一阶偏导和二阶偏导公式

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二阶偏导的数值公式

二阶偏导的数值公式二阶偏导的数值公式是指在多元函数中，对同一个变量连续求导两次的结果。

它可以用来描述函数在某一点的曲率和变化率等信息。

下面我们将详细介绍二阶偏导的数值计算方法。

我们先回顾一下一阶偏导的数值计算方法。

一阶偏导表示对函数在某一点的某个变量求导，可以通过有限差分法来计算。

有限差分法基于函数在一点附近的两个点之间的差值来逼近导数的定义，即：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h其中，h表示两个点之间的间隔。

同理，对于二阶偏导，我们可以使用类似的方法来计算。

假设我们要计算函数f(x,y)对x的二阶偏导数，首先我们可以通过一阶偏导数的定义来计算一阶偏导数值：fx = (f(x+h,y) - f(x-h,y)) / (2*h)其中，h表示x方向上的间隔。

然后，我们再对一阶偏导数fx关于x再次求导，得到二阶偏导数的近似值：fxx = (fx(x+h,y) - fx(x-h,y)) / (2*h)同样的，我们也可以计算函数f(x,y)对y的二阶偏导数fyy。

通过以上的方法，我们可以计算出函数f(x,y)在某一点的二阶偏导数值。

需要注意的是，选择合适的间隔h对结果的精度和稳定性有很大影响，一般来说，h越小，结果越精确，但同时计算量也增加。

还有一种常用的计算二阶偏导数的方法是使用中心差分公式。

中心差分公式的思想是通过函数在某一点附近的三个点来逼近二阶偏导数的定义。

具体计算公式为：fxx = (f(x+h,y) - 2*f(x,y) + f(x-h,y)) / (h^2)同理，我们也可以计算函数f(x,y)对y的二阶偏导数fyy。

总结一下，二阶偏导的数值计算方法包括有限差分法和中心差分法。

通过这两种方法，我们可以计算出函数在某一点的二阶偏导数值，从而得到函数的曲率和变化率等重要信息。

这些信息对于研究函数的性质和优化问题都具有重要意义。

然而，在实际计算中，我们需要选择合适的间隔h以及合适的计算方法，以保证结果的精确性和稳定性。

偏导数和微分的概念和计算

梯度的几何意义
梯度的方向垂直于函数在该点的等值线（或等值面），且指向函数增长的方向。梯度的大小等于函数在该点沿梯度方向的方向导数的最大值。
方向导数定义及计算方法
方向导数的定义
设函数$z = f(x, y)$在点$P(x_0, y_0)$的某邻域$U(P)$内有定义。自点$P$引射线 $l$，设$x$轴正向到射线$l$的转角为 $alpha (alpha in [0, 2pi))$。若极限 $lim_{rho to 0^+} frac{f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) - f(x_0, y_0)}{rho}$存在，则称此极限为函数$f(x, y)$在点$P$ 沿方向$l$的方向导数，记作 $frac{partial f}{partial l} |_{(x_0, y_0)}$ 。
隐函数偏导数求解
隐函数求导法则
对于形如F(x, y, z) = 0的隐函数，可以使用链式法则和多元函数求导法则，求出z对x和y的偏导数。
公式法
对于某些特定的隐函数形式，可以直接套用公式求出偏导数。例如，对于形如z = f(x, y)的隐函数，可以使用公式dz = f'x dx + f'y dy求出z的全微分，进而求出偏导数。
04
梯度、方向导数与偏导数关系
梯度概念及其与偏导数关系
梯度的定义
梯度是一个向量，其方向是函数在该点处增长最快的方向，大小等于该方向上的方向导数。
梯度与偏导数的关系
对于二元函数$z = f(x, y)$，其在点$(x_0, y_0)$处的梯度为$nabla f(x_0, y_0) = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0))$，其中$f_x$和$f_y$分别是函数$f$对$x$和$y$的偏导数。

