其值不变．如264536543-==这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．2．行列式的两行交换，其值变号．如243656543-=-=3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如d c b a dc ba333=注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘． 4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上2113-- 5513-=注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换． 问题1：将n 阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关系？答案设n 阶行列式nD ，若将nD 的最后一行轮换到第一行，得另一个n 阶行列式nC ，那么这两个行列式的值的关系为： n C =n nD 1)1(--问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？ 答案按顺序将公因子提出.三、例题讲解例1计算行列式dc b a 675081004000--.分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．解：dc b a 675081004000--=dc b a 670800-=d c ab 60=abcdÀ+2Á我们将行列式中由左上角至右下角的对角线， 称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式． 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积． 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．例2 计算行列式4977864267984321----分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．解：4977864267984321----497700067984321----= 0例3 计算行列式2211132011342211----分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．解：2211132011342211---- 2411142010342011---Â+Ã111142010342011----=111134211)1(433-----⨯+1101312104----⨯=1121)1(412----⨯+12)21(4=---=通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．三、课堂练习练习1 若d a a a a a a a a a =333231232221131211，求行列式232221131211313231222333a a a a a a a a a ---利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．练习2 计算行列式540554129973219882310391----由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两À+Á项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．五、课后作业1．计算下列行列式（1）75701510--- （2）253132121-（3） ww w w ww22111 (0≠w ) （4）38790187424321--2．证明（1）0=---------cb b a ac b a a c c b a c c b b a （2）()32211122b a b b a a b ab a -=+1．（1）0 （2） -2 （3） 22)1(--w w （4）02. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．第三单元 行列式的计算一、学习目标通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．二、内容讲解行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开 下面用具体例子说明．d c b a =bc ad -1156)1(5232153=+=-⋅-⋅=-一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．75423011--可以按任何一行（列）展开按第一行展开=752300543107421-⨯+⨯+-⨯=02028+-=8 按第三列展开=231107511475230-⨯+--⨯--⨯=0)57(40++-⨯-=8注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．问题：试证 2222222211110000d c b a d c b a d c b a d c dc b a b a =答案左边=222211122222111100)1(00)1(d c b a b a bc d c b a d c d a ++-+-222211)1(d c b a ad +-=222211)1(d c b a cb +--22222222)(d c b a d c b a d c b a cb ad =-==右边三、例题讲解例 计算行列式214200131000211---分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．解：按第三行展开214200131000211---=214100211)1(2021315021)1(14313----⨯+----⨯++=1411)1()1(22121)1(33232--⨯-⨯----⨯++==10)41(2)22(3-=+--⨯-四、课堂练习练习1 计算行列式dcb a 100110011001---根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和．因为行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结果．dcb a 100110011001--- =dcd cb a 101011101101-----练习2 计算行列式24524288251631220223------为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2倍，即À+Á 2；第三行加上第二行的-2倍，即Â+Á(-2)；第四行加上第二行的-2倍，即Ã+Á(-2)”．该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算．注意尽量避免分数运算．21524288251631220223------111042011631212401----五、课后作业1．计算下列行列式：（1）881441221---- （2）4222232222222221À+Á2 Â+Á(-2（3） 4321651065311021 （4）00312007630050131135362432142．计算n阶行列式xaaa x a a a x/media_file/jjsx/4_1/3/khzy/khzy.htm - #1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-3402. ])1[()(1x a n a x n +---第四单元 克拉默法则一、学习目标克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．