第一章 习题讲解
第一章1.2节习题讲解
应的数分别是什么？
正 解
平均值为：(79.4+80.6+80.8+79.1+80+79.6+80.5)/7=80(m); 对应的数分别为：-0.6m，+0.6m，+0.8m，-0.9m，0m，-0.4m， +0.5m.
习题1.1
正数和负数
6.科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷.物理学规 定，原子核所带电荷为正电荷.氢原子中的原子核与电子各带1个电荷，把它 们所带电荷用正数和负数表示出来.
（2）水面低于标准水位0.1m记作-0.1m,高于标准水位0.23m记作
+0.23m(或0.23m).
习题1.1
么？
正数和负数
3. "不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数“的说法对吗？为什
正 解
不对！
不是正数的数可以是0，而0不是负数；不是负数的数可以是0，而0 不是正数.
注
0 既不是正数也不是负数
习题1.2
有理数
2.在数轴上表示下列各数：
-5，+3，-3.5，0，2/3，-2/3，0.75
正 解
习题1.2
有理数
3.在数轴上，点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长到达点B,则点B表
示的数是多少？
正 解
依题意如果从点A出发沿数轴向右移动4个单位长到达B点，则B点
表示的数是1；如果从点A出发沿数轴向左移动4个单位长到达B点， 则B点表示的数是-7.
正 解
氢原子中的原子核所带电荷可以用“+1”表示，氢原子中的电子所 带电荷可以用“-1”表示。
习题1.1
正数和负数
反应工程习题讲解(第一章)
EB ==== DMB 1+2x1-x2 x2
(3)
反应后的摩尔总量为：(6-x1)-x1+(1+2x1-x2)+x2 = 7与反 应前相同。
13
• 平衡常数表达式为：
1 2 x 1 x 2 16 .69 6x x 1 1
2
x2 3 .304 12x 1 x 2
• 可确定反应转化率
9
１-４反应进度法
• 烃类蒸汽裂解制乙烯装置中裂解气含有摩尔分数 为0．5％～2．5％的乙炔，乙炔在烯烃后加工特 别是烯烃聚合过程中是有害物质，需要除去，因 此乙炔分离是乙烯装置流程中重要的过程之一。 目前乙烯装置中脱除裂解气中的乙炔主要采用两 类工艺流程：萃取精馏和催化选择加氢转化。 • 假定进料中 C2H2(A) 为 1 mol, H2(B) 为 1.25 mol, C2H4(C)为176.3 mol.令C2H6为D，C12H18为E • 注意：这是分子数减少的反应
• 计算独立反应数 ＝ 3 • 由于液相产品分析未包含二甲苯，因此前三个方程设为独立反应 • 列出物料衡算式： 乙烯以1mol计，则苯为4.07mol – 反应（１）中乙烯的反应进度为 X1 mol – 反应（2）中乙烯的反应进度为 X2 mol – 反应（3）中苯的反应进度为 X3 mol
6
三个独立反应的物料衡算方程: B 4.07 - X1-X3 EB X1 - X2+2X3 DEB X2 –X3 + + + Et 1-X1-X2 Et 1-X1-X2 B 4.07-X1-X3 = = = EB X1 - X2 +2X3 DEB X2-X3 2EB X1-X2+ 2X3
-2 -1 0 0 2 -1 -3 2 2 0 0 -5 4 4 -2
第一章 习题讲解 PPT课件
2
3
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
5
10
15
20
25
[1sin( t)]sin(8 t)/
3
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-15
-10
-5
0
5
10
15
[1sin( t)]sin(8 t)/
3
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-15
-10
-505来自1015[11sin( t)]sin(8 t)/
f (t)
E
sin ( T
t)
(0 t T )
0
(其 他 )
即 f (t) E sin ( t)[u (t) u (t T )] T
113绘出下列各时间函数的波形图
(1)f1(t)sin(t)u(t);(2)f2(t)sin[(tt0)]u(t) (3)f3(t)sin[(t)]u(tt0);(4)f2(t)sin[(tt0)]u(tt0)
(t
-
t0 )u(t
t0 )dt； 2
(4)
(t
-
t0 )u(t
t0 )dt 2
(5) (et t) (t 2)dt； (6) (t sin t) (t )dt
-
-
6
(7)
e jt[ (t) (t
-
t0 )]dt
解 ： ( 1 )
f (t t0 ) (t ) d t
f (0 t0 )
人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1。
1。
1 集合的含义与表示¤知识要点：1。
把一些元素组成的总体叫作集合(set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种:列举法，即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“｛ ｝”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3。
通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to )，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈,2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数。
解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.(2）用描述法表示为:{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B 。
解：由3217k +=,解得5k Z =∈，所以17A ∈;由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉;由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈。
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； (2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3)反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合。
第一章《机械运动》 (习题讲解)
而不是
拓展：若物体在前一半路程的速度是v1，在后一半路程的速度是v2，则全
程的平均速度是v＝
若物体在前一半时间的速度是v1，在后一半
时间的速度是v2，则全程的平均速度是
3 ． (2018· 台 州 中 考 ) 某 同 学 乘 坐 高 铁 ， 看 到 车 厢 内 显 示 的 车 速 为 216
km/h。他估测车厢通过隧道用了10 s，则隧道长度约为( )
【解题技巧】
5．(2019·益阳中考)小汽车在平直公路上运动时的位移—时间图象如图 所示，则小汽车的运动情况是( ) A．在第一个10 s内以10 m/s做匀速运动 B．在第二个10 s内速度大小不变 C．在第三个10 s内前进了300 m D．在前30 s内的平均速度为15 m/s
6．(2019·湖州中考)甲、乙两物体运动时，路程与时间关系的st图象如
【思路点拨】 首先要对选项中涉及的几种物理量有初步的了解，对于选 项中的单位，可根据需要进行相应的换算或转换，排除与生活实际相差较 远的选项，找出符合生活实际的答案。
估测题的常用方法 (1)直接判断法：利用记住的与自身或生活实际密切联系的物理量的值， 直接确定答案。 (2)单位换算法：把不熟悉的单位换算成熟悉的能感知大小的单位，使答 案一目了然。 (3)比较法：利用自己熟悉的物理量作为标准，估测出不熟悉的物理量， 从而得出结论。 (4)估算法：利用能够估测的物理量选择相关公式估算出另外的物理量。
第一章《机械运动》
（第2课时：习题讲解）
考点一 刻度尺的使用及读数 [6年0考]
例1 (2019·江西中考)如图所示，为了让读数更精确，应选择_____刻度 尺，所测物块的长度为_______cm。
【思路点拨】 刻度尺的读数要领： 【自主解答】 乙 2.80
第一章习题讲解热工基础
2019/5/16
4
例2： 判断下列过程是否可逆过程，并简要说明理由：①对刚性容 器内的水加热，使其在恒温下蒸发；②对刚性容器内的水做功，使其在 恒温下蒸发； ③对刚性容器内的空气缓慢加热，使其从50℃升温到 75℃；④100 ℃的蒸汽流与25 ℃的水流绝热混合；⑤一定质量的空气在 无摩擦、不导热的气缸中被活塞缓慢压缩。
（4）高温的蒸汽流与低温的水流绝热混合，显然二者之间存在“温 差传热”这一不可逆因素，是不可逆过程。
（5）缓慢压缩意味着外压与气体压力时刻保持相等，是可逆过程。
2019/5/16
5
例3：①试说明可逆过程与准静态过程的区别与联系。 ②系统经历了不可逆过程后，能否恢复到初始状态？
2019/5/16
6
例3：①试说明可逆过程与准静态过程的区别与联系。 ②系统经历了不可逆过程后，能否恢复到初始状态？ 答：（1）两者均要求由一系列连续的瞬时平衡状态组成， 都可以通过状态参数坐标图上的线函数表示；准静态过程只 要求系统内部的状态变化要时刻保持平衡状态，不涉及系统 外部的变化；可逆过程则不仅要求系统内部的变化必须是可 逆的，还要求系统与外界发生作用时也是可逆的，即系统内 部和外部必须都是可逆的。可逆过程必须是准静态过程，而 准静态过程不一定是可逆过程。 （2）能。只是必须在环境留下痕迹。
2019/5/16
7
例4：①状态参数具有什么特征？②系统的状态变了， 是状态参数具有什么特征？②系统的状态变了， 是否所有状态参数都必须改变？
答：（1）状态参数的特征是：状态一定，状态参数的 数值也随之确定；当系统的状态发生变化时，状态参数的 变化量仅与初始、终了状态有关，而与变化所经历的途径 无关；系统经循环过程复原时，状态参数的变化量为零。