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数

第二节二元函数的一阶、二阶偏导数一、二元函数的一阶偏导数1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定义，若一元函数zf(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作f x (x 0，y 0) ，或z x |xx 0，或y y 0 f(x 0，y 0)z；，或 |x x xx yy若一元函数zf(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函数z f (x ，y)在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |xx 0，或f(x 0，y 0)，或 y y y 0z x 0。

|x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。

3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数zf(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z，或和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z。

x x yy 二、二阶偏导数1、定义——二元函数 zf(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数z f (x ，y)的二阶偏导数，共有四个，分别记作f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2(x ，y)2zx 2 ，或x 22，2f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或f(x y)，或 z y x x y2 ，2f yx(x，y) (f y(x，y))x，或z yx，或f(x y)，或zy xx yf yy(x，y) (f y(x，y))y，或z yy，或f2(x，y)，或2z。

二阶偏导数

k
例2. 设u = u ( x, y )在任何点 ( x, y )处的全微分
du = ( x + ay )dx + ( x + y + b sin x )dy. 求常数 a, b.
2
u ′ = x 2 + ay, u ′y = x + y + b sin x. 解: x
知u ′ , u ′y 均可导, 有 x ′ u ′′ = a, (连续), u ′yx = 1 + b sin x, (连续). xy
g ( x , y + ∆y ) − g ( x , y ) g ′y ( x, y ) = lim , ∆y → 0 ∆y
′′ f xy ( x , y ) = [ f x′ ( x , y )
′ ]
y
f x′ ( x, y + ∆y ) − f x′ ( x, y ) = lim , ∆y →0 ∆y
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续偏导. 则记为 f (X)∈Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)∈Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都可写成
∂ f , 或, f x(mky)k −m ∂x m ∂y k −m
2222yxyxyx?????????2yxabybxa????????????????????2222222axxaxa???????????????????????????22222222ddd2dzd则yyzyxyxzxxzzyyxx2dd??????????zyyyxyxxx???????????????2222222ddd2d
(x 0 +∆x , y0)及 (x0 , y0 +∆y)均在U(X0)内. 记 A = [ f (x0 +∆x , y0 +∆y) – f (x0 +∆x , y0)] – [ f (x0, y0 +∆y) – f (x0 , y0)]

二阶偏导几何意义

二阶偏导几何意义
二阶偏导数是函数在某一点处的二阶导数，也就是对函数的某一变量求导两次，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

在几何上，二阶偏导数可以用来描述函数的局部曲率和曲率变化率。

具体来说，设函数f(x,y)具有两个连续偏导数，即f(x,y)、
fx(x,y)和fy(x,y)均连续。

则在(x0,y0)处，f的二阶偏导数可以表示为以下形式：
f''(x0,y0)=[2f/x2](x0,y0) [2f/yx](x0,y0)
[2f/xy](x0,y0) [2f/y2](x0,y0)
其中，[2f/x2](x0,y0)表示f在x0处沿x轴方向的曲率，
[2f/y2](x0,y0)表示f在y0处沿y轴方向的曲率，[2f/xy](x0,y0)和[2f/yx](x0,y0)分别表示f在(x0,y0)点处的曲率变化率。