二、内容讲解克拉默法则设n 个未知数的线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）记行列式nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=称为方程组（1）的系数行列式．将D 中第j 列的元素njj j a ,,a ,a 21分别换成常数n b ,,b ,b 21而得到的行列式记作jD ．克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式0≠D ，那么它有惟一解D D x D Dx D D x n n ===,,,2211 （2）证将（2）式分别代入方程组（1）的第i 个方程的左端的nx x x ,,,21 中，有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211（3）将（3）中的jD 按第j 列展开， 再注意到j D中第j 列元素的代数余子式和D 中第j 列元素的代数余子式ij A是相同的， 因此有),,2,1(2211n j A b A b A b D njn j j j =+++= （4）把（4）代入（3），有D D a D Da D D a n in i i +++ 2211(){1121211111n n i i i A b A b A b A b a D+++=()222221212n n i i i A b A b A b A b a ++++…+…()}nn n in i n n in A b A b A b A b a ++++2211把小括弧打开重新组合得(){()()()}i nn in n i n i n in in i i i i i n in i i n in i i b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b A a A a A a b D=+++++++++++++++++=2211221122222112112211111因由性质6和性质7⎩⎨⎧=≠=+++k i D ki A a A a A a kn in k i k i 02211 故上式等于i b ，即i n in i i b D D a D Da D D a =+++ 2211下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设nn c x c x c x ===,,,2211为方程组（1）的任意一组解．于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111 （5）用j A 1，j A 2，…j n A 分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n 个等式，再把n 个等式两边相加，得++++11221111)(c A a A a A a nj n j j +++++j nj nj j j j j c A a A a A a )(2211n nj nn j n j n c A a A a A a )(2211++++ njn j j A b A b A b +++= 2211根据性质6和性质7，上式即为),,2,1(n j D c D j j ==因为0≠D ，所以),,2,1(n j DD c j j ==克拉默法则有以下两个推论：推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ， 那么 它只有零解．推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0=D ． 问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？答案 不对．当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．三、例题讲解例 利用克拉默法则解下列方程组⎩⎨⎧-=-=+-7526432121x x x x分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解． 解：因为系数行列式()()24535243⨯--⨯-=--=D 07815≠=-= 且257461-=--=D ，972632=--=D ，所以7211-==D D x ，7922==D D x四、课堂练习k 取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=++0211321321321x x x x kx x kx x x对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即Á+À；第三行加上第一行的-1倍，即Â+À(-1)”．这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D ≠0时，方程组有唯一解．所以，先求系数行列式的值．2111111--=kk Dkk k k --++2211011五、课后作业用克莱姆法则解下列方程组1.⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=-12 142 23232121x x x x x x x 2．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+-+=---=+++422222837432143214314321x x x x x x x x x x x x x x x 1．31=x ，42=x ，233-=x ，2. 21-=x ，3352=x ，2103=x ，204-=x。
线性代数-行列式(完整版)ppt课件
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得 上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0
线性代数考研第二讲
k
k A2
方阵的行列式
A1 O O A2 A1 A1
方阵的逆矩阵
A1 O O A11 A2
1
1 A2
第二讲 矩阵
分块矩阵
A O 例10 设 H C B
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
5. 矩阵的转置 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 的转置 1. 定义: A = … … … … am1 am2 … amn a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 a1n a2n … amn
AT =
…
…
…
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
1 0 1 例1 设 A 0 2 0 1 0 1
T
，求 An 2 An1 (n 2).
1 1 T T 例2 设 (1, 2, 3) , (1, , ) , A ，求A6. 2 3
1 1 1 例3 设 A 1 1 1 ，求A10. 1 1 1
… A1r +B1r … A2r +B2r . … … … Asr +Bsr
第二讲 矩阵
分块矩阵
分块数乘
A11 A21 设矩阵A = … As1
A12 … A1r A22 … A2r … … … , 为常数. As2 … Asr
则A =
A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
3. 矩阵的乘积 定义A = (aij)ms与B =(bij)sn的乘积是一个 mn矩阵C = (cij)mn , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = aikbkj.
