2019年高考数学一轮复习理科：平面解析几何直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案

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平面解析几何-高考复习知识点

平面解析几何高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。

2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。

例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或．经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件理

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(2)由题设知纵横截距不为 0，设直线方程为xa＋12－y a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－a3＋124－a＝1，解得 a＝－4 或 a＝9. 故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x－5＝0 满足题意；当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y－10＝k(x－5)，即 kx－y＋10－5k＝0. 由点线距离公式，得|10k－2＋5k1|＝5，解得 k＝34. 故所求直线方程为 3x－4y＋25＝0. 综上12，/11/2所021 求直线方程为 x－5＝0 或 3x－4y＋25＝0.
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【迁移探究 1】 (变条件)若将本例(2)中 P(1，0)改为 P(－1，0)，其他条件不变，求直
线 l 斜率的取值范围．解：因为 P(－1，0)，A(2，1)，B(0， 3)，所以 kAP＝2－（1－－01）＝13，
kBP＝0－（3－－01）＝ 3.
如图可知，直线 l 斜率的取值范围为13，
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【解】 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0≤α＜π)，从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为 y＝±13(x＋4)，即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
3.
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【迁移探究 2】 (变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围．解：如图，直线 PA 的倾斜角为 45°，直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．

(通用版)2019版高考数学一轮复习第9章平面解析几何1第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程教案理

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．直线的斜率判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)经过点P 0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：选D .由点斜式得直线方程为y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2，即x －y －5＝0，故选D.如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－C B＞0，故选C. 经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝________．解析：tan 3π4＝2y ＋1－（－3）4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1，y ＝－3. 答案：－3(教材习题改编)经过点(－4，3)且在两坐标轴上的截距相等且不过原点的直线方程为________．解析：由题意可设方程为x ＋y ＝a ，所以a ＝－4＋3＝－1. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0直线的倾斜角与斜率[典例引领](1)直线2xcos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－6， 6] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－66∪⎝ ⎛⎭⎪⎫66，＋∞。

[精品课件]2019届高考数学一轮复习第八章解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件文新人

[解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0<α<π)，从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为 y＝±13(x＋4)．即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0.
(2)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a. 若 a＝0，即 l 过点(0,0)及(4,1)， ∴l 的方程为 y＝14x，即 x－4y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(4,1)，∴4a＋1a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0. 综上可知，直线 l 的方程为 x－4y＝0 或 x＋y－5＝0.
【针对补偿】 3．求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－14倍； (3)过点 A(1，－1)与已知直线 l1：2x＋y－6＝0 相交于 B 点且|AB|＝5.
[解] (1)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0，综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．
[知识自测] 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (4)直线的斜率为 tan α，则其倾斜角为 α.( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( ) (6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.1 直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．知识梳理 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α(α≠90°)． (2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含直线x ＝x 1 和直线y ＝y 1截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k 0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(√)(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)(4)截距可以为负值．(√)教材改编题1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案 A解析由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．x ＋y ＋1＝0答案 D解析直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5. 所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α. 由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎣⎡⎦⎤π2，3π4答案 B解析设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)， ∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴切线的斜率k ＝tan α≥－1，则α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 教师备选1．(2022·安阳模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12答案 D解析直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2,1)，∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交， ∴－2≤k ≤12.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，且α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________．答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1解析当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1；当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[－3，0)．综上得k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．跟踪训练1 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π答案 B解析依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，______. 答案 13－3解析如图，在正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA 的倾斜角为θ－45°，直线OC 的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13， k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3. 题型二求直线的方程例2 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍； (2)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解 (1)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为 x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.教师备选1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0 D ．x －y ＝0答案 B解析因为B (3,1)，C (1,3)，所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A (－1,1)，所以其所在的直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0 答案 D解析设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2,0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2 (1)已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0答案 C解析由题知M (2,4)，N (3,2)，中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.(2)过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为______________．答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 解析由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b＝1，解得a ＝b ＝3或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.题型三直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．解方法一设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )， S △AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12×(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二设直线l ：x a ＋yb ＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究 1.在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．解方法一由本例方法一知A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)．所以|MA |·|MB |＝1k 2＋1·4＋4k 2 ＝2×1＋k 2|k |＝2⎣⎡⎦⎤－k ＋1－k ≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a >0，b >0，2a ＋1b ＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →| ＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 教师备选如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但△EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )，又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k 2k＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.课时精练1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0答案 C解析由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y 轴上的截距为－2的直线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝－3x －2 C ．y ＝3x ＋2 D ．y ＝3x －2答案 B解析斜率为tan 120°＝－3，利用斜截式直接写出方程，即y ＝－3x －2. 3．直线l 经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －y －1＝0或x －2y ＝0 B ．x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0 C ．x －y ＋1＝0或2x －y ＝0 D ．x ＋y ＋1＝0或2x ＋y ＝0 答案 D解析若直线l 过原点，设直线l 的方程为y ＝kx ，则k ＝－2，此时直线l 的方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0；若直线l 不过原点，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1，则1a －2a ＝1，解得a ＝－1，此时直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有()A．a>0，c>0 B．a>0，c<0C．a<0，c>0 D．a<0，c<0答案 A解析因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a>0，在y轴上的截距c>0. 5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为()A．0°B．1°C．2°D．3°答案 C解析∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO 3E ＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°.6．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k <15B ．k >1或k <12C ．k >1或k <15D ．k >12或k <－1答案 D解析设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k<3，解不等式可得k >12或k <－1.7．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞) 答案 C解析令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)，当x ＝0时，y ＝a ，当y ＝0时，x ＝b ，所以该直线在x 轴与y 轴上的截距分别为b ，a ，又直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以直线在x 轴与y 轴上的截距之和的最小值为4.9．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．答案 5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0解析 ①当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ，即5x ＋3y ＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，代入点(－3,5)，得a ＝－8，即直线方程为x －y ＋8＝0.综上，直线方程为5x ＋3y ＝0或x －y ＋8＝0.10．直线l 过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b )在l 上，则b 的值为________．答案 2 023解析直线l 的方程为y －－15－－1＝x －－12－－1，即y ＋16＝x ＋13，即y ＝2x ＋1. 令x ＝1 011，得y ＝2 023， ∴b ＝2 023.11．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝______. 答案 5 1解析因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.12．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________________________．答案 x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 解析在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)．13．直线(1－a 2)x ＋y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫π4，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，3π4 C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，πD.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 C解析直线的斜率k ＝－(1－a 2)＝a 2－1， ∵a 2≥0，∴k ＝a 2－1≥－1. 倾斜角和斜率的关系如图所示，∴该直线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 14．已知直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，直线恒过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析直线方程可化为2x ＋1－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝－3，∴直线恒过定点⎝⎛⎭⎫－12，－3.15．已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∈R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线始终过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 答案 D解析根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 不正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确． 16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．答案 16解析根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab . 又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。

届数学一轮复习第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率直线的方程教师文档教案文

第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程授课提示：对应学生用书第150页［基础梳理]1．直线的倾斜角（1)定义：(2）范围:直线的倾斜角α的取值范围是：［0,π）．2条件公式直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ直线过点A(x1，y1），B（x2,y2)且x1≠x2k＝错误! 3.条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1,l2，斜率分别为k1,k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在4。

直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）y－y1＝k（x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1）,（x2,y2）错误!＝错误!(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1(x1＝x2）和直线y＝y1（y1＝y2）截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!＋错误!＝1(a≠0,b≠0）不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1,y1)，（x2，y2），线段P1，P2的中点M的坐标为(x，y)，则错误!此公式为线段P1P2的中点坐标公式．1．斜率与倾斜角的两个关注点(1）倾斜角α的范围是[0,π)，斜率与倾斜角的函数关系为k＝tan α,图像为:（2）当倾斜角为90˚时,直线垂直于x轴,斜率不存在．2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0。

［四基自测]1．(基础点：根据两点求斜率）过点M(－2，m），N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(）A．1B．4C．1或3 D.1或4答案：A2．(基础点:直线的倾斜角与斜率的关系）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是（）A。

