高中数学：构造函数方法

高中数学：构造函数

常见构造函数方法： 1.利用和差函数求导法则构造 （1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或； （2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或；

（3）kx x f x F k x f -=

⇒<>')()()(k )(或；

2.利用积商函数求导法则构造 （1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或； （2）)0)(()

(g )

()()0(0)()(-)(g )(≠=

⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或； （3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或； （4）)0(x

)

()()0(0)(-)(x ≠=

⇒<>'x x f x F x f x f 或； （5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n =⇒<>+'或; (6))0(x

)

()()0(0)(n -)(x n ≠=

⇒<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x =⇒<>+'或; (8))0(e )

()()0(0)(-)(x

≠=

⇒<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx =⇒<>+'或; (10))0(e )

()()0(0)(k -)(k x

≠=

⇒<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或; (12))0(sin sinx

)

()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos )

()()0(0)(tanx )(≠=

⇒<>+'x x

x f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或; (15)()+lna ()0(0)()()x f x f x F x a f x '><⇒=或;

(16)()()lna ()0(0)()x f x f x f x F x a '-><⇒=

或;

考点一。直接构造法 1．（1）已知()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，

则（ ） A.2(2)(3)(log )a f f f a <

< B.2(3)(log )(2)

a f f a f <

< C.2(log )(3)(2)a f a f f <

<

D.2(log )(2)(3)

a f a f f <

<

解：由题：对称轴x=2,

单增，

时，单减，当时，当（)(f 2x )(f 2x 0)()2x x x x f ><∴>'-C ,1624,2log 12选<<<<∴a a 。

（2）设a ＞0，b ＞0．( )

A ．若a 2222b a b +>+，则a ＞b

B ．若a 2222b a b +>+，则a ＜b

C ．若a 2222b a b ->-，则a ＞b

D ．若a 2222b a b ->-，则a ＜b 解：对选项A ：构造函数：()2

2x

f x x

=+，则()2

ln 220

x

f x '=⋅+>恒成立，故有函数()2

2x

f x x

=+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A 。 （3）已知函数()f x 满足(2)1f =，且()f x 的导函数()1f x x '>-，求解不等式21()1

2

f x x x <-+。

解：2x ,0)2(g )(g 01)()(,121

)()(g 2<=>+-'='∴-+-=故解集为：单增，，则x x x f x g x x x f x 。

（4）已知函数()f x 满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，求解不等式

()1

x x e f x e >-。

解：

x ,0)0(g (g ,0)1)()(()(,1)()(g >=>-'+='∴+-=故解集为：）单增，则令x x f x f e x g e x f e x x x x 。

（5）若

)(x f 满足1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，求解不等式3

()1x f x e

>

+。 解：令0

)

(3)(13)(f )(g >=--=

--=x x x x x e x h e e x f e e x x ，)1)()(()(h -'+='∴x f x f e x x >0,g(x)单调递增，

g(0)=f(0)-4=0,则g(x)>0,故x>0.

（6）若函数f(x)满足：2()()f x f x '>成立，若2)4ln (=f ，求解不等式2

()x f x e

>。

解：令g(x)=

2

)(f x e

x ,则

2

22

)()

21

)()(()(g x

x e x f x f e x -'='>0,则单调递增，1)4(ln )4(ln g 2

4ln ==

e

f ，则

g(x)>g(ln4),不等式2

()x f x e >的解为：x>ln4. 考点二。找原函数构造法

2.（1）若奇函数f(x ）满足：(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，求解不等式()0f x >。

单增偶，奇

奇

为奇单减，又当解：令,0x )(g )(f )(0)()()(,0x ,)()x (g 2<==∴∴<-'='>=

x x x g x x f x f x x g x x f ，且g(1)=g(-1)=0,故解集为：x<-1或0-'=

求解不等式。

解：不合题意但0)0(f 1)(f 3=-=x e x ，则3

2ln 042)()(f 412)(f 33>∴>-='--=x e x f x e x x x ，故。

考点三。比大小，证明

3.（1）证明对任意正整数n ，不等式32

1

1)11(ln n

n n

->

+。 解：令

x=n

1，设函数f(x)=)1ln(x 2

3

++-x x (0

1

2x 3)(f 2

++-='x x x =1x 12323++-+x x x

=

1

x )1(32

3+-+x x >0恒成立，所以f(x)单调增加，所以f(x)>f(0)=0，即得证原命题。

（2）f(x)=x e , 设a

a

a f

b f b f a f --+b )

()(2)()(与

的大小。 解：作差法：a

b a f b f b f a ---

+)()(2)()(f =a

a b e e a b a b a)-b 2)2(2)(（---++-，令g(x)=x+2+(x-2)x e ,则

g （0）=0,∴x e x x )1(1)(g -+='在），（∞+0单调递增,即0(0)g (x)g ='>'，故g(x)在），（∞+0单调递增，∴g(x)>g(0)=0,即

a

b a f b f b f a f -->

+)()(2)()(。 （3）已知函数f(x)=-x-ln(-x)，x ∈[-e ，0)，证明：x

x x )ln()(f -+>2

1。