标准偏差及t分布表
(完整版)t分布的概念及表和查表方法.doc
t分布介绍在概率论和统计学中，学生 t - 分布（t -distribution ），可简称为 t 分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t 分布曲线形态与 n（确切地说与自由度 df ）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度 df 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度 df= ∞时， t 分布曲线为标准正态分布曲线。
中文名t 分布应用在对呈正态分布的总体外文名t -distribution 别称学生 t 分布学科概率论和统计学相关术语t 检验目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生 t -分布（ Student's t-distribution ）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t 测定的基础。
t 检定改进了Z 检定（en:Z-test ），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过 120 等）时，可以应用Z 检定，但 Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t 检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t 检定。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生 t-分布可简称为t 分布。
其推导由威廉·戈塞于 1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名。
之后t 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为t 变换，统计量 t 值的分布称为t 分布。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
误差-不确定度-准确度等图片(供参考)
x ——n次测量结果的算术平均值； vi xi x ——残差。
2014/3/17 8
贝塞尔公式的数学意义
贝塞尔公式描述了各个测量值的分散度。 如果x不随时间变化，贝塞尔公式是一个收敛 的级数:
当n 时，s( xi ) 稳定值
2014/3/17
2． 校准证书数据的正确使用方法
计量器具的校准证书应给出校准值、其测量不确定度以及它 的包含概率或所采用的包含因子。对于某些宽量程的仪器，需 要对不同的读数或不同的量程范围计算不同的不确定度。 对于校准证书给出的数据，除非另有说明，一般就假定其不 确定度服从正态分布或t分布，如果引用95％的包含概率，则对 应的包含因子k＝2；如果引用99％的包含概率，则对应的包含 因子k＝3。如果没有说明包含因子，则通常假定所用的包含因 子k＝2。当校准证书既给出扩展不确定度，又给出有效自由度 时，可按t分布评定标准不确定度分量。 由这些不确定度来源所引起的标准不确定度，可直接用给出 的或算得的不确定度除以包含因子得到。 但是应当注意，这时不能使用计量器具的示值或标称值，而 必须使用其校准值(实际值)或校准曲线。 其次，使用时的环境条件偏离参考条件时，要考虑环境条件 引起的不确定度分量。同时还应当考虑其长期稳定性的影响， 通常把历次校准周期之间差值的最大值，作为不确定度的一个 2014/3/17 24 分量，该分量按均匀分布处理。
2 ( x x ) i i 1 n
m ( n 1)
(1 mn)
2014/3/17 14
观测次数n充分多，才能使A类不确定度评 定可靠，一般认为n应大于5。但也要视实际情 况而定，当 A类不确定度分量对合成标准不确 定度的贡献较大时， n 不宜太小，反之，当 A 类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较 小时，n小一些关系也不大。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答： 研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
t分布的概念表和查表方法
t分布介绍在和中，学生t-分布（t-distribution），可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
目录123456历史在和统计学中，学生t-分布（Student's t-distribution）经常应用在对呈的总体的进行估计。
它是对两个差异进行测试的学生t测定的基础。
t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用代替学生t检定。
当母群体的是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生t-分布可简称为t分布。
其推导由于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。
之后t检验以及相关理论经由的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n 的t分布，记为。
分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。