错误!B．错误!C。

高考一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程

第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测知识梳理知识点一直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__．知识点二直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式 __y －y 0＝k(x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0．题组三走向高考4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8[解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4，因为P(x ，y)在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4exe x＋12＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一直线的倾斜角与斜率——自主练透例 1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π (3)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．(2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k PA ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π．故选A ．(3)解法一：∵f(x)＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x ．设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x 及曲线f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4__．[解析]∵P(0，－1)，A(－1,0)，B(2,1)，∴k AP ＝－1－00－－1＝－1，k BP ＝1－－12－0＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f(x)在x 0处切线的斜率k ＝f′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12 B ．－2 C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k≤k PB ， ∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k≤12，故选A 、B 、C ．考点二直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴k AH ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫或由k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2ba＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0． (3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA|，cos θ＝2|MB|，∴|MA|·|MB|＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y－3＝0．解法二：|MA|·|MB|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA|＝1sin θ，|MB|＝2cos θ，∴|MA|2＋|MB|2＝1sin 2θ＋4cos 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9． ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k ＝－22，故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)，即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB ＝92，求直线l的方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)． (2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)． (2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，2k ＋1≥0解得k≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k(x －x 0)是直线过定点A(x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，1m ，m≠0，y ＝1x 的导数为y′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m)，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m)，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ．〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。

高考数学大一轮复习第八章第1节直线的倾斜角与斜率、直线方程

2．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点，由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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3
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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4
二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式斜截式
＝
.
【答案】－
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8
4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

高考数学大一轮复习 10.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件理

【典例】(1)过点A(1,3),斜率是直线y=-4x斜率的一半的直线方
程为________.
第二十九页，共八十二页。
(2)若A(1,-2),B(5,6),直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等(xiāngděng),则直线l的方程为________.
第三十页，共八十二页。
【解析】(1)所求直线的斜率k=-2,直线方程(fāngchéng)为
第三页，共八十二页。
(2)范围:直线l倾斜角α的取值范围是 ______[_0,_π_)_(或__{_α_|_0_°_≤_α_<_1_8_0_°__})____. 2.直线的斜率 (1)定义:一条(yī tiáo)直线的倾斜角α正的切__(_zh_èn_gq_iē_)值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=_____t_a,倾nα斜角
第十二页，共八十二页。
2.若直线l :(a-2)x+(a+1)y+6=0,则直线l恒过定点________. 【解析】直线l的方程变形(biàn xíng)为a(x+y)-2x+y+6=0,由
解x得xy=＝20,y，=-2,所以直线l恒过定点(2,-2).
答案2x:(2,y-2) 6＝0，
第十三页，共八十二页。
第三十六页，共八十二页。
【解析】设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b. ………………设元 ①若b=0,则直线过原点(0,0), 此时直线斜率(xiélǜ)k=1- ,直线方程为x+2y=0.
2
第三十七页，共八十二页。
②若b≠0,设直线方程为 =x1. y
3b b
由于(yóuyú)点P(2,-1)在直线上,所以b=- . 1

19版高考数学一轮复习第八章解析几何第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件

角为0°.
[0，π) (2)范围：直线l倾斜角的范围是____________.
2．直线的斜率 tan θ (1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝____________. _______. 3．直线方程的五种形式名称条件方程适用范围不含直线x＝x0
y2－y1 (2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝ x2－x1
3 α≤ ，因此 k＝2cos α∈[1， 3]． 2
设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3]．又 θ∈[0，π)，所以
π π π π ， θ∈4，3，即倾斜角的取值范围是 4 3.
1－0 3－0 (2)如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－ 3， 2－1 0－1 ∴k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
第八章解析几何
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高考总复习 · 数学(理)
10 解析 (1)设倾斜角为 α，则 sin α＝ (0<α<π)， 10 3 10 1 从而 cos α＝± ，则 k＝tan α＝± . 10 3 1 故所求直线方程为 y＝± (x＋4)．即 x＋3y＋4＝0 或 x－3y＋4＝0. 3 x y (2)由题设知截距不为 0，设直线方程为＋＝1， a 12－a －3 4 又直线过点(－3,4)，从而＋＝1，解得 a＝－4 或 a＝9. a 12－a 故所求直线方程为 4x－y＋16＝0 或 x＋3y－9＝0；
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【跟踪训练1】过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 5x＋3y＝0或x－y＋8＝0 _______________________.
5 解析当直线过原点时，直线方程为 y＝－ x，即 5x＋3y＝0； 3 x y 当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即 x－y＝a，代入点(－3,5)，得 a a －a ＝－8，即直线方程为 x－y＋8＝0.