线性代数第1章
a1n
a2n =
(−1) ( p1p2
a a pn ) 1 p1 2 p2
anpn ,
ann
其中 是对 1, 2, , n 这 n个数的所有 p1 p2 pn求和.
n 阶行列式的直观分解：
1.给一个数表;
2.给一个定义(这个定义特指(1) (−1) ( p1p2
a a pn ) 1 p1 2 p2
线性代数章节内容分布如下:
第二章 矩阵 （基 础）
（
基
第 一 章
本 工 具
每
行 列 式
章 都 有 应
用
）
第三章 向量组线性相关性 （难 点）
第四章 线性方程组 （重 点）
第五章 特征值与特征向量 (也称: 矩阵的对角化)
（重点 综合性强）
第六章 二次型 （重点 注意和特征值、特征向量的联系）
第一章 行列式 第一讲 全排列与逆序数
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
的项吗？
1234偶排列 1324奇排列
第四讲 行列式的等价定义
(1) ( p1p2LpiLp jLpn ) a1 p1 a2 p2 Laipi La jp j Lanpn.
第二讲 二阶行列式和三阶行列式
行列式最先由日本数学家关孝和和德国数学家莱布尼茨各自以 不同的方式独立提出,它的起源与线性方程组的求解息息相关.
关孝和
莱布Байду номын сангаас兹
例 用消元法求解二元线性方程组
aa2111xx11
+ +
a12 x2 a22 x2
= =
b1, b2 .
行列式课件
1 (l1l2 ln )
2 (s1 s2 L sn )
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项 (1) a1 p1 ...aipi ...a jp j ...anpn (1) 其中 1...i... j...n为自然排列， 为列下标排 列 p1... pi ... p j ... pn 的逆序数。对换 (1) 中元 素a ip i 与 a jp j 成： (1) a1 p1 ...a jp j ...aipi ...anpn 设新的行下标排列的逆序数为 r (2)
3) 次上三角行列式 a1,1 ... a1,n1 a1,n n ( n 1) a2,1 ... a2,n1 0 (1) 2 a1,n a2,n1...an ,n ... ... ... ... an ,1 0 0 0 4) 次下三角行列式 0 ... 0 a1,n n ( n 1) 0 ... a2,n1 a2,n (1) 2 a1,n a2,n1...an ,n ... ... ... ... an ,1 ... an ,n1 an ,n
三、对换与排列奇偶性的关系
1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余 元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。 将相邻两元素对换，称为相邻对换。
定理1:对换一个排列中的任意两个元素，排列
改变奇偶性。 证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步 来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。
a b 设a1...al abb1...bm a1...al bab1...bm
二、三阶行列式 第一节 全排列及其逆序数
一、二阶行列式与三阶行列式
a11 a12 a11a22 a12a21 a21 a22 a11 a12 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a21 a22 a23 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
行列式的定义课件
其中 aij 叫做二阶行列式的元素,元素aij的第一个
下标 i 称为行标，第二个下标 j 称为列标.a如12
表示这个元素位于（行列式的）第一行、第二列.
a11
a1221
a22
图 1.1
把a11到 a22的实线连接称为主对角线，a12 到a21虚线
连接称为次对角线(或副对角线). 二阶行列式的
0
an1,2 an1
四、小结
1、二阶和三阶行列式的计算方法 2、n阶行列式的定义 3、4种特殊的行列式
1. n2个数排成n行n列,两边加竖线就是一个n阶
行列式.共有 n!项, 每项都来自于不同行不同列
的几个元素的连乘积 a1 j1 a2 j2 ...anjn , 其中 j1 j2... jn
为列标的一个n阶排列.
2. 每项符号的确定:当列标 j1 j2... jn 为偶排列, 项取正号;当列标 j1 j2... jn 为奇排列, 该项取负号.
定义形式：
定义 2
D
(1) (i1i2...in ) a a i11 i2 2 ...ainn
i1i2 ...in
即把列标写成标准排列 i1i2...in 为行标的一个
n阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式.
定义 3
D (1) a a ...a (i1i2 ...in ) ( j1 j2 ... jn )
解 共有4!=24项. 乘积 a12a24a32a41 不是D中的一项，
因为其中有两个元素 a12 , a32 均取自第2列.
x1 1 2
例5 已知 D 1 x
32
1 x
1 1
，求
x3 的系数.