高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合与函数基础知识点整理 第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉； 由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合. 解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：⑴方程有等根且不是 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．，而另一解不是x 代入得a =1x =⑶方程有一解为：将x =a =1x =，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.A BBA AB A BA ．B ．C ．D ． 第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}；∅ {0}； N {0}. 解：（1）， ；（2）=， ∈， ，. 【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）. 解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的B （读作“B （读作“解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C AB x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ； （2）()A A B C ð.解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C BC =------.∴ ()A A C BC {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C AB ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}AB =，则(){1,2,3,4,6,7,9}UC A B =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C AB =，()()()U U U C A C B C A B =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C AB = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，求实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9AB =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , AB .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}AB =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值． 解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-. (i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B =由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U AC B .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f(x )=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞，∴ f .又 ∵，∴ f3-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. 【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12bx x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244acb a -；当0a <时，函数取最大值244acba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数2y x =+.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 22y =+，函数的最小值为2.点评：形如y ax b =+±的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.t ，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-.所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系. ¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性： （1）31()f x x x=-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x=-.解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有 3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵ ()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =， 所以()f x 的图象在R 上递减.∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-， ∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减． 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ）5．下列表述正确的是 （ ）MNAMNNMMNA.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ⊇B C.A ∪B D.A ⊆B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ）A.（a+b ）∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－59.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ） A. 8 B . 7 C. 6 D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）A. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U 11.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．x y =B ．x y =C ．2x y = D ．13+=x y12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上) 13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．19. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.必修1 第一章 集合测试集合测试参考答案：一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB 二、13 ［0，43］，（－∞，－43） 14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；}10|{)(<<=⋂x x N C M U ；13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x .三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）．所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19. ．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称， ∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. ．。
材料力学全部习题解答
弹性模量
b
E 2 2 0 M P a 2 2 0 1 0 9P a 2 2 0 G P a 0 .1 0 0 0
s
屈服极限 s 240MPa
强度极限 b 445MPa
伸长率 ll010000m ax2800
由于 280;故0该50 材0料属于塑性材料;
13
解：1由图得
弹性模量 E0 3.550110063700GPa
A x l10.938m m
节点A铅直位移
A ytan 4 l150co sl4 2503.589m m
23
解：1 建立平衡方程 由平衡方程
MB 0 FN1aFN22aF2a
FN 2 FN1
得： FN12F1N22F
l1
l2
2.建立补充方程
3 强度计算 联立方程1和方
程（2）;得
从变形图中可以看出;变形几何关
l
l0
断面收缩率
AAA110000d22d22d2121000065.1900
由于 2故.4 属6 % 于 塑5 性% 材料;
15
解：杆件上的正应力为
F A
4F D2 -d2
材料的许用应力为
要求
s
ns
由此得
D 4Fns d2 19.87mm
s
取杆的外径为
D19.87m m
16
FN1 FN 2
Iz= I（ za） I（ zR ） =1 a2 4
2R4 a4 R 4 =
64 12 4
27
Z
解 a沿截面顶端建立坐标轴z;，y轴不变; 图示截面对z，轴的形心及惯性矩为
0 .1
0 .5
y d A 0 .3 5 y d y2 0 .0 5 y d y
精选高一数学必修一第一章知识点与习题讲解.docx