2019年高考数学(理)一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案.docx

北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[ 考纲传真 ]( 教师用书独具 )1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几掌握过两点的直线斜率的计算公式 ( 点斜式、两点式及一般式( 对应学生用书第 130 页 )[ 基础知识填充 ]1．直线的倾斜角(1) 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l ，把 x 轴 ( 正方向 ) 按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，当直线l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为0.(2) 倾斜角的范围是 [0 ， π) ．2．直线的斜率(1) 定义：当 α ≠90°时，一条直线的倾斜角 α 的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k ＝ tan_ α，倾斜角是 90°的直线斜率不存在．(2) 过两点的直线的斜率公式y 2－ y 1经过两点 P 1( x 1， y 1) ， P 2( x 2， y 2)( x 1≠ x 2) 的直线的斜率公式为 k ＝ x 2－ x 1.3．直线方程的五种形式名称方程点斜式y － y 0＝ k ( x － x 0) 斜截式y ＝ kx ＋b 两点式 y － y 1 x － x 1 y － y ＝ x －x1 12 2 x y截距式 a ＋ b ＝1 一般式＋＋＝0， 2＋ 2 ≠0Ax By C A B[ 基本能力自测适用范围不含直线 x ＝ x 0不含垂直于 x 轴的直线不含直线 x ＝x 1( x 1≠ x 2) 和直线 y ＝ y 1( y 1≠y 2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线平面内所有直线都适用]1． ( 思考辨析 ) 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( ) (2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大． () (4) 过定点 P ( x ， y ) 的直线都可用方程 y － y ＝ k ( x － x) 表示． ()何要素 .2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式函数的关系．北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案(5)经过任意两个不同的点P1( x1，y1)， P2( x2， y2)的直线都可以用方程( y－y1)( x2－x1)＝( x－ x1)( y2－ y1)表示．()[ 答案 ](1) √(2) ×(3) ×(4) × (5) √2．直线 3x －y＋＝ 0的倾斜角为 () aA．30°B．60°C．150°D．120°B[ 设直线的倾斜角为α，则 tan α＝ 3，∵α ∈[0 ，π ) ，∴α＝π .] 33．过点 ( － 2， ) ， (4) 的直线的斜率等于1，则的值为 ()M m N m,mA． 1B． 4C． 1 或 3D． 1 或 44－mA[ 由题意知m＋2＝ 1( m≠－ 2) ，解得m＝ 1.]4．( 教材改编 ) 直线l：ax＋y－ 2－a＝0 在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.1 或－2 [ 令x＝ 0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝ 0，得直线l在x轴上的2截距为 1＋a.2依题意 2＋a＝ 1＋a，解得a＝ 1 或a＝－ 2.]5．过点 (3 ，－4) ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．M4＋ 3＝ 0 或＋＋ 1＝ 04＝－4，即 4＋ 3x x [ 若直线过原点，则＝－，所以3xy y k3y x y ＝ 0.x y若直线不过原点，设a＋a＝ 1，即x＋y＝a，则a＝ 3＋ ( －4) ＝－ 1，所以直线方程为 x＋ y＋1＝0.]( 对应学生用书第130 页 )直线的倾斜角与斜率(1) 直线x sinα＋ y＋2＝0的倾斜角的范围是()A． [0 ，π ) B. 0，π34∪4π，πC． 0，πD. 0，π∪π，π442(2)若直线 l 过点 P(－3,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．(1) B (2) － 5，－1[(1) 设直线的倾斜角为θ，则有 tan θ＝－ sin α，又 sin 3π3πα ∈ [ － 1,1] ，θ ∈ [0 ，π) ，所以 0≤θ ≤或≤ θ＜π .(2) 因为P( － 3,2) ，A( － 2，－ 3) ，B(3,0) ，－3－ 2则k PA＝－2－(－3)＝－5，0－ 21k PB＝3－(－3)＝－3.1如图所示，当直线l 与线段 AB相交时，直线l 的斜率的取值范围为－5，－3.][ 规律方法 ] 1. 倾斜角α与斜率k的关系π当α∈ 0，2时，k∈[0，＋π当α＝2时，斜率 k 不存在.π ，π时， k－∞，当α∈ 22. 斜率的两种求法定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα 求斜率.y2－ y1公式法：若已知直线上两点 A x1， y1， B x2， y2，一般根据斜率公式k＝x2－ x1x1≠ x2求斜率.3. 倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tanα的单调性 .[ 跟踪训练 ](1)(2017 ·九江一中 ) 若平面内三点A(1，－ a)，B(2， a2)，C(3， a3)共线，则a＝()A．1±2或 02－ 5B.2或 0C ．2± 5 D.2＋ 5 22 或 0(2) 直线 l 经过 A (3,1) 2l 的倾斜角 α 的取值范围， B (2 ，－ m )( m ∈ R) 两点，则直线是 ________．(1) Aππ [(1) ∵平面内三点 (1 ，－) ， (2 ，2， 3(2)，a) ， (3a) 共线，∴ k42ABAC＝ k ，a 2＋ a a 3＋ a即 2－ 1 ＝ 3－ 1 ，即 a ( a 2－ 2a －1) ＝ 0，解得 a ＝ 0 或 a ＝1±2. 故选 A ．21＋ m2(2) 直线 l 的斜率 k ＝ 3－ 2 ＝ 1＋ m ≥1，所以 k ＝ tan α ≥1.又 y ＝tan α 在 0， ππ ≤α ＜ π .] 上是增函数，因此24 2 求直线方程根据所给条件求直线的方程：10(1) 直线过点 ( － 4,0) ，倾斜角的正弦值为 10 ；(2) 直线过点 ( － 3,4) ，且在两坐标轴上的截距之和为12.【导学号： 79140262】[ 解 ](1) 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．10设倾斜角为 α，则 sinα ＝ 10 (0 ≤ α ＜ π ) ，3 10 1 从而 cos α ＝±，则 k ＝ tan α ＝± .1031故所求直线方程为 y ＝± 3( x ＋ 4) ．即 x ＋3 ＋ 4＝ 0 或 x － 3 ＋ 4＝ 0.y yx y(2) 由题设知纵横截距不为0，设直线方程为 a ＋12－ a ＝1，又直线过点 ( － 3,4)，－34从而 a ＋ 12－ a ＝ 1，解得 a ＝－ 4 或 a ＝ 9.故所求直线方程为4x － y ＋ 16＝ 0 或 x ＋ 3y － 9＝ 0.[ 规律方法 ]求直线方程应注意以下三点在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.[ 跟踪训练 ]求适合下列条件的直线方程：(1)过点 P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；(2) 过点A( － 1，－ 3) ，倾斜角等于直线y＝3x 的倾斜角的2 倍．[ 解 ] (1) 当直线过原点时，方程为3y＝ x，即3x－2y＝0.2x y当直线 l 不过原点时，设直线方程为a－a＝1.将P(2,3)代入方程，得 a＝－1，所以直线 l 的方程为 x－y＋1＝0.综上，所求直线l 的方程为3x－2y＝0或 x－y＋1＝0.(2)设直线 y＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为 2α .因为 tanα＝ 3，2tanα3所以 tan 2 α＝1－tan2α＝－4.又直线经过点A(－1，－3)，3因此所求直线方程为y＋3＝－( x＋ 1) ，即 3x＋ 4y＋15＝ 0.4直线方程的综合应用过点 P(4,1)作直线 l 分别交 x 轴， y 轴正半轴于 A， B 两点， O为坐标原点．(1)当△ AOB面积最小时，求直线l 的方程；(2)当 | | ＋ || 取最小值时，求直线l 的方程．OA OB[ 解 ]设直线l ：x＋y＝ 1(a＞ 0，＞ 0) ，a b b因为直线 l 经过点P(4,1)，4 1所以a＋b＝ 1.(1)4141＝4a＋＝1≥2a·，b b ab所以 ab≥16，当且仅当a＝8， b＝2时等号成立，所以当 a ＝ 8， b ＝ 2 时，△ AOB 的面积最小，x y此时直线 l 的方程为 8＋2＝ 1，即 x ＋4y － 8＝ 0.4 1(2) 因为 a ＋ b ＝ 1， a ＞ 0， b ＞ 0，4 1a 4ba 4b所以 | OA | ＋ | OB | ＝ a ＋ b ＝ ( a ＋ b ) · a ＋b ＝ 5＋ b ＋ a ≥5＋ 2 b · a ＝ 9，当且仅当 a ＝ 6，＝ 3 时等号成立，b所以当 || ＋ || 取最小值时，直线l 的方程为 x ＋ y＝1，即x ＋2y － 6＝ 0.OAOB6 3[ 规律方法 ]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略求解与直线方程有关的最值问题. 先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 .含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.求参数值或范围 . 注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 .[ 跟踪训练 ]已知直线 l ：ax － 2y ＝2a － 4，l22，： 2x ＋ a y ＝ 2a ＋ 4，当 0＜a ＜ 2 时，直线 l121l 2 与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a 为何值时，四边形的面积最小？【导学号： 79140263】[ 解 ]ax －2y ＝ 2 a － 4，得 x ＝ y ＝2，由2 ＋ 2 ＝ 2 2＋ 4，x a y a∴直线 l 1 与 l 2 交于点 A (2,2)(如图 ) ．易知 | OB | ＝ a 2＋ 2，| OC |＝2－ a ，则 S四边形 OBAC △ AOB △AOC1212＝ a － 1 215＝ S ＋ S ＝2 ×2( a ＋ 2) ＋ 2 ×2(2 － a ) ＝ a － a ＋ 4 2 ＋ 4 ，a ∈(0,2) ，1∴当 a ＝ 2时，四边形 OBAC 的面积最小．。

