数学竞赛中的无理函数最值问题

数学竞赛中的无理函数最值问题

无理函数是一类特殊的函数，其最值(或值域)的求法大多涉及到化归思想，能较好的考查学生分析问题解决问题的能力，因此受到数学竞赛命题人的青睐，时常出现在数学竞赛中，本文结合近几年全国数学联赛中的一些试题，总结这类问题的解法，并给出相应练习供参考：

一、利用函数单调性求无理函数的最值

若无理函数函数的单调性比较容易确定，常借助其单调性求最值。 例1（2010全国高中数学联赛）.函数x x x f 3245)(---=的值域是 .

解析：该题是一道基础题，易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，x=5时)(x f 取到最小值-3，x=8时)(x f 取到最大值3，所以)(x f 的值域为]3,3[-.

练习1：函数12)(2+-+-=x x x x f 的最小值是 .（3） 二、利用代数换元求无理函数的最值

例2.（2011全国高中数学联赛山西预赛）函数25y x =-是 ．

解析：t =，则612304(113)14y x x =-+=--+

2

23656546142244t t t ⎛

⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭

，则6524y ≤，当34t =，即16748x =取得等号，

所以25y x =-24

65. 例 3.（2011全国高中数学联赛四川初赛）已知0>m ，若函数

mx x x f -+=100)(的最大值为)(m g ，求)(m g 的最小值．

解析：令mx t -=100，则m

t x 2

100-=，

∴4

100)2(110022m

m m t m t m t y ++--=+-=

， ∴当2m t =

时，y 有最大值

4100m m +，即4

100)(m

m m g +=． ∴104

10024100)(=⨯≥+=

m

m m m m g ，

等号当且仅当20=m 时成立， ∴当20=m 时，)(m g 有最小值10．

评析：对于形如“y m x n a x b

=++±”的无理函数，一般可通过令t a x b =+，将原函数转化为关于t 的二次函数，通过配方求最值，本法同

样适用于形如“y m x n a x b

=++22±”的函数。 练习2： 函数1412--+=x x y 的最小值是 ．(1). 三、利用三角换元求无理函数的最值

例4（2011全国高中数学联赛四川初赛） 函数x x x f 3245)(-+-=的最大值为（ ）

A 、3

B 、3

C 、32

D 、33

解析：本题显然由例1改编，一个运算符号的差别，导致解法的不同，因为

3)8()5(22=-+-x x ,所以可设x-5=θsin 3，8-x=θcos 3(0≤2π

θ≤)，

则x x 3245-+-=θsin 3+θcos 3=)3

sin(32π

θ+≤32,所以选C.

评析：对一些无理函数进行适当的三角换元，可去掉根式，转化为三角函数求最值，一般来说，若函数式中含有21x -、21x +、12-x 可分别令θsin =x 、

θtan =x 、θsec =x ，从而脱去根式,再借助三角函数有界性求最值.

例5．（2011全国高中数学联赛）.函数1

1

)(2-+=x x x f 的值域

为 ．

解析：设4

2

2

tan π

θπ

θπ

θ≠

<

<-

=且，x ，

则1tan cos 1

)(-=θθx f =）（4sin 21

cos sin 1πθθθ-=

-， 由4

2

2

π

θπ

θπ

≠

<

<-

且得

)1,0()0,2[)4

sin(2 -∈-π

θ，

所以

），（，（）（∞+-∞-∈-1]22

4

sin 21

πθ， 所以1

1

)(2-+=x x x f 的值域为），（，（∞+-∞-1]22 .

练习3:(2011全国高中数学联赛内蒙古初赛)

18450910)(22-+-+-+-=x x x x x f 的最大值为 ．(15) 四、利用柯西不等式求无理函数最值

我们以上面的例4为例，来分析柯西不等式的应用：因为51≤≤x ，由柯西不等式得3285315.352=-+-+≤-+-x x x x

评注：利用柯西不等式：2222y x b a by ax +⋅+≤+能够快速求得这类无理函数的最大值

五、利用距离模型求无理函数最值

例 6.(2008全国高中数学联赛江西预赛)设

x R ∈， 则函数()()2

211216f x x x =++

-+的最小值

为 .

解析：如图，取A 为数轴原点，12AB =，再作

AB 垂线,AC BD ，使1,4AC BD ==,在数轴上取

点P ，使 AP x =，则()f x CP DP =+，当,,C P D 共线时，

)(x f 值最小，此时.13512||||)]([22min =+===AE CD x f

例7.求函数842222+-++-=x x x x y 的最小值.

解：842222+-++-=x x x x y 22222)2(1)1(+-++-=x x ， 故几何意义为：在直角坐标系下，函数值为x 轴上的点)0,(x 与)2,2(),1,1(-B A 的 距离之和，如图所示，从而可知10||=≥AB y ，即三点共线时，函数最小值为10.

练习4:函数()424236131f x x x x x x =--+--+的最大值是_______。

六、利用斜率模型求无理函数最值

例8.求函数()211

2x f x x -+=+的最小值。

解:令21x y -=,则()()1

,2

y f x g x y x +==+且()2210x y y +=≥，于是问题转化为:

P

E

D C

B

A