必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标 ：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征 .¤知识要点 ：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ } ”括起来，基本形式为 { a 1, a 2 , a 3 , ,a n } ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集 . 描述法， 即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为 { xA | P( x)} ，既要关注代表元素 x ，也要把握其属性 P(x) ，适用于无限集 .3. 通常用大写拉丁字母A, B, C,表示集合 .要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集N * 或N ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R .4. 元素与集合之间的关系是属于 （ belong to ）与不属于 （ not belong to ），分别用符号 、 表示，例如 3N ，2 N .¤例题精讲 ：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（ 1）由方程 x(x 2 2 x 3) 0 的所有实数根组成的集合；（ 2）大于 2 且小于 7 的整数 .解：（ 1）用描述法表示为： { x R | x( x 22x 3) 0} ；用列举法表示为 {0, 1,3} .（2）用描述法表示为：{ x Z | 2 x 7} ；用列举法表示为 {3,4,5,6} .【例 2】用适当的符号填空：已知A{ x | x 3k2,k Z } ， B{ x | x 6m1, m Z} ，则有：17A ；－ 5A ；17B.解：由 3k 2 17，解得 k5 Z ，所以 17A ；由 3k27Z ，所以5 A ；5，解得 k3由 6m 1 17 ，解得 m 3 Z ，所以 17 B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合： （教材 P 6 练习题 2，13P A 组题 4）（1）一次函数 y x 3 与 y 2x 6 的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 y x 2 4 的函数值组成的集合；（3）反比例函数y 2的自变量的值组成的集合 .xy x 3} {(1,4)} .解：（ 1） {( x, y) |2 xy6（2） { y | y x 2 4} { y | y 4} .（3） { x | y2} { x | x 0} .x{1,4} ，也注意对比 （ 2）点评 ：以上代表元素， 分别是点、 函数值、 自变量 . 在解题中不能把点的坐标混淆为与（ 3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.* 【例 4】已知集合 A{ a | x a 1有唯一实数解 } ，试用列举法表示集合A ．22x解：化方程x a为： x 2x ( a 2)0 ．应分以下三种情况：21x2⑴方程有等根且不是2 ：由 △ =0，得 a9，此时的解为 x1，合．42⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合．⑶方程有一解为2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解为 x2 1 ，合． 综上可知， A { 9 2, 2} ．,4. 注意分式方程易造成增根的现象.点评 ：运用分类讨论思想方法， 研究出根的情况， 从而列举法表示第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标 ：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达集合间的关系 .¤知识要点 ：1. 一般地，对于两个集合 A 、B ，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素， 则说两个集合有 包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 BA ），读作“ A 含于B ”（或 “B 包含 A ”） . 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ AB ），且集合 B 是集合 A 的子集（ B A ），即集合 A 与集合 B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作 AB .3. 如果集合 A B ，但存在元素 xB ，且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper subset ），记作 AB（或 BA ） .4. 不含任何元素的集合叫作空集（ empty set ），记作 ，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ， BC ，则 AC ；若 A BA ，则 AB ；若 A B A ，则 B A .¤例题精讲 ：【例 1】用适当的符号填空：（1） { 菱形 } { 平行四边形 } ；{ 等腰三角形 }{ 等边三角形 }.（2）{ xR | 22 0；} 0{0} ；{0} ；N{0}.x解：（ 1） ， ； （2） =， ∈， ， .【例 2】设集合A{ x | xn, n Z} , B{ x | x n 1 , n Z } ，则下列图形能表示 A 与 B 关系的是（）.22A BB AAB ABA ．B ．3 C ． 1 3D ．1 1 3解：简单列举两个集合的一些元素，A {, 1, 1 } ， B{ ,32 ,0, ,1, ,, ,,, } ，易知 BA ，故答案选 A ．2 2 222 2 2另解 ：由B2n 1Z } ，易知 BA ，故答案选 A ．{ x | x2,n【例 3】若集合 M x | x 2x 6 0 , Nx | ax 1 0 ，且 NM ，求实数 a 的值 .解：由 x 2 x 6 0x2或3 ，因此， M2, 3 .（ i ）若 a0 时，得 N，此时， NM ；（ ii ）若 a 0 时，得 N{ 1 } . 若 N M ,满足12或13 ，解得 a1或 a1 . 或1a 1aa23故所求实数 a 的值为 0 或 .23” ，因为 A点评 ：在考察“ A B ”这一关系时，不要忘记“ 时存在 A B . 从而需要分情况讨论 .题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A={ a,a+b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2}. 若 A=B ，求实数 x 的值 .a b ax22解：若2b ax 2a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1) =0，即 a=0 或 x=1.a 当 a=0 时，集合 B 中的元素均为0，故舍去；2当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去 .若ab ax 2 2ax 2 -ax-a=0.a 2b ax因为 a ≠ 0，所以 2x 2-x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0.又 x ≠ 1，所以只有 x1 . 12.经检验，此时 A= B 成立 . 综上所述 x2. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.点评 ：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论第 3 讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标 ：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 .¤知识要点 ：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到 掌握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下 .并集 交集 补集由所有属于集合 A 或属于集 由属于集合 A 且属于集合 B 对于集合 A,由全集 U 中不属于概念合 B 的元素所组成的集合， 的元素所组成的集合，称为 集合 A 的所有元素组成的集称 为 集 合 A 与 B 的 并 集 集 合 A 与 B 的 交 集 合，称为集合A 相对于全集 U（ union set ）（ intersection set ）的补集（ complementary set ）记号 A B （读作“ A 并 B ”） AB （读作“ A 交 B ”） e U A （读作“ A 的补集”）符号A B { x | x A,或 x B}A B { x | x A, 且 x B}e U A { x | x , 且x }U A图形U表示A¤例题精讲 ：【例 1】设集合 U R, A { x | 1x 5}, B{ x | 3 x 9}, 求 AB,e U ( AB) .解：在数轴上表示出集合 A 、 B ，如右图所示：BA B { x | 3 x 5} ， AC U ( A B ) { x | x 1,或 x9} ，-1 35 9x【例 2】设 A { x Z | | x | 6} ， B 1,2,3 , C 3,4,5,6 ，求：（1） A (B C ) ； （ 2） A e A ( B C ) .解：A6,5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .（1）又 B C 3 ，∴ A (B C) 3 ；（2）又BC1,2,3,4,5,6，得 C A ( B C ) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .∴ A C A (B C )6, 5, 4,3, 2, 1,0 .【例 3】已知集合 A { x | 2 x 4} ， B { x | x m} ，且 A BA ，求实数 m 的取值范围 .解：由 AB A ，可得 AB .在数轴上表示集合 A 与集合 B ，如右图所示：BA由图形可知， m 4 .-2 4 mx 点评 ：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得 到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题 .【例 4】已知全集 U{ x | x 10,且 x N * } ， A {2,4,5,8} ， B{1,3,5,8} ，求 C U (AB) ， C U ( A B) ，(C U A) (C U B) ， (C U A) (C U B) ，并比较它们的关系 .解：由 A B { 1,2,3,4,5,8}，则 C U ( A B){6,7,9} .由 A B {5,8}，则 C U ( A B){1,2,3,4,6,7,9}由 C U A{1,3,6,7,9} ， C U B{2,4,6,7,9}，则 (C U A)(C U B){6,7,9}，(C U A)(C U B){1,2,3,4,6,7,9} .由计算结果可以知道，(C U)()(A B) ，A C U B C U(C U A)(C U B)C U ( A B) .另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 Venn 图研究( C U A)(C U B)C U (A B) 与 (C U A)(C U B) C U ( A B) ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第 4 讲§1.1.3集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法 .¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：C U ( A B) (C U A)( C U B), C U (A B)(C U A)(C U B).2.集合元素个数公式：n( A B)n( A) n( B) n( A B) .3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例 1】设集合A4,2a 1,a2, B9,a5,1 a，若 A B 9 ，求实数 a 的值.解：由于 A4,2a1,a2 , B9,a5,1 a ，且 A B9，则有：当 2 a 1＝9时，解得a＝5，此时A={ － 4, 9, 25} ， B={9, 0, －4}，不合题意，故舍去；当a 2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .a＝3时，A={ －4,5,9} ，B={9, －2,－2} ，不合题意，故舍去；a＝－ 3， A={ －4, －7，9} ， B={9, －8, 4} ，合题意.所以， a＝－3 .【例 2】设集合 A { x | ( x 3)( x a) 0,a R} ， B{ x | ( x 4)( x 1) 0} ，求 A B , A B .（教材P14B 组题 2）解： B {1,4} .当 a 3 时，A{3} ，则 A B{1,3,4} ， A B；当 a1时，A{1,3} ，则 A B{1,3,4} ， A B{1} ；当 a 4 时，A{3,4} ，则 A B{1,3,4} ， A B{4} ；当 a 3 且 a 1且 a 4 时，A{3, a} ，则 A B{1,3,4, a} ， A B.点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例 3】设集合 A ={x | x2 4 x0 }，B ={ x | x22( a1)x a210 ，a R}，若A B=B，求实数 a 的值．解：先化简集合A= {4,0} .由A B=B，则 B A，可知集合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .(i )若 B=，则4(a1)24( a 21)0 ，解得 a ＜ 1 ；(ii )若0 B ，代入得a2 1 =0 a =1或 a =1，当 a =1时，B= A，符合题意；当 a =1时， B={0}A，也符合题意．(iii )若－ 4 B，代入得a 270 a =7或 a =1，8a当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得， a =1或 a ≤1．4点评 ：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用 . 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题 .【 例 4 】 对 集 合 A 与 B ， 若 定 义 A B{ x | x A,且 x B} ， 当 集 合 A { x | x 8,x N * } ， 集 合B { x | x(x 2)( x 5)( x 6) 0} 时，有 A B = . （由教材 P 12 补集定义“集合A 相对于全集 U 的补集为 C U A { x | x , } ”而拓展）且x A解：根据题意可知， A {1,2,3,4,5,6,7,8} ， B {0,2,5,6}由定义 A B { x| x A, 且 x B} ，则A B{1,3,4,7,8} .点评 ：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素 . 如果再给定全集U ，则 A B 也相当于 A (C U B) .第 5 讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标 ：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识要点 ：1. 设 A 、 B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应， 那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 （ function ），记作 y = f ( x) ， xA ．其中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域（ range ）.2. 设 a 、 b 是两个实数，且 a< b ，则： { x|a ≤ x ≤ b} ＝ [a,b] 叫闭区间； { x|a< x<b} ＝ (a,b) 叫开区间；{ x|a ≤ x< b} ＝ [ a,b) ， { x|a<x ≤ b} ＝ (a,b] ，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无穷大” ；“－∞”读“负无穷大” ；“ + ∞”读“正无穷大” . 则{ x | x a} (a, ) ， { x | x a} [a, ) ， { x | x b}( ,b) ， { x | x b}( , b] ， R( , ) .3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则 .当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲 ：【例 1】求下列函数的定义域：（ 1） y1x 3.2；（ 2） y1x1 3x2解：（ 1）由 x 2 1 0 ，解得 x 1且 x 3 ，所以原函数定义域为 (, 3)( 3, 1) ( 1,) .x 3 0，解得 x 3 且 x 9 ，（2）由3x 1 2 0所以原函数定义域为 [3,9)(9,) .【例 2】求下列函数的定义域与值域：（ 1） y3x 2； （ 2） yx 2x 2 .5 4 x解：（ 1）要使函数有意义，则 5 4x 0 ，解得 x 55 . 所以原函数的定义域是{ x | x} .4 43x 2 1 12x 8 1 3(4 x 5) 23 3 23 y5 4 x4 5 4 x5 4x 4 5 4x 4（2） yx2x2( x 1 ) 2 9 . 所以原函数的定义域是2 4 【例 3】已知函数1 x x .求：（ 1） f (2) 的值； （ 2） f ( )1 x 解：（ 1）由1x2 ，解得 x1，所以 f (2)1 .1 x333 3，所以值域为 { y | y3 04 } .44R ，值域是 ( , 9 ] .4f (x) 的表达式（2）设1x t ，解得 x1 t ，所以 f (t ) 1 t，即f ( x)1 x .1x1 t 1t1 x点评 ：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数f ( x)x 22 , x R .1 x（1）求 f (x)f ( 1f (2)f (3)f (4) f (1 1 1) .) 的值；（ 2）计算： f (1)) f ( )f ( x12342221 x2x11解：（ 1）由 f ( x)xx1.f ( )1 x2121 212x11xxxx2（2）原式 f (1) ( f (2)f ( 1)) ( f (3) f (1))( f (4) f ( 1)) 137234 2 2点评 ：对规律的发现，能使我们实施巧算 . 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键 .第 6 讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标 ：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念 .¤知识要点 ：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势） ；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值） .2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的 x ，对应法则不同） .3. 一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（ mapping ）．记作“ f : A B ” .判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f.¤例题精讲 ：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以 x 为自变量的函数式是 _____，这个函数的 定义域为 _______ ．解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a －2x) 2.又由 a －2xa0 ，解得 x .2a} .所以，体积 V 以 x 为自变量的函数式是V x(a －2x)2 ，定义域为 { x | 0 x2332x( , 1 )【例 2】已知 f (x)=x2 xx 3 x 3，求 f[ f(0)] 的值 .x ( 1 ,)解：∵ 0 (,1) ，∴ f(0)= 32 .又 ∵ 3 2 >1，∴ f( 32 )=(32)3+( 3 2 )-3=2+1 = 5，即 f[ f(0)]= 5.【例 3】画出下列函数的图象： 2 22（1） y | x2 | ； （教材 P 26 练习题 3）（2） y | x 1| | 2x 4 | .解：（ 1）由绝对值的概念，有y | xx 2, x 2 2 |x, x.22所以，函数 y | x 2 | 的图象如右图所示 .63x 3, x 1（2）y | x 1| | 2x 4 |x 5, 2 x 1 ，3x 3, x2所以，函数y | x1|| 2 x 4 | 的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例 4】函数 f ( x)[ x] 的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4，[2.1] 2 ，当 x( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的解析式，并作出函数的图象.3, 2.5x22,2x11,1x 0解： f ( x)0,0x1. 函数图象如右：1, 1x22,2x33,x3点评：解题关键是理解符号m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲§1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 仿照增函数的定义可定义减函数 .2.