2019届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率学案.docx

2019 版高考数学一轮复习全册学案第 1 讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一知识梳理·自主学习[ 必备知识 ]考点 1直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义： x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为 0°≤ α <180° .2. 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即 k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式y2－y1经过两点 P1( x1，y1)， P2( x2， y2)( x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝x2－x1.考点 2直线方程的几种形式2019 版高考数学一轮复习全册学案[ 必会结论 ]直线的斜率 k 与倾斜角 θ 之间的关系牢记口诀：“斜率变化分两段， 90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”． [ 考点自测 ]1. 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 直线的倾斜角越大，其斜率越大．()y 2－ y 1(2) 斜率公式 k ＝ x 2－ x 1 ，不适用于垂直于 x 轴和平行于 x 轴的直线． ( )(3) 当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在． ( ) (4)11的直线方程一定可设为1 ＝k ( x 1) ． ()过点 P ( x ， y ) y －y － xx y中， a ， b 均应大于 0.((5) 直线方程的截距式 a ＋ b ＝ 1)答案 (1) × (2) × (3) √ (4) × (5) ×2.[ 课本改编 ] 过点( －1， ) ， ( ＋ 1,4) 的直线的斜率等于 1，则的值为 ()M m N mmA.11B.21C ． 2 D. 3答案 A4－ m解析由 m ＋ 2＝ 1，得 m ＝ 1. 故选 A.3.[课本改编 ] 倾斜角为 135°，在 y 轴上的截距为－ 1 的直线方程是 ()2019 版高考数学一轮复习全册学案A. x－y＋ 1＝ 0B．x－y－ 1＝ 0C. x＋y－ 1＝ 0D．x＋y＋ 1＝ 0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为 y＝－ x－1，即 x＋y＋1＝0.4.[ 课本改编 ] 过两点 (0,3)， (2,1)的直线方程为 ()A. x－y－ 3＝ 0B．x＋y－ 3＝ 0C. x＋y＋ 3＝ 0D．x－y＋ 3＝ 0答案B3－ 1解析所求直线的斜率k＝0－2＝－1，又过点(0,3)，所以直线方程为y－3＝－ x，即x＋ y－3＝0.5. 已知直线l：ax＋y－2－a＝ 0 在x轴和y轴上的截距相等，则 a 的值是()A.1B．－ 1C. －2 或－ 1D．－ 2 或 1答案Da＋ 2＋ 2a ，∴解析由题意可知 a≠0.当 x＝0时， y＝ a＋2；当 y＝0时， x＝a＝ a＋2，解得 a＝－2或 a＝1.6.[2018 ·长春模拟 ] 直线l： ( a－ 2) x＋ ( a＋ 1) y＋ 6＝ 0，则直线l恒过定点 ________．答案(2 ，－ 2)解析直线l 的方程变形为(＋y) － 2 ＋＋ 6＝ 0，a x x yx＋ y＝0，解得 x＝2，y＝－2，由－ 2x＋y＋6＝ 0，所以直线 l恒过定点 (2 ，－ 2).板块二典例探究·考向突破考向直线的倾斜角与斜率例 1直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)， B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案( －∞，－ 3] ∪ [1 ，＋∞)解析如图，2019 版高考数学一轮复习全册学案1－ 03－ 0∵ k AP＝2－1＝1,k BP＝0－1＝－3，∴k∈( －∞，－3] ∪ [1 ，＋∞ ).若将题中(1,0)改为( －1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率P P的取值范围．解∵ P(－1,0)， A(2,1)， B(0，3) ，∴k＝1－ 013－ 02－－ 1＝3，k ＝0－－ 1 ＝3.AP BP1如图可知，直线l 斜率的取值范围为3， 3 .若将题中条件改为“经过P(0，－1)作直线 l ，若直线 l 与连接A(1，－2)， B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α 的范围．解如图所示， k PA＝－ 2－－1＝－ 1，k PB＝1－－ 1l 倾斜1－ 02－0＝ 1，由图可观察出：直线角α的范围是 0，π3π4∪4，π .触类旁通直线的斜率与倾斜角的区别与联系2019 版高考数学一轮复习全册学案【变式训练1】(1)[2018 ·重庆巴蜀中学诊断] 直线x＋ ( a2＋1) y＋ 1＝0 的倾斜角的取值范围是 ()A. 0，πB.3π，π44C.0，ππ，πD.π ，π∪3π，π4∪ 2424答案B1解析依题意，直线的斜率k＝－a2＋1∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是3π，π.43π(2) 若经过两点A(4,2 y＋1) ，B(2 ，－ 3) 的直线的倾斜角为4，则 y 等于()A. －1 B ．－ 3 C ． 0 D ． 2答案B－ 3－ 2y－13π解析由 k＝2－ 4＝ tan4＝－ 1，得－ 4－ 2y＝ 2，所以y＝－ 3.考向求直线的方程例 2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点 ( － 4,0) ，倾斜角的正弦值为10；10(2)直线过点 ( － 3,4) ，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)与直线 3x－ 4y－ 5＝0 关于y轴对称．10解(1) 由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则 sin α＝10 (0< α <π ) ，3101从而 cos α＝±，则 k＝tanα＝±，1032019 版高考数学一轮复习全册学案1故所求直线方程为y ＝± 3( x ＋ 4) ，即 x ＋ 3y ＋ 4＝0 或 x － 3y ＋ 4＝ 0.xy－ 3(2) 由题设知截距不为0，设直线方程为 a ＋ 12－ a ＝ 1，又直线过点 ( －3,4) ，从而a＋412－ a ＝ 1，解得 a ＝－ 4 或 a ＝9.故所求直线方程为 4x －y ＋ 16＝ 0 或 x ＋ 3y － 9＝ 0.(3) 直线 3 －4 y － 5＝ 0 与y 轴的交点为A 0，－ 5 ，所求直线过A 0，－ 5，且斜率 kx4 433 5＝－ 4，所求直线方程为 y ＝－ 4x － 4，即 3x ＋ 4y ＋ 5＝ 0.触类旁通求直线方程的两种方法(1) 直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2) 待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程( 组 ) ，再求出参数，最后将其代入直线方程 .【变式训练 2】已知△ ABC 的三个顶点分别为 A ( － 3,0) ，B (2,1) ， C ( － 2,3) ，求：(1) BC 边所在直线的方程；(2) BC 边上中线 AD 所在直线的方程；(3) BC 边的垂直平分线 DE 的方程．y － 1解 (1) 因为直线 BC 经过 B (2,1) 和 C ( － 2,3) 两点，由两点式得BC 的方程为 3－ 1＝x － 2－2－ 2，即 x ＋ 2y － 4＝ 0.(2) 设 BC 边的中点 D 的坐标为 ( x ， y ) ，2－ 21＋3则 x ＝2＝0， y ＝2＝ 2.x yBC 边的中线 AD 过点 A ( － 3,0) ，D (0,2) 两点，由截距式得AD 所在直线方程为－ 3＋ 2＝ 1，即 2x － 3y ＋ 6＝ 0.1(3) 由(1) 知直线 BC 的斜率 k 1＝－ 2，则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k 2＝ 2. 由 (2) 知点 D 的坐标为 (0,2) ．可求出直线的点斜式方程为y － 2＝ 2( x － 0) ，即 2x －y ＋ 2＝ 0.2019 版高考数学一轮复习全册学案例 3 [2018 ·无锡检测 ] 已知直线l ： kx －y＋1＋2k＝0( k∈R)．(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点 B， O为坐标原点，设△ AOB的面积为S，求 S 的最小值及此时直线 l 的方程．解(1) 证明：直线l 的方程可化为y＝ k( x＋2)＋1，故无论 k 取何值，直线l 总过定点(－ 2,1) ．(2)直线 l 的方程为 y＝kx＋2k＋1，则直线 l在 y 轴上的截距为2k＋1，要使直线l不k≥0，经过第四象限，则解得 k 的取值范围是[0，＋∞)．1＋ 2k≥0，(3)依题意，直线l 在 x 轴上的截距为－1＋ 2k1＋2k，k，在 y 轴上的截距为1＋ 2k∴A －，0，B(0,1＋2k)．k1＋ 2k又－<0 且 1＋ 2k>0，k1 1 1＋ 2k111∴ k>0.故 S＝2| OA|| OB|＝2×k×(1＋2k)＝24k＋k＋4≥ 2(4＋4)＝4，11当且仅当 4k＝k，即k＝2时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l 的方程为 x－2y ＋4＝ 0.触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法(1) 与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y 的关系，将问题转化为关于x(或 y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识 ( 如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等) 来解决 .【变式训练 3】已知直线l过点M(1,1) ，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA|＋ | OB| 取得最小值时，直线l 的方程；(2)当||2＋ || 2取得最小值时，直线的方程．2019 版高考数学一轮复习全册学案解 (1) 设 A ( a, 0) ， B (0 ， b )( a >0， b >0) ．设直线 l x y1 1的方程为 a ＋ b ＝ 1，则 a ＋ b ＝ 1，1 1 a b a b 所以 | OA | ＋ | OB | ＝ a ＋ b ＝ ( a ＋ b ) a ＋b ＝ 2＋ b ＋ a ≥2＋ 2 b · a ＝ 4，当且仅当“ a ＝ b＝ 2”时取等号，此时直线 l 的方程为 x ＋ y － 2＝0.(2) 设直线 l 的斜率为 k ，则 k <0，直线 l 的方程为 y － 1＝k ( x － 1) ，1则 A 1－ k ， 0 ， B (0,1 －k ) ，221 2222 2121所以 | MA | ＋ | MB | ＝ 1－ 1＋k ＋ 1 ＋ 1 ＋(1 － 1＋ k ) ＝ 2＋ k ＋ k 2 ≥2＋ 2k · k 2＝ 4. 当且仅当 2 1l 的方程为 y － 1＝－ ( x － 1) ，即 x ＋ y k ＝ 2，即 k ＝－ 1时取等号，此时直线k－2＝ 0.核心规律1. 明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于 x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2. 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．满分策略1. 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2. 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3. 截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．板块三启智培优·破译高考易错警示系列 10 ——都是漏掉“过原点”情况惹的祸[2018 ·济南检测 ] 求经过点 P (2,3) ，并且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程．