几何上，可以把f(x,y)看成是一个曲面，而(x0,y0,f(x0,y0))则是该曲面上的一个点。

在这个点处，[2f/x2](x0,y0)和
[2f/y2](x0,y0)分别描述该曲面沿x轴和y轴方向的曲率，即曲面在该点处向该方向弯曲的程度。

而[2f/xy](x0,y0)和[2f/yx](x0,y0)则表示曲面在该点处沿着斜线方向进行弯曲的程度。

因此，通过对二阶偏导数的分析，可以深入了解曲面的特性，进而更好地理解和掌握函数的本质。

- 1 -。

偏导数公式大全

以下是常见的偏导数公式大全：
1. 一阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-∂f/∂x：对x 求偏导数
-∂f/∂y：对y 求偏导数
2. 高阶偏导数：
-对于函数f(x, y)：
-二阶偏导数：
-∂²f/∂x²：对x 求二阶偏导数
-∂²f/∂y²：对y 求二阶偏导数
-∂²f/∂x∂y：先对x 求偏导数，再对y 求偏导数
-∂²f/∂y∂x：先对y 求偏导数，再对x 求偏导数
-更高阶的偏导数类似地进行推导
3. 链式法则：
-对于复合函数z = f(g(x, y))：
-∂z/∂x = (∂f/∂g) * (∂g/∂x)
-∂z/∂y = (∂f/∂g) * (∂g/∂y)
4. 常见函数的偏导数：
-对于指数函数e^x：
-∂(e^x)/∂x = e^x
-对于对数函数ln(x)：
-∂(ln(x))/∂x = 1/x
-对于三角函数sin(x) 和cos(x)：
-∂(sin(x))/∂x = cos(x)
-∂(cos(x))/∂x = -sin(x)
以上是一些常见的偏导数公式，但并不是完整的列表。

在实际应用中，还会涉及更复杂的函数和多元变量的情况，需要根据具体问题进行推导和计算。

偏导数

xy) y1 , z y

(1
xy) y ln(1
xy)
xy 1 xy ;
2、u z( x y)z1
,
u

z(x
y ) z 1 ,
x 1 ( x y)2z y 1 ( x y)2z
u ( x y) ln( x y) . z 1 ( x y)2z

a
2e ax
cos
by,
u beax sin by; y
2u y2

b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
相等？
定理如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
| y|
( x2 y2 )3
Βιβλιοθήκη x2x y2
sgn
1 y
( y 0)
z 不存在． y x0
y0
例 4 已知理想气体的状态方程 pV RT （R为常数），求证： p V T 1.
V T p
证
p

RT V

p V

RT V2
;
V RT V R; T pV T V ;
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：
原函数图形
偏导函数图形
偏导
导二函阶
函
数混

8.2 偏导数

y0 ) 就是曲面被平面 x = x0 所截得偏导数 f y ( x0 ，的曲线在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
二、高阶偏导数
函数 z = f (x, y) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f xx ( x ， y )， 2 f yy ( x ， y )， x x x y y y
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) lim x 0 x
存在，则称此极限值为函数 z = f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处对 x 的偏导数，记为
z x
x x0 y y0
，
f x
x x0 y y0
，
zx
x x0 y y0
原结论成立.
z z 和 . 例4 设 z arcsin ，求 x y x2 y2
x
解
z x
1 x2 1 2 x y2
x x2 y2 x

x2 y2 y2 | y| 2 ， 2 | y| ( x 2 y 2 )3 x y
x x2 y2 z2 y x y z
2 2 2
，
，
z x2 y2 z2
.
有关偏导数的几点说明：
z 1、偏导数是一个整体记号，不能拆分； x
（在例 5 中说明的问题）
2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求.
xy ， ( x， y ) (0， 0)， 2 2 例7 设 f ( x ， y) x y 0， ( x， y ) (0， 0) ，求 f ( x， y ) 的偏导数 .

高数第二节：偏导数

fx (x, y)
y( x2 y2 ) 2x xy (x2 y2)2
y( y2 x2) ( x2 y2 )2 ,
由对称性得
fy(x, y)
x(x2 y2) ( x2 y2 )2 ,
xy
例5
设
f
( x,
y)
x
2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 若将 y 固定（看作常量），则它成为一个关于 x 的一元函数，可将其对 x 求导。
这个关于 x 的一元函数对 x 的导数，称为二元函数 z = f (x , y ) 关于 x 的偏导数
同理，可定义 z = f ( x , y ) 关于 y 的偏导数。
u beax sin by; y
2u x 2
a 2e ax
cos
by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
2u 2u xy yx
问题：混合偏导数一定相等吗？
x3y
例
8
设
f
(
x,
y)
x2
y2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z.
原结论成立．
例 3 设 z arcsin x ，求 z ， z .