如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f (x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x)的单调区间 . 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2） . 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、 x 2∈给定区间，且x 1 < x 2；→计算 f (x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x)2 x在区间（ 0， 1）上的单调性 . x 1解：任取 x , x∈ (0,1) ，且x x. 则f (x1 ) f ( x2 )2x12x21212x1 1x2 1由于 0 x1x2 1 ， x110 ， x2 1 0 ， x2 x10 ，故 f ( x1 )所以，函数 f ( x) 2 x在（ 0，1）上是减函数 .x 1【例 2】求二次函数 f ( x) ax2bx c (a0) 的单调区间及单调性解：设任意 x1 , x2R ，且 x1x2.则2( x2x1 ).(x1 1)(x2 1)f (x2 )0 ，即 f (x1 ) f ( x2 ) . .f ( x1 ) f (x2 )(ax12c)(ax22bx2c)2x22x2 )(x1x2 )[ a (x1 x2 )b] .bx1a( x1) b(x1若 a0 ，当x1x2b时，有 x1x20 ， x1x2b，即 a(x1x2 )b0 ，从而 f ( x1 ) f (x2 ) 0 ，2a a即 f ( x ) f ( x ) ，所以 f (x) 在( ,b]上单调递增 . 同理可得f ( x) 在[b)上单调递减 .122a【例 3】求下列函数的单调区间：2a （1）y | x 1|| 2x 4 | ；（2） y x2 2 | x | 3 .3x3,x1解：（ 1）y | x1|| 2 x4|x 5,2x 1 ，其图象如右.3x3, x2由图可知，函数在[2, ) 上是增函数，在(,2] 上是减函数.2，其图象如右 .（2） yx 2 2 | x |3x 2x 3, xx 22x 3, x 0由图可知，函数在 (, 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1,) 上是减函数 .点评 ：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到f (| x |) 的图象 . 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x)3x 1，指出 f (x) 的单调区间 .x 2解：∵f ( x) 3( x 2) 5 3 5 ，x 2 x 2∴ 把g (x)5的图象沿 x 轴方向向左平移2 个单位，再沿 y 轴向上平移3 个单位，x得到 f ( x) 的图象，如图所示 .由图象得f ( x) 在 ( , 2) 单调递增，在 ( 2, ) 上单调递增 .点评 ：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 f (x a) b 平移变换规律 .第 8 讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标 ：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 能利用单调性求函数的最大（小）值 .¤知识要点 ：1. 定义最大值：设函数y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：对于任意的x ∈ I ，都有 f ( x) ≤ M ；存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f ( x) 的最大值（ Maximum Value ） . 仿照最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value）的定义 .b )22. 配方法：研究二次函数y ax 2bx c (a0) 的最大（小）值，先配方成y a (x24ac b 后，b 24ac b 22a4a当 a0 时，函数取最小值为 4ac ；当 a0 时，函数取最大值 .4a4a3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲 ：【例 1】求函数 y26的最大值 .xx 1解：配方为 y 6，由 ( x1 )2 33 ，得 06 8 .13 1( x 22 44( x23)4)422所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为 多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润 .解：设他将售出价定为 x 元，则提高了 ( x 10) 元，减少了 10 (x 10) 件，所赚得的利润为y (x 8) [100 10 ( x10)] .即 y 10x 2 280x 1600 10( x 14)2 360 . 当 x 14时， y max 360 .所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每天所赚得的利润最大 , 最大利润为 360 元 .【例 3】求函数 y2 xx 1 的最小值 .解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1时， y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为 2.8点评 ：形如 y ax bcxd 的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究 .【另解】令 x 1t ，则 t 0 ， xt 2 1 ，所以 y 2t 2 t22(t 1 )2 15 ，在 t0 时是增函数，当 t 0 时， y min2 ，故函数的最小值为4 82.【例 4】求下列函数的最大值和最小值：2[ 5 , 3] ； （ 2） y | x 1| | x 2 | .（ 1）y 3 2x x , x2 2 解：（ 1）二次函数 y 32x x 2的对称轴为 xb，即 x1 .2a画出函数的图象，由图可知，当x1时， y max 4 ； 当 x3时， y min9 .24所以函数 y2x [5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为9 .3 2x x ,2 2 4（ 2） y | x 1| | x 2 |3 ( x 2) 2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知， y[ 3,3] . 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3.点评 ：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲§1.3.2 函数的奇偶性. 理解奇函数、¤学习目标 ：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点 ：1. 定义：一般地，对于函数f (x) 定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，那么函数 f (x) 叫偶函数（ evenfunction ）. 如果对于函数定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x)f ( x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称 .3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别f ( x) 与 f ( x) 的关系 .¤例题精讲 ：【例 1】判别下列函数的奇偶性：（1） f (x) x 3 1 ； （ 2） f ( x) | x 1| | x 1| ；（ 3） f ( x) x 2x 3 .x { x | x0} ，对于定义域的每一个解：（ 1）原函数定义域为 x ，都有f ( x)( x) 31 (x 31 ) f (x) ， 所以为奇函数 .xx（2）原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x) | x 1 | | x 1 | x| 1 |x | 1f ，|x 所以为偶函数 .（3）由于 f ( x)x 2x 3f (x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数， g ( x) 是偶函数，且 f ( x) g( x)1 ，求 f (x) 、 g( x) .解：∵ f (x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，x1∴ f ( x)f ( x) ，g ( x)g ( x) .f (x)g ( x)1f (x)g ( x)1x 11则，即x .11f ( x)g( x)f ( x)g( x)x 1x 1两式相减，解得f ( x)x；两式相加，解得g (x)1x2.1x2 1【例 3】已知 f ( x)是偶函数，x 0时， f ( x) 2 x2 4 x，求x0 时f ( x)的解析式.解：作出函数 y 2 x24x2( x1)22, x0 的图象，其顶点为(1,2) .∵ f ( x) 是偶函数，∴其图象关于y轴对称.作出 x0 时的图象，其顶点为( 1,2) ，且与右侧形状一致，∴ x 0 时， f ( x)2( x 1)22 2 x24x .点评：此题中的函数实质就是y 2 x2 4 | x | .注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当x0 时，x0 ，又由于 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f ( x) ，所以，当 x0 时， f ( x) f ( x)2(x)24( x) 2 x24x.【例4】设函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，且在区间(, 0) 上是减函数，实数 a 满足不等式f (3a2a3) f (3a 22a ) ，求实数a的取值范围.解：∵ f (x) 在区间 (,0) 上是减函数，∴ f (x) 的图象在y轴左侧递减.又∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减 .