1 1 2x 1
解 由行列式的定义，展开式的一般项为
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解：将第n行n列元素0写为a n a n , 再分解行列得： 0 b1 Dn = b1 b1 b2 b2 b3 b3 0 b n-1 an an a2 0 a3 a3 a n-1 a n-1 an an b1 b1 b2 b2 b3 b3 0 0 b n-1 -a n 0 b1 a2 0 a3 a3 a n-1 a n-1 0 0
1 ) (x i x k ). x n 1 k i n 1 1 1 x n ( + + + ) (x i x k ) x x2 x n 1 k i n 1 + ) (x i x k ) x n 1 k i n +
（8） 拉普拉斯展开法（Laplace）：
利用Laplace公式：D=M1A1+M2A2+…+MtAt计算。
nn
, D1 = a ij x
nn
,
不难证明： D1 D+x Aij
i,j=1
n
例 ：计 算 a1 x x x a2 x x x x x x an
a1 x a2 x
Dn
解：从Dn的每个元素减去x得：D
0
an x
0
n i 1
于是： Dn （a1 -x）（a n -x）+x （a1 -x）（a i-1 -x（ ）a i+1 -x）（a n -x）
（其中第一个行列式从最后一行起，每行减前一行，第二个行列式按 最后一列展开。）
练习
1、计算
1 2 3 n 2 1 2 n-1 3 2 1 n-2 4 3 2 n-3 n n 1 n 2 1
Dn
提示： Dn=(-1)n+1(n+1)2n-2 （从最后一 行起，每行减前 一行，然后在每列上加上 第一列）
提示：D2n=(a2-b2)n（ 用Laplace展 开法， 按第一行和第2n行展开再递 推）
4、计算 1 3 x1
n x1
1 x3 2 xn 2
1 x3 n-1 xn n-1 x2 n-1 ( 1 ) (x i x k ) ) 1i j n-1 x x 1 k i n-1 i j
证：因 a ij x
nn
D x Aij , 取 x 1, 则
i, j1
右边每个行列式的第一行乘(1)加到其余各行得： a11 +1 a12 +1 a 21 a11 a 22 a12 Aij a 31 a11 a 32 a12 a n1 a11 a n2 a12 a1n +1 a11 a 2n a1n a 21 a11 a 3n a1n a nn a1n a n1 a11 a1n a 2n a1n a nn a1n
n 1 x1 n 1 x2
D=
1 1 1
y1 y2 yn
n 1 y1 n 1 y2
(x j x i )(y j yi )
1i j n
n 1 xn
n 1 yn
（9）乘法变换法：利用行列式的乘法规则。
例：计算 D= s0 s1 s1 s2 s n-1 sn s 2n-2
n x1
1 z n 2 z (x i x k ) (z x i )
1 k i n i 1
zn
令f(z)=D,则(-1)n+3 △ 是f(z)中z的系数，由等式右边知z的系数为:
(1) n 1 x1x 2
xn (
1 1 + + x1 x 2
故： (1) n 1 (1) n 3 x1x 2 x1 x 2 xn ( 1 1 + + x1 x 2
1 1 =x （a1 -x）（a n -x）( + + x a1 -x + 1 ) a n -x
（7）加行加列法：在行列式中加一行一列后再计算。
4、计算 1 2 x1
n x1
1 2 x2 xn 2 1 x2 2 x2
n x2
1 2 xn xn n 1 xn 2 xn
n xn
1 x1 2 解：考虑D= x1
2、计算
1 1 0 0 0 a1 1a1 1 0 0 0 a2 1a 2 0 0 0 0 a3 0 0 0 0 0 0 0 0
提示： Dn+1=1 (各行加到第一行)
Dn 1
1a n-1 a n 1 1a n
3、计算 a 0 D2n 0 b b 0 a 0 0 a 0 a 0 b b 0
k , 其中s k x1 k xn , k 0,1,……
s n-1 s n 解： n
x
i 1 n i
n
i
x
i 1 n i 1
n
n-1 i
D=
x
i 1
n
x
i 1
2 i
x x
i 1 n
n i
=
1 x1
n 1 x1
1 x2
1 xn 2
1 xn
1 1
x1 x2 xn
i, j1
A
n
ij
a ij 1
n n
a ij
D1
例：设a,b,1 , 2 求证：
, n是实数且a b,令f(x )=(1 -x )(2 -x ) (n -x ).