直角坐标转化极坐标系的二阶偏导

直角坐标转化极坐标系的二阶偏导在数学中，直角坐标系和极坐标系是两种常用的坐标系统。

在某些问题中，我们可能需要在这两种坐标系之间进行转化。

本文将讨论如何计算直角坐标系中一个点的二阶偏导数，并将结果转换为极坐标系。

首先，我们需要了解直角坐标系和极坐标系的定义和关系。

直角坐标系是二维平面上的一种坐标系统，使用x轴和y轴来表示点的位置。

给定一个点P(x, y)，其中x是点P到y轴的垂直距离，y是点P到x轴的垂直距离。

极坐标系是二维平面上的另一种坐标系统，使用极径r和极角θ来表示点的位置。

给定一个点P(r, θ)，其中r是点P到原点O的距离，θ是点P到x轴的夹角。

现在我们来讨论如何计算直角坐标系中一个点的二阶偏导数，并将结果转换为极坐标系。

假设有一个函数z = f(x, y)，其中x和y是直角坐标系中的变量。

我们希望求解点(x0, y0)处的二阶偏导数。

为了计算二阶偏导数，我们需要依次计算一阶偏导数。

一阶偏导数可以通过求偏导数来计算。

对于函数z = f(x, y)，它的一阶偏导数可以表示为∂z/∂x 和∂z/∂y。

我们可以使用以下公式计算它们：∂z/∂x = lim(h→0) [f(x0 + h, y0) - f(x0, y0)] / h ∂z/∂y = lim(h→0) [f(x0, y0 + h) -f(x0, y0)] / h其中，h是一个无限接近于0的小量。

一旦我们计算出一阶偏导数，我们可以继续计算二阶偏导数。

二阶偏导数可以表示为∂²z/∂x²、∂²z/∂y² 和∂²z/∂x∂y。

通过以下公式计算：∂²z/∂x² = lim(h→0) [∂z/∂x(x0 + h, y0) - ∂z/∂x(x0, y0)] / h ∂²z/∂y² = lim(h→0) [∂z/∂y(x0, y0 + h) - ∂z/∂y(x0, y0)] / h ∂²z/∂x∂y = lim(h→0) [∂z/∂x(x0, y0 + h) -∂z/∂x(x0, y0)] / h计算二阶偏导数后，我们可以将结果转换为极坐标系。

二元复合函数求二阶偏导

二元复合函数求二阶偏导1. 二元函数和复合函数的概念回顾在微积分中，我们学习了一元函数的概念，即只包含一个自变量的函数。

二元函数则包含两个自变量，并将其映射到一个实数上。

复合函数是由两个或多个函数构成的函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。

2. 二元复合函数的定义设有两个二元函数，f (x,y )和g (u,v )，其中u =g (x,y )，那么复合函数ℎ(x,y )=f(g (x,y ))就是由f 和g 构成的二元复合函数。

3. 二阶偏导数的概念和计算方法偏导数是多元函数中求导的一种方法，它指定了函数在某一变量上的变化率。

对于二元函数f (x,y )来说，偏导数可以分别对x 和y 求得。

一阶偏导数的计算方法为：∂f ∂x =lim Δx→0f (x+Δx,y )−f (x,y )Δx ∂f ∂y =lim Δy→0f (x,y+Δy )−f (x,y )Δy二阶偏导数表示一阶偏导数对另一个变量再求导，计算方法为： ∂2f ∂x 2=∂∂x (∂f ∂x )∂2f∂y 2=∂∂y (∂f ∂y ) ∂2f ∂x ∂y =∂∂x (∂f ∂y ) ∂2f ∂y ∂x =∂∂y (∂f ∂x ) 4. 计算二阶偏导的步骤对于二元复合函数的二阶偏导数，我们可以按照以下步骤进行计算：步骤1: 求一阶偏导数首先，我们需要求出复合函数的一阶偏导数∂ℎ∂x 和∂ℎ∂y 。

这可以通过链式法则来计算。

接下来，我们需要对一阶偏导数再次求导。

对于∂ℎ∂x 和∂ℎ∂y ，分别求对x 和y 的偏导数，得到二阶偏导数。

步骤3: 计算混合偏导数最后，我们需要计算混合偏导数∂2ℎ∂x ∂y 和∂2ℎ∂y ∂x 。

根据 Schwarz 定理，对于连续的函数，混合偏导数是相等的。

5. 二元复合函数求二阶偏导的示例为了更好地理解二元复合函数求二阶偏导的过程，我们来看一个示例。

示例问题设有二元函数f (x,y )=x 3y +xy 2和复合函数g (u,v )=u 2+v 2，求复合函数ℎ(x,y )=f(g (x,y ))的二阶偏导数。