错因分析利用截距式方程求解时，忘记过原点的情况，而漏掉直线方程3x － 2y ＝ 0.3－ 0解解法一： (1) 当截距为 0 时，直线 l 过点 (0,0) ，(2,3) ，则直线 l的斜率为 k ＝ 2－ 0＝3，22019 版高考数学一轮复习全册学案3因此，直线 l 的方程为 y ＝ 2x ，即 3x － 2y ＝ 0.x y(2) 当截距不为 0 时，可设直线 l 的方程为 a ＋ a ＝ 1.2 3∵直线 l 过点 P (2,3)，∴ a ＋ a ＝1，∴ a ＝5，∴直线 l 的方程为 x ＋ y － 5＝ 0.综上可知，直线 l 的方程为 3x －2y ＝ 0 或 x ＋ y － 5＝ 0.解法二：由题意可知所求直线斜率存在，则可设 y － 3＝k ( x － 2) ，且 k ≠0.令 x ＝ 0，得 y ＝－ 2k ＋3.3令 y ＝ 0，得 x ＝－ k ＋ 2.33于是－ 2k ＋ 3＝－ k ＋ 2，解得 k ＝2或－ 1.3则直线 l 的方程为 y － 3＝ 2( x － 2) 或 y － 3＝－ ( x － 2) ，即直线 l 的方程为 3x －2y ＝ 0 或 x ＋ y － 5＝ 0.答题启示在选用直线方程时，常易忽视的情况有：1 选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线；2 选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；3 选用两点式方程时忽视与 x 轴垂直的情况及与 y 轴垂直的情况 .跟踪训练过点 (5,2) ，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 ( )A.2 x ＋ y － 12＝0B.2 x ＋ y － 12＝0 或 2x － 5y ＝ 0C. x －2y － 1＝0D. x ＋2y － 9＝0 或 2x －5y ＝ 0答案D2解析当直线经过坐标原点时，直线方程为y ＝ 5x ，即 2x － 5y ＝ 0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为 x y 5 29 x 2y 2 ＋＝ 1，则 2 ＋＝ 1，解得 b ＝ 2，故所求的直线方程是 9＋9 ＝ 1，b b b b即 x ＋ 2y －9＝ 0.板块四模拟演练·提能增分[ A 级基础达标 ]1. 直线 x ＋3y ＋ 1＝ 0 的倾斜角是 ()ππ2π 5π A. 6 B. 3 C.3 D.6答案D2019 版高考数学一轮复习全册学案k 33解析由直线的方程得直线的斜率＝－ 3 ，设倾斜角为 α，则 tan α ＝－3 ，所以5π.α＝ 62.[2018 ·沈阳模拟 ] 直线ax ＋＋＝ 0 同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，，by cbc 应满足 ()A. ab >0， bc <0 B ． ab >0， bc >0 C. ab <0， bc >0D ． ab <0， bc <0答案 A解析由于直线ax ＋＋＝ 0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变byca cac形为 y ＝－ b x － b . 易知－ b <0 且－ b >0，故 ab >0， bc <0.3.[2018 ·邯郸模拟 ] 过点 (2,1)，且倾斜角比直线 y ＝－ x － 1 的倾斜角小 π4的直线方程是( )A. x ＝2 B ． y ＝ 1 C ．x ＝ 1 D ．y ＝ 2答案 A∵直线 y ＝－ x －13π解析的斜率为－ 1，则倾斜角为 4 . 依题意，所求直线的倾斜角为3π － π ＝π，斜率不存在，∴过点 (2,1) 的直线方程为 x ＝2.4 4 24. 已知三点 A (2 ，－ 3) ，B (4,3) ， C k在同一条直线上，则 k 的值为 () 5， 2 A.12 B ． 9 C ．－ 12 D ． 9 或 12 答案A3－－ 3 k－－ 3解析2，由 k AB ＝ k AC ，得＝4－ 25－ 2解得 k ＝ 12. 故选 A.x y x y( 其中a 是不为零的常数 ) 的图象可能是5.[2018 ·荆州模拟 ] 两直线－＝与－＝m nan ma( )答案 B2019 版高考数学一轮复习全册学案解析x y n x y m 直线方程－＝a 可化为 y ＝ x － na ，直线－＝ a 可化为 y ＝ x － ma ，由此可知m nmnmn两条直线的斜率同号．故选B.6.[2018 ·安徽模拟 ] 直线 l ： x sin30 °＋ y cos150°＋ 1＝ 0 的斜率是 ()33A. 3B. 3 C ．－ 3 D ．－ 3答案 A解析sin30 ° 3设直线 l 的斜率为 k ，则 k ＝－＝ .cos150°37. 直线 x cos α＋ 3y ＋ 2＝ 0 的倾斜角的取值范围是 ________．π 5π答案0， 6 ∪6 ， ππ3解析设直线的倾斜角为θ ，依题意知， θ ≠ 2 ，k ＝－ 3 cos α ，∵ cos α ∈ [ －1,1] ，3 33 3π 5π ∴k ∈ － 3 ， 3 ，即 tan θ ∈ － 3 ， 3. 又 θ∈ [0 ， π ) ，∴ θ ∈ 0， 6 ∪6 ， πy － 18. 已知实数 x ， y 满足方程 x ＋ 2y ＝ 6，当 1≤ x ≤3时， x － 2的取值范围为 ________．3 1答案－∞，－ 2 ∪ 2，＋∞y － 1M ( x ，y ) ，N (2,1) 两点的直线的斜率，因为点 M 在 x ＋2y ＝ 6解析x － 2的几何意义是过的图象上，且 1≤ x ≤3，所以可设该线段为AB ，且 A 1， 5 3， 3NA3NB2 ， B2 ，由于 k ＝－ 2， k1 y － 13 1.＝ 2，所以 x － 2的取值范围是－∞，－∪ ，＋∞2 29. 过点 ( － 3,5) 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．M5答案 y ＝－ 3x 或 x － y ＋ 8＝ 05解析(1) 当直线过原点时，直线方程为y ＝－ 3x ；x y(2) 当直线不过原点时，设直线方程为a ＋－ a ＝ 1，即 x － y ＝ a ，代入点 ( － 3,5) ，得 a＝－ 8，即直线方程为 x － y ＋8＝ 0.10.[2018 ·衡阳模拟 ] 一条直线经过点A (2 ，－ 3) ，并且它的倾斜角等于直线y ＝1x3的倾斜角的 2 倍，则这条直线的一般式方程是________．答案 3x －y － 3 3＝ 0解析解法一：∵直线y ＝ 1x 的倾斜角为 30°，3 所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率 k＝tan60°＝ 3.又该直线过点A(2，－3) ，故所求直线为y－(－3) ＝3( x－ 2) ，即 3x－y－ 33＝ 0.解法二：设直线1x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角θ＝2α . y＝322tan α3tan θ＝ tan2 α＝1－tan2α＝ 1 2＝ 3.1－3所求直线为3x－ y－33＝ 0.[ B 级知能提升 ]1.[2018 ·海南模拟 ] 直线 (1 －a2) x＋y＋ 1＝0的倾斜角的取值范围是 ()ππ3πA. 4 ，2 B.0，4π3πππ3πC.0，2 ∪4，πD.0，4∪2，4答案C解析直线的斜率 k＝－(1－ a2)＝ a2－1，∵ a2≥0，∴ k＝a2－1≥－1.由倾斜角和斜率π3π的关系 ( 如图所示 ) ，该直线倾斜角的取值范围为0，2∪4，π .2. 已知点( －1,0)， (cosα， sin α ) ，且 || ＝3，则直线的方程为 ()A B AB ABA. y＝ 3x＋ 3或y＝－ 3x－ 33333B. y＝3x＋3或y＝－3x－3C. y＝x＋ 1 或y＝－x－1D. y＝ 2x＋ 2或y＝－ 2x－ 2答案B解析由 || ＝cos α＋2211 ＋ sinα ＝2＋2cosα＝ 3，得 cos α＝，所以 sin α＝AB2333sin α －023 sin α － 0 － 23± 2 ，所以直线 AB 的斜率 k AB ＝ cos α ＋1＝ 1＝ 3 或k AB＝cos α ＋ 1＝1＝－ 3，所2＋12＋ 1以直线 AB 的方程为 y ＝±3 ( x ＋ 1) ，即直线 AB 的方程为 y ＝ 3x ＋3或 y ＝－ 3x － 3 .3 3 33 3 选 B.3.[2018 ·宁夏调研 ] 若 ab >0，且 A ( a, 0) ， B (0 ，b ) ， C ( － 2，－ 2) 三点共线，则 ab 的最小值为 ________．答案16x y解析根据 A ( a, 0) ， B (0 ， b ) 确定直线的方程为a ＋b ＝ 1，又 C ( － 2，－ 2) 在该直线上，－ 2 －2故a ＋b ＝ 1，所以－ 2( a ＋b ) ＝ ab . 又 ab >0，故 a <0， b <0.根据基本不等式 ab ＝－ 2( a ＋ b ) ≥4 ab ，从而ab ≤0( 舍去 ) 或 ab ≥4，故 ab ≥16，当且仅当 a ＝b ＝－ 4 时取等号，即 ab 的最小值为 16.4. 在△ ABC 中，已知 A (1,1) ， AC 边上的高线所在直线方程为 x － 2y ＝ 0，AB 边上的高线所在直线方程为 3x ＋ 2y － 3＝0. 求 BC 边所在直线方程．解 k AC ＝－ 2， kAB ＝2.3∴ AC ： y － 1＝－ 2( x － 1) ，即 2x ＋ y － 3＝ 0，2AB ：y － 1＝ 3( x － 1) ，即 2x － 3y ＋1＝ 0.2x ＋ y － 3＝ 0，由得 C (3 ，－ 3) ．3x ＋ 2y －3＝ 0，2x － 3y ＋1＝ 0，由得 B ( － 2，－ 1) ．x － 2y ＝ 0，∴ BC ： 2x ＋ 5y ＋ 9＝ 0.5. 过点 (2,1) 作直线l ，与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于， B 两点，求：PA (1) △AOB 面积的最小值及此时直线 l 的方程；(2) 求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程；(3) 求| PA | ·|PB | 的最小值及此直线 l 的方程．解 (1) 解法一：设直线 l 的方程为 y － 1＝k ( x － 2) ，则可得 A2k － 1，B (0,1 －2k ) ．， 0k∵与 x 轴， y 轴正半轴分别交于， B 两点，A2k － 1k >0，∴? k <0.1－ 2k >02019 版高考数学一轮复习全册学案1于是 S △AOB ＝ 2·|OA | ·|OB |12k － 11 1＝ ··(1 － 2 ) ＝ 4－－ 4k2 kk211 ≥2 4＋ 2－ k · － 4k ＝4.11当且仅当－ k ＝－ 4k ，即 k ＝－ 2时，△ AOB 面积有最小值为 4，此时，直线 l的方程为 y1 －1＝－ 2( x － 2) ，即 x ＋ 2y －4＝ 0.x y21解法二：设所求直线 l 的方程为 a ＋ b ＝ 1( a >0， b >0) ，则 a ＋ b ＝ 1.2 1 2 ? 1 2 1 11 又∵ ＋ ≥2 ab ≥4，当且仅当＝＝，即 a ＝ 4，b ＝2 时，△ AOB 面积 S ＝ aba b ab 2 a b 22 有最小值为 4.此时，直线 l 的方程是 x ＋ y＝ 1，即 x ＋ 2y － 4＝ 0.4 2(2) 解法一：∵ 2 k － 1 ， (0,1 － 2 )(<0) ，A， 0 k kkB∴截距之和为2k － 1k ＝ 3－2k1－ 212.＋ 1－ 2 － ≥3＋ 2· －＝ 3＋ 2kkkk12当且仅当－ 2k ＝－ k ，即 k ＝－ 2时，等号成立．2故截距之和最小值为 3＋2 2，此时 l 的方程为 y － 1＝－2 ( x －2) ，即2x ＋ 2y －2－2 2＝ 0.2 1解法二：∵ a ＋b ＝ 1，212 a2a∴截距之和 a ＋ b ＝ ( a ＋b ) a ＋ b ＝ 3＋ a ＋b ≥3＋ 2a ·b ＝ 3＋ 2 2.2b a 此时 a ＝ b ，求得 b ＝ 2＋ 1， a ＝ 2＋ 2.此时，直线 lx＋ y＝ 1，的方程为2＋22＋1即 2x ＋ 2y －2－ 2 2＝ 0.(3) 解法一：∵ A 2k － 1， B (0,1 － 2k )( k <0) ，k ， 0∴ || ·| | ＝ 124k 2＋ 82＋1·4＋ 4＝2＋ 4PAPBkkk≥2·422·4 ＋ 8＝ 4.k k2019 版高考数学一轮复习全册学案当且仅当k 42＝4k2，即k＝－1时上式等号成立，故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l的方程为 x＋ y－3＝0.解法二：设∠ OAB＝θ，122则|PA|＝sin θ，|PB|＝sin 90°－θ＝cos θ，∴ | PA| ·|PB| ＝2＝4，当sin2θ ＝1，θ ＝π时，|PA|·|PB|取得最小sin θ cos θsin2 θ4值 4，此时直线l 的斜率为－1，又过定点(2,1)，∴其方程为x＋ y－3＝0.。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件理