扩展（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多的理论基础。
正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。
为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的（standard normal distribution），亦称u分布。
《误差理论与数据处理》答案解读
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1 •研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1) 正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2) 正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3) 正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2 •试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化(大小和符号都按一定规律变化) ；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3 •试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言，前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1-5测得某三角块的三个角度之和为180°00' 02” ,试求测量的绝对误差和相对误差解:绝对误差等于：180°00 02 -180°=2相对误差等于：二- = - 0.00000308641 ： 0.000031%180o 180 60 60 6480001-6 •在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm已知其最大绝对误差为1卩m,试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差=测得值—真值，即：△ L = L- L o 已知：L= 50,^ L= 1卩m= 0.001mm,测件的真实长度L 0= L—A L= 50 - 0.001 = 49.999 ( mm1-7 •用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa , 问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
第3章 分析化学中的误差及数据处理
b：如何确定滴定体积消耗？(滴定的相对误差
小于0.1% )
0～10ml； 20～30ml； 40～50ml
万分之一的分析天平可称准至±0.1mg
常量滴定管可估计到±0.01mL
一般常量分析中，分析结果的精密度以平均相 对偏差来衡量，要求小于0.3%；准确度以相对误差 来表示，要求小于0.3%。
误差传递，每一个测定步骤应控制相对误差更小 如，称量相对误差小于0.1%
使用计算器作连续运算时，过程中可不必对每一步 的计算结果进行修约，但要注意根据准确度要求，正确 保留最后结果的有效数字位数。
四、有效数字在分析化学中的应用
1. 正确地记录数据 2. 正确地选取用量和适当的仪器 3. 正确表示分析结果
问题: 分析煤中含硫量时，称样量为3.5g，甲、乙 两人各测2次，甲报结果为0.042％和0.041％，乙报结 果为0.04201％和0.04199％，谁报的结果合理？
5. 大多数情况下，表示误差或偏差时，结果取一位 有效数字，最多取两位有效数字。
6. 对于组分含量＞10%的，一般要求分析结果保留4 位有效数字；对于组分含量1%～10%的，一般要求分析 结果保留3位有效数字；对于组分含量＜1%的，一般要 求分析结果保留2位有效数字。
7. 为提高计算的准确性，在计算过程中每个数据可 暂时多保留一位有效数字，计算完后再修约。
3）pH，lgK等对数值 有效数字的位数仅取决于小数部分数字（尾数）的位数。
4）不是测量得到的倍数、比率、原子量、化合价、 π、e等可看作无限多位有效数字。
5）不能因为变换单位而改变有效数字的位数。
二、有效数字的修约规则
应保留的有效数字位数确定之后，舍弃多余数字的 过程称为数字修约
修约规则：“四舍六入五成双”
第3章-2 分析化学中的数据处理
表3.2 正态分布概率积分表
随机误差出现的区间
测量值出现的区间
概率
(以σ为单位) u=±1 u=±1.96 u=±2 u=±2.58 u=±3
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
12
例1 已知某试样中质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%，又已知测量时没有系统误差，求分析 结果落在(1.75±0.15)%范围内的概率。 解： x x 1.75% 0.15%
(47.60 0.13)%
(47.60 0.23)%
置信度越高，置信区间就越大，所 估计的区间包括真值的可能性也就 越大，置信度定在 95%或 90%。
23
3.4 显著性检验
1. 平均值与标准值的比较-t检验法
步骤：a.将 x ，μ 和 n代入 t x n ,求t计
x 10.79%, s 0.042%
9 1.43
t
x s
n
10.79% 10.77% 0.042%
