1、第一章 行列式(简化版)

τ ( i1i2 in ) ，或 N ( i1i2 in ) ．
注：自然排列的逆序数为零. 例如：排列“ 321 ”的逆序数为 3，即： τ ( 321) = 3 ． 3．排列逆序数的计算方法 假设在一个 n 级排列 i1i2 in 中， 比 it ( t = 1, 2, , n ) 大 （或小） 的且排在 it 前 （或后） 面的数共有 ti 个， 则与 it 构成逆序的个数为 ti ，故有: τ ( i1i2 in ) = t1 + t2 + + tn = 4．奇排列和偶排列 定义：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列． 例如，在所有三级排列中，奇排列和偶排列分别为：
，
ri ↔ rj ( ci ↔ c j )
则有： D ================== − D1 .
( 换法变换 )

符号说明： 换法变换——交换行列式中某两行（列）的元素． 记为： （列） 和第 j 行 （列） ri ↔ rj , ci ↔ c j 或 ri , rj , ci , c j 或 r ( i, j ) , c ( i, j ) ——交换行列式中第 i 行 的元素．
0, a11 x1 + a12 x2 = 0. a21 x1 + a22 x2 =
的系数行列式不等于零，则该方程组只有唯一零解．即： = x j 0= ( j 1, 2 ) ． 推论 2：如果含有两个未知量两个方程的齐次线性方程组
0, a11 x1 + a12 x2 = 0. a21 x1 + a22 x2 =
注：该性质表明，在行列式中，行元素与列元素具有同等的地位， 因此，凡是对行成立的性质，对列也同样成立．
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《线性代数讲稿》 Ⅱ．交换行列式中的两行（列）元素，则该行列式的值变号．
第一章
行列式
a11
即：设 D =
a21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
（ i 1, = = 2; j 1, 2 ）的第一个下标 i 称为行下标，表明该元素所在的行数； 其中元素 aij 第二个下标 j 称为列下标，表明该元素所在的列数．
注：①行列式中的元素可以是实数、复数、字母、函数等等． ②行列式通常用大写的英文字母 D 表示． ③行列式的符号可以简记为： aij . ④二阶行列式的运算法则称为对角线法则，即：
四阶
24 ( 4!)
4
………
………
………
的元素
n阶
n!
n
a11 a21 an1 =
i1i2 in j1 j2 jn
a12 a22 an 2

a1n a2 n ann ai1 j1 ai2 j2 ain jn
τ( ∑ ( −1)
i1i2 in ) +τ ( j1 j2 jn )
的系数， b1 , b2 称为常数项，利用消元法求解得： x1 =
b1a22 − b2 a12 b a −b a ， x1 = 2 11 1 21 ． a11a22 − a12 a21 a11a22 − a12 a21
，则有： x1 =
若记： D =
a11 a21
a12 a22 a11 a21
， D1 =
=
j1 j2 jn
τ( ∑ ( −1)
j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
=
i1i2 in
∑ ( −1)
τ ( i1i2 in )
ai11ai2 2 ain n
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《线性代数讲稿》
第一章
行列式
二、行列式的性质
定义：将 n 阶行列式 D 中第 i 行和第 i 列的元素交换位置（ i = 1, 2, n ） ，由此所得到的行列式， 称为原行列式 D 的转置行列式，记为: D 或 D′ ．
《线性代数讲稿》
第一章
行列式
第一章
行列式
内容提要
一、行列式的概念
（一）二阶和三阶行列式 （二） n 阶行列式
二、行列式的性质 三、行列式的计算
（一）将行列式化为三角形行列式来计算 （二）利用行列式的展开定理来计算
四、行列式的应用——求解方程组
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《线性代数讲稿》
第一章
行列式
一、行列式的概念
的系数行列式不等于零，即 : D =
a11 a21
a12 a22
= xj ≠ 0 ，则该方程组有唯一解：
Dj = ( j 1, 2 ) ． D
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用常数项代替后所得到的行列式． 推论 1：如果含有两个未知量两个方程的齐次线性方程组（常数项全为零的线性方程组）
的系数行列式等于零，则该方程组有非零解（实际上有无穷多解） ．
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《线性代数讲稿》 2．三阶行列式的概念 定义：由九个元素排成三行三列的一个算式，称为三阶行列式．
第一章
行列式
a11 记为： a21 a31 a11
即： a21
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 ，并规定其值等于 a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 ． a33 a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 ． a33
主对角线：从左上角到右下角的连线；副对角线：从右上角到左下角的连线． ⑤二阶行列式的值等于主对角线上的元素乘积与副对角线上的元素乘积之差． ⑥在二阶行列式的展开式中，一共有两项，且每一项都是两个元素乘积（实际上，每一项中的这两个 元素都是来自原行列式中不同行和不同列的两个元素） ，并且有一项是“+”的，有一项是“-”的．
a31
注：①三阶行列式的运算法则可以按照如下两种法则进行： Ⅰ．对角线法则
Ⅱ． 沙路法则
②在三阶行列式的展开式中，一共有六项，且每一项都是三个元素乘积（实际上，每一项中的这三个 元素都是来自原行列式中不同行和不同列的三个元素） ，并且有三项是“+”的，有三项是“-”的．