1
b b b
证明：
a2Leabharlann b ba an-1
b
a a bf(a )-af(b) a ba a
n 1 x1 1 xn 2
x
i 1 1i j n
n
n-1 i
x
i 1
n
n 1 xn 1
1 xn n
n i
2n-2 i
(x j x i ) 2
（10）综合法：各种方法的综合运用
例：计算 0 b1 Dn = b1 b1 b2 b2 b3 b3 0 b n-1 an 0 a2 0 a3 a3 a n-1 a n-1 an an
第二讲
（5）分解行列式法：若行列式某行(列)是两行的和，将行列式分 解为两个行列式相加。
例：计算 1+a1x1 1+a1x 2 1+a1x n 2+a 2 x1 2+a 2 x 2 2+a 2 x n n a n x1 n an x2 n an xn
Dn
解：将行列式Dn分解为若干个行列式的和，易见当n>2时，每个行列式 至少有两列成比例，故Dn=0.当n=2时直接计算得：
例：计算 1 0 1 D= 0 1 0 0 1 0 1 0 1 x1 0 x2 0 xn 0 0 y1 0 y2 0 yn
n 1 x1 0 1 xn 2 0
0 n 1 y1 0 1 yn 2 0 n 1 yn
1 xn n 0
解：按1，， 3 , 2n-1行展开得： 1 1 1 x1 x2 xn
2 2 (提示： x1 x2
5、 证明：D= a ij 的代数余子式之和为: n n 1 1 1 a 21 a11 a 22 a12 a 2n a1n D1 a 31 a11 a 32 a12 a 3n a1n a n1 a11 a n2 a12
n
a nn a1n
1+a1x1 Dn 1+a1x 2
2+a 2 x1 1 a 2 x1 a1x1 2+a 2 x 2 1 a 2 x 2 a1x 2
2 (x1 x 2 )(2a1 a 2 ) 2
当n 1时，D1 1 a1x1
（6）变换元素法：将行列式的每个元素加同一个数.
令D= a ij
n
a-x a-x a-x a-x a-x a-x n x
1 x
b-x 令 : (x) b-x b-x
a-x 2 x b-x b-x
n-1 x
b-x
把△(x)中的每行减去第一行，并按第一行展开得△(x)是x的一次多项
式且△(a)=f(a), △(b)=f(b),设△(x)=cx+d, c,d为实数，则
0 b1 = 0 0
a2 -a 2 0 0
a3 0 0 0
a n-1 0 -a n-1 b n-1
an 0
2n （-1） (a n )D n 1
0 0
n+1 =（-1） a n b1b 2 n+1 =（-1） a n b1b 2 n+1 =（-1） (a n b1b 2
b n-1 +(-a n )Dn 1 b n-1 +(-a n )[a n-1b1b 2 b n-1 a n a n-1b1b 2 b n-2 (-1) n a n-1Dn 2 ] b n-2 a n a n-1 a 2 b1 )
△(0)= △=d, △(a)= f(a)= ca+d， △(b)=f(b)=cb+d, a≠b
△= △(0)= d=
bf(a )-af(b) ba
例1.设 计算：|A|
为3阶实方阵，Aij是aij的代数余子式且a11≠0， Aij＝ aij
例2.设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵. 求证：
书上的题看P7 (8) (9) (10) P9起1.1 1.2 1.7 1.8 1.9