高中数学,函数定义域值域求法总结

函数定义域、值域求法总结

一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：

1分母不为零

2偶次根式的被开方数非负; 3对数中的真数部分大于0;

4指数、对数的底数大于0,且不等于1

5y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等; 6 0x 中x 0≠

二、值域是函数y=fx 中y 的取值范围;

常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法 4配方法 5换元法 包括三角换元6反函数法逆求法

7分离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终;

定义域的求法

1、直接定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① 21)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=211)( 解：①∵x-2=0,即x=2时,分式2

1

-x 无意义,

而2≠x 时,分式2

1

-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0,即x<-32

时,根式23+x 无意义,

而023≥+x ,即3

2

-≥x 时,根式23+x 才有意义,

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式

x

-21

同时有

意义,

∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⎩⎨⎧≠-≥2

1

x x

例2 求下列函数的定义域：

①14)(2

--=x x f ②214

3)(2-+--=

x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=0)1()(

⑤3

7

3132+++-=

x x y

解：①要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为： 3,3-

②要使函数有意义,必须：⎩⎨

⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131

40

210432x x x x x x x 且或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义,必须： 011110110

≠++≠+≠⎪

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨⎧x

x x 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x

∴函数的定义域为：}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义,必须： ⎩

⎨

⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01

x x

∴定义域为：{}011|<<--

⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩

⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R

x

即 x<37

- 或 x>3

7- ∴定义域为：}3

7|{-≠x x

2 定义域的逆向问题

例3 若函数a

ax ax y 1

2+-=的定义域是R,求实数a 的取值范围 定义域的逆向问题

解：∵定义域是R,∴

恒成立，01

2≥+

-a ax ax

∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于

练习：

3

22

log

+-=

mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围；

3 复合函数定义域的求法

例4 若函数)(x f y =的定义域为1,1,求函数)41

(+=x f y )4

1(-⋅x f 的定义域

解：要使函数有意义,必须：

∴函数

)41(+=x f y )

41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫

⎩⎨⎧≤≤-4343|x x

例5 已知fx 的定义域为－1,1,求f2x －1的定义域;

分析：法则f 要求自变量在－1,1内取值,则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 －1,1内取值,即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f2x －1中2x －1与fx 中的x 位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;

注意：fx 中的x 与f2x －1中的x 不是同一个x,即它们意义不同; 解：∵fx 的定义域为－1,1, ∴－1≤2x －1≤1,解之0≤x ≤1,

∴f2x －1的定义域为0,1;

例6已知已知fx 的定义域为－1,1,求fx 2的定义域;

答案：－1≤x2≤1⇒ x2≤1⇒－1≤x ≤1

练习：设)(x f 的定义域是3,2,求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}

2460|+≤≤x x 例7 已知f2x －1的定义域为0,1,求fx 的定义域

因为2x －1是R 上的单调递增函数,因此由2x －1, x ∈0,1求得的值域－1,1是fx 的定义域;

练习：

1 已知f3x －1的定义域为－1,2,求f2x+1的定义域;[2,2

5

-

提示：定义域是自变量x 的取值范围 2 已知fx 2的定义域为－1,1,求fx 的定义域

3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是

Ａ．[]1,1-

Ｂ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-21,21

Ｃ．⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡1,21

Ｄ．10,2⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

4 已知函数()11x

f x x

+=

-的定义域为Ａ,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ,则 Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =

求值域问题

利用常见函数的值域来求直接法

一次函数y=ax+ba ≠0的定义域为R,值域为R ； 反比例函数)0(≠=

k x k

y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}；

二次函数

)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为

R,