查表 ,P=0.95,f=8 时， t0.05 ， 8=2.31 。 t<t0.05 ， 8 ，故 x 与 μ 之间不存在显著性差异，即采用新方法后，没有 引起明显的系统误差。 25
涉及到的是测量值较少时的平均偏差；但在用统
计学处理数据时，广泛采用标准偏差来衡量数据
的分散程度。
2
总体标准偏差：
（测量次数为无限多次时）
σ
x
n
2
样本标准偏差：
（测量值不多时）
s
x x
n 1
2
误差和分析数据处理(2)
Analytical chemistryErrors and data treatment(2)二、有效数字及运算法则2非测量所得的自然数测量次数、样品份数 计算中的倍数反应中的化学计量关系 各类常数测量所得的数字测量值数据计算的结果3数字位数应与分析方法的准确度及仪器测量的精度相适应4有效数字: 分析工作中实际能测得的数字1. 有效数字(significant figure)☐在记录测量数据时，只保留一位可疑数（欠准数）☐只有数据的末尾数欠准，误差是末位数的±1个单位☐有效数字位数反映了测量和结果的准确程度，决不能随意增加或减少5m ◇分析天平(称至0.1mg):12.8228g (6),0.2348g (4) , 0.0600g (3)◇千分之一天平(称至0.001g): 0.235g (3)◇1%天平(称至0.01g): 4.03g (3), 0.23g (2)◇台秤(称至0.1g): 4.0g (2), 0.2g (1)V ☆滴定管(量至0.01mL):26.32mL (4), 3.97mL (3)☆容量瓶:100.0mL (4),250.0mL (4)☆移液管:25.00mL (4);☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL (2), 4.0mL (2)重量分析和滴定分析允许的误差一般在±0.2%之内，各测量数据应保留四位有效数字，注意计算结果的有效数字位数6☐数字1~9均为有效数字☐数字前0不是有效数字,其他数字之间的0计入有效数字: 0.0304(3)☐数字后的0，在小数中，计入有效数字位数：0.03400(4)☐数字后的0，在整数中，含义不清楚时, 最好用指数形式表示: 1000 (1.0×103, 1.00×103, 1.000 ×103)☐很小的数字，也可以用指数形式表示，但有效数字位数需保持不变:0.000018 → 1.8 ×10-5☐变换单位时，有效数字位数需保持不变：0.0038g→3.8mg ☐数据的第一位数≥8的,可多计一位有效数字，如9.35×104(4), 95.2%(4), 8.65(4)☐对数的有效数字位数按小数部分数字的位数计,其整数部分的数字只代表原值的幂次，如pH=10.28(2), 则[H +]=5.2×10-11有效数字位数72. 有效数字运算中的修约规则尾数≤4时舍; 尾数≥6时入尾数＝5时, 若后面无数，或后面数为0, 舍5成双;若5后面还有不是0的任何数皆入四舍六入五成双例下列值修约为四位有效数字0.3247 40.3247 6 0.3247 50.3248 50.3248 500.3248 510.32470.32480.32480.32480.32480.32498禁止分次修约0.57490.570.5750.58×9运算时可多保留一位有效数字进行5.3527+2.3+0.054+3.355.35+2.3+0.05+3.35=11.0511.010标准限度值0.03%测定值0.033%修约标准偏差对标准偏差的修约，应使准确度降低统计检验时，标准偏差可多保留1-2位数参与运算表示标准偏差和RSD时，一般取两位有效数字与标准限度值比较时不修约×不合格0.03%0.2130.2211加减法:结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差最大的数。
玻璃量器移液器
常用玻璃量器校准方法1、本校准方法适用于新制造、使用中的常用玻璃量器的校准。
2、依据JJG196-2006《常用玻璃量器》、JJG646-2006《移液器》国家检定规程。
3、校准方法：用玻璃量器取样（蒸馏水）后，用电子天平对样品进行称量，并根据衡量法用表计算出玻璃量器20℃时的容量进行校准。
校准结果用常用玻璃量器测量不确定度分析报告中的分析方法评定。
校准是环境温度：（20±5）℃，室温变化不大于1℃/h，水温与室温之差不超过2℃。
常用玻璃量器测量不确定度评定依据JJG196-2006《常用玻璃量器》和JJG646-2006《移液器》检定规程的规定进行校准。
下面以2000mL容量瓶和1000µl移液器为例A、2000mL容量瓶不确定度分析1）称量时引入的不确定度u12000mL容量瓶采用电子天平称量，其称量引入的不确定度可根据电子天平的最大允差，采用B类评定方法进行评定，3000/0.01的电子天平最大允差为0.1g，属均匀分布，，自由度v1 = 502）温度计测量引入的不确定度u2采用分度为0.1℃的温度计测量，不确定度为0.2℃.假设测量温度为20℃，则由于温度偏差引起的质量不确定度查表为1994.3 – 1994.1 = 0.2g自由度v2 = 133）读数引入的不确定u3对于2000mL容量瓶，其瓶颈部内径为15mm，由读数不准引入的误差不会超过1mm ，其体积差为u 3 = 0.102mL自由度v 3 = 134） 重复性引入误差u 4实验测量到：u 4=0.07ml ，测量6次，v 4=5u c =(u 12+ u 22+ u 32+ u 42) 12=0.24mlv eff =u c 4/(411u v +422u v +433u v +444u v )=24置信概率95% v eff =24 查t 分布表 t p =2.06 总不确定度 u = t p ×u c =0.5mlB 、1000µl 移液器不确定度分析1）称量时引入的不确定度u 11000µl 移液器采用电子天平称量，其称量引入的不确定度可根据电子天平的最大允差，采用B 类评定方法进行评定，42g/0.01mg 的电子天平最大允差为0.1mg，自由度v 1 = 502）温度计测量引入的不确定度u 2采用分度为0.1℃的温度计测量，不确定度为0.2℃.