公式 k=_t_a_n_θ__
k y1 y2 x1 x2
3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件两直线位置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1,l2, 斜率分别为 k1,k2
平行垂直
_k_1_=_k_2 k1与k2都不存在
_______ k1与k2一k1k个2=为-1零、另一个不存在
直线在x轴、
_yy_2_y_y1_1 __x_x2__xx_11 ___________ (x1 x2, y1 y2)
不含直线x=x1 (x1=x2)和直线 y=y1(y1=y2)
不含垂直于坐
y轴上的截距分别为a,b
____xa______by____1____
标轴和过原点的直线
(a 0,b 0)
第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、
直线的方程
【知识梳理】 1.直线的倾斜角 (1)定义:
相交
平行重合
x轴 0
(2)范围:直线的倾斜角α的取值范围是:_[_0_,_π__)_.
2.直线的斜率
条件直线的倾斜角θ,且θ≠90° 直线过点A(x1,y1),B(x2,y2) 且x1≠x2
4.直线方程的五种形式
名称已知条件
点斜式斜截式
斜率k与点 (x1,y1) 斜率k与直线在y轴上的截距b
方程
适用范围
_y_-_y_1_=_k_(_x_-_x_1)_ 不含直线x=x1
_______ y=kx+b
不含垂直于x 轴的直线
名称已知条件
方程
适用范围
两点式截距式
两点(x1,y1), (x2,y2)
C.0或
D.

