概率论与数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案概率论和数理统计试题及答案⼀、填空题:1、设A 与B 相互独⽴，P(A) =31, P(B) =21, 则P (B-A) = . 解：111()()[1()](1)233P B A P B P A -=-=?-=2、设~[1,3]X U （均匀分布），则2()E X = ，(2)D X = ．(52)E X -= ，解：()2;()1/3E X D X ==22()()()13/3E X D X E X =+= (2)4()4/3D X D X ==(52)5()21028E X E X -=-=-=3、设随机变量X 服从指数分布，即 ~(2),X E 定义随机变量2,31,31,3X Y X X >??==??-则 Y 的分布列为。
解：3322620()()(1)(3)21Y x xF Y P Y y P Y P X e dx e e σσσ-----+=≤=≤-=<==-=-?33226()()(11)(3)21Y x xF Y P Y y P Y P X e dx e e ---=≤=-<≤=≤==-=-?3322620()()(12)(3)21Y xx F Y P Y y P Y P X edx ee σσσ++----=≤=<≤=>==-=-?其中σ是与y ⽆关的量4、设~(200,0.1)X B ~(3)Y P ,2~(3,2)Z N ，且X ，,Y Z 相互独⽴, 则(235)E X Y Z --+= , (235)D X Y Z --+=解：(235)2()3()()522000.1333533E X Y Z E X E Y E Z --+=--+=??-?-+=(235)4()9()()72274103D X Y Z D X D Y D Z --+=++=++=5、设总体2~(,)X N µσ，123,,x x x 为来⾃X 的样本，123?0.50.1x x ax µ=+-是未知参数µ的⽆偏估计，则a =。
概率论与数理统计考试试卷与答案
概率论与数理统计考试试卷与答案一.填空题（每空题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 ,=)B -A (p 0.1 ，)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。
（1）从中不放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 1/3 。
（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。
（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。
3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
（1）抽到次品的概率为： 0.12 。
（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4，Y X 与的协方差为: - 0.2 ， 2Y X Z +=的分布律为:6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ，(~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。
7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则：=-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计试题及答案(自考)
概率论与数理统计试题及答案（自考）一、单选题1.如果D(X)=3,令Y=2X+5,则D(Y)为A、12B、18C、7D、11【正确答案】：A解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(2X+5)=D(2X)=4D(X)=4×3=12,因此选A。
2.设总体X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),σ12=σ22未知,关于两个正态总体均值的假设检验为H0:μ1≤μ2,H1:μ1 > μ2,则在显著水平α下,H0的拒绝域为A、B、C、D、【正确答案】：B解析：无3.设总体为来自X的样本,为样本值,s为样本标准差,则的无偏估计量为( )。
A、sB、C、D、【正确答案】：C解析：样本均值是总体均值的无偏估计量。
故选C.4.设随机变量X的方差D(X)=2,则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-E(X)|≥8}的值为( )。
A、B、C、D、【正确答案】：B解析：5.如果D(X)=2,令Y=3X+1,则D(Y)为A、2B、18C、3D、4【正确答案】：B解析：D(C)=0,D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X),因此D(Y)=D(3X+1)=D(3X)=9D(X)=9×2=18,因此选B。
6.在假设检验中,H0为原假设,则显著性水平的意义是A、P{拒绝H0| H0为真}B、P {接受H0| H0为真}C、P {接受H0| H0不真}D、P {拒绝H0| H0不真}【正确答案】：A解析：本题考察假设检验“两类错误”内容。
选择A。
7.则k=A、0.1B、0.2C、0.3D、0.4【正确答案】：D解析：本题考察一维离散型随机变量分布律的性质:。
计算如下0.2 + 0.3 + k + 0.1=1,k=0.4故选择D。
8.掷四次硬币,设A表示恰有一次出现正面,则P(A)=A、1/2B、1/4C、3/16D、1/3【正确答案】：B解析：样本空间Ω={正正正正,正正正反,正正反正,正反正正,反正正正,正正反反,正反正反,反正正反,正反反正,反正反正,反反正正,正反反反,反反正反,反正反反,反反反正,反反反反};其中恰有一次正面向上的样本点是{正反反反,反反正反,反正反反,反反反正}所以概率就是1/4。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。
概率论与数理统计测试题及答案