假设测量温度为20℃，则由于温度偏差引起的质量不确定度查表为 997.15 – 997.11 = 0.04mg 自由度v 2 = 13不确定度u 2 =0.04g=0.04µl3）重复性引入的不确定度u 3连续测量6次得到测量结果X 如下：1000.01mg 、1000.00mg 、999.99mg 、1000.01mg 、1000.01mg 、1000.00mgS=0.008mg X =1000.00mg算术平均值的实验标准偏差u 3=0.0036mg ；自由度：V 3=n-1=5不确定度u 3 =0.0036mg=0.0036µl合成不确定度u c =0.04g=0.04µlv eff =u c 4/(411u v +422u v )=13置信概率95% 查t 分布表 t p =2.06 总不确定度 u = t p ×u c =0.08µl。
t分布的概念及表和查表方法
ttt分布，用于根据-distribution-分布（），可简称为在概率论和统计学中，学生的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自（确切地说与自由度tdf分布曲线形态与n愈大，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，分布曲线为标准正态分布曲线。
∞时，分布曲线愈接近正态目录历史1定义2扩展3特征4置信区间56计算历史t t）经常应用在对呈正态分布的总体-distribution分布-（Student's 在概率论和统计学中，学生检定Z测定的基础。
tt检定改进了的均值进行估计。
它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生，但Z检定（超过（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大120等）时，可以应用在数据有三组以上时，t检定。
因此样本很小的情况下得改用学生Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，检定。
t因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t-分布。
当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生tt分布。
其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，-分布可简称为当时他还在都柏林的健力士学生t检验以）这一笔名。
之后酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n的t分布，记为。
分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。
扩展正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
研统计3抽样误差t分布41923
• 区间估计(interval estimation)：根据选定的置信 度估计总体均数所在的区间（a<μ <b) . a, b 为 置信限（可信限）。
• 置信度（confidence level):
• 在估计总体均数的置信区间时，如果可能估 计错误的概率为α ，那么估计正确的概率为1α , 即为置信度. 常用: 95%, 99%.
但是，条件发生了变化
• 我们通常用 SX 代替 X
u X X
X X
t
SX
S/ n
• 然而，SX 随着样本量的变化而变化，所以，我
们称之为 t-分布，虽然它是正态分布，但只有 当样本量（自由度）无穷大的时候，它才是标
准正态分布，此时，u=t
t分布曲线
• t分布是一簇对称于0的单峰分布曲线。 • 自由度越小（相当于标准差大），曲线的中间越
• t0.05/2（20）=±2.086， • 单侧概率为0.05时，对应的t值： • t0.05（20）=1.725，
• 一般， t 0.05/2（v）≥1.96 ，t 0.01/2（v） ≥ 2.58
• 自由度越小，曲线越低平，t 比1.96，2.58大 的多；自由度变大，t接近于1.96，2.58；自 由度无穷大，t=1.96，2.58
•
按：求u值， u
X
110 119.95 2.11 4.72
• 查表：找到-2.1，上方找到0.01，二者相交处为 0.0174，概率为0.0174=1.74%，即该地7岁男童 身高在110厘米以下者，估计占1.74%，不到2%。
• 三、质量控制：
• 实验中，常以 X 2S 作为上下警戒值，
准确度的计算方法
准确度的计算方法准确度是指测量结果与真实值之间的接近程度。
在各个领域中，准确度都是非常重要的指标，因为它可以帮助我们确定测量结果的可靠性和精度。
在本文中，我们将探讨准确度的计算方法，以及如何使用这些方法来评估测量结果的准确性。
准确度的计算方法准确度的计算方法通常涉及两个方面：误差和精度。
误差是指测量结果与真实值之间的差异，而精度是指测量结果的稳定性和重复性。
以下是几种常见的准确度计算方法：1. 绝对误差绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异。
