斜抛运动疑难分析

斜抛运动疑难分析

河北省鸡泽县第一中学057350吴社英

1. 运动的分解

如果物体抛出时的速度v 不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的（这种情况常称为斜抛），它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向仍不受力，加速度仍是零，在竖直方向仍只受重力，加速度仍为g 。

但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同，分别是v x ＝v cos θ和v y ＝v sin θ。因此，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ的匀速直线运动和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动。

2. 物体的位置随时间变化的规律

如图，物体以初速度v 斜向上抛出，我们以物体离开手的位

置为坐标原点，以水平抛出的方向为x 轴的正方向，竖直向下的

方向为y 轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。 物体在水平方向不受任何外力的作用，所以物体在水平方向

做匀速直线运动，速度v x ＝v cos θ，则物体位置的横坐标随时间变

化的规律为 x ＝v x t ＝vt cos θ；

物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体

的加速度a ＝g ，方向竖直向下。注意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于v y ＝v sin θ，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的

关系为 y ＝v y t －12 at 2＝vt sin θ－12

gt 2。 3. 运动轨迹

从以上两式中消去t ，可得

y ＝－22)

cos 2(x v g θ＋tan θ·x 。 根据数学知识我们知道，函数方程y ＝－ax 2＋bx ＋c 代表一条开口向下的抛物线。因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。我们可作以下讨论：

⑴ 数学知识告诉我们，对y ＝－ax 2＋bx ＋c ，当x ＝a

b 2时，y 有最大值y m ＝a b 42＋

c 。所以，对上述斜抛运动轨迹方程，当

x ＝g v v g θθθ2sin )cos 2(2tan 22

=⋅ 时，y 有最大值 y m ＝g v v g θθθ222

2sin )cos 2(4tan =⋅。 对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。

⑵ 设斜抛运动轨迹方程中的y ＝0，则有

v y

x 1=0， x 2＝g

v g v θθθ2sin 2cos sin 422=， 式中x 2的物理意义是斜上抛运动的水平射程（如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离）。由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在v 一定时，当θ＝45°（θ常称作投射角）时，水平射

程有最大值 x m ＝g

v 2

2。 除了上面的研究方案外，我们还可以发现，炮弹的运动轨迹对经过最高点的竖直线是左右对称的。这启发我们：是不是可以将斜抛运动转化为平抛运动来分析处理呢？有兴趣的同学不妨一试。

请思考：运动员在投掷铅球、标枪时，应把投射角控制在什么角度为好？运动员的身高对他的投掷成绩有没有影响？

你能进一步推导出这种斜抛运动的轨迹方程吗？请试一试！

4. 受空气阻力时的运动轨迹

我们在讨论抛体运动的位置、轨迹以及速度等问题时，都没有考虑空气阻力的影响，即讨论的是理想抛体运动。

实际上，物体在空气中运动会受到阻力，且阻力与物体运动速度的大小有密切关系：物体的速度低于200m/s 时，可认为阻力与物体速度大小的平方成正比；速度达到400～600m/s 时，空气阻力和速度大小的三次方成正比；在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。由于空气阻力的影响，物体以较大的速度斜向上抛出后，其运动轨迹会形成不均等的弧形，升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。

斜向射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计

算得到的值那么大，当然路线也不再是抛物线，而是所谓“弹道曲线”。理论计算表明，以610m/s 速

度射出的炮弹，在不计空气阻力的空间其最大射程可达38km ，炮弹将在空中划出一条高9.5km 的巨大

弧线，而实际炮弹在空气中只能飞行4km 左右，其

射程缩短10倍之多，如图所示（虚线为不计空气阻力的理想运动轨迹，实线为同样初速的实际运动轨迹）。

由于环绕地球的大气层由里向外是逐渐变稀薄的，远程大炮的发射角一般在50°～70°范围内变化。这是因为如此发射的炮弹，可达到离地40～50km 的高度。在这个高度上，空气十分稀薄，阻力很小，炮弹在大气圈中飞越130～160km 的距离。如果炮弹仍以45°倾角发射飞行轨迹全在较稠密的大气中，阻力很大，就只能达到约10km 的射程了。

5. 速度随时间变化的规律

我们已经知道，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间t 后，物体水平方向的速度 v xt ＝v cos θ， 竖直方向的速度 v yt ＝v sin θ－gt 。 根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小 v ＝22222)sin (cos gt v v v v yt xt -+=+θθ，

速度的方向可用图中的θ表示，

4km 9.5km 38km

tan θ＝θ

θcos sin v gt v v v xt yt

-=。 例、观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。一般说来，焰火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质点），各发光质点抛出速度v 0大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）呢？请说明理由。

提示 用抛体运动的知识，求出任一发光质点经过一段时间后的位置坐标间的关系。 解析 设某一发光质点的抛出速度为v 0，与水平方向夹角为θ，将v 0沿水平方向（x 轴）和竖直方向（y 轴，向上为正方向）正交分解。由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为

x ＝v 0 cos θ ·t ， y ＝v 0 sin θ ·t －12

gt 2。 联立以上两式，消去θ即得

x 2＋(y ＋12

gt 2)2＝ (v 0t )2， 这是一个以C （0，－12 gt 2）为圆心、以v 0t 为半径的圆的方程式。可见，只要初速度v 0相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花”球一面扩大，一面下落），如图所示。

点悟 本题也可用运动合成和分解的知识解释如下：礼花炮爆炸后，每个发光质点的抛出速度v 0大小相同，方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用下的自由落体运动（这里忽略空气阻力，如果受到空气阻力或风的影响，那么，“礼花”就不会形成球面形状了）。很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆，后一个分运动都相同，所以观察者看到的是一个五彩缤纷的“礼花”球一面扩大、一面下落。