概率论与数理统计测试题一、填空题(每小题3分，共15分)1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A ，B 是两事件，()1/4,(|)1/3P A P B A ==，则()P AB =__________.3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.4．设随机变量X 的分布函数为0,1()ln ,11,x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，则X 的概率密度为__________.5．设总体X~U[0，1]，123,,X X X 是其一个样本，则123{max(,,)1/2}P X X X <=__________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设两事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A ）A B 与互不相容; （B ）()()()P A B P A P B =; （C ）()()()P AB P A P B =; （D ）()().P A B P A -=2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p ，q ，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )（A ）1p q --；(B) 1pq -； (C) 1p q pq --+；(D) (1)(1)p q -+-. 3．设~(),X t n 则2X 服从 ( )分布(A) 2()n χ； （B ）(1,)F n ； （C ）(,1)F n ； （D ）(1,1)F n -. 4．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =5.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211,(())1n ii X S X X n ==--∑分别为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)2~(,);X N nσμ(B)22();E S σ=(C)22();1nE S n σ=- (D)222(1)/~(1).n S n σχ--三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为、、，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率. 2．（10分）对一批次品率为的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X 表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X 的分布律；（2）至少有一件是次品的概率.3．（12分）设连续型随机变量X 的概率密度为sin ,0()0,a x x f x π<<⎧=⎨⎩，其它求：（1）系数a ; (2) 分布函数();(3){/4/2}F x P X ππ<<. 4．（8分）设二维随机变量(,)X Y 的分布律为求X 与Y 的协方差Cov （X ，Y ）及P{X +Y 1}. 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 6,01(,)0,y y x f x y <<<⎧=⎨⎩其它 （1）试求关于X 及Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由.6．（10分）设总体X 的概率密度为(1),01(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中(1)θθ>-是未知参数，12,,,n X X X 是X 的样本，求参数 的矩估计量与最大似然估计量.四、证明题（2个小题，共10分）1． （5分）设随机变量X ～N （0，1），证明随机变量(0)Y X σμσ=+>～2(,)N μσ.2．（5分）设4321,,,X X X X 是来自总体N(,2σ)的样本，证明2212342()()2X X X X Y σ-+-= 服从2χ分布，并写出自由度.Y X 0 10 1一、填空题(每小题3分，共15分) 1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． 1/,1()0,x x ef x <<⎧=⎨⎩其它；5．1/8.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D ）2． (C)；3．（B ）；4．（B ）；5. (C). 三、解答题（6个小题，共60分）1．（10分）解： 123,,A A A 分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B 表示取出的产品为废品，P(A 1)=，P(A 2)=，P(A 3)=，P(B|A 1)=，P(B|A 2)=，P(B|A 3)= ………3分(1)P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3) ………5分=++= ………7分 (2)111()(|)0.50.15(|)0.29()0.1717P A P B A P A B P B ⨯==== (1)0分2．（10分）解：(1) X ～b(3，， 33{}0.10.9(0,1,2,3)k k k P X k C k -=== ………3分X 0 1 2 3p………7分(2)P{X 1}=1－P{X=0}= ………10分 3．（12分）解：（1）01sin 1;2a xdx a π=⇒=⎰………3分（2）()()xF x f t dt -∞=⎰ (6)分00,01sin ,02x x tdt x x ππ≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩⎰1,0,01cos ,02x x x x ππ≤⎧⎪-⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩1, (10)分2412(3){/4/2}sin .24P X xdx ππππ<<==⎰ (12)分4．（8分）解： E （X ）＝，E （Y ）＝，E （XY ）＝ ………4分Cov （X ，Y ）＝E （XY ）－E （X ）E （Y ）＝－ ………6分 P{X +Y 1}=＋＋= ………8分5．（10分）解： （1）()(,)X f x f x y dy ∞-∞=⎰06,010,xydy x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它23,010,x x ⎧<<=⎨⎩其它 ………4分 ()(,)Y f y f x y dx ∞-∞=⎰16,010,y ydx y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩⎰其它6(1),010,y y y -<<⎧=⎨⎩其它 ………8分（2）X 与Y 不相互独立，因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠ ………10分 6．（10分）解 （1）矩估计量1101()(1)2E X x x dx θθμθθ+==⋅+=+⎰ ………3分 11121μθμ-⇒=-12ˆ1X X θ-⇒=- ………5分 (2) 最大似然估计量 对于给定样本值12,,,,n x x x 似然函数为11()(;)(1)nni i i i L f x x θθθθ====+∏∏12(1)(),01n n i x x x x θθ=+<< ………7分1()ln(1)ln ni i lnL n x θθθ==++∑，1()ln 01ni i d nlnL x d θθθ==+=+∑ ………8分11ln ˆln nii nii n x xθ==+⇒=-∑∑，最大似然估计量为11ln ˆln nii nii n X Xθ==+=-∑∑ ………10分四、证明题（2个小题，共10分）1．