它可以通过以下公式计算：绝对误差 = 测量结果 - 真实值例如，如果我们测量一条线的长度为10厘米，而真实值为9.5厘米，则绝对误差为0.5厘米。
2. 相对误差相对误差是指绝对误差与真实值之间的比率。
它可以通过以下公式计算：相对误差 = 绝对误差 / 真实值例如，如果我们测量一条线的长度为10厘米，而真实值为9.5厘米，则相对误差为0.0526或5.26%。
3. 标准偏差标准偏差是指一组测量结果的离散程度。
它可以通过以下公式计算：标准偏差= √(Σ(xi - x)² / n)其中，xi是每个测量结果，x是所有测量结果的平均值，n是测量结果的数量。
4. 方差方差是标准偏差的平方。
它可以通过以下公式计算：方差= Σ(xi - x)² / n5. 置信区间置信区间是指测量结果的真实值可能存在的范围。
它可以通过以下公式计算：置信区间 = 测量结果 ± t(n-1) * s / √n其中，t(n-1)是自由度为n-1的t分布表中的值，s是标准偏差，n是测量结果的数量。
如何使用准确度计算方法准确度计算方法可以帮助我们评估测量结果的准确性。
以下是一些使用准确度计算方法的实际应用：1. 质量控制在制造业中，准确度计算方法可以用于质量控制。
例如，如果一家汽车制造商想要确保其发动机的尺寸符合标准，它可以使用绝对误差和相对误差来评估测量结果的准确性。
分析化学 第二章 定量分析中的误差和数据处理
4
2016-3-11
设分析结果R由测量值A、B、C 计算获得。 各测量值的绝对误差分别为EA、EB、EC
相对误差 EA/A、EB/B、EC/C 标准偏差 sA、sB、sC 计算结果R的绝对误差ER
相对误差ER/R 标准偏差sR
1.系统误差的传递 （1）加减法
若计算式为： R A BC 则：ER EA EB EC
2016-3-11
第二章 定量分析中的误差和数据处理
分析化学中的误差和偏差 有效数字及其运算规则 分析化学中的数据处理 有限数据的统计处理 提高分析结果准确度的方法
定量分析的目的是测定试样中被测组分的含量，理 论上希望测得的是含量真值T。
但实际情况是： 1）当对某标样进行测定时，即使采用最准确方法、最精密
例：指示剂颜色辨别差异 滴定管读数位置不正确
2.随机误差（偶然误差）
由某些难以控制且无法避 免的偶然因素引起的误差。
特点： （1）不恒定 （2）难以校正 （3）服从正态分布
随机误差产生的原因： (1) 偶然因素 (2) 滴定管读数
3
3. 误差减免方法 （1）系统误差的减免
方法误差—— 采用标准方法校正 仪器误差—— 校正仪器 试剂误差—— 采用空白实验校正 操作误差—— 正确操作 （2）随机误差的减免 增加平行测定的次数
教材p49，例5
2.2 有效数字及其运算规则
2.2.1 有效数字 2.2.2 有效数字的修约规则 2.2.3 有效数字的运算规则 2.2.4 分析化学中有效数字的使用
思考题: 下列数据各有几位有效数字? (1)0.0330 (2)10.030 (4)3.30×10-2 (5)pKa=4.74
(3)89.6 (6)pH=10.2
标准偏差
lim X = μ n→∞
当消除系统误差时，μ即为真值。
2．有限测定次数
标准偏差 ：
s = ∑ (X − X )2 /(n −1)
相对标准偏差 ：（变异系数）CV% = S / X
例 ： 已 知 一 组 测 定 结 果 ， 得 到 数 据 ： 37.45% ，
Xn － X1
（3） 求可疑数据与相邻数据之差
Xn － Xn-1 或 X2 －X1
（4） 计算：
Q = X n − X n−1 Xn − X1
或 Q = X2 − X1 Xn − X1
（5） 根据测定次数和要求的置信度。
（6）将Q与QX (如 Q90)相比， 若Q > QX 舍弃该数据, 反之则保留。 当数据较少时 舍去一个后，应补加一个数据。
∑( x x)2
s= n 1
1 = 4 (37.45% 37.34%)2 +L+ (37.25% 37.34%)2 =0.13%
平均值的标准偏差 m个n次平行测定的平均值：
X1, X 2 , X 3,⋅⋅⋅X m
由统计学可得：
sX =s / n
由 sＸ／ s -- n 作图：
由关系曲线，当n 大于5时， sＸ／ s 变化不大，实际测定 3-4 次即可,较高要求时可测定 5-9 次。
例：测定Cr 含量，两次百分含量为1.12，1.15，再 加三次，为1.11，1.16，1.12。求两种次数下的平 均值置信区间（已知置信度为95%）。
解：
n = 2时，x = 1 (1.12 + 1.15) = 1.135 2
s = (1.12 − 1.135)2 + (1.15 − 1.135)2 = 0.021 2−1
随机误差正态分布.pptx
4. 标准偏差和相对标准偏差 ➢n ∞ 时，测定数据的全体成为总体
➢当测定次数（n）为有限次时，测定数据为总体 中的一个样本，n为样本容量
lim x (总体平均值)＝T（消除系统误差后）
n
标准偏差 S
n
(xi x)2 注：自由度f＝n-1
s i1 n 1
相对标准偏差 （变异系数）CV
RSD% s 100 x
• 随机误差 （Random error)是些随机的因 素造成的误差。
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系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定的因素
不定的因素
分类
方法误差、仪器与试剂 误差、主观误差
性质
重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、
期性）、可测性
不可测性
影响 准确度
精密度
消除或减 小的方法
