2022年河北省衡水中学高考数学模拟试卷及答案解析

2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（﹣∞，3）D ．（0，2）2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．√104B ．√53C ．√64D ．√1534．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →=4FQ →，则|QF |＝（ ） A ．72B ．3C ．52D ．25．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为圆C 的直径，则PA →•PB →的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．726．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．10300B ．10400C ．10500D ．106007．（5分）已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f（32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ →•AB →=AQ →•FB →，且BQ →=3FQ →，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．√5−1C ．√5D ．2+√53二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

（多选）9．（5分）设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝S 18，则下列各式的值为0的是（ ） A ．a 17B ．S 35C ．a 17﹣a 19D ．S 19﹣S 16（多选）10．（5分）函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位长度，得到一个奇函数的图象B ．f （x ）的图象的一条对称轴可能为直线x =−π6C ．f （x ）在区间[17π6，23π6]上单调递增 D ．f （x ）的图象关于点（4π3，0）对称（多选）11．（5分）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．将离心率为黄金比√5−12的倒数，即e 0=√5+12的双曲线称为黄金双曲线，若a ，b ，c 分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，下列说法正确的有（ ） A ．当焦点在x 轴时，其标准方程为x 2a 2−2√5+12a =1 B ．若双曲线的弦EF 的中点为M ，则k EF •k OM ＝﹣e 0C ．a ，b ，c 成等比数列D ．双曲线的右顶点A （a ，0），上顶点B （0，b ）和左焦点F （﹣c ，0）构成的△ABF 是直角三角形（多选）12．（5分）函数f （x ）＝e kx •lnx （k 为常数）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若正实数a ，b 满足1a +2b=√ab ，则ab 的最小值为．14．（5分）如图，在△ABC 中，cos C =√3sin B ，点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，AD ＝2，则AB 的长为 ．15．（5分）某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ．16．（5分）将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为 ，该组合体的外接球的体积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知函数f(x)=2cos ω2xsin(ω2x −π3)+√32，ω＞0，____． （1）求f （x ）在区间[−π6，π6]上的值域； （2）若f(θ2)=−35，θ∈[−π6，5π6]，求sin θ的值． 请从①若|f （x ）1﹣f （x 2）|＝2，|x 1﹣x 2|的最小值为π2；②f （x ）图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2；③若f （x 1）＝f （x 2）＝0，|x 1﹣x 2|的最小值为π2，这三个条件中任选一个，补充在上面问题的条件中并作答．18．（12分）已知首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +3S n ＝3S n +1+a n a n +1+1． （1）求证：数列{1a n +1}为等差数列；（2）记数列{（a 3n ﹣2+1）（a 3n +1+1）}的前n 项和为T n ，求T n ． 19．（12分）双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．（1）直线l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b =√3，若l 的斜率存在，且（F 1A →+F 1B →）•AB →=0，求l 的斜率．20．（12分）如图，矩形ABCD 和梯形ABEF 所在的平面垂直，BE ∥AF ，∠BEF ＝90°，∠BAF ＝30°，BF ＝2，AF ＝4． （1）求证：BF ⊥面ABCD ；（2）若直线AC 与平面ABEF 所成的角等于30°，求钝二面角D ﹣CF ﹣E 的余弦值．21．（12分）设点P 为圆C 1：x 2+y 2＝2上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．点M 满足√2MQ →=PQ →．（1）求点M 的轨迹C 2的方程．（2）过直线x ＝2上的点T 作圆C 1的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与（1）中的曲线C 2交于两点C ，D ．分别记△TAB ，△TCD 的面积为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝nx ﹣x n ，x ∈R ，其中n ∈N •，且n ≥2．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）设曲线y ＝f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g （x ），求证：对于任意的正实数x ，都有f （x ）≤g （x ）；（Ⅲ）若关于x 的方程f （x ）＝a （a 为实数）有两个正实数根x 1，x 2，求证：|x 2﹣x 1|＜a1−n +2．2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（﹣∞，3）D ．（0，2）【解答】解：∵A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝（1，2）． 故选：B ．2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【解答】解：因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，甲场馆从6人中挑一人有：∁61=6种结果； 乙场馆从余下的5人中挑2人有：∁52=10种结果； 余下的3人去丙场馆；故共有：6×10＝60种安排方法； 故选：C ．3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为（ ） A ．√104B ．√53C ．√64D ．√153【解答】解：以A 为原点，在平面ABC 中过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都为2，A （0，0，0），M （0，1，2），B （√3，1，0），C 1（0，2，2）， AM →=（0，1，2），BC 1→=（−√3，1，2）， 设AM 与BC 1所成角为θ， 则cos θ=|AM →⋅BC 1→||AM →|⋅|BC 1→|=√5⋅√8=√104， ∴AM 与BC 1所成角的余弦值为√104． 故选：A ．4．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →=4FQ →，则|QF |＝（ ） A ．72B ．3C ．52D ．2【解答】解：设Q 到l 的距离为d ，则|QF |＝d ， ∵FP →=4FQ →， ∴|PQ |＝3d ，∴不妨设直线PF 的斜率为−2√2dd=−2√2， ∵F （2，0），∴直线PF 的方程为y ＝﹣2√2（x ﹣2）， 与y 2＝8x 联立可得x ＝1， ∴|QF |＝d ＝1+2＝3， 故选：B ．5．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为圆C 的直径，则PA →•PB →的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．72【解答】解：PA →•PB →=(PC →+CA →)⋅(PC →+CB →)=(PC →+CA →)⋅(PC →−CA →) =|PC →|2−|CA →|2=|PC →|2−√2，由点P 在直线y ＝x +3上，点C 位圆心，C （1，1）， 所以|PC →|的最小值为：点C 到直线的距离，d =√1+1=3√22，则PA →•PB →=|PC →|2−2≥92−2=52， 故选：B ．6．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．10300B ．10400C ．10500D ．10600【解答】解：将数字塔中的数字改写成指数式，可发现其指数恰好成杨辉三角，前10层的指数和为1+2+22+⋯⋯+29＝210﹣1＝1023，所以原数字塔中前10层所有安数字之积为21023＝10lg21023=101023lg 2＝101023×0.3≈10300， 故选：A ．7．（5分）已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f（32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b【解答】解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，又由f （x ）是偶函数，则c ＝f （﹣0.83）＝f （0.83）， 又由0.83＜1＜32＜32log 33＝log 3√27＜log 37， 则c ＜a ＜b ； 故选：B ．8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ →•AB →=AQ →•FB →，且BQ →=3FQ →，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．√5−1C ．√5D ．2+√53【解答】解：由已知得A （a ，0），设F （c ，0）， 由AQ →•AB →=AQ →•FB →，得AQ →⋅(AB →+BF →)=AQ →⋅AF →=0，∴l 垂直于x 轴，即l ：x ＝a ，不妨设Q 在第一象限，则Q （a ，b ）， 设B （x 0，y 0），由BQ →=3FQ →，得BF →=2FQ →，∴（c ﹣x 0，﹣y 0）＝2（a ﹣c ，b ），则{x 0=3c −2a y 0=−2b ，即B （3c ﹣2a ，﹣2b ），∵B （x 0，y 0）在双曲线上，∴(3c−2a)2a 2−(−2b)2b 2=1，整理得：9c 2﹣12ac ﹣a 2＝0，即9e 2﹣12e ﹣1＝0， 解得e =2+√53（e ＞1）， 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。