证明 ：X的概率密度为22(),x X f x -= ………1分函数,0,(,)y x y y σμσ'=+=>∈-∞∞，1(),(),y x h y h y μσσ-'===………3分22()22()[()]|()|~(,).y u Y X f y f h y h y Y N σμσ--'==⇒ ………5分2．证明：212~(0,2)~(0,1),X X N N σ-⇒~(0,1),N ………2分两者独立 ………4分因此 22212342()()~(2)2X X X X Y χσ-+-= ………5分。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《随机事件及概率》练习题一、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则一定有（ ）（A ）()1()P A P B =-； （B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =； （D ）(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独立，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（ ）一定成立 （A ）(|)1()P A B P A =-； （B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-； （D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满足P (A )＞0，P (B )＞0，下面条件（ ）成立时，事件A 与B 一定独立（A ）()()()P AB P A P B =； （B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =； （D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ⊂，则下列等式中正确的是（ ）（A ）()()P AB P A =； （B ）()()P A B P A =；（C ）(|)()P B A P B =； （D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容； （B ）A 与B 相容； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对立事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下面关系成立的是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+； （B ）()()()P A B P A P B ≠+； （C ）()()()P AB P A P B =； （D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（ ）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+； （C ）()()P A P AB -； （D ）()()()P A P B P AB +-。
概率论与数理统计试卷及参考答案
概率论与数理统计 试卷及其答案一、填空题（每空4分，共20分）1、设随机变量ξ的密度函数为2(0,1)()0ax x x φ⎧∈=⎨⎩其它，则常数a =3 。
2、设总体2(,)XN μσ，其中μ与2σ均未知，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，2σ的矩估计为211()i ni i X X n ==-∑ 。
3、已知随机变量X 的概率分布为{},1,2,3,4,5,15kP X k k ===则1()15P X E X ⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭___ 0.4___。
4、设随机变量~(0,4)X U ，则(34)P X <<= 0.25 。
5、某厂产品中一等品的合格率为90%，二等品合格率80%，现将二者以1：2的比例混合，则混合后产品的合格率为 5/6 。
二、计算题（第1、2、3题每题8分，第4题16分，第5题16分，共56分）1、一批灯泡共20只，其中5只是次品，其余为正品。
做不放回抽取，每次取一只，求第三次才取到次品的概率。
解：设i A 表示第i 次取到次品，i=1,2,3，B 表示第三次才取到次品， 则123121312()()()()()1514535201918228P B P A A A P A P A A P A A A ===⨯⨯=2、设X 服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为0()00xe xf x x λλ-⎧≥=⎨<⎩，求λ的极大似然估计。
解：由题知似然函数为：11()(0)i niii x i nx ni i L eex λλλλλ==-=-=∑=∏=≥对数似然函数为：1ln ()ln i ni i L n x λλλ===-∑由1ln ()0i ni i d L n x d λλλ===-=∑，得：*11i nii nxxλ====∑ 因为ln ()L λ的二阶导数总是负值，故*1Xλ=3、设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩,1,01()0,Y y f y <<⎧=⎨⎩其他, 求随机变量Z X Y =+的概率密度解：()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰1,01,10,0z x z x ze dy z e dy z z ---⎧<<⎪⎪=≥⎨⎪≤⎪⎩⎰⎰ 11,01,10,0z z z e z e e z z ---⎧-<<⎪=-≥⎨⎪≤⎩4、 设随机变量X 的密度函数为,01,()2,12,0,x x f x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它.求(),()E X D X 。
概率论与数理统计试题及答案
考试科目：概率论与数理统计考试时间：120分钟试卷总分100分一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题,每小题3分，总计15分）1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ). （A）1/3 (B）2/3 (C)1/6 (D）3/6 2．设随机变量的概率密度，则K=（ B ）。
(A)1/2 (B）1 （C)—1 (D）3/2 3．对于任意随机变量，若,则（ B ）。
（A) (B)（C) 一定独立（D)不独立5．设,且，，则P{-2<<4}=( A )。
（A）0。
8543 （B)0。
1457 （C)0.3541 （D)0。
2543 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．设A、B为互不相容的随机事件则( 0.9 ）.2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为( 1/10 ）。