差分方程的偏导__概述说明以及解释

差分方程的偏导概述说明以及解释1. 引言1.1 概述差分方程是描述离散时间变化的数学方程，具有广泛的应用价值。

在实际问题中，许多现象的发展都可以通过差分方程加以描述和解决。

然而，在一些复杂的情况下，仅使用差分方程可能无法完全准确地表示系统变化。

因此，我们需要引入偏导数这一概念，通过对差分方程进行偏导，从而更加精确地描述系统状态的演化过程。

1.2 文章结构本文将首先介绍差分方程的定义和性质，并提出偏导数的基本概念。

随后，我们将详细解释了差分方程中偏导数的计算方法，包括前向差分法、后向差分法和中心差分法。

接着，在第四部分，我们将通过案例讨论来说明偏导数在求解差分方程中的实际应用。

具体包括热传导方程中的偏导数应用、物种扩散模型中的偏导数应用以及经济增长模型中的偏导数应用。

最后，在结论与总结部分对文章内容和主要观点进行总结，并展望未来相关研究方向和发展趋势。

1.3 目的本文旨在深入介绍差分方程中偏导数的概念和计算方法，并展示偏导数在实际应用中的重要性。

通过对不同领域中相关问题的案例讨论，我们希望读者能够更好地理解和运用偏导数这一工具，从而提高问题求解的准确性和效率。

同时，本文也为进一步研究差分方程和偏导数的应用提供了基础和参考。

2. 差分方程的偏导概述部分的内容如下：2.1 差分方程的定义与性质差分方程是一种使用差分算子来描述函数变化率的离散数学模型。

它在许多科学和工程领域中有广泛的应用，特别是在数值计算和动态系统建模中。

差分方程是通过将连续函数离散化来获得的，其中时间或空间被离散成有限个点。

差分方程通常具有初始条件和边界条件，并可以用来预测离散时间或空间上函数的行为。

在差分方程中，偏导数像微积分中一样起着重要作用。

偏导数表示函数对于其中一个自变量（通常是时间或空间）的变化率。

它告诉我们函数在某个点上沿着某个自变量方向上的斜率。

与连续函数不同，差分方程中的偏导数需要进行适当处理才能进行计算。

2.2 偏导数的基本概念在连续函数情况下，我们可以使用极限定义来计算偏导数。

二阶偏导数

A [ f x( x0 1x, y0 y) f x( x0 1x, y0 )]x
再对变量 y 用拉格朗日中值定理. 得
( x0 1x, y0 2 y )xy, 0 1 , 2 1. A f xy
另外, A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0, y0 +y )] –
f 21 . 其中 f12
y w f ( x y, ) x
2
x 2 设z z ( x, y )由方程x 2 y 2 tgz e z 所确定, 求 . 2 z 例5.
解: (1) 记F ( x, y, z) x2 y 2 tgz e z
Fx z , 由隐函数求导公式 x Fz
z 例1. 设z x y x sin y 3, 求全部二阶偏导和 3 . x x y 2 y 2 x 1, 2 x 2 y cos y. 解: z z
3 2 2
x 2 2 y2, 2 z
y 2 2 x 2 sin y, 2 z
x 3 0. 3 z
w . 例3. 设w f ( x y z, xyz), f C , 求 xz
2 2
解: 设 u=x+y+z, v=xyz,
从而 w = f (u, v)是x , y , z,的复合函数. 由链式法则.
w f1 1 f 2 yz x
f1( x y z, xyz) yzf 2( x y z, xyz).
( x0 , y0 ) 故, f xy
1 f ( x0 x, y0 y) f (x0 , y0 +y) lim lim y 0 x0 xy