又 f (0) f (0) ，解得 f (0)0，所以 f (x) 的图象在R上递减.∵ f (3a2a3) f (3a 22a)，∴ 3a 2a33a 22a ，解得a1.点评：定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y＝＝x2－ 6x＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（）A ．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．选递增再递减．x y22．方程组{ x y0的解构成的集合是（）A ．{( 1,1)}B ．{1,1}C．（ 1，1） D ．{1}3．已知集合 A={ a， b， c}, 下列可以作为集合 A 的子集的是（）A. aB. { a， c}C. { a， e}D.{ a， b， c， d}4．下列图形中，表示M N 的是（）M NN M M N MNA B C D5．下列表述正确的是（）A.{ 0}B.{0}C.{ 0}D.{ 0}6、设集合 A＝ {x|x参加自由泳的运动员} ， B＝{x|x参加蛙泳的运动员} ，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()A.A ∩BB.A BC.A ∪ BD.A B7. 集合A={x x 2k, k Z } ,B={ x x 2k 1,k Z },C={ x x4k 1, k Z }又a A, b B, 则有（）10A. （ a+b）AB. (a+b)BC.(a+b)CD. (a+b) A 、 B、 C 任一个8．函数f（x）＝－x2＋ 2（a－ 1）x＋ 2 在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（）a a a aA ．≥ 5B ．≥ 3C．≤ 3D．≤－ 59.满足条件 {1,2,3}M {1,2,3,4,5,6} 的集合 M 的个数是（）A. 8 B .7 C. 6 D.510.全集 U = {1，2，3，4 ，5 ，6，7 ，8 }， A= {3，4，5 }， B= {1，3，6 }，那么集合 { 2 ，7，8}是（）A. A BB. A BC.C U A C U BD. C U A C U B11.下列函数中为偶函数的是（）A ．y xB ．y x C．y x2D．y x3112. 如果集合 A={ x|ax 2＋ 2x ＋ 1=0}中只有一个元素，则 a 的值是（）A ．0B ．0 或 1C． 1D．不能确定二、填空题 (共 4小题，每题x4 分，把答案填在题中横线上)f x）＝2×2－ 3｜｜的单调减区间是 ___________．13．函数（14．函数y1的单调区间为 ___________．＝x＋1{ a,b,1} ，又可表示成 { a 2 , a15.含有三个实数的集合既可表示成b,0} ，则 a2003b2004.a16. 已知集合U{ x |3x 3}， M{ x | 1x 1}， C U N{ x | 0x2} 那么集合N， M (C U N )， M N.三、解答题 (共 4 小题，共44 分）17. 已知集合 A { x x240} ，集合 B{ x ax20} ，若B A ，求实数a的取值集合．18.设 f（ x）是定义在R上的增函数， f（xy）＝ f（ x）＋ f（ y），f（3）＝1，求解不等式 f（ x）＋ f（ x－2）＞ 1．19. 已知函数 f （ x）是奇函数，且当x＞0时， f （x）＝ x3＋2x2—1，求 f （ x）在R上的表达式．20. 已知二次函数 f (x)x 22(m 1)x2m m 2 的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数 f ( x) 的单调递增区间 .必修 1 第一章集合测试集合测试参考答案：一、 1~5 CABCB6~10ABACC11~12cB二、 13［0， 3］，（－∞，－ 3）4414 （－∞，－ 1 ），（－ 1，＋∞）15-116 N{ x |3 x 0 或 2 x3} ；M(C U N ) { x | 0 x 1} ；MN { x | 3 x 1或 2 x 3} .三、 17 .{0.-1,1} ；18.解： 由条件可得 f xf xf x xf（3）．（）＋ （ － 2）＝ ［ （ － 2）］， 1＝所以 f x xf（ 3），又f xx xx＞ 3［ （ － 2）］＞ （ ）是定义在 R 上的增函数，所以有（ － 2）＞ 3，可解得12或 x＜－1．答案： x＞3或 x＜－1．19.．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （）＝x3＋ 2 2－ 1．因f（）为奇函数，∴f（ 0）＝ -1 ．x x x当x＜0时，－ x＞0， f （－ x）＝（－ x）3＋2（－ x）2－1＝－ x3＋2x2－1，∴ f （ x）＝ x3－2x2＋1．20.二次函数 f ( x)x22( m1) x 2m m 2的图象关于y 轴对称，∴ m1，则 f ( x)x21，函数 f ( x) 的单调递增区间为,0 .．。
人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解
人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解一、实数的分布1.有理数和无理数有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和循环小数。
无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比。
2.实数的分布实数是由有理数和无理数组成的。
实数可以表示在数轴上，有理数处于数轴上的有序点上，而无理数则处于数轴上的间断点上。
二、数列1.数列的定义数列由按照一定规律排列的数所组成，数列中的每一个数称为数列的项，其中第n个数称为第n项，用an表示。
2.数列的性质-数列可以是有限的或无限的；-数列可以是等差数列、等比数列或其他类型的数列；-数列的前n项和是指数列的前n项的和，用Sn表示。
三、逻辑与命题1.命题的定义命题是陈述一个明确的陈述句，可以判断真假的句子。
2.逻辑的基本运算-否定：命题p的否定是“非p”，用¬p表示；-合取：命题p和命题q的合取是“p并且q”，用p∧q表示；-析取：命题p和命题q的析取是“p或者q”，用p∨q表示；-排列：命题p和命题q的排列是“若p，则q”，用p→q表示。
四、命题间的逻辑关系1.充分条件和必要条件-充分条件：若命题p→q成立，则p是q的充分条件；-必要条件：若命题p→q成立，则q是p的必要条件。
2.等价命题等价命题是指两个命题具有相同的真值，可以通过推理得到。
-等价式：若命题p等价于命题q，则称p和q是等价命题，并用p↔q 表示；-基本等价式：德摩根定律、蕴含等价式等。
练习题1.将下列数分为有理数和无理数：-1，1.5，√2，0.25，π答案：有理数：-1，1.5，0.25；无理数：√2，π2.判断以下数列是否为等差数列，并求出它的公差：-3，6，9，12，15-1，4，9，16-4，1，-2，-5，-8答案：-是等差数列，公差为3；-不是等差数列；-是等差数列，公差为-33.判断以下命题是否为真命题：-如果数是2的整数倍，那么它一定是偶数；-闰年是指能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除的年份；-如果a=b，那么a+c=b+c。
中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第1章课后习题详解
中国⼈民⼤学出版社（第四版）⾼等数学⼀第1章课后习题详解第⼀章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：思路：常见的表达式有① a log □,（□0>）② /N □, （□0≠）③(0)≥④ arcsin[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122-∈≤≤-≠≥-≠?--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-?≤-≤-?-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3?∞-∈??≠≤≠≥-?+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3?-∞-∈-<<-<--x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221?∈-<-≠-（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作⽤法则）及定义域D （作⽤范围），当两个函数作⽤法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作⽤法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同⼀函数；12+=x y ，以x 为⾃变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为⾃变量，显然定义域也为实数R ；两者作⽤法则相同“2□1+”与⾃变量⽤何记号表⽰⽆关，故两者为同⼀函数；★ 3．设≥<=3,03,sin )(ππ?x x x x ，求)2()4()4()6(--?ππ?π，，，，并做出函数)(x y ?=的图形思路：注意⾃变量的不同范围；解：216sin)6(==ππ?，224sin 4==??ππ?，224sin 4=-=? -ππ?()02=-?；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：（1）xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
第一章 习题详解.doc