3．设随机变量X的概率密度则（ 8/10 ）。
4．设D()=9， D(）=16，，则D()=（ 13 ）。
*5．设，则( N(0，1) )。
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％,35％，40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0。
04,0.02。
现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？（1）全概率公式2．设连续型随机变量的密度为(1）确定常数A (2)求（3)求分布函数F（x).（2)①故A=5 。
②（3分）③当x<0时,F（x）=0； (1分)当时, （2分)故。
（1分)3．设二维随机变量（）的分布密度求关于和关于的边缘密度函数。
（3）4．设连续型随即变量的概率密度,求E（x）,D（x)（4) （4分)（3分）（3分）四．证明题（本大题共2小题,总计10分）2．设是独立随机变量序列,且，试证服从大数定理。
《概率论与数理统计》题库及答案
《概率论与数理统计》题库及答案一、填空题1．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为 .若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率及中它，至少需 ＿＿＿门高射炮.2．设ξ在[0，1]上服从均匀分布，则ξ的概率分布函数F (x )= ＿＿＿,P (ξ≤2)= ＿＿＿.3．设母体)4,30(~N ξ，),,,(4321ξξξξ为来自ξ的一个容量为4的样本，则样本均值~ξ＿＿＿，=>)30(ξP ＿＿＿,),,,(4321ξξξξ的概率密度为＿＿＿.4. 将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为＿＿＿.5． 两封信随机地投入四个邮筒, 则前两个邮筒没有信的概率为_______, 第一个邮筒只有一封信的概率为_________.6． 一批产品的废品率为0.2, 每次抽取1个, 观察后放回去, 下次再任取1个, 共取3次, 则3次中恰有两次取到废品的概率为_________.7．设ξ具有概率密度⎩⎨⎧<<+=其他031)(x b ax x f ，又)21(2)32(<<=<<ξξP P ，则a = ,b = .8．设ξ与η相互独立，ξ～N (0,1)，η～N (1,2)，令ζ=ξ＋2η，则E ζ=＿＿＿,D ζ=＿＿＿, ζ的概率密度函数为＿＿＿.9．已知B A ⊂，P (A )=0.1,P (B )=0.5,则P (AB )= ＿＿＿,P (A +B )= ＿＿＿,=)(B A P ＿＿＿,P (A |B )= ＿＿＿，=+)(B A P ＿＿＿.10．设)4,3(~N ξ，则使得)()(c P c P ≤=>ξξ成立的=c ＿＿＿. 11．已知1-=ξE ，3=ξD ，则 =-)]2(3[2ξE ＿＿＿.12. 小概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要 ． 13. 相关系数的取值范围是 ．14. 设总体),(~2σξa N ，2σ已知，),...,(1n X X 为来自ξ的一个样本，如检验00:a a H =（常数），则在0H 成立条件下，检验统计量服从 分布．15. 设总体ξ的概率分布列为),...,(,1)0(,)1(1n X X p P p P -====ξξ为来自ξ的一个样本，则=)(X D ．16. 设ξ的密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,2)(2x x e x f x 当当，则=ξD ．17. 设),(ηξ的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f ， 则η的边沿密=)(y f ．18. =+==⊂)(,5.0)(,1.0)(,B A P B P A P B A 则 ．19. 若,5.0)(,6.0)(==B P A P 7.0)(=+B A P ，则=)(AB P ． 20. 公交车每5分钟发一辆，则乘客等车时间不超过3分钟的概率为 ．21. ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,020,cos )(πx x A x f 为密度函数，则=A ．22. 两随机变量ξ与η的方差分别为25及36，相关系数为0.4，则=-)(ηξD . 23. 设)1,0(~N ξ，)(~2n χη，且ξ与η相互独立，则统计量~nηξ． 二、选择题1．若事件A 、B 为互逆事件，则=)(B A P （ ）A. 0B. 0.5C. 1D. Φ2．在四次重复贝努里试验中，事件A 至少发生一次的概率为80/81，则A 在每次试验中发生的概率p 为（ ）A.4532 B. 31 C.32D. 1－4532 3．若两个随机变量ξ和η的相关系数0=ξηρ，则下列结论正确的是（ ）.A. ()ηξηξD D D -=-B. ()ηξηξD D D +=+C. ()ηξξηD D D =D. ξ和η相互独立4． 设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 至少发生一个的事件应表示为（ ）A. ABCB. A ＋B ＋CC. C B AD. C B A5． 每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功的概率为（ ）.A. r n r r n p p C --)1(B. rn r r n p p C ----)1(11 C. rn r p p --)1( D. r n r r n p pC -----)1(1116． 设（ξ,η）具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他020,20)sin(),(ππy x y x A y x f ，则A=( )A. 0.1B. 0.5C. 1D. 27． 设),(~2σμξN ，且μ=0，12=σ，令βαξη+=，则D η=( )(α、β为常数)A.βα-B. βα+C.α ④2α 8． 已知ξ的概率密度函数为f (x ),则（ ）A.0≤f (x )≤1B.P (ξ=x )=f (x )C.⎰+∞∞-=1)(dx x f D.P (ξ=x )≤f (x )≤19． 若母体ξ的方差为2σ，则2σ的无偏估计为（ ）A.21S n n -B.2SC.21S n n- D.S 10．设A ，B 为两事件，B A ⊂，则不能推出结论（ ）A. )()(A P AB P =B. )()(B P B A P =⋃C.)()()(B P A P B A P -=D. )()()(A P B P B A P -= 11. 若事件A 、B 互不相容，则=)(B A PA ．0.5B ．0C ．1D ．0.25 12. 设事件A 、B 相互独立，已知5.0)(,25.0)(==B P A P ，则=-)(B A P A ．12.0 B ．125.0 C ．25.0 D ．5.013. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ，则=≤)1.5(ξPA ．0.875B ．⎰-5.10)2dx x （ C ．