偏导数的概念

f ( x x, y ) f ( x, y ) lim , ( x, y ) D x 0 x
存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数
z=f(x,y)对x的偏导函数，记作
z f , , f x ( x, y )或z x ( x, y ). x x
类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变
求导.
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函数值，即 f x ( x, y ) |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )，这样就得到了函数
z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入
z f ( x, y ), y y0 .
上式表示y=y0平面上的一条曲线z=f(x,y0).根据导数的几
何意义可知：fx(x0,y0)就是这
条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的
切线关于x轴的斜率.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交线
z f ( x, y ), x x0
f xy ( x, y, z ) 2 y, f xyz ( x, y, z ) 0, f xyz (1,1,1) 0.
1 例9 证明函数 u t
u 证 t 2
x2 3 1 2 4t t e
3 1 2 t
x2 e 4t
u 2u 满足方程 2. t x
f(x0,y0).
同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点的偏导数不存在的例子. 例如，二元函数 f ( x, y ) x 2 y 2 ，在点(0,0)处是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在. 事实上，f ( x, y ) x 2 y 2 是初等函数，(0,0)点是定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的. 固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导数.此时 f ( x,0) x 2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在，同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.

偏导数与高阶偏导数详细解法

第二节偏导数教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握阶及二阶偏导数的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。