第一章习题Al.设A、B、C为二事件，用A、B、C及其运算关系表示下列事件.(DA发生而B与C不发生；(2)A、B、C中恰好发生一个；(3)A、B、C中至少有一个发生；(4)A、B、C中恰好有两个发生；(5) A、B、C中至少有两个发生；(6)A、B、C中有不多于一个事件发生.解：(1) ABC 或A?B ?C 或A?(B UC) ；(2) ABC U ABC U ABC ；(3) A UB UC 或ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4)ABC U ABC U ABC. (5) ABU AC U BC 或ABC U ABC U ABC UABC ；(6) ABC U ABC U ABC U ABC . 2.桓簸究占淑腥簸镜悖?其对应的概率分别为2p,p2,4p?l,求p的值.解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2p + p2 + 4p?l = l.解之得pl = ?3 + ll,p2 = ?3?ll , 又因为一个事件的概率总是大于0,应以p = ?3+ 11 . 3.已知P( A) =0.3, P( B)=0.5, P(A U B) =0.8,求(l)P(AB) ；(2) P( A ? B) ；1(3) P ( AB ),解：⑴由P(A U B) = P( A) + P( B) ? P( AB)得P ( AB) = P( A) + P( B) ? P( A UB) = 03 + 0.5 ? 0.8 = 0 . (2) P ( A ? B) = P( A) ? P( AB) = 0.3 ? 0 = 0.3 . (3) P ( AB ) = 1 ? P ( AB ) = 1 ? P ( A U B ) = 1 ? 0.8 = 0.2. 4.设P ( AB)=P( AB ),旦P ( A) = p ,求P(B ). I?：由P ( AB) = P ( AB ) = 1 ? P ( AB ) = 1 ? P (A U B) = 1 ? P( A) ? P( B) + P( AB)得P ( A) + P( B) = 1 ,从而P( B) = 1 ?p. 5.设3 个事件A、B、, P(A) = 0.4 , P( B) = 0.5 , P(C ) = 0.6 , P( AC )= 0.2 , C P( BC ) = 0.4 ft AB = O ,求P (A U B U C).解：P( A U B U C ) = P( A) + P ( B ) + P(C ) ? P( AB) ?P( AC ) ? P( BC ) + P( ABC ) = 0.4 + 0.5 + 0.6 ? 0 ? 0.2 ? 0.4 + 0 = 0.9. 6.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.解：依题意可知，基本事件总数为43个.以Ai, i= 1, 2,3表示事件“杯子中球的最大个数为i”，则A1表示每个杯子最多3放一个球，共有A4种方法，故P( A1 ) = 3 A4 6 = . 43 16 A2表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3 1 1个杯子中，放法总数为C32C4C3种，故2P ( A2 ) = 1 1 C32C4C3 9 = . 43 16 1 A3表示3个球放入同一个杯子中，共有C4种放法，故P( A3 ) = 1 C4 1 = . 43 16 7.在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：从0至9中任取4个数进行排列共有10x9x8x7种排法.其中有(4x9x8x7 —4x8x7+9x8x7)种能成4位偶数.故所求概率？= 4x9x8x774x8x7 + 9x8x7 41. = 10x9x8x7 90 8.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边; (2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第二卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以p = 2x4!/5!=2/5.(2) 可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下二卷可在中间二人上位置上任意排，所以p = 2x3 !/5 != 1/10. (3) p = P ｛第一卷出现在旁边｝+P｛第五卷出现旁边｝-P｛第一卷及第五卷出2 2 17现在旁边)= + ? = . 5 5 10 10 (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以P = 1 ?7 / 10 = 3/10.(5)第二卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以P=lx4!/5 !=1/5. 9.把2, 3, 4, 5诸数各写在一张小纸片上，任取其二而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下四个数2 3字中选排，所以P =2 x A4 / A5 = 2 / 5 . 10. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层3都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9 7 .事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含A97个样本点，于是A97 P( A) = 7.9 11.两艘轮船都要停靠同一个泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达.设两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.解：分别用x, y表示第一、二艘船到达泊位的时间.一艘船到达泊位时必须等待当旦仅当OMx? y M 2,0 M y ? x M 1 .因此所求概率为1 1 24 2 ? x 23 2 ? x 22 2 2 2 P ( A) = ~ 0.121 . 24 2 12. 10个考签中有4个难签，3个人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后.证明3人抽到难签的概率相同.证明：设甲、乙、丙分别抽到难签的事件为A,B,C ,贝U，显然P(A)= 4.10 P(B)。
高一数学必修一 第一章 知识点与习题讲解
精心整理必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲§1.1.1集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，基本形式为{*N 或N +N ，2-解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．x =a =1x =-⑶方程有一解为x =代入得a =1x =+，合． 综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.包含包含A 的元，记作B A =，则A B A =，则¤例题精讲：1】用适当的符号填空：）{菱形}{平行四边形等腰三角形}{等边三角形，；，∈，，. （）. 两A =易知B ≠A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =.若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅”，因为A =∅时存在A B ⊆.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}.若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0,所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去. 若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0,即(x -1)(2x +1)=0.又x ≠1，所以只有1x =-. A B （读作“A B （读作“,()U B AB ð.{|3A B x =()U A B =【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ；（2）()A A B C ð.解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C BC =------.∴()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.A-13 5 9 x解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C AB ，()UC AB ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}AB =，则(){1,2,3,4,6,7,9}UC AB =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，()U C B =由计算结果可以知道，()()U U C B C AB =，()()U U C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C AB =与()()()U U U C A C B C AB =，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.4讲§1.1.3集合的基本运算（二）：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中)()()U U U C B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2.集合元素个数公式：()()()()n ABn A n B n A B =+-.3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维¤例题精讲：}{}21,,9,5,1a B a a -=--，若{}9A B =，求实数{}9B =，则有：={9, 0, 4}－，不合题意，故舍去；不合题意，故舍去；P 14B组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}AB =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}AB a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论.罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}，B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若AB =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-.由AB =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之集合B =,UC x A ∉且：根据题意可知，{|B x x -={1,3,4,7,8}=()U C B .进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，了解构成函数的要素，B y =). 