求无理函数最值的四个策略

无理函数最值探求的四个策略

函数是中学阶段的一个核心内容，值域在函数的应用中具有重要地位，它贯穿于整个高中数学的始终。而无理函数是一类特殊的函数，通常是自变量包含在根式（通常是最简根式）中的函数。 无理函数的最值问题中学数学中常见的问题之一，那么如何快速准确地求出此类问题呢？是什么让同学们感到棘手的呢？本文给出以下四个策略来处理无理函数的最值问题.

1 有理化策略处理

无理函数的特殊之处在于含有根号，如果能够进行等价变形，把根号去掉，问题便会迎刃而解.对无理函数进行去根号化处理是一个基本的策略.

例1 已知函数232+-+

=x x x y ，求该函数的最小值. 解：由232+-+

=x x x y 得：0232≥+-=-x x x y ，两边同时平方得：23)(22+-=-x x x y ，即2)32(2-=-y x y ，从而3222--=y y x ，又x y ≥，所以3222--≥y y y ，得：2

31<≤y 或y ≤2，故232+-+=x x x y 的最小值为1 评析：两边平方是对无理函数进行有理化处理最常见的手段，但要注意等价性.注意本题中x y ≥的隐含条件的使用.

2 换元法策略处理

例2 求函数1412--+=x x y 的最小值. 解：令01≥-=x t ，则12+=t x ，从而3422+-=t t y )0(≥t ,所以1)1(22+-=t y ，故1=t 时，y 的最小值为1

例3 求函数x x y 312+-=的最大值.

解：因为11≤≤-x ，令],0[,cos πθθ∈=x ，从而θsin 12=-x ，故θθcos 3sin +=y ，即)3sin(2π

θ+=y ],0[πθ∈，所以y 的最大值为2.

评析：对无理函数进行适当的换元，可以转化为常见函数的最值问题，其中三角换元尤其重要，如含有21x -、21x +、12-x 可分别令θsin =x 、θtan =x 、θsec =x ，从而能够快速解决问题.

3 柯西不等式策略处理

例4 求函数x x y -+-=521的最大值.

解：因为51≤≤x ，由柯西不等式得5251215212

2=-+-+≤-+-x x x x （当且仅当5

9=x 时取等号）

评注：利用柯西不等式：2222y x b a by ax +⋅+≤

+能够快速求得这类无理函数的最大值 4 数形结合的策略处理

例5 求函数12--

=x x y 的最大值. 解：令01,2≥-==x v x u ，则122=-v u ，这样：点),(v u

在双曲线122=-v u 的上半部分上，如图：而v u y -=，从而当直线v u y -=过点)0,1(时，y 有最大值1，即原函数的最大值为1.

例6 求函数842222+-++-=

x x x x y 的最小值. 解：842222+-++-=x x x x y 22222)2(1)1(+-++-=x x ，

故几何意义为：在直角坐标系下，函数值为x 轴上的点)0,(x 与)2,2(),1,1(-B A 的 距离之和，如图所示，从而可知10||=≥AB y ，即三点共线时，函数最小值为10.

评析：根据函数的特征，对其适当变形，寻求其几何意义，运用图形的直观性或利用线性规划来处理，这也是一种快速而重要的策略.

根据无理函数解析式的特征，选择合适的策略，可以迅速地解决问题，达到事半功倍的效果. 链接训练题：

（1）. 求函数x x y ++-=11的最大值和最小值。

（2）. 求函数242x x y -+-=的最大值和最小值。

（3）. 求函数y x x =-+-23134的值域

(4)．求函数261013422+-++-=x x x x y 的最小值

答案：(1)最大值为2，最小值为2；（2）222max -=y ，4min -=y ；

（3）函数值域为(]-∞，4； （4）最小值为5