⎰-5.11)2dx x （ D ．⎰∞--5.1)2xdx x （14. 设)(x f 为连续型随机变量ξ的概率密度，)(x F 为ξ的分布函数，则下列正确的是 A ．)()(x f x F = B ．1)(0<<x f C ．)()(x F x P ==ξ D ．⎰∞+∞-=1)(dx x f15. 设),(ηξ的概率密度为⎩⎨⎧≥≥=+-其它,00,0,),()(y x Ce y x f y x ，则C =A ． 1B ．0.5C ．0.25D ．216. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ ， 则=ξEA ．λB ．λ1 C ．2λ D ．21λ17. 设A 、B 、C 为三个事件，则A 、B 、C 恰有两个发生的事件应表示为 A.C B A BC A C AB ++ B. AC BC AB ++ C.ABC C B A BC A C AB +++ D. C A C B B A ++18. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 A ．83 B ．81)83(5 C ．81)83(348C D ．485C19. 设)1,0(~),4,(~2N a N ηξ记),1(),4(21≥=-≤=ηξp p a p p 则下列正确的是 A ．21p p = B ．21p p ≠ C ．21p p < D ．21p p >20. 设ξ的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,)(2x Ax x f ， 则A =A ．31 B ．3 C ．21D ．221. 已知连续型随机变量ξ的概率密度为)(x f ，)(x F 为ξ的分布函数，则下列正确的是 A ．)()(x f x P ==ξ B ．1)(=⎰∞+∞-dx x f xC ．1)(0≤≤x FD ．)()(x f x P =≤ξ22. 设随机变量ξ的概率密度函数为)(x f ，如果（ ），恒有1)(0≤≤x f ．A ．),1(~2σξN B ．)1,2(~N ξ C ．),(~2σξa N D ．),0(~2σξN三、计算题1．如果在1500件产品中有1000件不合格品，如从中任抽150件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中有放回抽取150次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.2． 如果n ξξξ,,,21 是n 个相互独立、同分布的随机变量，μξ=i E ，),,2,1(8n i D i ==ξ.对于∑==ni i n 11ξξ，写出ξ所满足的切贝晓夫不等式，并估计)4|(|<-μξP .3．在密度函数(),1)(ααx x f +=10<<x 中求参数α 的矩估计和极大似然估计.4． 已知随机变量ξ～N (0，1)，求(1) ξηe =的概率密度； (2) ||ξζ=的概率密度.5． 全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令ξ为3人中学过日语的人数，求(1) 3人中至少有1人学过日语的概率； (2) ξ的概率分布列及E ξ.6． 设总体ξ服从指数分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤=-001)(1x x ex f x θθ，（θ>0）试求参数θ的矩估计和极大似然估计.7．一个盒子中共有10个球，其中有5个白球，5个黑球，从中不放回地抽两次，每次抽一个球，求（1） 两次都抽到白球的概率； （2） 第二次才抽到白球的概率； （3）第二次抽到白球的概率.8．已知ξ～N (0，1)，求（1）ξe 的概率密度； （2）2ξ的概率密度.9．设总体X ～N(μ,1), ),,(1n X X 为来自X 的一个样本，试求参数μ的矩估计和最大似然估计. 10． 设母体ξ具有指数分布，密度函数为⎩⎨⎧<≤=-00),(x xe xf xλλλ（0>λ），试求参数λ的矩估计和极大似然估计.11. 袋子中有5件某类产品，其中正品3件，次品2件，现从中任意抽取2件，求2件中至少有1件是正品的概率12. 一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为0.3，有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为0.4．如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率. 13. 有3人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入1至5层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率. 14. 某地区高考数学成绩服从正态分布)6,90(~2N ξ，某考生数学成绩为96分，问比他成绩低的考生占多少？（)8413.0)1(=Φ。
(完整版)概率论与数理统计试题及答案.doc
2008－ 2009 学年第1学期概率论与数理统计(46 学时 ) A一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。
1、 A、 B 为两个随机事件，若P( AB)0 ，则（ A） A、 B 一定是互不相容的；（B）AB一定是不可能事件；（C） AB 不一定是不可能事件；（D）P( A)0或 P(B)0 .Y 0 1 22、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X1 1/6 1/3 02 1/4 1/6 1/12F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数，则F (1.5,1.5)等于（A）1/6 ；（B）1/2 ；（C）1/3 ；（ D）1/4.3、 X、 Y 是两个随机变量，下列结果正确的是（A）若E( XY)EXEY ,则X、Y独立；（B）若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关；（C）若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立；（D）若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知， X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本，X 为样本 均值， S 2 为样本方差。
若 的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ，则常数 c 为（ A ）t 0.01 (n 1) ；（ ） 0.01 (n) ；B t（ C ）t0.02(n 1) ；（ ）(n) .D t 0.025、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)__1 n分布，则 XX i 服从n i1（A ） N (0,1) ；（B ） N (2,4 n) ；（C ） N (2 n, 4n) ；（D ） N(2, 4) .n二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）。