解析几何：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

Ax ＋By＋C＝0 适用与平面直角坐 ____________ 2＋B2≠0) (A ____________ 标系内的所有直线
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
►
链接教材
1．[教材改编] 若过点 M（－2，m），N（m，4）的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 .
[答案] 1
4－m [解析] 由题意知，＝1，解得 m＝1. m＋2
[答案] y＝－2x或x＋y－1＝0
[解析] 当直线经过原点时，设直线方程为 y＝kx，∴2＝－k， x y ∴k＝－2；当直线不经过原点时，设直线方程为a＋a＝1，∴ －1 2 a ＋a＝1，∴a＝1.故所求直线方程为 y＝－2x 或 x＋y－1＝ 0.
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
►
通性通法
斜截式斜率 k 与截距 b 两点(x1，y1)， (x2，y2) 在 x 轴和 y 轴的截距分别为 a，b
不含垂直于 x 轴的 y ＝ kx ＋ b ______________
y－y1 x－x1 ＝ y － y x2－x1 ______________ 2 1
两点式
截距式一般式
x y ＋＝1 ______________ a b
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
—— 知识聚焦 —— 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角．当直线 l 和 x 轴平行或重合时，直 0° 线 l 的倾斜角为________ ． 0°≤α<180 (2)范围：倾斜角 α 的取值范围是________ ．° 2．直线的斜率正切值叫作这 (1)定义：一条直线的倾斜角 α(α ≠90° )的________ tan α ；当直线的倾斜角条直线的斜率，该直线的斜率 k＝________ 不存在． α＝90° 时，直线的斜率________ (2)过两点的直线的斜率公式：过两点 y2－y1 P1(x1，y1)，P2(x2， y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝________ x2－x1 ；若 x1＝x2，则直不存在，此时直线的倾斜角为 90° 线的斜率________ .

2019版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第8章平面解析几何 8.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

第　8章　平面解析几何8．1　直线的倾斜角、斜率与直线的方程[知识梳理]1．直线的斜率(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．(2)斜率公式给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为 k ＝.y 2－y 1x 2－x 12．直线方程的五种形式[诊断自测]1．概念思辨(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A2P 109A 组T 2)如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案　C解析　由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－>0，在CA y 轴上的截距－>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象CB 限．故选C.(2)(必修A2P 95T 3)倾斜角为150°，在y 轴上的截距为－3的直线方程为________．答案　y ＝－x －333解析　由直线的倾斜角为150°，知该直线的斜率为k ＝tan150°＝－，依据直线的斜截式方程y ＝kx ＋b ，得y ＝－x －3.33333．小题热身(1)(2017·贵州模拟)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－，34则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案　A解析　由点斜式方程知直线l 的方程为y －5＝－(x ＋2)，即343x ＋4y －14＝0.故选A.(2)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1答案　D解析　当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋aa 2＋a ＝，得a ＝－2或a ＝1.故选D.2＋aa 题型1　直线的倾斜角与斜率直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，)为端点的线典例3段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．数形结合，由斜率公式求得k PA ，k PB .答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)3解析　如图，∵k AP ＝＝1，1－02－1k BP ＝＝－，∴k ∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．3－00－133方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1．求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，当α∈时，[0，π2)斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率π2(π2，π)k ∈(－∞，0)．2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．冲关针对训练已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．答案　－≤m ≤2312解析　如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝，k PA ＝－2，k l ＝－，∴－≤－2或－≥，解得321m 1m 1m 320<m ≤或－≤m <0；1223当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点．∴实数m 的取值范围为－≤m ≤.2312题型2　直线方程的求法求适合下列条件的直线的方程：典例(1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；35(2)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．根据已知条件代入相应公式，分别为斜截式、截距式、点斜式．解　(1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝.35∴cos α＝±，直线的斜率k ＝tan α＝±.4534又直线在y 轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y ＝±x －5.34即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0.(2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)．∴l 的方程为y ＝x ，即2x －3y ＝0.23若a ≠0，则设l 的方程为＋＝1.x a y a ∵l 过点P (3,2)，∴＋＝1.3a 2a ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan2α＝＝－.2tan α1－tan2α34又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－(x ＋1)，34即3x ＋4y ＋15＝0.方法技巧给定条件求直线方程的思路1．求直线方程常用的两种方法(1)直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如本例(1)、(3)求直线方程，则直接利用斜截式即可．(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如本例(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．2．设直线方程的常用技巧(1)已知直线纵截距b 时，常设其方程为y ＝kx ＋b 或y ＝b .(2)已知直线横截距a 时，常设其方程为x ＝my ＋a .(3)已知直线过点(x 0，y 0)，且k 存在时，常设y －y 0＝k (x －x 0)．冲关针对训练根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；1010(2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝(0≤α<π)，1010从而cos α＝±，则k ＝tan α＝±，3101013故所求直线方程为y ＝±(x ＋4)，13即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意．当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得＝5，解得k ＝，|10－5k |k 2＋134故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型3　直线方程的综合应用角度1　由直线方程求参数问题 (2018·泰安模拟)已知直线典例l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.将l 1，l 2分别化为y －2＝(x －2)，a2y －2＝－(x －2)，知l 1，l 2恒过定点P (2,2)．2a 2答案　12解析　由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝×2×(2－a )＋×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝2＋，当a ＝1212(a －12)154时，面积最小．12角度2　与直线方程有关的最值问题过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于典例A ，B 两点，求：(1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程．本题采用基本不等式法求最值．解　(1)设所求直线l 的方程为＋＝1(a >0，b >0)，则＋＝1.x a y b 2a 1b 又∵＋≥2⇒ab ≥4，当且仅当＝＝，即a ＝4，b ＝22a 1b 2ab 122a 1b 12时，△AOB 面积S ＝ab 有最小值为4.12此时，直线l 的方程是＋＝1，即x ＋2y －4＝0.x 4y2(2)设所求直线l 的方程为y －1＝k (x －2)．则可得A，B (0,1－2k )(k <0)，(2k －1k，0)∴截距之和为＋1－2k 2k －1k＝3－2k －≥3＋2＝3＋2.1k (－2k )·(－1k )2此时－2k ＝－⇒k ＝－.1k 22故截距之和最小值为3＋2，此时l 的方程为y －1＝－(x －2)，222即x ＋y －2－＝0.22方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．冲关针对训练已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程；(2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解　(1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．设直线l 的方程为＋＝1，则＋＝1，x a y b 1a 1b 所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )＝2＋＋≥2＋2＝4，(1a ＋1b )a b ba ab ·b a 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k <0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ，B (0,1－k )，(1－1k ，0)所以|MA |2＋|MB |2＝2＋12＋12＋(1－1＋k )(1－1＋1k )2＝2＋k 2＋≥2＋2＝4.1k 2k 2·1k 2当且仅当k 2＝，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为1k 2y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.1.(2017·大庆模拟)两直线－＝a 与－＝a (其中a 是不为零xm yn xn ym 的常数)的图象可能是( )答案　B解析　直线方程－＝a 可化为y ＝x －na ，直线－＝a 可xm yn nm xn ym化为y ＝x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.mn 2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝，则l 的斜率为( )55A ．－ B ．－或－21212C.或2 D ．－212答案　D解析　∵sin θ＋cos θ＝，①55∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝，15∴2sin θcos θ＝－，∴(sin θ－cos θ)2＝，4595易知sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝，②355由①②解得Error!∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最2－x 2大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°答案　A解析　由y ＝得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆2－x 2为半径的圆的一部分，如图所示．2由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝，弦长|AB |＝|2k |1＋k 22＝2，所以S △AOB ＝××22－(|2k |1＋k 2)22－2k 21＋k 212|2k |1＋k 2≤＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝时等2－2k 21＋k 2(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)13号成立，结合图可知k ＝－，故所求直线l 的倾斜角33(k ＝33舍去)为150°.故选A.4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．答案　5解析　易知A (0,0)，B (1,3)，且PA ⊥PB ，∴|PA |2＋|PB|2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤＝5(|PA |2＋|PB |22当且仅当|PA |＝|PB |＝时取“＝”)．5 [基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角为( )3A. B. π6π3C. D.2π35π6答案　D解析　直线斜率为－，即tan α＝－，0≤α<π，∴α＝，33335π6故选D.2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( )A ．40° B ．50° C ．130° D ．140°答案　B解析　将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.cos40°sin40°3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )π4 A. B. π4π3C. D.2π33π4答案　D解析　由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝知，π4f (0)＝f ，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为.故选D.(π2)3π44．(2018·衡阳期末)已知直线PQ 的斜率为－，将直线绕点P3顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A. B ．－33C ．0 D ．1＋3答案　A解析　直线PQ 的斜率为－，则直线PQ 的倾斜角为120°，3所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝.故选A.35．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)答案　D解析　因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.6．(2017·河南新乡一中周考)若m ，n 满足m ＋2n －1＝0，则直线mx ＋3y ＋n ＝0过定点( )A. B.(12，16)(12，－16)C. D.(16，－12)(－16，12)答案　B 解析　∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n )＋3y ＝0，当x ＝时，mx ＋n ＝m ＋n ＝，∴3y ＝－，∴y ＝－，1212121216故直线过定点.故选B.(12，－16)7．若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案　B解析　解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.解法二：设方程为＋＝1，x a yb 将(1,4)代入得＋＝1.1a 4b a ＋b ＝(a ＋b )＝5＋≥9，(1a ＋4b )(b a ＋4a b )当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小．所以直线方程为＋＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B.x3y68．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案　C解析　∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即＋＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )＝2＋＋≥2＋2＝4，当且1a 1b (1a ＋1b )b a ab b a ·a b 仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9．(2017·烟台期末)直线mx ＋y －1＝0在y 轴上的截距是－1，n2且它的倾斜角是直线x －y －3＝0的倾斜角的2倍，则( )33A ．m ＝－，n ＝－2 B ．m ＝，n ＝233C ．m ＝，n ＝－2D ．m ＝－，n ＝233答案　A解析　根据题意，设直线mx ＋y －1＝0为直线l ，n2另一直线的方程为x －y －3＝0，33变形可得y ＝(x －3)，其斜率k ＝，33则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线x －y －3＝033的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°，3又由l 在y 轴上的截距是－1，则其方程为y ＝－x －1；3又由其一般式方程为mx ＋y －1＝0，n2分析可得m ＝－，n ＝－2.故选A.310．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．23答案　C解析　因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求的最小值．(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点(m －0)2＋(n －0)2的距离，如图．当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2.故m 2＋n 2的最小值为4.故选C.二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿的方向延PQ→ 长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案　(－73，－13)解析　直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝，k AQ ＝，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知1373k PQ <k l <k AQ ，解得－<a <－.731312．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案　x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16解析　设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为＋＝1，xa y12－a 把A (－3,4)代入，得＋＝1，－3a 412－a 解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为＋＝1，x9y3整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为＋＝1，x－4y16整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案　x －2y ＋2＝0或x ＝2解析　①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－，依题意有××2＝2，即＝1，解得2k 12|2－2k ||1－1k |k ＝，所以直线m 的方程为y －2＝(x －2)，即x －2y ＋2＝0.1212综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.14．在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α；②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°；③已知点A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)；⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．34其中正确的命题是________．(填序号)答案　②③④解析　①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为的直线有4－23－134无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误．三、解答题15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解　(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴＝a －2，即a ＋1＝1.a －2a ＋1∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴Error!或Error!∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解　(1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令Error!解得Error!∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－，在1＋2kk y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有Error!解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A，B (0,1＋2k )．(－1＋2k k ，0)依题意得Error!解得k ＞0.∵S ＝·|OA |·|OB |＝··|1＋2k |1212|1＋2kk |＝·＝12(1＋2k )2k 12(4k ＋1k ＋4)≥×(2×2＋4)＝4，12“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝，即k ＝，1k 12∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

