高中物理竞赛_话题10：运动模型——平抛和斜抛运动

话题10：运动模型——平抛和斜抛运动

将质点以和水平方向成某一角度θ的初速度0v 投射出去，在不考虑空气阻力的情况下，质点的运动就是抛体运动。当0

90θ=时，质点在竖直线上做直线运动，可利用匀变速直线运动规律来求解；当0

0θ=时，质点做平抛运动，当0

090θ<<时，质点做斜抛运动。其中平抛运动与斜抛运动的轨迹均为抛物线。这里我们讨论的抛体运动就是指平抛和斜抛运动。

一、平抛运动

平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体两个分运动的合成，落地时间由竖直方向分运动决定。

二、斜抛运动

斜抛运动分斜上抛和斜下抛(由初速度方向确定)两种，下面以斜上抛运动为例讨论。

1．特点：

加速度a g =，方向竖直向下，初速度方向与水平方向成一夹角θ斜向上，0

90θ=为竖直上抛或竖直下抛，0

0θ=为平抛运动。

2．常见的处理方法：

(1)分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀变速运动。

以抛出点为坐标原点，初速度0v 的水平投影方向为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向，则有

位移方程： 020(cos )1(sin )2

x v t y v t gt θθ=⎧⎪

⎨=-⎪⎩ 速度方程： 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎧⎪⎨=-⎪⎩

分析斜抛运动时还常用到下列结论：

A ．斜向上运动时间与斜向下运动时间(从最高点回到与抛出点等高位置的时间)相等，均

为0sin v t g θ=

，斜上抛运动回到与抛出点等高位置总时间为02sin v t g

θ=。 B ．斜上抛运动的水平射程为2

0sin 2v X g

θ=

，故当抛射角为0

45时水平射程最远。

C ．斜上抛运动的轨迹方程为2

22

0tan 2cos gX Y X v θθ

==，由此方程可知，其轨迹为抛物线，该抛物线顶点为22200sin 2sin (

,)22v v g g

θθ

。 (2)将斜抛运动分解为沿初速度方向的匀速运动和竖直方向的自由落体两个分运动，再用矢量合成的方法求解。

(3)将斜抛运动分解为沿某一斜面(倾斜直线，与运动轨迹在同一平面内)方向和垂直于该斜面方向的两个匀变速运动，此时须将初速度和加速度都进行正交分解，再分别用运动学公式求解。

以上处理斜上抛运动的方法，也同样适用于平抛和斜下抛运动，还可进一步推广到其它恒力作用下(加速度恒定)质点做曲线运动的情形。不难看出，任何质点在恒力作用下的运动可分为两种情形：

A.若加速度与初速度方向在同一直线上，则质点做匀变速直线运动，

B.若加速度与初速度方向不在同一直线上，则质点做类似抛体运动，其轨迹一定是抛物线。这种运动的求解通常是分解为两个直线运动，即与斜抛处理方法类似。

三、抛体运动中的对称性

例1：从高H 处的一点O 先后平抛两个小球1和2，球1恰好直接过竖直挡板CD 落到水平地面上的B 点，球2则与地面碰撞一次后也恰好越过竖直挡板，然后也落B 点.如图所示.设球2与地面的碰撞类似光的反射，且反弹前后的速度大小相同.求竖直挡板的高度h .若球2与地碰n 次后恰好越过档板也落于B 点，则h 的高度又如何？ 解析：这是一个典型的抛体问题.在抛体中恰当地运用对称性，可得巧解.

球1

的落地时间1t =

，而球2应为13t ，故球1的初速度应为球2的3倍.若球1达C 点的时间为t ，则球2达C 点的时间应为3t .当球1达C 点时，球2达与C 点等高的1C 点，而

O

1C 点至A 与A 至C 点 由对称性可知应相等.设所需时间为t '，则3t t t t ''++=，得t t '=.

于是可以看出1C 应为球1在第一次落地前的中点时刻，故竖直高度应被1C 分成1:3两部分，所以挡板高3

4

h H =

.

例2．如图所示，一小球以初速05/v m s =从高H 端水平射出，在距墙为d 处，有一长4L m =行，板的下端地高1h m =d 为多大?已知：A 点与墙角O 点的距离1s m =墙和板的碰撞中能量均不损失. 2

(10/)g m s =

解

1t s =

=,

()a 则N 为偶数，取2(N n n ==

有2L nd s -=小球在第(21)n -即4d ≥ 01(21)2n d g v ⎡-⎢⎣⎦

21n +由式(1)、(2)可得

221n n >+，即 4.24n <=。故n 可取1,2，3,4，即d 可取值：2m ,1m ,

23m ,1

2

m 。 ()b 若小球最后一次是与板发生碰撞，则N 为奇数，取21(1,2,)N n n =-=⋅⋅⋅,有(21)L n d d s --=-，即3

d m n

=

。 (3) 为使小球最后一次能与板发生碰撞，则必须2

01(21)2n d g l v ⎡⎤

-≤⎢⎥

⎣⎦

，即d ≤(4) 由式(3)、(4)可得

3n ≤ 1.96n ≤，故n 可取1，即d 只能取3m 一个值。综合情况()a 、()b ，可知d 共可取以下5个值：3m ，2m ,1m ,

23m ,1

2

m 。 四、匀加速直线运动+斜抛运动

例3：有5条边长为1m 的正方形薄板做成一个小屋，如图()a 所示.已知水滴沿屋顶从A 点流到B 点所需的时间为从B 点流到

C 点所需的时间的2倍.假定水滴从A 点以初速为零开始流下，