6、已知 A 、 B 为两个随机事件 ，若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布，则 E(2X) =（ ）.8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)2 x,0 x 1，则概率 P(| X | 1 2) =0,其它（ ） .9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立，则 D(X Y) =（） .3310 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相互独立，且都服从 N(0,9)分布，若随机变量Y a( X 12X 22 X 32) :2(3) ，则常数 a =（ ）.三、解答题（本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计一、单选题1.随机地掷一骰子两次，则两次出现的点数之和等于8的概率为（）。
(4分)A :3/36B :4/36C :5/36D :2/362.A,B为任意两事件，若A,B之积为不可能事件，则称（）。
(4分)A :A与B相互独立B :A与B互不相容C :A与B互为对立事件D :A与B为样本空间Ω的一个划分3.设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是( ) .(4分)A :(A-B)UB=AUBB :(AUB)-B=AC :(AUB)-AB= UBD :(AUB)-C=(A-C)U(B-C)4.以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（）.(4分)A :“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；B :“甲，乙两种产品均畅销”；C :“甲种产品滞销”；D :“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
5..掷二枚骰子，事件A为出现的点数之和等于3的概率为（）。
(4分)A :11B :44,214C :44,202D :都不对6.设A,B为两个事件，且B A，则下列各式中正确的是( ).(4分)A :P(AUB)= P(A)B :P(AB)=P(A)C :P(BIA)= P(B)D :P(B-A)=P(B)- P(A)7.某小组共9人，分得一张观看亚运会的入场券，组长将一张写有“得票”字样和8张写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽一张，以决定谁得入场券，则（）。
(4分)A :A.第1个抽签者得“得票”的概率最大B :第5个抽签者“得票”的概率最大C :每个抽签者得“得票”的概率相等D :最后抽签者得“得票”的概率最小8.设A,B是两个事件，且P(A)≤P(AIB)则有( ).(4分)A :P(A)= P(AIB)B :P(B)>0C :P(A)≥P(AIB)D :前三者都不一定成立9.设有10个零件，其中2个是次品，现随机抽取2个，恰有一个是正品的概率为（）.(4分)A :8/45B :16/45C :8/15D :8/3010.设盒中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球有两个为红色，4个为蓝色；木质球有3个为红色，7个为蓝色，现从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”；B表示“取到玻璃球”。
概率论及数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判定正误（1）必然事件在一次实验中必然发生，小概率事件在一次实验中必然不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包括的全数样本点是不是同时显现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）假设()0,P A = 那么A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个小孩的家庭小孩的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，那么P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）假设P(A)P(B)≤，那么⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件假设知足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，那么n 个事件彼此独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件知足P(AB)=0，那么©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，那么P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，那么其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）假设A, B 为两随机事件，且B A ⊂，那么以下式子正确的选项是(A)A. P(A ∪B)=P(A)B. P(AB)=P(A)C. P(B|A)=P(B)D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，那么()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 知足P(B|A)=1, 那么(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂（7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 那么(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 相互对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 相互独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率别离是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=2)等于：A. λ^2B. e^(-λ)λ^2C. λ^2/2D. e^(-λ)λ^2/2答案：D2. 某工厂生产的零件长度服从正态分布N(50, 25)，那么长度在45到55之间的零件所占的百分比是：A. 68.27%B. 95.45%C. 99.74%D. 50%答案：B3. 一袋中有10个红球和5个蓝球，随机抽取3个球，那么抽到至少2个红球的概率是：A. 0.4375B. 0.5625C. 0.8125D. 0.9375答案：C4. 设随机变量Y服从二项分布B(n, p)，那么E(Y)等于：A. npB. n/2C. p/nD. n^2p答案：A5. 以下哪个事件是不可能事件：A. 抛硬币正面朝上B. 抛骰子得到1点C. 一天有25小时D. 随机变量X取负无穷答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 设随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，那么P(X>2)等于______。