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2 3
a2＋a a3＋a 2 ＝，即 a(a －2a－1)＝0， 2－1 3－1
解得 a＝0 或 a＝1± 2.故选 A． (2)直线 l 的斜率 k＝ 1＋m2 ＝1＋m2≥1，所以 k＝tan α≥1. 3－2
π 0， π π 2 上是增函数，因此 ≤α＜ .] 又 y＝tan α在 4 2
3
π ，π 当α∈ 2 时，k∈
.
2.斜率的两种求法 1 2 定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据 k＝tan α求斜率. 公式法：若已知直线上两点 A
y －y x1，y1 ，B x2，y2 ，一般根据斜率公式 k＝ 2 1 x1≠x2 求斜率. x2－x1
3.倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用 y＝tan α的单调性. [跟踪训练] (1)(2017·九江一中)若平面内三点 A(1，－a)，B(2，a )，C(3，a )共线，则 a＝( 2－ 5 B. 或0 2 2＋ 5 D. 或0 2
4．(教材改编)直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a＝________. 1 或－2 2 [令 x＝0，则 l 在 y 轴上的截距为 2＋a；令 y＝0，得直线 l 在 x 轴上的截距为 1＋ . a
2 依题意 2＋a＝1＋，解得 a＝1 或 a＝－2.] a 5．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 4x＋3y＝0 或 x＋y＋1＝0 4 4 [若直线过原点，则 k＝－，所以 y＝－ x，即 4x＋3y＝0. 3 3
(4)过定点 P0(x0，y0)的直线都可用方程 y－y0＝k(x－x0)表示．(
(5)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－
y1)表示．(
)
[答案]
(1)√
(2)×
(3)×
(4)× )
(5)√
2．直线 3x－y＋a＝0 的倾斜角为( A．30° C．150° B
x y 若直线不过原点，设＋＝1，即 x＋y＝a，则 a＝3＋(－4)＝－1，所以直线方程为 x＋y＋1＝0.] a a
(对应学生用书第 130 页) 直线的倾斜角与斜率
(1)直线 xsin α＋y＋2＝．
)
π 3 0， π，π 4 ∪ 4 B. π π 0，，π 4 ∪ 2 D.
(对应学生用书第 130 页) [基础知识填充] 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 l 重合所成的角，叫作直线 l 的倾斜角，当直线 l 和 x 轴平行时，它的倾斜角为 0. (2)倾斜角的范围是[0，π)． 2．直线的斜率 (1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k 表示，即 k＝tan_α，倾斜角是 90°的直线斜率不存在． (2)过两点的直线的斜率公式
(2)若直线 l 过点 P(－3,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线 l 的斜率的取值范围是________． (1)B (2) －5，－ 1 3 [(1)设直线的倾斜角为θ，则有 tan θ＝－sin α，又 sin α∈[－1,1]，
π 3π θ∈[0，π)，所以 0≤θ≤ 或 ≤θ＜π. 4 4 (2)因为 P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，
y2－y1 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝ . x2－x1
3．直线方程的五种形式名称点斜式斜截式两点式方程适用范围不含直线 x＝x0 不含垂直于 x 轴的直线不含直线 x ＝ x1(x1≠x2)和直线 y＝
y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1 x y ＋＝1 a b Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
y1(y1≠y2)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线平面内所有直线都适用
截距式一般式
[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) ) ) )
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[考纲传真] (教师用书独具)1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
求直线方程
根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 10 ； 10
则 kPA＝
－3－2 ＝－5，－2－(－3)
0－2 1 kPB＝＝－ . 3－(－3) 3 如图所示，当直线 l 与线段 AB 相交时，直线 l 的斜率的取值范围为 [规律方法] 1 2 1.倾斜角α与斜率 k 的关系 . －5，－ 1 3 .]
π 0， 2 时，k∈[0，＋∞ 当α∈ 当α＝ π 时，斜率 k 不存在. 2 －∞，0
B．60° D．120°
[设直线的倾斜角为α，则 tan α＝ 3，
π ∵α∈[0，π)，∴α＝ .] 3 3．过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( A．1 C．1 或 3 A [由题意知 B．4 D．1 或 4 4－m ＝1(m≠－2)，解得 m＝1.] m＋2 )
2 2 3
)
A．1± 2或 0 2± 5 2
C．
(2)直线 l 经过 A(3,1)，B(2，－m )(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角α的取值范围是________． (1)A 即 π π ， 2 (2) 4 [(1)∵平面内三点 A(1，－a)，B(2，a )，C(3，a )共线，∴kAB＝kAC，