3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-；（2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠.所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+.所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+.求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式素（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －. 又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x)=33x x-+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵0(,1)∈-∞，∴f(0)=，∴f3-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. 【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|x x y x -≥⎧=-=⎨.区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasingfunction ）.仿照增函数的定义可定义减函数.2.如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2)→判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <.则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <.则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.b b0<，即(f得到f ¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1.定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x =M .那么，称M 是函数()y f x =的最大值（MaximumValue ）.仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumValue ）的定义.2.配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224(24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值. 解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高解10(10)x -件，所赚得的利润为8)[10010(10)]x --.即2280160010(x +-=-时，max 360y =所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为】求函数21y x x =+-的最小值解在t ≥（解（作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-.所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.第9讲§1.3.2函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1.定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（evenfunction ）.如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（oddfunction ）.2.具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-；（2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()(()f x x x f x x x-=--=--=--，所以为奇函数..2(3f a 又∵()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减. 又(0)(0)f f -=-，解得(0)0f =，所以()f x 的图象在R 上递减. ∵22(33)(32)f a a f a a +-<-， ∴223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减．2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是（）,B ∈A B B A B C A C U U D.B C A C U U11.下列函数中为偶函数的是（）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y12.如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17.已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18.19.x ）在R 20.}；）］，1＝f 所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19.．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1． 当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称， ∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. ．。
人教版七年级上册数学第一章有理数 正数和负数 习题讲解
题型
3
正、负数在表示高度中的应用
15．格格家住在黄河边的某市，黄河大堤高出此市市区 20 m，市内一铁塔高58 m，是此市的一大景观． 如图，格格和好朋友 明明、玲玲出去玩，
格格站在黄河大堤上，
玲玲站在地面放风筝，顽皮的明明则爬上了铁塔顶(三人 均用点表示)． 格格说：“以黄河大堤为基准，记为0 m，则玲玲所在 的位置高为－20 m，明明所在的位置高为＋58 m．” 明明说：“以铁塔顶为基准，记为0 m，则玲玲所在的 位置高为－58 m，格格所在的位置高为－38 m．”
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10．(中考•成都)《九章算术》中注有“今两算得失相反， 要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反， 则分别叫做正数与负数．若气温为零上10 ℃记作＋ 10 ℃，则－3 ℃表示气温为( B ) A．零上3 ℃ B．零下3 ℃
C．零上7 ℃
D．零下7 ℃
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11．(中考•仙桃)如果向北走6步记作＋6步，那么向南走8 步记作( B ) A．＋8步 C．＋14步 B．－8步 D．－2步
价格上
涨/% －5.9 15.8 4
(1) 哪些种类的实际价格上涨了？哪些种类的实际价 格下降了？ (2) 哪一个价格上涨幅度最大？哪一个价格下降幅度 最大？
(1)从表中可知，蔬菜、食用油、能源、房地产的 解： 实际价格都上涨了，而猪肉、家用电器和汽车 的实际价格都下降了.
(2)蔬菜的价格上涨幅度最大，汽车的价格下降幅
第一章 有理数
1.1 正数和负数
1
2 6 10
3 7 11 15
4 8 12 16
5
9 13
14
知识点
1
正数与负数
0 的数叫做正数；正数是通过与____ 0 比较大 1．大于______
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题1-5-3图
第六讲
习题讲解
1-6-4 求题1-6-4图所示电路(a)、(b)的等效电阻。
题1-6-4图
第六讲
习题讲解
1-6 在题1-6图所示电路中，已知Us1=30 V，Us2=6 V，Us3=12 V，R1=2.5 Ω，R2=2 Ω，R3=0.5 Ω，R4=7 Ω，电流参考方向 如图中所标，以 n 点为参考点，求各点电位和电压 UAB 、 UBC、UDA。
第六讲
习题讲解
1-18 在题1-18图所示电路中，假定支路电流和电流 源电压参考方向如图中所示，列写节点 B 、 C 、 D 的电
流方程和回路ABCDA、ABFCDA、BCDEB的电压方程。
题1-18图
第六讲
习题讲解
1-21 计算题1-21图所示各电路的等效电阻RAB。
题1-21图
第六讲
题1-6图
第六讲
习题讲解
1-10 已知题1-10图所示电路中U=28 V，求电阻R。
题1-10图
第六讲
习题讲解
1-17 在题1-17图所示电路中，假定支路电流参考方 向和电流源电压参考方向如图中所示，列写节点A、B、
C的电流方程和回路ABCDA、BFCB、ADEA的电压方程。
题1-17图
第六讲
习题讲解
1- 2- 2 题1- 2- 2图所示的各元件均为负载(消耗电能)，其电压、 电流的参考方向如图中所示。已知各元件端电压的绝对值为5 V，通过的电流绝对值为4 A。要求： (1) 若电压参考方向与真实方向相同，判断电流的正负; (2) 若电流的参考方向与真实方向相同，判断电压的正负。
习题讲解
1-28 计算题1-28图所示电路的开路电压Uoc。
题1-28图
第六讲
习题讲解
1-29 计算题1-29图所示电路的电流i。
题1-29图
第六讲
习题讲解
1-30 计算题1-30图所示电路的等效电阻RAB。
题1-30图
第六讲
习题讲解
习题讲解
1-25 用电源等效变换的方法计算题 1-25 图所示电 路中R3上流过的电流。
题1-25图
第六讲
习题讲解
1-26 将题 1-26 图所示各电路分别等效成最简形式 的电压源和电流源模形。
题1-26图ຫໍສະໝຸດ 第六讲习题讲解1-27 计算题1-27图所示电路的电流i1。
题1-27图
第六讲
题1-2-2图
第六讲
习题讲解
1-2-4 题1-2-4图示电路，要求： (1) 取vG=0，求各点电位和电压UAF、UCE、UBE、UBF、UCA；
题1-2-4图
第六讲
习题讲解
1-5-3 在题1-5-3图所示电路中，要求： (1)已知i1 = 2 A，i2 = 1 A，求i6。 (2)已知u1 = 1V， u2 = 3 V， u3 = 8 V， u5 = 7 V，求u4和u6。 (3)求各元件上的功率，判别哪几个元件消耗电能，哪几个元 件产生电能，并用电阻和电源符号画出该电路模型。