教学重点：一阶及二阶偏导数的计算教学过程:一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z 二f(xy)如果只有自变量x 变化而自变量y 固定这时它就是x 的一元函数这函数对x 的导数就称为二元函数z 二f(xy)对于x 的偏导数定义设函数z=f(xy)在点(x o y o )的某一邻域内有定义当y 固定在y o 而x 在X o 处有增量 x 时相应地函数有增量f(x o x y o) —f(x o y o ).如果极限f (X o X, y o ) - f (X o , y o )A x存在则称此极限为函数z=f(xy)在点(x o y o )处对x 的偏导数记作例如f (X o ：x, y o ) - f(x o , y o )A x 类似地函数z 斗(xy)在点(x o y o )处对y 的偏导数定义为Hm f(x °,y o ：y)-f (x °,y o ) .y —.o y偏导函数如果函数zh(xy)在区域D 内每一点(xy)处对x 的偏导数都存在那么这个偏导数就是x 、y 的函数它就称为函数z=f(xy)对自变量x 的偏导函数记作——zx 或 f x (x, y) ■ X x偏导函数的定义式：fx(x,y 円m f(x 2)7("cf — y —y o C X=X o -z x y=y o :z .x x=x ° 或 f x (x o , y o ) y mof x (x o ，yo ^.'r.o 记作各X’ * 0 x=X o ■z yy=y ° y To 或 f y (x o y o ). X =<o y =y °类似地可定义函数z=f(xy)对y的偏导函数记为Z/或f y(x，y) ‘-■y :y偏导函数的定义式:f y(x,y) = limf(x,y：y)-f(x,y)求兰时只要把y暂时看作常量而对x求导数求埜时只要把x暂时看作常量而对y ；x ；y 求导数，讨论下列求偏导数的方法是否正确？f x(><0，y o) = f x(x,y)x^ f y(x o，y o) = f y(X,y) xs .y=y°d df x(X o，y o) =【dxf (x,y o)〕xK fygy o)珂石fd o’y)]© ■偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数u=f(xyz)在点(xyz)处对x的偏导数定义为f (x ：x,y,z) —f(x,y,z)Ax其中(xyz)是函数u=f(xyz)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题，例1求z=x2+3xy+y2在点(1 . 2)处的偏导数，解—=2x 3y z =3x 2y . z & cyXT =21 3 2=8 ]z例2求z=x2sin 2y的偏导数解—=2xsin2y — -2x2cos2y . & cy例 3 设z=x y(x Qx^)求证――1—■ =2zy ex In x 內证—=yx y A— =x y I nx,x ：y——1 -yx y^ —x y I nx 二x y x y=2z .y :x In x : y y In x例4求x^y^z2的偏导数解』- ______X 仝 [.一__________ y ____ & +'x2+ y2+z2r by Jx2+y2+z2=_yx”31 22 = 7 .例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)•求证空乂 .兀_1证因为p = R L P 一马. "vw V 2V=RL 卫卫p ：:T pT pV 汀 VT = R 亍 R 所以8汎汀=_RT RV-RT-I討贡④ V 2 p R pV ^例5说明的问题偏导数的记号是一个整体记号不能看作分子分母之商二元函数z=f(xy)在点(x o y o )的偏导数的几何意义：f x (x o y o )=[f(x y o )]x 是截线z=f(x y o )在点M o 处切线T x 对x 轴的斜率 f y (x o y o ) =[f(x o y)]y 是截线z=f(x o y)在点M o 处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在也不能保证函数在该点连续例如 xyf(x,y) = x 2 y 2I 0 在点(0 0)有f x (0. 0)=0 f y (o. 0)=0但函数在点(0 0)并不连续“提示：f(x,O) =0 f (0, y^of x (O,O)=f [f(x,0)]=0 f y (0, 0^-d [f(0, y)H0 . dx dy当点P(x y)沿x 轴趋于点(0 0)时有lim f(x, y)=lim f (x, 0) = lim 0 =0 (x,y) >(0,0) X r 0 x >0当点P(x y)沿直线y=kx 趋于点(0 0)时有因此.lim f (x,y)不存在故函数f(xy)在(0 0)处不连续(x,y)T(0,0) 类似地可定义函数z=f(xy)对y 的偏导函数记为冷 f zy 或 f y (x,y) • x 2 y 2" x 2 y 2 =0 lim 2 ' 2(x,y)—?(o,o )x 2 y 2y=kx=lim 2 x >0 x 2 kx 2_ k 2x 2 k 2偏导函数的定义式恥心肩“™高阶偏导数设函数Z 二f(xy)在区域D 内具有偏导数^ = f x (x, y)迸二 f y (x,y).那么在D 内f x (xy)、f y (xy)都是xy 的函数如果这两个函数的偏导数也存在贝U 称它们是函数x 二f(xy)的二偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z 二f(xy)在区域D 内的偏导数f x (xy)、f y (xy)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数z=f(xy)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数2手(孑•手(勺=2 2 其中ry (：xU x y (x ，y) 称为混合偏导数；：(；：Z )_ ；：2Z 1 ( ：：Z) _ r 2Z ( :：Z) _ ：：2z ；：( ；：z )_ ；：2z :x ；:x ；:x 2 : y . x .x :y ；x ； y y ； x ；:y ；y ；:y 2同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数‘ 例 6 设 z=x 3y 2-3xy 3-xy V 求 f 、-f 、 - x 和 L x 2 ：x 3 :yx : xy解/ =3x 2y 2 -3y 3 -y Z =2x f y-9xy 2 -x :x :y C 2Z 62 ^z 6 2， 2 =6x y 3=6 .x:x -2-2 6^丫-9丫2-1x 6x 2y-9y 2 -1 x x .y y x -2 “2由例6观察到的问题 x xoycx cxcy 定理如果函数z=f(xy)的两个二阶混合偏导数昙及三在区域D 内连续•那么在该 tycx cxcy区域内这两个二阶混合偏导数必相等.x : x ； x 2 :y x :x y:Z = f xy (x, y).2 补評話mx’y)弓許■2Z”yy (x " -3 ：2类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数z = ln . x2—y2满足方程寻•岂=0 . ex cy 证因为z=ln ... x2- y2=2"n" ' y2)所以:z x :z y___________.:x _________ x2y2；:y x2 y2匕(x2y2)-x2x y2-x2戸一(x2y2)2—(x2y2)2悬(x2y2)-y 2y x2-y2旷 (x2y2)2 _(x2y2)2'-2-2 2 2 2 2因此驚+吟=x —y 2+ y 2 -o ■ $2 cy2(x2+y2)2(x2+y2)2例8•证明函数u二1满足方程总•总•岂=0 .r ex2內2ezr其中r = J x2y2z2.证:u _ _丄工—_丄x _ __x_ dx r2ex r2r r3E2u _ 1 +3x 宜=1 +3x2_x2r3r4；x r3r5-2 / -2因此T U Uex2cy2cz2r3-x ' (r3)r6r3-x3r21LExr6同理专：：2u _ —丄.3^:z2r3r5_ _ 3 3(x2y2- z2)r53 3r2—3-0r3 r5r r(。