测 定 次 数 较 少 时 ， 测x定 值 或 随 机 误 差 也 不
呈正态分布，这就给少量测定数据的统计
处理带来了困难。此时若用s代替σ从而对μ
作出估计必然会引起偏离，而且测定次数
越少，偏离就越大。
t
x
s
n
x ta，f
s n
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（三）区间概率的概念
25.0
0.40
20.0
0.30
其准确度与精密度。
丁
表观准确度高，精密度低
（不可靠）
丙
准确度高，精密度高
乙
准确度低，精密度高
甲
准确度低，精密度低
9.60% 9.80% 10.00% 10.20 % 10.04%
测量点
平均值
真值
比对试验t分布统计分析评价表
序号
1 2 3 4 5 6
检测数据
第一组
34.5 36.8 36.2 35.4 35.3 35.6
第二组
34.5 34.1 36.2 35.4 35.3 35.6
标准偏差 第一组 第二组
F检验
F检验符合
F F表 性验证
t检验
t
Hale Waihona Puke t表0.79 0.76 1.04 5.05 进行t检验 1.006 2.228
6、编制依据：《概率论与数理统计》
1、对两组数据采用t检验的方法进行比较，即要求对同一个具有均匀稳定性质的物品进行测 试，要求所比较的两个对象各测试一组数据，为了保证平均值和标准偏差的准确度，每一组数 据测试6个结果。
2、F检验的目的在于比较两组数据精密度也即随机误差是否存在显著性差异。 t检验的目的在于比对两组数据平均值的准确度。准确度取决于精密度和系统误差,只有在精 密度一致的前提下,才能检验是否存在系统误差,因此,F检验是进行t检验必要条件,在t检验之前 必须进行F检验。
3、若F≤F表，两组精密度无显著差异，可进行t检验；若F＞F表，说明2组结果中的精密度有 显着性差异，比对结果不满意，应查找原因，进行改进。
4、若t＞t表，测定结果与标准值有显著性差异，表明比对结果不满意;若计算t≤t表，测定结 果与标准值之间无显著性差异，比对结果满意。
5、适用于两种不同方法、不同设备、不同人员、两个不同试验室间的比对，从而了解两者 之间是否存在显著的差异。
标准偏差的置信区间
标准偏差的置信区间标准偏差是描述一个数据集合中数据分散程度的统计量，它告诉我们数据点在平均值周围的分布情况。
而置信区间则是用来估计参数真值的范围，它告诉我们参数估计的不确定性程度。
在实际应用中，我们经常需要计算标准偏差的置信区间，以便对数据进行更准确的分析和预测。
计算标准偏差的置信区间通常需要依赖于样本数据的分布情况，下面我们将介绍两种常用的方法，t分布法和z分布法。
首先是t分布法。
在样本容量较小（一般小于30）或者总体标准差未知的情况下，我们通常使用t分布来计算标准偏差的置信区间。
具体计算步骤如下：1. 计算样本标准差s和样本均值x；2. 确定置信水平和自由度，一般常用的置信水平为95%；3. 查t分布表得到t临界值；4. 计算置信区间的上下限，上限= x + t(s/√n)，下限= x t(s/√n)，其中n为样本容量。
其次是z分布法。
在样本容量较大（一般大于30）且总体标准差已知的情况下，我们可以使用z分布来计算标准偏差的置信区间。
具体计算步骤如下：1. 计算样本标准差s和样本均值x；2. 确定置信水平，一般常用的置信水平为95%；3. 查z分布表得到z临界值；4. 计算置信区间的上下限，上限= x + z(σ/√n)，下限= x z(σ/√n)，其中σ为总体标准差，n为样本容量。
无论是t分布法还是z分布法，我们都需要根据样本数据的情况选择合适的方法来计算标准偏差的置信区间。
在实际应用中，我们通常会使用统计软件来进行计算，以减少计算错误的可能性。
需要注意的是，置信区间并不是参数真值所在区间的概率分布，而是参数真值所在区间的估计范围。
因此，在解释置信区间的时候，我们应该强调置信区间是对参数真值的估计，并不代表参数真值一定在该区间内。
在数据分析和决策过程中，了解标准偏差的置信区间可以帮助我们更准确地评估数据的可靠性和稳定性，从而做出更科学合理的决策。
因此，掌握如何计算和解释标准偏差的置信区间是非常重要的。
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标准偏差
标准偏差(Std Dev,Standard Deviation) -统计学名词。
一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。
标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦然。
标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。
标准偏差公式：S = Sqr(∑(xn-x拨)^2 /(n-1))公式中∑代表总和，x拨代表x的算术平均值，^2代表二次方，Sqr代表平方根。
例：有一组数字分别是200、50、100、200，求它们的标准偏差。
x拨= (200+50+100+200)/4 = 550/4 = 137.5
S^2 = [(200-137.5)^2+(50-137.5)^2+(100-137.5)^2+(200-137.5)^2]/(4-1)
标准偏差S = Sqr(S^2)
STDEV基于样本估算标准偏差。
标准偏差反映数值相对于平均值(mean) 的离散程度。
t 分布表
n0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 0.0005 1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3 636.6 20.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33 31.60 30.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.21 12.92 40.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173 8.610 50.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893 6.869 60.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208 5.959 70.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785 5.408 80.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501 5.041 90.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297 4.781 100.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144 4.587 110.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025 4.437 120.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930 4.318 130.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852 4.221 140.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787 4.140 150.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733 4.073 160.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686 4.015 170.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646 3.965 180.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610 3.922 190.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579 3.883 200.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552 3.850 210.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527 3.819 220.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505 3.792 230.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485 3.767
240.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467 3.745 250.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450 3.725 260.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435 3.707 270.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421 3.690 280.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408 3.674 290.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396 3.659 300.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385 3.646 400.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 2.971 3.307 3.551 500.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 2.937 3.261 3.496 600.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 2.915 3.232 3.460 800.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 2.887 3.195 3.416 1000.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 2.871 3.174 3.390 1200.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 2.860 3.160 3.373 infty0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 3.291。