注意：对角线法则只适用于二阶和三阶行列式． 第 4 页 共 21 页
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《线性代数讲稿》 二阶行列式的应用——求解二元一次线性方程组 设有二元一次线性方程组：
第一章
行列式
b1 , a11 x1 + a12 x2 = ( a a − a a ≠ 0 ) ，其中 a11 , a12 , a21 , a22 称为未知量 b2 . 11 22 12 21 a21 x1 + a22 x2 =
n! 个． 2
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《线性代数讲稿》 5． n 阶行列式的概念
第一章
行列式
展开式中 行列式的 阶数 展开式中的 每一项的 项数 元素个数 二阶 2 ( 2!) 2
展开式中 展开式中每一项的 每一项的 符号 元素构成
三阶
6 ( 3!)
由每一项中所有元素所在 3 取自 不同行 不同列 的行下标和列下标所分别 作成的行排列和列排列的 逆序数之和的奇偶性来决 定，如果该和为奇（偶） 数，则此项取负（正）号
（一）二阶和三阶行列式 1．二阶行列式的概念 定义：由四个元素 a11 , a12 , a21 , a22 排成两行两列的一个算式，称为二阶行列式． 记为：
a11 a21
a12 a22
，并规定其值等于 a11a22 − a12 a21 ，即：
a11 a21
a12 = a11a22 − a12 a21 ． a22
T
1 2 3 1 4 7 T 例如：设 D = 4 5 6 ，则 D = 2 5 8 . 7 8 9 3 6 9 a11 即：若 D = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a11 T a23 ，则 D = a12 a33 a13 a21 a22 a23 a31 a32 . a33
注：①转置行列式可以看成是这样得到的——就是将原行列式中，关于主对角线对称的元素交换位置. ②原行列式 D 中位于第 i 行、第 j 列的元素 aij ，其在转置行列式 D 中的位置是第 j 行、第 i 列． 即：原行列式 D 中第 i 行、第 j 列的元素是 aij ，而转置行列式 D 中第 i 行、第 j 列的元素是 a ji . ③转置行列式与原行列式中主对角线上的元素相同.
∑t
i =1
n
i
.
τ (123) = 0 ， τ (132 ) = 1 ， τ ( 213) = 1 ， τ ( 231) = 2 ， τ ( 312 ) = 2 ， τ ( 321) = 3 ．
即有三个奇排列和三个偶排列，也就是奇排列和偶排列的个数相等. 定理：在一个 n 级排列Байду номын сангаас，奇排列与偶排列各占一半，即都有
的系数行列式等于零，则该方程组有非零解（实际上有无穷多解） ．
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《线性代数讲稿》 （二） n 阶行列式 1． n 级排列的概念
第一章
行列式
定义：由 n 个自然数 1, 2, , n 所组成的一个 n 元有序数组，称为一个 n 级排列（或 n 阶排列） ， 记为： i1i2 in ． 例如： “ 12345 ”和“ 54321 ”都是 5 级排列． “ 12321 ”不是 5 级排列． 注：①这里所说的 n 级排列不包括有重复数字出现的排列，例如： “ 56789 ” 不是 5 级排列． ②任意 n 个自然数所构成的排列不属于这里所说的 n 级排列，例如： ③所有 n 级排列的个数为 n ! 个. 2．排列的逆序和逆序数 定义： n 级排列“ 123 ( n − 1) n ”称为自然排列． 注：自然排列就是按照从小到大的顺序排列而成的排列． 定义：在一个 n 级排列 i1i2 in 中，如果有较大的数排在较小的数的前面（或如果有较小的数排在较大的数 的后面） ，则称这两个数构成该排列的一个逆序．在一个 n 级排列 i1i2 in 中，所有逆序的总数，称为该排 列的逆序数，记为:
T T

符号说明： 在线性代数中，对行元素所做的变换用小写的英文字母“ r ”表示，而对列元素所做的变换用小写的
英文字母“ c ”表示.
Ⅰ．行列式与它的转置行列式的值相等．
a11
即：设 D =
a21 an1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
ri ↔ ci ( i = 1, 2, , n ) T ，则有： D ==================== D .
《线性代数讲稿》 三阶行列式的应用——求解三元一次线性方程组
第一章
行列式
定理：如果三元一次线性方程组
b1 , a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b2 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = a x + a x + a x = 31 1 32 2 33 3 b3 . a11 的系数行列式不等于零，即 : D a21 = a31 a12 a22 a32 a13 Dj = xj = a23 ≠ 0 ，则该方程组有唯一解： ( j 1, 2,3) ． D a33
b1 b2
a12 a22
， D2 =
a11
b1
a21 b2
D1 D ， x1 = 2 ． D D
注：行列式 D =
a12 a22
称为二元一次线性方程组
b1 , a11 x1 + a12 x2 = 的系数行列式． b2 . a21 x1 + a22 x2 =
定理：如果二元一次线性方程组
b1 , a11 x1 + a12 x2 = b2 . a21 x1 + a22 x2 =
的系数行列式不等于零，则该方程组只有唯一零解．即： = x j 0= ( j 1, 2 ) ． 推论 2：如果含有三个未知量三个方程的齐次线性方程组
0, a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0, a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = a x + a x + a x = 31 1 32 2 33 3 0.
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用常数项代替后所得到的行列式． 推论 1：如果含有三个未知量三个方程的齐次线性方程组（常数项全为零的线性方程组）
0, a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = 0, a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = a x + a x + a x = 31 1 32 2 33 3 0.