答案：1/27. 随机变量Z服从标准正态分布，那么P(Z ≤ -1.5)等于______（结果保留两位小数）。
答案：0.06688. 设随机变量W服从指数分布Exp(μ)，那么W的期望E(W)等于______。
答案：1/μ9. 从一副不含大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到黑桃A的概率是______。
答案：1/5210. 设随机变量V服从二项分布B(15, 0.4)，那么P(V=5)等于______（结果保留三位小数）。
答案：0.120三、解答题（共75分）11. （15分）设随机变量ξ服从二项分布B(n, p)，已知P(ξ=1) = 0.4，P(ξ=2) = 0.3，求n和p的值。
答案：根据二项分布的性质，我们有：P(ξ=1) = C(n, 1)p^1(1-p)^(n-1) = 0.4P(ξ=2) = C(n, 2)p^2(1-p)^(n-2) = 0.3通过解这两个方程，我们可以得到n=5，p=0.4。
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考研数学冲刺·概率论与数理统计一、基本概念总结 1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫→→≤≤=→−−→−→-→≤=→−−→−、协方差、相关系数）数字特征（期望、方差）两大分布（均匀、正态二维随机变量随机事件）数字特征（期望、方差正态）、几何、均匀、指数、、二项、泊松、超几何八大分布（一维随机变量随机事件数字化数字化),(),(),()(10)()()()(y Y x X P y x F Y X AB P x X P x F X A P ω⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→假设检验参数估计数分布））（多维随机变量的函四大统计分布（正态数理统计理大数定律和中心极限定F t ,,,2χ 2、最重要的5个概念（1）古典概型（由比例引入概率）例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？ （2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）)()(A P x X P == )(),(AB P y Y x X P ===例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。
从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：（1） 乙箱中次品件数X 的数学期望。
（2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X 表示三次试验中出现正面的次数，Y 表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X ，Y ）的联合分布律。
（3）分布函数（将概率与函数联系起来） )()(x X P x F ≤= （4）离散与连续的关系dx x f x X P )()(==dxdy y x f y Y x X P ),(),(===例5：见“数字特征”的公式。
（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）样本是由n 个同总体分布的个体组成的，相当于n 个同分布的随机变量的组合（n 维随机变量）。
例6：样本的∑==ni i X n X 11是已知的，个体（总体）的)(i X E =μ未知，矩估计：μ=X ，完成了一个从样本到总体的推断过程。
二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个） 1、概率（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。
例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？ （2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例8：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。
一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。
例9：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？ 2335)21()21(C例10：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？ （4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。
例11：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？ 2523P P例12：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？ 2523C C（5）“先后放回取”是“二项分布”。
例13：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？3225)52()53(C（6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。
例14：设X 的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F （X ）在区间（0，1）上服从均匀分布。
（7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。
⎩⎨⎧=)()()/()()(B P A P A B P A P AB P ，⎩⎨⎧=)()()/()(),(y f x f x y f x f y x f Y XX 。
（8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。
例15：设二维连续型随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，其中},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D 求X 的边缘密度)(x f X 。
（9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。