二阶偏导表示方法

二阶偏导表示方法
【原创版】
目录
1.二阶偏导数的概念
2.二阶偏导数的表示方法
3.二阶偏导数的计算举例
正文
一、二阶偏导数的概念
在多元函数微分学中，二阶偏导数是指函数关于某两个变量的二阶偏导数。

通俗地讲，就是求一个函数在两个方向上的变化率。

二阶偏导数反映了函数在某点处的曲率，是描述函数曲面形状的重要工具。

二、二阶偏导数的表示方法
二阶偏导数的表示方法通常使用复合符号“/xy”或者“f/xy”来表示。

其中，x 和 y 是变量，f 是函数。

符号中的“”表示偏导数，“”表示二阶，即关于 x 和 y 的偏导数的偏导数。

三、二阶偏导数的计算举例
假设有一个二元函数 f(x, y)，我们可以计算其关于 x 和 y 的偏导数，然后再对这两个偏导数求偏导，得到二阶偏导数。

例如，对于函数 f(x, y) = xy + yx，我们可以计算其关于 x 的偏导数 f_x = 2xy + 2x，关于 y 的偏导数 f_y = 2xy + 2y。

然后，我们对这两个偏导数分别求偏导，得到二阶偏导数：
f/xy = (f_x/xy + f_y/xy) = (2y + 0) + (0 + 2x) = 2(x + y) f/yx = (f_x/yx + f_y/yx) = (2x + 0) + (2y + 0) = 2(x + y) 因此，函数 f(x, y) 的二阶偏导数为f/xy = 2(x + y)。

总结：二阶偏导数是描述多元函数曲面形状的重要工具，其表示方法为/xy 或者f/xy。

二元函数的泰勒公式

§ 10.4.二元函数的泰勒公式若它们存在关于x 和y 的偏导数，即将它们表为:般地，二元函数z = f(x,y)的n-1阶偏导函数的偏导数称为二元函数的阶偏导数•二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z 二f (x, y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号・n z或- n _k - kx :y表示二元函数z = f(x, y)的n 阶偏导数，首先对x 求n-k 阶偏导数，其次接着对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数例1.求函数z = x 'y 3 -3x 2y ' xy 2 3的二阶偏导数.、高阶偏导数二元函数z =f(x, y)的两个(一阶)偏导数—，—仍是x 与y 的二元函数.；x : y称它们是二元函数 z = f(x, y)的二阶偏导(函)数.二阶偏导数至多有22个.通常竺陰1表为c zc 2 dx 或f£(x,y).dx ©丿竺俘［表为◎2Z或 fey)內5 )cx&y-2cz °z ! r ?、/—表为c z 或 f y ；(x, y)& ©丿 £y£x、-2cz —表为c z 2 或f y ；(x, y).©丿2(混合偏导数)(混合偏导数)A、 __________________________例 2.证明：若 u = -, r = ： (x - a)2 • (y - b)2 • (z - c)2,则 r.2. 2 .2r u ； u ； u cT T LJ . -2 . 2 . 2 x : y : z证明：由§ 10.3.例2,有；:u x - acuy - b ；:u z - c .x31q一r 刑3 1 r；zr 3 .；：2ur 3 _(x _a)3r 2；:r ；x■r -x-a 1一 2 -x6r:xrr 3 _(x _a)3r 2x -ar -1 . 3(x-a)2.6 r35rr 同样，可得-2「u _ -2 -y2132: u -35(y —b ),r r:z_ 1 —3r2(z-c)2 r33 2 2 2-飞飞[(x-a)2(y-b)2 (z-c)2] r r=0.定理1.若函数f （x, y ）在点P （x o ，y o ）的邻域G 存在二阶混合偏导数f xy （x,y ）与f y ；（x,y ），并且它们在点P （x °,y 。