例16：设随机变量（X ，Y ）的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,0,103),(其他x y x x y x ϕ试求U=X-Y 的分布密度。
（10）均匀分布用“几何概型”计算。
例17：设随机变量（X ，Y ）的分布密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,0,102),(其他x y x y x ϕ，试求P(X+Y>1)。
（11）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。
（12）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。
例19：设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布;(Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.（13）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY 的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。
例20： 连续型随机变量：E(XY)＝⎰+∞∞-dxdy y x xyf ),(（14）应用题：设Y 为题干中要求期望的随机变量，a 为最后题目所求，然后找Y 与X 的函数关系，再求E(Y)。
例21：市场上对商品需求量为X ～U （2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？ （15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
2、统计（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。
连续型：),,,;(),,,(11122∏==ni m im x f L θθθθθθ离散型：),,,;(),,,(11122∏==ni m im x p L θθθθθθ例22：设总体X 的概率分别为θθθθθ21)1(2321022--p X 其中θ（0<θ<21）是未知参数，利用总体X 的如下样本值：3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3 求θ的矩估计值和最大似然估计值。
（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。
例23：设n x x x ,,,21 是总体的一个样本，试证（1）;21103513211x x x ++=∧μ （2）;12541313212x x x ++=∧μ （3）.12143313213x x x -+=∧μ 都是总体均值u 的无偏估计，并比较有效性。
（3）标准正态、t 分布区间估计和假设检验取关于y 轴对称的分位数，2χ、F 分布取面积对称的分位数。
三、选择题常考的5个混淆概念 1、乘法公式和条件概率例24：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？)/()()(A B P A P AB P =2、独立和互斥设A ≠ø, B ≠ø，则A 和B 相互独立与A 和B 互斥矛盾。
例25：对于任意二事件A 和B ，（A ） 若AB =Φ，则A ，B 一定不独立。
（B ） 若AB=Φ，则A ，B 一定独立。
（C ） 若AB ≠Φ，则A ，B 一定独立。
（D ） 若AB ≠Φ，则A ，B 有可能独立。
3、独立和不相关独立是不相关的充分条件。
(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。
4、X ，Y 分别为正态分布，不能推出（X ，Y ）为二维正态分布；也不能推出 X+Y 为一维正态分布。
例26：已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数21-=XY ρ，设.23Y X Z +=（1）求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）；（2）求X 与Z 的相关系数XZ ρ； （3）问X 与Z 是否相互独立？为什么？例27：设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 （A ）X 与Y 一定独立。
（B ）（X ，Y ）服从二维正态分布。
（C ）X 与Y 未必独立。
（D ）X+Y 服从一维正态分布。
5、几个大数定律的区别切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
例28：设{X 1,X 2,……X n ，……}是相互独立的随机变量序列，X n 服从参数为n 的指数分布（n=1,2, ……），则随机变量序列{ X 1,22X 2,……n 2X n ，……}： (A) 服从切比雪夫大数定律。
(B) 服从辛钦大数定律。
(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。
(D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。
四、解答题常考的6个题型 1、全概和贝叶斯公式 例29：在电源电压不超过200V 、在200～240V 和超过240V 三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X ～N （220，252），试求（1） 该电子元件损坏的概率α；（2） 该电子元件损坏时，电源电压在200～240V 的概率β。
919.040.1885.020.1841.000.1788.080.0726.060.0655.040.0579.020.0530.010.0)(x x Φ表中Φ（x ）是标准正态分布函数。
2、二项分布例30：设测量误差X~N （0，102）。
试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。
[附表]：001.0002.0007.0018.0050.0135.0368.07654321λλ-e3、二维随机变量例31：设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为Y X 0 10 0.4 a 1b0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}互相独立，则A 、a =0.2, b =0.3B 、a =0.1, b =C 、a =0.3, b =0.2D 、a =0.4, b =0.1例32：设随机变量X 在区间)1,0(上服从均匀分布，在)10(<<=x x X 的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求(Ⅰ) 随机变量X 和Y 的联合概率密度； (Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率}1{>+Y X P ．4、数字特征例33：一辆送客汽车，载有m 位乘客从起点站开出，沿途有n 个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。